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Folge, Reihe, Serie
wuerg, 18.03.2005 19:19
Manch einer fragt sich, welche Zahl das Folge-Opfer einer nicht enden wollenden Mord-Reihe des Serien-Würgers wird.¹ Zunächst hatte er scheinbar wahllos, doch mit der Ausstrahlung des Messias² systematisch zugeschlagen: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 und erst gestern die 22. Welche Zahl wird die nächste sein? Muß die 23 bis in den Mai zittern? Schon einmal hatte der Killer eine Pause eingelegt und sich nach dem Wieso, dem Weshalb und sogar dem Warum gefragt. Mordet er weiter, weil man ihm eine Antwort schuldig blieb? Möglicherweise Zahlen stellvertretend für Buchstaben? Sind es hebräische, und er hat sein Werk bereits vollendet? Greift er bald auf ganze Wörter über, rafft heute Folge, Reihe und Serie dahin, morgen vielleicht Variable, Parameter und Konstante? Droht bald Gefahr für ganze Sätze, Abschnitte oder Blogs?
1 Bei Wortschnittchen einer, der inzwischen (2022) viele Benzinpreiserhöhungen überlebte.
2 Messias. Englische Fernsehserie, deutsche Erstausstrahlung im ZDF ab 27. Februar 2005.
wieso, weshalb, warum
1 Bei Wortschnittchen einer, der inzwischen (2022) viele Benzinpreiserhöhungen überlebte.
2 Messias. Englische Fernsehserie, deutsche Erstausstrahlung im ZDF ab 27. Februar 2005.
wieso, weshalb, warum
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22
wuerg, 18.03.2005 00:42
Mit der 22 ist es eigentlich nicht anders als mit 20 und 21. Es gibt irgendwelche Zufallstreffer aus dem täglichen Leben, numerologische Bedeutungen und mehr oder minder konstruierte kombinatorische oder mathematische Vorkommnisse. Am Fußballspiel sind 22 Spieler beteiligt, elf auf jeder Seite. Snooker wird mit 22 Bällen gespielt, 15 rote, 6 farbige und der weiße Stoßball. Numerologen reduzieren normalerweise durch wiederholte Quersummenbildung auf eine Ziffer von 1 bis 9. Zweistelligen Zwischenergebnissen werden gelegentlich Zusatzbedeutungen zugesprochen, um Genauigkeit und Differenzierung vorzutäuschen. Zumeist begnügt man sich aber mit den Engelszahlen 11, 22 und 33.
Kombinatorisch ist immer etwas zu finden. So soll es 22 Möglichkeiten geben, fünf Sechsecke aneinander zu kleben. Und ich selbst fand vor vielen Jahren die 22 beim Naphthalin, das aus zwei Benzolringen besteht. An den zwei Positionen 0 des nachstehenden Bildes befindet sich nur ein Kohlenstoffatom, an den Positionen 1 bis 8 ebenfalls, jedoch mit Wasserstoff dran. Substituiert man einen, so gibt es zwei Möglichkeiten. An Position 1, 4, 5, 8 heißt es Alpha-Stellung, an Position 2, 3, 6, 7 Beta-Stellung. Mein uralter Hollemann-Richter schreibt dazu: „Die Anzahl der Disubstitutionsprodukte ist sehr groß. Bei zwei gleichen Substituenten sind 10 möglich, bei zwei ungleichen 14.“ Doch bei vier gleichen Substituenten ist die Zahl gar nicht so hoch, nämlich nur 22.
Das Bild zeigt neben dem Naphthalin die 22 als vierte Fünfeckzahl 1+4+7+10=22. Sie übersteigt die Dreieckszahl 21 um eins, ist also die sechste Pizzazahl. Um eine Pizza mit sechs geraden Schnitten in 22 Stücke zu teilen, kann man sich ein kleines Heptagramm in die Mitte malen und sechs der Kanten des siebenzackigen Sternes bis zum Rand verlängern. Die Wikipedia erwähnt noch, daß 22&8725;7 eine gute Näherung für π ist, Amerikaner gerne mit Kaliber 22 um sich balllern (0,22"=5,6mm), das hebräische Alphabet 22 Buchstaben und deshalb der Lebensbaum 22 Wege hat, und jetzt kommt es: „Die Kettenbruchzerlegung von π hoch e beginnt mit 22“. Das ist ja toll für 22,469...
Es bleibt die Look-And-Say-Folge von Convay. Man beginnt mit einer (gesehenen) Folge aus k₁ Ziffern z₁, k₂ Ziffern z₂ bis kₙ Ziffern zₙ ohne identische Nachbarn und geht über zu der Folge k₁, z₁, k₂, z₂ bis kₙ, zₙ (gesprochen: k₁ mal z₁, k₂ mal z₂ bis kₙ mal zₙ) über. Dieser Prozeß wird immer und immer wiederholt. Da Ziffern oberhalb von 3 und damit mehr als dreifache Wiederholungen unbedeutend sind, kann man die Folgen einfach als Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3 auffassen.¹
1 Treten in der Anfangsfolge Zahlen über 9 (oder gar andere Zeichen) auf, so verschwinden sie zwar nicht vollständig, spielen aber keine Rolle, da die Musik nach wenigen Schritten nur zwischen ihnen spielt. Ein Beispiel: (23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23)→(12,23)→(1,12,1,23)→(1,1,1,12,1,1,1,23)→(3,1,1,12,3,1,1,23) und so weiter.
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Kombinatorisch ist immer etwas zu finden. So soll es 22 Möglichkeiten geben, fünf Sechsecke aneinander zu kleben. Und ich selbst fand vor vielen Jahren die 22 beim Naphthalin, das aus zwei Benzolringen besteht. An den zwei Positionen 0 des nachstehenden Bildes befindet sich nur ein Kohlenstoffatom, an den Positionen 1 bis 8 ebenfalls, jedoch mit Wasserstoff dran. Substituiert man einen, so gibt es zwei Möglichkeiten. An Position 1, 4, 5, 8 heißt es Alpha-Stellung, an Position 2, 3, 6, 7 Beta-Stellung. Mein uralter Hollemann-Richter schreibt dazu: „Die Anzahl der Disubstitutionsprodukte ist sehr groß. Bei zwei gleichen Substituenten sind 10 möglich, bei zwei ungleichen 14.“ Doch bei vier gleichen Substituenten ist die Zahl gar nicht so hoch, nämlich nur 22.
