Intervalle
Nachdem ich mich nun lang und breit über die gleichschwebenden Stimmungen, die pythagoreische Teilung und die Dur-Tonleiter ausgelassen habe, möchte ich für mich und vielleicht auch andere die Frage beantworten, warum in der Musik die Intervalle so komisch benannt werden und wie man darin ein System erkennen kann. Gerade Musiker mögen diese Frage vorschnell beantworten wollen und sagen: Der Grundname (Terz, Quinte usw.) kommt aus dem Abstand in der Siebentonleiter oder aus der Zahl der Linien und Zwischenräume im System der Notenlinien. Manche (Terz, Septime usw.) treten grundsätzlich in verschiedenen Größen (Schritten in der Zwölftonleiter) auf und heißen deshalb groß bzw. klein. Sollten Intervalle ausnahmsweise um einen Halbtonschritt zu groß oder zu klein sein, so heißen sie übermäßig oder vermindert.

Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren, doch sollte man sich dann Wörter wie Wolfsquinte oder Tritonus zur Verwirrung der Laien verkneifen, auch wenn man weiß, ob ein Tritonus größer oder kleiner als eine halbe Oktave und ob eine Wolfsquinte größer oder kleiner als eine reine ist. Kurz gesagt: Es kann nicht schaden, sich einmal im Leben zu überlegen, was die größere übermäßige Terz, die kleinere übermäßige Terz und die reine Quarte unterscheidet. Sehen wir uns einfach einen Ausschnitt aus einer gängigen Tabelle eines Musiklexikon an:
über c  Name des Intervalles            Verhältnis  Cent   i  j  k
------------------------------------------------------------------
e+      natürliche große Terz              5/4       386  -2  0  1
...     ........
eis+++  kleinere übermäßige Terz         125/96      457  -5 -1  3
eis++   größere übermäßige Terz          675/512     478  -9  3  2
f       pythagoreische reine Quarte        4/3       498   2 -1  0
[f]     5/12 Oktave                                  500
eis     pythagoreische übermäßige Terz 177147/131072 522 -17 11  0
geses-- doppelt verminderte Quinte       512/375     539   9 -1 -3
...     ........
g       pythagoreische reine Quinte        3/2       702  -1  1  0
Die Spalten i, j und k geben an, um wieviele Oktaven (2:1), Duodezimen (3:1) und "major seventeenth" (5:1) man sich vom vom Grundton wegbewegen muß, um den anderen Ton des Intervalles zu treffen. Somit bilden die drei Zahlen eigentlich eine gute exakte Bezeichnung aller Töne, die allein aus den Primfaktoren 2, 3 und 5 gebildet werden (5-limit). Sollte auf den 7. Naturton wert gelegt werden, könnte man einfach eine vierte Zahl l hinzunehmen.

Doch dieses System wird dem Menschen nicht gerecht. Die Spalten j und k mögen ihm noch inhaltlich bedeutend sein, weil sie die im Intervall steckenden Oberquinten bzw. Oberterzen angeben, doch die Zahl i der Oktaven ist mehr oder minder wertlos. Sie kann sogar ganz entfallen, wenn man sich auf Intervalle unterhalb einer Oktave beschränkt. Wie würde man also die Intervalle menschengerecht benennen, wenn man sich heute erneut vor diese Aufgabe gestellt sähe?

Meines Erachtens ist es ganz einfach: Alle wirklich relevanten Intervalle tummeln sich naturgemäß um die zwölf Intervalle der gleichmäßigen Temperatur, weshalb ich zur Verdeutlichung das [f] in die Tabelle aufgenommen habe. Es wäre also ein gutes System, Intervalle im ersten Schritt einfach nach der zugeordneten Zahl von zwölftel Oktaven zu benennen. Dabei sage ich "zugeordnet" und nicht "gerundet", weil im praktisch nicht vorkommenden Extremfall zwischen beiden Methoden Abweichungen bestehen könnten. So liegt ein eis++++ näher am [e] als am [f], gehört aber "logisch" zur Gruppe der dem [f] zugeordneten Töne.

Wie aber bestimmt man die "logische" Anzahl h der Halbtöne (zwölftel Oktaven), die in einem Intervall stecken, von dem man nur das Schwingungsverhältnis kennt. Die Anzahl wäre einfach h=x+y+z, wenn das Intervall aus x diatonischen Halbtönen H=16/15, y großen Chroma g=135/128 und z kleinen Chroma k=25/24 besteht. Die Berechnung der Zahlen x, y und z mag uneinsichtig sein, ergibt sich aber einfach aus dem Gleichungssystem
4x - 7y - 3z = i
-x + 3y -  z = j
-x +  y + 2z = K 
Es liegt in der Natur der Sache, daß die Lösungen für x, y und z ganzzahlig sind:
x =  7i + 11j + 16k
y =  3i +  5j +  7k
z =  2i +  3j +  5k
h = 12i + 19j + 28k
Damit kann die Tabelle um die Spalten x (diatonische Halbtöne), y (großes Chroma), z (kleines Chroma) und h (Halbtöne insgesamt) ergänzt werden. Hinzu kommen zwei weitere Spalten, deren Inhalte im weiteren Verlaufe des Textes erläutert werden. Die erste (7u) gibt die Übermäßigkeit u wieder, die zweite (14v) die Vergrößerung v.
über c  Name des Intervalles   i  j  k  x  y  z  h  7u 14v
----------------------------------------------------------
e+      nat. große Terz       -2  0  1  2  1  1  4   4  -2
...     ........
eis+++  kl. überm. Terz       -5 -1  3  2  1  2  5  11  -9 
eis++   gr. überm. Terz       -9  3  2  2  2  1  5  11   5
f       pyth. reine Quarte     2 -1  0  3  1  1  5  -1  -3
[f]     5/12 Oktave               0  0           5   0   0
eis     pyth. überm. Terz    -17 11  0  2  4 -1  5  11  33
geses-- doppelt verm. Quinte   9 -1 -3  4  1  0  5 -13   3
...     ........
g       pyth. reine Quinte    -1  1  0  4  2  1  7   1   3
Es wäre also sinnvoll Intervalle zunächst nach h zu benennen und ggf. durch die Angabe von j und k zu verfeinern. Dann hieße die kleinere übermäßige Terz von c nach eis+++ zunächst "5-Ton-Schritt" und bei genauerer Angabe "5-Ton-Schritt mit einer Unterquinte und drei Oberterzen". Doch will ich mich nicht mit Reformen wie den Zwanzigeins-Bestrebungen im Zahlsprech-Bereich aufhalten, sondern die vorfindlichen Intervallnamen ableiten. Und scharfes Hinsehen ergibt, daß der Wert x die Basis für die bekannte Grobbennnung ist. Das verwundert nicht, denn x ist die Anzahl der enthaltenen diatonischen Halbtöne H=16/15, was genau der Anzahl von Schritten der diatonischen Siebentonleiter entspricht. Somit ist klar: Bei x=0,1,2,3,... nennen wir das Intervall Prime, Sekunde, Terz, Quarte usw.

