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Intervallnamen
wuerg, 02.06.2005 02:06
Schon lange frage ich mich, warum musikalische Intervalle so komisch, so vielfältig und leider auch widersprüchlich benannt werden, ob dahinter wenigsten grundsätzlich ein System steckt, so verwirrend es auch erscheinen mag. Musiker mögen diese Frage vorschnell beantworten: Der Grundname (Terz, Quinte usw.) kommt aus dem Abstand in der Siebentonleiter oder aus der Zahl der Linien und Zwischenräume im System der Notenlinien. Manche Intervalle (Terz, Septime usw.) treten gerne in verschiedenen Größen (Halbtonschritten der Zwölftonleiter) auf und heißen deshalb groß bzw. klein. Sollten Intervalle ausnahmsweise um einen weiteren Halbtonschritt größer oder kleiner sein, heißen sie übermäßig oder vermindert.
Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren. Wer aber 5‑glatte Intervalle genau benennen möchte, muß noch ein weiteres Attribut beifügen, etwa für Unterschiede von einem syntonischen Komma (81/80). So könnte die doppelt übermäßige Undezime von ‘Fes nach „his als dreifach enharmonisch kleiner bezeichnet werden, weil es um drei syntonische Kommas abwärts geht. Aber warum sollte dieses kleinzahlige Intervall 5625/2048 dreifach kleiner heißen, wenn in der Folge das normale (0‑fach kleinere) 23914845/9388608 wäre. Diese Unschönheit würde gemildert, wenn für jede Alterierung um eine Apotome (is, 2187/2048) ein oder zwei syntonische Kommas weniger gezählt würden. Dann entsprächen Erhöhungen einem großen Chroma (135/128) bzw. einem kleinen Chroma (25/24).
Wahrscheinlich ist es dem Umstand zu verdanken, daß die beiden natürlichen Terzen sich um ein kleines, der diatonische Halbton und der pythagoreische Ganzton aber um ein großes Chroma unterscheiden, daß die beiden Chromatates wechselweise zum Zuge kommen, weshalb die normalen doppelt übermäßigen Intervalle immer um 1125/1024 größer sind. Damit sehe ich nachstehendes Schema:
Damit stelle zumindest ich mir die Frage: Wie bestimme ich zu einem 5‑glatten Intervall die korrekte Bezeichnung? Bei einem Intervall aus x Zweien, y Dreien und z Fünfen bestimmt sich der grundlegende Name aus m=7x+11y+16z, weil die zweite Harmonische 7, die dritte 11 und die fünfte 16 diatonische Schritte nach oben führt. Im Falle von m=0,1,2,3,… spricht man von einer Prime, Sekunde, Terz, Quarte, …, frei ins Deutsche übersetzt von einer (m+1)‑ten. Der Rest einer Division von m durch 7 ergibt das von Oktaven befreite Intervall n=m=4y+2z (7) aus dem Bereich von 0 bis 6 für Prime bis Septime. Der nachstehenden Tabelle kann damit das zentrale (neutrale) Intervall (im Schema mit OOOOO gekennzeichnet) und die Zusammensetzung seines Quadrates aus α Zweien, β Dreien und γ Fünfen entnommen werden:
2x3y5z = 2α/23β/25γ/2 · 2a · ((135/128)(25/24))b/4 · (81/80)c/4
nach a, b und c aufzulösen. Es ergibt sich:
c=(6y−4z−3β+2γ)/7 b=(2y+8z−β−4γ)/7 a=(m−n)/7
Das erste die Alterierung bezeichnende nur von b abhängende Attribut Alt(b) zum Grundnamen des Intervalls wird mit Hilfe von i=∣b∣/2 wie folgt bestimmt:
Auch im deutschen Sprachgebrauch verdrängt die Bezeichnung pythagoreisch für 3‑glatte Intervalle gerne die systematische. So heißt die kleinere kleine Terz (32/27) pythagoreisch und in der Folge die größere (6/5) einfach (natürliche) kleine Terz. Das ist nicht bedenklich, solange man in exotischen Bereichen nicht zu unsystematischen Bezeichnungen greift. Und damit meine ich nicht sehr kleine Intervalle und einige besondere wie Halbton, Ganzton, Chroma, Limma, Komma, Apotome, Diesis, Schisma, Ditonus, Tritonus.
[1] Ich habe scharf, schwach, eng und weit in Klammern gesetzt, denn es ist nicht mehr als mein Versuch, die in der Huygens-Fokker-Liste [3] so bezeichneten Intervalle in das deutsche System des Musiklexikons [2] einzuordnen. Wie es richtig ist oder sein könnte, weiß ich nicht. Ich bin jedem dankbar, dem anerkannte Konzepte bekannt sind und sie mir in einem Kommentar darlegt.
[2] Habe nur noch die Kopie der Seiten 409 bis 413 zum Stichwort Intervall. Darin sind leider nur die gängigsten Intervalle verzeichnet, daß ein Gesamtsystem über sie hinaus nicht zu erkennen ist.
[3] Intervall-Liste. Huygens-Fokker Foundation. Diese Liste nennt zwar mehr 5‑glatte Intervalle als das Musiklexikon [2], doch leider ist ein System nur in Ansätzen zu erkennen und nicht konsequent umgesetzt.
Quinte | Dur
Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren. Wer aber 5‑glatte Intervalle genau benennen möchte, muß noch ein weiteres Attribut beifügen, etwa für Unterschiede von einem syntonischen Komma (81/80). So könnte die doppelt übermäßige Undezime von ‘Fes nach „his als dreifach enharmonisch kleiner bezeichnet werden, weil es um drei syntonische Kommas abwärts geht. Aber warum sollte dieses kleinzahlige Intervall 5625/2048 dreifach kleiner heißen, wenn in der Folge das normale (0‑fach kleinere) 23914845/9388608 wäre. Diese Unschönheit würde gemildert, wenn für jede Alterierung um eine Apotome (is, 2187/2048) ein oder zwei syntonische Kommas weniger gezählt würden. Dann entsprächen Erhöhungen einem großen Chroma (135/128) bzw. einem kleinen Chroma (25/24).
