Zahlwort

Eben sprachen in einem „neuen Format“ unter der Über­schrift „Der Pitch“ die drei am Lenker ihres Tandems sitzenden Kandi­daten zum CDU-Vor­sitz. Zunächst durfte Armin Latschet als erster Pitch [1] unter seinem Motto „wir machen das bereits“ darlegen, was in Nord­rhein-​West­falen gut funktio­niert und im Bund eben­falls umge­setzt werden soll. Den anderen beiden habe ich nur noch mit einem Ohr zugehört. Eine Frau war nicht dabei. Das reizte mich zu sagen, drei Pitches möchten zwei Bitches ablösen, wenn die beiden Damen nicht alles andere wären.

[1] Meine Frage, ob mit dem Pitch der Partei­vorsit­zende, der Kandidat dazu oder nur seine Bewer­bungs­rede gemeint ist, blieb unbeantwortet, nachdem der Mode­rator Armin Latschet als ersten Pitch (Unglück) vortreten ließ, nicht als Pitscher.

Als es Sozialdemokraten noch erlaubt war, auf Vermitt­lung der DKP die DDR zu besuchen, disku­tierte ich mit unserem Reise­leiter und Kandi­daten zum ZK über den Status von West­berlin. Er meinte, es läge in der DDR und gehöre eigent­lich dazu. Wir einigten uns darauf, daß Berlin inmitten der DDR liege, obgleich schon damals mein Herz nicht an West­berlin hing. Ohne Bayer zu sein, hätte ich Berlin nicht vermißt, wenn es gerechter­weise voll­ständig der sowje­tischen Zone zuge­schlagen worden und so in der DDR aufge­gangen wäre. Hätte danach der große Bruder die DDR nicht ausge­beutet und wir sie völker­recht­lich aner­kannt, wäre „die Absicht, eine Mauer zu errichten“ selbst Walter Ulbricht nicht in den Sinn gekommen. Über die Grenze gelaufene und legal, wenn nicht frei­zügig einge­reiste Bürger des sicheren Herkunft­landes DDR hätten Asyl beantragen können und im Einzel­falle auch erhalten.

Es kam anders. Berlin schmarotzte Jahrzehnte auf Kosten der zehn alten Länder, saß im Bundestag wie Palä­stina in der UN-Voll­versamm­lung und hatte vor dreißig Jahren einfach Glück, nach der Wieder­vereini­gung genannten Annek­tion der fünf neuen Länder zusammen mit Ost-Berlin ein sech­zehntes Bundes­land zu werden, das sexy und geldgeil weiterhin durchge­füttert wird. Gerne würde ich die berliner Arro­ganz hinnnehmen, wenn sie wie die bayri­sche nach Jahren des Aufpep­pelns eben­falls von Erho­lung und selbst erwirt­schaf­tetem Wohl­stand begleitet würde.

Schon damals, als die Geschäfte noch um 18 Uhr schlossen, die Banken vom Scheilado noch nichts ahnten und die Sonntags­ruhe einzu­halten versucht wurde, träumten viele von Berlin ohne Sperr­stunde, die sich seit tausend Jahren bewährt hatte und der Mehr­heit aller Menschen gefiel. Zwischen­zeitlich wurde die Unter­wande­rung dieser menschen- und arbeiter­freund­lichen Rege­lungen lega­lisiert. Die Folge ist eine Heer­schar unpro­fessi­onell betrie­bener Geschäfte, die mir in Offen­bach wohnend schon Übel­keit erzeugten, noch bevor ich von dem klein­kind­lichen Begriff Späti hörte. Denen ließen die Ordnungsämter gleich Corona freien Lauf.

Die tatenlosen Politiker unserer leider neuen Haupt­stadt haben sich mit Corona einge­richtet, entschul­digen sich mit Größe und Bevöl­kerungs­dichte. Dabei zeigt ein Blick auf die dank ihrer hohen Durch­seuchung im Fernsehen zu bewun­dernden Karte, daß West­berlin hell- bis dunkelrot ist, Ostberlin dagegen nach wie vor grau. Das beein­druckt die Hedo­nisten in den sog. Kiezen sowenig wie das corana­arme Umland Branden­burg. Meinet­wegen können sie sich bis zum Anschlag durch­seuchen, auch wenn dabei andere mitge­rissen werden. Es gibt so und so zuviele Menschen. Eine wirkliche Kata­strophe könnte vieles im Kopf ändern und die Welt retten.

