Zahlwort

Durch CSI:Miami kam ich auf die Zahl 420, über diese zu ihrem Dreifachen 1260 aus der Offenbarung des Johannes, Kapitel 11, Vers 3 und unter Verdoppelung auf 2520, die Anzahl der Tage in einer Danielwoche von 7 Jahren. Diese Zahl ist durch 1 bis 10 teilbar und nicht nur in dieser Beziehung die kleinste. Auch unter den EPORN (Equal Product Of Reversible Numbers) ist 2520 nicht zu unterbieten. Diese EPORN sind Zahlen, die sich auf mehrfache Weise als Produkt einer Zahl mit ihrem Spiegelbild schreiben lassen. Es ist

2520 = 210*012 = 120*021

was den mehr als flüchtigen Beobachter nicht vom Sockel hauen sollte, denn beide Produkte sind eigentlich nur verschiedene Stellungen der wenig originellen Ziffern 0, 1 und 2. Wer von einer EPORN mehr erwartet als immer das gleiche in anderer Reihenfolge, muß sich Mühe geben und eine Weile suchen. Dann findet er auch eine ohne 0 am Ende, nämlich

63504 = 441 * 144 = 252 * 252

die sogar eine Quadratzahl ist.

Gupta | Sloane

Fragen Sie mich lieber nicht, womit ich gerechnet habe, als ich auf der blogger.de-Startseite auf EPORN+++ klickte. Jedenfalls nicht Zahlwort. Die Überraschung ist Ihnen gelungen... ;-)))

Nachtrag: Nachdem sich hier nun auch ein Blog namens "A*schlecken" tummelt, muss man ja auf alles gefasst sein.

Es ist nun an der Zeit, meinen neuen Titel wieder etwas nach oben zu bringen, auf daß er die Nacht überstehe und morgen früh die Zahl der Aufrufe von der Startseite über die Marke von 50 komme. Das ist mein bescheidener Protest gegen ..., die sich durch zweierlei wichtig und breit machen:

1. aufdringliche Pornografie
2. überlange Titel

Hat es gewirkt oder war alles nur ein Werbegag? Die Titel sind wieder einzeilig und die Inhalte sittsamer. Nur die EPORN gibt es wirklich, die bleiben.

Die EPORN gehören sicherlich zu den Zahlen, deren hauptsächlicher Witz darin besteht, einen schönen Namen zu haben, der mir gerade recht über den Weg lief. Das Interesse an EPORN und andern Spielchen mit Ziffernvertauschung liegt den Menschen nahe, ist aber wegen der Abhängigkeit von unserer Zahldarstellung von wenig allgemeiner Bedeutung. Das gleiche gilt auch für Zahlen mit biblischem, historischem oder aktuellem Bezug. Denn Zahlen sind nicht davon abhängig, daß wir zur Basis 10 darstellen, die Woche sieben Tage lang ist, die Oktave zwölf Halbtöne hat und in der Bibel von 666 und 1260 geredet wird. Kämen Außerirdische zu uns und teilten alle diese Festlegungen, würden die 12 Halbtöne mich nicht überraschen, zufällig könnte es auch die Basis 10 oder die Siebetagewoche sein, womit 666 und 1260 gar nicht mehr so fern lägen. Sprächen sie auch noch die heilige amerikanische Sprache, kämen mir allmählich Zweifel, die unsere außerirdischen Freunde sicherlich bald zerstreuen würden: Sie haben gerade uns aufgesucht, weil wir wie sie zur Basis 10 rechnen und die Siebentagewoche haben. Zur Vorbereitung haben sie englisch gelernt, was auf der hundertjährigen Reise zu uns fast zu ihrer Muttersprache geworden ist.

Kurz gesagt: Es ist möglich, daß biblische Bezüge und die Zahldarstellung mit unseren 10 Ziffern besondere Bedeutung haben. Ich kann daran aber sowenig glauben wie an die Astrologie. Deshalb sind die EPORN für mich nur ein Spaß, und ein mäßiger dazu, denn sie kranken zunächst daran, daß bei Ziffernvertauschung führende Nullen auftreten. Schlösse man diese aus, so wären in den eine EPORN bildenden Faktoren auch keine Nullen am Ende erlaubt. Damit fielen die kleinsten einschließlich 2520 weg. Die Enzyklopädie für Zahlenfolgen nennt

2520,4030,5740,7360,7650,9760,10080,12070,13000,14580,14620,... 

als die kleinsten EPORN. Sie sind allesamt uninteressant. Sind a und b zwei ganze Zahlen (Ziffern) mit 10>a>b>0, so ist

p=10*(10a+b)*(10b+a)=<a,b,0>*<0,b,a>=<0,a,b>*<b,a,0>

eine EPORN. Natürlich soll <x,y,z,...> für die Zahl mit den Dezimalziffern x,y,z,... stehen. Analog funktioniert der Trick auch mit mehr als einer Zehnerpotenz und mit mehr als zweistelligen Zahlen. Ein paar Beispiele:

  2520 =  210*012 =   021*120
 25200 = 2100*0012 = 0021*1200
 27010 =  730*037  =  073*370
205020 = 2010*0102 = 0201*1020