Wahrscheinlich ist es dem Umstand zu verdanken, daß die beiden natürlichen Terzen sich um ein kleines, der diatonische Halbton und der pythagoreische Ganzton aber um ein großes Chroma unterscheiden, daß die beiden Chromatates wechselweise zum Zuge kommen, weshalb die normalen doppelt übermäßigen Intervalle immer um 1125/1024 größer sind. Damit sehe ich nachstehendes Schema:
(weite) (weite) (weite) (weite) (weite) (scharfe) (scharfe)
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
(scharfe) \ / (scharfe) (scharfe) (scharfe) (weite)
doppelt (scharfe) doppelt doppelt übermä-
vermind / \ übermäß vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / \ / \
größere größere größere größere größere größere größere
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
doppelt +-----+ doppelt größere größere größere
vermin- |OOOOO| übermä- doppelt übermä-
derte +-----+ ßige vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / OOOOO / \
kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
(schwache) \ / (schwache) kleinere kleinere kleinere
doppelt (schwache) doppelt doppelt übermä-
vermind / \ übermäß vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / \ / \
(enge) (enge) (enge) (enge) (enge) (schwache)(schwache)
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
/ \ / \ /
Intervalle zur Prime, Quarte, Quinte, (schwache)(schwache) (enge)
Oktave, Undezime, Duodezime, ... doppelt übermä-
vermind kleine ßige
135/128 (‚cis) 81/80 (‘c)
/ | Intervalle zur Terz, Sexte, Dezime,
1 (c) | Tredezime,... Für Sekunde, Septime,
\ | None, ... ist zu spiegeln und über-
25/24 („cis) 1 (c) mäßig mit vermindert zu tauschen
Fett sind die nach einem deutschen Musiklexikon gesicherten Namen. Der Rest durch systematische Fortsetzung und in Anlehnung an die Huygens-Focker-Intervall-Liste. [1]Damit stelle zumindest ich mir die Frage: Wie bestimme ich zu einem 5‑glatten Intervall die korrekte Bezeichnung? Bei einem Intervall aus x Zweien, y Dreien und z Fünfen bestimmt sich der grundlegende Name aus m=7x+11y+16z, weil die zweite Harmonische 7, die dritte 11 und die fünfte 16 diatonische Schritte nach oben führt. Im Falle von m=0,1,2,3,… spricht man von einer Prime, Sekunde, Terz, Quarte, …, frei ins Deutsche übersetzt von einer (m+1)‑ten. Der Rest einer Division von m durch 7 ergibt das von Oktaven befreite Intervall n=m=4y+2z (7) aus dem Bereich von 0 bis 6 für Prime bis Septime. Der nachstehenden Tabelle kann damit das zentrale (neutrale) Intervall (im Schema mit OOOOO gekennzeichnet) und die Zusammensetzung seines Quadrates aus α Zweien, β Dreien und γ Fünfen entnommen werden:
n Name(n) klein groß Mittel Quadrat α(n) β(n) γ(n) 0 Prime 1 1 1 0 0 0 1 Sekunde 16/15 9/8 √(6/5) 6/5 1 1 -1 2 Terz 6/5 5/4 √(3/2) 3/2 -1 1 0 3 Quarte 4/3 4/3 16/9 4 -2 0 4 Quinte 3/2 3/2 9/4 -2 2 0 5 Sexte 8/5 5/3 √(8/3) 8/3 3 -1 0 6 Septime 16/9 15/8 √(10/3) 10/3 1 -1 1Um zu ermitteln, wieviele Oktaven (a), Übermäßigkeiten (b/2) und enharmonische Erhöhungen (c/4) zum mittleren Ton, der neutralen (n+1)‑ten hinzukommen, ist
2x3y5z = 2α/23β/25γ/2 · 2a · ((135/128)(25/24))b/4 · (81/80)c/4
nach a, b und c aufzulösen. Es ergibt sich:
c=(6y−4z−3β+2γ)/7 b=(2y+8z−β−4γ)/7 a=(m−n)/7
Das erste die Alterierung bezeichnende nur von b abhängende Attribut Alt(b) zum Grundnamen des Intervalls wird mit Hilfe von i=∣b∣/2 wie folgt bestimmt:
Alt(b) = '' für b=0 Alt(b) = 'große' für b=1 Alt(b) = 'kleine' für b=-1 Alt(b) = 'i-fach übermäßige' für b>1 Alt(b) = 'i-fach verminderte' für b<-1Leider ist das zweite Attribut Enh(b,c) zur Angabe der enharmonischen Abweichungen etwas kompliziert. Mit j=∣c∣/4 lautet es:
Enh(b,c) = '' für c=0 Enh(b,c) = 'größere' für c=1,2,3 Enh(b,c) = 'kleinere' für c=-1,-2,-3 Enh(b,c) = 'j-fach scharfe' für c>3 und i gerade Enh(b,c) = 'j-fach weite' für c>3 und i ungerade Enh(b,c) = 'j-fach schwache' für c<-3 und i gerade Enh(b,c) = 'j-fach enge' für c<-3 und i ungeradezugeordnet, womit das Intervall „Enh(b,c) Alt(b) Name(n) plus a Oktaven“ oder im Falle von a≥0 einfacher „Enh(b,c) Alt(b) (m+1)‑te“ lautet. Ist Name(m) bekannt, so auch „Enh(b,c) Alt(b) Name(m)“ Ein Beispiel: Für 1024/675 ist x=10, y=−3, z=−2, m=n=5 (Sexte), β=−1, γ=0, c=−1, b=−3, a=0, i=1 und j=0. Damit handelt es sich um eine „kleinere 1‑fach verminderte Sexte plus 0 Oktaven“, kurz die kleinere verminderte Sexte. So steht es auch in einem deutschen Musiklexikon. [2] Doch die sich alle möglichen Intervalle anheischig machende Huygens-Fokker-Liste [3] nennt eine enge verminderte Sexte.
Auch im deutschen Sprachgebrauch verdrängt die Bezeichnung pythagoreisch für 3‑glatte Intervalle gerne die systematische. So heißt die kleinere kleine Terz (32/27) pythagoreisch und in der Folge die größere (6/5) einfach (natürliche) kleine Terz. Das ist nicht bedenklich, solange man in exotischen Bereichen nicht zu unsystematischen Bezeichnungen greift. Und damit meine ich nicht sehr kleine Intervalle und einige besondere wie Halbton, Ganzton, Chroma, Limma, Komma, Apotome, Diesis, Schisma, Ditonus, Tritonus.
[1] Ich habe scharf, schwach, eng und weit in Klammern gesetzt, denn es ist nicht mehr als mein Versuch, die in der Huygens-Fokker-Liste [3] so bezeichneten Intervalle in das deutsche System des Musiklexikons [2] einzuordnen. Wie es richtig ist oder sein könnte, weiß ich nicht. Ich bin jedem dankbar, dem anerkannte Konzepte bekannt sind und sie mir in einem Kommentar darlegt.
[2] Habe nur noch die Kopie der Seiten 409 bis 413 zum Stichwort Intervall. Darin sind leider nur die gängigsten Intervalle verzeichnet, daß ein Gesamtsystem über sie hinaus nicht zu erkennen ist.
[3] Intervall-Liste. Huygens-Fokker Foundation. Diese Liste nennt zwar mehr 5‑glatte Intervalle als das Musiklexikon [2], doch leider ist ein System nur in Ansätzen zu erkennen und nicht konsequent umgesetzt.
Quinte | Dur
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Ober-Unter
wuerg, 30.05.2005 16:10
Gehen wir eine Treppe mit fünf Stufen hoch, so führte die erste Stufe von der Grundebene 0 zur Ebene 1, die zweite von dieser zur Ebene 2 bis zur letzten und fünften Stufe auf die Ebene 5.
Das soll nicht heißen, daß unsere Stockwerksnummern blödsinnig sind und die amerikanische Zählung überlegen ist. Man darf nur nicht reflexartig eine Ober-Unter-Symmetrie annehmen, auch wenn viele Menschen dazu neigen, Dualität und Symmetrie in die Welt zu dichten. Wahr und falsch, positiv und negativ sind keineswegs im strengen Sinne symmetrisch oder polar und im Gegensatz zu Mann und Frau noch nicht einmal gleichwertig.
Man muß bei Numerierungen aufpassen. Ist Herr Ratzinger nun der 265. Papst oder der 265. Nachfolger Petri? Ergeben eine Quarte und eine Quinte eine None? Und warum malen manche eine 16 über den Violinschlüssel, wenn zwei Oktaven höher gespielt werden soll? Warum haben wir in acht Tagen den gleichen Wochentag, den nächsten aber in 14? Liegt der zweite Oberton eine Oktave oder eine Duodezime höher? Zumeist ist eine Ansicht die angenehmere. Bei Intervallen und Tageszählungen von Sonntag zu Sonntag oder Ostern bis Pfingsten hat man sich für die ungeschicktere entschieden. Das verdanken wir den beide Endpunkte mitzählenden Römern, gleichwohl auch sie eine Meile für 1000 und nicht 1001 Schritte hielten.
Zumeist ist es besser, additiv bei 0 und multiplikativ bei 1 zu beginnen. Deshalb sollte man den Begriff Oberton meiden und die n‑fache Frequenz n‑ten Teilton, n‑te Harmonische oder n‑ten Naturton nennen. Dann ist die m‑te Harmonische über der n‑ten einfach der die mn‑te. Vollkommener Quatsch ist es, den m‑ten zum n‑ten Oberton als den (mn+m+n)‑ten zu bestimmen. Additiv ist es nicht so dramatisch, denn unabhängig von der Zählung des Parterres liegt das siebte Geschoß immer drei über dem vierten und fünf Jahre nach 1998 schreiben wir das Jahr 2003, ob es nun ein Jahr 0 gegeben hat oder nicht.