8 1 ● ● / \ / \ ○ ● ● ● 7 0 2 ● ○ ● ● ● ● | | | ○ ● ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 6 0 3 ● ● ○ ● ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ● \ / \ / ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● 5 4 ● ● ● ● ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○ ● ● ●Naphthalin und die vierte Fünfeckzahl 22=1+4+7+10=42+D3=D4+2D3 (png)
Das Bild zeigt neben dem Naphthalin die 22 als vierte Fünfeckzahl 1+4+7+10=22. Sie übersteigt die Dreieckszahl 21 um eins, ist also die sechste Pizzazahl. Um eine Pizza mit sechs geraden Schnitten in 22 Stücke zu teilen, kann man sich ein kleines Heptagramm in die Mitte malen und sechs der Kanten des siebenzackigen Sternes bis zum Rand verlängern. Die Wikipedia erwähnt noch, daß 22&8725;7 eine gute Näherung für π ist, Amerikaner gerne mit Kaliber 22 um sich balllern (0,22"=5,6mm), das hebräische Alphabet 22 Buchstaben und deshalb der Lebensbaum 22 Wege hat, und jetzt kommt es: „Die Kettenbruchzerlegung von π hoch e beginnt mit 22“. Das ist ja toll für 22,469...
Es bleibt die Look-And-Say-Folge von Convay. Man beginnt mit einer (gesehenen) Folge aus k₁ Ziffern z₁, k₂ Ziffern z₂ bis kₙ Ziffern zₙ ohne identische Nachbarn und geht über zu der Folge k₁, z₁, k₂, z₂ bis kₙ, zₙ (gesprochen: k₁ mal z₁, k₂ mal z₂ bis kₙ mal zₙ) über. Dieser Prozeß wird immer und immer wiederholt. Da Ziffern oberhalb von 3 und damit mehr als dreifache Wiederholungen unbedeutend sind, kann man die Folgen einfach als Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3 auffassen.¹
1 n 333 11 1n 33 21 111n 2k 1211 311n 121k 111221 13211n 1112111k 312211 1113211n 3112311k 13112221 311312211n 13211213211kIn der zweiten Spalte kann n=0,2,3,... in der dritten k=0,3,4,... sein. Folgen 10 bis 19 ergeben sich aus 0 bis 9, die 20 und 23 bis 29 kommen in Spalte 3 vor, 21 in Spalte 1. Es bleibt 22 als die einzige Zahl, die in sich selbst übergeht. Alle anderen verlängern sich Schritt für Schritt im Mittel um etwa 30 Prozent. Dieser Convay-Konstante genannte Wachstumsfaktor 1,303577... ist von 22 abgesehen für alle Anfangswerte gleich und die einzige positive reelle Nullstelle eines Polynoms 71. Grades. Das zu wissen, ist schon erstaunlich für eine solche willkürlich und unsystematisch wirkende Folge.
1 Treten in der Anfangsfolge Zahlen über 9 (oder gar andere Zeichen) auf, so verschwinden sie zwar nicht vollständig, spielen aber keine Rolle, da die Musik nach wenigen Schritten nur zwischen ihnen spielt. Ein Beispiel: (23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23)→(12,23)→(1,12,1,23)→(1,1,1,12,1,1,1,23)→(3,1,1,12,3,1,1,23) und so weiter.
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21
wuerg, 16.03.2005 23:44
Die Zahl 21 ist kaum interessanter als 20. Sie ist die kleinste Zahl, deren Sprechweise der Zwanzigeins-Verein ändern möchte. Wir leben im 21. Jahrhundert. Mit 21 Jahren wurde man früher volljährig, wenn drei der zwölf Lebensabschnitte zu sieben Jahren vorüber waren. Was war eigentlich der Grund für die Herabsetzung auf 18? Wohl nicht die früher eintretende sittliche Reife. Eher die Möglichkeit, im Kriegsfall eigenverantwortlich auf andere schießen zu dürfen. Das mag nur die halbe Wahrheit sein, denn die volle ist 42.
Die 21 ist eine Fibonacci-Zahl. Und wegen 1+2+3+4+5+6=21 die sechste Dreieckszahl. Nach 10 Kegeln beim Bowling und 15 roten Bällen beim Snooker nun die 21 Punkte auf dem Würfel. Geteilt durch die 6 Seiten ergibt das eine mittlere Augenzahl von 3,5. Aus diesem Grunde ist die 7 mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten. Nicht so interessant ist 1+7+13=21 als dritte Achteckzahl.¹
Spätestens durch Sheldon Cooper aus der Big Bang Theory wissen wir, daß 73 die 21. und 37 die 12. Primzahl ist. Unerwähnt läßt er die ebenfalls ziffernvertauschten Quadrate 441 und 144 mit der Quersumme 9, dem Quadrat der Quersumme von 12 und 21. Das aber ist nur der Winzigkeit ihrer Ziffern geschuldet und geht mit 13 und 31 genauso. Nicht aufmalen will ich das kleinste aller Quadrate, das sich aus verschieden großen kleineren Quadraten zusammensetzt. Es sind 21 Stück, die ein Gesamtquadrat der Größe 112 mal 112 ergeben. Wer ein Bild sehen möchte, sucht in der allwissenden Müllhalde nach der Spaßbezeichnung Quadratur des Quadrates. Auch die 21 Schlipsknoten mit genau acht Schlägen will ich hier nicht aufführen.² Nicht zufällig sind es auch 21 mit weniger als acht.
