Quadratzahlen
Abgesehen von den Primzahlen erscheinen mir die Quadratzahlen [1] als die wichtigsten. Denn wenn man eine andere Zahlenreihe hat, deren Vertreter ich einmal Anderzahlen nennen möchte, dann fragt man sich allenfalls, welche von diesen Anderzahlen auch Quadratzahlen sind, und nicht umgekehrt, welche Quadratzahl eine Anderzahl ist. Der Unterschied liegt also nicht im Ergebnis, sondern in der Denkweise. Doch damit genug der Vorrede und Entschuldigung, daß eine schlichte Zahlenfolge wie die der Quadratzahlen überhaupt erwähnt wird. Sie ist sogar so simpel und allgemein bekannt, daß ich von ihr sprechen kann, bevor ich sie überhaupt definiert habe. Formal ist die n-te Quadratzahl einfach Q(n)=n*n. Anschaulich ist das die Zahl der Punkte in quadratischer Anordnung mit n Punkten in jeder Zeile und jeder Spalte oder die Fläche eines Quadrates mit Kantenlänge n.

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist Q(n)-Q(n-1)=2n-1. Daraus folgt direkt, daß die Summe der ersten n ungeraden Zahlen Q(n), also die n-te Quadratzahl ist. Veranschaulicht sieht zum Beispiel 1+3+5+7=16 wie folgt aus:
1 3 5 7
3 3 5 7
5 5 5 7
7 7 7 7
Zu den Primzahlen scheint auf den ersten Blick keine Beziehung zu bestehen, es gibt natürlich auch keine prime Quadratzahl, weil von 1 abgesehen jede Quadratzahl Q(n)mindestens 3 Teiler hat, nämlich 1, n und sich selbst. Trotzdem sind die Beziehungen unerschöplich und machen einen großen Teil der Zahlentheorie aus. Dividiert man die Quadratzahlen durch eine ungerade Primzahl p>2, so treten genau (p+1)/2 der p möglichen Reste auf. Im Fall p=7 sieht das wie folgt aus:
Q(n)   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   2   2   4   1   0   1   4   2   2 ...
Die symmetrische Folge 2,4,1,0,1,4,2 wiederholt sich wieder und wieder. Nicht so einfach ist es mit zusammengesetzten Zahlen. Der Mensch interessiert sich besonders für die Reste bei der Division durch q=10, also für die Einerstelle der Quadratzahlen. Vier von zehn treten nicht auf. Es gibt deshalb keine auf 2, 3, 7 oder 8 endenden Quadratzahlen. Besonders schön ist es für q=8
Q(n)   1   4   9  16  25  36  49  64  81 100 121 ...
Rest   1   4   1   0   1   4   1   0   1   4   1 ...
Die Quadrate der ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 alle den Rest 1. Und weil selbstverständlich eine Quadratzahl genau dann ungerade ist, wenn sie Quadrat einer ungeraden Zahl ist, heißt dies schöner ausgedrückt: Ungerade Quadratzahlen sind von der Form 8m+1. Ein anschaulicher Beweis für 49=8·6+1:
3 3 3 2 2 1 1
3 3 3 2 2 1 1
4 4 4 2 2 1 1
4 4 4   8 8 8
5 5 6 6 8 8 8
5 5 6 6 7 7 7
5 5 6 6 7 7 7
Die Loch in der Mitte steht für den Rest 1. Die Zahlen 1 bis 8 kommen jeweils m=6 mal vor. Doch Vorsicht mit anschaulichen Beweisen. Dieser hier geht nur für n=3,7,11,15..., für die übrigen ungeraden Zahlen muß man ihn etwas abwandeln.

[1] Sloane, "Encyclopedia of Integer Sequences", A000290

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Primzahlen
Es gibt sicherlich sehr viele einfachere Folgen als die der Primzahlen, doch ist sie von fundamentaler Bedeutung und ist gewiß würdig als erste behandelt zu werden, wenn dies auch in keiner Weise auch nur annähernd erschöpfend getan werden kann, zumal es über sie viele Bücher gibt und sich ein ganzer Zweig der Mathematik, nämlich die Zahlentheorie, großenteils und gerne mit ihnen beschäftigt.