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Für eine grobe Beurteilung des Verlaufes der Corona-​Epidemie in einem Land­strich reicht es zunächst, die Zahl der positiv Gete­steten und der Toten ohne Alters­differen­zierung und Test­raten zu betrachten. Man kann den zeit­lichen Verlauf darstellen und daraus seine Schlüsse ziehen. Hier aber habe ich die Leta­li­tät L in Prozent gegen die Morta­li­tät M in ppm für Deutsch­land aufge­tragen.



Letalität in Abhängigkeit der Mortalität in Deutschland (png)

Ich halte diesen Verlauf für geeignet, ihn mit anderen Ländern zu verglei­chen und diese in Rela­tion zu uns einzu­schätzen. Das ist keine Über­heblich­keit eines deut­schen Bloggers, denn andere Länder wie Öster­reich und Dänemark wären dazu ebenso geeignet. Das heißt auch nicht, daß andere durchweg schlechter dastehen, denn viele unter­bieten nicht nur auf dem Papier, sondern wirklich die deutschen Zahlen.

Die blaue Linie zeigt den Verlauf, wenn sich Infi­zierte und Tote an die von mir am 19. April bzw. 2. Mai ermit­telten Normal­vertei­lungen gehalten hätten. Die Abwei­chung des roten realen Verlaufes unten links ist uninter­essant und ergibt sich schlicht aus dem Umstand, daß man erst nach einer Infek­tion an Corona sterben kann. Danach geht es weit­gehend im Einklang mit den Normal­vertei­lungen schnell bergan, erst durch den Höhe­punkt der neu Infi­zierten am 2. April, dann der Toten 13 Tage später.

Schon um diese Zeit entwickelt sich ein Ratten­schwanz einer zu langsam auslau­feden Normal­verteilung, weil die Repro­duktions­zahl nicht mehr sinkt. Dadurch endet die Epidemie nicht einfach in der Nähe des Endpunktes der blauen Linie. Viel­mehr bildet sich eine Rechts­kurve, die weit­gehend waage­recht auslaufen würde und dort endete, wenn nicht ein zweiter Effekt hinzu­träte, die Spaltung der Gesell­schaft in vorsich­tige alte Menschen und sich munter infizie­rendes Jungvolk. Dadurch setzt sich die Rechts­kurve fort und kann sogar fallen, weil sich die geringe Sterb­lich­keit der Jüngeren mehr und mehr durch­setzt.

Damit auch diese Linie nicht einfach endet, sondern die Rechts­krümmung sich fort­setzt und sogar fällt, sind zumin­dest anhal­tend zahl­reiche neue Infek­tionen erforder­lich. Die haben wir uns späte­stens mit dem Monat Juni geleistet, erst zaghaft, dann deut­lich. Die grünen Punkte im Wochen­abstand verdeut­lichen, daß es erst sehr langsam über den Berg ging und danach immer schneller bergab. Das muß zunächst wenig beun­ruhigen, weil dazu nur die Zahl der neu Infi­zierten steigen muß, nicht die der Toten.

Doch leider leben die vorsich­tigen Menschen nicht alle auf dem Land in Ost­deutsch­land getrennt von den Hedo­nisten in Bayern und den Groß­städten. Sie werden mitge­rissen. Die Leta­lität sinkt zwar weiterhin, doch nicht mehr so schnell, die Kurve biegt sich wieder nach links, wenn sie auch zumin­dest eine Weile noch fällt. Gelingt es nicht, diesen Trend zu brechen, dann sehe ich späte­stens hier den Beginn der zweiten Welle in dieser Woche. Wer diesen Erläute­rungen nicht folgen mag, der werfe einen Blick auf die aktuell wieder anzie­henden Sterbe­zahlen.

Die natürliche Fortsetzung können wir in den USA erkennen, von Israel und Australien ganz zu schweigen. Es geht wieder schneller nach rechts, die Links­kurve strebt gegen eine Waage­rechte und steigt möglicher­weise wieder an. In diesem Falle wurden die Anzei­chen zu lange igno­riert und unzu­länglich gegen­gesteuert. Man mag das vernied­lichen, weiterhin rücksichts­lose Frei­heiten ausleben und sich lange Zeit damit trösten, daß wohl für immer keine zehn Prozent an Corona sterben werden, doch solange sich nichts deut­lich bessert müssen wir weiterhin Masken tragen und Abstand halten.

