Zahlwort

Heute meldet mir der Google-Mathematik-Alert statt interessanter Forschungsergebnisse wieder einmal einen Zwanzigeins-Vorstoß. Es mag von Vorteil sein, wenn auch wir Deutschen unsere Zahlen gemäß der Ziffern-Reihenfolge benennen, doch die Pisa-Ergebnisse werden sich dadurch nur wenig bessern. Verordnen werden kann ein neues Zahlsprech so und so nicht. Allenfalls wird sich eine neue Bennenung nach einer langen Zeit der Koexistenz mit der alten durchsetzen. Nicht anders ergeht es der Rechtschreibreform. Eine Anpassung an die Angelsachsen wird so und so nicht ausbleiben, gleichwohl sie in keiner Weise Vorbild sind, solange Pfunde, Linksverkehr, Zoll, Gallonen und deren Billionen nicht abgeschafft sind. Die Schweden haben auf Rechtsverkehr umgestellt, die Norweger alternative Zahlbezeichnungen. Zusammen mit den Pisa-Finnen sollten sie eher Vorbild sein.

20-1-Verein | Zahlsprech | Zahlreform

Die Bedeutung der 14 besteht vor allem darin, das Dop­pelte der 7 zu sein, fällt jedoch hinter ande­ren Viel­fa­chen zurück: 4·7=28 ist voll­kommen, 6·7=42 erklärt die ganze Welt und 70 mal 7 mal soll man ver­geben. Zwar umfas­sen zwei Wochen 14 Tage, ein hal­ber Monat ist aber gut 15 Tage lang, und zur glei­chen Zeit Hoch­was­ser gibt es eben­falls fast alle 15 Tage. Im Gegen­satz zu Ostern wird Pas­sah immer ab dem 14. Nisan gefei­ert, was aber nur ein Vorteil ist, wenn alle nach dem jüdi­schen Kalen­der leben. Moder­nen Nazis steht die 14 für die schwach­sinni­gen 14 Wörter eines Spru­ches von David Eden Lane.

So bleibt im wesent­lichen die aus Daleth+Waw+​Daleth=​4+6+4=14 abge­lei­tete Davids­zahl. Sie findet sich in den 14 Ge­schlech­tern von Abra­ham bis David und den gemau­schel­ten zwei­mal 14 bis Jesus. Die glei­che Denk­weise gilt für Johann Seba­stian Bach, in dessen Musik B+A+C+H=2+1+3+8=14 nicht zufäl­lig vor­kommt.

Mathe­matisch gibt die 14 eben­falls wenig her. Sie ist aber dritte quadra­tische Pyra­miden­zahl, also 1·1+2·2+3·3=14. Fest­körper­physi­ker werden wissen, daß es 14 Bravais-​Gitter gibt. Würfel und Okta­eder haben jeweils 12 Kan­ten und somit 12+2=14 Ecken und Flä­chen. Durch Absägen der Ecken eines Würfels bzw. Okta­eders ent­stehen 8 Drei­ecke und 6 Qua­drate. Der entstande Kub­okta­eder hat also 14 Flä­chen.

Und noch eine kleine Spie­lerei: Eine k‑stel­lige Zahl n heißt Keith-​Zahl, wenn man ihre Zif­fern als die ersten k Glieder einer Folge nimmt, in Fibo­nacci-​Manier immer k Folge­glieder addiert und n in dieser Folge vor­kommt. [1] Unter den nicht tri­via­len mehr­stel­ligen Keith-​Zahlen ist 14 die kleinste.

1,4,5,9,14      (1+4=5, 4+5=9, 5+9=14)
1,9,10,19            (1+9=10, 9+10=19)
2,8,10,18,28
4,7,11,18,29,47
6,1,7,8,15,23,38,61
7,5,12,17,29,46,75
1,9,7,17,33,57,107,197 (1+9+7=17, ...)

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Keith-​Zahlen A130010.

13 | 15 | 7 | 28 | 42

Die 13 gilt ge­mein­hin als Unglücks­zahl, von vielen wird sie gemie­den, in ameri­kani­schen Hoch­häu­sern fehlt oft­mals das 13. Stock­werk, Freitag der 13. gilt als beson­derer Unglücks­tag. Bis zwölf haben wir eigen­stän­dige Zahl­wörter, ab 13 werden sie zusammen­gesetzt. Offen­sicht­lich ist 13 einer zuviel. Dabei könnte 13 auch als Erhö­hung der Zahl 12 gesehen werden, etwa Jesus und seine 12 Jünger. Welche posi­tive Bedeu­tung die Frei­maurer der 13 zumes­sen, möchte ich gar nicht wissen. [1] Das Bäcke­rdut­zend umfaßt 13 Bröt­chen, um nicht Gefahr zu laufen, aus Ver­sehen nur 11 einzu­packen. Gott soll 13 Eigen­schaf­ten haben, Paulus hat sich selbst zum 13. Apo­stel ernannt. Für die 13. Fee reichte das Geld nicht. Hinter jeder 12 kann eine geheime, mög­licher­weise gefähr­liche 13 ver­mu­tet werden. Das unter­stri­chene M von McDonald's ergibt um 90 Grad gedreht eine 13 und weist auf deren Schlech­tig­keit hin.