Nach der 15=3·5 ist 21=3·7 die zweite ungerade quadratfreie Semiprimzahl. Sie ist somit auch fermatsche Pseudoprimzahl. Zum Nachweis reicht es, eine Zahl a mit a=±1 mod 3 und a=∓1 mod 7 zu finden. Das ist etwas schwerer als bei der 15, doch immer noch leicht, denn 8=−1 mod 3 und 8=1 mod 7. Und in der Tat ist bereits 8²=1 mod 21, also auch 8²⁰=1 mod 21. Damit eine fermatsche auch eine eulersche Pseudoprimzahl ist, muß sogar a^((n−1)∕2)=±1 mod n für ein a=2,3,...,n−1 gelten.⁴ Für n=15 ist das nicht der Fall, weil a⁷=a≠±1 mod 15 für die beiden einzigen Kandidaten a=4,11. Wegen 8¹⁰=1 mod 21 ist damit 21 die kleinste eulersche Pseudoprimzahl.³
1 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Fibonacci-Zahlen A000045, Dreieckszahlen A000217, Achteckzahlen A000567.
2 Fink, Mao: Die 85 Methoden, eine Kravatte zu binden. Hoffmann und Campe, Hamburg, 2000.
3 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Eulersche Pseudoprimzahlen A181781.
4 Ich habe nicht a(n-1)∕2 statt a^((n-1)∕2) geschrieben, da echte Hochstellung den Zeilenabstand versaut und der Divisionsstrich nicht als hochgestelltes Zeichen zur Verfügung steht. Ersetzt durch ein Silbenzeichen kanadischer Ureinwohner sieht es saumäßig aus: a⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ².
20 | 22 | 15
Die 21 ist eine Fibonacci-Zahl. Und wegen 1+2+3+4+5+6=21 die sechste Dreieckszahl. Nach 10 Kegeln beim Bowling und 15 roten Bällen beim Snooker nun die 21 Punkte auf dem Würfel. Geteilt durch die 6 Seiten ergibt das eine mittlere Augenzahl von 3,5. Aus diesem Grunde ist die 7 mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten. Nicht so interessant ist 1+7+13=21 als dritte Achteckzahl.¹
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Dreieck, Achteckzahl als Stern, Augenzahlen des Würfels (png)Spätestens durch Sheldon Cooper aus der Big Bang Theory wissen wir, daß 73 die 21. und 37 die 12. Primzahl ist. Unerwähnt läßt er die ebenfalls ziffernvertauschten Quadrate 441 und 144 mit der Quersumme 9, dem Quadrat der Quersumme von 12 und 21. Das aber ist nur der Winzigkeit ihrer Ziffern geschuldet und geht mit 13 und 31 genauso. Nicht aufmalen will ich das kleinste aller Quadrate, das sich aus verschieden großen kleineren Quadraten zusammensetzt. Es sind 21 Stück, die ein Gesamtquadrat der Größe 112 mal 112 ergeben. Wer ein Bild sehen möchte, sucht in der allwissenden Müllhalde nach der Spaßbezeichnung Quadratur des Quadrates. Auch die 21 Schlipsknoten mit genau acht Schlägen will ich hier nicht aufführen.² Nicht zufällig sind es auch 21 mit weniger als acht.
Nach der 15=3·5 ist 21=3·7 die zweite ungerade quadratfreie Semiprimzahl. Sie ist somit auch fermatsche Pseudoprimzahl. Zum Nachweis reicht es, eine Zahl a mit a=±1 mod 3 und a=∓1 mod 7 zu finden. Das ist etwas schwerer als bei der 15, doch immer noch leicht, denn 8=−1 mod 3 und 8=1 mod 7. Und in der Tat ist bereits 8²=1 mod 21, also auch 8²⁰=1 mod 21. Damit eine fermatsche auch eine eulersche Pseudoprimzahl ist, muß sogar a^((n−1)∕2)=±1 mod n für ein a=2,3,...,n−1 gelten.⁴ Für n=15 ist das nicht der Fall, weil a⁷=a≠±1 mod 15 für die beiden einzigen Kandidaten a=4,11. Wegen 8¹⁰=1 mod 21 ist damit 21 die kleinste eulersche Pseudoprimzahl.³
1 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Fibonacci-Zahlen A000045, Dreieckszahlen A000217, Achteckzahlen A000567.
2 Fink, Mao: Die 85 Methoden, eine Kravatte zu binden. Hoffmann und Campe, Hamburg, 2000.
3 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Eulersche Pseudoprimzahlen A181781.
4 Ich habe nicht a(n-1)∕2 statt a^((n-1)∕2) geschrieben, da echte Hochstellung den Zeilenabstand versaut und der Divisionsstrich nicht als hochgestelltes Zeichen zur Verfügung steht. Ersetzt durch ein Silbenzeichen kanadischer Ureinwohner sieht es saumäßig aus: a⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ².
20 | 22 | 15
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20
wuerg, 15.03.2005 00:55
Ich hatte schon vor, nach der 19 die 20 auszulassen, weil mir zu ihr so gar nichts einfiel. Natürlich kann man unter ihr den Ikosaeder mit seinen 20 Dreiecken oder den Dodekaeder mit seinen 20 Ecken feiern. Aber was bleibt? Eine Liste mit herausragenden Eigenschaften von Zahlen vermerkt zur 20 nur, daß sie die Anzahl der gerichteten Bäume mit sechs Knoten sei. Doch wie interessant ist eine solche Aussage, die noch nicht einmal ohne Vorkenntnisse zu verstehen ist?¹
In meinen Unterlagen habe ich nur eine alte Überlegung zur Anzahl der Möglichkeiten gefunden, Zahlen mit vorgegebener Summe n in die vier Ecken eines Quadrates zu schreiben, wobei gedrehte und gespiegelte nur einmal zählen und die 0 erlaubt ist. Für n=7 ergeben sich 20 Möglichkeiten. Zwischenzeitlich kann man bequem im Internet die ersten mühsam ermittelten Anzahlen eingeben und bekommt sofort eine lange Liste mit weiteren angezeigt.² Dazu noch wissenswerte Informationen. Und so habe ich erfahren, daß es eine schönere Formulierung des Problemes gibt: Wieviele verschiedene Perlenketten (ohne Verschluß) kann ich aus 4 schwarzen und n weißen Perlen bilden?
Man überlegt sich leicht, daß es sich um äquivalente Aufgaben handelt. Hat man die Kette auf einem Gummiband und klebt die schwarzen Perlen auf den Seiten eines Quadrates fest, so verteilen sich die weißen Perlen auf die vier Ecken. Außerdem entsprechen sich die Drehungen und Spiegelungen der so präparierten Kette und des Quadrates. Es werden also die gleichen Anzahlen geliefert.