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Gerne erinnere ich mich an Rudi Arndt, der die Ruine der alten Oper zu Frankfurt sprengen wollte. Er will es zwar nicht explizit gesagt haben, wehrte sich aber nicht gegen die Ehren­bezeich­nung Dynamit Rudi. Es kam anders. Das Bildungs­bürgertum sammelte Geld und baute das Operhaus wieder auf. Lange beweih­räucherten sie sich drinnen, nun tobt der Pöbel davor.

Noch ist die Zeit nicht reif, im Sinne der Bevöl­kerungs­mehr­heit drastisch durchzu­greifen. Naive Gutmen­schen möchten den Pöbel zwar auch nicht dort versammelt sehen, belügen sich aber mit der Behauptung, er würde dann in vielen Klein­gruppen Frank­furt unsicher machen. Das war zu Zeiten von Rudi Arndt anders. Da wurden umge­kehrt Demon­stranten vom Römer­berg in Seiten­gassen vereinzelt.

Heute stellt man ihnen Müll­tonnen und Toiletten in Nord-Süd-Rich­tung hin. Wozu? Sollen sie doch vor die Bar scheißen, in der sie ihre Togos kaufen. Zunehmend in Plastik­bechern, wenn es nun ein Glas­flaschen­verbot geben sollte. So ein Schwachsinn! Besser sollte das Mitführen von Alkohol in der gesamten Öffent­lichkeit unter­sagt werden.

Kultursensible Toilette

Schön am Leben eines alternden Bloggers ist, anhand aktueller Ereignisse und Diskus­sionen immer wieder an Details aus jungen Jahren erinnert zu werden, die nicht auf der Müll­halde aus Belang­losig­keiten vergessen wurden. Dazu gehört auch eine Begrün­dung der Apriori-Wahr­schein­lich­keit abseits philo­sophi­schen Geschwa­fels: Wenn man von einer Wahr­schein­lich­keit im engeren Sinne nicht sprechen kann, weil sie nicht durch eine Annahme oder zwin­gende Eigen­schaft bestimmt ist und auch nicht durch ständige Wieder­holung (a poste­riori) immer genauer bestimmt werden kann, so darf man dennoch sagen, daß irgendein Ereignis mit einer gewissen Wahr­schein­lich­keit (a priori) eintritt. [1]

Je nach Umstand, Geschmack, Etikette, Verblendung, Wunsch­denken, aber auch gemäß ihrer Entfer­nung von einer reali­stischen Einschät­zung wird eine Apriori-Wahr­schein­lich­keits-Behaup­tung empört als dumpfes Vorur­teil abge­lehnt oder still­schwei­gend ohne jedes Wimpern­zucken akzep­tiert. Wenn der Wetter­frosch im Fern­sehen behauptet, es regne morgen mit einer Wahr­schein­lich­keit von 70 Pro­zent, dann nehmen wir es ihm ab, ohne sofort einen Facebook-Beitrag abzu­lassen: Du Spast, es regnet morgen gar nicht oder zu 100 Pro­zent. Auch kann nicht jeder Tropfen gleich Regen genannt werden, der zudem von Dir als minder­wertig diffa­miert wird.

Natürlich besteht immer der Verdacht, die Wahr­schein­lich­keiten seien nur so dahin­gesagt oder zu grob geraten. Im Beispiel könnte die Aussage durch die Bereit­schaft erhärtet werden, 7 zu 3 auf Regen oder 3 zu 7 dagegen zu wetten. Ich würde es nicht machen, denn ich bin kein Lotto­spieler und fürchte, am nächsten Tag darüber disku­tieren zu müssen, was ein Regen sei. Außerdem könnte ein anderer mehr Kenntnis erlangt haben und vermuten, daß umge­kehrt 30 Pro­zent eher zutreffen. Wenn ich aber an einer Wette nicht vorbei­komme, dann würde ich zumin­dest 1 zu 1 einen hohen Betrag auf Regen setzen. Und ist der andere wirk­lich von seiner Gegen­behaup­tung überzeugt, wird er die Wette annehmen.

