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Zwölf
wuerg, 07.02.2005 01:14
Die Zwölf ist sicherlich bedeutend, nicht nur als Produkt der beiden heiligen Zahlen drei und vier, zu deren Summe 7=3+4 die bekannte musikalische Beziehung besteht, daß zwölf Quinten recht genau sieben Oktaven umfassen. Das liegt daran, daß 3¹²=531441 nur knapp über 2¹²⁺⁷=524288 liegt, weshalb die gleichstufige Quinte gegenüber der reinen nur um einen hundertstel Ganzton zu klein ist.
Duodezimalzahlen zur Basis zwölf wären zu unseren Dezimalzahlen eine ernsthafte Alternative gewesen, weil zwölf viele Teiler hat. Es gab eine Zeit, da man sich von der 16 verabschiedete und der 12 zuwandte, den Fuß nicht mehr in 16 Finger, sondern in 12 Zoll teilte. Jahrhunderte hielt sich auch das £sd-System [1] mit einer Libra (Pfund) zu 20 Solidi (Schilling), jeder geteilt in 12 Denari (Pence), wie ich es noch aus England kenne. Von wenigen rückständigen Staaten abgesehen hat sich aber das Dezimalsystem nicht nur bei den Zahlen, sondern im gesamten Leben durchgesetzt. Geblieben sind die zwölf Sterne auf der Europaflagge, die zwölf Stunden der Uhr und das Dutzend. [2]
Wie kam es parallel zum Dezimalsystem zu den vielen Zwölfteilungen, nicht nur des Tages, auch der Himmelsrichtungen und Israelis? Ich glaube nicht, daß es an 36 Sternen lag, die den Ägyptern zur Zeit- oder Winkelmessung gedient haben sollen. Plausibler finde ich die Herleitung aus den natürlich vorhandenen zwölf Monaten im Jahr, die zu zwölf Tierkreiszeichen Anlaß gaben. Wenn man sie des nachts zur Zeitmessung verwendete, lagen zwölf Stunden pro Tag nahe, die babylonischen Doppelstunden. [3] Halbierung ergab 24 Stunden. Es hätten aber auch 48 werden können. Die Teilung von Tag und Nacht in jeweils zwölf zunächst nach Jahreszeit ungleiche Stunden führte letztlich zur sog. kleinen Uhr mit zwei Umdrehungen des Stundenzeigers pro Tag. [4]
Zwölf ist die dreidimensionale Kußzahl, denn es lassen sich an eine Kugel bis zu zwölf gleicher Größe anlegen, eine dreizehnte geht nicht, soviel es auch probiert wurde. Anders als in zwei Dimensionen, wo sechs Kreise an einem ohne zu wackeln anliegen und sieben offensichtlich zuviel sind, lassen die zwölf Kugeln genügend Luft für eine dreizehnte. Daß es bei 12 bleibt, bewiesen erst 1953 Kurt Schütte und Bartel Leendert van der Waerden, dessen berühmte Lehrbücher der Algebra einfach „van der Waerden I und II“ heißen. [5]
Der Dodekaeder wird aus zwölf Fünfecken gebildet, entsprechend hat der Ikosaeder zwölf Ecken. Der Würfel hat zwölf Kanten, damit auch der Oktaeder. Die Wurzel aus zwei wird durch 17/12=1,417 besser genähert als durch 7/5 oder 10/7, kann aber gegen die 11‑glatte 99/70=1,41429 nicht anstinken. Bleiben die ziffernvertauschten Quadrate 144 und 441 der ziffernvertauschten 12 bzw. 21, was aber einfach den sehr kleinen Ziffern 1 und 2 geschuldet ist. Und nicht zu vergessen die durch Sheldon Cooper bekannte Tatsache, daß 37 und 73 die 12. bzw. 21. Primzahl sind.
Zwölf ist der kleinste Teilerprotz, denn die Summe 1+2+3+4+6=16 ihrer Teiler ist größer als 12 selbst. [6] Sie ist auch die kleinste Zahl mit mehr als vier Teilern. Es sind sogar sechs. Und weil sowohl Teileranzahl 6 als auch Teilersumme 28 vollkommen sind, hat sich irgendwer dafür die Bezeichnung erhaben ausgedacht, um so an sehr seltene Zahlen zu kommen, von denen zwölf die kleinste ist. Eine weitere mit 76 Stellen ist bekannt, sonst nix.
Zwölf ist die dritte Fünfeckzahl. Die erste Figur des vorstehenden Bildes zeigt ihre Entstehung nach dem Bildungsgesetz 1+4+7=12. Die zweite formt dieses Gebilde zu einer kompakten Figur in Form eines Hauses, dem man in der dritten die für alle Fünfeckzahlen mögliche Zusammensetzung aus Quadrat und Dreieck entnehmen kann. Wem es gefällt, kann die ebenso allgemeine Zerlegung in ein großes und zwei kleinere Dreiecke bevorzugen.
Unter den vielen pythagoreischen Tripeln, also den Lösungen von x²+y²=z² gibt es nur eines mit aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, das allseits bekannte 3²+4²=5². Doch wie steht es mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen, mit drei links und zwei rechts vom Gleichheitszeichen? Auch diese einzige Lösung kann man schnell finden: 10²+11²+12²=13²+14². Die Summe ist übrigens so groß wie das Jahr Tage hat, nämlich 365. Ich erwähne diese Beziehung hier, weil 12 die mittlere der fünf Zahlen ist. Verallgemeinert man auf k+1 Summanden links und k rechts, so ergibt sich für die mittlere Zahl das Vierfache der k‑ten Dreieckszahl. Im Falle k=2 also 4·D(2)=4·3=12.
Ich verzichte hier darauf, die bis auf Drehung und Spiegelung 12 der insgesamt 92 Möglichkeiten darzustellen, acht Damen derart auf ein Schachbrett zu stellen, daß sie sich nicht gegenseitig schlagen. Ich lasse es als eine nette Aufgabe, die eine von den zwölfen zu finden, die unter Rotation um 180 Grad in sich selbst übergeht. Ihretwegen sind es insgesamt 11·8+1·4=92 und nicht 96 Lösungen. Ist es zu mühsam, einfach in der Wikipedia unter Damenproblem nachsehen.
Bleibt die Bibel. Gerhard Kringe [7] schreibt: „Die Zahl ‚12‘ spielt in Verbindung mit Israel eine große Rolle. Da diese Zahl für den Kosmos steht, ist es ein Hinweis, daß Israel seine Aufgaben im Kosmos, bzw. auf dieser Erde hat.“ Ohne gerade als Deutscher die Rolle Israels schmälern zu wollen, ist es doch eher umgekehrt: Zwölf war und ist den Juden wichtig und steht deshalb manchem für den Kosmos. Und weiter: „Diese Zahl zieht sich durch die ganze Bibel. Es ist die Zahl der Monate (Monde) und der Tierkreiszeichen […] Israel 12 Stämme hat, daß Jesus 12 Jünger […] im neuen Jerusalem sind die 12 Tore aus 12 Perlen gemacht. Die Bäume des Lebens tragen 12 mal Frucht im Jahr.“ Unbestritten spielt die Zwölf im Leben der Menschen noch heute eine große Rolle, doch wird sie einfach hingenommen, ohne einen Gedanken an ko(s)mische Beziehungen zu verschwenden: „In dieser Zahl 12 ist 2 mal die Zahl des Menschen enthalten (6) […] finden wir in den 24 Ältesten 2 mal die Zahl 12. Bei dieser Zahl 24 geht es um Vollmacht und Vollendung.“
[1] Natürlich kann man Libra-Solidus-Denarius als Lsd schreiben, doch gibt es im Unicode auch mehrere Pfundzeichen, nur nicht das deutsche. In £sd ist es das kursive aus dem ASCII-Code.
[2] Vergessen sind Stiege (20 oder 24), Schock (60), groß Hundert (120), Gros (144) und groß Gros (1728).
[3] Trotz des Sexagesimalsystems wurden die Doppelstunden in nur 30 ‚Minuten‘ gegliedert, was wohl dem Monat zu 30 Tagen nachempfunden war. Dadurch entsprach ein Tag im Jahr etwa einer ‚Minute‘ des Tages. Bei abermaliger Teilung in 360 ‚Sekunden‘ wären diese 2/3 heutige Sekunden lang. Ein Stabpendel von 0,6615 Metern benötigt auf dem 30. Breitengrad diese Zeit für eine Halbschwingung. Das sind genau zwei reale Gudeafuß. Es ist also plausibel, daß Gudea sein reales Längenmaß vom Sekundenpendel ableitete, ohne die moderne Sekunde zu kennen.
