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Quadratzahlen
wuerg, 24.04.2005 18:38
Abgesehen von den Primzahlen erscheinen mir die Quadratzahlen¹ als die wichtigsten. Denn wenn man eine andere Zahlenreihe hat, deren Vertreter ich einmal Anderzahlen nennen möchte, dann fragt man sich allenfalls, welche von diesen Anderzahlen auch Quadratzahlen sind, und nicht umgekehrt, welche Quadratzahl eine Anderzahl ist. Der Unterschied liegt also nicht im Ergebnis, sondern in der Denkweise. Doch damit genug der Vorrede und Entschuldigung, daß eine schlichte Zahlenfolge wie die der Quadratzahlen überhaupt erwähnt wird. Sie ist sogar so simpel und allgemein bekannt, daß ich von ihr sprechen kann, bevor ich sie überhaupt definiert habe. Formal ist die n-te Quadratzahl einfach Q(n)=n·n. Anschaulich ist das die Zahl der Punkte in quadratischer Anordnung mit n Punkten in jeder Zeile und jeder Spalte oder die Fläche eines Quadrates mit Kantenlänge n.
Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist Q(n)−Q(n−1)=2n−1. Daraus folgt direkt, daß die Summe der ersten n ungeraden Zahlen Q(n), also die n-te Quadratzahl ist. Veranschaulicht sieht zum Beispiel 1+3+5+7=16 wie folgt aus:
Das rechte Teilbild veranschaulicht, wie man die vier Rechtecke A bis D in jeweils zwei gleiche Dreiecke 1 bis 8 teilen kann. Darin ist zu ‚sehen‘, was man leicht nachrechnen kann: Q(2n+1)=8·D(n)+1, worin D(n)=m die n-te Dreieckszahl ist.
1 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000290.
2 Bilder, Animationen, Modelle, Maschinen und andere Hilfsmittel können aber den richtigen Weg weisen und einen Sachverhalt interessant machen.
Dreieckszahlen
Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist Q(n)−Q(n−1)=2n−1. Daraus folgt direkt, daß die Summe der ersten n ungeraden Zahlen Q(n), also die n-te Quadratzahl ist. Veranschaulicht sieht zum Beispiel 1+3+5+7=16 wie folgt aus:
1 3 5 7 3 3 5 7 5 5 5 7 7 7 7 7Zu den Primzahlen scheint auf den ersten Blick keine Beziehung zu bestehen, es gibt natürlich auch keine prime Quadratzahl, weil von n=1 abgesehen jede Quadratzahl Q(n) mindestens 3 Teiler hat, nämlich 1, n und sich selbst. Trotzdem sind die Beziehungen unerschöpflich und machen einen bedeutenden Teil der Zahlentheorie aus. Dividiert man die Quadratzahlen durch eine ungerade Primzahl p>2, so treten genau (p+1)/2 der p möglichen Reste auf. Im Fall p=7 sieht das wie folgt aus:
Q(n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 ... Rest 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 ...Die Abfolge 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0 wiederholt sich wieder und wieder. Nicht so einfach ist es mit zusammengesetzten Zahlen. Der Mensch interessiert sich besonders für die Reste bei der Division durch q=10, also für die Einerstelle der Quadratzahlen. Vier von zehn treten nicht auf. Es gibt deshalb keine auf 2, 3, 7 oder 8 endenden Quadratzahlen. Besonders schön ist es für q=8:
Q(n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 ... Rest 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 ...Die Quadrate der ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 alle den Rest 1. Und weil selbstverständlich eine Quadratzahl genau dann ungerade ist, wenn sie Quadrat einer ungeraden Zahl ist, heißt dies schöner ausgedrückt: Ungerade Quadratzahlen sind von der Form 8m+1. Eine Veranschaulichung für 49=8·6+1:
3 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 2 1 1 4 4 4 2 2 1 1 4 4 4 8 8 8 5 5 6 6 8 8 8 5 5 6 6 7 7 7 5 5 6 6 7 7 7Das Loch in der Mitte steht für den Rest 1. Die Zahlen 1 bis 8 kommen jeweils m=6 mal vor. Doch Vorsicht mit anschaulichen Beweisen.² Dieser hier geht nur für n=3,7,11,15..., für die übrigen ungeraden Zahlen muß man ihn etwas abwandeln oder allgemeiner gestalten:
