Zahlwort

Gelegentlich hat man sogar im tägli­chen Leben das Problem, Ab­schnit­te sinn­voll zu benen­nen. Auf den ersten Blick mag es selbst­ver­ständ­lich erschei­nen, einen Bereich von einer gan­zen Zahl n bis zur näch­sten n+1 mit n zu bezeich­nen, denkt sich also Zahlen wie x=12,345 aus n=12 und x−n=0,345 zusam­menge­setzt. Ein Blick auf die nega­tiven Zahlen trübt aber diesen eben­mäßi­gen Eindruck, denn x=−12,345 läge dann im Inter­vall n=−13. Man mag deshalb unsere Dar­stel­lung nega­tiver Zahlen für falsch halten und eine andere bevor­zugen, wie sie vor der Ein­füh­rung des Taschen­rech­ners ab der dritten Klasse beim Rech­nen mit Loga­rith­men üblich war. Man ent­nahm die Werte einer Tafel und kam für den Loga­rith­mus von 0,0123 auf 0,09−2, nicht −1,91.

Auf der anderen Seite muß man in der üblichen Darstel­lung bei Multi­plika­tion mit −1 nur das Vor­zei­chen austau­schen und beim Zehn­fachen keine Hand­stände machen. Von der Symme­trie um den Null­punkt herum ganz zu schwei­gen. Das darf aber nicht dazu ver­lei­ten, ein­fach die Vor­komma­stel­len als Inter­vall­num­mern zu ver­wen­den, denn dann haben wir um die 0 herum ein grö­ßeres Inter­vall oder zwei, +0 und −0 mit der Frage, in wel­ches denn die 0 selbst fällt. Und des­halb waren unsere Vorfahren gar nicht so dumm, zum Erhalt der Symme­trie auf das nullte Inter­vall zu ver­zich­ten, kein Jahr 0 zu haben und die Jahre 1901 bis 2000 als 20. Jahr­hun­dert, nicht als nove­cento zu bezeich­nen.

Für einen modernen im Zweier­komple­ment rech­nenden Computer ist es selbst­ver­ständ­lich, die Null weder auszu­lassen noch zu ver­dop­peln. Es schadete aber Pro­gram­mie­rern nicht, wenn For­tran ihnen früher einen Beginn mit der 1 auf­zwang. Wo ist das Problem mit dritt­halb, schließ­lich gibt es mit andert­halb ja auch keines? Auch drei­vier­tel Vier sollte man ver­ste­hen. Und warum halten manche sich für geist­reich, darauf hinzu­weisen, daß der letzte Tag des 20. Jahr­hun­derts der 31. De­zem­ber 2000 gewe­sen sei? Das ändert doch nichts an den Pro­blemen ein Jahr zuvor, die nicht Jahr­tau­send­wech­sel, sondern Jahr‐2000‐Umstel­lung hießen. Schließlich weiß doch jeder, daß er sich mit dem 17. Ge­burts­tag im 18. Lebens­jahr befindet. So wie man ins erste Lebens­jahr gebo­ren wird und der erste Geburts­tag noch auf sich warten läßt, gleich­wohl es doch schon einen wirk­lichen gege­ben hat.

Es ist weit­gehend eine Schön­heits­frage, ob man bei 0 oder 1 beginnt. Und so erin­nere ich mich immer noch daran, daß ein Pro­fes­sor aus­gerech­net mich unver­mit­telt frug, ob es zur Nume­rie­rung der n+1 Ecken eines n‑di­men­sio­na­len Sim­ple­xes besser sei, bei 0 oder bei 1 zu begin­nen. Meine Ant­wort habe ich ver­ges­sen. Aber eines war mir damals bereits klar: Es kommt auf den Kon­text an, auf Einfach­heit, Eben­mäßig­keit und prak­ti­schen Nutzen.

−0 | 00 | noon | Logarithmen

In der sehr guten gleich­schwebenden Tei­lung der Oktave in 53 Schrit­te bil­den 31 eine fast reine Quinte, weil die 2³¹ sehr genau (3∕2)⁵³ trifft. Die Zahl 31 ist die fünfte Mer­senne-​Zahl. Damit über­rascht 31=1+2+4+8+16 als Summe der ersten fünf Zweier­poten­zen nicht. Mit 31=1+5+25 ist 31 aber auch Summe der ersten drei Fünfer­poten­zen.

Die Zahl 13 hat es im Gegensatz zur 31 nicht zum Sinn­bild der Ver­eini­gung von Gott (1) und Drei­einig­keit (3) ge­bracht. Als gerechter Aus­gleich ist 13 die kleinste aller Mirp-​Zahlen. Das sind Prim­zahlen, die rück­wärts ge­schrie­ben eine andere Prim­zahl ergeben. Zwar ist 31 eine solche Mirp­zahl, doch sind 13 und 17 kleiner. Ein­stel­lige Zahlen und 11 sind als Palin­drome nicht mirp, 19 schei­det wegen 91=7·13 aus.