[4] Wenn man nur bis zwölf schlägt, ist es naheliegend und mechanisch von Vorteil, zweimal umlaufen zu lassen. Ein Nachteil besteht darin, daß Süden nicht ungefähr auf der Mittagszeit (in Deutschland etwa 12:30 im Winter und 13:30 im Sommer) liegt, wenn man den Stundenzeiger auf die Sonne richtet, sondern auf der Winkelhalbierenden zwischen Stundenzeiger und Mittagszeit. Das alles ist natürlich kein Grund, die Uhrzeit zweimal von 1:00 bis 12:59 durchzuzählen. Vor allem nicht 12:00pm auf 11:59am und 1:00am auf 12:59am folgen zu lassen. Und welcher Amerikaner weiß schon, daß noon mehrheitlich 12:00pm und nicht 12:00am ist? Man komme ihm nicht mit Plausibilität, weil eine Sekunde nach Mittag ja 12:00:01pm sei.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mindestkußzahlen A002336. Nur für Dimensionen 1, 2, 3, 4, 8 und 24 als exakt bekannt.
[6] Das klingt schöner als: Eine Zahl n heißt Teilerprotz, wenn die Summe ihrer Teiler größer als 2n ist. Alternativ könnte man sagen, die Summe der echten Teiler muß größer als n selbst sein, muß sich aber fragen lassen, warum 1 mitzählt.
[7] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
3 | 4 | 7 | 11 | 13 | 196560 | Fünfeckzahlen | heilige Zahlen | Quinte | Sekundenpendel
Duodezimalzahlen zur Basis zwölf wären zu unseren Dezimalzahlen eine ernsthafte Alternative gewesen, weil zwölf viele Teiler hat. Es gab eine Zeit, da man sich von der 16 verabschiedete und der 12 zuwandte, den Fuß nicht mehr in 16 Finger, sondern in 12 Zoll teilte. Jahrhunderte hielt sich auch das £sd-System [1] mit einer Libra (Pfund) zu 20 Solidi (Schilling), jeder geteilt in 12 Denari (Pence), wie ich es noch aus England kenne. Von wenigen rückständigen Staaten abgesehen hat sich aber das Dezimalsystem nicht nur bei den Zahlen, sondern im gesamten Leben durchgesetzt. Geblieben sind die zwölf Sterne auf der Europaflagge, die zwölf Stunden der Uhr und das Dutzend. [2]
Wie kam es parallel zum Dezimalsystem zu den vielen Zwölfteilungen, nicht nur des Tages, auch der Himmelsrichtungen und Israelis? Ich glaube nicht, daß es an 36 Sternen lag, die den Ägyptern zur Zeit- oder Winkelmessung gedient haben sollen. Plausibler finde ich die Herleitung aus den natürlich vorhandenen zwölf Monaten im Jahr, die zu zwölf Tierkreiszeichen Anlaß gaben. Wenn man sie des nachts zur Zeitmessung verwendete, lagen zwölf Stunden pro Tag nahe, die babylonischen Doppelstunden. [3] Halbierung ergab 24 Stunden. Es hätten aber auch 48 werden können. Die Teilung von Tag und Nacht in jeweils zwölf zunächst nach Jahreszeit ungleiche Stunden führte letztlich zur sog. kleinen Uhr mit zwei Umdrehungen des Stundenzeigers pro Tag. [4]
Zwölf ist die dreidimensionale Kußzahl, denn es lassen sich an eine Kugel bis zu zwölf gleicher Größe anlegen, eine dreizehnte geht nicht, soviel es auch probiert wurde. Anders als in zwei Dimensionen, wo sechs Kreise an einem ohne zu wackeln anliegen und sieben offensichtlich zuviel sind, lassen die zwölf Kugeln genügend Luft für eine dreizehnte. Daß es bei 12 bleibt, bewiesen erst 1953 Kurt Schütte und Bartel Leendert van der Waerden, dessen berühmte Lehrbücher der Algebra einfach „van der Waerden I und II“ heißen. [5]
Der Dodekaeder wird aus zwölf Fünfecken gebildet, entsprechend hat der Ikosaeder zwölf Ecken. Der Würfel hat zwölf Kanten, damit auch der Oktaeder. Die Wurzel aus zwei wird durch 17/12=1,417 besser genähert als durch 7/5 oder 10/7, kann aber gegen die 11‑glatte 99/70=1,41429 nicht anstinken. Bleiben die ziffernvertauschten Quadrate 144 und 441 der ziffernvertauschten 12 bzw. 21, was aber einfach den sehr kleinen Ziffern 1 und 2 geschuldet ist. Und nicht zu vergessen die durch Sheldon Cooper bekannte Tatsache, daß 37 und 73 die 12. bzw. 21. Primzahl sind.
Zwölf ist der kleinste Teilerprotz, denn die Summe 1+2+3+4+6=16 ihrer Teiler ist größer als 12 selbst. [6] Sie ist auch die kleinste Zahl mit mehr als vier Teilern. Es sind sogar sechs. Und weil sowohl Teileranzahl 6 als auch Teilersumme 28 vollkommen sind, hat sich irgendwer dafür die Bezeichnung erhaben ausgedacht, um so an sehr seltene Zahlen zu kommen, von denen zwölf die kleinste ist. Eine weitere mit 76 Stellen ist bekannt, sonst nix.
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Zwölf als dritte Fünfeckzahl (png)Zwölf ist die dritte Fünfeckzahl. Die erste Figur des vorstehenden Bildes zeigt ihre Entstehung nach dem Bildungsgesetz 1+4+7=12. Die zweite formt dieses Gebilde zu einer kompakten Figur in Form eines Hauses, dem man in der dritten die für alle Fünfeckzahlen mögliche Zusammensetzung aus Quadrat und Dreieck entnehmen kann. Wem es gefällt, kann die ebenso allgemeine Zerlegung in ein großes und zwei kleinere Dreiecke bevorzugen.
Unter den vielen pythagoreischen Tripeln, also den Lösungen von x²+y²=z² gibt es nur eines mit aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, das allseits bekannte 3²+4²=5². Doch wie steht es mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen, mit drei links und zwei rechts vom Gleichheitszeichen? Auch diese einzige Lösung kann man schnell finden: 10²+11²+12²=13²+14². Die Summe ist übrigens so groß wie das Jahr Tage hat, nämlich 365. Ich erwähne diese Beziehung hier, weil 12 die mittlere der fünf Zahlen ist. Verallgemeinert man auf k+1 Summanden links und k rechts, so ergibt sich für die mittlere Zahl das Vierfache der k‑ten Dreieckszahl. Im Falle k=2 also 4·D(2)=4·3=12.
Ich verzichte hier darauf, die bis auf Drehung und Spiegelung 12 der insgesamt 92 Möglichkeiten darzustellen, acht Damen derart auf ein Schachbrett zu stellen, daß sie sich nicht gegenseitig schlagen. Ich lasse es als eine nette Aufgabe, die eine von den zwölfen zu finden, die unter Rotation um 180 Grad in sich selbst übergeht. Ihretwegen sind es insgesamt 11·8+1·4=92 und nicht 96 Lösungen. Ist es zu mühsam, einfach in der Wikipedia unter Damenproblem nachsehen.
Bleibt die Bibel. Gerhard Kringe [7] schreibt: „Die Zahl ‚12‘ spielt in Verbindung mit Israel eine große Rolle. Da diese Zahl für den Kosmos steht, ist es ein Hinweis, daß Israel seine Aufgaben im Kosmos, bzw. auf dieser Erde hat.“ Ohne gerade als Deutscher die Rolle Israels schmälern zu wollen, ist es doch eher umgekehrt: Zwölf war und ist den Juden wichtig und steht deshalb manchem für den Kosmos. Und weiter: „Diese Zahl zieht sich durch die ganze Bibel. Es ist die Zahl der Monate (Monde) und der Tierkreiszeichen […] Israel 12 Stämme hat, daß Jesus 12 Jünger […] im neuen Jerusalem sind die 12 Tore aus 12 Perlen gemacht. Die Bäume des Lebens tragen 12 mal Frucht im Jahr.“ Unbestritten spielt die Zwölf im Leben der Menschen noch heute eine große Rolle, doch wird sie einfach hingenommen, ohne einen Gedanken an ko(s)mische Beziehungen zu verschwenden: „In dieser Zahl 12 ist 2 mal die Zahl des Menschen enthalten (6) […] finden wir in den 24 Ältesten 2 mal die Zahl 12. Bei dieser Zahl 24 geht es um Vollmacht und Vollendung.“
[1] Natürlich kann man Libra-Solidus-Denarius als Lsd schreiben, doch gibt es im Unicode auch mehrere Pfundzeichen, nur nicht das deutsche. In £sd ist es das kursive aus dem ASCII-Code.
[2] Vergessen sind Stiege (20 oder 24), Schock (60), groß Hundert (120), Gros (144) und groß Gros (1728).
