31
Was gibt es zur Zahl 31 zu sagen? In der fast perfekten Teilung der Oktave in 53 Töne bilden 31 Intervalle eine fast reine Quinte, weil die 31. Potenz von 2 sehr genau die 53. Potenz von 3/2 trifft. Die Zahl 31 ist die fünfte Mersenne-Zahl (2 hoch 5 minus 1) und sogar prim. Damit überrascht 31=1+2+4+8+16 als Summe der ersten 5 Zweierpotenzen nicht. Mit 31=1+5+25 ist 31 aber auch Summe der ersten 3 Fünferpotenzen.

Die Zahl 13 hat es nicht zum Sinnbild der Vereinigung von Gott (1) und Dreieinigkeit (3) geschafft. Dafür muß deshalb die 31 herhalten. Als gerechter Ausgleich ist 13 die kleinste aller Mirp-Zahlen. Das sind solche Primzahlen, die rückwärts geschrieben eine andere Primzahl ergeben. Auch 31 ist eine solche Mirpzahl, doch sind 13 und 17 kleiner. Einstellige Zahlen und 11 sind als Palindrome nicht mirp, und 19 scheidet wegen 91=7*13 aus.

Die 31 ist natürlich auch als Monatslänge bekannt. Merkwürdigerweise weist unser Kalender in Schaltjahren nicht einfach je sechs Monate zu 30 und zu 31 Tagen auf, wovon einer in Normaljahren von 31 auf 30 gekürzt würde. Damit es in der Schule Anzählverse zu lernen gibt, ist die Abfolge 31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31. Man kann auch beide Fäuste nebeneinander halten und in den hervorstehenden Knochen die langen Monate sehen
Faust der linken Hand     Faust der rechten Hand

Jan   Mrz   Mai   Jul     Aug   Okt   Dez   nix
   Feb   Apr   Jun           Sep   Nov   nix
Um aber den Kreis zur Musik zu schließen, gibt es auch die folgende Eselsbrücke: Die weißen Tasten des Klaviers entsprechen den Monaten mit 31 Tagen. Der August fällt auf das c, und der Januar auf den Grundton f der C-Dur-Tonleiter. Merken kann man sich auch noch, daß der verhunzte Monat Februar auf in c-basierter Denk- und Notationsweise auf den ebensolchen Ton fis bzw. ges fällt.

13 | 28 | 53

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53
Der österlichen oder päpstlichen 84 hätte ich nicht irgendeine Zahl wie 230 folgen lassen dürfen. Es hätte gleich 53 sein müssen, denn
2 hoch 84 = 19342813113834066795298816 und
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723
liegen bemerkenswert nah beieinander, was zur Teilung der Oktave in 53 gleiche Intervalle verleitet. Die Quinte wäre mit 84-53=31 Intervallen 701,886 Cent groß, was nur minimal von der reinen Quinte zu 701,955 Cent abweicht.

Auch die große Terz wird mit 17 Intervallen und 384,9 Cent recht genau getroffen. Rein wären es 386,3 Cent. Die aus drei Dur-Dreiklängen (0-17-31) gebildete Dur-Tonleiter und die aus drei Moll-Dreiklängen (0-14-31) gebildete Moll-Tonleiter setzen sich somit beide aus drei großen Ganztönen der Länge 9=2*31-53, zwei kleinen Ganztönen der Länge 8=17-9 und zwei Halbtönen der Länge 5=(53-3*9-2*8)/2 zusammen. Die zyklische Abfolge dieser Intervalle
...98598959859895... für Dur
...89598958959895... für moll
läßt sich nicht zur Deckung bringen. Die 53-Teilung macht also anschaulich deutlich, worin sich abgesehen vom Grundton zum Beipiel C-Dur und a-moll unterscheiden, nämlich im Ton d. Deutlich zu sehen ist auch, daß der Halbtonschritt mit 5 deutlich größer ist als ein halber Ganzton, drei große Terzen mit 51 um 2 hinter der Oktave zurückbleiben, 4 kleine Terzen sie mit 56 um 3 übersteigen und die Differenz zwischen beiden Terzen mit 3 deutlich kleiner als ein Halbton ist.