Was gilt es nach mehr als zehn Jahren nachzutragen? Übersehen hatte ich, daß 20=1+3+6+10 die vierte Tetraederzahl ist. Man erhält eine solche Dreieckspyramide mit vier Apfelsinen auf jeder Kante, wenn man zehn Stück wie beim Bowling auslegt, darauf sechs, darauf drei und ganz oben eine stapelt. Erwähnen will ich noch, daß es 20 offene Ketten aus sieben weißen und schwarzen Perlen gibt, die dreimal die Farbe wechseln, was nur von Bedeutung ist, weil sie in den sieben Strichen einer jeden Stelle des EAN-Codes zu finden sind.³ Und nun, was erst seit 2010 bekannt ist und sehr viel Rechenleistung erforderte: Jeder Rubik-Würfel läßt sich in 20 Drehungen lösen.
1 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Wurzelbäume A000081.
2 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Perlenketten A005232.
3 Eine offene Kette aus sieben Perlen hat sechs Stellen für die insgesamt drei Farbwechsel. Das ergibt 6 über 3, also 20 Möglichkeiten. Man kann mit weiß oder schwarz beginnen, also 40. Aber man kann jede Kette auch umdrehen, womit es wieder 20 sind, weil es keine symmetrischen gibt, denn es ist immer ein Ende weiß und das andere schwarz, meinetwegen auch das eine schwarz und das andere weiß.
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In meinen Unterlagen habe ich nur eine alte Überlegung zur Anzahl der Möglichkeiten gefunden, Zahlen mit vorgegebener Summe n in die vier Ecken eines Quadrates zu schreiben, wobei gedrehte und gespiegelte nur einmal zählen und die 0 erlaubt ist. Für n=7 ergeben sich 20 Möglichkeiten. Zwischenzeitlich kann man bequem im Internet die ersten mühsam ermittelten Anzahlen eingeben und bekommt sofort eine lange Liste mit weiteren angezeigt.² Dazu noch wissenswerte Informationen. Und so habe ich erfahren, daß es eine schönere Formulierung des Problemes gibt: Wieviele verschiedene Perlenketten (ohne Verschluß) kann ich aus 4 schwarzen und n weißen Perlen bilden?
●●●●○○○○○○○ 00 ●●●○●○○○○○○ 00 ●●●○○●○○○○○ 00 ●●●○○○●○○○○ 00 ●●○●●○○○○○○ 01
70 61 52 43 60
●●○○●●○○○○○ 02 ●●○○○●●○○○○ 03 ●●○●○●○○○○○ 01 ●●○●○○●○○○○ 01 ●●○●○○○●○○○ 01
50 40 51 42 33
●●○●○○○○●○○ 01 ●●○●○○○○○●○ 01 ●●○○●○●○○○○ 02 ●●○○●○○●○○○ 02 ●●○○●○○○●○○ 02
24 15 41 32 23
●●○○○●○●○○○ 03 ●○●○●○●○○○○ 11 ●○●○●○○●○○○ 11 ●○●○○●○●○○○ 12 ●○●○○●○○●○○ 12
31 41 32 31 22
Entsprechung der Perlenketten und der Quadrate (png)Man überlegt sich leicht, daß es sich um äquivalente Aufgaben handelt. Hat man die Kette auf einem Gummiband und klebt die schwarzen Perlen auf den Seiten eines Quadrates fest, so verteilen sich die weißen Perlen auf die vier Ecken. Außerdem entsprechen sich die Drehungen und Spiegelungen der so präparierten Kette und des Quadrates. Es werden also die gleichen Anzahlen geliefert.
Was gilt es nach mehr als zehn Jahren nachzutragen? Übersehen hatte ich, daß 20=1+3+6+10 die vierte Tetraederzahl ist. Man erhält eine solche Dreieckspyramide mit vier Apfelsinen auf jeder Kante, wenn man zehn Stück wie beim Bowling auslegt, darauf sechs, darauf drei und ganz oben eine stapelt. Erwähnen will ich noch, daß es 20 offene Ketten aus sieben weißen und schwarzen Perlen gibt, die dreimal die Farbe wechseln, was nur von Bedeutung ist, weil sie in den sieben Strichen einer jeden Stelle des EAN-Codes zu finden sind.³ Und nun, was erst seit 2010 bekannt ist und sehr viel Rechenleistung erforderte: Jeder Rubik-Würfel läßt sich in 20 Drehungen lösen.
1 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Wurzelbäume A000081.
2 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Perlenketten A005232.
3 Eine offene Kette aus sieben Perlen hat sechs Stellen für die insgesamt drei Farbwechsel. Das ergibt 6 über 3, also 20 Möglichkeiten. Man kann mit weiß oder schwarz beginnen, also 40. Aber man kann jede Kette auch umdrehen, womit es wieder 20 sind, weil es keine symmetrischen gibt, denn es ist immer ein Ende weiß und das andere schwarz, meinetwegen auch das eine schwarz und das andere weiß.
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19
wuerg, 13.03.2005 21:13
Durch Himmelsbeobachtung kannte man bereits in der Antike den Metonischen Zyklus von 19 Jahren, nach denen sich Mond- und Sonnenlauf wiederholen. Heute können wir die 365,2422 Tage des tropischen Jahres durch die 29,5306 des synodischen Monat dividieren, als Kettenbruch [12;2,1,2,1,1,16,...] entwickeln und der großen Zahl 16 entnehmen, daß 235 Monate sehr schön 19 Jahre nähern.¹ Auf dieser Idealvorstellung beruht die Berechnung des Osterdatums.²
Nun könnte man meinen, wegen des Mondlaufes spiele die 19 im islamischen Kalender eine besondere Rolle. Dem ist aber nicht so, denn mit dem Verbot eines Schaltmonates hat man sich vom Sonnenjahr verabschiedet, weshalb das Verhältnis von Monats- zur Jahreslänge völlig irrelevant ist. Vielmehr führten die 354,367 Tage für zwölf Monate schon damals ohne Kettenbruch auf eine dreißigjährige Periode.³ Auch wenn es im Koran 19 Engel gibt, ist die 19 erst durch Rashad Khalifa zur Zahl des Koran geworden, nachdem er ihn gleich dem Bibel-Code nach Zahlbeziehungen durchsuchte.⁵ Daß der Bahai-Kalender das Jahr in 19 Monate zu 19 Tagen gliedert, scheint über die 19 Engel hinaus keinen einleuchtenden Grund zu haben. Allerdings passen die Tage 361 Tage recht gut.