Additiv kann man auch gut unter die Null in den negativen Bereich gehen, multiplikativ nur schlecht unter die Eins. Zwar ist es naheliegend, einen Ton mit einem n‑tel der Frequenz n‑te Subharmonische oder gar (n−1)‑ten Unterton zu nennen, doch fügen sich diese beiden Bereiche mit den Harmonischen und den Obertönen algebraisch nicht zusammen. Außerdem kommt Untertönen nicht die physikalische Realität der Obertöne zu, wie auch Ober beim Doppelkopf angenehmer sind als Unter.
Man rettet die Symmetrie auch nicht dadurch, daß die n‑te Subharmonische die n‑fache Wellenlänge hat, denn der Mensch hört die Frequenz, nicht die Wellenlänge, auch wenn die Griechen Töne mit kleinerer Frequenz als die höheren sahen, weil ihre Saiten länger waren. Gerne kann man zu einem Ton eine Subharmonische anschlagen, um ihn so zu einem Oberton zu machen und zu verstärken. Von selbst erklingen sie aber nur selten. Auch kann man Notenblätter auf den Kopf stellen oder Musikstücke rückwärts spielen. Das ist eine nette Spielerei, doch vollkommene Symmetrie wird dadurch nicht erreicht, wie Wasser auch leichter aus der Flasche fließt als hinein.
Jahr 0 | Intervalle
o--- Ebene 5
Stufe 5 |
+---+ Ebene 4
Stufe 4 |
+---+ Ebene 3
Stufe 3 |
+---+ Ebene 2
Stufe 2 |
o---+ Ebene 1
Stufe 1 |
--------+ Ebene 0
Über diese Numerierung sollte es keinen Streit geben. Und es ist auch klar, wohin die Markierungen für Blinde kommen, nämlich an die mit o gekennzeichnete An- und Austrittsstufe auf der ersten und der obersten Ebene. Diese Vorstellung wandeln wir ab, wenn die Stufen etwa drei Meter hoch sind:
+-----------+ Ebene 5
4. Stock | |
+-----------+ Ebene 4
3. Stock | |
+-----------+ Ebene 3
2. Stock | |
+-----------+ Ebene 2
1. Stock | |
+-----------+ Ebene 1
Erdgeschoß | |
-----------+-----------+ Ebene 0
Die n‑te Stufe heißt nun (n−1)‑ter Stock. Vor allem in Bürohochhäusern ist die Bezeichnung Obergeschoß üblich, zumal es normalerweise auch mehrere Untergeschosse gibt. Das suggeriert eine Symmetrie beider zum Erdgeschoß (0). Doch ist diese Symmetrie dadurch gestört, daß ein Haus mit m Ober- und n Untergeschossen m+1 Stockwerke hoch, ober nur n tief ist. Die Benennung der Stockwerke birgt also eine ähnliche Problematik wie das Jahr 0. Hätte es ein solches gegeben, wäre das zweite Jahrtausend nicht erst am 31. Dezember 2000, sondern schönerweise mit dem 31. Dezember 1999 zuende gegangen. Doch das erste vorchristliche Jahrtausend läge dann immer noch von 1000 bis 1 vor Christus oder überlappte sich im Jahre 0 mit dem ersten nachchristlichen. Es war also gar nicht so blöd, kein Jahr 0 vorzusehen, denn dann gilt vor und nach der Zeitenwende: Das n‑te Jahrtausend umfaßt die Jahre 1000(n−1)+1 bis 1000n.Das soll nicht heißen, daß unsere Stockwerksnummern blödsinnig sind und die amerikanische Zählung überlegen ist. Man darf nur nicht reflexartig eine Ober-Unter-Symmetrie annehmen, auch wenn viele Menschen dazu neigen, Dualität und Symmetrie in die Welt zu dichten. Wahr und falsch, positiv und negativ sind keineswegs im strengen Sinne symmetrisch oder polar und im Gegensatz zu Mann und Frau noch nicht einmal gleichwertig.
Man muß bei Numerierungen aufpassen. Ist Herr Ratzinger nun der 265. Papst oder der 265. Nachfolger Petri? Ergeben eine Quarte und eine Quinte eine None? Und warum malen manche eine 16 über den Violinschlüssel, wenn zwei Oktaven höher gespielt werden soll? Warum haben wir in acht Tagen den gleichen Wochentag, den nächsten aber in 14? Liegt der zweite Oberton eine Oktave oder eine Duodezime höher? Zumeist ist eine Ansicht die angenehmere. Bei Intervallen und Tageszählungen von Sonntag zu Sonntag oder Ostern bis Pfingsten hat man sich für die ungeschicktere entschieden. Das verdanken wir den beide Endpunkte mitzählenden Römern, gleichwohl auch sie eine Meile für 1000 und nicht 1001 Schritte hielten.
Zumeist ist es besser, additiv bei 0 und multiplikativ bei 1 zu beginnen. Deshalb sollte man den Begriff Oberton meiden und die n‑fache Frequenz n‑ten Teilton, n‑te Harmonische oder n‑ten Naturton nennen. Dann ist die m‑te Harmonische über der n‑ten einfach der die mn‑te. Vollkommener Quatsch ist es, den m‑ten zum n‑ten Oberton als den (mn+m+n)‑ten zu bestimmen. Additiv ist es nicht so dramatisch, denn unabhängig von der Zählung des Parterres liegt das siebte Geschoß immer drei über dem vierten und fünf Jahre nach 1998 schreiben wir das Jahr 2003, ob es nun ein Jahr 0 gegeben hat oder nicht.
Additiv kann man auch gut unter die Null in den negativen Bereich gehen, multiplikativ nur schlecht unter die Eins. Zwar ist es naheliegend, einen Ton mit einem n‑tel der Frequenz n‑te Subharmonische oder gar (n−1)‑ten Unterton zu nennen, doch fügen sich diese beiden Bereiche mit den Harmonischen und den Obertönen algebraisch nicht zusammen. Außerdem kommt Untertönen nicht die physikalische Realität der Obertöne zu, wie auch Ober beim Doppelkopf angenehmer sind als Unter.
Man rettet die Symmetrie auch nicht dadurch, daß die n‑te Subharmonische die n‑fache Wellenlänge hat, denn der Mensch hört die Frequenz, nicht die Wellenlänge, auch wenn die Griechen Töne mit kleinerer Frequenz als die höheren sahen, weil ihre Saiten länger waren. Gerne kann man zu einem Ton eine Subharmonische anschlagen, um ihn so zu einem Oberton zu machen und zu verstärken. Von selbst erklingen sie aber nur selten. Auch kann man Notenblätter auf den Kopf stellen oder Musikstücke rückwärts spielen. Das ist eine nette Spielerei, doch vollkommene Symmetrie wird dadurch nicht erreicht, wie Wasser auch leichter aus der Flasche fließt als hinein.
Jahr 0 | Intervalle
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Dur
wuerg, 25.05.2005 01:40
Schon vor der Erfindung der Musik wiesen die Laute des Menschen und der Natur eine spektrale Zusammensetzung in vorzugsnäherungsweisen [1] kleinzahligen Frequenzverhältnissen auf. Spätestens die alten Griechen erkannten Saitenlängen in den Verhältnissen 2:1 (Oktave) und 3:2 (Quinte) als harmonisch zusammenklingend. Doch die Götter versagten ihnen auch hier kommensurable Verhältnisse. Keine m Quinten würden jemals genau n Oktaven treffen. Zum Trost gaben sie recht kleinen Verhältnissen noch heute gebräuchliche Namen:
Dank der Volksmusik setzte sich die Siebenteilung durch. Sie besteht pythagoreisch aus fünf großen Ganztönen (9/8) und zwei Diesen (256/243). Eine gleichmäßige Verkleinerung aller Quinten um eine siebtel Apotome, also eine Teilung in sieben gleiche Intervalle scheidet weniger wegen der dann um 16 Cent zu kleinen Quinte aus, sondern dadurch, daß die halben Töne genauso groß würden wie die ganzen, die offensichtlich im menschlichen Gesang liegende Diatonik verloren ginge. Man kann also bei der pythagoreischen Teilung bleiben oder eine andere ins Auge fassen, die beide halben Tonschritte in etwa halb so groß läßt wie die ganzen. [2]
Zur Rechtfertigung einer reinen pythagoreischen Teilung errichteten die Griechen Gebäude aus Tetrachorden, deren nur teilweise richtige Neuentdeckung im Mittelalter wir letztlich die sieben Töne F–c–g–d'–a'–e"–h" im Abstand reiner Quinten verdanken. Durch Oktavierung und Anhängen von -is oder -es für jede Erhöhung bzw. Erniedrigung um eine Apotome entsteht das heute pythagoreisch genannte Universum von Tönen und Intervallen.