Der Kalender der Mayas kennt einen Zyklus von 13 Jahren. Im Luni­solar­kalender muß ab und zu ein 13. Monat einge­schoben werden. Und weil ein Monat etwas mehr als vier Wochen umfaßt, fällt in jedem Quar­tal eine 13. Woche an, weshalb Fernseh­serien oftmals 13 Folgen haben. Die zweite zen­trierte Zwölf­eck­zahl ist trivialer­weise 13=1+12 und wird hier nur erwähnt, weil sie des­halb zugleich zweite sechs­eckige Stern­zahl ist, auch wenn die Zacken wie auf dem ameri­kani­schen Dollar­schein nur aus einem Punkt beste­hen. Mirp-​Zahlen sind Prim­zah­len, die zif­fern­ver­tauscht eine andere Primzahl ergeben. [2] Damit schei­den 2, 3, 5, 7 und 11 aus und die 13 mit ihrer Umkeh­rung 31 ist die klein­ste Mirp-​Zahl. [3] Die beiden Zif­fern sind wie bei 12 und 21 so klein, daß 13·13=169 und 31·31=961 eben­falls zif­fern­ver­tauscht sind. Die 13. Mer­senne-​Zahl 2¹³−1=8191 ist prim, die 13 ist Teil des pytha­gorei­schen Tripels 12²+5²=13² und kommt in der Folge der Fibo­nacci­zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … an siebter Stelle vor. Und was die Teil­barkeit durch 13 betrifft, so gilt wegen 1001=7·11·13 die gleiche Regel wie für die 7: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn man die alter­nie­rende Quer­summe von Dreier­blöcken durch 13 teilen kann.

   ●        3. Generation:            0 +           1   2=1+1
● ● ● ●     4. Generation:       0    1 +           0   3=2+1
 ● ● ●      5. Generation:    0  1    0 +      0    1   5=3+2
● ● ● ●     6. Generation:  0 1  0  0 1 +   0  1    0   8=5+3
   ●        7. Generation: 01 0 01 01 0 + 0 1  0  0 1  13=8+5  

Sternzahl, Kaninchenvermehrung [4] und Bitketten (png)

Es ist mir keine Anwendung bekannt, in der mit Vorteil zur Basis 13 gerech­net wer­den kann, außer „Per Anhal­ter durch die Gala­xis“ von Douglas Adams, der zwar selbst gesagt hat, er mache keine Scherze zur Basis 13, doch sich gefal­len lassen muß, daß „Six by Nine. Forty two.“ als 6·9=42 zur Basis 13 inter­pre­tiert korrekt ist und mit „4 und 2“ (nicht 42) auch die Zahl 4·13+2=54=6·9 gemeint sein könnte. Ich bin wahr­schein­lich nicht der erste, der diesen Gedan­ken weiter­gespon­nen hat: Sehe ich auch 54 als eine Tre­dezi­mal­zahl, dann steht sie für 5·13+4=69. Und da sind sie wieder, 6 und 9! Deshalb habe ich mir den Spaß erlaubt, dieses Prinzip nach vorne und hinten fort­zuset­zen und kam so auf die Reihe 12, 15, 18, 21, 27, 33, 42, 54, 69, 87, 111, 183, 276, 435, 720, … mit den genann­ten Zahlen 42, 54 und 69, aber auch der belieb­ten 111=3·37 und der 23. Drei­ecks­zahl 276 der Bibel. Schön wäre 666 gewe­sen. Des ungeach­tet meine ich, mit „4 und 2“ sei viel­leicht 24 gemeint, die eher etwas mit dem Uni­versum und allem zu tun haben könnte.

