sieben
Die Woche hat sieben Tage und alle Kalender­reformen überdauert. Wehrten sich gegen die Verschiebung des Wochen­beginns von Sonntag auf Montag nur einge­fleischte Christen, werden dennoch die Heiden keinen Tag akzeptieren, der die Reihen­folge der sieben Wochentage unterbricht. Warum aber hat die Woche sieben Tage? Die Namen scheinen die Antwort zu geben: Wegen der sieben sicht­baren beweg­lichen Gestirne, Sonne, Mond samt fünf Planeten. Neben dieser Sicht 7=2+5 gibt es 7=3+4, die Zusammen­setzung aus den heiligen Zahlen 3 und 4, wodurch 7 nochmals zu einer solchen wird. Grund­sätz­lich kann die 7 auch als Erhöung der 6 gesehen werden, was an meine Schulzeit erinnert: Das war eine Sechs, denn eine Sieben gibt es leider nicht.

Die Zahl π ist ungefähr 22/7, Dreiecke mit Kanten der Länge 5,5,7 und 7,7,10 sind fast rechtwinklig, und der Zyklus von 12 Quinten umfaßt recht genau 7 Oktaven. Aber was ist das schon. Die 7 ist eine überbe­wertete Zahl. Tritt sie irgendwo auf, wird dies gerne erinnert. Hat man die Wahlfreiheit, so wird sie gerne genommen. Hinter der 7 hat man sich versammelt wie hinter einem Popstar. Alle machen mit, keiner weiß warum, und mancher fragt sich, ob es nicht bessere gibt. Ich sehe kaum mehr als die siebentägige Woche. Und die wird sich aus der Vierteilung eines Monats ergeben haben, was gut auf die sieben Gestirne paßte. Einen von sieben Tagen zu feiern, war wohl aus religiösen Gründen geboten und gerade noch wirtschaft­lich vertretbar. Die Juden feiern den letzten Tag der Schöpfung, an dem Gott ruhte, die Christen den Tag des Herrn, an dem alles begann. Von der genauen Uhrzeit einmal abgesehen, geht die Woche für beide von Sonntag bis Samstag. Auch für die Moslems, denn der Tag der Versamm­lung ist Freitag, der sechste Tag auch ihrer Woche.

Heutzutage gibt es Taschen­rechner, die neben Dezimal­zahlen auch Brüche darstellen. Mich hat ein solcher vor Jahren überrascht, als ich die Antwort ein dreiviertel auf eine Rechen­aufgabe hörte, wo ich mit eins Komma sieben fünf, was ist denn das gerechnet hätte. Dabei kann man so gut glänzen, wenn man nicht nur 1/4=0,25 und 1/3=0,333..., sondern auch 1/7=0,142857142857... runterbeten kann, was auch noch ganz einfach zu merken ist: Immer das Doppelte von 7, nämlich 14, 28, 56. Und weil das Doppelte von 56 über 100 liegt, entsteht ein Übertrag, also 57 statt 56. Die Abfolge 14-28-57 ist also recht systema­tisch, was natürlich eine schlichte Ursache hat. Die Zahl 100 läßt bei Division durch 7 den Rest 2, weshalb sich stets verdoppelnde Zweier­blöcke ergeben.

Um eine Zahl auf Teilbarkeit durch 2 oder 5 zu testen, reicht die Überprüfung der letzten Stelle aus. Bei 4 muß man schon die letzten beiden Stellen nehmen, bei 3 geht es mit der Quersumme und bei 6 überprüft man die Teilbarkeit auf 2 und auf 3. Die Zahl 7 ist der erste harte Fall. Auf der bereits erwähnten Tatsache, daß 100 bei Division durch 7 den Rest 2 läßt, baut eine Teilbar­keitsregel auf: Das Doppelte des vorderen Zweier­blockes wird immer dem folgenden zugeschlagen. Prakti­kabel ist diese Regel wohl nur bei dreistel­ligen Zahlen. Zwei Beispiele:

678 läßt Rest 6, weil 2·6+78=90 den Rest 6 läßt
567 ist teilbar, weil 2·5+67=77 teilbar ist