[3] Trotz des Sexagesimalsystems wurden die Doppelstunden in nur 30 ‚Minuten‘ gegliedert, was wohl dem Monat zu 30 Tagen nachempfunden war. Dadurch entsprach ein Tag im Jahr etwa einer ‚Minute‘ des Tages. Bei abermaliger Teilung in 360 ‚Sekunden‘ wären diese 2/3 heutige Sekunden lang. Ein Stabpendel von 0,6615 Metern benötigt auf dem 30. Breitengrad diese Zeit für eine Halbschwingung. Das sind genau zwei reale Gudeafuß. Es ist also plausibel, daß Gudea sein reales Längenmaß vom Sekundenpendel ableitete, ohne die moderne Sekunde zu kennen.
[4] Wenn man nur bis zwölf schlägt, ist es naheliegend und mechanisch von Vorteil, zweimal umlaufen zu lassen. Ein Nachteil besteht darin, daß Süden nicht ungefähr auf der Mittagszeit (in Deutschland etwa 12:30 im Winter und 13:30 im Sommer) liegt, wenn man den Stundenzeiger auf die Sonne richtet, sondern auf der Winkelhalbierenden zwischen Stundenzeiger und Mittagszeit. Das alles ist natürlich kein Grund, die Uhrzeit zweimal von 1:00 bis 12:59 durchzuzählen. Vor allem nicht 12:00pm auf 11:59am und 1:00am auf 12:59am folgen zu lassen. Und welcher Amerikaner weiß schon, daß noon mehrheitlich 12:00pm und nicht 12:00am ist? Man komme ihm nicht mit Plausibilität, weil eine Sekunde nach Mittag ja 12:00:01pm sei.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mindestkußzahlen A002336. Nur für Dimensionen 1, 2, 3, 4, 8 und 24 als exakt bekannt.
[6] Das klingt schöner als: Eine Zahl n heißt Teilerprotz, wenn die Summe ihrer Teiler größer als 2n ist. Alternativ könnte man sagen, die Summe der echten Teiler muß größer als n selbst sein, muß sich aber fragen lassen, warum 1 mitzählt.
[7] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.
3 | 4 | 7 | 11 | 13 | 196560 | Fünfeckzahlen | heilige Zahlen | Quinte | Sekundenpendel
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Elf
wuerg, 06.02.2005 01:12
Die Zahl Elf liegt ungünstig zwischen zehn und zwölf, eins zuviel oder eins zuwenig. Streicht man Judas, bleiben elf Jünger. Der Elferrat mag die spaßige Antwort auf sich wichtig machende Gremien aus zehn oder zwölf Personen gewesen sein. Sich für Freigeister haltende Jecken vereinnahmen auch Egalite, Liberte, Fraternite (ELF), obwohl es eigentlich LEF heißen müßte. In jedem Falle hat sich die Elf im Karneval festgefressen, weshalb die Kampagne am 11.11. um 11 Uhr 11 beginnt. Sie sollte mit dem Fastnachtsdienstag 47 Tage vor dem Osterfest enden. Im Jahre 1971 fiel das auf den 11. April, und 11, 22 und 33 Jahre später wieder, also auch letztes Jahr. Kein Wunder, denn der Abstand von elf Jahren im Osterdatum tritt häufig auf. Normalerweise gibt es alle vier Jahre ein Schaltjahr. Jedes Datum fällt dann in 28 Jahren viermal auf den gleichen Wochentag, im Abstand von 6, 11, 6 und 5 Jahren. Nach den drei Abständen 5+6, 11 und 6+5 liegt der Vollmond keine zwei Tage früher, daß bis zu viermal hintereinander der Osterabstand von 11 Jahren entstehen kann. Der fast exakte Zyklus von 235 Vollmonden innerhalb von 19 Jahren spielt keine Rolle, weil deren 6939 und ausnahmsweise 6938 Tage nicht durch sieben teilbar sind.
Eine Fußballmannschaft aus zehn Feldspielern und einem Torwart wird einfach Elf genannt. Unter dem Filenamen Busenelf habe ich zwei fast nackte Frauenmannschaften von vorne und hinten abgelegt, die Rudi Völler vor seinem Spiel gegen Tschechien 2004 motivieren sollten. [1] In der allwissenden Müllhalde konnte ich sie 15 Jahre später nicht mehr finden. Das waren wohl gerade noch Zeiten, da man ungestraft solche Bilder zeigen und dazu von Mannschaften sprechen durfte. Ein Jahr später las ich: Zum Auftakt des Länderspiel-Jahres 2005 musste sich die Verlegenheitself von Jürgen Klinsmann mit einem 2:2 (2:1) gegen den zweifachen Weltmeister Argentinien begnügen. Da Fußball eine emotional aufreibende Sache ist, wird es viele weitere Elfen geben, auch Siegerelfen. Ich habe mich hier mit den einzigen begnügt, an die ich mich erinnern kann. Mein Interesse an Fußball ist nämlich sehr bescheiden. Ich weiß aber, daß der Elfmeterpunkt drei Zentimeter näher am Tor liegt, weil es nur 12 Yard sind.
Ins englische Maßsystem rutschte die Elf wohl durch 99/70 als Näherung der Wurzel aus 2 zur Messung der Fläche über die Diagonale. Deshalb gibt es die englische Rute (Rod) von etwa 5 Metern aus 11 halben Yard (Cubit). Eine Meile umfaßt 320 Rod, also 160·11=1760 Yard, etwa 1,6 Kilometer. Amerikanische Stadtblöcke halten sich gerne an dieses Rod-Maß. Ein kleines quadratisches Grundstück von 10 Rod Länge und Breite hat 2529,285 Quadratmeter. Das sind recht genau die 2529,346 des römischen Iugerum (Joch), wenn ich den metrologischen römischen Fuß zugrundelege. Es ist also durchaus plausibel, daß man sich mit dem Rod am römischen Maßsystem orientierte. [2] Auch wenn damals die absoluten Maße nicht sehr genau waren, ging man dennoch davon aus, daß 36 pes genau 35 foot umfaßten. [3] Zusammen mit den 99/70 für die Wurzel aus 2 gelangte man so zu den 16,5 Fuß eines Rod und damit zu einem Faktor 11 nicht nur im angloamerikanischen Maßsystem.
Die Elf ist eine sog. Repunit, eine Schnapszahl aus lauter Einsen. [4] Für manche mag sie die kleinste sein, weil man einstellige nicht mitzählt, für andere ist sie gar keine, weil mindestens drei Ziffern erforderlich seien. Man kann aber noch brutaler denken und jede Zahl (10ⁿ−1)/9 Repunit nennen. Dann wäre die Null eine nullstellige Repunit. Diese unterschiedlichen Auffassungen sind kein Problem unter denkenden Menschen und Außerirdischen. Im Internet aber versammeln sich gerne Neunmalkluge und antworten auf die Frage, ob es prime Schnapszahlen gäbe: Ja, die Elf. Aber es gibt auch Vernünftige, die auf 19 und 23 Einsen in Folge aufmerksam machen, den beiden kürzesten der wenigen bekannten primen Repunit nach der Elf. [5]
Da man eine Pizza mit vier geraden Schnitten in 11 Stücke teilen kann, ist 11 die vierte Pizzazahl. [6] Ganz allgemein ist mit n Schnitten ein Stück mehr zu erzielen als die zugehörige Dreieckszahl angibt. Wer es elegant probieren will: Pentagramm-Stern auf die Pizza malen und vier der fünf Kanten zu Schnitten verlängern. Alle Schnitte kreuzen sich. Mehr Stücke gehen nicht, es sei denn, man kauft eine üblicherweise mit vier Schnitten geachtelte Pizza und teilt sie in den sozialen Medien. Manchmal kann man im Mittenmatsch noch die drei fehlenden Stücke erahnen.
Makabere Berühmtheit färbt vom Terroranschlag am 11. September 2001 ab. Verschwörungstheoretiker finden immer etwas. So ist 9/11 mit der Quersumme 9+1+1=11 der 254. Tag im Jahre 2001 mit der gleichen Quersumme 2+5+4=11. In den beiden Flugzeugen sollen 92 bzw. 65 Passagiere mit 9+2=6+5=11 gesessen haben. Die Wikipedia nennt 155 statt 157. Dieser kleine Unterschied ist numerologisch so tödlich wie einer von einer Million. Aber dank 1+5+5=11 wäre noch etwas zu retten. Die Amerikaner schlugen einen Monat später am 07.10.2001 in Afghanistan zurück und töteten nach zehn Jahren am 02.05.2011 Osama Bin Laden. Wieder sind die Quersummen 11. Leicht findet man auch passende Begriffe mit elf Buchstaben: Afghanistan, New York City, The Pentagon. Wie gut, daß man einen Artikel voranstellen kann! Am besten ist aber die Darstellung der beiden Türme als 11, wobei pikanterweise nicht unerwähnt bleibt, daß die 1 für einen Phallus steht. Manche Menschen haben eben viel Phantasie.