Und wenn ich schon die biblische 276 erwähne: Nach­dem Gerdhard Kringe im Inter­net die Zahl 12 geprie­sen hat, stimmt er nicht ein in eine Verdam­mung der 13 als Unglücks­zahl. [5] Er unter­stützt die andere Sicht von der Erhöhung der 12 um eins. Was jedem sofort ein­fällt, sind Jesus und seine Jünger, die zusammen (die wilde) 13 bilden. Das läßt er aus, schreibt aber: „Die Zahl der heraus­geru­fenen Erst­lings­ge­mein­de ist die "13". Für diese Heraus­geru­fene steht der 13. Apostel, Paulus. In dieser Zahl ver­birgt sich nicht mehr die Zahl des Kos­mos. 13 ist auch die Zahl der Liebe (1.Kor.13).“ Doch Ablei­tun­gen aus Vers­num­mern sind den meisten Men­schen so fremd wie kon­stru­ierte Addi­tio­nen: „13 ist auch 10+3; 10 = die Voll­zahl, die Fülle, die Verant­wor­tung und das Ziel. 3 = die Ganz­heit, die Drei­einig­keit, die Gottes­offen­ba­rung. Ohne diese Zah­len über­strapa­zieren zu wol­len …“ Und das will auch ich nicht.

[1] Manche sehen nicht nur auf dem Dollar­schein eine Unter­wande­rung der USA durch die Frei­maurer. Da passen die 13 Grün­dungs­staa­ten gut ins Bild.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mirp-​Zah­len (emirps) A006567.

[3] Diese Bezeichnung erinnert an die Spaß­frage: Was macht eine Biene im Rück­wärts­gang? Mus, mus!

[4] Eine junge Zibbe (0) gebiert eine wei­tere (0) und wird alt (1). Eine alte Zibbe (1) gebiert eine weitere Nach­kom­min (0) und stirbt. Die Über­gangs­regeln zur nächsten Genera­tion lauten also 0→01 und 1→0. Man beginnt in der ersten Generation mit einer einzigen alten Zibbe 1, die in 0 übergeht, die wiederum in 01, gefolgt von 010 und so weiter. Die n‑te Ge­ne­ra­tion besteht aus F(n) Zibben, davon F(n−1) jung und F(n−2) alt.

[5] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.

12 | 14 | 31 | 42 | Fr, 13. | Fibonaccizahlen | Teilbarkeitsregeln

So wie die Oktave (2:1) aus sieben, die Quinte (3:2) aus vier und die Quarte aus drei (4:3) Schritten einer Tonleiter oder im Notenliniensystem besteht, so sind es bei der Terz zwei. Während erstere nur ausnahmsweise stark von 12, 7 bzw. 5 Halbtönen abweichen, tritt die Terz regelmäßig in zwei Ausprägungen auf, was die Unvorteilhaftigkeit der herkömmlichen Intervall-Bezeichnungen deutlich macht. Die großen Terzen liegen normalerweise bei 4 Halbtönen, die natürliche große Terz (5:4) liegt mit 386 Cent deutlich darunter. Die kleinen Terzen liegen normalerweise bei 3 Halbtönen, die natürliche kleine Terz (6:5) mit 316 Cent noch weiter darüber.

Auf die Frage, wie man die Oktave gleichmäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Kettenbruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,...] die Antwort. Es ist günstig in n=3,28,59,146,... Intervalle zu teilen, wovon 1,9,19,47,... eine große Terz nähern. Die 9 im Kettenbruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also die drittel Oktave die große Terz gut nähert. Trotzdem sind das 14 Cent zuviel.

Die gleiche Überlegung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,...] und n=4,19,422,... mit 1,5,111,... Intervallen für die kleine Terz. Die 4 im Kettenbruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also die viertel Oktave die kleine Terz gut nähert. Doch sind das 16 Cent zuwenig. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Kettenbruch.

Welche Teilungen sind jetzt also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natürlich die Teilung in 12 Intervalle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegenüber der Zwölftonleiter nicht verschlechtern, so kommt die 53-Tonleiter mit Intervall-Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natürlich sehr genau. Und glücklicherweise sind 17 und 14 Intervalle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.

Die 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53-Tonleiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbessern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19-Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Intervalle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz dargestellt. Die kleine Terz stimmt natürlich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompromiß, der auch nur eine musikalische Nische ausfüllt.

Quinte | Oktave | A028508

So wie die Oktave aus sieben Schritten einer Ton­leiter oder im Noten­linien­system besteht, so sind es bei der Quinte vier. Die reine Quinte hat das Schwin­gungs­verhält­nis 3:2 und ist mit 702 Cent nur wenig größer als sieben Halbtöne. Es wäre sinnvoll gewesen, die in der Nähe von 700 lie­genden Inter­valle mit einem Namen zu belegen, der auf sieben hin­deutet.

