Zahlwort

Bruttoreproduktionsziffer ist mir schon Jahrzehnte als schönes Wort im Kopf. Es ist die mittlere Anzahl der lebend­gebo­renen Mädchen von Müttern im gebär­fähigen Alter. [1] Diese Zahl beschreibt recht gut das Wachstum der Bevöl­kerung ohne Zu- und Abwande­rungen. Warum? Weil es auf die Zahl der zeugungs­fähigen Männer nicht ankommt und man davon ausgehen kann, daß es auch in Zukunft nur unwe­sent­lich mehr Männer als Frauen geben wird. Man kann allein aus der Brutto­repro­duktions­ziffer r recht gut das Wachstum der Bevöl­kerung abschätzen, weil der Zeit­raum einer Ver‑r‑fa­chung einiger­maßen konstant sein sollte. Ich kenne ihn nicht genau, gehe aber bei­spiels­weise davon aus, daß die mitt­lere Tochter im Alter von 33 Jahren geboren wird. Dann wächst die Bevöl­kerung in 100 Jahren etwa um den Faktor r hoch 3. Natürlich ist es hoffent­lich umge­kehrt: Aus dem Wachstum der Bevöl­kerung schließt man auf die Brutto­reproduk­tions­ziffer. Sie dient mehr der Anschau­ung als einer detail­lierten Prognose.

Mit dem modernen R0-Faktor, der Basisreproduk­tions­zahl in Zeiten von Corona ist es ähnlich. Auch wenn der Eindruck erweckt wird, Viro­logen oder Medi­ziner kennten den R0-Faktor und seien in der Lage, aus ihm die globale Entwick­lung vorher­zusagen, so kann es eigent­lich nur umge­kehrt sein: Aus der Entwick­lung der Infek­tions­zahlen wird der R0-Faktor errechnet. Aber nicht mit der gleichen Präzi­sion wie in der Demo­grafie, weil nicht genügend genau bekannt ist, nach wievielen Tagen ein Erkrankter R0 andere ansteckt. Aber eines bleibt: Egal, ob es lange dauert oder schnell geht, liegt R0 über 1, so breitet sich das Virus aus, unter­halb von 1 geht es Richtung Ausrot­tung. Auch hier ohne Zu- und Abwan­derung.

Leider schwanken die Zahlen der neu Infi­zier­ten n(t) sehr stark, auch abhängig vom Wochentag. Deshalb berechne ich Wochen­mit­tel w(t) zum Tag t, indem ich die Wochen­summe n(t-3)+...+n(t+3) um t herum durch die der Vor­woche n(t-10)+...+n(t-4) divi­diere. [2] Damit ergibt sich folgen­des Bild:


Entwicklung der wöchtlichen Zuwächse Erkrankter (png)

Auch wenn man nicht weiß, in welchem Abstand andere infiziert werden, kann im darge­stellten Verlauf dennoch grob der R0-Faktor gesehen werden. Er mag sich flacher oder eher extremer entwickeln, doch liegen R0-Faktor und w zumeist auf der glei­chen Seite der 1. Der w-Wert zeigt gleich dem R0-Faktor durch seine Rela­tion zur 1 an, ob das Virus sich aus­breitet oder abschwächt. Und es wird auch so sein, daß die R0-Fak­toren besten­falls auf eine ähn­liche Art und Weise errech­net werden, auch wenn die verkün­deten mehr der Phan­tasie, den Wünschen und Erwar­tungen ent­springen. Eine Diffe­renz zwischen dem Verlauf der w-Werte und dem R0-Faktor ist aber bedeu­tender als die leichte Verzer­rung der Bevöl­kerungs­zahlen seit dem Jahre 2015: Werden von außen Infi­zierte einge­tragen, erhöht sich bei konstan­tem R0-Faktor der w-Wert. Das ist im Bild deut­lich zu sehen.

Am 13. März habe ich eine Prognose der Erkrankten gewagt. Die blauen w-Werte ließen einen schnellen Abstieg unter die 1 erwarten, woraufhin ich von einer recht kurzen Epi­demie mit nur 30.000 In­fi­zier­ten ausging. So ähn­lich wäre es wohl auch gekommen, wenn man die neu­deutsch Contain­ment genannte Verfol­gung von Einzel­fällen weiter durch­gezogen hätte. Das wurde wohl unmög­lich, nachdem Scharen von Urlau­bern ohne Quaran­täne aus den Seuchen­gebieten zurück­kehrten und man vor den Kontakt­beschrän­kungen noch eine Gedenk­woche einlegte. Das zeigen die plötz­lich nach oben schie­ßenden roten w-Werte, die sich anschlie­ßend dank Ansteckungs­angst und Vorsicht trotzdem Rich­tung 1 ent­wickel­ten. Ich mußte meine alte blaue Prognose durch einen neue rote ersetzen. Die Kurve wurde nicht geflatte­nettet, sondern mehr als doppelt so breit und viermal so hoch. Das Maximum verschob sich um zwei Wochen auf Anfang April, und es wurden von mir 300.000 In­fi­zierte erwartet.