Auch die Griechen kamen auf den Trichter, über die 3‑glatten Verhältnisse zu den 5- oder gar 7‑glatten aufzusteigen. Und mit den Jahrhunderten wurde auch das gut singbare Verhältnis 5:4 als harmonisch anerkannt. Damit standen für eine Teilung der Oktave nicht nur die Intervalle 3/2, 4/3, 9/8, 32/27, 81/64, 32/27, 256/243, … sondern mit 5/4, 6/5, 10/9, 16/15, 25/24, 27/25, 81/80, 128/125, 135/128, … auch eine ganze Reihe neuer geringer Größe bei kleinzahligen Verhältnissen zur Verfügung.
Automatisch entsteht die Frage, wie man aus bis zu dreien dieser Intervalle eine Oktave exakt zusammensetzen kann. Nicht alle Kombinationen sind sinnvoll oder gar möglich. Hier nur die drei Siebenteilungen mit Intervallen, deren Zähler und Nenner 256 nicht übersteigen und von denen das größte kleiner ist als zwei der kleinsten:
[1] Im folgenden geht es um die Teilung der ungestreckten reinen Oktave, gleichwohl die Schwingungsverhältnisse der Natur keineswegs immer exakt rational sind. An ihnen hat der normale Mensch sein Gehör ausgebildet, nicht am Monochord, am Stimmgerät, in der Hochschule für Musik oder auf dem Reißbrett.
[2] Am einfachsten ist es, die halben Töne genau halb so groß zu machen wie die ganzen. Dann betten sich die sieben Töne in die gleichstufige Zwölfteilung ein. In der mitteltönigen Stimmung bilden zwei ganze Töne zu √(5/4) eine große Terz. Auch Werckmeister verkürtzte alle zwölf Quinten um ein Zwölftel des pythagoreischen Kommas, die nach ihm benannten Teilungen aber sehen ungleichmäßig als Zu- und Abschläge Vielfache von einem Drittel, Viertel bzw. Siebtel eines pythagoreischen Kommas vor.
[3] Das Eulersche Tonnetz zeigt alle 5‑glatten Intervalle. Ein Schritt nach rechts entspricht einem Faktor 3, einer nach oben einem Faktor 5. Sich um 2 unterscheidende Töne werden als gleich gesehen. Töne mit n führenden Tief- bzw. Hochkommas sind n syntonische Kommatates (81/80) tiefer bzw. höher als die gleichnamigen pythagoreischen.
[4] Zu diesem Ergebnis kam schon Ptolemäus, weshalb im amerikanischen Sprachraum die Intervalle mit einer 5 im Nenner oder Zähler im Kontrast zu pythagorean gerne ptolemaic genannt werden.
Oktave | Quinte
23 : (3/2)5 = 28 / 35 = 256/243 = Diesis ≈ 1,054
(3/2)7 : 24 = 37 / 211 = 2187/2048 = Apotome ≈ 1,068
(3/2)12 : 27 = 312 / 219 = 531441/524288 = Komma ≈ 1,014
Das gibt Anlaß zu Oktavteilungen in 5, 7 oder 12 Töne, die durch Stapelung von 4, 6 oder 11 Quinten entsteen. Vom letzten zum ersten Ton liegt dann keine reine Quinte, sondern eine Diesis mehr bzw. eine Apotome oder ein Komma weniger. Teilt man diese Verstimmungen gleichmäßig auf, sind alle Quinten um 90 Cent zu groß bzw. 16 oder 2 Cent zu klein. Letzteres liegt unter der Hörbarkeitsgrenze, weshalb es bzgl. der Quinten an der gleichstufigen Zwölftonleiter nichts auszusetzen gibt.Dank der Volksmusik setzte sich die Siebenteilung durch. Sie besteht pythagoreisch aus fünf großen Ganztönen (9/8) und zwei Diesen (256/243). Eine gleichmäßige Verkleinerung aller Quinten um eine siebtel Apotome, also eine Teilung in sieben gleiche Intervalle scheidet weniger wegen der dann um 16 Cent zu kleinen Quinte aus, sondern dadurch, daß die halben Töne genauso groß würden wie die ganzen, die offensichtlich im menschlichen Gesang liegende Diatonik verloren ginge. Man kann also bei der pythagoreischen Teilung bleiben oder eine andere ins Auge fassen, die beide halben Tonschritte in etwa halb so groß läßt wie die ganzen. [2]
Zur Rechtfertigung einer reinen pythagoreischen Teilung errichteten die Griechen Gebäude aus Tetrachorden, deren nur teilweise richtige Neuentdeckung im Mittelalter wir letztlich die sieben Töne F–c–g–d'–a'–e"–h" im Abstand reiner Quinten verdanken. Durch Oktavierung und Anhängen von -is oder -es für jede Erhöhung bzw. Erniedrigung um eine Apotome entsteht das heute pythagoreisch genannte Universum von Tönen und Intervallen.
Auch die Griechen kamen auf den Trichter, über die 3‑glatten Verhältnisse zu den 5- oder gar 7‑glatten aufzusteigen. Und mit den Jahrhunderten wurde auch das gut singbare Verhältnis 5:4 als harmonisch anerkannt. Damit standen für eine Teilung der Oktave nicht nur die Intervalle 3/2, 4/3, 9/8, 32/27, 81/64, 32/27, 256/243, … sondern mit 5/4, 6/5, 10/9, 16/15, 25/24, 27/25, 81/80, 128/125, 135/128, … auch eine ganze Reihe neuer geringer Größe bei kleinzahligen Verhältnissen zur Verfügung.
Automatisch entsteht die Frage, wie man aus bis zu dreien dieser Intervalle eine Oktave exakt zusammensetzen kann. Nicht alle Kombinationen sind sinnvoll oder gar möglich. Hier nur die drei Siebenteilungen mit Intervallen, deren Zähler und Nenner 256 nicht übersteigen und von denen das größte kleiner ist als zwei der kleinsten:
1. (125/108)1 ⋅ (10/9)3 ⋅ (27/25)3 = 2 (140/10) 2. (9/8)1 ⋅ (10/9)4 ⋅ (27/25)2 = 2 (105/9) 3. (9/8)3 ⋅ (10/9)2 ⋅ (16/15)2 = 2 (210/18)In Klammern die Anzahl der Möglichkeiten insgesamt und solche, die unter Rotation und Spiegelung verschieden sind. Betrachtet man die insgesamt 37 Fälle, so sticht einer mit sechs reinen Quinten hervor. Alle anderen weisen keine fünf auf. Diese eine Teilung führt auf die einzig akzeptablen Abfolgen
... G K G H:G K H G K G H:G K H G K G H ... (Dur) ... G K:G H K G H G K:G H K G H G K G H ... (Moll)mit G=9/8 (großer Ganzton), K=10/9 (kleiner Ganzton) und H=16/15 (diatonischer Halbton). Es handelt sich um die Dur- und die Moll-Teilung der Oktave, zu denen Musiker die mit einem Doppelpunkt gekennzeichneten Positionen als Grundton sehen. Es verwundert nicht, daß diese beiden die kompakteste Darstellung im Eulerschen Tonnetz [3] aufweisen. Hier für C‑Dur und ‚a‑moll:
‚a ‚e ‚h ‚d--‚a--‚e--‚h 5/4 |\ |\ |\ \ |\ |\ | | | \ | \ | \ \ | \ | \ | | | \| \| \ \| \| \| | f---c---g---d f c g 1/1---3/2Man sieht nicht nur die drei Dur- bzw. Moll-Dreiklänge (Dreiecke mit Spitze oben bzw. unten) und das um ein syntonisches Komma (81/80) abweichende d, sondern auch, daß Dur den größten gemeinsamen Unterton umfaßt (f in C‑Dur), Moll jedoch nicht (’b in a‑moll). Damit ist die Dur-Teilung nicht eine von zwei guten oder gar vielen, sondern die beste und natürliche. [4] Sich damit rauszureden, daß eine Moll-Tonleiter dafür den kleinsten gemeinsamen Oberton enthält (h im Falle von a‑moll), Dur jedoch nicht, geht an der physikalischen Realität vorbei.