4 4 3 3 2 2 2 2 2 B B B B A A A A A 3 3 3 3 2 2 2 2 1 4 4 3 3 2 2 2 2 2 B B B B A A A A A 4 3 3 3 2 2 2 1 1 4 4 3 3 1 1 1 1 1 B B B B A A A A A 4 4 3 3 2 2 1 1 1 4 4 3 3 1 1 1 1 1 B B B B A A A A A 4 4 4 3 2 1 1 1 1 4 4 3 3 7 7 8 8 B B B B D D D D 4 4 4 4 8 8 8 8 5 5 5 5 5 7 7 8 8 C C C C C D D D D 5 5 5 5 6 7 8 8 8 5 5 5 5 5 7 7 8 8 C C C C C D D D D 5 5 5 6 6 7 7 8 8 6 6 6 6 6 7 7 8 8 C C C C C D D D D 5 5 6 6 6 7 7 7 8 6 6 6 6 6 7 7 8 8 C C C C C D D D D 5 6 6 6 6 7 7 7 7Für n=5,9,13,17,... kann man die um den Mittelpunkt angeordneten vier Rechtecke (12, 34, 56 und 78) längs statt quer teilen. Das ist im linken Quadrat für n=9 dargestellt. Zusammenfassen kann man beide Fälle wie im mittleren Quadrat. Hier sind nur die vier Rechtecke A bis D gekennzeichnet. Dieses Bild gilt zwar für alle ungeraden n, doch ‚beweist‘ es nur, daß jede ungerade Quadratzahl von der Form 4k+1 ist. Erst das Zusatzwissen darüber, daß die Kanten aller vier gleichgroßen Rechtecke sich stets um 1 unterscheiden und sie deshalb einen geraden Flächeninhalt k=2m haben, führt zum Ergebnis 8m+1.
Das rechte Teilbild veranschaulicht, wie man die vier Rechtecke A bis D in jeweils zwei gleiche Dreiecke 1 bis 8 teilen kann. Darin ist zu ‚sehen‘, was man leicht nachrechnen kann: Q(2n+1)=8·D(n)+1, worin D(n)=m die n-te Dreieckszahl ist.
1 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000290.
2 Bilder, Animationen, Modelle, Maschinen und andere Hilfsmittel können aber den richtigen Weg weisen und einen Sachverhalt interessant machen.
Dreieckszahlen
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Primzahlen
wuerg, 22.04.2005 00:08
Es gibt deutlich einfachere Zahlen als die primen, doch sind sie von fundamentaler Bedeutung und gewiß würdig vor den Quadraten betrachtet zu werden, gleichwohl dies in keiner Weise auch nur annähernd erschöpfend möglich ist, zumal es über sie viele Bücher gibt und sich ein ganzer Zweig der Mathematik, nämlich die Zahlentheorie, großenteils und gerne mit Primzahlen beschäftigt.
Eine natürliche Zahl n=1,2,3,... heißt prim, wenn die Anzahl ihrer Teiler d(n)=2 ist.¹ Dabei heißt eine natürliche Zahl a Teiler von n, wenn es eine natürliche Zahl b mit ab=n gibt. Die beiden Teiler einer Primzahl n sind natürlich 1 und n selbst. Damit ist auch klar, daß 1 keine Primzahl ist, weil sie nur einen einzigen Teiler hat, also d(1)=1 ist. Alle Nicht-Primzahlen außer 1 heißen zusammengesetzt. Für sie ist d(n)>2, womit sie einen echten Teiler a haben. Das ist einer mit 1<a<n.
Die Definition sondert aus der Menge ℕ der natürlichen Zahlen die Teilmenge ℙ der Primzahlen aus. Die Primzahlfolge² ergibt sich in kanonischer Weise durch die Anordnung der Primzahlen nach ihrer Größe. Dies führt zu einer mit Position 1 beginnenden Numerierung der Primzahlen. Die erste ist p(1)=2, die zweite p(2)=3, die dritte p(3)=5 usw. Ein kurzes Anfangsstück der gerne bis zum Qualmen der CPU berechneten Primzahlen lautet:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 ...
Das alles mag einem einfach und selbstverständlich erscheinen, doch selbst mit den Primzahlen verbundene simple Fragen können schon sehr schwer zu beantworten sein. Das wohl berühmteste Beispiel ist die Goldbach-Vermutung, daß sich jede gerade Zahl größer als 4 als Summe zweier (ungerader) Primzahlen schreiben läßt:
1 Das ist im Bereich der natürlichen Zahlen äquivalent zu einer in weiteren Bereichen gültigen Definition: p ist prim, wenn sie weder 0 noch eine Einheit ist und für alle durch p teilbaren Produkte ab bereits einer der Faktoren durch p geteilt wird, wenn man p also nicht auf mehrere Faktoren verteilen kann. Da 1 eine Einheit in den natürlichen Zahlen ist, scheidet sie als Primzahl aus. Man kann also nicht d(n)=2 durch d(n)≤2 ersetzen.