Anschaulich gesprochen handelt es sich bei den Primzahlen um diejenigen natürlichen Zahlen, die man nicht in Faktoren zerlegen kann. Genauer: Eine natürliche Zahl n=1,2,3,... heißt Primzahl, wenn die Anzahl ihrer Teiler d(n)=2 ist. Dabei heißt die natürliche Zahl a Teiler von n, wenn es eine natürliche Zahl b mit ab=n gibt. Die beiden Teiler einer Primzahl n sind natürlich 1 und n selbst. Damit ist auch klar, daß n=1 keine Primzahl ist, weil sie nur einen einzigen Teiler hat, also d(1)=1 ist. Alle Nicht-Primzahlen größer als 1 heißen zusammengesetzt. Für sie ist d(n)>2, womit sie einen echten Teiler a haben. Das ist einer mit 1<a<n.

Die Definition sondert aus der Menge N der natürlichen Zahlen die Teilmege P der Primzahlen aus. Die Primzahlfolge ergibt sich in kanonischer Weise durch die Anordnung der Primzahlen nach ihrer Größe. Dies führt zu einer mit Position 1 beginnenden Numerierung der Primzahlen. Die erste ist p(1)=2, die zweite p(2)=3, die dritte p(3)=5 usw. Ein kurzes Anfangsstück der gerne bis zum Qualmen der CPU berechneten Primzahlen lautet
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 ...
Das alles mag einem einfach und selbstverständlich erscheinen, doch mit den Primzahlen verbundene ganz einfache Fragen können schon sehr schwer zu beantworten sein. Das wohl berühmteste Beispiel ist die Goldbach-Vermutung, daß sich jede gerade Zahl größer als 4 als Summe zweier (ungerader) Primzahlen schreiben läßt:
 6 = 3 + 3   14 = 3 + 11   22 = 3 + 19   30 = 7 + 23
 8 = 3 + 5   16 = 3 + 13   24 = 5 + 19   32 = 3 + 29
10 = 3 + 7   18 = 5 + 13   26 = 3 + 23   34 = 3 + 31
12 = 5 + 7   20 = 3 + 17   28 = 5 + 23   usw.
Wie steht es mit 98? Bis heute ist diese Behauptung unbewiesen und auch nicht widerlegt. Die alten Griechen aber wußten schon, daß die Folge der Primzahlen unendlich lang ist, im Gegensatz zur Folge der Primusse der katholischen Kirche.

Sloane

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265
Die Medien und die Welt scheinen mehrheitlich den neuen Papst für den 265. zu halten. Das entspricht nicht der in den letzten Tagen so verbreiteten Auslegung der Prophezeiung des Malachias, die den jetzigen Papst als den 266. ausweist, der zugleich der letzte in der 111 Positionen aufweisenden Liste des Malachias sei. Oder gibt es da gar keine Differenz, weil der 266. Papst der 265. Nachfolger Petri ist?

Ich kann nicht beurteilen, was Malachias wirklich meinte. Es ist nur so, daß sich die Gemeinde des Malachias wohl darauf festgelegt hat, daß seine Liste mit dem 166. Papst beginnt und 111 Positionen lang ist. Nun entsteht das Problem, ob man richtigerweise 10 oder gar 11 Päpste mehr als derzeit von der katholischen Kirche anerkannt zugeordnet hat, also nicht der 276. Papst der letzte ist, sondern schon der 266. oder gar der 265.

Mit den Zahlen nehmen es die meisten so und so nicht genau. Die Welt schreibt: Nur zwei Päpste wurden in den letzten 2000 Jahren "groß" genannt: Leo I. (440-461) und Gregor I. (590-604). Der dritte wird Johannes Paul II. sein (1978-2005), der 266. Nachfolger Petri. Dann wäre Benedikt XVI schon der 268. Papst. Oder ist das nur schlecht abgeschrieben, gezählt, addiert und gedacht?

Abseits dieser Numerierungen kann man aber sagen, daß die horoskopartigen Verbindungen der Lebensdaten auf die von Malachias vorgegebenen Mottos so kurz vor dem Ende der Papstreihe keine glaubwürdige Umnumerierung mehr vertragen. Die Festlegung ist getroffen, nicht von Malachias, sondern von seinen Interpreten. Und deshalb wird es einen wie auch immer numerierten Papst nach Benedikt XVI geben. Die meisten Blogger werden es erleben.

Einzig die Tatsache, daß der neue Papst ein Deutscher ist (Bild: WIR SIND PAPST!) hat mich etwas ins Wanken gebracht und mich kurz glauben lassen, es könne doch der letzte werden. Und so bin ich wirklich froh, daß er bereits gestern und nicht erst am heutigen 20. April gewählt wurde.