[1] Im folgenden geht es um die Teilung der ungestreckten reinen Oktave, gleichwohl die Schwingungsverhältnisse der Natur keineswegs immer exakt rational sind. An ihnen hat der normale Mensch sein Gehör ausgebildet, nicht am Monochord, am Stimmgerät, in der Hochschule für Musik oder auf dem Reißbrett.
[2] Am einfachsten ist es, die halben Töne genau halb so groß zu machen wie die ganzen. Dann betten sich die sieben Töne in die gleichstufige Zwölfteilung ein. In der mitteltönigen Stimmung bilden zwei ganze Töne zu √(5/4) eine große Terz. Auch Werckmeister verkürtzte alle zwölf Quinten um ein Zwölftel des pythagoreischen Kommas, die nach ihm benannten Teilungen aber sehen ungleichmäßig als Zu- und Abschläge Vielfache von einem Drittel, Viertel bzw. Siebtel eines pythagoreischen Kommas vor.
[3] Das Eulersche Tonnetz zeigt alle 5‑glatten Intervalle. Ein Schritt nach rechts entspricht einem Faktor 3, einer nach oben einem Faktor 5. Sich um 2 unterscheidende Töne werden als gleich gesehen. Töne mit n führenden Tief- bzw. Hochkommas sind n syntonische Kommatates (81/80) tiefer bzw. höher als die gleichnamigen pythagoreischen.
[4] Zu diesem Ergebnis kam schon Ptolemäus, weshalb im amerikanischen Sprachraum die Intervalle mit einer 5 im Nenner oder Zähler im Kontrast zu pythagorean gerne ptolemaic genannt werden.
Oktave | Quinte
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23
wuerg, 23.05.2005 17:56
Die Zahl 23 hat sich durch die Illuminatus-Trilogie und den Film „23 ‒ Nichts ist wie es scheint“ unter Verschwörungstheoretikern und angelagerten Witzbolden verbreitet. In Verbindung mit der Quersumme 5 treibt alles am 23.05. einem Höhepunkt zu, denn am 23. Mai 1989 soll der Hacker Karl Koch im Alter von 23 Jahren ermordet worden sein. Mord und Datum sind völlig ungesichert. Sicher und bleibender ist die Verkündigung des Grundgesetzes durch den Parlamentarischen Rat am 23. Mai 1949.
Was gibt es zur Zahl noch zu sagen? Der Mensch hat 23 Chromosomenpaare, man soll nicht sagen, wo das Auto des 23. Mannes auf dem Fußballfeld steht, und nicht Ernte 23 am Fuße der Pyramiden rauchen. Es ist 23=1⁴+2³+3²+4¹+5⁰, was ohne den letzten Term für 22 schöner und mit vorangestelltem 0⁵ symmetrischer wäre. Neben 239 ist 23=8+8+1+1+1+1+1+1+1 die einzige und damit kleinste Zahl, die volle neun kubische Summanden benötigt. Ab einer 23. Person liegt die Wahrscheinlichkeit, daß zwei am gleichen Tag geboren wurden, über 50 Prozent. [1]
Die 23 ist natürlich eine Primzahl, und zwar die erste alleinstehende, die nicht Teil eines Primzahlzwillings ist (2–3 wird mitgezählt), also mindestens den Abstand 4 zur nächsten Primzahl hat. [2] Und auch sehr interessant: 23 ist die einzige Primzahl p, deren Fakultät p! genau p Stellen hat. Dafür ist der große Abstand zu ihren benachbarten Primzahlen nicht erforderlich, denn 23 ist auch die einzige ungerade Zahl mit dieser Eigenschaft, nur klingt das nicht so gut. Vom gleichen Kaliber ist auch die 23 als kleinste Zahl, die durch keine ihrer Ziffern teilbar ist. [3]
[1] Bei gleichmäßiger Verteilung von n Personen auf d Tage ist die Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Geburtstage p=d!/((d−n)!·dⁿ)). Für d=23 Personen an n=365 Tagen liegt p=49,3% bereits unter der Hälfte. Ein Schalttag (n=366) ändert daran nur wenig (p=49,4%). Eine Person weniger (n=22) liegt aber mit p=52,5% deutlich auf der anderen Seite. Es wäre eine schöne Aufgabe zu ermitteln, ob bei realer Verteilung (im Herbst deutlich mehr Geburten als im Frühjahr) nicht auch 22 für einen gemeinsamen Geburtstag ausreichten, selbst ohne vielfältiges Vorkommen des 1. Januar.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Isolierte Primzahlen A007510.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Durch keine ihrer Ziffern teilbare Zahlen A038772.
22 | 24
Was gibt es zur Zahl noch zu sagen? Der Mensch hat 23 Chromosomenpaare, man soll nicht sagen, wo das Auto des 23. Mannes auf dem Fußballfeld steht, und nicht Ernte 23 am Fuße der Pyramiden rauchen. Es ist 23=1⁴+2³+3²+4¹+5⁰, was ohne den letzten Term für 22 schöner und mit vorangestelltem 0⁵ symmetrischer wäre. Neben 239 ist 23=8+8+1+1+1+1+1+1+1 die einzige und damit kleinste Zahl, die volle neun kubische Summanden benötigt. Ab einer 23. Person liegt die Wahrscheinlichkeit, daß zwei am gleichen Tag geboren wurden, über 50 Prozent. [1]
Die 23 ist natürlich eine Primzahl, und zwar die erste alleinstehende, die nicht Teil eines Primzahlzwillings ist (2–3 wird mitgezählt), also mindestens den Abstand 4 zur nächsten Primzahl hat. [2] Und auch sehr interessant: 23 ist die einzige Primzahl p, deren Fakultät p! genau p Stellen hat. Dafür ist der große Abstand zu ihren benachbarten Primzahlen nicht erforderlich, denn 23 ist auch die einzige ungerade Zahl mit dieser Eigenschaft, nur klingt das nicht so gut. Vom gleichen Kaliber ist auch die 23 als kleinste Zahl, die durch keine ihrer Ziffern teilbar ist. [3]
[1] Bei gleichmäßiger Verteilung von n Personen auf d Tage ist die Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Geburtstage p=d!/((d−n)!·dⁿ)). Für d=23 Personen an n=365 Tagen liegt p=49,3% bereits unter der Hälfte. Ein Schalttag (n=366) ändert daran nur wenig (p=49,4%). Eine Person weniger (n=22) liegt aber mit p=52,5% deutlich auf der anderen Seite. Es wäre eine schöne Aufgabe zu ermitteln, ob bei realer Verteilung (im Herbst deutlich mehr Geburten als im Frühjahr) nicht auch 22 für einen gemeinsamen Geburtstag ausreichten, selbst ohne vielfältiges Vorkommen des 1. Januar.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Isolierte Primzahlen A007510.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Durch keine ihrer Ziffern teilbare Zahlen A038772.
22 | 24
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36
wuerg, 20.05.2005 16:48
Nach der 37 nun die 36, denn es ist ja nicht nur 37−36=1, sondern auch 36⋅37=2⋅666. Das ist die bekannte Tatsache, daß die 36. Dreieckszahl D₃₆=(36⋅37)/2=666 ist. Zugegebenermaßen ist 666 nicht irgendeine Dreieckszahl, denn 36=6⋅6 ist nicht nur eine Quadratzahl, sondern ebenfalls eine Dreieckszahl, denn D₈=(8⋅9)/2=36. Es ist übrigens auch ohne 666 im Hinterkopf eine interessante Frage, welche Dreieckszahlen zugleich Quadratzahlen sind. Nach der trivialen 1 folgt die 36 und dann lange nichts bis zu 1225. Es ist D₄₉=(49⋅50)/2=1225=35⋅35.
