Zwölf
Die Zahl Zwölf ist sicherlich bedeutend, nicht nur als Produkt der beiden heiligen Zahlen Drei und Vier, zu deren Summe 7=3+4 die bekannte musika­lische Bezie­hung besteht, daß zwölf Quinten recht genau sieben Okta­ven umfassen. Das liegt daran, daß 3^12=531441 nur knapp über 2^(12+7)=​524288 liegt, weshalb die gleich­stufige Quinte gegenüber der reinen nur um einen hundert­stel Ganzton zu klein ist.

Duodezimalzahlen zur Basis zwölf wären zu unseren Dezimal­zahlen eine ernst­hafte Alter­native gewesen, weil zwölf viele Teiler hat. Es gab eine Zeit, da man sich von der 16 verab­schie­dete und der 12 zuwandte, den Fuß nicht mehr in 16 Fin­ger, son­dern in 12 Zoll teilte. Jahrhunderte hielt sich auch das Lsd-​System [1] mit einer Libra (Pfund) zu 20 Solidi (Schil­ling), jeder geteilt in 12 Denari (Pence), wie ich es noch aus England kenne. Von wenigen rück­stän­digen Staaten abge­sehen hat sich aber das Dezimal­system nicht nur bei den Zahlen, son­dern im gesam­ten Leben durch­gesetzt. Geblie­ben sind die zwölf Sterne auf der Europa­flagge, der Zwölf­stunden­tag und das Dutzend [2].

Wie kam es parallel zum Dezimalsystem zu den vielen Zwölf­tei­lungen, nicht nur des Tages, auch der Himmels­rich­tungen und Isra­elis? Ich glaube nicht, daß es an 36 Ster­nen lag, die den Ägyptern zur Zeit- oder Winkel­mes­sung gedient haben sollen. Plau­sibler finde ich die Herlei­tung aus den natür­lich vorhan­denen zwölf Monaten im Jahr, die zu zwölf Tier­kreis­zeichen Anlaß gaben. Wenn man sie des nachts zur Zeit­mes­sung verwen­dete, lagen zwölf Stunden nahe, die baby­loni­schen Doppel­stun­den. [3] Halbie­rung ergab 24 Stun­den. Es hätten aber auch 48 werden können. Die Teilung von Tag und Nacht in jeweils zwölf zunächst nach Jahres­zeit ungleiche Stunden führte letzt­lich zur sog. kleinen Uhr mit zwei Umdre­hungen des Stunden­zeigers pro Tag. [4]

Zwölf ist die dreidimensionale Kußzahl, denn es lassen sich an eine Kugel bis zu zwölf gleicher Größe anlegen, eine drei­zehnte geht nicht, soviel es auch probiert wurde. Anders als in zwei Dimen­sionen, wo sechs Kreise an einem ohne zu wackeln anliegen und sieben offen­sicht­lich zuviel sind, lassen die zwölf Kugeln genü­gend Luft für eine drei­zehnte. Daß es bei 12 bleibt, bewiesen erst 1953 Kurt Schütte und Bartel Leen­dert van der Waerden, dessen berühmte Lehr­bücher der Algebra einfach „van der Waerden I und II“ heißen. [5]

Der Dodekaeder wird aus zwölf Fünfecken gebildet, entspre­chend hat der Iko­saeder zwölf Ecken. Der Würfel hat zwölf Kanten, damit auch der Okta­eder. Die Wurzel aus zwei wird durch 17/12=​1,417 besser genähert als durch 7/5 oder 10/7, kann aber gegen die 11-glatte 99/70=​1,41429 nicht anstin­ken. Bleiben die ziffern­ver­tausch­ten Qua­drate 144 und 441 der ziffern­ver­tausch­ten 12 bzw. 21, was aber ein­fach den sehr klei­nen Zif­fern 1 und 2 geschul­det ist. Und nicht zu ver­gessen die durch Sheldon Cooper bekannte Tat­sache, daß 37 und 73 die 12. bzw. 21. Prim­zahl sind.

Zwölf ist der kleinste Teiler­protz, denn die Summe 1+2+3+4+6=16 ihrer Teiler ist größer als 12 selbst. [6] Sie ist auch die kleinste Zahl mit mehr als vier Teilern. Es sind sogar sechs. Und weil sowohl Teiler­anzahl 6 als auch Teiler­summe 28 voll­kommen sind, hat sich irgend­wer dafür die Bezeich­nung erha­ben ausge­dacht, um so an sehr seltene Zahlen zu kommen, von denen zwölf die kleinste ist. Eine wei­tere mit 76 Stel­len ist bekannt, sonst nix.