2 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Primzahlen A000040, nicht zusammengesetzt A008578.
Sieb des Eratosthenes
Eine natürliche Zahl n=1,2,3,... heißt prim, wenn die Anzahl ihrer Teiler d(n)=2 ist.¹ Dabei heißt eine natürliche Zahl a Teiler von n, wenn es eine natürliche Zahl b mit ab=n gibt. Die beiden Teiler einer Primzahl n sind natürlich 1 und n selbst. Damit ist auch klar, daß 1 keine Primzahl ist, weil sie nur einen einzigen Teiler hat, also d(1)=1 ist. Alle Nicht-Primzahlen außer 1 heißen zusammengesetzt. Für sie ist d(n)>2, womit sie einen echten Teiler a haben. Das ist einer mit 1<a<n.
Die Definition sondert aus der Menge ℕ der natürlichen Zahlen die Teilmenge ℙ der Primzahlen aus. Die Primzahlfolge² ergibt sich in kanonischer Weise durch die Anordnung der Primzahlen nach ihrer Größe. Dies führt zu einer mit Position 1 beginnenden Numerierung der Primzahlen. Die erste ist p(1)=2, die zweite p(2)=3, die dritte p(3)=5 usw. Ein kurzes Anfangsstück der gerne bis zum Qualmen der CPU berechneten Primzahlen lautet:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 ...
Das alles mag einem einfach und selbstverständlich erscheinen, doch selbst mit den Primzahlen verbundene simple Fragen können schon sehr schwer zu beantworten sein. Das wohl berühmteste Beispiel ist die Goldbach-Vermutung, daß sich jede gerade Zahl größer als 4 als Summe zweier (ungerader) Primzahlen schreiben läßt:
6 = 3 + 3 14 = 3 + 11 22 = 3 + 19 30 = 7 + 23 38 = 7 + 31 8 = 3 + 5 16 = 3 + 13 24 = 5 + 19 32 = 3 + 29 40 = 3 + 37 10 = 3 + 7 18 = 5 + 13 26 = 3 + 23 34 = 3 + 31 42 = 5 + 37 12 = 5 + 7 20 = 3 + 17 28 = 5 + 23 36 = 5 + 31 usw.Bis heute ist diese Behauptung unbewiesen und auch nicht widerlegt, obwohl sie sehr plausibel erscheint, weil man zumeist wie hier bis zur Zahl 42 mit recht kleinen Summanden hinkommt. Deshalb möge der geneigte Leser die 98 versuchen, um zu erahnen, daß es bei sehr großen Zahlen doch recht unangenehm werden könnte.
1 Das ist im Bereich der natürlichen Zahlen äquivalent zu einer in weiteren Bereichen gültigen Definition: p ist prim, wenn sie weder 0 noch eine Einheit ist und für alle durch p teilbaren Produkte ab bereits einer der Faktoren durch p geteilt wird, wenn man p also nicht auf mehrere Faktoren verteilen kann. Da 1 eine Einheit in den natürlichen Zahlen ist, scheidet sie als Primzahl aus. Man kann also nicht d(n)=2 durch d(n)≤2 ersetzen.
2 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Primzahlen A000040, nicht zusammengesetzt A008578.
Sieb des Eratosthenes
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265
wuerg, 20.04.2005 14:10
Die Medien und die Welt scheinen mehrheitlich den neuen Papst für den 265. zu halten. Das entspricht nicht der in den letzten Tagen so verbreiteten Auslegung der Prophezeiung des Malachias, die den jetzigen Papst als den 266. ausweist, der zugleich der letzte in der 111 Positionen aufweisenden Liste des Malachias sei. Oder gibt es da gar keine Differenz, weil der 266. Papst der 265. Nachfolger Petri ist?
Ich kann nicht beurteilen, was Malachias wirklich meinte. Es ist nur so, daß sich die Gemeinde des Malachias wohl darauf festgelegt hat, daß seine Liste mit dem 166. Papst beginnt und 111 Positionen lang ist.¹ Nun entsteht das Problem, ob man richtigerweise 10 oder gar 11 Päpste mehr als derzeit von der katholischen Kirche anerkannt zugeordnet hat, also nicht der 276. Papst der letzte ist, sondern schon der 266. oder gar der 265.