Sie haben alle mindestens eine 0 am Ende, der von dem trivialen Faktor 10 herrührt und der nur möglich ist, weil führende Nullen zugelassen sind. Eine Endziffer 0 aus dem Produkt von 2 und 5 ist offensichtlich unterhalb von 205*502 nicht möglich. Was ist aber mit 63504, der kleinsten EPORN ohne Null am Ende? Auch sie ist trivial: Ist wieder 10>a>b>0 und

m = <a,b> = 10a+b
n = <b,a> = 10b+a
M = m*m = 100a2+10(2ab)+b2
N = n*n = 100b2+10(2ab)+a2
Q = m*n = 100ab+10(a2+b2)+ab

so sind M, N und P sicherlich drei verschiedene Zahlen und damit

P = M * N = Q * Q

eine EPORN, die zusätzlich auch Quadratzahl ist, sofern bei der Bildung von M, N und P keine Überträge entstanden sind. Für die recht kleine Basis 10 unserer Zahldarstellung ist das leider nur bei a=2 und b=1 der Fall:

m=21, n=12, M=21*21=441, N=12*12=144, Q=21*12=252, P=63504

Damit sind eigentlich alle EPORN uninteressant. Die kleinen sind wegen des Faktors 10 bedeutungslos, 63504 ist trivial, weil sie sich aus Multiplikationen ohne Übertrag ableitet, und alle übrigen Zahlen sind so groß, daß es auch einer großen Eigenschaft bedürfte, um sie bedeutend zu machen. So wundert es auch nicht, daß sich über den Erfinder Shyam Sunder Gupta hinaus kaum einer mit EPORN beschäftigt hat. Um sein Bemühen zu würdigen, eine schöne unendliche Folge von EPORN

      63504       =       2522 =       144*441
     7683984      =      27722 =      1584*4851
    782432784     =     279722 =     15984*48951
   78384320784    =    2799722 =    159984*489951
  7839843200784   =   27999722 =   1599984*4899951
 783998432000784  =  279999722 =  15999984*48999951
78399984320000784 = 2799999722 = 159999984*489999951

die ich aus seinem Beitrag im Internet abgeschrieben habe.

Angesicht der unendlichen Folge von EPORN

p(i) = [m(10i-1)] * [n(10i-1)] = [q(10i-1)]2 
     = 1599..9984 * 4899..9951 = 2799..99722

stellt sich die Frage, ob es außer m=16, n=49 und q=28 noch weitere zweistellige Lösungen gibt. Ein schlichtes Verfahren bestünde darin alle m=2,3,...,100 mit dem Computer zu überprüfen. Die Zahl n-1 ergibt sich durch Ziffernvertauschung der Zahl 100-m. Ist dann die Quadratwurzel aus m*n eine ganze Zahl, so liegt eine Lösung vor. Nicht nur mit dem Computer, auch von Hand mag dieses Verfahren das schnellste sein, weil es die folgenden Überlegungen erspart:

Die Zahl q muß vom Typ 9k+1 sein, also q=10,19,28,37,...,91. Die sich daraus ergebenden zehn Quadrate q*q gestatten nicht sehr viele Zerlegungen in Faktoren m und n mit 1<m<q<n<101. Und nur selten werden die Zahlen n-1=10a+b und m-1=10c+d zueinander passen. Dazu muß a+d=b+c=9 sein

 q*q     m*n   ab cd
-------------------------
10*10 =  2*50  01 49  nix
      =  4*25  03 24  nix
      =  5*20  04 19  nix
19*19 hat keine Zerlegung
28*28 =  8*98  07 97  nix
      = 14*56  13 55  nix
      = 16*49  15 48  Treffer!
37*27 hat keine Zerlegung
46*46 = 23*92  22 91  nix
55*55 hat keine Zerlegung
64*64 hat keine Zerlegung
73*73 hat keine Zerlegung
82*82 hat keine Zerlegung
91*91 hat keine Zerlegung

Für die Primzahlen q=19,37,73 (da sind sie wieder!) gibt es selbstverständlich keine Zerleung mit 1<m<q. Für q=55,64,73,82,91 scheitert es an n<101. Der einzige Treffer führt auf die bekannte und damit alleinige Lösung m=16, n=49 und q=28.

Auf der Suche nach einer weiteren Folge müssen also die Bedingungen entschärft werden. Eine Möglichkeit besteht darin, daß die zweite Zerlegung ebenfalls aus zwei verschieden Faktoren bestehen darf, also nur

p(i) = [m(10i-1)]*[n(10i-1)] = [q(10i-1)]*[r(10i-1)] 

natürlich mit verschiedenen m,n,q,r und ohne Beschränkung der Allgemeinheit q<n<m<r. Man kann erneut alle relevanten q durchprobieren. Aus ihnen ergibt sich r und nur eine kleine Zahl von m und n, für die q*r=m*n und 1<q<m<n<r<101 gilt. Doch artet dieses Verfahren etwas in Arbeit aus, daß man besser von Hand und noch besser mit dem Computer zu den 36 möglichen 10<q<r<101 einfach q*r ausrechnet. Man findet unter diesen Produkten q*r keine doppelten. Es gibt also keine keine weiteren Lösungen außer den trivialen für q<11, nämlich solchen mit führenden Nullen.