Und darin besteht auch der Wert dieser 53-Teilung. Sie beschreibt übersichtlich und genügend genau alle Tonbeziehungen, die in unserer üblichen 12-Teilung enharmonisch untergehen, zumal das syntonische Komma von 81/80 mit 21,5 Cent sehr genau durch eines der 53 Intervalle zu 22,6 Cent abgebildet wird. Weniger bedeutsam sind die Versuche, auf dieser Basis Musikinstrumente zu bauen. Es soll sie beginnend mit der Teilung der schwarzen Tasten auf Orgeln gegeben haben. Heutzutage kann man die Töne elektronisch erzeugen und eine geschickte Belegung der Computertastatur versuchen. Doch praktisch sind auch dann 53 Töne einfach zuviel.

84 | Oktave | Quinte | Terz

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230
Seit Jahr und Tag sind die ersten Plätze meiner meistgelesenen Beiträge durch die mit den kleinen Story-Nummern belegt. An erster Stelle steht immer noch der mit der kleinsten Nummer 230. Aufgerufen und teilweise auch gelesen wurde er bisher 176 mal. Das schafft ein Alpha-Blogger mit neun von zehn Beiträgen.

Lange Zeit war auch um die Anzeigegrenze bei Platz 25 herum nur eine leichte Diffusion zu sehen. So hat es mich überrascht, heute meinen Beitrag mit der Überschrift 84 vom Todestag des Papstes auf diesem 25. Platz zu sehen. Sollte ich nun auch auf die Quote schielen? Dazu muß ich ja keine Sexgeschichten erfinden, wenn es reicht, die Reizwörter einzubauen.

84

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84
Im Alter von 84 Jahren ist heute Papst Johannes Paul II gestorben. Das ist die Zeit für ein volles menschliches Leben aus zwölfmal sieben Jahren, in denen der Uranus einmal die Sonne umkreist.

7 | 12

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28
Die Zahl 28 ist sicherlich bemerkenswert. Zunächst ist sie mit 28=1+2+4+7+14 eine vollkommene Zahl, weil sie Summe ihrer Teiler ist, wenn man von dem größten Teiler 28 selbst einmal absieht. Mit dieser Eigenschaft ist sie zwar nicht die kleinste Zahl, doch bei 6=1+2+3 ist dies beim besten Willen nicht verwunderlich und läßt auch kein Prinzip erkennen. Bei 28=(1+2+4)+(8-1)+2*(8-1) ist es allerdings schon sichtbar und leitet zum nächsten Kandidaten 120=(1+2+4+8)+(16-1)+2*(16-2)+4*(16-1). Doch schon dessen Teiler 60, 40 und 30 machen deutlich, daß es so einfach nicht ist. Besser klappt es mit 496=(1+2+3+4+8+16)+31+62+124+248. Letztlich erweist sich, daß eine gerade Zahl genau dann vollkommen ist, wenn sie sich als 2^n*(2^(n+1)-1) darstellen läßt und der rechte Faktor prim ist. Da es sich dabei um die Mersenne-Zahlen M(n+1)=2^(n+1)-1 handelt, entspricht jeder Mersenneschen Primzahl eine gerade vollkommme Zahl. M(2)=3 gehört zu 6, M(3)=7 zu 28, M(5)=31 zu 496 und M(7)=127 zu 8128.

Wenn man seinen PC nicht für die Suche nach Außerirdischen zur Verfügung stellen will, dann wäre er frei für das GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search), in dessen Rahmen erst vor wenigen Wochen ein Deutscher die bisher größte Primzahl p=M(25.964.951) gefunden hat. Sie hat 7,8 Millionen Stellen. Die zugehörige und damit bisher größte bekannte vollkommene Zahl p*(p+1)/2 hat damit 15 Millionen Stellen. Die Suche geht weiter, auch die nach einer ungeraden vollkommenen Zahl, die bisher noch keiner gefunden hat und die es wohl auch nicht geben wird. Wüßte man es, könnte viel Rechenzeit gespart werden, wenn einige auch nie aufgeben werden, denn mit der Quadratur des Kreises versuchen es manche auch immer wieder.