Liste

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Adam Spencer
Adam Spencer

Ich habe mir das Buch "Das Buch der Zahlen" von Adam Spencer gekauft, in dem laut Klappentext das mathematische Superhirn allerlei Verrücktes, Wissenswertes, Kniffliges, Skurriles und Unterhaltsames über Zahlen von 1 bis 100 präsentiert. Was ich bisher geschrieben habe, findet sich teilweise in diesem Buch wieder, vieles fehlte bisher bei mir oder war mir neu. Vor allem Beziehungen aus den mir unbekannten Bereichen wie Popmusik, Fernsehserien und natürlich Sex, wie dem Umstand, daß sich eine mir völlig unbekannte Popgruppe namens 10cc nach der wie auch immer gemittelten Ausstoßmenge eines Mannes benannt habe. Ich werde erst einmal bei Mathematik, Musik, Astronomie, Kalender, Sprache und Spintisiererei bleiben und nur gelegentlich ein paar Reizwörter unterbringen, wie es hier geschehen ist.

Spencer

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Null Null
Noch heute beginnt man Numerierungen normalerweise bei 1, auch wenn die 0 vor allem Programmierern oftmals lieber wäre. Der erste Tag im Monat hat die Nummer 1, der erste Monat Januar im Jahr ebenfalls. Warum sollte dann das erste Jahr seit der Zeitenwende die Nummer 0 haben? Weil anders als in Büchern, die mit der Seite 1 beginnen, die Zählung möglicherweise in die rückwärtige Richtung fortgestezt wird und man dann nur noch zwei Möglichkeiten hat: Die 0 auszulassen oder der falschen Seite zuzuschlagen.

Gelegentlich aber besteht nur ein beschränktes Bedürfnis, nach hinten zu zählen. Dann erweist es sich als günstig, ab 1 begonnen zu haben. So kann man dem Kapitel 1 immer noch ein Vorwort unter der Nummer 0 voranstellen. Beginnt man bei 0, besteht diese Möglichkeit nicht mehr. So ist es gewiß logisch, DIN-A-n als den ein Rechteck zu definieren, dessen Seiten im Verhältnis Wurzel 2 stehen und dessen Fläche durch n-fache Halbierung eines Quadratmeters entsteht. Nur hätte man dann für zwei Quadratmeter nicht DIN-A-00 sagen sollen. Den gleichen Schwachsinn findet man auf Filmen, wo vor dem Bild 1 das Bild 0 und davor 00 kommt. Die Toilette dagegen ist mit 00 systematisch bezeichnet, nicht als Vorgänger des Raumes 0, sondern des Raumes 01.

Jahr-0

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Minus 0
Es gibt zahlreiche Methoden, Zahlen in Computern zu speichern. Die grundlegende Art ist die Abbildung der nicht-negativen ganzen Zahlen (unsigned integers) von 0 bis 2^n-1 in auf aufeinanderfolgende Bits, in denen einfach die Ziffern der Binärdarstellung verzeichnet sind. Heute ist es üblich, höherwertige Stellen auch an höherwertigen Bits und in höher addressierten Bytes zu speichern. Das war nicht immer der Fall, weil man die höherwertigen Adressen rechts denkt, aber die höherwertigen Stellen einer Zahl links schreibt. Bei der Bitzahl ist es auch üblich n=8,16,32,64,... zu wählen und auch nicht mitten in einem Byte, Wort, Doppelwort, Quadwort usw. zu beginnen.

Will man auch negative ganze Zahlen (signed integers) darstellen, so entscheidet man sich heutzutage, auf die obere Hälfte der nicht-negativen Zahlen zu verzichten, für die man nur noch den Bereich von 0 bis 2^(n-1)-1 zur Verfügung stellt. Die negativen Zahlen x im Bereich von -2^(n-1) bis -1 erhalten die frei gewordenen Positionen y=x+2^n. Diese Darstellung negativer Zahlen heißt 2er-Komplement, weil die Schulmethode zur Addition der computerinternen Darstellungen von z und -z zunächst ein paarmal 0 ergeben kann, danach aber immer 2, was zu einem Übertrag auf die nächste Stelle führt.