Bekannt ist die 31 natür­lich auch als Monats­länge. Gemei­ner­weise weist unser Ka­len­der in Schalt­jahren nicht ein­fach je sechs Monate zu 30 bzw. 31 Ta­gen auf, wovon in Normal­jahren einer von 31 auf 30 gekürzt würde, am besten der Dezem­ber. Des­halb lernte man früher in der Schule ent­lang der Finger­kno­chen der Hände:

Faust der linken Hand   Faust der rechten Hand

Jan   Mrz   Mai   Jul   Aug   Okt   Dez   nix
   Feb   Apr   Jun         Sep   Nov   nix

 f     g     a     h     c     d     e
   fis    as    b          cis    es

Um den Kreis zur Musik zu schlie­ßen, habe ich unter den beiden Fäusten die C‑Dur-​Ton­leiter mit ihrem Grund­ton f begin­nend no­tiert. Die weißen Kla­vier­tasten haben 31 Tage, die schwar­zen weniger. Schöner­weise fällt der Februar auf den Trito­nus. In Normal­jahren mit 28 Tagen könnte es mit ‚fis der eigent­liche dia­toni­sche (45/32), in Schalt­jahren mit ’ges der grö­ßere zweite (64/45) sein.

30 | 32 | 13 | 53

Der päpst­lichen 84 hätte ich nicht irgend­eine Zahl wie 230 fol­gen las­sen dür­fen. Es hätte gleich 53 sein müssen, denn

2 hoch 84 = 19342813113834066795298816 und
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723

liegen bemer­kens­wert nah bei­ein­ander, was zur Tei­lung der Oktave in 53 glei­che Inter­valle ver­lei­tet. Die Quinte läge mit 84−53=31 Inter­val­len nur 0,069 Cent unter der reinen. Auch große und kleine Terz werden mit 17 und 14 recht genau getrof­fen. Ihre Diffe­renz von 3 Ton­schrit­ten ist deut­lich gerin­ger als die 5 eines dia­toni­schen Halb­tones. Zwei davon über­steigen die 8 und 9 eines klei­nen bzw. großen Ganz­tones deut­lich. Und deren Diffe­renz von einem Schritt trifft gut das syn­toni­sche Komma.

Damit ist die 53‑Tei­lung der Oktave geeig­net, die enhar­moni­schen Ver­wech­selun­gen unse­rer 12‑Ton­lei­ter zu stu­die­ren. Und selbst­verständ­lich wurde begin­nend mit der Tei­lung der schwar­zen Tasten ver­sucht, geeig­nete Instru­mente zu bauen. Heut­zutage kann man die Töne elektro­nisch erzeu­gen und eine ge­schick­te Bele­gung der Compu­ter­tasta­tur ver­suchen. Doch prak­tisch sind auch dann 53 Töne einfach zuviel.

Wie kommt man auf 53, nicht 24 oder 36? Und eigent­lich auch: Warum 12? Dazu ent­wickelt man die reine Quinte von ld(3∕2) Okta­ven ein­fach in einen Ketten­bruch:

1,0000000 : 0,5849625 = 1 Rest 0,4150375  1=1·1+0    1=0·1+1
0,5849625 : 0,4150375 = 1 Rest 0,1699250  2=1·1+1    1=1·1+0
0,4150375 : 0,1699250 = 2 Rest 0,0751875  5=2·2+1    3=2·1+1
0,1699250 : 0,0751875 = 2 Rest 0,0195500 12=2·5+2    7=2·3+3
0,0751875 : 0,0195500 = 3 Rest 0,0165375 41=3·12+5  24=3·7+3
0,0195500 : 0,0165375 = 1 Rest 0,0030125 53=1·41+12 31=1·24+7
0,0165375 : 0,0030125 = 5 Rest 0,0014750

Eine gemessen am Auf­wand sehr gute gleich­schwe­bende Tei­lung der Oktave erhält man durch Abschnei­dung des Ketten­bruches ld(3/2)=[0;1,1,2,2,3,1,5,…] vor einer mög­lichst großen Stelle. So ergibt [0;1,1,2,2]=7/12 unsere 12‑Ton­leiter mit einer um 1,995 Cent zu klei­nen Quinte. Die nächste bessere aus [0;1,1,2,2,3,1]=31/53 ist die 53‑Ton­leiter, deren Quinte nur um 0,069 Cent zu klein ist. Das kann kein Mensch mehr hören. Auch die 2 Cent Verstim­mung der 12‑Ton­leiter nur anhand von Schwebungen.