Wenn man wie die alten Griechen nur Inter­valle als harmonisch sieht, die sich aus Okta­ven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasten­instru­menten das Problem, nicht alle so entste­henden Töne vor­sehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Okta­ven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.

Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Inter­valle wird den Griechen einiger­maßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstel­lung von ld(3/2)=​[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Ketten­bruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,​41,​53,306,665,… Inter­valle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,​31,​179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] ent­schieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=​[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgen­den 5 im Ketten­bruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).

7 | 12 | Oktave

Oktave hat natürlich etwas mit acht zu tun und bezeichnet (ursprünglich) das von zwei Tönen einer Tonleiter gebildete Intervall, wenn es acht Töne umfaßt, so man beide Randtöne voll mitzählt. In den gängigen Tonleitern führt das immer auf ein Schwingungsverhältnis von 2:1, was sicherheitshalber als reine Oktave bezeichnet wird, denn es sind Abweichungen davon möglich. Zum einen könnten die Oktaven absichtlich verstimmt werden, etwa zur Anpassung an die Quinte oder das menschliche Gehör. Zum anderen könnten sieben Tonschritte durchaus weit neben 2:1 liegen. Das geht aber nicht soweit, daß sieben Halbtonschritte der Zwölftonleiter als Oktave bezeichnet werden, denn heutzutage orientiert man sich an der gängigen Notation. Eine Oktave ist immer das, was vier Notenlinien und vier Zwischenräume umfaßt.

Langer Rede kurzer Sinn: Jeder weiß, was eine Oktave sein soll, doch der Name ist nicht sehr günstig und seine Verwendung für weit von der reinen Oktave abweichende Intervalle auch. Besser wäre eine Bezeichnung auf der Basis der eingeschlossenen Halbtonschritte, für die halbwegs bei 2:1 liegenden Intervalle also irgendwas mit zwölf. Und unsere Urväter können sich nicht damit entschuldigen, die Zwölftonmusik nicht gekannt zu haben, denn sie wußten besser als wir heute, wie groß die einzelnen Intervalle sind und daß man sich das Leben mit additionstauglichen Namen erleichtert. Da Strafe sein muß, ist es lustig zu sehen, wenn zur Versetzung um zwei Oktaven eine 16 über oder unter dem Notenschlüssel steht, obwohl 15 richtig wäre. Mit den Wochen ist es umgekehrt, da sagen wir in 8 bzw. 14 Tagen. Zur Übung: Ein 10-bändiges Lexikon mit 1000 Seiten pro Band steht im Regal. Ein Bücherwurm frißt sich von der ersten Seite des ersten Bandes auf die letzte Seite des letzten durch. Wieviele Seiten hat er durchlöchert?

7 | 12

Die Zahlen 4, 8 und 12 kommen dem naheliegende Bedürfnis des Menschen entgegen, einen periodischen Prozeß in vier Teile zu gliedern. Drei wären recht unpraktisch, weil ein dreigeteilter Kreis nicht in die rechteckige Welt paßt. Zwei sind zu wenig, denn sie wechseln sich nur ab, daß ihre Abfolge nicht mehr die Drehrichtung einer Kreisbewegung zu bezeichnen vermag. Diese Viertelung zeichnet natürlich die Zahl 4 aus und hebt deren Vielfache hervor. Dazu gehören die 4, 8 oder gar 16 Himmelsrichtungen. Auch sind 12 Monate im Jahr ein Glücksfall, der vier Jahreszeiten oder Quartale zu drei Monaten gestattet. Und die Woche mit ihren 7 Tagen wird nicht zufällig nur knapp unter der Zeit für eine Mondphase, dem Viertel des Mondumlaufes zurückbleiben. Das Bedürfnis der Vierteilung erfreut sich sogar dort großer Beliebtheit, wo es nicht um periodische Vorgänge geht und eigentlich sinnlos ist: Alle 25 Jahre feiern wir ein Jubiläum, mit 25 muß man heute eine Quarterlifecrisis haben und der 250. Todestag ist nicht irgendeiner. Die Zeit Jesu in der Wüste wird wohl nur deshalb mit 40 Tagen angesetzt sein, weil ein Viertel davon 10 Tage sind. Daß alle vier Jahre ein Schaltjahr ist, liegt weitgehend an der Jahreslänge mit fast einem viertel Tag über 365. Alle 400 Jahre aber das alle 100 Jahre ausgefallene Schaltjahr wieder einzusetzen, entspringt nicht allein dem Bedürfnis, den Frühlingsanfang nicht weglaufen zu lassen, sondern auch dem Denken in Viererzyklen, denn 500 Jahre wären einfacher und besser gewesen.

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