Wohl völlig unabhängig davon fand Peter Plichta die Zahl 19 im Periodensystem, besser in der Nuklidtafel. Vier Gruppen zu je 19 Elementen gemäß Primalität, Geradheit und Isotopenzahl samt fünf Ausnahmem.⁵ Zudem erwähnt Plichta die 19+1 Aminosäuren, meines Wissens aber nicht nicht die Grundlage unserer Zwölftonmusik, daß 2¹⁹=524.288 nur knapp unter 3¹²=531.441 liegt. Auch nicht die Neunzehntonleiter.⁶
Irgendwo las ich, daß 19 die kleinste nonludic prime und zudem auch unlucky sei, weil sie durch das Sieb von Josephus fällt. Natürlich gibt es weitere Siebe, in dem die 19 nicht verbleibt. Doch zum Trost auch fröhliche Zahlen, deren Ziffern fortwährend quadriert und addiert letztlich auf 1 führen.⁷ Bei der 19 dauert es etwas:
19 → 12+92=82 → 82+22=70 → 49 → 97 → 130 → 10 → 1
Eine Zahl heißt Keith-Zahl, wenn man aus ihren Ziffern eine Anfangsfolge bildet, sie addiert, in Fibonacci-Manier fortfährt und die vorgegebene Zahl irgendwann erreicht.
1, 9, 10, 19 wegen 1+9=10 und 9+10=19
Das macht die 19 zu einer Keith-Zahl, aber auch ohne die trivialen einstelligen ist 14 immer noch kleiner, wenn auch nicht prim. Das wollte ich neben luckiness, ludicity und happiness nicht auslassen, zumal die Wikipedia es für erwähnenswert hält.
Da 19=1+18 und 18=3·6 das Produkt der zweiten und der dritten Dreieckszahl ist, muß 19 sowohl dritte zentrierte Sechseckzahl als auch vierte zentrierte Dreieckszahl sein. Letzteres läßt sich nicht gut darstellen, doch soll die linke Figur der nachstehenden Abbildung die vier sich umschließenden Dreiecke, also 19=1+3+6+9 verdeutlichen, die daneben 19=1+3·D(3). Die Sechseckzahlen lassen sich schöner darstellen, nämlich als 19=1+6+12 und 19=1+6·D(2).
Stapelt man wie im linken Teilbild auf 10 blaue Kugeln 6 rote und darauf 3 grüne, so fehlt zu einem Tetraeder noch eine ander Spitze, die über der mittleren blauen liegt. Deshalb hat der Tetraeder mit vier Punkten auf jeder Kante 19+1=20 insgesamt. Könnte man auch nach unten stapeln, so käme man mit einer quadratischen Pyramide aus 4+1=5 Punkten oben und unten an ein 3-mal-3-Quadrat angesetzt auf einen Oktaeder mit 9+2·5=19 Apfelsinen, drei entlang jeder Kante.
Und was bleibt nach über 17 Jahren noch neben COVID-19? Die 19 könnte als Summe von 12 und 7 heilig sein, doch habe ich davon im Gegensatz zu 12·7=84 noch nichts gehört. Das Go-Brett hat 19 mal 19 Positionen, das 19. Loch auf dem Golfplatz ist die Bar, die kleinste prime Schnapszahl aus lauter Einsen ist 1.111.111.111.111.111.111, wenn man 11 als nicht richtig besoffen außen vorläßt. Der Neunzehnpunktemarienkäfer soll tatsächlich 19 Punkte haben. Und wer 19 ist, hat zuviele Horrorbücher gelesen.
1 Der Mond benötigt in fast exakter Übereinstimmung mit dem mittleren Monat des islamischen Kalenders für 235 Umläufe 6939 Tage und 16 Stunden. Unser gregorianisches und das tropische Jahr sind etwa zwei Stunden kürzer, das julianische zwei länger. So macht es kaum etwas aus, daß wir zur Zeit in einer fast 200‑jährigen ‚julianischen‘ Periode leben.
2 Eine Spielerei auf Basis religösen Quatsches zur Verwirrung des Volkes und Festigung der Herrschaft durch pseudowissenschaftliches Getue wie dem Computus.
3 Auch wenn die 19 wieder mit der Zahl der Normaljahre in einer Periode von 30 Jahren (besser 360 Monaten) ins Spiel kommt. Der islamische Kalender war und ist sehr genau und würde es in den nächsten Jahrtausenden sein, in denen der Mond seinen Verzug wieder ausgleicht. Der verleitete, den 1. Muharram des Jahres 1 vom julianischen 15. auf den 16. Juli 622 zu verschieben. Aus religiöser Sicht entscheidet die Mondsichtung. Ist nach dem 29. kein Neulicht zu erkennen, folgt ein 30. Tag. Das und die verschiedenen islamischen Kalender führen somit regelmäßig zu Streit über den Beginn des Fastens.
4 Das war nicht überall gern gesehen, doch sein Leben büßte er nicht deshalb ein, sondern weil er sich selbst als Gesandter einstufte und seinen Namen in einen Koranvers einfügte. Er war Mikrobiologe und hätte seine Hybris sicherlich gerne an COVID-19 gesteigert.
5 Die 81−4·19=5 Ausnahmen sind das 19. Element Kalium, was die 19 bestärkt und Probleme mit dem uu-Kern K-40 umschifft, sowie die kleinen Elemente Beryllium, Helium, Kohlenstoff und Lithium mit den Ordnungszahlen 4, 2, 6, 3. Und nun kommt es: 81/19=4,263.
6 Die Quinte aus 11 Intervallen ist dann um stolze 7 Cent zu klein, doch die Terzen aus 5 und 6 Intervallen stimmen deutlich besser als mit 12 Tönen.