31 | 84 | Oktave | Quinte

Mein allererster Beitrag unter zahlwort.blogger.de war und ist der mit Nummer 230 unter der Über­schrift 20six. Aufge­rufen und damit teil­weise gele­sen wurde er bisher 176 mal. Das schafft ein Alpha-​Blogger mit neun von zehn Beiträgen am ersten Tag.

Lange Zeit herrschte auf den unteren der 25 ange­zeig­ten Plätze nur eine leichte Diffu­sion. So hat es mich über­rascht, heute nach nur drei Tagen meinen Beitrag mit der Über­schrift 84 zum Tode des Papstes dort auftau­chen zu sehen. Sollte ich nun auch auf die Quote schielen? Ich muß ja keine Sex­ge­schich­ten erfinden, wenn es reicht, Reiz­wörter einzu­bauen.

Inzwischen sind 17 Jah­re vergan­gen. Wider meine Erwar­tung genügen 10.000 für Platz 25 nicht mehr. Und es haben sich Themen mit inter­essan­ten mathe­mati­schen oder zahlen­basier­ten Themen durch­ge­setzt. Nur kurze Zeit konn­ten sich dank hit­ziger Debat­ten ein paar Bei­träge zu Corona hoch­arbei­ten. Der letzte wird wohl bald einge­holt.

Nunmehr sind wir im vierten Corona-​Jahr und die Impf­binse ist immer noch nicht aus der Liste der 25  meist­gelesenen Beiträge ver­schwunden, weil die Impf­gegner und Corona­leugner immer noch von einem grenzen­losen Missions­drang beseelt sind, um in die Geschichte als die­jenigen einzu­gehen, die von Anfang an recht hatten. Auch die Ukraine konnte sie davon nicht ablenken.

84 | 20six | EPORN | Impfbinse

Im Alter von 84 Jah­ren ist heute Papst Johan­nes Paul II gestor­ben. Das ist die Zeit für ein volles mensch­liches Leben aus zwöl­fmal sie­ben Jahren, in denen der Ura­nus einmal die Sonne umkreist.

Was gibt es sonst noch zu sagen: 2 hoch 84 liegt sehr knapp unter 3 hoch 53, weshalb eine Teilung der Oktave in 53 gleiche Inter­valle eine sehr genaue Quinte mit 84−53=31 Ton­schrit­ten aufweist:

2 hoch 84 = 19342813113834066795298816
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723

7 | 12 | 31 | 53 | heilige Zahlen

Die Zahl 28 ist Summe 1+2+4+7+14 ihrer Teiler, sofern man von 28 selbst absieht. Sie ist damit zwi­schen 6 und 496 die zweite voll­kom­mene Zahl. Ob es eine unge­rade gibt, weiß man nicht, die geraden sind alle von der Form Mₙ⋅2ⁿ⁻¹ mit einer primen Mer­senne­zahl Mₙ=2ⁿ−1. Die Suche nach geraden voll­kom­menen Zahlen ist somit auf die nach Mer­senne-Prim­zahlen zurück­ge­führt. [1] Wenn man seinen PC nicht für die Suche nach Außer­irdi­schen zur Ver­fü­gung stel­len will, wäre er frei für das GIMPS‐Pro­jekt. [2]

Jede gerade vollkom­mene Zahl ist Sechs­eck­zahl, 28 ist die vierte. Im nach­stehenden Bild ist die Defini­tion H₄=​1+5+9+13=28 darge­stellt. Daneben die übli­che Zer­le­gung H₄=​4²+2⋅D₃ in ein Qua­drat und zwei Drei­ecke. Es geht auch mit zwei sich über­lappen­den Qua­draten. Wie jede Sechs­eck­zahl ist 28 zugleich Drei­ecks­zahl, und zwar die siebte. Das zuge­hörige Drei­eck kann gemäß D₇=D₄+3⋅D₃ in ein großes inne­res mit drei klei­nere an den Ecken geteilt wer­den. Da 7 zudem von der Form 3n−2 ist, ist auch ein inne­res Sechs­eck mit 19 Punk­ten samt drei noch klei­neren Drei­ecken zu 3 Punk­ten möglich, womit 28 dritte zen­trierte Neun­eck­zahl 1+9+18 ist.