Zwölf als dritte Fünfeckzahl

Zwölf ist die dritte Fünfeckzahl. Die erste Figur des vorste­henden Bildes zeigt ihre Entste­hung nach dem Bil­dungs­gesetz 1+4+7=12. Die zweite formt dieses Gebilde zu einer kom­pakten Figur in Form eines Hauses, dem man in der dritten die für alle Fünf­eck­zahlen mög­liche Zusammen­setzung aus Quadrat und Dreieck ent­nehmem kann. Wem es gefällt, kann die ebenso allge­meine Zerlegung in ein großes und zwei klei­nere Drei­ecke bevor­zugen.

Unter den vielen pythagoreischen Tripeln, also den Lösungen von x^2+y^2=z^2 gibt es nur eines mit aufein­ander­fol­genden natür­lichen Zahlen, das all­seits bekannte 3^2+4^2=5^2. Doch wie steht es mit fünf auf­ein­ander­fol­genden Zahlen mit drei links und zwei rechts vom Gleich­heits­zeichen? Auch diese ein­zige Lösung kann man schnell finden: 10^2+11^2+12^2=​13^2+14^2. Die Summe ist übrigens so groß wie das Jahr Tage hat, nämlich 365. Ich erwähne diese Bezie­hung hier, weil 12 die mitt­lere der fünf Zahlen ist. Verall­gemei­nert man auf k+1 Sum­man­den links und k rechts, so ergibt sich für die mitt­lere Zahl das Vier­fache der k-ten Drei­ecks­zahl. Im Falle k=2 also 4D(2)=4x3=12.

Ich verzichte hier darauf, die bis auf Drehung und Spiege­lung 12 der insge­samt 92 Mög­lich­keiten darzu­stellen, acht Damen derart auf ein Schach­brett zu stellen, daß sie sich nicht gegen­seitig schlagen. Ich lasse es als eine nette Aufgabe, die eine von den zwölfen zu finden, die unter Rota­tion um 180 Grad in sich selbst übergeht. Ihret­wegen sind es insge­samt 11x8+1x4=92 und nicht 96 Lö­sun­gen. Ist es zu mühsam, einfach in der Wiki­pedia unter Damen­problem nach­sehen.

Bleibt die Bibel. Gerhard Kringe [7] schreibt: „Die Zahl '12' spielt in Verbin­dung mit Israel eine große Rolle. Da diese Zahl für den Kosmos steht, ist es ein Hinweis, daß Israel seine Auf­gaben im Kosmos, bzw. auf dieser Erde hat.“ Ohne gerade als Deut­scher die Rolle Isra­els schmä­lern zu wollen, ist es doch eher umge­kehrt: Zwölf war und ist den Juden wichtig und steht deshalb manchem für den Kosmos. Und weiter: „Diese Zahl zieht sich durch die ganze Bibel. Es ist die Zahl der Monate (Monde) und der Tier­kreis­zei­chen ... Israel 12 Stämme hat, daß Jesus 12 Jün­ger ... im neuen Jeru­salem sind die 12 Tore aus 12 Perlen gemacht. Die Bäume des Lebens tragen 12 mal Frucht im Jahr.“ Unbe­strit­ten spielt die Zwölf im Leben der Men­schen noch heute eine große Rolle, doch wird sie ein­fach hinge­nommen, ohne einen Gedan­ken an ko(s)mi­sche Bezie­hungen zu ver­schwen­den: „In dieser Zahl 12 ist 2 mal die Zahl des Men­schen enthal­ten (6) ... finden wir in den 24 Äl­testen 2 mal die Zahl 12. Bei dieser Zahl 24 geht es um Voll­macht und Voll­endung.“

[1] Normalerweise wird das L als Pfund­zeichen geschrie­ben, doch habe ich mich ent­schlossen, auf seltene Sonder­zeichen zu ver­zichten, die wie in den Anfän­gen der Daten­verar­beitung immer noch nicht überall korrekt darge­stellt werden.

[2] Vergessen sind Stiege (20 oder 24), Schock (60), groß Hundert (120), Gros (144) und groß Gros (1728).