7 Adam Spencer: Das Buch der Zahlen. Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 2. Auflage, 2002. Sobald ich wieder an dieses Buch komme, werde ich vielleicht die korrekte deutsche Bezeichnung der (non)ludic numbers hier vermerken können. Die (un)lucky numbers heißen (un)gücklich, die (un)happy numbers fröhlich bzw. traurig.
18 | 20 | Keith-Zahlen | Sechseckzahlen | Josephus | Quinte | Isotope
Nun könnte man meinen, wegen des Mondlaufes spiele die 19 im islamischen Kalender eine besondere Rolle. Dem ist aber nicht so, denn mit dem Verbot eines Schaltmonates hat man sich vom Sonnenjahr verabschiedet, weshalb das Verhältnis von Monats- zur Jahreslänge völlig irrelevant ist. Vielmehr führten die 354,367 Tage für zwölf Monate schon damals ohne Kettenbruch auf eine dreißigjährige Periode.³ Auch wenn es im Koran 19 Engel gibt, ist die 19 erst durch Rashad Khalifa zur Zahl des Koran geworden, nachdem er ihn gleich dem Bibel-Code nach Zahlbeziehungen durchsuchte.⁵ Daß der Bahai-Kalender das Jahr in 19 Monate zu 19 Tagen gliedert, scheint über die 19 Engel hinaus keinen einleuchtenden Grund zu haben. Allerdings passen die Tage 361 Tage recht gut.
Wohl völlig unabhängig davon fand Peter Plichta die Zahl 19 im Periodensystem, besser in der Nuklidtafel. Vier Gruppen zu je 19 Elementen gemäß Primalität, Geradheit und Isotopenzahl samt fünf Ausnahmem.⁵ Zudem erwähnt Plichta die 19+1 Aminosäuren, meines Wissens aber nicht nicht die Grundlage unserer Zwölftonmusik, daß 2¹⁹=524.288 nur knapp unter 3¹²=531.441 liegt. Auch nicht die Neunzehntonleiter.⁶
2 = 1+1 15 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 79 = 16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 80 = 16+16+16+16+16 159 = 81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 239 = 81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 319 = 81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 399 = 81+81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 479 = 81+81+81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 559 = 81+81+81+81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1 639 = 625+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1Gleichfalls nicht übermäßig interessant ist, daß jede natürliche Zahl Summe von 19 Biquadraten ist. Bei 79 sind sie erstmals erforderlich. Danach erleichtern 80=5·16 und 81=3⁴ die Zerlegung. Aber in 80er-Schritten (1 durch 81 ersetzen) werden wieder 19 Summanden benötigt, solange 625=5⁴ nicht überschritten ist. Danach geht es stets mit weniger als 19 Summanden.
Irgendwo las ich, daß 19 die kleinste nonludic prime und zudem auch unlucky sei, weil sie durch das Sieb von Josephus fällt. Natürlich gibt es weitere Siebe, in dem die 19 nicht verbleibt. Doch zum Trost auch fröhliche Zahlen, deren Ziffern fortwährend quadriert und addiert letztlich auf 1 führen.⁷ Bei der 19 dauert es etwas:
19 → 12+92=82 → 82+22=70 → 49 → 97 → 130 → 10 → 1
Eine Zahl heißt Keith-Zahl, wenn man aus ihren Ziffern eine Anfangsfolge bildet, sie addiert, in Fibonacci-Manier fortfährt und die vorgegebene Zahl irgendwann erreicht.
1, 9, 10, 19 wegen 1+9=10 und 9+10=19
Das macht die 19 zu einer Keith-Zahl, aber auch ohne die trivialen einstelligen ist 14 immer noch kleiner, wenn auch nicht prim. Das wollte ich neben luckiness, ludicity und happiness nicht auslassen, zumal die Wikipedia es für erwähnenswert hält.
Da 19=1+18 und 18=3·6 das Produkt der zweiten und der dritten Dreieckszahl ist, muß 19 sowohl dritte zentrierte Sechseckzahl als auch vierte zentrierte Dreieckszahl sein. Letzteres läßt sich nicht gut darstellen, doch soll die linke Figur der nachstehenden Abbildung die vier sich umschließenden Dreiecke, also 19=1+3+6+9 verdeutlichen, die daneben 19=1+3·D(3). Die Sechseckzahlen lassen sich schöner darstellen, nämlich als 19=1+6+12 und 19=1+6·D(2).
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19 als zentrierte Dreieckszahl und zentrierte Sechseckzahl (png)Stapelt man wie im linken Teilbild auf 10 blaue Kugeln 6 rote und darauf 3 grüne, so fehlt zu einem Tetraeder noch eine ander Spitze, die über der mittleren blauen liegt. Deshalb hat der Tetraeder mit vier Punkten auf jeder Kante 19+1=20 insgesamt. Könnte man auch nach unten stapeln, so käme man mit einer quadratischen Pyramide aus 4+1=5 Punkten oben und unten an ein 3-mal-3-Quadrat angesetzt auf einen Oktaeder mit 9+2·5=19 Apfelsinen, drei entlang jeder Kante.
Und was bleibt nach über 17 Jahren noch neben COVID-19? Die 19 könnte als Summe von 12 und 7 heilig sein, doch habe ich davon im Gegensatz zu 12·7=84 noch nichts gehört. Das Go-Brett hat 19 mal 19 Positionen, das 19. Loch auf dem Golfplatz ist die Bar, die kleinste prime Schnapszahl aus lauter Einsen ist 1.111.111.111.111.111.111, wenn man 11 als nicht richtig besoffen außen vorläßt. Der Neunzehnpunktemarienkäfer soll tatsächlich 19 Punkte haben. Und wer 19 ist, hat zuviele Horrorbücher gelesen.
1 Der Mond benötigt in fast exakter Übereinstimmung mit dem mittleren Monat des islamischen Kalenders für 235 Umläufe 6939 Tage und 16 Stunden. Unser gregorianisches und das tropische Jahr sind etwa zwei Stunden kürzer, das julianische zwei länger. So macht es kaum etwas aus, daß wir zur Zeit in einer fast 200‑jährigen ‚julianischen‘ Periode leben.