Dann kamen die Kontaktbeschränkungen. Mindestens eine Woche zu spät konnten sie nicht mehr alles retten, aber die w-Werte und damit den R0-Faktor letzt­lich beständig unter 1 drücken, lange bevor das Robert-​Koch-​Institut sich zu dieser Wahr­heit durch­ringen konnte. Das behaup­tete noch am letzten Woch­ende einen Wert von 1,3. Bis heute soll er auf 0,6 gefallen sein. [3] Wie kann das sein? Hat sich irgend­etwas abrupt geändert? Egal, es ist wohl den ergrif­fenen Maßnahmen zu verdanken, daß ich nunmehr auf der Basis der schwarzen w-Werte nur noch mit der Hälfte, näm­lich 160.000 Er­krank­ten rechne. Der Höhe­punkt wurde in den ersten April­tagen über­schritten. Schon andert­halb Wochen lang liegen die w-Werte und damit der R0-Faktor unter 1, was auch ohne Rech­nung mit bloßem Auge dem Verlauf der Neuer­kran­kungen zu entnehmen ist.

Das bedeutet nicht, die Einschrän­kungen nun abblasen zu können, denn dann könnte die Entwick­lung deut­lich von einer Normal­vertei­lung abwei­chen und einen auslau­fenden Ratten­schwanz, neu­deutsch long tail ent­wickeln, bei Unacht­samkeit auch einen zweiten Berg. Geht aber alles den bishe­rigen Gang, dann erwarte ich am berühmten 19. April nur noch 800 neu Infi­zierte und 150 Tote. [4] Rechne­risch sind es am Mutter­tag weniger als zehn. [5,6] Doch darauf will ich nicht wetten, da ein paar Subkul­turen bleiben werden, die höhere R0-Fak­toren pflegen und so für einen höheren Boden­satz sorgen. Der aber ist bedeu­tungslos, wie es auch keinen deutschen monogam lebenden Menschen inter­essieren muß, ob es noch Aids-​Kranke gibt. [7,8]

[1] So ähnlich habe ich es in der allwissenden Müll­halde gelesen, dachte aber immer, die Töchter müßten die Geburt nicht nur überleben, sondern ihrerseits die Wechsel­jahre erreichen. Andern­falls garantiert 1,001 noch kein Wachstum. Außerdem ist Netto auch hier nur ein Teil des Bruttos. Für die Biodeut­schen ist der feine Unterschied zwischen der Brutto­repro­duktions­ziffer und dem wirk­lichen Wachstum irrele­vant, da deren Frauen es nur auf 1,6 Kinder bringen. Und die Wendung „im gebär­fähigen Alter“ soll sicher­lich nicht nur solche Mütter berück­sichtigen, zumal sie ja noch weitere Mädchen bekommen könnten, sondern die alten Frauen samt ihren Kindern außen vor lassen. Wahr­schein­lich, um die aktuel­len nicht zu sehr mit alten Zahlen zu belasten.

[2] Die Zuordnung auf den mittleren Tag der zweiten Woche erscheint mir aus folgendem Grunde sinn­voll: Steckt jeder vom 4. bis zum 10. Tag nach seiner Infek­tion, also in der Folge­woche gleich­verteilt R0 andere an und sinkt diese Zahl wegen ergrif­fener Maß­nahmen von einem Tag zum anderen t von konstant 3 auf konstant 2, so entwickelt sich der w-Wert binnen einer Woche von unge­fähr 3 auf unge­fähr 2 und erreicht am Tage t+4, also in der Wochen­mitte einen Wert in der Nähe von 2,5.

[3] 16.04.2020: Zwischenzeitlich behauptet das Robert-​Koch-​Institut, der R0-Faktor sei schon am 20. März unter 1 gesunken. Haben sich die Berech­nungen oder nur die Propa­ganda­ziele geändert?