Wie aber erkenne ich, ob ein Intervall groß, klein, übermäßig oder vermindert ist? Dazu die folgende Überlegung: Ein Intervall aus x Schritten der Siebentonleiter sollte idealerweise h=(12/7)x Halbtöne groß sein. Der Wert u mit u=h-(12/7)x=(j+4k)/7 ist also ein gutes Maß für die Übermäßigkeit, das im Einklang mit den Vorstellungen der Musiker steht. In Prime und Qktave ist natürlich der Anteil der Halbtöne H exakt richtig (u=0), Quinte und Quarte sind sehr ausgewogen (|u|=1/7), die Extremfälle sind natürlich kleine Sekunde und große Septime (|u|=5/7). Mit dieser Erkenntnis kommt man zu folgenden genaueren Bezeichnungen:
                 7u=-1,0,1 (rein)
7u=2,3,4,5  groß (rein)        7u=-2,...,-5  klein (rein)
7u=6,...,12 übermäßig          7u=-6,...,-12 vermindert
7u=13,..,19 doppelt übermäßig  7u=-13,..,-19 doppelt vermindert
7u=20,..,26 dreifach übermäßig 7u=-20,..,-26 dreifach vermindert
Übermäßigkeit und Verminderung kommen also dadurch zustande, daß man ein Chroma hinzunimmt bzw. entfernt. Dabei hat man aber die Wahl zwischen kleinem und großem Chroma, so daß regelmäßig verschiedene Übermäßigkeiten und Verminderungen auftreten. Außerdem kann man das eine Chroma gegen das andere tauschen, womit Vergrößerungen und Verkleinerungen um ein syntonisches Komma von 81/80 zu allen Intervallen möglich sind.

Um sie namentlich zu unterscheiden, läge eine Wiederholung der zum Parameter u führenden Grundidee nahe: Da große und kleine Chroma in der Zwölftonleiter wie große und kleine Ganztöne in der Siebentonleiter im Verhältnis 3:2 vorkommen, wäre 2y-3z ein Maß für die Vergrößerung. Könnte ich dagegen am grünen Tisch über die Detailbennung entscheiden, würde ich wegen der Einfachheit eine Erhöhung um eine kleines Chroma (Verhältnis 0:1) als normal ansehen. Doch ist hier mein Ziel, das richtige Verhältnis aus der freien musikalischen Wildbahn abzuleiten. Da nur die Mikrotoniker eine umfangreichere Palette von Intervallen zu benennen bereit scheinen, versuche ich aus der Huygens-Fokker-Intervalliste das Prinzip zu erkennen:

Zunächst bestätigt sich das Verhältnis 0:1, da der Versatz um ein kleines Chroma mit dem Namenszusatz "klassisch" belegt wird, während der um ein großes Chroma "weit" bzw. "eng" heißt. Leider ist die Palette der benannten doppelt übermäßigen Töne sehr klein. Erwähnt sind ohne Namenszusatz nur die Übermäßigkeiten bzw. Verminderungen um jeweils ein großes und ein kleines Chroma, also im Verhältnis 1:1. Daran will ich mich für ein allgemeines System halten: Übermäßigkeiten und Verminderungen der normalen Intervalle entstehen durch wechselweise Hinzunahme des kleinen und des großen Chroma, wobei mit dem kleinen begonnen wird.

Die Grundlage für einen numerischen Wert v der Vergrößerung ist damit das gleichmäßige Anwachsen von y und z mit der Überhöhung u. Im Verhältnis 3:2 sollen also nicht y und z, sondern y-u/2 und z-u/2 stehen. Etwas Rechnerei führt auf einen Wert v=(3j-2k)/14. Natürlich steht v=0 für Ausgewogenheit und v=1 für eine Vergrößerung um 81/80, was dem Austausch eines kleinen Chroma gegen ein großes entspricht.

Es bleibt also wieder festzulegen, für welche v welche Bezeichnung zuzuordnen ist. Man muß sich wohl mit zwei Tabellen abfinden, nämlich eine für die geraden u und eine zweite für die ungeraden. Für die geraden ist es mit der Vergrößerung v ähnlich wie mit der Übermäßigkeit u:
             14v=-5,...,5 (normal)
14v=6,...,8  größer          14v=-6,...,-8  kleiner
14v=9,...,22 scharf          14v=-9,...,-22 schwach
14v=23,..,36 doppelt scharf  14v=-23,..,-36 doppelt schwach
14v=37,..,50 dreif. scharf   14v=-37,..,-50 dreif. schwach
Für ungerade u ist ein Wert w=14v+7 für positive u und ein Wert w=14v-7 für negative u gegeignet, beide Fälle in einer Tabelle zusammenzufassen:
             w=-7,...,+7 klassisch
w=8,...,21 weit              w=-8,...,-21 eng
w=22,..,35 doppelt weit      w=-22,..,-35 doppelt eng
w=36,..,49 dreifach weit     w=-36,..,-49 dreifach eng
Die Bennenungen mit "doppelt" und "dreifach" sollen lediglich das Prinzip verdeutlichen. Sie kommen praktisch nicht vor und heißen dann zumeist anders. Auch die normalen Intervalle haben gelegentlich von den hier abgeleiteten systematischen Namen abweichende Bezeichnungen. Für die eingangs erwähnten Beispiele ist die Übereinstimmung jedoch sehr gut:
über c  Name aus Lexikon     systematischer Name
--------------------------------------------------------
e+      nat. große Terz      (normale) große Terz
...     ........
eis+++  kl. überm. Terz      kleinere übermäßige Terz
eis++   gr. überm. Terz      größere übermäßige Terz
f       pyth. reine Quarte   (normale) reine Quarte
[f]     5/12 Oktave
eis     pyth. überm. Terz    doppelt scharfe überm. Terz
geses-- doppelt verm. Quinte doppelt verminderte Quinte
...     ........
g       pyth. reine Quinte   (normale) reine Quinte
20-1 | Quinte | Dur