Was bleibt mathematisch? Aus 11=10+1 ergibt sich die Regel, daß eine Zahl durch 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme es ist. Eine Mersenne-Zahl, also eine Zweierpotenz minus eins, kann nur prim sein, wenn auch der Exponent prim ist. Für 2, 3, 5 und 7 ist das der Fall, denn 3, 7, 31 und 127 sind prim. Für 11 wegen 2^11−1=2047=23·89 erstmalig nicht. [7] Das ist erwähnenswert, weil man sich auf der Suche nach sehr großen Primzahlen gerne an Mersenne-Zahlen hält. Schließlich kommt die Elf noch in verschiedenen Anzahlen vor, die ich aber nicht aufzähle, weil ich mich zu lange sachkundig machen müßte, um zu überprüfen, daß es nicht zehn oder zwölf sind und es neben der Elf nicht eine ganze Reihe von Zahlen mit ähnlichen Eigenschaften gibt.
[1] Zwischenzeitlich fand ich die Busenelf in den Tiefen meines Dateisystems, verkneife mir aber hier eine Wiedergabe.
[2] Ganz so einfach ist es nicht. Wie der Mensch nicht vom Affen abstammt, so der englische nicht vom römischen Fuß. Vielmehr haben auch sie beide einen gemeinsamen Vorfahren. Aus der 30‑fingrigen Nippurelle entstand durch den Faktor 96/100 (Gudea paßte die 96 Finger des Klafters auf 100 an) das ideale Gudeamaß. Durch zweifache Teilung der Elle in 28 statt 30 Finger, ergab sich zunächst das ptolomäische Ellenmaß und daraus die altenglischen Maße. Die Römer übernahmen die altägyptischen Maße, die nur einmal durch den Faktor 30/28 aus den ursprünglichen hervorgingen. Da sowohl pes als auch foot 16‑fingrig sind (engl. digit, nicht finger) stehen beide im Verhältnis 35:36. Macht man sich pes=29,62 cm zu eigen, so foot=30,466 cm in sehr guter Übereinstimmung mit der modernen Anpassung an das metrische System mit 30,48 cm.
[3] Hier ist eine gute Gelegenheit darauf hinzuweisen, daß Maßangaben im allgemeinen nicht dekliniert werden.
[4] Weil die Begriffsbildung in der Wissenschaft nicht mehr in deutscher, sondern in englischer Sprache erfolgt, gibt es gelegentlich keine schönen Übersetzungen. Durch die manchmal rigorose englische Wortbildung wird das noch befördert. Und so nehme ich hier Abstand von mir gekünstelt vorkommenden Bezeichnungen wie Einserkolonnen.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellenzahl primer Repunits A004023.
[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Pizzazahlen A000124.
[7] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Exponenten primer Mersenne-Zahlen A000043.
10 | 12 | Dreieckszahlen | Teilbarkeitsregeln
Eine Fußballmannschaft aus zehn Feldspielern und einem Torwart wird einfach Elf genannt. Unter dem Filenamen Busenelf habe ich zwei fast nackte Frauenmannschaften von vorne und hinten abgelegt, die Rudi Völler vor seinem Spiel gegen Tschechien 2004 motivieren sollten. [1] In der allwissenden Müllhalde konnte ich sie 15 Jahre später nicht mehr finden. Das waren wohl gerade noch Zeiten, da man ungestraft solche Bilder zeigen und dazu von Mannschaften sprechen durfte. Ein Jahr später las ich: Zum Auftakt des Länderspiel-Jahres 2005 musste sich die Verlegenheitself von Jürgen Klinsmann mit einem 2:2 (2:1) gegen den zweifachen Weltmeister Argentinien begnügen. Da Fußball eine emotional aufreibende Sache ist, wird es viele weitere Elfen geben, auch Siegerelfen. Ich habe mich hier mit den einzigen begnügt, an die ich mich erinnern kann. Mein Interesse an Fußball ist nämlich sehr bescheiden. Ich weiß aber, daß der Elfmeterpunkt drei Zentimeter näher am Tor liegt, weil es nur 12 Yard sind.
Ins englische Maßsystem rutschte die Elf wohl durch 99/70 als Näherung der Wurzel aus 2 zur Messung der Fläche über die Diagonale. Deshalb gibt es die englische Rute (Rod) von etwa 5 Metern aus 11 halben Yard (Cubit). Eine Meile umfaßt 320 Rod, also 160·11=1760 Yard, etwa 1,6 Kilometer. Amerikanische Stadtblöcke halten sich gerne an dieses Rod-Maß. Ein kleines quadratisches Grundstück von 10 Rod Länge und Breite hat 2529,285 Quadratmeter. Das sind recht genau die 2529,346 des römischen Iugerum (Joch), wenn ich den metrologischen römischen Fuß zugrundelege. Es ist also durchaus plausibel, daß man sich mit dem Rod am römischen Maßsystem orientierte. [2] Auch wenn damals die absoluten Maße nicht sehr genau waren, ging man dennoch davon aus, daß 36 pes genau 35 foot umfaßten. [3] Zusammen mit den 99/70 für die Wurzel aus 2 gelangte man so zu den 16,5 Fuß eines Rod und damit zu einem Faktor 11 nicht nur im angloamerikanischen Maßsystem.
Die Elf ist eine sog. Repunit, eine Schnapszahl aus lauter Einsen. [4] Für manche mag sie die kleinste sein, weil man einstellige nicht mitzählt, für andere ist sie gar keine, weil mindestens drei Ziffern erforderlich seien. Man kann aber noch brutaler denken und jede Zahl (10ⁿ−1)/9 Repunit nennen. Dann wäre die Null eine nullstellige Repunit. Diese unterschiedlichen Auffassungen sind kein Problem unter denkenden Menschen und Außerirdischen. Im Internet aber versammeln sich gerne Neunmalkluge und antworten auf die Frage, ob es prime Schnapszahlen gäbe: Ja, die Elf. Aber es gibt auch Vernünftige, die auf 19 und 23 Einsen in Folge aufmerksam machen, den beiden kürzesten der wenigen bekannten primen Repunit nach der Elf. [5]
Da man eine Pizza mit vier geraden Schnitten in 11 Stücke teilen kann, ist 11 die vierte Pizzazahl. [6] Ganz allgemein ist mit n Schnitten ein Stück mehr zu erzielen als die zugehörige Dreieckszahl angibt. Wer es elegant probieren will: Pentagramm-Stern auf die Pizza malen und vier der fünf Kanten zu Schnitten verlängern. Alle Schnitte kreuzen sich. Mehr Stücke gehen nicht, es sei denn, man kauft eine üblicherweise mit vier Schnitten geachtelte Pizza und teilt sie in den sozialen Medien. Manchmal kann man im Mittenmatsch noch die drei fehlenden Stücke erahnen.
Makabere Berühmtheit färbt vom Terroranschlag am 11. September 2001 ab. Verschwörungstheoretiker finden immer etwas. So ist 9/11 mit der Quersumme 9+1+1=11 der 254. Tag im Jahre 2001 mit der gleichen Quersumme 2+5+4=11. In den beiden Flugzeugen sollen 92 bzw. 65 Passagiere mit 9+2=6+5=11 gesessen haben. Die Wikipedia nennt 155 statt 157. Dieser kleine Unterschied ist numerologisch so tödlich wie einer von einer Million. Aber dank 1+5+5=11 wäre noch etwas zu retten. Die Amerikaner schlugen einen Monat später am 07.10.2001 in Afghanistan zurück und töteten nach zehn Jahren am 02.05.2011 Osama Bin Laden. Wieder sind die Quersummen 11. Leicht findet man auch passende Begriffe mit elf Buchstaben: Afghanistan, New York City, The Pentagon. Wie gut, daß man einen Artikel voranstellen kann! Am besten ist aber die Darstellung der beiden Türme als 11, wobei pikanterweise nicht unerwähnt bleibt, daß die 1 für einen Phallus steht. Manche Menschen haben eben viel Phantasie.
Was bleibt mathematisch? Aus 11=10+1 ergibt sich die Regel, daß eine Zahl durch 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme es ist. Eine Mersenne-Zahl, also eine Zweierpotenz minus eins, kann nur prim sein, wenn auch der Exponent prim ist. Für 2, 3, 5 und 7 ist das der Fall, denn 3, 7, 31 und 127 sind prim. Für 11 wegen 2^11−1=2047=23·89 erstmalig nicht. [7] Das ist erwähnenswert, weil man sich auf der Suche nach sehr großen Primzahlen gerne an Mersenne-Zahlen hält. Schließlich kommt die Elf noch in verschiedenen Anzahlen vor, die ich aber nicht aufzähle, weil ich mich zu lange sachkundig machen müßte, um zu überprüfen, daß es nicht zehn oder zwölf sind und es neben der Elf nicht eine ganze Reihe von Zahlen mit ähnlichen Eigenschaften gibt.