Mit den Zahlen nehmen es die meisten so und so nicht so genau. Die Welt schreibt: „Nur zwei Päpste wurden in den letzten 2000 Jahren 'groß' genannt: Leo I. (440‑461) und Gregor I. (590‑604). Der dritte wird Johannes Paul II. sein (1978-2005), der 266. Nachfolger Petri.“ Dann wäre Benedikt XVI schon der 268. Papst. Oder ist das nur schlecht abgeschrieben, gezählt, addiert und gedacht?
Abseits dieser Numerierungen kann man aber sagen, daß die horoskopartigen Verbindungen der Lebensdaten auf die von Malachias vorgegebenen Mottos so kurz vor dem Ende der Papstreihe keine glaubwürdige Umnumerierung mehr vertragen. Die Festlegung ist getroffen, nicht von Malachias, sondern von seinen Interpreten. Und deshalb wird es einen wie auch immer numerierten Papst nach Benedikt XVI geben. Die meisten Blogger werden es erleben.
Einzig die Tatsache, daß der neue Papst ein Deutscher ist (Bild: WIR SIND PAPST!) hat mich etwas ins Wanken gebracht und mich kurz glauben lassen, es könne doch der letzte werden. Und so bin ich wirklich froh, daß er bereits gestern und nicht erst am heutigen 20. April gewählt wurde.
1 Die von mir gesichtete Liste unter CALENdeRsign scheint es nicht mehr zu geben.
Ich kann nicht beurteilen, was Malachias wirklich meinte. Es ist nur so, daß sich die Gemeinde des Malachias wohl darauf festgelegt hat, daß seine Liste mit dem 166. Papst beginnt und 111 Positionen lang ist.¹ Nun entsteht das Problem, ob man richtigerweise 10 oder gar 11 Päpste mehr als derzeit von der katholischen Kirche anerkannt zugeordnet hat, also nicht der 276. Papst der letzte ist, sondern schon der 266. oder gar der 265.
Mit den Zahlen nehmen es die meisten so und so nicht so genau. Die Welt schreibt: „Nur zwei Päpste wurden in den letzten 2000 Jahren 'groß' genannt: Leo I. (440‑461) und Gregor I. (590‑604). Der dritte wird Johannes Paul II. sein (1978-2005), der 266. Nachfolger Petri.“ Dann wäre Benedikt XVI schon der 268. Papst. Oder ist das nur schlecht abgeschrieben, gezählt, addiert und gedacht?
Abseits dieser Numerierungen kann man aber sagen, daß die horoskopartigen Verbindungen der Lebensdaten auf die von Malachias vorgegebenen Mottos so kurz vor dem Ende der Papstreihe keine glaubwürdige Umnumerierung mehr vertragen. Die Festlegung ist getroffen, nicht von Malachias, sondern von seinen Interpreten. Und deshalb wird es einen wie auch immer numerierten Papst nach Benedikt XVI geben. Die meisten Blogger werden es erleben.
Einzig die Tatsache, daß der neue Papst ein Deutscher ist (Bild: WIR SIND PAPST!) hat mich etwas ins Wanken gebracht und mich kurz glauben lassen, es könne doch der letzte werden. Und so bin ich wirklich froh, daß er bereits gestern und nicht erst am heutigen 20. April gewählt wurde.
1 Die von mir gesichtete Liste unter CALENdeRsign scheint es nicht mehr zu geben.
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Adam Spencer
wuerg, 19.04.2005 10:29
Ich habe mir ein Buch von Adam Spencer¹ gekauft, in dem laut Klappentext das mathematische Superhirn allerlei Verrücktes, Wissenswertes, Kniffliges, Skurriles und Unterhaltsames über Zahlen von 1 bis 100 präsentiert. Was ich bisher geschrieben habe, findet sich teilweise in diesem Buch wieder, vieles war mir neu. Vor allem Beziehungen aus den mir unbekannten Bereichen wie Popmusik, Fernsehserien und natürlich Sex. Zum Beispiel der Umstand, daß sich eine mir völlig unbekannte Popgruppe namens 10cc nach der wie auch immer gemittelten Ausstoßmenge eines Mannes benannt habe. Ich werde erst einmal bei Mathematik, Musik, Astronomie, Kalender, Sprache und Spintisiererei bleiben und nur gelegentlich ein paar Reizwörter unterbringen, wie es hier geschehen ist.