[4] 20.04.2020: Es wurden nur 110 Tote gemeldet. Realistisch sind viel­leicht 180. Auch neu Infi­zierte gab es dreimal soviele, nämlich gemel­dete 1775 und reali­stische 2500. Das liegt gewiß an meiner zu engen Ausgleichs­kurve, aber wohl auch an nach­lassender Diszi­plin und einigen kleinen, aber sehr an­stecken­den Bevöl­kerungs­gruppen, die bei sinken­den Zahlen zuneh­mend ins Gewicht fallen. Die ungleich­mäßige Vertei­lung des R-Faktors ist eine Gefahr, weshalb eine Epi­demie durchaus wieder auf­leben kann, auch wenn er im Mittel unter 1 liegt.

[5] 24.04.2020: Dieses Ziel haben wir verspielt, seit in den letzten Tagen der R-Faktor im Einklang mit meiner w-Zahl beständig ansteigt. Meine letzte Fort­schrei­bung der Infizierten ließ eine Gesamt­zahl von 160.000 erwarten. Es werden wohl mehr werden, weil sich ein von einer Normal­vertei­lung abwei­chender Ratten­schwanz ent­wickelt, den ich darauf zurück­führe, daß ein kleiner Teil der Bevöl­kerung sich nicht an die Regeln hält. Haben sie einen R-Faktor über 1, werden sie vorzugs­weise sich selbst und dann alle durch­seuchen. Ein Durch­schnitts­wert von derzeit immer noch R=0,9 wird das nicht verhin­dern. Der normale Mensch kann Masken tragen und Abstand halten. Es nützt aber wenig, solange nicht gleich­zeitig die Haupt­verbrei­tungs­wege radikal unter­bunden werden: Zuviele Leute in engen Räumen, Zusammen­rottungen, gemein­sames Saufen und Sabbern. Bestärkt wurde ich in dieser meiner Auffas­sung durch Cem Özdemir, der keinen in seiner Familie ange­steckt hat.

[6] 29.04.2020: Ich wollte noch ein paar Tage mit der Fort­schrei­bung meines Bildes warten. Doch in den letzten Tagen ist mir zuviel mit einem von unten gegen 1 stre­benden R-Faktor die Rede. Das ist nicht wahr, der R-Faktor fällt wieder. Eine zweite Welle droht zur Zeit also nicht. Es bleibt aber ein dauer­hafter Schaden der Oster­tage. Mit Diszi­plin hätten wir auf der schwarzen Linie bleiben und mit 160.000 Infi­zierten aus der Krise gehen können. Das werden wir nicht mehr schaffen, selbst wenn der R-Faktor sofort auf 0 fiele. Und bei dieser Gelegen­heit ein erneuter Blick auf Teilver­läufe: Die sinkenden blauen Werte entspre­chen der wach­senden Vorsicht in der Anfangs­zeit, der rote Berg entstand durch den Eintrag rück­keh­render Urlauber. Nach dem 23. März fielen die Werte ein paar Tage lang ab und ließen einen blei­benden Vorteil erwarten, der aller­dings zu Ostern verspielt wurde. Die in der Folge­woche angestie­genen Werte liegen nun dauerhaft zu hoch, um auf ein schnelles Ende hoffen zu können. Wenn Kinder deshalb vier Wochen länger zu Hause bleiben müssen, sollten sie sich mit den dank der Nach­lässig­keit ihrer Eltern in freier Natur oder bei Verwandten gefun­denen Eier trösten.

[7] 12.05.2020: Ich habe das Bild erneuert, weil nunmehr deutlich zu sehen ist, daß der R-Wert nach dem 1. Mai ebenso dramatisch ansteigt wie nach Ostern. Allerdings sehe ich den R-Faktor immer noch deutlich unter 1. Im Gegensatz zum Robert-​Koch-​Institut, das nach merkwürdig schnell schwan­kenden Werten nunmehr verkündet, in Zukunft den R-Wert glätten zu wollen. Das ist nicht ganz korrekt und beschö­nigend ausge­drückt, denn der R-Wert ist viel, viel glatter. Geglät­tet werden allen­falls die berech­neten oder gar geschätzen Werte. Und wenn die beim Robert-​Koch-​Institut durch Division von Vier­tages­blöcken entstehen, dann ist natür­lich Schwach­sinn zu erwarten. Ich benutze wenigsten Sieben­tages­blöcke, um besser zu glätten und vor allem die Wochen­gängig­keit weit­gehend auszu­gleichen. Mein heutiger Wochen­wert zum 8. Mai ist w=6648/7523=0,88. Das entspricht R=w^(4/7)=0,93.

