24
wuerg, 27.09.2005 17:53
Zunächst ist 24=1⋅2⋅3⋅4=4! die vierte Fakultät. Wärend 3!=6 nur eine vollkommende Zahl ist, sind alle größeren Fakultäten Teilerprotze. So auch 24 mit der Teilersumme 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Zudem ist 24 die kleinste Zahl mit acht Teilern und die größte, die durch alle Zahlen bis zu ihrer Wurzel teilbar ist, hier 1, 2, 3 und 4. Es ist leicht, noch belanglosere Besonderheiten zu finden. Ein Beispiel: 24 ist die größte Fakultät ohne 0 am Ende.
Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheitsquadraten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durchmesser eins ein, dann bleibt um die Ecken herum noch Platz für kleinere Kreise mit Durchmesser √d−1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleichgroße und 2ᵈ=4 kleinere. Macht man das gleiche mit Würfeln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durchmesser eins 2d=6 gleichgroße und 2ᵈ=8 kleinere an den Ecken des Würfels vom Durchmesser √d−1=0,732. In vier Dimensionen (d=4) sind es 2d=8 in den benachbarten Hyperwürfeln und 2ᵈ=16 an den Ecken, die wegen √d−1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht. [1]
Diese sog. Kußzahlen sind weitgehend unbekannt, doch für 24 Dimensionen kennt man sie, nämlich 196560. Vielleicht verstehe ich eines Tages einen Zusammenhang mit der Stringtheorie in 24+2 Dimensionen oder dem Kanonenkugelproblem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat auslegen und zugleich als quadratische Pyramide stapeln kann. Abgesehen von der trivialen 1 geht es nur mit 4900, wozu die ersten 24 Quadratzahlen sich zu 70⋅70 addieren.
Eine wirkliche Spielerei ist das 24‑Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:
Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, 1/24 ist ein Karat, 24!≈6⋅10²³ trifft ungefähr die Avogadro-Konstante, aus 24 Oktaedern kann ein raumfüllender vierdimensionaler Polyeder mit vielen Namen wie Octaplex gebildet werden, Filme haben normalerweise 24 Bilder pro Sekunde, die 12 Stämme Israel und die 12 Apostel addieren sich zu 24, es gibt 24 Älteste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neuneckzahl, die alles erklärende Ziffernfolge 4 und 2 könnte auch 24 bedeuten, das griechische Alphabet hat 24 Buchstaben, 24=11+13 ist Summe eines Primzahlzwillings, gerne wird behauptet, es gäbe nicht nur Dur und moll, sondern 24 Tonarten. Und dergleichen mehr.
[1] Daß eine 25. Kugel gleicher Größe nicht dranpaßt wurde erst 2008 bewiesen. Und Vorsicht: Für d>4 versagt die Methode. Die zu großen 2ᵈ Eckkugeln überschneiden sich gegenseitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durchmesser 1 verkleinert und an die Zentralkugel heranführt. Ihr Abstand ist dann mit 2/√d<2 immer noch zu gering. Tatsächlich weiß man nicht, ob für d=5 wirklich 10+32=42 möglich sind.
23 | 25 | 196560
Parkettiert man die Ebene (d=2) mit Einheitsquadraten und beschreibt jeweils einen Kreis mit Durchmesser eins ein, dann bleibt um die Ecken herum noch Platz für kleinere Kreise mit Durchmesser √d−1=0,414. Jeder große Kreis berührt 2d=4 gleichgroße und 2ᵈ=4 kleinere. Macht man das gleiche mit Würfeln im Raum (d=3), berührt jede Kugel mit Durchmesser eins 2d=6 gleichgroße und 2ᵈ=8 kleinere an den Ecken des Würfels vom Durchmesser √d−1=0,732. In vier Dimensionen (d=4) sind es 2d=8 in den benachbarten Hyperwürfeln und 2ᵈ=16 an den Ecken, die wegen √d−1=1 die gleiche Größe haben. Eine Zentralkugel berührt also 8+16=24 andere, die sich untereinander nicht überlappen. Mehr als 24 gehen auch nicht. [1]
Diese sog. Kußzahlen sind weitgehend unbekannt, doch für 24 Dimensionen kennt man sie, nämlich 196560. Vielleicht verstehe ich eines Tages einen Zusammenhang mit der Stringtheorie in 24+2 Dimensionen oder dem Kanonenkugelproblem. Das ist die Frage, wieviele Kugeln man als Quadrat auslegen und zugleich als quadratische Pyramide stapeln kann. Abgesehen von der trivialen 1 geht es nur mit 4900, wozu die ersten 24 Quadratzahlen sich zu 70⋅70 addieren.