1 Spencer, Adam: Das Buch der Zahlen. dtv Verlagsgesellschaft, 2001.
1 Spencer, Adam: Das Buch der Zahlen. dtv Verlagsgesellschaft, 2001.
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Null-Null
wuerg, 18.04.2005 17:28
Noch heute beginnt man Numerierungen und vor allem Zählungen normalerweise bei 1, auch wenn die 0 oftmals sinnvoller wäre. Der erste Tag im Monat hat die Nummer 1, der erste Monat Januar im Jahr ebenfalls. Warum sollte dann das erste Jahr seit der Zeitenwende die Nummer 0 haben? Weil anders als in Büchern, die mit der Seite 1 beginnen, die Zählung möglicherweise in die rückwärtige Richtung fortgesetzt werden soll und man nur zwei Möglichkeiten sieht: Die 0 auszulassen oder einer Seite zuzuschlagen.
Oft erweist es sich als günstig, mit der 1 begonnen zu haben. So kann man dem ersten Kapitel immer noch ein Vorwort unter der Nummer 0 voranstellen. Es ist zwar logisch, DIN-A-n als ein Rechteck zu definieren, dessen Seiten im Verhältnis √2 stehen und dessen Fläche durch n-fache Halbierung eines Quadratmeters entsteht. Nur hätte man für zwei Quadratmeter nicht DIN-A-00 sagen sollen. Den gleichen Schwachsinn findet man auf Filmen, wo vor dem Bild 1 das Bild 0 und davor 00 kommt. Die Toilette dagegen ist mit 00 systematisch bezeichnet, nicht als Vorgänger des Raumes 0, sondern des Raumes 01 im Erdgeschoß (0). Korrekt sind auch die 00er-Jahre, meinetwegen auch Nullerjahre, nicht aber die Nuller oder gar Nullziger.
Die Wikipedia nennt noch Null-Null-Sieben, die kurze Rochade und die Doppelnull beim Roulette, um die Einnahmen des Kasinos zu steigern. Unerwähnt bleibt aber, daß im Fußball zur Enttäuschung der Zuschauer oftmals null-null gespielt wird. Fast vergessen ist die Vorwahl 00, um ins Ausland zu telefonieren.
0 | Jahr 0 | 00er Jahre
Oft erweist es sich als günstig, mit der 1 begonnen zu haben. So kann man dem ersten Kapitel immer noch ein Vorwort unter der Nummer 0 voranstellen. Es ist zwar logisch, DIN-A-n als ein Rechteck zu definieren, dessen Seiten im Verhältnis √2 stehen und dessen Fläche durch n-fache Halbierung eines Quadratmeters entsteht. Nur hätte man für zwei Quadratmeter nicht DIN-A-00 sagen sollen. Den gleichen Schwachsinn findet man auf Filmen, wo vor dem Bild 1 das Bild 0 und davor 00 kommt. Die Toilette dagegen ist mit 00 systematisch bezeichnet, nicht als Vorgänger des Raumes 0, sondern des Raumes 01 im Erdgeschoß (0). Korrekt sind auch die 00er-Jahre, meinetwegen auch Nullerjahre, nicht aber die Nuller oder gar Nullziger.
Die Wikipedia nennt noch Null-Null-Sieben, die kurze Rochade und die Doppelnull beim Roulette, um die Einnahmen des Kasinos zu steigern. Unerwähnt bleibt aber, daß im Fußball zur Enttäuschung der Zuschauer oftmals null-null gespielt wird. Fast vergessen ist die Vorwahl 00, um ins Ausland zu telefonieren.
0 | Jahr 0 | 00er Jahre
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Minus 0
wuerg, 15.04.2005 11:46
Es gibt zahlreiche Methoden, Zahlen zu speichern. Die grundlegende Art ist die Abbildung der ganzen Zahlen (unsigned integers) von 0 bis 2ⁿ-1 als Binärzahlen in n aufeinanderfolgenden Bits. Heute ist es üblich, höherwertige Stellen auch an höherwertigen Bits und unter höheren Adressen zu speichern, für n eine Zweierpotenz zu wählen und sich an die Wortgrenzen zu halten. Das war nicht immer der Fall, weil man die höherwertigen Adressen rechts denkt, die höherwertigen Stellen einer Zahl jedoch links schreibt.