[8] 06.07.2020: Heute habe ich das Bild letztmalig aktualisiert. Zum einen muß alles ein Ende haben, zum anderen ist der weitere Verlauf in einem anderen Bild zu sehen, und zum dritten treten wegen gefallener Absolut­zahlen zunehmend inhalts­leere Schwan­kungen auf. Von den fleisch­zerle­genden Dreck­spatzen ging zwar nur eine lokale Gefahr aus, doch reichte es für einen deut­lichen Berg in den bundes­weiten Infek­tions­zahlen, dem eine Welle der R-Werte folgen mußte. Wir werden sehen, ob in ein paar Tagen sich die seit Ostern abzeich­nende Entwick­lung fortsetzt und wir bei stei­gen­den R=1 landen oder die auf alle ausstrah­lende Angst diesen Trend stoppen kann.

Disziplinlosigkeit | Virologenschnack | Prognose | Lebenswert | Ethikraten | Herdenimmunität | Unredlichkeit | Tote | Nationalstaaten | Erste Welle | Rattenschwanz | Förderalismus | Unterleben

Spätestens nach den Erläuteringen von Angela Merkel hat der R0-Faktor seine Null verloren, löste die verschie­denen Verdop­pelungs­zeiten ab und wird jeden Tag vom Robert-​Koch-​Institut postu­liert, besten­falls geschätzt. Lag er zwischen Kreuzi­gung und Aufer­stehung angeblich noch über 1, so soll er zwischen­zeitlich auf 0,6 gesunken und in den letzten zwei Tagen wieder leicht gestiegen sein. Das ist für mich billige Reak­tion auf einzelne Tages­zahen. Auch erwarte ich, daß man gerade bei vermu­teten schnellen Schwan­kungen keine aktu­ellen R-Faktoren nennt, da man dann nicht gut abschätzen kann, wieviele ein heute Infi­zierter denn tatsäch­lich erwi­schen wird. Als Ausrede könnte man behaupten, die R-Faktoren auf den Zeit­punkt der Weiter­gabe zu beziehen. In jedem Fall ist aber ein gewisser zeitlicher Nachlauf erforder­lich, um von einem R-Faktor mit weniger als dreißig­prozentiger Schwan­kungs­breite reden zu können.

Wenn heute R=0,7 postuliert wird, so kann ich dem trotzdem einiger­maßen zustimmen. Meine die Entwick­lung der Erkrankten von Woche zu Woche verglei­chenden w-Werte sind auch vom letzten Montag auf Mittwoch gestiegen, und zwar von 0,60 auf 0,68. Zu Donnerstag, Freitag, dem gestrigen Samstag und vor allem dem heutigen Sonntag kann ich erst in den nächsten Tagen etwas sagen. Das Robert-​Koch-​Institut wird kaum schlauer sein und kann die R-Faktoren auch nur aus den Zahlen der letzten Tage ableiten. Sie scheinen dabei wohl eine mittlere Inku­bations­zeit von etwa 4 Tagen anzunehmen, womit sich näherungsweise R=w^(4/7) ergibt. Zu meinem w=0,6 am Ostermontag gehörte dann R=0,75.

Was mir bei all dieser Übereinstimmung beim Robert-​Koch-​Institut fehlt, ist das Einge­ständnis fallender Zahlen, egal ob der R-Faktor bei 0,8 oder 0,6 liegt. Es geht im ersten Falle eben nur halb so schnell wie im letzteren. Das ist für die erwar­tete Gesamt­zahl der Erkrankten und Toten nur von margi­naler Bedeu­tung, doch auf den Zeit­punkt des sog. Exits kann der Unter­schied einen gravie­renden Einfluß haben. Deshalb ist es wichtig, jetzt auch den gering­sten Anstieg des R-Faktors zu vermeiden und auch in allen Subkul­turen durch­zusetzen. Denn eines ist klar: Leistet man sich Bevöl­kerungs­gruppen mit einem großen R-Faktor, dann werden sie einen nur schwer zu drückenden Ratten­schwanz bilden

Nicht nur in der Entwicklung von Epidemien machen sich Über­lage­rungen von mehr oder minder getrennten Aspekten bemerkbar. Die Kunst vieler Physiker besteht darin, winzigste Berge im Sumpf eines riesigen Grund­ver­laufes mit Sicher­heit zu erkennen. Davon können Epidemio­logen nur träumen. Bei AIDS war es einfach, weil der Berg der Schwulen leicht von dem nach­lau­fenden der promis­kuren Hetero­sexuellen zu trennen ist, zumal es für den Über­trag einer großen Zahl Bisexu­eller bedurfte. Heute ist AIDS vor allem in Gebieten verbreitet, in denen Sexual­prak­tiken einen hohen R-Faktor favo­risieren, um es einmal moderat auszu­drücken.