2 Eine Spielerei auf Basis religösen Quatsches zur Verwirrung des Volkes und Festigung der Herrschaft durch pseudowissenschaftliches Getue wie dem Computus.
3 Auch wenn die 19 wieder mit der Zahl der Normaljahre in einer Periode von 30 Jahren (besser 360 Monaten) ins Spiel kommt. Der islamische Kalender war und ist sehr genau und würde es in den nächsten Jahrtausenden sein, in denen der Mond seinen Verzug wieder ausgleicht. Der verleitete, den 1. Muharram des Jahres 1 vom julianischen 15. auf den 16. Juli 622 zu verschieben. Aus religiöser Sicht entscheidet die Mondsichtung. Ist nach dem 29. kein Neulicht zu erkennen, folgt ein 30. Tag. Das und die verschiedenen islamischen Kalender führen somit regelmäßig zu Streit über den Beginn des Fastens.
4 Das war nicht überall gern gesehen, doch sein Leben büßte er nicht deshalb ein, sondern weil er sich selbst als Gesandter einstufte und seinen Namen in einen Koranvers einfügte. Er war Mikrobiologe und hätte seine Hybris sicherlich gerne an COVID-19 gesteigert.
5 Die 81−4·19=5 Ausnahmen sind das 19. Element Kalium, was die 19 bestärkt und Probleme mit dem uu-Kern K-40 umschifft, sowie die kleinen Elemente Beryllium, Helium, Kohlenstoff und Lithium mit den Ordnungszahlen 4, 2, 6, 3. Und nun kommt es: 81/19=4,263.
6 Die Quinte aus 11 Intervallen ist dann um stolze 7 Cent zu klein, doch die Terzen aus 5 und 6 Intervallen stimmen deutlich besser als mit 12 Tönen.
7 Adam Spencer: Das Buch der Zahlen. Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 2. Auflage, 2002. Sobald ich wieder an dieses Buch komme, werde ich vielleicht die korrekte deutsche Bezeichnung der (non)ludic numbers hier vermerken können. Die (un)lucky numbers heißen (un)gücklich, die (un)happy numbers fröhlich bzw. traurig.
18 | 20 | Keith-Zahlen | Sechseckzahlen | Josephus | Quinte | Isotope
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18
wuerg, 13.03.2005 00:57
Als Jürgen Möllemann 18 Prozent für die FDP forderte, dachte er wohl einfach an herausfordernde 10 mehr als eben nur 8 Prozent, nicht aber an die gängige Bezeichnung für Adolf Hitler (1=A, 8=H). Übersehen aber hat er diese Interpretation gewiß nicht. Schon eher 18=6+6+6, also die durch Verdreifachung entstehende Überhöhung der 6, womit 18 natürlich auch die Quersumme von 666 ist. Daß diese Zahl des Tieres auch noch durch 18 geteilt werden kann, ist damit wenig überraschend.
Was können wir sonst noch zur 18 sagen? Aus mathematischer Sicht so gut wie nichts. Sonst würde ich in einer Liste, die zu vielen hundert Zahlen herausragende Eigenschaften nennt, mehr als nur die folgende finden: Einzige Zahl, die doppelt so groß ist wie ihre Quersumme. Offensichtlich kommen nur zweistellige Zahlen 10a+b infrage. Deren doppelte Quersumme ist 2(a+b), was auf 8a=b führt mit a=1 und b=8 als einziger Lösung.¹
Es bleiben die Volljährigkeit mit 18 Jahren und ein paar weniger interessante Figuren mit 18 Punkten. Ein Dreicksprisma mit drei Punkten entlang jeder Kante umfaßt 3·D(3)=3·6=18 Punkte. Eine dreischichtige Pyramide aus Fünfeckzahlen gemäß 1+5+12=18 mag ich mir lieber nicht vorstellen. Bleibt nur noch die dritte Siebeneckzahl 1+6+11=18. Aber wie stelle ich Siebeneckzahlen vernünftig dar, denn sie liegen blöd zwischen den Sechseckzahlen (Dreieck mit drei Zacken) und den Achteckzahlen (Quadrat mit vier Zacken). Es bleibt eigentlich nur ein Quadrat mit drei Zacken oder ein zweistöckiges Haus mit Dach. Grundsätzlich auch ein großes Dreieck mit vier kleinen, woraus sich ein Sechseck aus 19 Punkten mit einem Loch ergibt.
1 Wenn man sich für das Doppelte interessiert, warum nicht auch für das n-fache. So kommt man auf die Harshadzahlen (A005349), die Vielfaches (A113315) ihrer eigenen Quersumme (A325454) sind. Das führt zu vielen Folgefragen. Zum Beispiel nach der kleinsten Harshadzahl mit vorgegebener Quersumme (A003634) oder Quersummen ohne Harshardzahl (A003635).
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Was können wir sonst noch zur 18 sagen? Aus mathematischer Sicht so gut wie nichts. Sonst würde ich in einer Liste, die zu vielen hundert Zahlen herausragende Eigenschaften nennt, mehr als nur die folgende finden: Einzige Zahl, die doppelt so groß ist wie ihre Quersumme. Offensichtlich kommen nur zweistellige Zahlen 10a+b infrage. Deren doppelte Quersumme ist 2(a+b), was auf 8a=b führt mit a=1 und b=8 als einziger Lösung.¹
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Siebeneckzahl 18 als Quadrat mit Zacken, Haus und Sechseck (png)Es bleiben die Volljährigkeit mit 18 Jahren und ein paar weniger interessante Figuren mit 18 Punkten. Ein Dreicksprisma mit drei Punkten entlang jeder Kante umfaßt 3·D(3)=3·6=18 Punkte. Eine dreischichtige Pyramide aus Fünfeckzahlen gemäß 1+5+12=18 mag ich mir lieber nicht vorstellen. Bleibt nur noch die dritte Siebeneckzahl 1+6+11=18. Aber wie stelle ich Siebeneckzahlen vernünftig dar, denn sie liegen blöd zwischen den Sechseckzahlen (Dreieck mit drei Zacken) und den Achteckzahlen (Quadrat mit vier Zacken). Es bleibt eigentlich nur ein Quadrat mit drei Zacken oder ein zweistöckiges Haus mit Dach. Grundsätzlich auch ein großes Dreieck mit vier kleinen, woraus sich ein Sechseck aus 19 Punkten mit einem Loch ergibt.