Gute Vorurteile sind Apriori-Einschätzungen, die vorhandene Infor­mati­onen ange­messen berück­sichtigen. Von naiven Menschen werden sie trotzdem gerne als nega­tive Vorein­genommen­heit gewertet, sofern sie nicht in den Kram passen, selbst wenn sie sich mit der Zeit bewahr­heiten. Mir aber kommt es mehr auf Wahr­heit und begrün­dete Über­zeugung als Gesin­nung an. Deshalb mußte ich auch das ein oder andere meiner Vorur­teile korri­gieren oder vergessen, auch wenn das mit dem Alter nicht nur wegen zuneh­menden Starr­sinnes immer seltener erforder­lich wird, denn Erfah­rung macht auch das Vorur­teil treff­sicherer. Zumin­dest bekomme ich keine Magen­geschwüre, weil ich in mir spontan hoch­kommende Vorur­teile verschweige oder gar verdränge.

Der geneigte Leser wird schon ahnen, worauf es hinaus­läuft: Auf Rassen, Frauen, Juden, Zigeuner, Ausländer, Vandalen, Proleten, Säufer, Motorrad­fahrer, Täto­wierte, Krimi­nelle, Angeber, Reiche, Poli­zisten, Poli­tiker, Viro­logen. Viel­leicht wäre es einfa­cher, diese Mode­gruppen zu igno­rieren, mir kein Vorur­teil oder gar rechts­kräf­tiges Urteil anzumaßen. Doch leider geht das nicht in einer Zeit, da nicht nur korrekte Meinung, sondern auch Haltung gefor­dert ist, überall die heilige Vielfalt lauert und man durch jedes unbe­dachte oder lockere Wort als vorur­teils­beladen klassi­fiziert und beschimpft werden kann. [2]

[1] Dazu muß das Ereignis nicht unbedingt in der Zukunft liegen. Es gilt auch für vergangene oder gar zeitlose Ange­legen­heiten, deren Kenntnis noch unvoll­ständig, evtl. auch nie zu erlangen ist. Ein Beispiel: Wahr­schein­lich (also zu 100 Pro­zent, aber nicht sicher) gibt es keine ungerade voll­komene Zahl. Sollte irgend­wann eine gefunden werden, wäre das ausge­spro­chenes Pech und zugleich über­großes Glück.

[2] Glücklicherweise ist die Rente sicher und ich muß mein Geld nicht durch Meinungs­äußerung oder gar Satire verdienen. Immer weniger vermögen Ernst von Spaß, Satire von Hetze zu unter­scheiden. Einige wollen es auch nicht. Sie ereilt eine dem frommen Bibel­ausleger analoge Strafe: Sie können mit der Zeit normale oder gar blumen­reiche Sprache nicht mehr verstehen.

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Daß ich das noch erleben durfte! Wer hat es erfunden? Das Robert-​Koch-​Institut gewiß nicht. Auch ich kann es nicht in Anspruch nehmen. Zum einen weicht das 7-Tage-R von meinen Wochen­werten w in Details ab. Zum anderen kann man auf der Hand liegende Kenn­zahlen nicht erfinden oder entdecken. [1] Ich hoffe, mit dem neuen 7-Tage-R wird nicht der gleiche Schind­luder getrieben wie mit den Vorgängern.

Heute habe ich gelesen, es sei günstig, Wochen­mittel zu verglei­chen. Schön, das führte auf meine w-Werte, die immer schon besser als die R-Faktoren waren. Jetzt zu wechseln, ist nicht ratsam. Sofort entstünde der Verdacht, man wolle mit w=0,88 statt R=0,93 die Werte schönen. Und weil man das Viertage-​Dogma nicht aufgibt, werden die Mittel­werte zweier Wochen im Abstand von vier Tagen in Rela­tion gesetzt. Dadurch fließen drei Werte sowohl in den Zähler als auch den Nenner ein. Das bewirkt eine gewisse Glättung. Besser wäre jedoch, die realen Zahlen nicht nur durch Now­casting an die vermutete Realität anzu­passen, sondern vor ihrer Verrech­nung zu glätten. Was ist daran kompli­ziert?

