25
Die Zahl 25 ist selbstverständlich eine Quadratzahl, und man kann aus den Zahlen 1 bis 25 ein magisches Quadrat bilden. Das ist wie bei allen ungradzahligen Quadraten ganz einfach:
17 24  1  8 15
23  5  7 14 16
 4  6 13 20 22
10 12 19 21  3
11 18 25  2  9
Die Summe aller 25 Zahlen ist natürlich (26*25)/2=325, womit Zeilen, Spalten und Diagonalen sich auf 65 zu addieren haben. Wie die 3x3-Quadrate dem Saturn und die 4x4-Quadrate dem Jupiter zugeordnet werden, so ist es von innen nach außen denkend der Mars bei den 5x5-Quadraten und den Zahlen 5, 25, 65 und 325.

Bekanntlich ist 25 auch die kleinste Quadratzahl, die Summe zweier Quadratzahlen ist, womit Kanten der Längen 3, 4 und 5 nach dem Satz des Pythagoras ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Eine Schnur mit 12 gleichen, etwa durch Knoten markierten Abschnitten ist somit ein kompakter und mobiler rechter Winkel. Wer den Satz des Pythagoras zuerst gefunden hat, muß wohl offen bleiben, weil auf so lange Sicht nicht mehr zu klären ist, bei welchen unserer frühen Vorfahren es sich um eine wirkliche Erkenntnis und nicht nur einen experimentellen Befund handelte.

Es ist gar nicht so unwahrscheinlich, daß eine Quadratzahl Summe zweier anderer ist, zumal dies bei den übrigen Zahlen auch oft zutrifft. Unterhalb von 25 bei 2, 5, 8, 10, 13, 17, 18 und 20. Nach der Quadratzahl zu 5 gibt es Treffer bei 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37 und vielen weiteren, die recht leicht zu finden sind. Manche mögen den Treffer bei 13 mit 144+25=169, andere den bei 37 mit 1025+144=1369 lieben. Schön ist auch der bei 29 mit 400+441=841, weil die Summanden fast gleich groß sind und 20*20+21*21=29*29 auf die sehr gute Näherung (20+21)/29=41/29 der Quadratwurzel aus 2 führt.

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Die Zahl 25 hat einen starken Fortpflanzungsdrang. Jedes vierte Vielfache endet wieder auf 25. Es gibt zwar noch die Endungen 75,250,750,2500,... mit der gleichen Fortpflanzungsrate und 0,5,00,50,000,500,... mit einer höheren, doch ist 25 die kleinste unter allen, die nicht trivial sind. Konkurrenz erwächst der 25 nur in anderen Basen als 10. Zur Basis 6,10,14,18,... sind es die Ziffernfolgen 13,25,37,49,..., die den ungeraden Quadratzahlen 9,25,49,81,... entsprechen. Darunter ist aber 25 die einzige, deren beiden Ziffern multipliziert die zugehörige Basis 10=2*5 ergibt.

Letztere Eigenschaft gibt Anlaß zur Frage nach den Teilern 'xy' von '100' in der Darstellung zur Basis b=xy. Da 'xy' für die Zahl bx+y=y(x^2+1)und '100' für b^2=(xy)^2 steht, ist zu untersuchen, für welche x und y die Zahl y(x^2+1) ein Teiler von (x*y)^2 ist. Für jedes x>1 gibt es eine Basislösung mit f=x^2, y=f+1, b=xy und z=y^2, daß zur Basis b die Zahl '100' das f-fache der Zahl z='xy' ist. Weitere Lösungen zu vorgegebenem x erhält man, indem alle vier Werte f, y, b und z der Basislösung mit einem beliebigen Faktor n multipliziert werden.
x   f      y      b     z       f*'xy'='100' zur Basis 'x'*'y'=z
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2  4='4'  5='5'  10   25='25' '4'*'25'='100' zur Basis '2'*'5'=10
3  9='9' 10='A'  30  100='3A' '9'*'3A'='100' zur Basis '3'*'A'=30
4 16='G' 17='H'  68  289='4H' 'G'*'4H'='100' zur Basis '4'*'H'=68
5 25='P' 26='Q' 130  676='5Q' 'P'*'5Q'='100' zur Basis '5'*'Q'=130
Für x=3 und n=2 erhält man y=20, z=200, f=18 und die Basis b=60, die als Beispiel gut geeignet ist, weil Menschen mit "Uhrzeiten" einigermaßen rechnen können: Es ist 3:20 der 18-te Teil von 1:00:00 und gleichzeitig bildet das Produkt der Ziffern 3 und 20 die Basis 3*20=60. Der einfachste Fall aber ist x=2 und n=1, wofür man y=5, z=25 und die Basis b=10 erhält. Es ist 25 der 4-te Teil von 100 und gleichzeitig bildet das Produkt der Ziffern 2 und 5 die Basis 2*5=10. Es zeichnet die 25 aus, die kleinste aller Zahlen mit dieser Eigenschaft zu sein.

Fortpflanzung

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25 ist sowohl 3. zentrierte Achteckzahl als auch 5. Quadratzahl
a3=a2+16=9+16=1+8+16=25

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 3   2     2   3

3   2   1   2   3

 3   2     2   3
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a3=1+8D2=1+8*3=1+24=25=52

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