[1] Zwischenzeitlich fand ich die Busenelf in den Tiefen meines Dateisystems, verkneife mir aber hier eine Wiedergabe.
[2] Ganz so einfach ist es nicht. Wie der Mensch nicht vom Affen abstammt, so der englische nicht vom römischen Fuß. Vielmehr haben auch sie beide einen gemeinsamen Vorfahren. Aus der 30‑fingrigen Nippurelle entstand durch den Faktor 96/100 (Gudea paßte die 96 Finger des Klafters auf 100 an) das ideale Gudeamaß. Durch zweifache Teilung der Elle in 28 statt 30 Finger, ergab sich zunächst das ptolomäische Ellenmaß und daraus die altenglischen Maße. Die Römer übernahmen die altägyptischen Maße, die nur einmal durch den Faktor 30/28 aus den ursprünglichen hervorgingen. Da sowohl pes als auch foot 16‑fingrig sind (engl. digit, nicht finger) stehen beide im Verhältnis 35:36. Macht man sich pes=29,62 cm zu eigen, so foot=30,466 cm in sehr guter Übereinstimmung mit der modernen Anpassung an das metrische System mit 30,48 cm.
[3] Hier ist eine gute Gelegenheit darauf hinzuweisen, daß Maßangaben im allgemeinen nicht dekliniert werden.
[4] Weil die Begriffsbildung in der Wissenschaft nicht mehr in deutscher, sondern in englischer Sprache erfolgt, gibt es gelegentlich keine schönen Übersetzungen. Durch die manchmal rigorose englische Wortbildung wird das noch befördert. Und so nehme ich hier Abstand von mir gekünstelt vorkommenden Bezeichnungen wie Einserkolonnen.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellenzahl primer Repunits A004023.
[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Pizzazahlen A000124.
[7] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Exponenten primer Mersenne-Zahlen A000043.
10 | 12 | Dreieckszahlen | Teilbarkeitsregeln
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Zehn
wuerg, 06.02.2005 00:52
Die Zahl Zehn ist sicherlich bedeutend, doch im wesentlichen nur wegen eines einzigen Umstandes, nämlich der üblichen Darstellung der Zahlen mit zehn Ziffern, dem Dezimalsystem. Bevor man eine Zahl wegen einer Eigenschaft rühmt, die sich allein aus ihrer Dezimaldarstellung ergibt, sollte man sich immer fragen, ob vergleichbare Bedeutung nicht einer ganzen Reihe anderer Zahlen zu anderen Basen ebenfalls zukommt. Es ist sicherlich ein guter Sport, Besonderheiten der Basis 10 zu finden, um sie unter anderen herauszuheben. Nur sollten sie nicht konstruiert, sondern schlicht und einfach sein. Fünf Finger an jeder Hand sind allenfalls eine gute Erklärung für unsere Entscheidung, mehr nicht.
Der für Vollkommenheit stehenden Zahlen ist kein Ende. Nach acht und neun nun auch zehn. Nicht zuletzt wegen der zehn Gebote, wovon nach Luther die ersten drei auf der einen und die letzten sieben auf der anderen Tafel stehen sollen. Das bestärkt die Heiligkeit der 10=3+7 als Summe zweier anderer heiliger Zahlen, kann aber auch reininterpretiert sein, zumal Reihenfolge und Zusammenfassung sich nach Glaubensrichtung unterscheiden. Schon in der Bibel gibt es mehrere Versionen, die nicht durchnumeriert sind. Deshalb ist es wohl umgekehrt: Es gibt nicht zwölf Gebote gemäß den Stämmen Israels, sondern nur zehn, weil wir dezimal denken und uns ein Dekalog gut in den Kram paßt.
Als Summe der ersten vier Zahlen ist 1+2+3+4=10 die vierte Dreieckszahl, eine Tetraktys genannte Vierheit, die naturgemäß gerne wie die Kegel beim Bowling als Dreieck dargestellt wird. Das zeigt die zweite Figur im nachstehenden Bild. Die erste versucht eine Veranschaulichung von 10=1+3+6 als dritter zentrierter Dreieckszahl. Um den blauen Mittenpunkt herum liegt ein grünes Dreieck mit zwei Punkten auf der Kante, darum ein rotes mit dreien. Man kann darin auch einen Tetraeder mit blauer Spitze und roter Basis sehen. Deshalb ist zehn zugleich auch dritte Tetraederzahl. [1]
auf dem 5×5‑Schachbrett und der 2‑aus‑5-Code (png)
Die beiden Schachbretter des nunmehr vorstehenden Bildes zeigen die zehn Möglichkeiten, fünf sich nicht schlagende Damen auf ein Schachbrett der Größe 5×5 zu stellen. [2] Das linke repräsentiert 8 durch Drehung und Spiegelung entstehende Möglichkeiten, das rechte ergibt unter reinen Rotationen keine neue Stellung, steht also nur für zwei Lösungen. Und die letzten beiden Spalten zeigen den 2‑aus‑5-Code, den Urvater vieler Strichcodes. Die angegebene Zuordnung der zehn Ziffern auf die Fünferketten ist zwar grundsätzlich beliebig, folgt hier jedoch der gängigen Vorstellung, daß den fünf Stellen die Gewichte 6, 3, 2, 1 und 0 zukommen. Nur auf die 0 trifft das nicht zu.
Was gibt es sonst noch? Nicht nur zehn Gebote, auch zehn Plagen, zehn kleine Negerlein und die zehn Zweige des Lebensbaumes Sephirot, der die Zahlen von 1 bis 10 mit den 22 Buchstaben des hebräischen Alphabetes verwurstelt. Eigentlich nichts von eigenem Wert, nur Ausschmückung unseres Dezimalsystems, durch das es den Zehnten, Dezimeter für zehntel Meter [3] und für Österreicher auch Dekagramm gibt. Ein Dime zu 10 Cent umfaßt den zehnten Teil eines Dollars, Rennfahrer geben nicht 100 Prozent, sondern ten tenths, der englische Premierminister wohnt in Number Ten, mit zehn Jahren wird man Teenager, und das Zehnfache wird gerne eine Größenordnung oder Magnitude genannt. [4] Ein Bel bezeichnet eine solche Verzehnfachung. Fünf Dezibel, also die Wurzel aus 10 liegen mit 3,16 bemerkenswert nahe an der Kreiszahl π. [5]
[1] Doch Vorsicht! Die vierte zentrierte Dreieckszahl 1+3+6+9=19 bildet keinen Tetraeder 1+3+6+10=20, weil in der vierten Schicht ein Punkt unter dem blauen zu liegen kommt. Es kann ja auch nicht über n=1,2,3 hinaus für alle n Gleichheit herrschen, da die ebenen Dreieckszahlen nur quadratisch wachsen, das Volumen des Tetraeders aber mit der dritten Potenz zunimmt. Von Bedeutung sind die drei Schichten (blau, grün, rot) nicht nur beim Stapeln von Apfelsinen, sondern auch in Kristallen, in denen die Farben zwar von Schicht zu Schicht wechseln müssen, doch nicht unbedingt in stets der gleichen Abfolge.
[2] Ich weiß, es gibt 53130 (25 über 5) Möglichkeiten, weil nur Figuren fremder Farbe geschlagen werden können. Und ein Schachbrett hat nicht 5x5, sondern 8x8 Felder. Doch dafür muß auf die 12, wenn nicht 92 gewartet werden.
[3] Früher war man humaner und dezimierte nicht auf den zehnten Teil, sondern nur einen von Zehnen.
[4] Irgendwie hatte ich im Kleinhirn, daß der Logarithmus aus Magnitude vor und Mantisse nach dem Komma besteht. Zumindest letzteres ist richtig. Bei Erdbeben und Sternhelligkeiten steht eine Magnitude auch für einen solchen Zusammenhang, nur mit einem anderen Faktor als 10. Bei Beben wohl die etwa dreißigfache Energie, bei Sternen geht es sogar nach unten, etwa um den Faktor 2,51 in der Helligkeit.
[5] Da π2 im täglichen Leben kaum vorkommt, wäre das von wenig Nutzen, wenn es nicht auf guten Rechenschiebern auch π‑versetzte Skalen gäbe, nicht (nur) um die Multiplikation mit und Division durch π zu vereinfachen, sondern weil damit die Eins ziemlich genau in der Skalenmitte liegt. Das erweist sich als praktisch, weil durch diese Skalen möglicherweise ein starker Auszug oder ein Umsetzen der Zunge vermieden werden kann.
