Teilbarkeitsregeln
wuerg, 06.06.2005 17:42
Manche Zahlen haben einfache Teilbarkeitsregeln, andere nicht. Das liegt an ihrer Darstellung zur Basis 10, die eine mehr oder minder günstige Vorarbeit leistet. Deshalb gibt es einfache, allgemein bekannte Regeln für die Teiler der Zahlen 9, 10, 11 und 100, also für 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 20, 25, 50 und 100.
1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. [1] Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 am Ende.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [2] durch 3 teilbar ist. [1]
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. [1] Das sind die Zahlen mit 0 oder 5 am Ende.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist. [5] Verbleiben mehr als drei Stellen, kann der Prozeß wiederholt werden. Verbleiben drei Stellen, kann das Doppelte der Hunderterstelle den anderen beiden zugeschlagen werden.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [2] durch 9 teilbar ist. [1]
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer [1] eine 0 ist.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [3] durch 11 teilbar ist. [6]
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist. [5]
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [7]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [7]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [7]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten. [1]
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [8] durch 27 teilbar ist. [1]
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [7]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 10 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [8] durch 37 teilbar ist. [1]
[1] Diese Regel führt auch auf den gleichen Divisionsrest. Sie testet also nicht nur die Teilbarkeit, sondern bestimmt auch den bei der Division bleibenden Rest.
[2] Die Quersumme ist die Summe der Ziffern.
[3] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert werden.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß sie abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Bei Zahlen mit weniger als sechs Stellen ist es wohl am einfachsten, die führenden von den hinteren drei abzuziehen.
[5] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn der gesamte rechte Dreierblock (Hunderter, Zehner, Einer) addiert wird.
[6] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn die Einerstelle addiert wird.
[7] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Auch im Zeitalter vor dem Computer hat man sie sich nicht gemerkt, zumal die Durchführung der Division nicht deutlich länger dauert und dazu noch den Divisionsrest liefert.
[8] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke ist die Summe aller Dreierblöcke der normalen Zahlgliederung in Tausendern.
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1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. [1] Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 am Ende.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [2] durch 3 teilbar ist. [1]
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. [1] Das sind die Zahlen mit 0 oder 5 am Ende.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist. [5] Verbleiben mehr als drei Stellen, kann der Prozeß wiederholt werden. Verbleiben drei Stellen, kann das Doppelte der Hunderterstelle den anderen beiden zugeschlagen werden.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [2] durch 9 teilbar ist. [1]
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer [1] eine 0 ist.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [3] durch 11 teilbar ist. [6]
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist. [5]
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [7]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [7]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [7]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten. [1]
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [8] durch 27 teilbar ist. [1]
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [7]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 10 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [8] durch 37 teilbar ist. [1]
[1] Diese Regel führt auch auf den gleichen Divisionsrest. Sie testet also nicht nur die Teilbarkeit, sondern bestimmt auch den bei der Division bleibenden Rest.
[2] Die Quersumme ist die Summe der Ziffern.
[3] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert werden.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß sie abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Bei Zahlen mit weniger als sechs Stellen ist es wohl am einfachsten, die führenden von den hinteren drei abzuziehen.
[5] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn der gesamte rechte Dreierblock (Hunderter, Zehner, Einer) addiert wird.
[6] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn die Einerstelle addiert wird.
[7] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Auch im Zeitalter vor dem Computer hat man sie sich nicht gemerkt, zumal die Durchführung der Division nicht deutlich länger dauert und dazu noch den Divisionsrest liefert.
[8] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke ist die Summe aller Dreierblöcke der normalen Zahlgliederung in Tausendern.
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wuerg,
09.06.2005 10:50
Die einfachste ohne Kenntnis ausgefallener Regeln einsetzbare Methode, die Teilbarkeit zu prüfen, besteht schlicht und ergreifend darin, die Division auszuführen. Da es nicht auf das Ergebnis, sondern nur auf den Divisionsrest ankommt, können zahlreiche Vereinfachungen genutzt werden. Zum Beispiel:
123456 : 7 2345678 : 23 3456789 : 37 53 45 4597 44 226 6018 25 197 249 46 --> nicht teilbar 138 --> teilbar 27 --> Rest 27Im linken Beispiel wurde lediglich darauf verzichtet, die abzuziehenden Vielfachen von 7 zu notieren. Der Divisionsvorgang ist im Prinzip ungekürzt. Im mittleren Beispiel konnte der glückliche Umstand der führenden 23 zu einer Vereinfachung genutzt werden. Im dritten stecken schon etwas mehr Kenntnisse: Dreimal wurde ausgenutz, daß 999 durch 37 teilbar ist. Deshalb konnte aus den vierstelligen Zwischenergebnissen die führende Ziffer gestrichen und den verbleibenden drei zugeschlagen werden. Im letzten Schritt wurde die beliebte Tatsache genutzt, daß alle dreistelligen Schnapszahlen durch 37 teilbar sind. Je mehr glückliche Umstände man kennt und sieht, desto zügiger geht es. Nochmals die ersten beiden Beispiele:
123456 hinten 56 weg 2345678 vorne 23 weg 1234 hinten 14 weg 45678 von 46000 abgezogen 122 nicht teilbar 322 teilbarIm linken Fall konnte man durch Subtraktion von 56 zwei Nullen erreichen und streichen, im rechten ausnutzen, daß es auf das Vorzeichen nicht ankommt. Der Schreibaufwand reduziert sich weiter, wenn man nicht wie hier dargestellt die Zwischenergebnisse notiert, sondern einfach Ziffern streicht oder überschreibt. In einfachen Fällen ist sogar die gesamte Durchführung im Kopf möglich.