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Ober-Unter
Gehen wir eine Treppe mit fünf Stufen hoch, so führte die erste Stufe von der Grundebene 0 zur Ebene 1, die zweite von dieser zur Ebene 2 usw. bis zur letzten und fünften Stufe auf die Ebene 5.
                        +o-- Ebene 5
Stufe 5                 |
                    +---+ Ebene 4
Stufe 4             |
                +---+ Ebene 3
Stufe 3         |
            +---+ Ebene 2
Stufe 2     |
        +o--+ Ebene 1
Stufe 1 |
--------+ Ebene 0
Über diese Numerierung sollte es keinen Streit geben. Und es ist auch klar, wohin die Markierungen für Blinde kommen, wenn sie auf die erste und letzte Stufe sollen, nämlich an die mit o gekennzeichneten Positionen. Dieses Prinzip wandeln wir leicht ab, wenn die Stufen so etwa drei Meter hoch sind:
           +-----------+ Ebene 5
4. Stock   |           |
           +-----------+ Ebene 4
3. Stock   |           |
           +-----------+ Ebene 3
2. Stock   |           |
           +-----------+ Ebene 2
1. Stock   |           |
           +-----------+ Ebene 1
Erdgeschoß |           |
-----------+-----------+ Ebene 0
Die n-te Stufe heißt nun (n-1)-ter Stock. Das liegt daran, daß der Mensch wesentlich größer ist als eine Stufe, die er somit zählt, bevor er sie erklimmt, jedoch kleiner als ein Stockwerk hoch ist, weshal er nur die bereits überwundenen Stufen zählt.

Einen kleinen Nachteil hat diese Methode: Ein fünfstöckiges Haus hat als oberstes Stockwerk das vierte. Vielleicht hat sich deshalb vor allem in Bürohochhäusern die Bezeichnung Obergeschoß breitgemacht, denn gibt es ein Ober-Ding, so auch ein Ding und somit schon zwei. Sollte es eine zweites Ober-Ding geben, so sind es drei, womit es natürlich erscheint, daß ein Hochhaus mit 36 Obergeschossen 37 Stockwerke hat. Außerdem erlaubt diese Sprechweise auch die symmetrisch erscheinende Bezeichnung Untergeschoß für Keller.

Ich sage "symmetrisch erscheinend", weil keine Symmetrie vorliegt, denn drei Untergeschosse gehen bis zum dritten Unterschoß, nicht nur bis zum zweiten. Die Benennung der Stockwerke birgt also die gleiche Problematik, wie das Jahr 0. Hätte es ein solches gegeben, dann wäre das zweite Jahrtausend zwar schönerweise mit dem 31. Dezember 1999 zuende gegangen, doch das erste vorchristliche Jahrtausend hätte immer noch am 1. Januar 1000 vor Christus begonnen. Es war deshalb gar nicht so blöd, kein Jahr 0 vorzusehen, denn so umfaßt sowohl das nachchristliche als auch das vorchristliche 2. Jahrtausend die Jahre 1001 bis 2000.

Das soll nicht heißen, daß unsere Stockwerksnummern blödsinnig sind. Man darf nur nicht stillschweigend eine Symmetrie "ober-unter" annehmen, zumal der Mensch dazu neigt, Dualität und Symmetrie in die Welt zu dichten, die eigentlich nicht da ist. Kaum einer nimmt die Unsymmetrie unserer Zahldarstellung wahr. Ich meine nicht positive und negative Zahlen, sondern positive und negative Zehnerpotenzen. Der Hunderterstelle links vom Komma entspricht eine Hunderstelstelle nach dem Komma, der Tausenderstelle davor eine Tausendstelstelle danach usw. Doch leider gibt es keine Eintelstelle.

Man muß also mit der Numerierung ab der Null und der damit verbundenen Oberdenkweise vorsichtig sein und nötigenfalls auf Wörter mit "Ober" verzichten, um Konfusonen zu vermeiden. Ist Herr Ratzinger nun der 265. Papst oder Nachfolger Petri? Besonders Musiker schrecken vor numerischen Ungereimtheiten nicht zurück, da sie bei ihrer Spielgeschwindigkeit nicht rechnen sondern auswendig können. Sonst hätten sie sich von Anfang an den Begriff Oberton verkniffen. Doch wer verinnerlicht hat, daß eine Oktave und eine Quinte eine Dodezime ergeben und nicht (8+5)-1=12 rechnen muß, der weiß wohl auch, daß der 3. Oberton zum 4. Oberton den 19. Oberton vom Grundto ergibt.

Zunächst mag es nicht irritieren, wenn das Schwingungsverhältnis vom n-ten Oberton zum Grundton (n+1):1 und nicht n:1 ist, da n mal "ober" eben n+1 ist. Außerdem scheinen manche davon fasziniert zu sein, den Grundton als 0. Oberton zu bezeichnen unterhalb dessen man im Schwingubngsverhältnis 1:(n+1) auch noch die n-ten Untertöne ansiedelt. Doch damit wird es noch übler. Warum? Zwei Gründe will ich anführen:

Zunächst handelt es sich bei den Obertönen nicht um additive Gebilde wie bei den Stockwerken. Dort gilt unabhängig davon, ob man bei 0 oder 1 mit der Zählung beginnt, daß drei Stockwerke über dem 4. Stock eben der 7. liegt, so wie jeder weiß, daß 5 Jahre nach 1998 das Jahr 2003 meint, ob es nun ein Jahr 0 gegeben hat oder nicht. Doch ist der 4. Oberton vom 3. Oberton eben nicht der 6., 7. oder 8., sondern der 19. Oberton des Grundtones, weil die Struktur multiplikativ ist. Und wer Intervalle wie Oktave und Quinte noch nach der Formel (a+b)-1 zusammenfügt, der möchte trotzdem nicht Obertöne nach (a+1)(b+1)-1 berechnen.