9 | 11 | Dreieckszahlen | Logarithmentafel | Rechenschieber
Der für Vollkommenheit stehenden Zahlen ist kein Ende. Nach acht und neun nun auch zehn. Nicht zuletzt wegen der zehn Gebote, wovon nach Luther die ersten drei auf der einen und die letzten sieben auf der anderen Tafel stehen sollen. Das bestärkt die Heiligkeit der 10=3+7 als Summe zweier anderer heiliger Zahlen, kann aber auch reininterpretiert sein, zumal Reihenfolge und Zusammenfassung sich nach Glaubensrichtung unterscheiden. Schon in der Bibel gibt es mehrere Versionen, die nicht durchnumeriert sind. Deshalb ist es wohl umgekehrt: Es gibt nicht zwölf Gebote gemäß den Stämmen Israels, sondern nur zehn, weil wir dezimal denken und uns ein Dekalog gut in den Kram paßt.
Als Summe der ersten vier Zahlen ist 1+2+3+4=10 die vierte Dreieckszahl, eine Tetraktys genannte Vierheit, die naturgemäß gerne wie die Kegel beim Bowling als Dreieck dargestellt wird. Das zeigt die zweite Figur im nachstehenden Bild. Die erste versucht eine Veranschaulichung von 10=1+3+6 als dritter zentrierter Dreieckszahl. Um den blauen Mittenpunkt herum liegt ein grünes Dreieck mit zwei Punkten auf der Kante, darum ein rotes mit dreien. Man kann darin auch einen Tetraeder mit blauer Spitze und roter Basis sehen. Deshalb ist zehn zugleich auch dritte Tetraederzahl. [1]
● ♛ • • • • • ♛ • • • 0 - 00110 5 01100
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● ● ● ● ● • • ♛ • • • • • ♛ • 4 - 01010 9 11000
Zehn als Tetraeder- und Dreieckszahl, 8+2 Möglichkeiten für fünf Damenauf dem 5×5‑Schachbrett und der 2‑aus‑5-Code (png)
Die beiden Schachbretter des nunmehr vorstehenden Bildes zeigen die zehn Möglichkeiten, fünf sich nicht schlagende Damen auf ein Schachbrett der Größe 5×5 zu stellen. [2] Das linke repräsentiert 8 durch Drehung und Spiegelung entstehende Möglichkeiten, das rechte ergibt unter reinen Rotationen keine neue Stellung, steht also nur für zwei Lösungen. Und die letzten beiden Spalten zeigen den 2‑aus‑5-Code, den Urvater vieler Strichcodes. Die angegebene Zuordnung der zehn Ziffern auf die Fünferketten ist zwar grundsätzlich beliebig, folgt hier jedoch der gängigen Vorstellung, daß den fünf Stellen die Gewichte 6, 3, 2, 1 und 0 zukommen. Nur auf die 0 trifft das nicht zu.
Was gibt es sonst noch? Nicht nur zehn Gebote, auch zehn Plagen, zehn kleine Negerlein und die zehn Zweige des Lebensbaumes Sephirot, der die Zahlen von 1 bis 10 mit den 22 Buchstaben des hebräischen Alphabetes verwurstelt. Eigentlich nichts von eigenem Wert, nur Ausschmückung unseres Dezimalsystems, durch das es den Zehnten, Dezimeter für zehntel Meter [3] und für Österreicher auch Dekagramm gibt. Ein Dime zu 10 Cent umfaßt den zehnten Teil eines Dollars, Rennfahrer geben nicht 100 Prozent, sondern ten tenths, der englische Premierminister wohnt in Number Ten, mit zehn Jahren wird man Teenager, und das Zehnfache wird gerne eine Größenordnung oder Magnitude genannt. [4] Ein Bel bezeichnet eine solche Verzehnfachung. Fünf Dezibel, also die Wurzel aus 10 liegen mit 3,16 bemerkenswert nahe an der Kreiszahl π. [5]
[1] Doch Vorsicht! Die vierte zentrierte Dreieckszahl 1+3+6+9=19 bildet keinen Tetraeder 1+3+6+10=20, weil in der vierten Schicht ein Punkt unter dem blauen zu liegen kommt. Es kann ja auch nicht über n=1,2,3 hinaus für alle n Gleichheit herrschen, da die ebenen Dreieckszahlen nur quadratisch wachsen, das Volumen des Tetraeders aber mit der dritten Potenz zunimmt. Von Bedeutung sind die drei Schichten (blau, grün, rot) nicht nur beim Stapeln von Apfelsinen, sondern auch in Kristallen, in denen die Farben zwar von Schicht zu Schicht wechseln müssen, doch nicht unbedingt in stets der gleichen Abfolge.
[2] Ich weiß, es gibt 53130 (25 über 5) Möglichkeiten, weil nur Figuren fremder Farbe geschlagen werden können. Und ein Schachbrett hat nicht 5x5, sondern 8x8 Felder. Doch dafür muß auf die 12, wenn nicht 92 gewartet werden.
[3] Früher war man humaner und dezimierte nicht auf den zehnten Teil, sondern nur einen von Zehnen.
[4] Irgendwie hatte ich im Kleinhirn, daß der Logarithmus aus Magnitude vor und Mantisse nach dem Komma besteht. Zumindest letzteres ist richtig. Bei Erdbeben und Sternhelligkeiten steht eine Magnitude auch für einen solchen Zusammenhang, nur mit einem anderen Faktor als 10. Bei Beben wohl die etwa dreißigfache Energie, bei Sternen geht es sogar nach unten, etwa um den Faktor 2,51 in der Helligkeit.
[5] Da π2 im täglichen Leben kaum vorkommt, wäre das von wenig Nutzen, wenn es nicht auf guten Rechenschiebern auch π‑versetzte Skalen gäbe, nicht (nur) um die Multiplikation mit und Division durch π zu vereinfachen, sondern weil damit die Eins ziemlich genau in der Skalenmitte liegt. Das erweist sich als praktisch, weil durch diese Skalen möglicherweise ein starker Auszug oder ein Umsetzen der Zunge vermieden werden kann.
9 | 11 | Dreieckszahlen | Logarithmentafel | Rechenschieber
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Ziffern
wuerg, 04.02.2005 17:14
Die Null und die ersten neun natürlichen Zahlen werden üblicherweise durch eigene Zeichen 0, 1, …, 9 dargestellt, die man Ziffern nennt. Alle größeren natürlichen Zahlen werden in der üblichen Art und Weise durch eine Kette dieser Ziffern geschrieben. So bezeichnet 842 die Zahl 8⋅z⋅z+4⋅z+2, worin z die auf die höchste einstellige Zahl 9 folgende ist. Sie hat demzufolge die Darstellung 10 und heißt zehn. Das alles mag trivial erscheinen, doch einmal im Leben sollte man Ziffern von einstelligen Zahlen unterscheiden und bei der Zuordnung von Zahlen zu Ziffernketten und umgekehrt nicht leichtfertig die Zahl zehn durch die Zeichenkette 10 darstellen, wenn man ihren Zahlenwert zuvor nicht gesondert definiert hat.
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Krebs
wuerg, 03.02.2005 01:39
Nachdem die Bedeutung der Umkehrung von Zeichen, insbesondere die der Ziffern 6 und 9 erwähnt wurde, wäre es eine Sünde, die Zahl 69, besser die Aneinanderreihung der beiden Ziffern 6 und 9 auszulassen. Für einen Esoteriker ist nun klar, daß die gute und männliche Zahl 9 für den aufrechten Mann steht. Es fügt sich gut, daß die 6 gerade und damit weiblich ist. Und daraus folgt, daß das Runde in den Ziffern für den Kopf stehen muß, was im Zuge der Gleichberechtigung nicht hinnehmbar ist. Deshalb bietet sich eine Drehung der 69 um 90 Grad an, je nach Geschmack nach rechts oder nach links. In beiden Fällen entsteht ♋das Tierkreiszeichen des Krebses.
6 | 9 | Drehsinn
6 | 9 | Drehsinn
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Drehsinn
wuerg, 02.02.2005 23:34
In der heutigen Zeit wird normaler Text gerne durch Sonderzeichen, eleete Verhunzungen und Smilies unleserlich gemacht. Doch in Zeichenketten durch Drehung einen gewissen Sinn zu erkennen, ist keine neue Idee. So können die 3 und die 8 durchaus als ein um 90 Grad nach links gedrehtes offenes oder geschlossenes Omega gesehen werden, das im Einklang mit den 3 und 8 zugemessenen Bedeutungen für die Unendlichkeit steht. Eine Drehung um 180 Grad dagegen stellt Zeichen auf den Kopf und soll die Bedeutung umkehren, wenn nicht wie bei der 0 und der 8 eine Abbildung auf sich selbst vorliegt. Unter den Ziffern eignen sich dafür vor allem 6 und 9, was sich wieder scheinbar zufällig gut trifft, wenn die 9 für das Gute und die 6 für das Böse, die 9 für den aufrechten Mann und die 6 für die sündige Frau steht.
