24
Die Zahl 24 habe ich bisher ausgespart, weil ich für eine annähernd kompetente Äußerung zu ihrer Bedeutung noch jahrelang studieren müßte. Es soll mir undurchsichtige Verbindung zur möglichen realen Welt geben, die nicht drei- oder vier Dimensionen, sondern 8+2 oder 24+2 haben soll. Eine damit im Zusammenhang stehende herausragende Eigenschaft der 24 ist die Packung des 24-dimensionalen Raumes mit 24-dimensionalen Kugeln, in der jede Kugel 196560 andere berührt.

Mathematisch kommt die 24 leicht wegen 4!=1*2*3*4=24 ins Spiel. Die Zahl der Möglichkeiten, vier Dinge aus n zu ziehen ist n(n-1)(n-2)(n-3)/24. Doch das allein hebt die Zahl 24 nicht aus der Reihe 1,2,6,24,120,720,... der Fakultäten hervor. Gemeinsam mit diesen Zahlen ist der 24 die hohe Zahl an Teilern und eine entsprechend große Teilersumme 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Da diese Summe 60 die Zahl 24 selbst um mehr als das Doppelte übersteigt, ist 24 wie auch 12 oder 36 ein Teilerprotz.

Verblüffender ist das Vorkommen der Zahl 24 in der Beziehung
1*1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 + ... + 23*23 + 24*24 = 70*70
denn für keine andere Zahl n ist die Summe der ersten n Quadratzahlen selbst wieder eine Quadratzahl. Es ist nicht schwer, sich zu überlegen oder nachzuschlagen, daß eine quadratische Pyramide mit n Punkten auf jeder Kante genau
P(n) = 1*1 + 2*2 + 3*3 + ... + n*n = n(n+1)(2n+1)/6
Punkte umfaßt. Somit lautet die Frage, für welche n diese Anzahl P(n) eine Quadratzahl m*m ist, also n*(n+1)*(2n+1)=6*m*m gilt. Die einzige Lösung ist n=24 und m=70. Richtig verwunderlich ist es aber auch nicht: Man überlegt sich, daß n, n+1 und 2n+1 alle drei Quadratzahlen oder das Zwei-, Drei- oder Sechsfache davon sein müssen. Und damit reduziert sich alles auf Beziehungen zwischen Quadratzahlen. So könnte man n=8=2*(2*2) und n+1=9=3*3 probieren, doch leider ist 2n+1=8+9=17 keine Quadratzahl. Erfolgreicher ist natürlich n=24=6*(2*2) und n+1=25=5*5, denn 2n+1=24+25=49=7*7 ist eine Quadratzahl.

Das beweist selbstverständlich nicht, daß n=24 die einzige Lösung ist, macht aber deutlich, warum gerade dies Zahl. Zum einen liegt 24 genau vor einer Quadratzahl, zum anderen ist 24 selbst das Sechsfache einer Quadratzahl. Der Faktor 6 rührt letztlich aus der Dreidimensionalität der Aufgabenstellung und ist schon die halbe Miete. Doch ohne das Glück von 24+25=49 geht es natürlich auch nicht.

Kurz: Die Häufigkeit der Zahl 24 ist zwar bemerkenswert, doch so verwunderlich auch nicht. Ein Faktor kommt aus der einen, der andere aus der anderen Ecke, und schon hat man die 24 beisammen. So hat der Tag 24 Stunden, weil er wie die Nacht früher 12 hatte. Ein Faktor 2 kommt aus der Verdoppelung, der andere Faktor 12 wohl aus dem Mondlauf. Trotzdem könnte die alles erklärende Zahl nicht 42, sondern doch 24 sein.

196560

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Man kann sich natürlich zu jeder Zahl fragen, wie sie durch gewisse Operationen aus anderen hervorgeht. Als Knobelaufgabe scheint aber die Zahl 24 sehr beliebt zu sein. Eric Weisstein nennt ein paar Beispiele, wie 24 aus dreimal der gleichen Zahl zu bilden ist. Und eine beliebte Knobelaufgabe ist es, von 1, 3, 4 und 6 auf 24 zu kommen.

Weisstein

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Ah, Sie tasten sich
an die 42 ran. Die Lesergemeinde wartet schon gespannt...

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Ja, zunächst wollte ich alle natürlichen Zahlen unterhalb von 42 abgegrast haben, denn zur Zahl 42 ist eigentlich schon zuviel gesagt. Aus dem gleichen Grunde ließ ich auch die 23 lange Zeit aus.

Die 24 ist ebenfalls nicht einfach, und erschwerend kommt hinzu, daß sie eine 42 in umgekehrter Ziffernfolge darstellt.

13-24-42-54-69

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Diesen Hinweis
auf die Umkehrung der Ziffern hatte ich noch im Ohr, und da Sie die 41 gerade bearbeitet haben, dachte ich, schau an, dramaturgisch sehr geschickt, um die Spannung zu erhöhen.

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Zur Lösung des gesamten Aufgabenkomplexes, aus vier Zahlen mit Hilfe der vier Grundrechenarten eine Zahl wie 24 zu bilden, gibt es Programme. Zumeist liefern sie keine, viele und dann zumeist uninteressante Lösungen. Deshalb besticht die einzige zu den Zahlen 1, 3, 4 und 6. Sie lautet: 24=6/(1-3/4)

Oplossingen

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