Der andere Grund besteht darin, daß die Untertönen nur symmetrisch drangeklebt sind, aber nicht mit den Obertönen harmonieren. Zwar gibt auch der b-te unterton des a-ten Untertons wieder den ((a+1)(b+1)-1)-ten Unterton des Grundtones, doch führt die Mischung von Ober- und Untertönen zumeist aus diesem Bereich heraus. Schon die Quinte als 2. Oberton des 1. Untertones kommt in der Obertonreihe des Grundtones gar nicht vor. Zwei Ober und drei Ober geben fünf Ober, zwei Unter und drei Unter ergeben fünf Unter. Doch zwei Ober und drei Unter sind nur ein Full House. Damen und Buben mögen deshalb analog, doch nicht symmetrische Ergänzungen gesehen werden. Das gilt auch für Ober- und Untertöne.

Manche mögen weiterhin eine Symmetrie und Entsprechung von Ober- und Untertönen sehen, obwohl die physikalische Realität erstere viel leichter hervorbringt und die muskikalische Welt nicht die gleiche, wenn man alle Notenblätter auf den Kopf stellt von hinten und von unten nach oben liest, wie auch die Welt nicht vorwärts wie rückwärts gleich funktioniert, was man trotzdem lange Zeit glaubte, obwohl das Wasser doch leicher aus der Flasche fließt als wieder hinein. Gäbe es eine Symmetrie zwischen Ober- und Untertönen, dann wäre es doch keine hohe Kunst, eine schöne Melodie zu komponieren, die auch horizontal gespiegelt gut klingt.

Vernünftig ist es deshalb, bei der Benennung der Obertönen nicht nur auf die 0, sondern auch auf die 1 und am besten auf das "ober" ganz zu verzichten. Deshalb nennt man den n-ten Oberton auch (n+1)-ten Naturton. Der Grundton ist somit der 1. Naturton und der a-te Naturton zum b-ten Naturton ist einfach der (ab)-te Naturton des Grundtones. Negative Naturtöne gibt es nicht, womit auch klar wird, daß es sich bei den Untertönen und eine eigene Welt handelt. Keinesfalls ist der 1. Unterton etwa der 0., (-1)-te oder gar (-2)-te Naturton.

Jahr-0

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Dur
Im Laufe der Geschichte hat sich unsere heutige Zwölfteilung der Oktave entwickelt. Und damit wird deren Evolution wohl nicht zufällig ein Ende finden. Außerirdische oder Delphine mit einem exakteren Gehör mögen zu anderen Ergebnissen kommen, wie das menschliche Auge auch sehr feine Intervalle (Farbstiche) erkennen kann. Dafür sieht es aber nur eine Oktave. Deshalb geht es hier nicht um die Zahl der Töne pro Oktave, sondern nur noch um ihre Detailpositionierung und Auswahl.

Soll ein Klavier auch in Tonarten mit vielen Kreuzen und B verwendet werden, dann liegt die gleichmäßige Stimmung nahe: [c]-[cis]-[d]-[dis]-[e]-[f]-[fis]-[g]-[gis]-[a]-[ais]-[h]-[c]. Die Klammer habe ich nicht nur zum Spaß geschrieben, denn [cis] ist zum Beispiel nicht cis, sondern liegt genau eine zwölftel Oktave über [c]=c, woraus sofort [cis]=[des] folgt, sich also die Frage erübrigt, warum ich für die schwarzen Tasten nur Tonerhöhungen genommen habe.

In den Bezeichnungen bevorzuge ich die mit "-is", weil eine systematische pythagoreische Anordnung von 11 reinen Quinten zum Grundton f führt: f-c-g-d-a-e-h-fis-cis-gis-dis-ais. Diese Reihe ist auch gleichzeitig eine Definition der Bezeichnungen. Somit steht "-is" für 2187/2048, was mit 114 Cent deutlich größer ist als ein Halbton "[-is]" von genau 100 Cent. In der pythagoreischen Anordnung folgt als zwölfte die Quinte ais-eis mit 702 Cent. Wird das eis aber als f ausgeführt, so erklingt die pythagoreische verminderte Sexte ais-f mit nur 678 Cent. Ein eis liegt 23 Cent über dem f. Das ist das pythagoreische Komma.

Die Griechen hatten nicht die geistige Freiheit, eine gleichmäßige Stimmung zu akzeptieren. So überzogen sie die Musik mit reinen Quinten und absurden Schwingungsverhältnissen. Erfolgreich damit waren ihre Nachfolger nur deshalb, weil alles glücklicherweise einigermaßen auf die von Menschen ohne Theorie geträllerten Lieder paßte, die zumeist mit sieben Tönen auskamen. Welche Intervalle diese sieben Töne genau bilden, kann man nach dem Gehör wohl schlecht sagen.

Es gibt aber mehrere Ansätze, die letztlich auf unsere Dur Tonleiter führen: f/g/a+/h+/c/d/e+. Darin soll das + für die Erniedrigung um ein syntonisches Komma von 81/80 stehen. Es wird normalerweise mit einem Strich über dem Namen gekennzeichent, was sich hier aber schwer darstellen läßt. Wie bei den Schulnoten eine 2+ nicht größer, sondern mit 1,7 kleiner ist als 2, so ist ein e+ nicht höher, sondern tiefer als ein e. Das Pluszeichen (im Original Überstreichung) soll andeuten, wieviele Terzen (Fünfen) darin stecken. So enthält e:c=81/64=3*3*3*3/2*2*2*2*2*2 nach reiner pythagorischer Lehre keine einzige 5 und das viel schlichtere Intervall e+:c=5/4 eben genau eine.