[3] Trotz des Sexagesimalsystems wurden die Doppel­stunden in nur 30 „Minuten“ geglie­dert, was wohl dem Monat zu 30 Tagen nach­empfun­den war. Dadurch entsprach ein Tag im Jahr etwa einer „Minute“ des Tages. Bei aber­maliger Tei­lung in 360 „Sekunden“ wären diese 2/3 heutige Sekunden lang. Ein Stab­pendel von 0,6615 Metern benötigt auf dem 30. Brei­ten­grad diese Zeit für eine Halb­schwin­gung. Das sind genau zwei reale Gudea­fuß. Es ist also plau­sibel, daß Gudea sein reales Längen­maß vom Sekunden­pendel ablei­tete, ohne die moderne Sekunde zu kennen.

[4] Wenn man nur bis zwölf schlägt, ist es nahe­liegend und mecha­nisch von Vorteil, zweimal umlaufen zu lassen. Ein Nach­teil besteht darin, daß Süden nicht ungefähr auf der Mittags­zeit (in Deutsch­land etwa 12:30 im Winter und 13:30 im Sommer) liegt, wenn man den Stunden­zeiger auf die Sonne richtet, son­dern auf der Winkel­halbie­renden zwi­schen Stunden­zeiger und Mittags­zeit. Das alles ist natür­lich kein Grund, die Uhrzeit zweimal von 1:00 bis 12:59 durch­zuzählen. Vor allem nicht 12:00pm auf 11:59am und 1:00am auf 12:59am folgen zu lassen. Und welcher Ameri­kaner weiß schon, daß noon mehr­heitlich 12:00pm und nicht 12:00am ist? Man komme ihm nicht mit Plau­sibi­lität, weil eine Sekunde nach Mittag ja 12:00:01pm sei.

[5] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A002336. Mindestkußzahlen im Rahmen eines Gitters: 2, 6, 12, 24, 40, 72, 126, 240, ... Nur für Dimen­sionen 1, 2, 3, 4, 8, 24 sind 2, 6, 12, 24, 240, 196560 als wirkliche Kuß­zahlen bekannt.

[6] Das klingt schöner als: Eine Zahl n heißt Teiler­protz, wenn die Summe ihrer Teiler größer als 2n ist. Alter­nativ könnte man sagen, die Summe der echten Teiler muß größer als n selbst sein, muß sich aber fragen lassen, warum 1 mitzählt.

[7] Gerhard Kringe: Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes. Die Zahl 12 und 13.

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24 Älteste?
Waren das nicht sogar 72 Mitglieder im Sanhedrin?

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Dort waren es nur 71. Wahrscheinlich ließ man einen Platz frei. Aber in der Offenbarung des Johannes, Kapitel 4, Vers 4 sind es 24. Es gibt eben für jeden etwas in der Geschichte und der Bibel.

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Ach ja,
ausgerechnet die hatte ich grade nicht aufm Schirm. Aber das mit dem Platz frei und den 71 wußte ich nicht. Wahrscheinlich habe ich nicht genau genug gelesen, wenn irgendwo von 72 Sitzen in diesem Gremium die Rede war...

Mit den in der Apokalypse ebenfalls erwähnten 144.TSD Auserwählten haben wir ja auch wieder den 12er-Dreh gekriegt. Und ich habe mir schon verschiedentlich einen Spaß daraus gemacht, Zeugen Jehovas an meiner Tür darzulegen, dass es ziemlich schwachsinnig wäre, mich einer Glaubensgemeinschaft anzuschließen, die nur Platz für ebendiese Anzahl von Auserwählten im Himmel sieht, aber gleichzeitig bereits mehrere Millionen Mitglieder zählt.

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Das mit dem freien Platz habe ich erfunden, weil manche Christen Jesus ja auch einen Teller hinstellen. Vielleicht war der 72. der Hohepriester. Von insgesamt 73 (Hohepriester und 72 Mitglieder) habe ich auch gelesen. Doch egal, wie es war und für manche wieder sein solte: Älteste gibt es überall, manchmal eben auch 24.

Mit dem 144-Tausender-Argument kann man keinen Zeugen Jehova mehr beeindrucken. In meiner Jugend klopften diese Winzer Gottes neben den Mormonen noch regelmäßig an unsere Tür, und einmal hielt ich ihnen entgegen, was sie aber schon wußten: Die 144.000 Plätze sind bereits alle besetzt.

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