Fortpflanzung
wuerg, 29.09.2005 19:38
Gerade den kleinen Zahlen werden gerne menschliche Eigenschaften zugeordnet. So gelten die geraden als weiblich, die ungeraden als männlich. Und wie Menschen sich mehr oder minder stark fortpflanzen, so ist es mit den Zahlen. Die Ziffer 5 pflanzt sich mit 50% fort, weil jedes zweite Vielfache einer auf 5 endenden Zahl wieder eine 5 am Schluß aufweist. Besser ist nur noch die triviale 0 mit 100% Fortpflanzungsrate. Mit 20% mäßig breiten sich die geraden Ziffern 2, 4, 6 und 8 aus. Ganz schlecht sind die verbleibenden vier Ziffern 1, 3, 7 und 9, die es nur auf 10% bringen. Im zweistelligen Bereich haben 25 und 75 eine Rate von 25%, denn
Daraus sollte man nicht vorschnell eine Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, da andere Zahlen sich in anderen Basen ebenso gut fortpflanzen könnten. Man überlegt sich leicht, daß zur Basis b die n-stellige Fortpflanzungsrate r(b,n,a) einer Zahl a kleiner als b^n (zur Basis b maximal n Stellen) sich gemäß
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen mit hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100-prozentige Fortpflanzung muß a=0 (mod b^n) sein. Damit ist a=0 die einzige Zahl, die sich zu 100% fortpflanzt, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht? Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=b^n/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die 5 ist als nichts besonderes. Die zweistelligen sind 2,8,18,32,50,72,... zu den Basen 2,4,6,8,10,12,...
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%). Sie wird bei 3a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur durch 3 teilbare Basen b erlauben eine Rate von 1/3. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=b^n/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen nämlich in der Basis b, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht unbedingt durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=b^n/4 und das Dreifache davon. Damit sind 1 und 3 zur Basis 2, 4 und 12 zur Basis 4, 9 und 27 zur Basis 6, 16 und 48 zur Basis 8, 25 und 75 zur Basis 10, 36 und 108 zur Basis 12 usw. die zweistelligen Fortpflanzungen mit 25%. Die drei- und mehrstelligen liefern wieder nichts grundlegend neues: Dezimal sind es 250 und 750, 2500 und 7500 usw.
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x*x und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, aber die übrigen 1,3,4,9,12,16,... nicht mit 1%,3%,4%,9%,12%,16%,..., ist eine unzulässige Eigenschaft, da mit "Prozenten" die 100 reingesteckt wird und dadurch die Basis 10 herauskommt. So wie die 25 in der Basis 10 eine Rate von 25/100 (25 Prozent) hat, so erreicht zum Beispiel 9 in der Basis 6 eine Rate von 9/36 (9 Pro36). Für die Suche nach Besonderheiten sollte man sich deshalb die Zahlen a in der zugehörigen Basis b dargestellt ansehen:
5*25=125, 9*25=225, 13*25=325, 17*25=425, ... 5*75=375, 9*75=675, 13*75=975, 17*75=1275, ...Besser sind mit 100% bzw. 50% nur die trivialen Fälle 00 und 50. Nicht tiefschürfender sind 20, 40, 60 und 80 mit 20% Fortpflanzungsrate und 10, 30, 70 und 90 mit 10%. Es verbleiben 5% für 05, 15, 35, ..., 4% für 04, 08, 12, 16, 24, ..., 2% für 02, 06, 14, 18, 22, ... und 1% für den Rest. Damit sind 25 und 75 die sich am besten fortpflanzenden, nicht-trivialen zweistelligen Endungen, so wie es die 5 im einstelligen Bereich ist.