Von wenig oder nur geschichtlicher Bedeutung ist wohl die Aneinanderfügung von zwei Tetrachorden g-a-h-c und c-d-e-f, zumal auch nicht klar ist, wie groß darin die Intervalle g-a und c-d sein sollen. Vernünftig ist, sie beide gleich groß zu machen und 10/9 statt 9/8 zu wählen, womit man zu Moll statt Dur käme: f/g/a+/h+/c/d+/e+. Man beachte, daß es mir hier nur um die Tonauswahl geht, weshalb ich nicht von einem (willkürlichen) Grundton aus notiere.

Zielführender ist es, unsere Tonleiter als Hintereinanderfügung von drei Dur-Dreiklängen f-a-c, c-e-g und g-h-d zu sehen, womit dann auch klar wäre, daß die mittleren Töne a, e und h als große Terzen (5:4) über f, c und g nicht die pythagoreischen, sondern die um ein syntonisches Komma (81/89) verminderten sind. Wir erhalten f/g/a+/h+/c/d/e+, was aber nicht verwundert: Wo man Dur reinsteckt, kommt auch Dur wieder raus. Das ist aber keine Benachteiligung des Moll-Dreiklanges, dem mit Schwingungsverhältnissen 36:40:45 zumindest nicht die gleiche physikalische Realität zukommt wie dem Dur-Dreiklang mit 8:9:10.

Ein historisch und musikalisch weit unbelasteterer Ansatz aber ist, eine Tonleiter aus möglichst einfachen Intervallen zu bilden, in denen über Pythagoras hinaus auch der Primfaktor 5 vorkommen darf. Da bieten sich nach den für eine Tonleiter zu großen 3/2, 4/3, 5/4 und 6/5 Intervallen die nächsten drei an, nämlich 9/8, 10/9 und 16/15. Wenn diese drei sich zu einer Oktave zusammenfügen lassen sollen, so muß es natürliche Zahlen x, y und z geben, daß (9/8)^x*(10/9)^y+(16/15)^z=2 ist. Das führt auf das Gleichungssystem
-3x +  y + 4z = 1
 2x - 2y -  z = 0
       y -  z = 0
mit der Lösung x=3 (drei große Ganztöne G=9/8), y=2 (zwei kleine Ganztöne K=10/9) und z=2 (zwei Halbtöne H=16/15). Es verbleibt aber die Frage, in welcher Reihefolge man die Intervalle anordnet. Tonleitern kann man daraus 6!/(3!*2!*2!)=210 bilden. Da es auf den Grundton nicht ankommt, bleiben 210/7=30. Von den sechs möglichen Terzen sind die aus zwei gleichen Intervallen (GG, KK und HH) sehr schlecht. Es verbleiben die drei übrigen: GK=5/4 (reine große Terz), GH=6/5 (reine kleine Terz) und KH=32/27 (pythagoreische kleine Terz). Letztere läßt sich nicht vermeiden, wohl aber GG, KK und HH. So verbleiben vier Teilungen der Oktave:
GKGHGKH GHGKGHK GKGHGHK GHGKGKH
Allen vier gemeinsam sind je eine Quarte GKG=45/32 (Tritonus) und eine Quarte GHG=27/20 (?). Die ersten beiden Teilungen weisen zusätzlich fünf reine Quarten GKH=4/3 auf, die beiden übrigen nur drei, weil in ihnen die beiden Halbtöne und die beiden kleinen Ganztöne nicht in maximaler Entfernung liegen. Damit sind wir bei nur noch zwei Teilungen angekommen:
Dur:  ... G K H G K G H G K H G K G H ...
moll: ... K G H G K G H K G H G K G H ...
Manche mögen darin eine gewisse Symmetrie erkennen, denn beide Zyklen sind nur in der Drehrichtung vertauscht. Doch die Physik kennt keine Symmetrie zwischen Ober- und Untertönen. Zeichnet man wie üblich Quinten nach rechts und große Terzen nach oben, so bilden Dur und moll folgende Diagramme
a+  e+  h+    d---a---e---h
| \ | \ | \    \  |\  |\  | 
|  \|  \|  \    \ | \ | \ |
f---c---g---d    f-  c-  g-
in denen die Dreiklänge durch Dreiecke wiedergegeben sind. Das linke Diagramm gibt die Töne einer C-Dur-Leiter wieder, die sämtlich Obertöne von f sind, während im rechten Beispiel einer a-moll-Leiter der Grundton b- gar nicht zur Tonleiter gehört. Daß es sich um Untertöne von h handelt, ist eine formale Symmetrie ohne physikalische Grundlage. Und tatsächlich würde moll in der musikalischen Praxis zurückfallen, wenn die Musiker nicht beständig für Ausgleich sorgen würden. Sie sind schließlich der Kunst und nicht der Einfachheit verpflichtet.

Damit ist nun die Dur-Tonleiter als die natürliche erkannt, ohne den Wert anderer Tonauswahlen und Stimmungen schmälern zu wollen. Es bleibt nur noch zu klären, welche Töne man natürlicherweise auf die schwarzen Tasten legt, wenn die weißen eine C-Dur-Leiter bilden. Zunächst möchte man auch in der Zwölftonleiter nur drei verschiedene Intervalle haben, alle ungefähr von der Größe 100 Cent. Der Halbton H=16/15 hat 118 Cent. Er spaltet vom großen Ganzton G das große Chroma g=135/128 (92 Cent) und vom kleinen Ganzton K das kleine Chroma k=25/24 (70 Cent) ab.

Ich halte es für sinnvoll, wenn die Intervalle von den schwarzen zu den rechts oder zu den links daneben liegenden alle gleich sind. Damit ergeben sich die zwei Möglichkeiten
    a---e---h             gis-dis-ais
    |   |   |             |   |   | 
b---f---c---g---d     a---e---h---fis--cis 
|   |   |   |         |   |   |   | 
ges-des-as--es        f---c---g---d
die das gleiche Muster und deshalb auch den gleichen Zyklus in der Tonfolge bilden. Damit wäre geklärt, wie die Oktave in 7 Halbtöne H, drei große Chroma(ta?) g und zwei kleine Chroma(s?) k zu teilen ist. Offen bleibt allerdings, welche der beiden Möglichkeiten man auf dem Klavier realisiert. Ich persönlich würde keine der beiden nehmen, da in jedem Falle nur zwei reine Dur-Tonleitern enthalten sind. Anderen ging es ebenso. Sie haben immer wieder an den Tönen kleine Abweichungen angebracht. Das nützt aber alles nicht viel. Entweder nimmt man mehr als 12 Töne oder man legt sie in gleichen Abständen. Das ist Dur und auch moll genug für ein normales Gehör.