Diese Darstellung ist keinesweg mit den Computern erfunden worden. Mechanische Rechenmaschinen hatten die gleichen Grundlagen. Nur verwendete man in ihnen die Dezimaldarstellung und damit statt des 2er-Komplementes das 10er-Komplement. Beide leiden unter mangelnder Symmetrie, denn beide weisen unterhalb der 0 eine Zahl mehr auf als oberhalb und es stimmt die auf Computern übliche Negation, nämlich die Umkehrung aller Bits, nicht mit der arithmetischen Negation überein, vielmehr ist not(z)=-z-1. Auch kann bei negativen Zahlen die häufig vorkommende Division durch eine Zweierpotenz nicht durch eine viel schnellere Bitverschiebung ersetzt werden.

Für binär dargestellte Zahlen werden die geschilderten Nachteile durch das 1er-Komplement vermieden, das einfach stellenweise 0 und 1 vertauscht, was eine negative Zahl x im Bereich von 2^(n-1)+1 bis -1 einfach durch y=x+2^n-1 darstellt. Der Name 1er-Komplement leitet sich davon ab, daß die Schulmethode zur Addition der computerinternen Darstellungen von z und -z in jeder Stelle die Summe 1 liefert. Für Dezimalzahlen ist es das 9er-Komplement, das 0 mit 9, 1 mit 8, 2 mit 7, 3 mit 6 und 4 mit 5 vertauscht, wodurch die Addition von z und -z an jeder Stelle 9 ergibt. Leicht erkennt man die gewonnene Symmetrie, daß not(z)=z ist und man die Division durch Zweierpotenzen grundsätzlich durch Bitverschiebung erledigen kann.

Doch leider gibt es auch Nachteile. Das normale Additionsverfahren allein liefert nicht immer das richtige Ergebnis. Das Carry-Bit ist zusätzlich zu addieren, wodurch diese Zahldarstellung nur auf Computern Sinn macht, die diesen Zusatz (end-arround carry) in der Hardware realisiert haben. Weiterhin kann es passieren, daß eine Addition mit Ergebnis 0 nicht lauter 0-Bits liefert, sondern mit lauter 1-Bits endet. Das ist eine Kombination, der bisher noch keine Zahl zugewiesen ist und was zur Erfindung der negativen 0 führt. Sie gestattet elegante Programmierungen, verleitet aber auch zu Denkfehlern. So werden +0 und -0 als verschieden getestet, obwohl ihre Differenz natürlich 0 ist.

Wegen dieser Komplikationen hat sich das 1er-Komplement nicht durchgesetzt, und ich hätte ihm nachgeweint, wenn es tatsächlich eine völlig symmetrische Darstellung der postiven und negativen Zahlen gebracht hätte. Man überzeugt sich leicht, daß für alle Zahlen z die Addition (+z)+(-z)=(-0) liefert, was nicht nur unsymmetrisch ist, sondern auch nicht gestattet, in der Programmierung die -0 unbeachtet zu lassen. Deshalb wurde in der Hardware nicht die Addition, sondern die Subtraktion realisiert (subtractive adder), wodurch vorzugsweise +0 in den Additionen entsteht. Nur (-0)+(-0)=(-0)-(+0)=(-0), alle anderen sechs Kombinationen und auch (+z)+(-z) liefern +0 als Ergebnis.

Geblieben ist am Ende aber immer noch eine Unsymmetrie zwischen +0 und -0, die zu der Einsicht verhelfen sollte, daß es nicht immer möglich ist, etwas symmetrisch, ebenmäßig oder einfach darzustellen, was ungleich, holprig oder schwierig ist. Eine zunächst vorhande Unsymmetrie (2er-Komplement) weitgehend zu beseitigen und auf ein möglichst unbemerkt bleibendes Detail (+0 und -0) zu verschieben, ist eigentlich Augenwischerei, für die wir im Abendland glücklicherweise nicht so anfällig sind. Ich halte das dualistische Bestreben, alles auf zwei gleiche, komplementäre, polare oder anders schwammig bezeichnete Dinge, Eigenschaften oder Zustände zurückzuführen, für naiv und gefährlich. Man kann nicht 0 und 1, und und oder, positiv und negativ, links und rechts, wahr und falsch auf allen Ebenen vertauschen und erhält wieder das gleiche. Mit männlich und weiblich, hart und weich, dick und dünn, dumm und dreist geht das schon mal gar nicht.