1 Wenn man sich für das Doppelte interessiert, warum nicht auch für das n-fache. So kommt man auf die Harshadzahlen (A005349), die Vielfaches (A113315) ihrer eigenen Quersumme (A325454) sind. Das führt zu vielen Folgefragen. Zum Beispiel nach der kleinsten Harshadzahl mit vorgegebener Quersumme (A003634) oder Quersummen ohne Harshardzahl (A003635).
17 | 19 | 88 | 4/20 | 666
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17
wuerg, 12.03.2005 00:06
Im Altertum kannte man neben den Konstruktionen des Dreiecks, des Quadrates und des Fünfecks mit Zirkel und Lineal nur noch die darauf aufbauenden, nämlich das 15‑Eck durch Überlagerung von Drei- und Fünfeck, sowie aus den genannten durch Winkelhalbierung hervorgehenden mit 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, 32, 40, ... Ecken. Erst Jahrtausende später zeigte Carl Friedrich Gauß, daß ein q-Eck genau dann konstruierbar ist, wenn q=p·2^m ist, worin p für das Produkt verschiedener primer Fermatzahlen 2^(2^n)+1 steht.¹ Damit war bewiesen, daß insbesondere das 17‑Eck konstruierbar ist, das als 17‑zackiger Stern das Grabmal von Carl Friedrich Gauß ziert.
Während die Konstruktion des 17‑Eckes noch in Büchern zu finden ist, soll die für 2⁸+1=257 mehr als hundert Seiten lang und die für 2¹⁶+1=65537 in einer Kiste ruhen. Weitere prime Fermatzahlen sind nicht bekannt. Trotzdem muß das Problem als gelöst gelten, weil es auf ein einfaches Kriterium zurückgeführt ist. In jedem Falle sind das Sieben- und das Neuneck nicht konstruierbar. Damit auch der 40‑Grad-Winkel nicht, womit die Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal unmöglich ist.
Was bleibt noch zu sagen? Den Pythagoräern soll die 17 ein Dorn im Auge gewesen sein, weil sie zwischen der 16 und der 18 das Epogdoon (Verhältnis 8:9) durchtrennt. Den Italienern gilt sie wie bei uns die 13 als Unglückszahl. Wahrscheinlich liegt das weder an den Griechen, noch den Römern, die VIXI (ich habe gelebt) in XVII gelesen haben sollen. Eigentlich ist die 17 beliebt, soll wie die 7 oft genannt werden. Besonders originell ist der Trick 17, die Sintflut setzte am 17. Tage des zweiten Monats ein, es gibt 17 Parkettierungen der Ebene, die in der Alhambra und bei M. C. Escher zu bewundern sind.
Die ersten vier Primzahlen addieren sich zu 2+3+5+7=17, was aber nicht bedeutender sein kann als die Summe 100 der ersten neun Primzahlen. Und die Quersumme von 17³=4913 ist 4+9+1+3=17. Eine recht konstruierte Eigenschaft, die zur Basis 10 nur für 1, 8, 17, 18, 26 und 27 zutrifft. Für die größte ist 27³=19683 mit 1+9+6+8+3=27.
1 Wer sich jetzt fragt, warum ich 2^(2^n)+1 und nicht 22n+1 geschrieben habe: Echte Hochstellung versaut im Gegensatz zu hochgestellten Zeichen den Zeilenabstand. Und das erlaube ich mir möglichst nur wie hier in der ersten Zeile.
Wer die Textbreite verkleinert, sollte den vergrößerten Zeilenabstand sehen können. Auch, wenn man auf einem kurzzeiligen Mobiltelefon liest.
16 | 18 | Epogdoon
Während die Konstruktion des 17‑Eckes noch in Büchern zu finden ist, soll die für 2⁸+1=257 mehr als hundert Seiten lang und die für 2¹⁶+1=65537 in einer Kiste ruhen. Weitere prime Fermatzahlen sind nicht bekannt. Trotzdem muß das Problem als gelöst gelten, weil es auf ein einfaches Kriterium zurückgeführt ist. In jedem Falle sind das Sieben- und das Neuneck nicht konstruierbar. Damit auch der 40‑Grad-Winkel nicht, womit die Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal unmöglich ist.
Was bleibt noch zu sagen? Den Pythagoräern soll die 17 ein Dorn im Auge gewesen sein, weil sie zwischen der 16 und der 18 das Epogdoon (Verhältnis 8:9) durchtrennt. Den Italienern gilt sie wie bei uns die 13 als Unglückszahl. Wahrscheinlich liegt das weder an den Griechen, noch den Römern, die VIXI (ich habe gelebt) in XVII gelesen haben sollen. Eigentlich ist die 17 beliebt, soll wie die 7 oft genannt werden. Besonders originell ist der Trick 17, die Sintflut setzte am 17. Tage des zweiten Monats ein, es gibt 17 Parkettierungen der Ebene, die in der Alhambra und bei M. C. Escher zu bewundern sind.
Die ersten vier Primzahlen addieren sich zu 2+3+5+7=17, was aber nicht bedeutender sein kann als die Summe 100 der ersten neun Primzahlen. Und die Quersumme von 17³=4913 ist 4+9+1+3=17. Eine recht konstruierte Eigenschaft, die zur Basis 10 nur für 1, 8, 17, 18, 26 und 27 zutrifft. Für die größte ist 27³=19683 mit 1+9+6+8+3=27.
1 Wer sich jetzt fragt, warum ich 2^(2^n)+1 und nicht 22n+1 geschrieben habe: Echte Hochstellung versaut im Gegensatz zu hochgestellten Zeichen den Zeilenabstand. Und das erlaube ich mir möglichst nur wie hier in der ersten Zeile.
Wer die Textbreite verkleinert, sollte den vergrößerten Zeilenabstand sehen können. Auch, wenn man auf einem kurzzeiligen Mobiltelefon liest.
16 | 18 | Epogdoon
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