Oktave | Quinte

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23
Die Zahl 23 hat sich durch die Illuminatus-Trilogie und den Film "23 - Nichts ist wie es scheint" unter Verschwörungstheoretiker und angelagerten Witzbolden verbreitet. In Verbindung mit der Quersumme 5 treibt alles am 23.05. einem Höhepunkt zu, denn am 23. Mai 1989 soll der Hacker Karl Koch im Alter von 23 Jahren ermordet worden sein. Mord und Datum sind völlig ungesichert. Sicher und bleibender ist die Verkündigung des Grundgesetzes durch den Parlamentarischen Rat am 23. Mai 1949.

Was gibt es zur Zahl noch zu sagen, außer dem ständigen Auftreten als Quersumme, worunter sich der Tag 11.09.2001 des Anschlages auf das World Trade Center besonders gut eignet? Der Mensch hat 23 Chromosomenpaare, man soll den 23. Mann auf dem Fußballfeld nicht als bestechlich disqualifizieren und nicht Ernte 23 am Fuße der Pyramiden rauchen. Es ist
23 = 14 + 23 + 32 + 41 + 50
und natürlich ist 23 die kleinste Zahl, die neun Summanden benötigt, wenn sie alle Kubikzahlen sein sollen
23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Gerne erwähnt wird auch, daß ab der 23. Person die Wahrscheinlichkeit, daß zwei davon an einem Tag Geburtstag haben höher ist als umgekehrt alle an verschiedenen Tagen geboren sind.

Eine andere nette, doch völlig unwichtige Eigenschaft der Zahl 23 hatte ich genutzt, um die Reihe meiner Zahlbetrachtungen ...,15,16,17,18,19,20,21,22 abzubrechen: 23 ist die kleinste Zahl, die durch keine ihrer Ziffern teilbar ist. Das ist natürlich nicht verwunderlich, denn einstellige Zahlen kann man durch sich selbst teilen, die mit einer 1 als Ziffer scheiden auch aus, 20 und 22 schließlich sind durch die führende 2 teilbar.

Die Beschreibung "nicht durch eine eigene Ziffer teilbar" ist ein nettes Beispiel dafür, wie oftmals vermeintlich genau, doch eigentlich unzulässig definiert wird. Manchmal ist es dann wie in diesem Falle auch nicht von Bedeutung, doch im Auge haben sollte man es immer, sonst fällt man vielleicht erst später damit auf die Schnauze. Ungenau ist die Beschreibung, weil die Teilbarkeit durch eine Ziffer 0 gar nicht definiert ist. Ob zum Beispiel 370 nicht durch eine seine eigenen Ziffern teilbar ist, hängt also davon ab, ob man 0 als Teiler sieht. Es erscheint sinnvoll, dies nicht zu tun, was gleichbedeutend mit "nicht durch eine eigene Ziffer ungleich 0 teilbar". Damit ist 370 eine solche Zahl wie 23.

Folge | 23-27-29-34

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36
Nach der 37 nun die 36, denn es ist ja nicht nur 37-36=1, sondern auch die 36*37=2*666. Das ist die bekannte Tatsache, daß 666 die 36. Dreieckszahl ist: D(36)=(36*37)/2=666. Zugegebenermaßen ist 666 nicht irgendeine Dreieckszahl, denn 36=6*6 ist nicht nur eine Quadratzahl, sondern wiederum eine Dreieckszahl, denn D(8)=(8*9)/2=36. Es ist übrigens auch ohne die Zahl 666 im Hintergrund eine interessante Frage, welche Dreieckszahlen zugleich Quadratzahlen sind. Nach der trivialen 1 folgt die 36 und dann lange nichts bis zu 1225. Es ist D(49)=(49*50)/2=1225=35*35.

Die 36 kommt als Quadratzahl und eine Zahl mit reichlich Teilern häufiger im täglichen Leben vor als zum Beispiel 41. So hat ein 6x6-Quadrat eben 36 Felder. Setzt man darin die Zahlen von 1 bis 36 geschickt ein, so erhält man ein magisches Quadrat. Zeilen, Spalten und Diagonalen addieren sich auf 111, die Gesamtsumme ist wieder 666. Aber das ist ja nicht neu und nur eine Folge davon, daß eben D(36)=666 ist. Auch die Umformulierung, daß sie Summe aller in 36 enthaltenen Zahlen 666 ergibt, zaubert nur ein neues Versatzstück aus immer derselben Grundlage hervor.

Man kann aber 36 nicht nur in 6 Reihen zu 6, sondern auch in einer Reihe zu 36 Kleinbildern von 36 Millimetern Breite oder in drei Reihen zu 12 anordnen. Das geschieht beim Roulette, womit ich die Kurve zur 37 wieder bekomme. Setze ich auf eine der 37 Zahlen 0 bis 36 einen Euro, so ist er in 36 von 37 Fällen weg und in dem einen verbleibenden Fall bekomme ich 36 zurück oder zu meinem eingesetzten Euro 35 hinzu. Im Mittel setze ich 37 mal einen Euro und erhalte nur in einem Falle etwas zurück, nämlich 36 Euro. Die Gewinnquote ist also 36/37. Der Verlust ist mit 1/37, etwa 3 Prozent gar nicht so hoch, wenn man ihn mit dem Lotto vergleicht. Viermal hintereinander alles auf eine Zahl zu setzen und zu gewinnen ist deutlich wahrscheinlicher als sechs Richtige im Lotto und bringt noch einen höheren Gewinn.