Will man auch negative ganze Zahlen (signed integers) darstellen, so entscheidet man sich heutzutage, die unsigned integers u mit führender 1 als s=u−2ⁿ) negativ zu interpretieren. Diese Darstellung heißt 2er-Komplement, weil das normale Additionsverfahren zu s und −s immer 2, also 0 mit Übertrag ergibt.
Diese Darstellung ist keinesweg mit den Computern erfunden worden. Mechanische Rechenmaschinen hatten die gleichen Grundlagen. Nur verwendete man die Dezimaldarstellung und damit statt des 2er- das 10er-Komplement. Beide leiden unter mangelnder Symmetrie. So gibt es unterhalb der 0 eine Zahl mehr als oberhalb. Diesen Mangel beseitig man nicht durch Streichung der kleinsten Zahl, denn die auf Computern übliche bitweise Negation stimmt nicht mit der arithmetischen überein. Leider ist not(s)=−s−1. Auch kann bei negativen Zahlen die häufig vorkommende Division durch eine Zweierpotenz nicht durch eine viel schnellere Bitverschiebung ersetzt werden.
Für binär dargestellte Zahlen werden die geschilderten Nachteile vermieden, indem man zum Wechsel des Vorzeichens einfach alle Bits umkehrt und die unsigned integers u mit führender 1 als negative Zahlen s=u-2ⁿ+1 interpretiert. Diese Methode heißt 1er-Komplement, weil die Addition von s und -s auf eine Kette aus lauter Einsen führt. Für Dezimalzahlen ist es das 9er-Komplement. Die so gewonnene Symmetrie ergibt eleganterweise not(s)=-s, und auch negative Zahlen können durch einfach Bitverschiebung durch eine Zweierpotenz geteilt werden.
Doch leider liefert das normale Additionsverfahren nicht immer das richtige Ergebnis. Das Carry-Bit ist zusätzlich zu addieren, wodurch diese Zahldarstellung nur auf Computern Sinn macht, die diesen Zusatz (end-arround carry) in der Hardware realisiert haben. Außerdem liefert eine Addition zur 0 lauter 1-Bits, die sogenannte negative Null, während die positive Null aus lauter 0-Bits besteht.¹
Man könnte eine der beiden verbieten, also durch die andere ersetzen. Schöner aber ist es, beide Nullen zu benutzen. Das gestattet elegante Programme, birgt aber auch Gefahren. So werden −0 und +0 im normalen Bitvergleich als verschieden getestet. Damit der unbedarfte Programmierer möglichst nie auf die 0 trifft, führt die Hardware Additionen als Subtraktionen (subtractive adder) aus.
Auch hier ist eine Unsymmetrie nicht wegzudiskutieren, die zu der Einsicht verhelfen sollte, daß es nicht immer möglich ist, etwas symmetrisch, ebenmäßig oder einfach darzustellen, was ungleich, holprig oder schwierig ist. Eine zunächst vorhandene Unsymmetrie (2er-Komplement) weitgehend zu beseitigen und auf ein möglichst unbemerkt bleibendes Detail (+0 und −0) zu verschieben, ist eigentlich Augenwischerei. Ich halte das dualistische Bestreben, alles auf zwei komplementäre Teile zurückzuführen, für naiv und gefährlich. Man kann nicht 0 und 1, und und oder, positiv und negativ, links und rechts, wahr und falsch auf allen Ebenen vertauschen und erhält wieder das gleiche.
1 Minus Zero. Fourmilab Switzerland. Beschreibung der Univac-1100-Serie, 36-Bit-Rechner der Siebziger mit einer Wortbreite abseits heute üblicher Zweierpotenzen. In einem Wort konnten Zahlen von ±0 bis ±2³⁵-1 gespeichert werden, insbesondere zwei Nullen −0 und +0.
28 | Jahr 0 | 00 | noon
Will man auch negative ganze Zahlen (signed integers) darstellen, so entscheidet man sich heutzutage, die unsigned integers u mit führender 1 als s=u−2ⁿ) negativ zu interpretieren. Diese Darstellung heißt 2er-Komplement, weil das normale Additionsverfahren zu s und −s immer 2, also 0 mit Übertrag ergibt.