Für Corona erwarte ich solche nachfol­genden Berge oder einen Jahr­zehnte über­dau­ernden Ratten­schwanz nicht. Es könnte zum Bei­spiel sein, daß junge Menschen auch ohne Corona-​Partys zunächst unauf­fällig langsam, aber umfassend durch­seucht werden, was erst jetzt oder später auffällt. Auch die schlag­artige Ausbrei­tung in Alten­heimen, Kranken­häusern und anderen Insti­tuti­onen, nachdem dort lange auf eine Erst­infek­tion gewartet werden mußte, kann die Krank­heit zeit­lich ver­schleppen und dadurch ein normales Abklingen behin­dern. Und letztlich muß man auch bedenken, daß seit Karfreitag die Schutz­maßnahmen nicht mehr so ernst genommen werden. Kurz: Es wird bergab gehen, doch nicht so schnell wie eine Normal­vertei­lung erwarten läßt. Das aber war von Anfang an klar, konnte und kann aber quan­titativ nicht vorher­gesagt werden, solange es keine besseren oder über­haupt vernünf­tige Modelle gibt.

Bei aller Kritik am Robert-​Koch-​Institut, so muß ich doch zustimmen, daß der sog. R‑Faktor in den letzten Tagen wieder gestiegen ist und sich viel­leicht von 0,6 auf  0,8 erhöht hat. Das bedeutet zunächst nur, daß die Halb­werts­zeit sich um den Faktor 2,3 verlän­gert, zu Weih­nachten also Ver­hält­nisse zu erwarten sind, die man schon Mitte Juli errei­chen könnte.

Doch leider ist es deutlich risiko­reicher. Resul­tiert der derzei­tige Wert von 0,8 zum Beispiel daraus, daß 99 Pro­zent sich mit 0,6 ver­nünf­tig verhalten, aber eine einpro­zentige Sub­kultur es auf 1,2 bringt, dann könnten die Zahlen nach ein paar Mona­ten wieder anstei­gen, nicht nur bis zur Herden­immu­nität der Sub­kultur bei 500.000 In­fi­zierten. Auch wenn diese Gruppe recht wider­stands­fähig ist und nur 1000 Tote zu ver­zeich­nen hätte, so griffe die Seuche doch wieder auf die Gesamt­gesell­schaft über.

So schlimm wird es nicht kommen. Doch auch die Abkap­selung in Familien­verbände oder andere Gruppen wie Alten­heime können zu klein geschätzte R-Faktoren nach sich ziehen, weil diese Basis- oder Brutto­repro­duk­tions­zahl unter solchen Verhält­nissen größer ist als die beden­kenlos aus der Entwick­lung der Anzah­len abge­leitete Netto­repro­duk­tions­zahl. Das liegt sozu­sagen an einer Herden­immu­nität von Teil­gruppen.

Doch an diese Effekte glaube ich für Corona nicht, denn das Virus muß nicht wie bei AIDS lange Wege von Gruppe zu Gruppe zurück­legen, die extrem unter­schied­liche R-Faktoren aufweisen, glück­licher­weise von fast 0 in mono­gamen Bezie­hungen. Wenn sich am Ende der Corona-​Haupt­epidemie eine gewisse Zähig­keit ein­stellt, ein langer Ratten­schwanz bleibt oder schlimm­sten­falls ein weiterer Berg auftritt, dann liegt es wahr­schein­lich daran, daß die Bevöl­kerung nach­gelassen hat oder die Gegen­maßnahmen zu früh gelockert wurden. Das hat zu Ostern begonnen und ist jetzt am starken Auto­verkehr zu erkennen. Und unter­schied­liche Rege­lungen der Bundes­länder mögen einen Grenz­tou­rismus nach sich ziehen, stärker als der von Bayern nach Hessen zu den Heiligen Drei Königen.

Es ist deshalb richtig, jetzt keine „Öffnungs­diskus­sions­orgien“ zu führen und weitge­hend bei den beste­henden Maßnahmen zu bleiben, bis ein echter Boden­satz von 1000 noch nicht gene­sener Kranken unter­schritten ist. Dazu ist es erfor­der­lich, nicht nur mit hohen Bußgel­dern zu wedeln, sondern auch massen­haft zu erheben. Es nützt nichts, Unver­besser­liche zu ermun­tern, besten­falls zu belehren. Statt Menschen, die auf Mißstände hinweisen, Denun­zianten zu nennen, sollten Ordnungs­ämter ihre Mitar­beiter nicht nur im Auto hin- und herfahren, sondern sie auch einmal aussteigen und kassieren lassen.