M(11) | GIMPS

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25
Die Zahl 25 ist selbstverständlich eine Quadratzahl, und man kann aus den Zahlen 1 bis 25 ein magisches Quadrat bilden. Das ist wie bei allen ungradzahligen Quadraten ganz einfach:
17 24  1  8 15
23  5  7 14 16
 4  6 13 20 22
10 12 19 21  3
11 18 25  2  9
Die Summe aller 25 Zahlen ist natürlich (26*25)/2=325, womit Zeilen, Spalten und Diagonalen sich auf 65 zu addieren haben. Wie die 3x3-Quadrate dem Saturn und die 4x4-Quadrate dem Jupiter zugeordnet werden, so ist es von innen nach außen denkend der Mars bei den 5x5-Quadraten und den Zahlen 5, 25, 65 und 325.

Bekanntlich ist 25 auch die kleinste Quadratzahl, die Summe zweier Quadratzahlen ist, womit Kanten der Längen 3, 4 und 5 nach dem Satz des Pythagoras ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Eine Schnur mit 12 gleichen, etwa durch Knoten markierten Abschnitten ist somit ein kompakter und mobiler rechter Winkel. Wer den Satz des Pythagoras zuerst gefunden hat, muß wohl offen bleiben, weil auf so lange Sicht nicht mehr zu klären ist, bei welchen unserer frühen Vorfahren es sich um eine wirkliche Erkenntnis und nicht nur einen experimentellen Befund handelte.

Es ist gar nicht so unwahrscheinlich, daß eine Quadratzahl Summe zweier anderer ist, zumal dies bei den übrigen Zahlen auch oft zutrifft. Unterhalb von 25 bei 2, 5, 8, 10, 13, 17, 18 und 20. Nach der Quadratzahl zu 5 gibt es Treffer bei 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37 und vielen weiteren, die recht leicht zu finden sind. Manche mögen den Treffer bei 13 mit 144+25=169, andere den bei 37 mit 1025+144=1369 lieben. Schön ist auch der bei 29 mit 400+441=841, weil die Summanden fast gleich groß sind und 20*20+21*21=29*29 auf die sehr gute Näherung (20+21)/29=41/29 der Quadratwurzel aus 2 führt.

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kissing number
Das ist nicht die Zahl der Küsse pro Jahr, denn es geht hier nicht um die Selbstüberschätzung der Berliner im politischen und auch zwischenmenschlichen Bereich. Wer regelmäßig Snooker sieht, kennt die Angst der Spieler vor dem double kiss, wenn Stoß- und Zielkugel erneut und ungeplant zusammentreffen und das Ergebnis kaum absehbar ist. Wegen dieser Ausdrucksweise ist die kissing number die maximale Zahl von Billardkugeln, die eine gleichgroße Zentralkugel gleichzeitig berühren können.

Wer auf dem Markt die Apfelsinen nicht nur kauft, sondern sich den Stapel genau ansieht, wird die Zahl 12 für die richtige halten, denn nach menschlichem Ermessen ist wohl keine weitere Kugel zwischen die 12 zu quetschen, gleichwohl sie noch verschieblich sind. Und das ist das Problem. Klebt man die 12 Kugel in der Form eines Dodekaeders auf die Zentralkugel, bleibt zwischen allen noch ein Spalt frei, der immerhin so breit ist, daß man nicht durch einfaches Rechnen sagen kann, daß kein Platz für eine weitere Kugel ist. Erst im 19. Jahrhundert konnte bewiesen werden, was man aus der Praxis weiß: Die Zahl 12 ist die richtige.

In einer Dimension weniger ist 6 die kissing number. Man kann sechs Münzen um eine gleichgroße herum anordnen. Da wackelt nichts mehr und jede der sechs Münzen deckt auch ein Sechstel des Kreisumfanges ab. Deshalb zeigt einfache Rechnung, daß für sieben gewiß kein Platz ist. Abermals eine Dimension weniger sind die Kugel Strecken, die links und rechst von einer anderen geküßt werden können. In 1, 2 und 3 Dimensionen ist die kissing number also 2, 6 und 12. Wie geht es aber weiter?

In vier Dimensionen bringt man 24 Stück leicht unter, ob aber 25 möglich sind ist bis heute unbekannt. In fünf Dimension liegt die Zahl zwischen 40 und 46, in sechs zwischen 72 und 80. Diese Ungewißheit verwundert nicht, wenn man die Problematik in den uns geläufigen drei Dimensionen erkannt hat. Und die berühmten Praktiker sind ab der vierten Dimension zumindest ohne Computer ebenfalls völlig aufgeschmissen. So ist es verwunderlich, daß man die kissing number für die Dimensionen 8 und 24 genau kennt: Es sind 240 und 196560.

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