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evasive,
09.06.2005 11:38
Da haben Sie ja eine wunderbare Liste erstellt, alle diese alten Regeln (bis Punkt 9), gingen über die Jahre verloren und sind jetzt wieder wachgerufen worden. Danke.
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wuerg,
09.06.2005 12:24
Der praktische Wert war auch vor der Verbreitung des Taschenrechners gering. Trotzdem sollte in den Schulen weiterhin versucht werden, neben den trivialen Regeln auch die für 7 zu vermitteln. Wie das Ziehen der Quadratwurzel von Hand vermittelt es gewisse Einsichten.
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wuerg,
10.06.2005 10:47
Man kann eine Regel für die Teilbarkeit durch n finden, indem man sich überlegt, welche Reste b(i) die i-ten Zehnerpotenzen bei Division durch n lassen. Eine Zahl a der Ziffernfolge ...a(3)a(2)a(1)a(0) läßt dann den gleichen Rest wie die Quersumme
b(0)·a(0) + b(1)·a(1) + b(2)·a(2) + b(3)·a(3) + ...
Gelegentlich führt das auf einfache Regeln. Einige Beispiele:
Für n=3 ist b(0)=b(1)=b(2)=...=1, was ein ausgesprochener Glücksfall ist und auf die Quersumme a(0)+a(1)+a(2)+... im engeren Sprachsinne führt. Eine Zahl ist also durch 3 teilbar, wenn die Summe aller Ziffern durch 3 geteilt werden kann.
Für n=11 ergibt sich b(i)=1 für gerade und b(i)=10 für ungerade i. Da 10 und -1 modulo 11 gleich sind, ist eine Zahl durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme a(0)-a(1)+a(2)-a(3)+... durch 11 geteilt werden kann.
Mit n=7 tut man sich schwerer. Die b(i) haben eine Periodenlänge von 6. Damit kann man Sechserblöcke der zu testenden Zahl addieren und muß nur noch die verbleibende sechsstellige Zahl auf Teilbarkeit prüfen, was keine für Menschen geeignete Regel ist. Da aber nicht zufällig b(i)+b(i+3)=7 ist, können alternativ Dreierblöcke abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Die Zahl a läßt bei Division durch n also den gleichen Rest wie die alternierende Quersumme
[a(0)+10a(1)+100a(2)] - [a(3)+10a(4)+100a(5)] + [a(6)+10a(7)+100a(8)] - ...
der Dreierblöcke. Ist das Ergebnis mehr als dreistellig, so kann erneut die Quersumme gebildet werden. Wer die verbleibende Zahl xyz nicht zügig durch 7 zu dividieren vermag, der kann wegen b(0)=1, b(1)=3 und b(2)=2 auf 2x+3y+z reduzieren. Praktikabler ist es aber, die Hunderterstelle z verdoppelt xy zuzuschlagen.
b(0)·a(0) + b(1)·a(1) + b(2)·a(2) + b(3)·a(3) + ...
Gelegentlich führt das auf einfache Regeln. Einige Beispiele:
Für n=3 ist b(0)=b(1)=b(2)=...=1, was ein ausgesprochener Glücksfall ist und auf die Quersumme a(0)+a(1)+a(2)+... im engeren Sprachsinne führt. Eine Zahl ist also durch 3 teilbar, wenn die Summe aller Ziffern durch 3 geteilt werden kann.
Für n=11 ergibt sich b(i)=1 für gerade und b(i)=10 für ungerade i. Da 10 und -1 modulo 11 gleich sind, ist eine Zahl durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme a(0)-a(1)+a(2)-a(3)+... durch 11 geteilt werden kann.
Mit n=7 tut man sich schwerer. Die b(i) haben eine Periodenlänge von 6. Damit kann man Sechserblöcke der zu testenden Zahl addieren und muß nur noch die verbleibende sechsstellige Zahl auf Teilbarkeit prüfen, was keine für Menschen geeignete Regel ist. Da aber nicht zufällig b(i)+b(i+3)=7 ist, können alternativ Dreierblöcke abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Die Zahl a läßt bei Division durch n also den gleichen Rest wie die alternierende Quersumme
[a(0)+10a(1)+100a(2)] - [a(3)+10a(4)+100a(5)] + [a(6)+10a(7)+100a(8)] - ...
der Dreierblöcke. Ist das Ergebnis mehr als dreistellig, so kann erneut die Quersumme gebildet werden. Wer die verbleibende Zahl xyz nicht zügig durch 7 zu dividieren vermag, der kann wegen b(0)=1, b(1)=3 und b(2)=2 auf 2x+3y+z reduzieren. Praktikabler ist es aber, die Hunderterstelle z verdoppelt xy zuzuschlagen.
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