Jahr-0 | Minus-Zero

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Jahr 0
Gelegentlich hat man das Problem, Intervalle zu numerieren, nicht nur als Mathematiker oder Programmierer, sondern auch im täglichen Leben. Dazu denke man nur an die Zählung von Jahren oder Stunden. Zunächst mag es als selbstverständlich erscheinen, das Intervall (n,n+1) aller Zahlen x zwischen der ganzen Zahl n und der um eins größeren als das Intervall n zu bezeichnen, zumal man sich eine Zahl wie x=12,345 aus n=12 und x-n=0,345 zusammengesetzt denkt. Ein Blick auf die negativen Zahlen trübt aber diesen ebenmäßigen Eindruck, denn x=-12,345 läge dann im Intervall -13. Man mag deshalb unsere Darstellung negativer Zahlen für falsch halten und eine andere bevorzugen, wie man sie zumindest vor der Einführung des Taschenrechners ab der dritten Klasse beim Rechnen mit Logarithmen gelernt hatte:
log 0,456 = 0,658965-1
log 123,4 = 0,091315+2
Differenz = 0,567650-3
Ein rückwärts gerichteter Blick in die Logarithmentafel liefert zum Logarithmus 0,56765 die Zahl 3,695 und somit ist 0,456/123,4=3,695e-3=0,003695. Doch ist das kein Grund zur Kritik an unserer üblichen Darstellung negativer Zahlen, denn sie hat die schöne Eigenschaft, bei Multiplikation mit Zehnerpotenzen einfach nur das Komma zu verschieben. So ist (-12,345)*100=(-1234,5) doch wesentlich ebenmäßiger als (0,655-13)*100=(0,5-1235). Außerdem ist die auf der unteren Grenze n basierende Bennenung der Intervalle (n,n+1) wegen der Unsymmetrie unschön. Auf die 0 folgt das Intervall 0, vor der 0 aber liegt das Intervall -1.

Bequemlichkeits- und Symmetriegedanken könnten deshalb dazu verleiten, das Intervall einfach so zu bezeichnen, wie es die Vorkommastellen der in diesem Intervall enthaltenen Zahlen angeben. Doch dann hat man zwei Intervalle mit der Bezeichnung 0, nämlich (-1,0) und (0,1). Will man die Bezeichnungen nicht gedankenlos verrechnen, kann man das akzeptieren und die Bezeichnungen -0 und +0 unterscheiden. Auf früheren Großrechnern wie der Univac 1108 ist man sogar einen Schritt weiter gegangen und hat diese beiden Nullen auch beim Rechnen unterschieden. Das hat sich in der Datenverarbeitung nicht durchgesetzt. Auch nicht im täglichen Leben, dem eine doppelte Null fremd ist, wenn man einmal vom 00 absieht. Doch da Menschen für den Erhalt der Symmetrie Opfer zu bringen bereit sind, haben sie sich gelegentlich für eine um eins verschobenen Bezeichnung der Intervalle entschieden. Demnach liegt 12,345 im Intervall 13 und -12,345 im Intervall -13. Beim Rechnen muß man natürlich aufpassen, denn ein Intervall 0 gibt es dann nicht.

Unsere Vorfahren sind also gar nicht so blöd gewesen, einfach die Jahre vor und nach der Zeitenwende zu zählen und das Jahr 0 auszulassen, gleichwohl Programmierer für einen Beginn mit dem Jahre 0 dankbar gewesen wären. Es schadet ihnen aber gar nicht, etwas zu denken statt blöd zu motzen, wie es die erste Riege der C-Programmierer tat, wenn sie zu Fortran gezwungen wurde und gerne einen Index 0 verwendet hätte. Wo ist das Problem, daß mit dem 1. Januar 2000 die Jahr-2000-Umstellung erforderlich war, obwohl das zweite Jahrtausend erst mit dem 31. Dezember 2000 zuende ging. Hat jemals einer gedacht, im 19. Jahrhundert zu leben, als noch die Jahre 1901 bis 1999 geschrieben wurden? Allenfalls im Novecento. Ist nicht jedermann klar, daß er sich ab dem 17. Geburtstag im 18. Lebensjahr befindet? Nur in den einfachen Fällen mogelt man sich heraus, indem man um eine Postion verschiebt. Ob man bei 0, bei 1 oder anderswo zu zählen beginnt, ist vor allem eine Schönheitsfrage. Und die ist schwer zu beantworten, wenn es unmöglich ist, alle Ecken optimal zu gestalten.

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