6 | 8 | 9 | 69
6 | 8 | 9 | 69
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Neun
wuerg, 01.02.2005 14:39
Will man der Neun eine Bedeutung zumessen, so ergeben sich sofort zwei in die gleiche Richtung weisende Möglichkeiten. Die Erhöhung der schon vollkommenen Acht und als Verdreifachung der schon heiligen Drei. Deshalb steht sie für die höchste Vollkommenheit, als ungerade und damit männliche Zahl für den aufrechten Mann. Auf den Kopf gedreht ergibt 9 die eher mit Hexerei in Verbindung stehende 6, weshalb nicht lange geraten werden muß, wem in 69 welche Rolle zugedacht wird. Gleichberechtigter wäre das Zeichen ♋ des Krebses.
Sprachlich soll neun etwas mit neu zu tun haben, da man früher ohne Daumen gezählt habe und bei neun neu beginnen mußte. Nur frage ich mich, weshalb wir dann mit Dezimal- und nicht mit Oktalzahlen rechnen. Ich vermute, daß man die Achtfingermethode nur dort angewendet hat, wo fortwärend halbiert und verdoppelt wurde, bei den Maßen und Gewichten. [1] Sicherlich neuzeitlich ist die Interpretation der Neun als „nein, ich will hier nichts machen und schnell wieder weg“ wegen der lautlichen Übereinstimmung mit dem englischen nine. So hielten es manche Programmierer bei der Gestaltung von Bildschirm-Menus der Siebziger Jahre. Heute wird ihnen sowas von Designern vorgegeben.
Recht willkürlich ist die Bedeutung der Neun als größte einstellige Zahl des Dezimalsystems, weshalb jede Zahl bei der Division durch 9 den gleichen Rest läßt wie ihre Quersumme. Und so führt die Vorgehensweise der Numerologen, aus Zahlen und aus in Zahlen umgesetzten Buchstaben durch fortwährende Addition der Ziffern alles auf eine Zahl von 1 bis 9 zu reduzieren, immer auf den Rest der Division durch 9, sofern man statt der 0 eine 9 nimmt. Allem und jedem Zahlen oder Ziffern zuzuordnen und dann diese digital root [2] zu bilden, ist also primitives Abzählen in Neuner-Blöcken, verschleiert durch mehrstufiges Brimborium. Nähme man statt 9 die 10, entschiede einfach die Endziffer und keiner würde in Ehrfurcht erstarren. Mein Geburtsdatum kommt auf eine bescheidene 6, doch erst im zweiten Schritt nach der 33!
Da Zahl und Quersumme durch 9 geteilt den gleichen Rest lassen, kann nicht nur die Teilbarkeit durch 9 leicht geprüft werden. Es ist auch Grundlage der Neunerprobe: Man wiederholt Addition und Multiplikation einfach mit den iterierten Quersummen und kann die 9 sogar durch 0 ersetzen (streichen). Stimmt die so vereinfachte Rechnung nicht, ist irgendetwas nicht in Ordnung. [3]
Neun ist als Quadratzahl natürlich eine figurierte Zahl. Und aus den Zahlen 1 bis 9 kann man das kleinste aller magischen Quadrate bilden. Moderne Esoteriker weisen es dem höchsten aller Planeten, dem die römische Woche anführenden Saturn zu. Neben den Zahlen 3 und 9 stehen für ihn auch die Gesamtsumme 45 und die magische Zahl 15 der Zeilen-, Spalten- und Diagonalsummen. Bis auf Drehung und Spiegelung gibt es nur ein solches magisches Quadrat: Steht in der Mitte die Zahl n, so müssen die Randfelder sich zu 45−n addieren, weil von der Gesamtsumme 45 nur n fehlt. Andererseits addiert sich jedes der vier gegenüberliegenden Randpaare zu 15−n. Zusammen bilden sie den Rand mit 4(15−n)=45−n, was n=5 erzwingt. Stünde die 1 in einer Ecke, blieben für 2, 3 und 4 nur die mit einem X markierten Felder. Das sind zuwenige. Also steht 1 an einer Kantenmitte, im Bild oBdA oben. Unten muß dann die 9 stehen, weshalb in der obersten Zeile nur noch 6 und 8 möglich sind. Der Rest ist erzwungen und liefert das bis auf Drehung und Spiegelung einzige magische Quadrat der Größe 3×3.
Daß 9 als Potenz der Drei so knapp an der Zweierpotenz 8 liegt, führte zu der Frage, ob es noch andere Zusammentreffen von Zweier- und Dreierpotenzen im Abstand von eins gibt. Das war auch von theoretischem Interesse für die pythagoreische Teilung der Oktave. Eine enharmonische Verwechselung von 9/8 ist viel zu grob, schöner wäre (n+1)/n für ein größeres n. Das Gefühl winkt sofort ab, und tatsächlich konnte Levi ben Gershon schon im 14. Jahrhundert beweisen, daß 9 und 8 die beiden einzigen sind. Catalan vermutete 1844, dies gelte für alle Potenzen, doch erst im Jahre 2002 konnte Preda Mihailescu beweisen: Von allen Potenzen natürlicher Zahlen sind 8 und 9 die einzigen im Abstand 1.
Die Kreiszahl π sei rational, sogar ein in der 761. Stelle mit 5 endender Dezimalbruch, weil die Berechnung in der Folge nur noch Neunen liefere. Das wollten Richard Feynman und Douglas R. Hofstadter angeblich den Leuten weismachen, indem sie ab der 762. Stelle „nine nine nine nine nine nine and so on“ zu sagen planten. Doch beide schafften es nie, π derart weit auswendig zu lernen. So blieb es dabei, daß die 762. Stelle, ab der sechsmal hintereinander eine 9 erscheint, Feynman-Punkt heißt. Natürlich ist es sehr unwahrscheinlich, daß so früh eine Folge von sechs Neunen auftritt. Doch gibt es eine Reihe von Besonderheiten, nach denen man in den Nachkommastellen suchen kann. Und dann ist die Wahrscheinlichkeit für irgendeinen auffälligen Furz gar nicht mehr so gering. Es bleibt aber bemerkenswert. [4]
Was gibt es sonst noch? Neun ist Quadrat einer Dreieckszahl und damit Summe 1+8=9 von ersten Kubikzahlen. [5] Und wie jede Zahl Summe von 4 Quadratzahlen ist, so auch von 9 nichtnegativen Kubikzahlen. [6] Es gab einmal neun Planeten. [7] Eine Katze hat neun Leben, der Bahai-Stern neun Zacken. Wegen „Revolution No. 9“ bei den Beatles nach Neunen zu suchen, ist wenig ergiebig, hält manche aber nicht ab. Ein Enneagramm ist für Esoteriker nicht einfach ein Neuneck oder ein neunzackiger Stern, sondern verwurstelt die Periode 142857 von 1/7 mit dem dreieckigen Rest 3, 6, 9. Psychologische Preise enden gerne mit mindestens einer Neun, besonders penetrant an Tankstellen mit ihren Millieuro. Ein Standard-Sudoku erfordert neunmal jede Ziffer von 1 bis 9 in einem 9×9‑Quadrat gemäß den hoffentlich bekannten Regeln. Neun-Live gibt es leider nicht mehr.
[1] Vier Finger (digit, etwa 2 cm) bilden eine Handbreite ohne Daumen (palm) und zwei solcher Hände eine Spanne (shaftment). Wenn man mit den Fingern etwas abmessen wollte, dann war der Daumen einfach im Wege.
[2] Ein schönes deutsches Wort dafür fällt mir nicht ein. Zahlen-, Ziffern- oder digitale Wurzel scheiden für mein Ohr aus. Manche sprechen von einer einstelligen Quersumme, ich bevorzuge iterierte Quersumme.
[3] Die Neunerprobe ist in etwas mehr als zehn Prozent der fehlerhaften Rechnungen falsch positiv. Ein 15 Jahre später dank Corona und PCR‑Test jedem bekannter Begriff. Auch falsch negativ ist möglich, wenn man sich bei der Probe selbst verrechnet hat. Wer sicherer sein will, macht zusätzlich die Elferprobe.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Neunerfolgen A048940 in den Dezimalstellen vom π.
[5] 1+8+27=36, 1+8+27+64=100, allgemein 13+23+…+n3=Dn2.