Diese Darstellung ist keinesweg mit den Computern erfunden worden. Mechanische Rechenmaschinen hatten die gleichen Grundlagen. Nur verwendete man die Dezimaldarstellung und damit statt des 2er- das 10er-Komplement. Beide leiden unter mangelnder Symmetrie. So gibt es unterhalb der 0 eine Zahl mehr als oberhalb. Diesen Mangel beseitig man nicht durch Streichung der kleinsten Zahl, denn die auf Computern übliche bitweise Negation stimmt nicht mit der arithmetischen überein. Leider ist not(s)=−s−1. Auch kann bei negativen Zahlen die häufig vorkommende Division durch eine Zweierpotenz nicht durch eine viel schnellere Bitverschiebung ersetzt werden.
Für binär dargestellte Zahlen werden die geschilderten Nachteile vermieden, indem man zum Wechsel des Vorzeichens einfach alle Bits umkehrt und die unsigned integers u mit führender 1 als negative Zahlen s=u-2ⁿ+1 interpretiert. Diese Methode heißt 1er-Komplement, weil die Addition von s und -s auf eine Kette aus lauter Einsen führt. Für Dezimalzahlen ist es das 9er-Komplement. Die so gewonnene Symmetrie ergibt eleganterweise not(s)=-s, und auch negative Zahlen können durch einfach Bitverschiebung durch eine Zweierpotenz geteilt werden.
Doch leider liefert das normale Additionsverfahren nicht immer das richtige Ergebnis. Das Carry-Bit ist zusätzlich zu addieren, wodurch diese Zahldarstellung nur auf Computern Sinn macht, die diesen Zusatz (end-arround carry) in der Hardware realisiert haben. Außerdem liefert eine Addition zur 0 lauter 1-Bits, die sogenannte negative Null, während die positive Null aus lauter 0-Bits besteht.¹
Man könnte eine der beiden verbieten, also durch die andere ersetzen. Schöner aber ist es, beide Nullen zu benutzen. Das gestattet elegante Programme, birgt aber auch Gefahren. So werden −0 und +0 im normalen Bitvergleich als verschieden getestet. Damit der unbedarfte Programmierer möglichst nie auf die 0 trifft, führt die Hardware Additionen als Subtraktionen (subtractive adder) aus.
Auch hier ist eine Unsymmetrie nicht wegzudiskutieren, die zu der Einsicht verhelfen sollte, daß es nicht immer möglich ist, etwas symmetrisch, ebenmäßig oder einfach darzustellen, was ungleich, holprig oder schwierig ist. Eine zunächst vorhandene Unsymmetrie (2er-Komplement) weitgehend zu beseitigen und auf ein möglichst unbemerkt bleibendes Detail (+0 und −0) zu verschieben, ist eigentlich Augenwischerei. Ich halte das dualistische Bestreben, alles auf zwei komplementäre Teile zurückzuführen, für naiv und gefährlich. Man kann nicht 0 und 1, und und oder, positiv und negativ, links und rechts, wahr und falsch auf allen Ebenen vertauschen und erhält wieder das gleiche.
1 Minus Zero. Fourmilab Switzerland. Beschreibung der Univac-1100-Serie, 36-Bit-Rechner der Siebziger mit einer Wortbreite abseits heute üblicher Zweierpotenzen. In einem Wort konnten Zahlen von ±0 bis ±2³⁵-1 gespeichert werden, insbesondere zwei Nullen −0 und +0.
28 | Jahr 0 | 00 | noon
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Jahr 0
wuerg, 14.04.2005 01:40
Gelegentlich hat man sogar im täglichen Leben das Problem, Abschnitte sinnvoll zu benennen. Auf den ersten Blick mag es selbstverständlich erscheinen, einen Bereich von einer ganzen Zahl n bis zur nächsten n+1 mit n zu bezeichnen, denkt sich also Zahlen wie x=12,345 aus n=12 und x−n=0,345 zusammengesetzt. Ein Blick auf die negativen Zahlen trübt aber diesen ebenmäßigen Eindruck, denn x=−12,345 läge dann im Intervall n=−13. Man mag deshalb unsere Darstellung negativer Zahlen für falsch halten und eine andere bevorzugen, wie sie vor der Einführung des Taschenrechners ab der dritten Klasse beim Rechnen mit Logarithmen üblich war. Man entnahm die Werte einer Tafel und kam für den Logarithmus von 0,0123 auf 0,09−2, nicht −1,91.