Für die Zahl 36 gilt natürlich auch: Wo man 6 reinsteckt, kommt auch 6 wieder raus. So halten manche für bemerkenswert, daß die Quersumme 3+6=9=36/4 und das Produkt der Ziffern 3*6=18=9+9=36/2 ist. Die Versechsfachung ist ja sehr beliebt unter den Numerologen, auch weil man so auf 666 kommt, wo man sich sonst mit 111 hätte begnügen müssen. Zur Begründung versteigt man sich zu Beziehungen wie (666+666)-(36*36)=36 und 360-(6+6+6)(6+6+6)=36. Doch das ist Augenwischerei, denn die erste Gleichung formuliert abermals um, daß D(36)=666 ist, denn für alle n gilt (D(n)+D(n))-(n*n)=n. Für n=10 erhält man so (55+55)-(5+5)(5+5)=5+5. Für die zweite Gleichung ist es noch brutaler. Ersetzt man 3 durch 2 und 6 durch 5, ergibt sich 250-(5+5+5)(5+5+5)=25.

Daß meine destruktiven Beispiele mit 5 statt 6 besonders gut aussehen, liegt an einer gemeinsamen Eigenschaft im Dezimalsystem, die auch zu mystischen Verzückungen führen kann: Die 5 und die 6 "vererben" sich wie die 0 und 1 sehr gut, sie bleiben bei Quadrierung in der letzten Stelle erhalten. Und bei Vererbung ist man wieder bei den Geschlechtern. Die 5=2+3 als Sinnbild für die Vereinigung von Frau (2) und Mann (3) zur Familie und die weibliche Yin-Zahl 6, die als eine auf dem Kopf stehende männliche Yang-Zahl 9 gesehen werden kann. Muß da die 36=6*6 nicht die weiblichen Eigenschaften potenzieren, um für die 36 (Hinter)listen zu stehen, von der die zehnte "Hinter dem Lächeln den Dolch verbergen" lautet? Auch ist es nicht weit 69 und Sex-Sex-Sex.

Doch zum letzen Beispiel 360-(6+6+6)(6+6+6)=36 zurück. Wie selbstverständlich kommt darin die 360 vor, die oft mit der 36 ohne Skrupel gleichgesetzt wird. Man kann darin einen Bezug der 36 zu den 360 Altgrad sehen, doch von Zufall kann da wohl nicht die Rede sein. Dankbar wären viele, hätten die Griechen das heilige Zehneck verehrt. Dann könnten sie 10 Punkte im Abstand von 36 Grad auf den Kreis setzen und daraus einen zehnzackigen Stern bilden. So müssen sie sich mit Winkeln von 36+36=72 Grad begnügen, um zum Pentagramm zu kommen, der heute der Stern der arabischen Welt ist. Dabei wäre der Übergang zum sechszackigen Stern (360=6*30) der Juden doch einfacher. Und man könnte auf eine lange Tradition der 36 neben der 6 und der 666 in der jüdischen Kabbal(l)a(h) verweisen.

Diese Methoden ins Moderne übertragen führen auf die schöne Zuordnung COMPUTER=18+90+78+96+126+120+30+108=666 und auf ein Pascalsches Dreieck für Esoteriker
       6
     6  6
   6  12  6
 6  18  18  6
6 24  36  24 6
in dem die 36 schneller vorkommt als im Original, das dafür in der dritten Diagonalen alle Dreieckszahlen auflistet und somit nicht nur die 6, sondern auch die 36 und die 666 enthält. Aber Geduld und Tiefe scheinen weniger zu überzeigen als Taschenspielertricks.

6 | 37 | Dreieckszahlen

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37
Seit es nicht mehr nur Alpha-Blogger gibt, schielen viele auf ihre GfK-Zahlen. Mich interessiert mehr, welche Beiträge aus den Tiefen zunehmend schnell auf die ersten Plätze drängen. Dazu gehören neben meinen Einlassungen zur Quinte die Zahlen 13, 999 und 1729. Die Musik lasse ich hier außen vor, den Erfolg der 13 schiebe ich teilweise auf den letzten Freitag und das Interesse an der Hardy-Ramanujan-Zahl 1729 leutet mir ein. Warum aber 999? Es muß etwas mit den Zahlen 1729, 37 und 27 zu tun haben, gleichwohl ich dies den Backlinks nicht entnehmen kann.

Zu Beginn meines Delta-Blogger-Dasein schrieb ich ausgehend von 20six über den vermißten 27. Buchstaben unseres Alphabetes, was mit den 10 Ziffern 37 Zeichen ergäbe. Das hätte sich gut zu 27*37=999 gefügt. Mit der weiteren Schönheit 27+37=64 (wie 27 eine Kubikzahl) leitete ich die Besonderheit der Zahl 1729 ab. Der Zusammenhang zur Zahl 666=18*37 schwebt natürlich auch mit, was sich aber in der gleichen Weise wie 999=27*37 aus 111=3*37 ableitet, weshalb einige der 666 zugeschriebenen Besonderheiten eigentlich solche der 111 sind. Doch darum soll es jetzt nicht gehen.

Vielmehr will ich darlegen, wie sich aus den simplen und recht endlichen Beziehungen 37*27=999 und 37-27=10 manchen Zeitgenossen überraschende und scheinbar in die Unendlichkeit zielende Beziehungen ergeben. Allein aus 37*27=999 folgt bereits
37 * 27 = 999
37 * 27.027 = 999.999
37 * 27.027.027 = 999.999.999
usw., also 1/37=0,027027027027027... und auf die gleiche Weise 1/27=0,037037037037037..., was zwar recht interessant ist und vor allem die 37 mystifiziert, doch eigentlich nur an 37*27=999 liegt, denn es geht mit anderen Zahlen auch. So ist 11*9=99 und deshalb 1/11=0,09090909... und 1/9=0,11111111... worin man wegen der Zifferngleichheit die 11 leider nicht so recht erkennt.

Auf der Suche nach anderen Beispielen kommt man auf 369*271=99999 und damit 1/369=0,002710027100271... und 1/271=0,003690036900369..., was aber noch kein so schlagendes Beispiel ist und sogar zur Glorifizierung der 37 beitragen kann, denn 271=10*27+1 und 369=10*37-1. Doch das ist keine übernatürliche Fügung und folgt bereits aus 37*27=999 und 37-27=10, denn
369*271 = (10*37-1)*(10*27+1)
        = 100*37*27 + 10*(37-27) - 1
        = 100*(1000-1) + 10*10 - 1
        = 100000 - 100 + 100 - 1
        = 99999
Und wieder kann eine Entzauberung und Rückführung scheinbar merkwürdiger Zusammenhänge auf simple Tatsachen zur Mystifizierung beitragen, denn nun könnte man meinen, daß dies alles ein Beleg für die herausragende Bedeutung der Zahl 10 sei, die wir zur Basis unserer Zahldarstellung gewählt haben. Es entsteht also die Frage, für welche Basen b (bisher 10) die Zahl b^n-1 (bisher 999, also n=3), die zur Basis b dargestellt aus n mal der höchsten Ziffer besteht, das Produkt einer ganzen Zahl x (bisher 37) mit der Zahl x-b (bisher 27) ist.