[6] Nur 23=8+8+1+1+1+1+1+1+1 und 239=125+27+27+27+8+8+8+8+1 erfordern volle neun Summanden. Wer nun 16 für vierte Potenzen vermutet, liegt falsch. Es sind 19.
[7] Mein Vater Erklärt Mir Jeden Sonntag Unsere Neun Planeten.
8 | 10 | 3 | 999 | 142857 | Teilbarkeitsregeln | Sudoku 1 2 3 4 5 | Neun-Live Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
Sprachlich soll neun etwas mit neu zu tun haben, da man früher ohne Daumen gezählt habe und bei neun neu beginnen mußte. Nur frage ich mich, weshalb wir dann mit Dezimal- und nicht mit Oktalzahlen rechnen. Ich vermute, daß man die Achtfingermethode nur dort angewendet hat, wo fortwärend halbiert und verdoppelt wurde, bei den Maßen und Gewichten. [1] Sicherlich neuzeitlich ist die Interpretation der Neun als „nein, ich will hier nichts machen und schnell wieder weg“ wegen der lautlichen Übereinstimmung mit dem englischen nine. So hielten es manche Programmierer bei der Gestaltung von Bildschirm-Menus der Siebziger Jahre. Heute wird ihnen sowas von Designern vorgegeben.
Recht willkürlich ist die Bedeutung der Neun als größte einstellige Zahl des Dezimalsystems, weshalb jede Zahl bei der Division durch 9 den gleichen Rest läßt wie ihre Quersumme. Und so führt die Vorgehensweise der Numerologen, aus Zahlen und aus in Zahlen umgesetzten Buchstaben durch fortwährende Addition der Ziffern alles auf eine Zahl von 1 bis 9 zu reduzieren, immer auf den Rest der Division durch 9, sofern man statt der 0 eine 9 nimmt. Allem und jedem Zahlen oder Ziffern zuzuordnen und dann diese digital root [2] zu bilden, ist also primitives Abzählen in Neuner-Blöcken, verschleiert durch mehrstufiges Brimborium. Nähme man statt 9 die 10, entschiede einfach die Endziffer und keiner würde in Ehrfurcht erstarren. Mein Geburtsdatum kommt auf eine bescheidene 6, doch erst im zweiten Schritt nach der 33!
Da Zahl und Quersumme durch 9 geteilt den gleichen Rest lassen, kann nicht nur die Teilbarkeit durch 9 leicht geprüft werden. Es ist auch Grundlage der Neunerprobe: Man wiederholt Addition und Multiplikation einfach mit den iterierten Quersummen und kann die 9 sogar durch 0 ersetzen (streichen). Stimmt die so vereinfachte Rechnung nicht, ist irgendetwas nicht in Ordnung. [3]
● ● ● 1 • • • 1 • 8 1 6 8 1 6 ● ● ● • 5 X • 5 • • 5 • 3 5 7 ● ● ● • X 9 • 9 • • 9 • 4 9 2Neun als Quadratzahl und das kleinste magische Quadrat (png)
Neun ist als Quadratzahl natürlich eine figurierte Zahl. Und aus den Zahlen 1 bis 9 kann man das kleinste aller magischen Quadrate bilden. Moderne Esoteriker weisen es dem höchsten aller Planeten, dem die römische Woche anführenden Saturn zu. Neben den Zahlen 3 und 9 stehen für ihn auch die Gesamtsumme 45 und die magische Zahl 15 der Zeilen-, Spalten- und Diagonalsummen. Bis auf Drehung und Spiegelung gibt es nur ein solches magisches Quadrat: Steht in der Mitte die Zahl n, so müssen die Randfelder sich zu 45−n addieren, weil von der Gesamtsumme 45 nur n fehlt. Andererseits addiert sich jedes der vier gegenüberliegenden Randpaare zu 15−n. Zusammen bilden sie den Rand mit 4(15−n)=45−n, was n=5 erzwingt. Stünde die 1 in einer Ecke, blieben für 2, 3 und 4 nur die mit einem X markierten Felder. Das sind zuwenige. Also steht 1 an einer Kantenmitte, im Bild oBdA oben. Unten muß dann die 9 stehen, weshalb in der obersten Zeile nur noch 6 und 8 möglich sind. Der Rest ist erzwungen und liefert das bis auf Drehung und Spiegelung einzige magische Quadrat der Größe 3×3.
Daß 9 als Potenz der Drei so knapp an der Zweierpotenz 8 liegt, führte zu der Frage, ob es noch andere Zusammentreffen von Zweier- und Dreierpotenzen im Abstand von eins gibt. Das war auch von theoretischem Interesse für die pythagoreische Teilung der Oktave. Eine enharmonische Verwechselung von 9/8 ist viel zu grob, schöner wäre (n+1)/n für ein größeres n. Das Gefühl winkt sofort ab, und tatsächlich konnte Levi ben Gershon schon im 14. Jahrhundert beweisen, daß 9 und 8 die beiden einzigen sind. Catalan vermutete 1844, dies gelte für alle Potenzen, doch erst im Jahre 2002 konnte Preda Mihailescu beweisen: Von allen Potenzen natürlicher Zahlen sind 8 und 9 die einzigen im Abstand 1.
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164 0628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172 5359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975 6659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482 1339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436 7892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953 0921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381 8301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277 0539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342 7577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999...Feynman-Punkt an der 762. Nachkommastelle
Die Kreiszahl π sei rational, sogar ein in der 761. Stelle mit 5 endender Dezimalbruch, weil die Berechnung in der Folge nur noch Neunen liefere. Das wollten Richard Feynman und Douglas R. Hofstadter angeblich den Leuten weismachen, indem sie ab der 762. Stelle „nine nine nine nine nine nine and so on“ zu sagen planten. Doch beide schafften es nie, π derart weit auswendig zu lernen. So blieb es dabei, daß die 762. Stelle, ab der sechsmal hintereinander eine 9 erscheint, Feynman-Punkt heißt. Natürlich ist es sehr unwahrscheinlich, daß so früh eine Folge von sechs Neunen auftritt. Doch gibt es eine Reihe von Besonderheiten, nach denen man in den Nachkommastellen suchen kann. Und dann ist die Wahrscheinlichkeit für irgendeinen auffälligen Furz gar nicht mehr so gering. Es bleibt aber bemerkenswert. [4]
Was gibt es sonst noch? Neun ist Quadrat einer Dreieckszahl und damit Summe 1+8=9 von ersten Kubikzahlen. [5] Und wie jede Zahl Summe von 4 Quadratzahlen ist, so auch von 9 nichtnegativen Kubikzahlen. [6] Es gab einmal neun Planeten. [7] Eine Katze hat neun Leben, der Bahai-Stern neun Zacken. Wegen „Revolution No. 9“ bei den Beatles nach Neunen zu suchen, ist wenig ergiebig, hält manche aber nicht ab. Ein Enneagramm ist für Esoteriker nicht einfach ein Neuneck oder ein neunzackiger Stern, sondern verwurstelt die Periode 142857 von 1/7 mit dem dreieckigen Rest 3, 6, 9. Psychologische Preise enden gerne mit mindestens einer Neun, besonders penetrant an Tankstellen mit ihren Millieuro. Ein Standard-Sudoku erfordert neunmal jede Ziffer von 1 bis 9 in einem 9×9‑Quadrat gemäß den hoffentlich bekannten Regeln. Neun-Live gibt es leider nicht mehr.
[1] Vier Finger (digit, etwa 2 cm) bilden eine Handbreite ohne Daumen (palm) und zwei solcher Hände eine Spanne (shaftment). Wenn man mit den Fingern etwas abmessen wollte, dann war der Daumen einfach im Wege.
[2] Ein schönes deutsches Wort dafür fällt mir nicht ein. Zahlen-, Ziffern- oder digitale Wurzel scheiden für mein Ohr aus. Manche sprechen von einer einstelligen Quersumme, ich bevorzuge iterierte Quersumme.
[3] Die Neunerprobe ist in etwas mehr als zehn Prozent der fehlerhaften Rechnungen falsch positiv. Ein 15 Jahre später dank Corona und PCR‑Test jedem bekannter Begriff. Auch falsch negativ ist möglich, wenn man sich bei der Probe selbst verrechnet hat. Wer sicherer sein will, macht zusätzlich die Elferprobe.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Neunerfolgen A048940 in den Dezimalstellen vom π.
[5] 1+8+27=36, 1+8+27+64=100, allgemein 13+23+…+n3=Dn2.
[6] Nur 23=8+8+1+1+1+1+1+1+1 und 239=125+27+27+27+8+8+8+8+1 erfordern volle neun Summanden. Wer nun 16 für vierte Potenzen vermutet, liegt falsch. Es sind 19.
[7] Mein Vater Erklärt Mir Jeden Sonntag Unsere Neun Planeten.
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