Eben sehe ich James Bond, der einen japani­schen Böse­wicht mit Atem­maske über­wältigt, sich als dieser tarnen möchte und sich dessen Maske aufsetzt. Das könnte man zwar auch in Corona-​Zeiten im Dienste für Königin und Eng­land ris­kieren, allge­mein zu empfehlen aber wäre es nicht. Die Zeiten von James Bond sind vorbei, gab es eigent­lich nie: Es wird mir ein großes Ver­gnügen sein, unter ihnen zu arbeiten.

Eben rächt es sich im Bundestag, daß Angela Merkel die Repro­duktionszahl „in den Mittelpunkt gestellt“ hat, die das Robert-​Koch-​Institut schon ab dem 20. März unter 1 gesehen haben will. Für mich ist es ganz einfach: Das Robert-​Koch-​Institut hat gelogen, um die Entwick­lung der letzen Tage nach dem Motto zu drama­tisieren, wir würden das schon längst Erreichte nunmehr verspielen.

Es liegt auf der Hand, wenn Abge­ordnete die Abnahme der Repro­duktions­zahl der allge­meinen Vorsicht nach dem Karneval und den letzten Groß­veran­stal­tungen zuschrei­ben. Die Kon­takt­ein­schrän­kungen hätten kaum noch etwas bewirkt. Und mehr noch die Frage, ob die Bundes­regie­rung die vor deren Anord­nung unter 1 gesun­kene Repro­duktions­zahl verschwiegen habe, um ihre Maßnahmen dem Volke schmack­haft zu machen.

Statt einfach mal zu sagen, das Robert-​Koch-​Institut habe Mist gelabert, windet sich Jens Spahn. Das „Geschehen“ sei „zu komplex“, um es „auf eine einzige Zahl zu redu­zieren“. Im Grunde hat er ja recht, kann oder will aber die Kom­plexi­tät nicht erläu­tern. Ich würde sagen: Bergauf geht es recht leicht, durch allge­meine Diszi­plin kommt es danach zu einer Abfla­chung. Es gibt aber keine natür­liche Symme­trie wie die einer Normal­vertei­lung. Bergab reicht es mehr und mehr nicht, auf die Ein­sicht der Vernünf­tigen zu setzen. Der asoziale Boden­satz gewinnt an Bedeu­tung und muß unter­worfen werden, notfalls mit echter Quarantäne.

Bei Maybritt Illner wird eben wieder „die Grafik“ gezeigt, „über die Deutsch­land spricht“. Sie zeigt die Entwick­lung der Repro­duktions­zahl R vom 2. bzw. 6. März bis zum 9. April. Nicht nur Abgeord­nete, sondern weite Teile der Bevöl­kerung fragen sich nun, warum eine Kontakt­einschrän­kung ab dem 23.­März ange­ordnet wurde, obwohl die Repro­duktions­zahl schon am 20. März unter 1 gefallen war. Ich leite aus meinen wochen­basier­ten w-Werten eine Repro­duktions­zahl R(t)=w(t+r)^(4/7) ab, weil das Robert-​Koch-​Institut von einer Ikuba­tions­zeit von 4 Tagen ausgeht. Den Versatz von 5 Tagen habe ich durch Abgleichung des Maximums ermittelt. Beim Robert-​Koch-​Institut am 10. März fünf Tage vor meinem Maximum. [1]


Aus meinen w-Werten abgeleitete Reproduktionszahlg (png)

Global gesehen fällt eine gute Über­einstim­mung mit der Kurve des Robert-​Koch-​Insti­tutes ins Auge. Doch liegt sie um den kriti­schen 23. März herum etwas höher, vor allem über 1. Ich bin fest davon überzeugt, daß das Robert-​Koch-​Institut auf eigene fehler­hafte Prog­nosen herein­gefallen ist. Ich weiß auch nicht, warum es ohne Erläu­terun­gen eine solche Kurve in die Öffent­lichkeit trägt.

