Drei
Mit Dreien wird alles kompliziert. Einer steht fast immer in der Mitte oder am Rand. Ab drei kann eine Reihen­folge zu sehen sein, deren Fort­setzung ins Unend­liche weist. Drei Punkte deuten dies an. Drei über­fordert uns noch nicht, auch wenn nicht jeder über eine drei­dimen­sionale Vorstel­lung verfügt und ihm Vater, Sohn und Hei­liger Geist zuviele sind. Doch nicht zuletzt deshalb ist die Drei eine heilige Zahl.

Die Drei läßt sich als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Zwei sehen. Nor­ma­ler­weise sind auch Paare durch die Reihen­folge ihrer Nennung (Mann und Frau), ihre Nume­rierung (zum einen und zum anderen) oder Reihen­folge (Vergan­genheit und Zukunft) ange­ordnet, doch eine Dreier­gruppe macht deut­licher, in welche Rich­tung gedacht wird, an Fort­pflanzung (Mann, Frau, Kind), Gruppen­bildung (Mann, Frau, Familie), Über­höhung (Mann, Frau, Jesus), Abgren­zung (Vergan­gen­heit, Gegen­wart, Zukunft), an eine endlose Folge (1,2,3,...) oder einen Rest­bestand (männ­lich, weib­lich, divers).

Die Dreizahl scheint dem Menschen zu liegen, in Esoterik [1], Märchen, Witzen, Reli­gion, bei freien Wünschen und Schnaps­zahlen. Aller guten Dinge sind drei, Gold, Silber, Bronze, schnick, schnack, schnuck, bei Issos Keilerei, auf die Plätze, fertig, los. Drei Dinge braucht der Mann [2], Frauen sollten bei drei auf dem Baum sein, manche können nicht bis drei zählen.

Die Suche nach Bedeutungen kennt keine Hemmungen. Ein Beispiel: Die Winkel­summe im Dreieck beträgt 180 Grad und die 18 ist eine Versechs­fachung der 3. Das ist natür­lich in mehr­facher Hinsicht albern: Es wird so getan, als seien Weglas­sung der Null, Versechs­fachung und Tei­lung des Kreises in 360 Grad gott­gegebene oder gar natür­liche Opera­tionen. Dabei hat es die Drei als kleine und schöne Zahl gar nicht nötig, in eine Über­legung reinge­steckt zu werden, um am Ende heraus­zukommen.

Willkürliche Zuordnungen können Jahrtausende über­dauern, in Stein gemei­ßelt sind sie dennoch nicht. Im Mono­theismus ange­kommen ging es wieder herauf zur Drei­faltig­keit, von der Naßrasur zum Drei­tage­bart, vom Tetra­chord herunter zum Drei­klang. Doch hat die Drei auch Verluste zu beklagen. Der Neumond erhöhte auf vier Mond­phasen, die Dreigang­schaltung verlor an die Sechs und droht im Unend­lichen zu ver­schwinden.

Wer regelmäßig „Bares für Rares“ sieht, kennt den Trick, die Gebote gegen Ende noch etwas mit der Bemer­kung in die Höhe zu treiben, man müsse den Erlös mit zwei anderen teilen. Da ist es vorteil­haft, in der Schule gelernt zu haben, daß eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quer­summe es ist. Dazu gehören alle drei­stelligen Schnaps­zahlen 111 bis 999. Sie weisen auch den Faktor 37 auf, denn 111=3·37. Ich hatte dereinst die Schlüssel­nummer 111. Der Pförtner sagte: Dreimal die eins. Und ich antworte: Nein, dreimal sieben­und­dreißig.

Ein anderes Kaliber hat die Tatsache, daß jede Zahl Summe dreier Dreiecks­zahlen ist. [3] Bewiesen hat dies Adrien-​Marie Legendre. [4] Für kleine Zahlen findet man schnell eine Zerlegung, zumeist reicht es, die größt­mög­liche Dreiecks­zahl abzu­knapsen und den Rest durch zwei Summanden darzu­stellen. Deut­lich nerviger ist es, alle Zerle­gungen zu finden. [5]

Schön ist auch die von Vera Sos (und anderen) bewiesene Vermu­tung von Hugo Stein­haus, die nunmehr Drei-​Abstands-​Satz heißt: Schneidet man eine Kreis­linie an den Stellen 0,φ,2φ,3φ,...,(n-1)φ durch, so ent­stehen Teil­stücke in höch­stens drei verschiedenen Längen. Para­debei­spiel ist die Tei­lung der Oktave (2π) in Quinten (φ=ld(3/2)·2π≈211°). Bei n=4 sind es erst­malig drei ver­schiede Längen. Zwei Teil­stücke entspre­chen dem großen Ganz­ton (9/8), die beiden ande­ren der Quarte (4/3) und der pytha­gorei­schen kleinen Terz (32/27). Bei n=5,7,12,17,29,41,53,... ver­bleiben nur zwei Inter­valle. [6] Fünf-, Sieben- und Zwölf­ton­musik sind also keine Willkür.

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Die ersten sieben Dreieckszahlen 1,3,6,10,15,21,28

[1] Wie hätten sich Spinner früherer Jahrhunderte gefreut, wären ihnen bereits die Quarks bekannt gewesen, ohne deren Dreier­verbünde die uns bekannte Welt nicht existierte.

[2] Feuer, Pfeife, Stanwell. Besser benötigt er, denn wer brauchen ohne zu gebraucht, braucht brauchen gar nicht zu gebrauchen.

[3] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000217. Die Zahlen n(n+1)/2=1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,... heißen Dreiecks­zahlen, weil sie sich als drei­eckiges Muster dar­stellen lassen.

[4] Fermat kritzelte auch das an den Rand, blieb den angekün­digten Beweis aber eben­falls schuldig. Gauß schrieb zwar ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ins Tage­buch, doch die Ehre des ersten Beweises gebührt Legendre.

[5] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A061262. Ed Pegg erin­nert in seiner Liste der klein­sten Dreiecks­zahlen, die auf genau n-fache Weise als Summe dreier Dreiecks­zahlen darge­stellt werden können, an Carl Frie­drich Gauß mit den Worten: If at first you do not succeed, tri + tri + tri again.

[6] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A206788. 1,1,2,3,5,7,12,17,29,41,53,94,147,200,253,306,359,665,...

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