Für die Basis b=2 ist das eine Allerweltseigenschaft, die für alle geraden n erfüllt ist. Das ist nicht so interessant wie die anderen Kombinationen:
 b        Rechnung zur Basis b               Rechnung dezimal 
 5 (1,3)*[(1,3)-(1,0)]=(4,4)=(1,0,0)-(1)     8*[8-5]=24=5*5-1
13 (1,8)*[(1,8)-(1,0)]=(12,12)=(1,0,0)-(1)   21*[21-13]=168=13*13-1
34 (1,21)*[(1,21)-(1,0)]=(33,33)=(1,0,0)-(1) 55*[55-34]=1155=34*34-1
Alle drei Beispiele sind zweistellig (n=2), und wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann gibt es zu Basen b unterhalb von 100 keine dreistelligen Lösungen (n=3) außer der bekannten zur Basis b=10. Damit scheint also eine herausragende Stellung der Zahl 37 mit 37-27=10 und 37*27=999=10*10*10-1 belegt. Man darf aber nicht vergessen, daß wir zunächst die Besonderheiten in unserem System gesucht und dann in den anderen nicht gefunden haben. Wären wir zur Basis 12 oder 16 aufgewachsen, hätten wir ebenfalls vieles finden können, was zu den anderen Basen und insbesondere 10 nicht gilt.

Hätten wir nicht unfair mehrere Eigenschaften kombiniert, wären wir sehr oft fündig geworden. Zum Beispiel in der so beliebten hexadezimalen Zahldarstellung, mit der wir bei leicht anderer Evolution durch 8 Finger an jeder Hand durchaus hätten groß werden können. Zur Basis 16 gilt FFF=3F*41 mit 1/3F=0,041041041... und 1/41=0,03F03F03F... oder noch besser FFF=2D*5B mit 1/2D=0,05B05B05B... und 1/5B=0,02D02D02D..., weil dann die hexadezimale 5B noch eine weitere zur dezimalen 37 analoge Eigenschaft hätte, denn es wäre 111=3*5B und FFF die (5B-1)-te Dreieckszahl wie dezimal 666 die (37-1)-te Dreieckszahl ist. In der Bibel der Achtfingrigen könnte also FFF die Zahl des Tieres sein.

27 | 73 | 666 | 999

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noon
Vorgestern habe ich etwas über Menschen gelästert, die zwischen dieser Woche und der nächsten noch eine kommende einschieben. Es sind wohl weitgehend die gleichen, die den Mittag nicht um 12 Uhr herum sehen, sondern ihn so von 13 bis 16 Uhr legen. Ich frage mich, was sie dann unter Nachmittag verstehen? Glücklicherweise meinen sie mit "in einer Stunde" nicht in 120 Minuten. Auch ist mir noch keiner untergekommen, der vor der nächsten Minute eine kommende einfügte. Und wer nach der großen Pause in der nächsten Stunde Mathematik hat, schiebt nicht noch eine kommende mit Deutsch ein.

Das englische Wort noon scheint um einiges präziser zu sein als unser Mittag. Mir fehlen die genauen Kenntnisse der englischen Sprache, doch scheint mir die Genauigkeit darin begründet zu sein, daß einem Amerikaner eine tiefe Unsicherheit befällt, wenn er die Zeit zwischen 12 und 13 Uhr benennen soll. Das gleiche gilt für die erste Stunde des Tages nach Mitternacht. So glaube ich nicht an einen amerikanischen Angriff in diesen beiden Stunden, weil auch die für den militärischen Gebrauch angefertigten Umrechnungstabellen für Zeitzonen das Problem brutal umschiffen:

Es werden immer nur Umrechnungen für ganze Stunden angegeben, worin die militärische Zeit (0 bis 23 Uhr) eindeutig beziffert ist, die AM-PM-Zeiten jedoch nur von 1 bis 11 gehen. Statt 0 oder 12 Uhr steht dort zumeist noon oder midnight. Das läßt den schlichten Soldaten darüber im Unklaren, was 12:35 a.m., 12:35 p.m., 0:35 a.m. und 0:35 p.m. bedeuten könnten. Offensicht sind die Amerikaner der Meinung, a.m. (ante meridiem) ginge von 00:01 bis 11:59 und p.m. (post meridiem) von 12:01 bis 23:59, während noon und midnight dazwischen lägen. Auf 11:59 a.m. folgt noon und darauf 12:01 p.m., dann eine Stunde später geht es von 12:59 p.m. um zwölf zurück auf 1:00 p.m., was die eigentliche Unerträglichkeit ausmacht, denn noon kann man durch 12:00 p.m. bezeichnen, da 12:00:01 Uhr wirklich bereits p.m. ist.

Das mag uns nicht stören, solange man nicht Computer grundsätzlich in amerikanischem Englisch konfiguriert, um die Probleme mit schlechten Übersetzungen zu vermeiden. Aber man gewöhnt sich an alles. Auch daran, daß GMT+01:00 für Berlin bei Bill Gates eine andere Zeit als GMT+01:00 für West-Zentralafrika ist, nur weil wir uns gerade in der Sommerzeit befinden. Und da bin ich bei einem anderen Übel, das mittlerweile zu einer Selbstverständlichkeit geworden ist. Statt die Tagesschau auf 19 Uhr vorzuziehen hat man sich für eine Verschiebung der Zeit entschlossen. Konfusionen mit der Benennung der einen doppelten Stunde im Herbst sind die gerechte Strafe, wenn der ganze Quatsch uns auch eine originelle Antwort auf die Frage gebracht hat, welcher Monat im Jahr der längste sei.

Woche

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