Weniger interessiert scheinen Abgeordnete und Öffent­lichkeit am Steigen der Kurve bis zum 10. März, obwohl es doch völlig unwahr­schein­lich ist, daß die Menschen in dieser Zeit täglich an­stecken­der wurden. Das Robert-​Koch-​Institut spricht von einer effek­tiven Repro­duktions­zahl. Das ist nicht die Rate der wirk­lichen Folge­an­steckun­gen, sondern eine aus der Entwick­lung rück­gerech­nete Zahl, die in ruhigen Zeiten und unter der Annahme einer mitt­leren Inku­bations­zeit von 4 Tagen einer mitt­leren An­steckungs­rate ent­spricht, was immer genau unter Mittel­lung zu verstehen ist. Diese effek­tive Zahl über­steigt die reale erheb­lich, wenn Kranke impor­tiert werden, die in die Rechnung ein­fließen. Ich hätte zumindest von Abgeord­neten, die sich eine fach­liche Bera­tung ange­deihen lassen können, die Frage erwartet, warum man Anfang März Menschen aus Seuchen­gebieten unkon­trol­liert ins Land ließ.

[1] Ich dachte zunächst, es läge daran, daß ich meine Werte zum Zeit­punkt der Weiter­gabe an andere notiere, das Robert-​Koch-​Institut aber zum früheren der Ansteckung der weiter­gebenden Person. Nun lese ich aber, daß das Robert-​Koch-​Institut nur zwei Vier­tages­blöcke ins Ver­hält­nis setzt und dem letzten der acht Tage zuordnet, während ich zwei Wochen nutze und den mitt­leren Tag der zweiten Woche nehme. Das ergibt den glei­chen Tag, also keinen Versatz. Mich verwun­dert deshalb das Abweichen der doch in beiden Verläufen deutlich zu erken­nenden Spitze. Auch die Eben­mäßig­keit des Verlaufes beim Robert-​Koch-​Institut, obwohl er doch auf deutlich weniger Werten beruht und die Wochen­gängig­keit nicht ordent­lich ausgleicht. Es wird daran liegen, daß ich die unregel­mäßigen gemel­deten Zahlen benutze, das Robert-​Koch-​Institut aber den Melde­verzug ausgleicht und wohl auch auf das Ansteckungs­datum rück­datiert. Dadurch werden die Werte glatter und verschieben sich deutlich in die Vergan­genheit. Es könnten im Mittel durchaus die fünf Tage des von mir ange­setzten Versatzes sein. Ich weiß nicht, wie das Robert-​Koch-​Institut sich die Meldungen zurecht­korri­giert und -gerech­net hat, doch ist dadurch „der Berg“, über den wir angeb­lich selbst im April noch nicht waren, dank Rück­datie­rung und damit verbun­dene Verzer­rung des Verlaufes auf den 18. März gewandert. Danach geht es runter, und fünf Tage später mit Beginn der Kontakteinschränkungen liegt deshalb der effektive R-Faktor unter 1. Was ist schief­gelaufen? Ich glaube: Irgend­welche Modell­bildner konnten der Versu­chung nicht wider­stehen, ihre inter­preta­tions­bedürf­tigen Ergeb­nisse zu publi­zieren, und Journa­listen benötigten ein paar Wochen sie auszu­graben, zu hinter­fragen und auszu­schlachten.

Inzwischen spricht sich herum, daß die Verwer­fungen der Basis­repro­duktions­zahl R für vergan­gene Zeiten darauf beruhen, daß die Zahl der Erkrankten mit einem Nowcast genannten Verfahren auf den vermu­teten Zeit­punkt der Ansteckung rück­datiert wurden. Das bewirkte nicht nur ein #shiftthecurve nach links, sondern auch ein #distortthecurve, wodurch sich das Maximum und damit auch der Zeit­punkt für R=1 von Anfang April auf den 16. März verschob. Diese in [1] versteckte Infor­mation geriet ins Fern­sehen und in den Bun­destag. Nun dient sie der Panik­mache: „Neu­infek­tionen sinken nur halb so schnell.“ [2]

Wer seinen Kopf am Hals nicht nur für den Friseur hat, der weiß: Egal wie ich die Anzahlen hin- und her­schiebe, der grobe Verlauf bleibt und die Gesamt­zahl ändert sich nicht. Wer Erkran­kungen rück­datiert und dadurch R zwei Wochen früher sinken läßt, muß dies später durch ein höhe­res R bezahlen. Wenn man den Berg nach links verschiebt, den schon überwun­denen Anstieg steiler macht und den nach­folgenden Abstieg flattet, dann werden abwärts nicht die erhoff­ten R-Werte erreicht. Doch das läuft sich tot. Lange kann es nicht anhalten: Da gemeldete und genow­castete Zahlen nicht mehr als um den Faktor 2 abweichen, kann ein Unter­schied von alten R=0,8 und neuen R=0,9 kaum länger als n=ln2/ln(0,9/0,8)=6 Tage anhalten.