Daraus sollte man nicht vorschnell eine Bedeutung für die Zahl 25 ableiten, da andere Zahlen sich in anderen Basen ebenso gut fortpflanzen könnten. Man überlegt sich leicht, daß zur Basis b die n-stellige Fortpflanzungsrate r(b,n,a) einer Zahl a kleiner als b^n (zur Basis b maximal n Stellen) sich gemäß
r(b,n,a) = ggT(a,bn) / bn = a / kgV(a,bn)bestimmen läßt. Darin ist ggT der größte gemeinsame Teiler und kgV das kleinste gemeinsame Vielfache. Für den Paradefall a=25, b=10 und n=2 ergibt sich ggT(25,100)=25 und kgV(25,100)=100, also r=25/100=25%. Ein komplizierteres Beispiel zur Basis 60, in der Menschen wegen der Uhrzeit noch einigermaßen rechnen können: Für a=126, b=60 und n=2 ergibt sich ggT(126,3600)=18, also r=18/3600=1/200=0,5%. Zur Kontrolle die Vielfachen von a=126=2:06 (126 Sekunden sind 2 Minuten und 6 Sekunden):
2a=00:04:12, 3a=00:06:18, ..., 10a=00:21:00, 11a=00:23:06 12a=00:25:12, 13a=00:27:18, ..., 20a=00:42:00, 21a=00:44:06 22a=00:46:12, 23a=00:48:18, ..., 30a=01:03:00, 31a=01:05:06 ............ 92a=03:03:12, 93a=03:05:18, ..., 100a=03:30:00, 101a=03:32:06 ............ 192a=06:33:12, 193a=06:35:18, ..., 200a=07:00:00, 201a=07:02:06nach 200 Schritten endet 201a wieder mit 02:06. Vorher ist das nicht der Fall. Hinter den Punkten versteckt sich kein Treffer. Alle 10 Schritte wird **:06 erreicht, 10 mal 10 Schritte sind für *2:06 erforderlich und 200 dann für 02:06.
Mit diesem Rüstzeug lassen sich schnell alle Zahlen mit hoher Fortpflanzungsrate zu irgendeiner Basis und irgendeiner Stellenzahl bestimmen. Für eine 100-prozentige Fortpflanzung muß a=0 (mod b^n) sein. Damit ist a=0 die einzige Zahl, die sich zu 100% fortpflanzt, und zwar zu jeder Basis und zu jeder Stellenzahl. Wer hätte das gedacht? Die nächstkleinere Fortpflanzungsrate ist 50%. Sie wird bei 2a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur gerade Basen b erlauben eine Rate von 50%. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau eine Fortpflanzungszahl a=b^n/2. Insbesondere hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 50% zur Basis b=2a. Die 5 ist als nichts besonderes. Die zweistelligen sind 2,8,18,32,50,72,... zu den Basen 2,4,6,8,10,12,...
Die nächste mögliche Rate ist 1/3 (etwa 33%). Sie wird bei 3a=0 (mod b^n) mit a>0 erreicht. Nur durch 3 teilbare Basen b erlauben eine Rate von 1/3. Unter ihnen gibt es zu jeder Stellenzahl n genau zwei Fortpflanzungszahlen a=b^n/3 und das Doppelte davon. Wieder hat jede Zahl a eine einstellige Fortpflanzungsrate von 1/3, nämlich zur Basis 3a. Die zweistelligen sind 3 und 6 zur Basis 3, 12 und 24 zur Basis 6, 27 und 54 zur Basis 9 usw. Damit ist die Fortpflanzungsrate 1/3 auch nicht gerade interessanter als die von 1/2. Und das gleiche gilt für alle Raten 1/p mit einer Primzahl p. Schreibt man die sich mit 1/p fortpflanzenden Zahlen nämlich in der Basis b, so erkennt man die Trivialität sofort. Als Beispiel diene wieder die Basis b=60 und die Stellenzahl n=2:
01:00:00/2=30:00 mit Rate 1/2 (3*30:00=01:30:00, 5*30:00=02:30:00) 01:00:00/3=20:00 mit Rate 1/3 (4*20:00=01:20:00, 7*20:00=02:20:00) 2*20:00=40:00 mit Rate 1/3 (4*40:00=02:40:00, 7*40:00=04:40:00) 01:00:00/5=12:00 mit Rate 1/5 (6*12:00=01:12:00,11*12:00=02:12:00) 2*12:00=24:00 mit Rate 1/5 (6*24:00=02:24:00,11*24:00=04:24:00) 3*12:00=36:00 mit Rate 1/5 (6*36:00=03:36:00,11*36:00=06:36:00) 4*12:00=48:00 mit Rate 1/5 (6*48:00=04:48:00,11*48:00=08:48:00)Die mehrstelligen Fortpflanzungen mit Raten 1/p sind also nichts anderes als mit Nullen aufgeblähte einstellige. Interessant sind nur Zahlen a mit nicht-trivialer Fortpflanzung bei hoher Rate. Die sind zunächst bei 25% zu suchen. Dafür muß 4a=0 (mod b^n) sein, nicht aber schon 2a=0 (mod b^n). Für eine einstellige Fortpflanzung muß die Basis b durch 4 teilbar sein. Und dann sind a=b/4 und das Dreifache davon die einzigen Zahlen mit 25-prozentiger Fortpflanzung. Zur Basis 10 gibt es sie deshalb nicht, wohl aber wieder zur Basis 60, nämlich 15 und 45.