Die 36 kommt als Quadratzahl und dank ihrer zahlreichen Teiler häufiger im täglichen Leben vor als zum Beispiel 41. So hat ein 6×6‑Quadrat natürlich 36 Felder. Setzt man darin die Zahlen von 1 bis 36 geschickt ein, so erhält man ein magisches Quadrat, in dem sich Zeilen, Spalten und Diagonalen alle auf 111 addieren. Die Gesamtsumme ist 666. Aber das ist nicht neu und nur ein Abklatsch von D₃₆=666.
Man kann aber 36 nicht nur in 6 Reihen zu 6, sondern auch in einer einzigen Reihe zu 36 Kleinbildern von 36 Millimetern Breite oder in drei Reihen zu 12 anordnen. Letzteres geschieht beim Roulette, womit ich die Kurve zur 37 wieder bekomme. Setze ich auf eine der 37 Zahlen 0 bis 36 einen Euro, so ist er in 36 von 37 Fällen weg und in dem einen verbleibenden Fall bekomme ich 36 zurück, also zu meinem eingesetzten Euro 35 hinzu. Wer immer auf einfache Zahlen setzt, erzielt also im Mittel eine Gewinnquote von 36/37. Der Verlust ist mit 1/37, etwa 3 Prozent gar nicht so hoch, wenn man ihn mit dem Lotto vergleicht. Viermal hintereinander alles auf eine Zahl zu setzen und immer zu gewinnen, ist wahrscheinlicher als sechs Richtige im Lotto und bringt dazu noch einen höheren Gewinn.
Für die Zahl 36 gilt natürlich auch: Wo man 6 reinsteckt, kommt auch 6 wieder raus. So halten manche für bemerkenswert, daß die Quersumme 3+6=9=36/4 und das Produkt der Ziffern 3⋅6=18=9+9=36/2 ist. Die Versechsfachung ist ja sehr beliebt unter den Numerologen, auch weil man so leichter auf 666 kommt, wo man sich sonst mit 111 begnügen müßte. Zur Begründung versteigt man sich zu Beziehungen wie (666+666)−(36⋅36)=36 und 360−(6+6+6)(6+6+6)=36. Doch das ist Augenwischerei, denn die erste Gleichung formuliert abermals um, daß D₃₆=666 ist, denn für alle n gilt (Dₙ+Dₙ)−(n⋅n)=n. Für n=10 erhält man (55+55)−(5+5)(5+5)=5+5. Und schnell findet man mit 5 statt 6 auch 250−(5+5+5)(5+5+5)=25 erfüllt.
Daß meine destruktive Variante mit 5 statt 6 funktioniert, liegt an einer gemeinsamen Eigenschaft, die auch zu mystischen Verzückungen führen kann: Auf 0, 1, 5 und 6 endende Zahlen erhalten unter Quadrierung die letzte Dezimalstelle. Sei b eine solche Zahl, dann ist a=(b²−b)/10 ganzzahlig und es gilt
(100a+10b+0) − (b+b+b)(b+b+b) = b2 = 10a+b
was leider nur für 5 und 6 schön aussieht.
Und bei Vererbung ist man wieder bei den Geschlechtern. Die 5=2+3 als Sinnbild für die Vereinigung von Frau (2) und Mann (3) zur Familie und die weibliche Yin-Zahl 6, die als eine auf dem Kopf stehende männliche Yang-Zahl 9 gesehen werden kann. Muß da die 36=6⋅6 nicht die weiblichen Eigenschaften potenzieren, um für die 36 Listen zu stehen, von der die zehnte „Hinter dem Lächeln den Dolch verbergen“ lautet? Auch ist es nicht weit bis 69 und Sex-Sex-Sex.
Doch zum letzen Beispiel 360−(6+6+6)(6+6+6)=36 zurück. Wie selbstverständlich kommt darin die 360 vor, die oft mit 36 ohne Skrupel gleichgesetzt wird. Man kann darin einen Bezug der 36 zu den 360 Altgrad sehen. Gewiß kein Zufall, doch auch nur dank unserer Zahlbasis 10. Dankbar wären viele, hätten die Griechen das heilige Zehneck verehrt. Dann könnten sie 10 Punkte im Abstand von 36 Grad auf den Kreis setzen und daraus einen zehnzackigen Stern bilden. So mußten sie sich mit Winkeln von 36+36=72 Grad im Pentagramm begnügen, das heute zum Stern der arabischen Welt wurde. Einfacher ist der sechszackige Stern (360=6⋅60) der Juden. Und man kann auf eine lange Tradition der 36 neben 6 und 666 in der jüdischen Kabbal(l)a(h) verweisen.
Diese Methoden ins Moderne übertragen führen auf die schöne Zuordnung COMPUTER=18+90+78+96+126+120+30+108=666 und auf ein Pascalsches Dreieck für Esoteriker
35 | 37 | 6 | Dreieckszahlen
Die 36 kommt als Quadratzahl und dank ihrer zahlreichen Teiler häufiger im täglichen Leben vor als zum Beispiel 41. So hat ein 6×6‑Quadrat natürlich 36 Felder. Setzt man darin die Zahlen von 1 bis 36 geschickt ein, so erhält man ein magisches Quadrat, in dem sich Zeilen, Spalten und Diagonalen alle auf 111 addieren. Die Gesamtsumme ist 666. Aber das ist nicht neu und nur ein Abklatsch von D₃₆=666.
Man kann aber 36 nicht nur in 6 Reihen zu 6, sondern auch in einer einzigen Reihe zu 36 Kleinbildern von 36 Millimetern Breite oder in drei Reihen zu 12 anordnen. Letzteres geschieht beim Roulette, womit ich die Kurve zur 37 wieder bekomme. Setze ich auf eine der 37 Zahlen 0 bis 36 einen Euro, so ist er in 36 von 37 Fällen weg und in dem einen verbleibenden Fall bekomme ich 36 zurück, also zu meinem eingesetzten Euro 35 hinzu. Wer immer auf einfache Zahlen setzt, erzielt also im Mittel eine Gewinnquote von 36/37. Der Verlust ist mit 1/37, etwa 3 Prozent gar nicht so hoch, wenn man ihn mit dem Lotto vergleicht. Viermal hintereinander alles auf eine Zahl zu setzen und immer zu gewinnen, ist wahrscheinlicher als sechs Richtige im Lotto und bringt dazu noch einen höheren Gewinn.
Für die Zahl 36 gilt natürlich auch: Wo man 6 reinsteckt, kommt auch 6 wieder raus. So halten manche für bemerkenswert, daß die Quersumme 3+6=9=36/4 und das Produkt der Ziffern 3⋅6=18=9+9=36/2 ist. Die Versechsfachung ist ja sehr beliebt unter den Numerologen, auch weil man so leichter auf 666 kommt, wo man sich sonst mit 111 begnügen müßte. Zur Begründung versteigt man sich zu Beziehungen wie (666+666)−(36⋅36)=36 und 360−(6+6+6)(6+6+6)=36. Doch das ist Augenwischerei, denn die erste Gleichung formuliert abermals um, daß D₃₆=666 ist, denn für alle n gilt (Dₙ+Dₙ)−(n⋅n)=n. Für n=10 erhält man (55+55)−(5+5)(5+5)=5+5. Und schnell findet man mit 5 statt 6 auch 250−(5+5+5)(5+5+5)=25 erfüllt.
Daß meine destruktive Variante mit 5 statt 6 funktioniert, liegt an einer gemeinsamen Eigenschaft, die auch zu mystischen Verzückungen führen kann: Auf 0, 1, 5 und 6 endende Zahlen erhalten unter Quadrierung die letzte Dezimalstelle. Sei b eine solche Zahl, dann ist a=(b²−b)/10 ganzzahlig und es gilt
(100a+10b+0) − (b+b+b)(b+b+b) = b2 = 10a+b
was leider nur für 5 und 6 schön aussieht.