Meine einfachste Erklärung für die holprigen Werte der Vergan­genheit lautet, daß die Verkün­diger des Robert-​Koch-​Instituts den falschen Ergeb­nissen ihrer Stati­stiker blind vertrauten. Wie sind solche Fehl­griffe möglich? Zum Beispiel durch Anpas­sung einer Exponen­tial­funktion an die Werte weniger Tage, um sodann aus dem Expo­nenten den R-Faktor abzulesen. Ich will keine abstrusen Sonder­fälle konstru­ieren und einfach die Werte der letzten 15 Tage vom 30. April bis zum 14. Mai betrachten:

1639 945 793 679 685 947 1284 1209 1251 667 357 933 798 933 913

Ein exponentieller Ausgleich auf diese Werte liefert für die vorderen zwei Wochen (1639 bis 933) den R-Fak­tor 0,837 und nur einen Tag später für die hinteren zwei Wochen (945 bis 913) mit 0,972 einen weit höheren Wert. Weshalb werden solche Sprünge von einem Tag auf den anderen nicht nur täglich verkündet, sondern möglicher­weise von Experten wirk­lich errechnet? Weil man selbst als Mathe­matiker blau­äugig glauben kann, man hätte durch wochen­weise Anpassung bekannter Funk­tionen die regel­mäßigen Melde­verzüge ausge­glichen. [2] Das ist offen­sicht­lich nicht der Fall. [3]

Es ist kaum zu glauben, doch die einfachen Methoden liefern bessere, gleich­mäßigere und vor allem glaub­würdi­gere Ergeb­nisse. So bilde ich einfache Verhält­nisse zweier aufein­ander­fol­gender Wochen, woraus sich der R-Faktor gemäß R=w^(4/7) ergibt:

w = (1209+...+933) / (1639+...+1284) = 6148 / 6972 = 0,882   R=0,931
w = (1251+...+913)  /  (945+...+1209) = 5852 / 6542 = 0,895   R=0,938

Und nach der vermuteten Robert-​Koch-​7-Tage-R-​Methode auf Basis gemeldeter statt genow­casteter Zahlen:

R = (1209+...+933) / (679+...+667) = 6148 / 6722 = 0,915
R = (1251+...+913) / (685+...+357) = 5852 / 6400 = 0,914

Die Ergebnisse sind ähnlich. Man muß sich also nicht fragen, weshalb andere zu stark abwei­chenden Ergeb­nissen kommen. Ich vertraue meinen ein­fachen Berech­nungen: Seit dem 1. Mai stieg der R-Faktor langsam und stetig von 0,75 bis maxi­mal 0,95 an. In den letzten vier Tagen lag er nach meinen Kalku­lati­onen bei 0,94±0,01. Wenn das Robert-​Koch-​Institut heute 0,88 nennt, so liegt das noch im Rahmen. Die näch­sten Tage werden es zeigen, denn Now­casting, Glät­tung und Wochen­auswahl hin oder her: Wenn das Robert-​Koch-​Institut wirk­liche 7-Tage-​Mitte­lungs-​4-Tage-​Inkuba­tionszeit-​R-Faktoren bestimmt, dann muß deren siebte Potenz im Mittel der vierten meiner w-Werte ent­sprechen.

[1] Es ist kein Patent darauf anmeldbar, aber auch keine Urheber­schaft zu benennen. Das ist das Schöne an der Mathematik, es gibt sie ohne jeden lebenden oder gestor­benen Menschen. Trotzdem gebürt Ehre dem, der wich­tige Zusammen­hänge gefunden oder gar bewiesen hat. Der 7-Tage-​R-Faktor gehört nicht dazu.

[2] Warum wird die Wochengängigkeit schlechter als erwartet ausge­glichen? Ich nenne es einmal eine mathe­matische Täuschung. Die Ausgleichs­kurve wird nicht nur vom Trend beein­flußt, sondern auch vom Wochen­verlauf. Zur Veran­schau­lichung schneide man aus einer Säge­zahn­kurve zwei Zacken aus, einmal von Spitze zu Spitze und einmal von Mitte zu Mitte. Sie stehen für zwei Wochen von gemel­deten Neu­infek­tionen. Sollte ich mit der Hand durch diese zwei Verläufe möglichst gut eine Gerade oder Exponen­tial­funktion legen, so wäre die erste fallend, die zweite steigend. Das erinnert mich an eine akusti­sche Täuschung, in der stets gleiche Töne beständig aufzu­steigen scheinen, weil ihr internes Spektrum sich schnell aufwärts bewegt.