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28 als normale Sechseckzahl und als zentrierte Neuneckzahl (png)

Daß 28 die kleinste Zahl ist, die auf zwei­fache Weise als Summe von vier Quadra­ten darge­stellt werden kann, verwun­dert nicht, zumal 27 die klein­ste für drei Summan­den ist. Auch 28 als Keith‐Zahl haut nicht vom Sockel, weil 14 bereits eine ist und bei der Ver­doppe­lung kein Über­trag ent­steht:

1, 4,  5,  9, 14       (1+4=5, 4+5=9, 5+9=14)
2, 8, 10, 18, 28  (2+8=10, 8+10=18, 10+18=28)

Bleiben nur die 28 Buch­staben ver­schie­dener Alpha­bete, ins­beson­dere des ara­bischen aus 14 Son­nen- und 14 Mond­buch­staben, die 28 Tage des Februar, die vier Wochen und der Sonnen­zyklus von 28 Jahren. Er ist von wenig astro­nomi­scher Bedeu­tung und grün­det sich auf den schlich­ten Umstand, daß im julia­nischen Kalen­der jeder Tag nach 28 Jahren wieder auf den glei­chen Wochen­tag fällt. Das gilt von 1901 bis 2099 auch für unseren grego­riani­schen Kalen­der.

Die Univac 1108 war mög­licher­weise ein 36‑Bit-Rechner, um sechs Zeichen zu sechs Bit in einem Wort spei­chern zu können. Eine Spur des Trom­mel­spei­chers Fast­rand II hatte 1024 Bit und konnte somit 28 dieser Wörter spei­chern. Zur Berech­nung der rich­tigen Spur und Posi­tion mußte des­halb ständig durch 28 samt Rest geteilt wer­den. Das wurde durch eine gesonderte Hardware erledigt. Berühmt wurde diese Fast­rand-Zahl aber schon im 19. Jahr­hun­dert, nach­dem sie durch Baron Gustav von Fast­rand wäh­­rend einer Expe­­di­tion zwi­schen der 27 und der 29 ent­­deckt wurde. [3]

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000043, A000668, A000396.

[2] Great Internet Mersenne Prime Search.

[3] The Fastrand II. Fourmilab Switzerland. Zur Einnerung an die Daten­verar­bei­tung der Sieb­ziger­jahre.

27 | 29

Die Quadratzahl 25 ist Summe auf­ein­ander­fol­gen­der Quadrat­zahlen 9 und 16 und somit zugleich zentrierte Quadratzahl. Aus den ersten 25 Zahlen kann ein magisches Quadrat der Größe 5 mal 5 gebildet werden. Es ist nach Sa­turn (3) und Jupi­ter (4) dem Mars zuge­ordnet, dazu neben 5 und 25 auch die magi­sche Zahl 65 und die Gesamt­summe 325. Weil 25−1=24 nicht nur durch die dritte Drei­ecks­zahl 6 geteilt werden kann, was die 25 zur vierten zen­trierten Qua­drat­zahl macht, sondern auch durch die weniger inter­es­sante zweite Drei­ecks­zahl 3, ist 25 auch die dritte zen­trierte Acht­eckzahl.

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    ○       ○         ●   ●   ●   ●     23  5  7 14 16
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    ○       ○         ●   ●   ●   ●     10 12 19 21  3
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25 als zentrierte Achteck- und Quadratzahl, magisches Quadrat (png)

Nach siebenmal sieben Jahren war bei den Juden jedes 50. Jahr ein Erlaß­jahr, später dann im Chri­sten­tum ein hei­liges Jahr, das nunmehr vom Papst alle 25 Jahre durch das Ein­schla­gen einer Tür einge­läutet wird. Diese Bevorzugung der 25 ist schlichte Folge der Vier­tei­lung des Jahr­hun­derts. Deshalb wird die Silberhochzeit nach 25 und nicht nach 20 oder 30 Jahren gefeiert. Und wir neigen zu merk­würdigen Gedenk­tagen nach 75, 125 oder 375 Ja­hren. Das wird dadurch beför­dert, daß Viel­fache von 25 sämt­lich auf 25, 50, 75 oder 00 enden, die 25 sich also gut vererbt, was natür­lich direkte Folge der Vier­teilung ist.

So wie Numerlogen gerne die iterierte Quersumme bilden, bis sie bei einer Ziffer von 1 bis 9 ange­kommen sind, so kann man es auch mit dem Produkt hand­haben: Immer wieder alle Ziffern multi­pli­zieren, bis man bei 0 bis 9 landet. [1] Die Zahlen 0 bis 9 benö­tigen keinen Schritt, 10 bis 19 einen, um in ihre End­ziffer über­zugehen, 20 bis 24 erge­ben sofort 0, 2, 4, 6 bzw. 8, aber 25 geht in 10 und ist damit die klein­ste Zahl, die zwei Schritte benö­tigt.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Interes­santer als das ite­rierte Quer­produkt A031347 selbst sind die Schritte A031346 bis zur Ein­stellig­keit und die klein­sten Zahlen A003001, die eine vorge­gebene Schritt­zahl erfor­dern.

24 | 26 | Fortpflanzung | Vierteilung