Und bei Vererbung ist man wieder bei den Geschlechtern. Die 5=2+3 als Sinnbild für die Vereinigung von Frau (2) und Mann (3) zur Familie und die weibliche Yin-Zahl 6, die als eine auf dem Kopf stehende männliche Yang-Zahl 9 gesehen werden kann. Muß da die 36=6⋅6 nicht die weiblichen Eigenschaften potenzieren, um für die 36 Listen zu stehen, von der die zehnte „Hinter dem Lächeln den Dolch verbergen“ lautet? Auch ist es nicht weit bis 69 und Sex-Sex-Sex.
Doch zum letzen Beispiel 360−(6+6+6)(6+6+6)=36 zurück. Wie selbstverständlich kommt darin die 360 vor, die oft mit 36 ohne Skrupel gleichgesetzt wird. Man kann darin einen Bezug der 36 zu den 360 Altgrad sehen. Gewiß kein Zufall, doch auch nur dank unserer Zahlbasis 10. Dankbar wären viele, hätten die Griechen das heilige Zehneck verehrt. Dann könnten sie 10 Punkte im Abstand von 36 Grad auf den Kreis setzen und daraus einen zehnzackigen Stern bilden. So mußten sie sich mit Winkeln von 36+36=72 Grad im Pentagramm begnügen, das heute zum Stern der arabischen Welt wurde. Einfacher ist der sechszackige Stern (360=6⋅60) der Juden. Und man kann auf eine lange Tradition der 36 neben 6 und 666 in der jüdischen Kabbal(l)a(h) verweisen.
Diese Methoden ins Moderne übertragen führen auf die schöne Zuordnung COMPUTER=18+90+78+96+126+120+30+108=666 und auf ein Pascalsches Dreieck für Esoteriker
6
6 6
6 12 6
6 18 18 6
6 24 36 24 6
in dem die 36 weiter vorne vorkommt als im Original, das dafür in der dritten Diagonalen alle Dreieckszahlen auflistet und somit nicht nur die 6, sondern auch die 36 und die 666 enthält. Aber Geduld und Tiefe scheinen weniger zu überzeigen als Taschenspielertricks.35 | 37 | 6 | Dreieckszahlen
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37
wuerg, 20.05.2005 01:55
Seit es nicht mehr nur Alpha‐Blogger gibt, schielen viele auf ihre GfK‐Zahlen. Mich dagegen interessiert mehr, welche Beiträge aus den Tiefen zunehmend schnell auf die ersten Plätze drängen. Dazu gehören neben meinen Einlassungen zur Quinte die Zahlen 13, 999 und 1729. Die Musik lasse ich hier außen vor, den Erfolg der 13 schiebe ich teilweise auf den letzten Freitag und das Interesse an der Hardy‐Ramanujan‐Zahl 1729 leuchtet mir ein. Warum aber 999? Es muß etwas mit den Zahlen 1729, 37 und 27 zu tun haben, gleichwohl ich dies den sog. Backlinks nicht entnehmen kann.
Zu Beginn meines Delta‐Blogger‐Dasein schrieb ich ausgehend von 20six über den vermißten 27. Buchstaben unseres Alphabetes, was mit den 10 Ziffern 37 Zeichen ergäbe. Das hätte sich gut zu 27·37=999 gefügt. Mit der weiteren Schönheit 27+37=64 (wie 27 eine Kubikzahl) leitete ich die Besonderheit der Zahl 1729 ab. Der Zusammenhang zur Zahl 666=18·37 schwebt natürlich mit, was sich in der gleichen Weise wie 999=27·37 aus 111=3·37 ableitet, weshalb einige der 666 zugeschriebenen Besonderheiten eigentlich solche der 111 sind. Doch darum soll es jetzt nicht gehen.
Vielmehr will ich darlegen, wie sich aus den simplen und recht endlichen Beziehungen 37·27=999 und 37−27=10 für manche Zeitgenossen überraschende und scheinbar in die Unendlichkeit zielende Beziehungen ergeben. So ist
Auf der Suche nach weiteren Beispielen kommt man auf 271·369=99999, also 1∕271=0,003690036900369… und 1∕369=0,002710027100271, was sogar zur Glorifizierung der 37 beitragen kann, denn 271=10·27+1 und 369=10·37−1. Doch das ist keine übernatürliche Fügung, sondern folgt bereits aus 37·27=999 und 37−27=10, denn
Hätten wir nicht unfair mehrere Eigenschaften kombiniert, wären wir in anderen Basen sehr oft fündig geworden. Zum Beispiel in der so beliebten hexadezimalen Zahldarstellung, mit der wir durch 8 Finger an jeder Hand durchaus hätten groß werden können. Zur Basis 16 gilt FFF=3F·41 mit 1∕3F=0,041041041… und 1∕41=0,03F03F03F… oder noch besser FFF=2D·5B mit 1∕2D=0,05B05B05B… und 1∕5B=0,02D02D02D…, weil dann die hexadezimale 5B noch eine weitere zur dezimalen 37 analoge Eigenschaft hätte, denn es wäre 111=3·5B und FFF die (5B−1)‑te Dreieckszahl wie dezimal 666 die (37−1)‑te Dreieckszahl ist. In der Bibel der Achtfingrigen könnte also FFF die Zahl des Tieres sein.
36 | 38 | 27 | 73 | 666 | 999
Zu Beginn meines Delta‐Blogger‐Dasein schrieb ich ausgehend von 20six über den vermißten 27. Buchstaben unseres Alphabetes, was mit den 10 Ziffern 37 Zeichen ergäbe. Das hätte sich gut zu 27·37=999 gefügt. Mit der weiteren Schönheit 27+37=64 (wie 27 eine Kubikzahl) leitete ich die Besonderheit der Zahl 1729 ab. Der Zusammenhang zur Zahl 666=18·37 schwebt natürlich mit, was sich in der gleichen Weise wie 999=27·37 aus 111=3·37 ableitet, weshalb einige der 666 zugeschriebenen Besonderheiten eigentlich solche der 111 sind. Doch darum soll es jetzt nicht gehen.
Vielmehr will ich darlegen, wie sich aus den simplen und recht endlichen Beziehungen 37·27=999 und 37−27=10 für manche Zeitgenossen überraschende und scheinbar in die Unendlichkeit zielende Beziehungen ergeben. So ist
37 · 27 = 999 37 · 27.027 = 999.999 37 · 27.027.027 = 999.999.999Somit 1∕37=0,027027027… und auf die gleiche Weise 1∕27=0,037037037…, was zwar recht interessant ist und vor allem die 37 mystifiziert, doch eigentlich nur an 37·27=999 liegt und mit anderen Zahlen ähnlich geht. So ist 1∕33=0,030303… und 1∕303=0,003300330033… wegen 33·303=9999.
Auf der Suche nach weiteren Beispielen kommt man auf 271·369=99999, also 1∕271=0,003690036900369… und 1∕369=0,002710027100271, was sogar zur Glorifizierung der 37 beitragen kann, denn 271=10·27+1 und 369=10·37−1. Doch das ist keine übernatürliche Fügung, sondern folgt bereits aus 37·27=999 und 37−27=10, denn
369·271 = (10·37-1)·(10·27+1)
= 100·37·27 + 10·(37-27) - 1
= 100·(1000-1) + 10·10 - 1
= 100000 - 100 + 100 - 1
= 99999
Und wieder kann eine Entzauberung durch Rückführung scheinbar merkwürdiger Zusammenhänge auf simple Tatsachen zur Mystifizierung beitragen, wenn man darin einen Beleg für die herausragende Bedeutung unserer Zahlbasis 10 sieht. Es entsteht also die Frage, für welche Basen b (bisher 10) die Zahl bⁿ−1 (n=3 für 999) das Produkt einer ganzen Zahl x (bisher 37) mit der Zahl x−b (bisher 27) ist. Für die Basis b=2 ist das eine Allerweltseigenschaft, die für alle geraden n erfüllt ist. Das ist nicht so interessant wie die anderen Kombinationen:b Rechnung zur Basis b Rechnung dezimal 5 (1,3) · [(1,3)-(1,0)] = (4,4) = (1,0,0)-(1) 8·[8-5] = 24 = 5·5-1 13 (1,8) · [(1,8)-(1,0)] = (12,12) = (1,0,0)-(1) 21·[21-13] = 168 = 13·13-1 34 (1,21)·[(1,21)-(1,0)] = (33,33) = (1,0,0)-(1) 55·[55-34] = 1155 = 34·34-1Alle drei Beispiele sind zweistellig (n=2), und wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann gibt es zu Basen b unterhalb von 100 keine dreistelligen Lösungen (n=3) außer der bekannten zur Basis 10. Damit scheint erneut eine herausragende Stellung der Zahl 37 zusammen mit 27 und 10 durch 37−27=10 nebst 37·27=999=10·10·10−1 belegt. Man darf aber nicht vergessen, daß wir zunächst die Besonderheiten in unserem System gesucht und dann in den anderen nicht gefunden haben. Wären wir zur Basis 12 oder 16 aufgewachsen, hätten wir ebenfalls vieles finden können, was zu anderen Basen schlecht paßt und insbesondere für 10 nicht gilt.