[3] Wer es nicht glaubt, trage in einem Tabellenkalkulations­programm in die erste Spalte 0 bis 14 (für 30. April bis 14. März) und in die zweite und dritte Spalte die Tageszahlen der neu Infizierten (1639 bis 913) ein und lösche in der zweiten Spalte den letzten Wert 913 und in der dritten den ersten 1639. Trägt man sodann in einer Grafik die Werte der zweiten und dritten Spalte gegen die der ersten auf, so sind zwei Verläufe zu sehen, die sich größten­teils über­lappen, aber gut sichtbar werden, wenn man für den zweiten weit größere Symbole verwendet. Wählt man nun für beide Zahlenreihen einen exponentiellen Ausgleich, so ist der erste wesent­lich steiler als der zweite. Das liegt natür­lich auch daran, daß beim Über­gang von der ersten zur zweiten Spalte vorne mit 1639 viel entfällt, hinten aber nur 913 hinzukommt. Das allein aber erklärt nicht alles. Um das zu erkennen, ersetze man 1639 einfach durch zu w=0,9 erwar­tende 1300. Selbst 1000 läßt noch einen Resteffekt.

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Meine Prognosen für den ersten und hoffentlich letzten Berg mit Gipfel zunächst Ende März, dann Anfang April sind zumindest für den absteigenden Ast überholt. Seit ein paar Tagen ist die Zeit des in der nach­stehenden Abbil­dung deut­lich zu erken­nenden Ratten­schwanzes gekommen, längs dessen es nicht mehr so schnell herunter geht wie es die schwarze Linie der an die Werte bis zum 19. April ange­paßten Normal­verteilung erwarten ließ.



Rattenschwanz der neu Infizierten (png)

Bis zum Muttertag wäre die Epidemie praktisch über­wunden. Doch die Oster­exzesse läuteten weitere Nach­lässig­keiten ein. Die berühmten R-Zahlen sinken nicht mehr, sie kleben unter der Eins und schicken sich an, diese Linie zu über­schreiten. Die bei anhal­tender Diszi­plin zu erwar­tenden 160.000 Erkrankten sind bereits Geschichte. Bald wird das vorstehende Bild aktualisiert und zeigen, wohin die Reise geht. [1,2]

Das alles mag im Vergleich zu dem, was wir bereits hinter uns haben, unbe­deutend erscheinen, doch wurde das für den 1. Mai erreich­bare Ziel von unter hundert täglich neu Infi­zierten schon jetzt weit in die Zukunft geschoben. Es wäre auch für die Wirt­schaft günstiger gewesen, jede Öffnung noch ein paar Wochen zu verschieben und Verlet­zungen der Vorschriften rigoros zu verfolgen. Die gedul­dete Diszi­plinlosig­keit zu Ostern und die nach Öffnungs­diskus­sions­orgien in einigen Ländern egoi­stisch erlaubten Locke­rungen lassen die Krise länger als nötig andauern.

[1] 12.06.2020: Die realen Zahlen vom 19. April bis zum 11. Juni 2020 sind als rote Punkte darge­stellt. In dieser Zeit wurden 44.000 neu infiziert. Das ist auch für die beiden roten Ausgleichs­linien der Fall. Die durchgehende geht von konstan­tem R₀=0,86 aus, die gestrichelte nimmt eine tägliche Stei­gerung von drei Promille an. Vor dem Anstieg zu einem zweiten Berg erreicht sie ziem­lich genau in der Mitte des Jahres bei R₀=1,01 ein Minimum. Das beruht auf meiner zu 80 Pro­zent ange­nom­menen Dunkel­ziffer der Infi­zierten, die Rₜ=R₀⋅(1−5⋅192.000/83.520.000)=1 bewirkt.

[2] 17.07.2020: Wäre die Reproduktionszahl konstant geblieben (rote durch­gehende Linie), gäbe es heute 11.000 Infi­zierte weniger. Selbst mit einem unter­stellten Wachstum von 3 Pro­mille täglich (rote gestri­chelete Linie) fehlten noch 6.500 an den heute gemel­deten gestrigen 201.372. Da Tönnies und Konsorten soviel nicht hergeben, muß man wohl einge­stehen, daß die Dreck­spatzen der Nation im Schatten lokaler Ausbrüche die Epidemie voran­getrieben und den Aufstieg zu einem zweiten Berg in Angriff genommen haben.

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