Nun kommt der erste interessante Aspekt: Bei mehrstelliger Fortpflanzung zu 25% muß die Basis b nicht unbedingt durch 4 teilbar sein, es reicht auch 2. Ungerade Basen lassen keine Rate von 25% zu, wohl aber alle geraden. Wieder trifft es genau zwei Zahlen, nämlich a=b^n/4 und das Dreifache davon. Damit sind 1 und 3 zur Basis 2, 4 und 12 zur Basis 4, 9 und 27 zur Basis 6, 16 und 48 zur Basis 8, 25 und 75 zur Basis 10, 36 und 108 zur Basis 12 usw. die zweistelligen Fortpflanzungen mit 25%. Die drei- und mehrstelligen liefern wieder nichts grundlegend neues: Dezimal sind es 250 und 750, 2500 und 7500 usw.
Zur Basis 10 ist also wie erwartet 25 die kleinste unter den Zahlen mit der stärksten nicht-trivialen Fortpflanzung. Doch leider ist das nichts besonderes, denn jede Quadratzahl a=x*x und ihr Dreifaches haben eine Fortpflanzungsrate von 25% in der Basis 2x. Was also zeichnet die 25 vor den anderen aus? Daß 25 sich mit 25% fortpflanzt, aber die übrigen 1,3,4,9,12,16,... nicht mit 1%,3%,4%,9%,12%,16%,..., ist eine unzulässige Eigenschaft, da mit "Prozenten" die 100 reingesteckt wird und dadurch die Basis 10 herauskommt. So wie die 25 in der Basis 10 eine Rate von 25/100 (25 Prozent) hat, so erreicht zum Beispiel 9 in der Basis 6 eine Rate von 9/36 (9 Pro36). Für die Suche nach Besonderheiten sollte man sich deshalb die Zahlen a in der zugehörigen Basis b dargestellt ansehen:
Basis Zahlen mit Rate 25% b dezimal Basis b --------------------------- 2 1 3 01 11 4 4 12 10 30 6 9 27 13 43 8 16 48 20 60 10 25 75 25 75 12 36 108 30 90 14 49 147 37 A7 16 64 192 40 C0 18 81 243 49 D7Ist die Basis b durch 4 teilbar, so ist die Einerstelle 0. Das sind also auch triviale Fälle, die man außen vor lassen kann. In den übrigen Basen b=4k+2 für k=0,1,2,... ist die Einerstelle 2k+1 und die "Zehnerstelle" k bzw. 3k+1. Das Produkt (2k+1)k bzw. (2k+1)(3k+1) aus Zehner- und Einerstelle ergibt die Basis b=4k+2 nur im ersten Falle und nur für k=2. Damit ist die Basis b=4k+2=10 ausgezeichnet. Die Einerstelle ist 2k+1=5, die Zehnerstelle k=2. Das ist die Zahl 25. Sie ist eine der Zahlen mit der größten nicht-trivialen Fortpflanzungsrate (nämlich 25%) und unter diesen die einzige, deren Einer- und Zehnerstelle in der zugehörigen Basis multipliziert eben diese Basis ergeben.
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