Hätten wir nicht unfair mehrere Eigenschaften kombiniert, wären wir in anderen Basen sehr oft fündig geworden. Zum Beispiel in der so beliebten hexadezimalen Zahldarstellung, mit der wir durch 8 Finger an jeder Hand durchaus hätten groß werden können. Zur Basis 16 gilt FFF=3F·41 mit 1∕3F=0,041041041… und 1∕41=0,03F03F03F… oder noch besser FFF=2D·5B mit 1∕2D=0,05B05B05B… und 1∕5B=0,02D02D02D…, weil dann die hexadezimale 5B noch eine weitere zur dezimalen 37 analoge Eigenschaft hätte, denn es wäre 111=3·5B und FFF die (5B−1)‑te Dreieckszahl wie dezimal 666 die (37−1)‑te Dreieckszahl ist. In der Bibel der Achtfingrigen könnte also FFF die Zahl des Tieres sein.
36 | 38 | 27 | 73 | 666 | 999
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noon
wuerg, 19.05.2005 01:41
Vorgestern habe ich etwas über Menschen gelästert, die zwischen dieser Woche und der nächsten noch eine kommende einschieben. Es sind wohl weitgehend die gleichen, die den Mittag nicht um 12 Uhr herum sehen, sondern so zwischen 13 und 16 Uhr. Ich frage mich, was sie dann unter Nachmittag verstehen? Glücklicherweise meinen sie mit „in einer Stunde“ nicht in 120 Minuten. Auch ist mir noch keiner untergekommen, der vor der nächsten Minute eine kommende einfügte. Und wer nach der großen Pause in der nächsten Stunde Mathematik hat, schiebt nicht noch eine kommende mit Deutsch ein.
Das englische Wort noon scheint um einiges präziser zu sein als unser Mittag. Mir fehlen tiefe Kenntnisse der englischen Sprache und Seele, doch scheint mir die Genauigkeit darin begründet zu sein, daß einem Amerikaner eine tiefe Unsicherheit befällt, wenn er die Zeit zwischen 12 und 13 Uhr benennen soll. Das gleiche gilt für die erste Stunde des Tages nach Mitternacht. Deshalb glaube ich nicht an einen amerikanischen Angriff in diesen beiden Stunden, weil auch die für den militärischen Gebrauch gefertigten Umrechnungstabellen für Zeitzonen das Problem brutal umschiffen:
Es werden immer nur Umrechnungen für ganze Stunden angegeben, worin die militärische Zeit (0 bis 23 Uhr) eindeutig beziffert ist, die AM-PM-Zeiten jedoch nur bis 11:59 gehen. Statt 0 oder 12 Uhr steht dort zumeist noon oder midnight. Das läßt den schlichten Soldaten darüber im Unklaren, was 12:35 a.m., 12:35 p.m., 0:35 a.m. und 0:35 p.m. bedeuten. Offensichtlich sind die Amerikaner der Meinung, a.m. (ante meridiem) ginge von 00:01 bis 11:59 und p.m. (post meridiem) von 12:01 bis 23:59, während noon und midnight dazwischen lägen. Für mich ist noon einfach 12:00 p.m., weil 12:00:01 bereits p.m. ist. Noch lustiger: Die Stunde 00 wird mit 12 bezeichnet, weshalb es eine Stunde nach dem Mittag von 12:59 p.m. um zwölf zurück auf 1:00 p.m. geht.
Das mag uns nicht stören, solange man nicht Computer grundsätzlich in amerikanischem Englisch konfiguriert, um Probleme mit schlechten Übersetzungen zu vermeiden. Aber man gewöhnt sich an alles. Auch daran, daß GMT+01:00 für Berlin bei Bill Gates eine andere Zeit als GMT+01:00 für West- Zentralafrika ist, nur weil wir uns gerade in der Sommerzeit befinden. Und da bin ich bei einem anderen Übel, das mittlerweile zu einer Selbstverständlichkeit geworden ist: Statt die Tagesschau auf 19 Uhr vorzuziehen hat man sich für eine Verschiebung der Zeit entschieden. Konfusionen mit der Benennung der einen doppelten Stunde im Herbst sind die gerechte Strafe, wenn der ganze Quatsch uns auch eine originelle Antwort auf die Frage gebracht hat, welcher Monat im Jahr der längste sei.
kommende Woche
Das englische Wort noon scheint um einiges präziser zu sein als unser Mittag. Mir fehlen tiefe Kenntnisse der englischen Sprache und Seele, doch scheint mir die Genauigkeit darin begründet zu sein, daß einem Amerikaner eine tiefe Unsicherheit befällt, wenn er die Zeit zwischen 12 und 13 Uhr benennen soll. Das gleiche gilt für die erste Stunde des Tages nach Mitternacht. Deshalb glaube ich nicht an einen amerikanischen Angriff in diesen beiden Stunden, weil auch die für den militärischen Gebrauch gefertigten Umrechnungstabellen für Zeitzonen das Problem brutal umschiffen:
Es werden immer nur Umrechnungen für ganze Stunden angegeben, worin die militärische Zeit (0 bis 23 Uhr) eindeutig beziffert ist, die AM-PM-Zeiten jedoch nur bis 11:59 gehen. Statt 0 oder 12 Uhr steht dort zumeist noon oder midnight. Das läßt den schlichten Soldaten darüber im Unklaren, was 12:35 a.m., 12:35 p.m., 0:35 a.m. und 0:35 p.m. bedeuten. Offensichtlich sind die Amerikaner der Meinung, a.m. (ante meridiem) ginge von 00:01 bis 11:59 und p.m. (post meridiem) von 12:01 bis 23:59, während noon und midnight dazwischen lägen. Für mich ist noon einfach 12:00 p.m., weil 12:00:01 bereits p.m. ist. Noch lustiger: Die Stunde 00 wird mit 12 bezeichnet, weshalb es eine Stunde nach dem Mittag von 12:59 p.m. um zwölf zurück auf 1:00 p.m. geht.
Das mag uns nicht stören, solange man nicht Computer grundsätzlich in amerikanischem Englisch konfiguriert, um Probleme mit schlechten Übersetzungen zu vermeiden. Aber man gewöhnt sich an alles. Auch daran, daß GMT+01:00 für Berlin bei Bill Gates eine andere Zeit als GMT+01:00 für West- Zentralafrika ist, nur weil wir uns gerade in der Sommerzeit befinden. Und da bin ich bei einem anderen Übel, das mittlerweile zu einer Selbstverständlichkeit geworden ist: Statt die Tagesschau auf 19 Uhr vorzuziehen hat man sich für eine Verschiebung der Zeit entschieden. Konfusionen mit der Benennung der einen doppelten Stunde im Herbst sind die gerechte Strafe, wenn der ganze Quatsch uns auch eine originelle Antwort auf die Frage gebracht hat, welcher Monat im Jahr der längste sei.
kommende Woche
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