Eine Quersummen­regel wie mit der 3 ergibt sich nur daraus, daß 999999=7·142857 ist. Da ist sie übrigens wieder die Folge 14-28-57, natürlich nicht zufällig. Die Regel lautet deshalb: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die Summe der Sechser­blöcke durch 7 teilbar ist. Das bringt dem Menschen nicht viel. Günstiger, doch immer noch unange­nehm ist die beste mir bekannte Methode der alter­nierenden Quersumme über Dreier­blöcke, wozu diese abwechseln addiert und subtrahiert werden. Das liegt daran, daß 1001=7·11·13 ist. Wieder ein Beispiel:

123456789 läßt den Rest 1, weil 123-456+789=456 den Rest 1 läßt

Können diese Regeln vereinfacht werden, wenn der Divisions­rest nicht interes­siert und nur die Teilbar­keit wichtig ist? Bei der Zahl 7 ist das meines Wissens nur in beschei­denem Umfange möglich. Die auf Zweier­blöcke basierende Regel leitete sich daraus ab, daß eine Zahl 100a+b bei Division durch 7 den gleichen Rest läßt wie 2a+b. Für den Menschen ist diese Regel nicht so angenehm. Besser wäre es, von hinten jeweils das Vielfache eines Zweier­blockes oder nur der letzten Ziffer zu addieren. Glücklicher­weise ist 10a+b durch 7 teilbar, wenn das Fünfache 50a+5b und somit a+5b es ist. Es muß also nur das einfach zu ermittelnde Fünffache der Endziffer dem verblei­benden Rest zuge­schlagen werden. Ein Beispiel:

8638 → 863+5·8=903 → 90+5·3=105 → 10+5·5=35 ist teilbar
8639 → 863+5·9=908 → 90+5·8=130 → 13+5·0=13 läßt Rest 6

Als Nachfolger der durch 7 teilbaren Zahl 8638 läßt 8639 natürlich den Rest 1, führt aber auf 13 mit dem Rest 6. Also Vorsicht! Außerdem muß das Verfahren bei größeren Zahlen mit möglichst wenig Schreibaufwand durchgeführt werden. Die fortwährende Addition der großen Zwischenergebnisse wäre doch zu mühsam.

Zusammen­fassend kann ich sagen: Für dreistellige Zahlen ist das anfäng­liche Verfahren gut, das die Hunderter verdoppelt und dem Rest zuschlägt. Bei etwas größeren Zahlen kann das Fünffache der Endziffer dem Rest zuge­schlagen werden, bei ganz großen Zahlen lohnt sich die geschickt errechnete alter­nierende Quersumme der Dreier­blöcke. Doch irgendwie ist man mit einer echten Division durch 7 auch nicht langsamer.

Selbst im Zeitalter vor dem Taschen­rechner war das Thema Teilbarkeit mit den einfachen Fällen 2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,15,... praktisch erschöpft. Eine 7er-Regel zu erlernen, lohnt sich nicht. Jedenfalls nicht für Dezimal­zahlen. Wie aber steht es um Binär­zahlen? Da die 7 binär 111 geschrieben wird, ist die Teilbar­keits­regel klar: Es wird die Quersumme aus Dreier­blöcken gebildet und diese auf Teilbar­keit durch 7 geprüft. Ein Beispiel:

binäre Rechnung: 101100101 → 101+100+101=1110 → 1+110=111 ist teilbar
dezimale Übersetzung: 357=5·64+4·8+5 → 5+4+5=14=1·8+6 → 1+6=7

Das nützt dem Menschen nichts, aber vielleicht dem Computer, wenn er gleich manchen Rechen­künstlern mit der geschwinden Nennung des Wochen­tages zu einem gegebenen Datum brillieren möchte. Und hier ist das Verfahren eigentlich nur erwänt, um die Frage zu stellen, warum der Schwierig­keitsgrad von Teilbar­keits­regeln mit der Zahldar­stellung variiert. Weil durch die dezimale, binäre oder andere Darstellung derselben Zahl schon eine Vorarbeit von unterschied­lichem Nutzen geleistet wurde.

6 | 8 | 777 | 28-57-14-29 | Vierteilung | Teilbarkeitsregeln | heilige Zahlen

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