Auf der anderen Seite muß man in der üblichen Darstellung bei Multiplikation mit −1 nur das Vorzeichen austauschen und beim Zehnfachen keine Handstände machen. Von der Symmetrie um den Nullpunkt herum ganz zu schweigen. Das darf aber nicht dazu verleiten, einfach die Vorkommastellen als Intervallnummern zu verwenden, denn dann haben wir um die 0 herum ein größeres Intervall oder zwei, +0 und −0 mit der Frage, in welches denn die 0 selbst fällt. Und deshalb waren unsere Vorfahren gar nicht so dumm, zum Erhalt der Symmetrie auf das nullte Intervall zu verzichten, kein Jahr 0 zu haben und die Jahre 1901 bis 2000 als 20. Jahrhundert, nicht als novecento zu bezeichnen.
Für einen modernen im Zweierkomplement rechnenden Computer ist es selbstverständlich, die Null weder auszulassen noch zu verdoppeln. Es schadete aber Programmierern nicht, wenn Fortran ihnen früher einen Beginn mit der 1 aufzwang. Wo ist das Problem mit dritthalb, schließlich gibt es mit anderthalb ja auch keines? Auch dreiviertel Vier sollte man verstehen. Und warum halten manche sich für geistreich, darauf hinzuweisen, daß der letzte Tag des 20. Jahrhunderts der 31. Dezember 2000 gewesen sei? Das ändert doch nichts an den Problemen ein Jahr zuvor, die nicht Jahrtausendwechsel, sondern Jahr-2000-Umstellung hießen. Schließlich weiß doch jeder, daß er sich mit dem 17. Geburtstag im 18. Lebensjahr befindet. So wie man ins erste Lebensjahr geboren wird und der erste Geburtstag noch auf sich warten läßt, gleichwohl es doch schon einen wirklichen gegeben hat.
Es ist weitgehend eine Schönheitsfrage, ob man bei 0 oder 1 beginnt. Und so erinnere ich mich immer noch daran, daß ein Professor ausgerechnet mich unvermittelt frug, ob es zur Numerierung der n+1 Ecken eines n-dimensionalen Simplexes besser sei, bei 0 oder bei 1 zu beginnen. Meine Antwort habe ich vergessen. Aber eines war mir damals bereits klar: Es kommt auf den Kontext an, auf Einfachheit, Ebenmäßigkeit und praktischen Nutzen.
-0 | 00 | noon | Logarithmen
Auf der anderen Seite muß man in der üblichen Darstellung bei Multiplikation mit −1 nur das Vorzeichen austauschen und beim Zehnfachen keine Handstände machen. Von der Symmetrie um den Nullpunkt herum ganz zu schweigen. Das darf aber nicht dazu verleiten, einfach die Vorkommastellen als Intervallnummern zu verwenden, denn dann haben wir um die 0 herum ein größeres Intervall oder zwei, +0 und −0 mit der Frage, in welches denn die 0 selbst fällt. Und deshalb waren unsere Vorfahren gar nicht so dumm, zum Erhalt der Symmetrie auf das nullte Intervall zu verzichten, kein Jahr 0 zu haben und die Jahre 1901 bis 2000 als 20. Jahrhundert, nicht als novecento zu bezeichnen.
Für einen modernen im Zweierkomplement rechnenden Computer ist es selbstverständlich, die Null weder auszulassen noch zu verdoppeln. Es schadete aber Programmierern nicht, wenn Fortran ihnen früher einen Beginn mit der 1 aufzwang. Wo ist das Problem mit dritthalb, schließlich gibt es mit anderthalb ja auch keines? Auch dreiviertel Vier sollte man verstehen. Und warum halten manche sich für geistreich, darauf hinzuweisen, daß der letzte Tag des 20. Jahrhunderts der 31. Dezember 2000 gewesen sei? Das ändert doch nichts an den Problemen ein Jahr zuvor, die nicht Jahrtausendwechsel, sondern Jahr-2000-Umstellung hießen. Schließlich weiß doch jeder, daß er sich mit dem 17. Geburtstag im 18. Lebensjahr befindet. So wie man ins erste Lebensjahr geboren wird und der erste Geburtstag noch auf sich warten läßt, gleichwohl es doch schon einen wirklichen gegeben hat.
Es ist weitgehend eine Schönheitsfrage, ob man bei 0 oder 1 beginnt. Und so erinnere ich mich immer noch daran, daß ein Professor ausgerechnet mich unvermittelt frug, ob es zur Numerierung der n+1 Ecken eines n-dimensionalen Simplexes besser sei, bei 0 oder bei 1 zu beginnen. Meine Antwort habe ich vergessen. Aber eines war mir damals bereits klar: Es kommt auf den Kontext an, auf Einfachheit, Ebenmäßigkeit und praktischen Nutzen.
-0 | 00 | noon | Logarithmen
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