Kurz: Es hat keinen Sinn, zu lavieren und ständig neuen Sichten auf die gleiche Realität nachzu­jagen. Die Basis­repro­duktions­zahl ist Anfang April unter 1 gefallen, zu Kar­frei­tag lag sie bei soli­den 0,75 und stieg wegen der Oster-​Nach­lässig­keiten binnen einer Woche auf 0,9 an. Nach meinen beschei­denen Rech­nungen geht es derzeit wieder bergauf, also abwärts mit R. Die im normalen Verlauf ohne Rück­schläge für heute zu erwar­ten­den 0,5 werden wohl erst erreicht, wenn kein einziger mehr erkrankt. Wir müssen uns also mit einem hart­näcki­gen Ratten­schwanz abfinden. Ob wir ihn einer allge­meinen Ermüdung oder dem Zuwider­handeln weniger zu verdanken haben, wissen wir zur Zeit nicht.

[1] Robert-Koch-Institut: Epidemeologisches Bulletin. 17/2020, 23.04.2020, S. 14.

[2] Björn Schwentker: Corona: Neue Daten stellen Epidemie-​Verlauf infrage. NDR, 26.04.2020.

Vorgestern hörte ich in den Nachrichten, die Basis­repro­duk­tions­zahl sei doch nicht so wichtig. Sofort fragte ich mich, welche neue Kennzahl sie denn nun ablösen soll. Doch im nachfol­genden Beitrag schwadro­nierte Herr Wieler nur, daß die Repro­duktions­zahl ja nur ein Durch­schnitts­wert über ganz Deutsch­land sei. Und obwohl er damit wohl nur späterer Kritik vorbeugen wollte, die unabhängig von der zukünf­tigen Entwick­lung kommen wird, muß ich ihm recht geben und darf wieder­holen: Die ungleiche Vertei­lung des R-Faktors, sei es geogra­phisch oder sozial, verschärft die Lage. Die finsteren Gegenden und die asozi­alen Gruppen könnten sich durch­setzen und den Rest der Repu­blik mitziehen.

Das Robert-​Koch-​Institut sollte diesen Übergang von einer einzigen Zahl zu einer ganzen Palette preisen wie den der klas­sischen zur Quanten­mechanik. An die Stelle einer einzigen skalaren Repro­duktions­zahl tritt ein Repro­duktions­operator, der für zahl­reiche Gruppen beschreibt, wie sehr die eine die andere und sich selbst ansteckt. Dann müssen wir für die lang­fristige Entwick­lung nur den maximalen Eigenwert bestimmen. Und der kann deut­lich über dem Durch­schnitt liegen.

In meiner Modellrechnung nahm ich eine Basis­repro­duktions­zahl R=0,8 zuzüg­lich eines Zuschla­ges von 1 inner­halb einer keinen reni­tenten Gruppe von 5 Pro­zent der Bevöl­kerung an. Erwar­tungs­gemäß ging es den 95 Prozent zwei Wochen lang besser, bis die zwischen­zeitlich stark durch­seuchten 5 Pro­zent alles zunichte machten. Das Ende waren 4 Mil­lio­nen Infizierte. Das verwun­dert nicht, denn die zugehörige R-Matrix [0,76 0,04; 0,76 1,04] hat 1,124 als maxi­malen Eigen­wert, der sich lang­fristig durch­setzt, obwohl der mittlere R-Faktor nur bei 0,85 liegt.

Aber wir werden wohl von solchen drama­tischen Effekten verschont bleiben, denn das Robert-​Koch-​Institut hat aber­mals seinen R-Faktor geändert: Vorgestern noch 0,96 und gestern bereits 0,75. Und weil ihnen gar nichts pein­lich ist, wird auch noch die Umstel­lung von Drei- auf Vier­tages­mittel als Grund nahe­gelegt. Zum einen kann das keinen großen Unter­schied ergeben, zum anderen meine ich, im Zusam­men­hang mit „Nowcast“ von vier Tagen gelesen zu haben. Mit Sicher­heit tobt im Robert-​Koch-​Institut ein Kampf um die R-Hoheit. Ich sollte mich freuen, denn ich habe auf der Basis von Wochen­mitteln als neuesten Wert 0,79 für den 25. April bestimmt.