Eine wirkliche Spielerei ist das 24‑Spiel. Darin werden vier Zahlen gezogen, die genau einmal verwendet mit den vier Grundrechenarten 24 ergeben sollen. Ich habe einige Quadrupel mit Zahlen von 1 bis 9 gezogen:
1 1 3 2 (3+2−1⋅1)! 9 4 8 7 (4+8)(9-7) 6 7 2 3 6⋅7/2+3 1 8 5 7 8⋅(7−5+1) 3 2 9 2 (9−3)(2+2) 1 1 7 8 17+8−1 5 9 1 6 1⋅6⋅(9−5) 7 4 7 6 4⋅6⋅7/7 5 4 6 8 8⋅(4+5−6) 3 6 9 3 3⋅9−6+3 2 1 9 8 8⋅9/(1+2) 3 8 7 4 (4⋅7−3⋅8)!Dreimal habe ich nichts gefunden und mußte zur Fakultät (!) bzw. Ziffernzusammensetzung (17) greifen. Ein interessanter Fall ist (1,3,4,6) mit 24=6/(1−3/4).
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Dritte Neuneckzahl 24=E3=1+8+15=D3+3R2 (png)Was bleibt? Der Tag hat 24 Stunden, 1/24 ist ein Karat, 24!≈6⋅10²³ trifft ungefähr die Avogadro-Konstante, aus 24 Oktaedern kann ein raumfüllender vierdimensionaler Polyeder mit vielen Namen wie Octaplex gebildet werden, Filme haben normalerweise 24 Bilder pro Sekunde, die 12 Stämme Israel und die 12 Apostel addieren sich zu 24, es gibt 24 Älteste in der Bibel, 24=1+8+15 ist dritte Neuneckzahl, die alles erklärende Ziffernfolge 4 und 2 könnte auch 24 bedeuten, das griechische Alphabet hat 24 Buchstaben, 24=11+13 ist Summe eines Primzahlzwillings, gerne wird behauptet, es gäbe nicht nur Dur und moll, sondern 24 Tonarten. Und dergleichen mehr.
[1] Daß eine 25. Kugel gleicher Größe nicht dranpaßt wurde erst 2008 bewiesen. Und Vorsicht: Für d>4 versagt die Methode. Die zu großen 2ᵈ Eckkugeln überschneiden sich gegenseitig. Daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf den Durchmesser 1 verkleinert und an die Zentralkugel heranführt. Ihr Abstand ist dann mit 2/√d<2 immer noch zu gering. Tatsächlich weiß man nicht, ob für d=5 wirklich 10+32=42 möglich sind.
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wuerg,
27.10.2005 15:32
Habe den alten Inhalt dieses Kommentares wohl in den Hauptbeitrag übernommen, lösche ihn hier jedoch nicht, um die Unterkommentare nicht mitzureißen.
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mark793,
27.10.2005 15:37
Ah, Sie tasten sich
an die 42 ran. Die Lesergemeinde wartet schon gespannt...
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wuerg,
27.10.2005 15:56
Ja, zunächst wollte ich alle natürlichen Zahlen unterhalb von 42 abgegrast haben, denn zur Zahl 42 ist eigentlich schon zuviel gesagt. Aus dem gleichen Grunde ließ ich auch die 23 lange Zeit aus.
Die 24 ist ebenfalls nicht einfach. Erschwerend kommt hinzu, daß sie die Ziffernfolge von 42 umkehrt und der Computer ja nur „4 und 2“ sagte.
13-24-42-54-69
Die 24 ist ebenfalls nicht einfach. Erschwerend kommt hinzu, daß sie die Ziffernfolge von 42 umkehrt und der Computer ja nur „4 und 2“ sagte.
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mark793,
27.10.2005 16:10
Diesen Hinweis
auf die Umkehrung der Ziffern hatte ich noch im Ohr, und da Sie die 41 gerade bearbeitet haben, dachte ich, schau an, dramaturgisch sehr geschickt, um die Spannung zu erhöhen.
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