22
Mit der 22 ist es eigentlich nicht anders als mit 20 und 21. Es gibt irgend­welche Zufalls­treffer aus dem täg­lichen Leben, nume­rolo­gische Bedeu­tungen und mehr oder minder konstru­ierte kombi­nato­rische oder mathe­matische Vorkomm­nisse. Am Fuß­ball­spiel sind 22 Spie­ler betei­ligt, elf auf jeder Seite. Snooker wird mit 22 Bäl­len gespielt, 15 rote, 6 far­bige und der weiße Stoß­ball. Numero­logen redu­zieren nor­maler­weise durch wieder­holte Quer­summen­bildung auf eine Ziffer von 1 bis 9. Zwei­stel­ligen Zwischen­ergeb­nissen werden gele­gent­lich Zusatz­bedeu­tungen zuge­sprochen, um Genauig­keit und Diffe­renzie­rung vorzu­täuschen. Zumeist begnügt man sich aber mit den Engels­zahlen 11, 22 und auch 33.

Kombinatorisch ist immer etwas zu finden. So soll es 22 Möglich­keiten geben, fünf Sechs­ecke anein­ander zu kleben. Und ich selbst fand vor vielen Jahren die 22 beim Naphthalin, das aus zwei Benzol­ringen besteht. An den zwei Posi­tio­nen 0 des nach­ste­henden Bildes befindet sich ein Kohlen­stoff­atom, an den Posi­tio­nen 1 bis 8 eben­falls, jedoch mit Wasser­stoff dran. Substi­tuiert man einen, so gibt es zwei Möglich­keiten. An Posi­tion 1, 4, 5 oder 8 heißt es Alpha-​Stel­lung, an Position 2, 3, 6 oder 7 Beta-​Stellung. Mein uralter Holle­mann-​Richter schreibt dazu: „Die Anzahl der Disub­stitu­tions­produkte ist sehr groß. Bei zwei glei­chen Substi­tuenten sind 10 möglich, bei zwei unglei­chen 14.“ Doch bei vier glei­chen Substi­tuenten ist die Zahl gar nicht so hoch, näm­lich nur 22.

  8   1         ●          ●
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7   0   2     ● ○ ●      ● ● ●          
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6   0   3    ● ● ○ ●    ○ ○ ○ ○      ● ○ ○ ○ ●
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  5   4      ● ● ● ●    ○ ○ ○ ○    ● ● ● ○ ● ● ●
22 (png, 14 KB) : Naphthalin und die vierte Fünfeckzahl

Das Bild zeigt neben dem Naphthalin die 22 als vierte Fünfeck­zahl 1+4+7+10=22. Sie übersteigt die Drei­ecks­zahl 21 um eins, ist also die sechste Pizza­zahl. Um eine Pizza mit sechs geraden Schnitten in 22 Stücke zu teilen, kann man sich ein kleines Hepta­gramm in die Mitte malen und sechs der Kanten des sieben­zackigen Sternes bis zum Rand verlän­gern. Die Wiki­pedia erwähnt noch, daß 22/7 eine gute Nähe­rung für π ist, Ameri­kaner gerne mit Kali­ber 22 um sich balllern (0,22"=5,6mm), das hebrä­ische Alphabet 22 Buch­staben und deshalb der Lebens­baum 22 Wege hat, und jetzt kommt es: Die Ketten­bruch­zerle­gung von π hoch e beginnt mit 22. Das ist ja toll für 22,469...

Es bleibt die Look-And-Say-Folge von Convay. Man beginnt mit einer (gese­henen) Folge aus k1 Zif­fern z1, k2 Zif­fern z2 bis kn Zif­fern zn ohne identi­sche Nach­barn unter den z* und geht über zu der Folge k1, z1, k2, z2 bis knzn (gespro­chen k1 mal z1, k2 mal z2 bis kn mal zn) über. Dieser Prozeß wird immer und immer wieder­holt. Da Ziffern oberhalb von 3 und damit mehr als drei­fache Wieder­holungen unbe­deutend sind, kann man die Folgen einfach als Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3 auf­fassen. [1]

1          n            333     
11         1n           33 
21         111n         2k
1211       311n         121k
111221     13211n       1112111k
312211     1113211n     3112311k
13112221   311312211n   13211213211k

In der zweiten Spalte kann n=0,2,3,... in der dritten k=0,3,4,... sein. Die Start­zahlen 10 bis 19 ergeben sich aus 0 bis 9, die 20 und 23 bis 29 kommen in Spalte 3 vor, 21 in Spalte 1. Es bleibt 22 als die ein­zige Zahl, die in sich selbst über­geht. Alle anderen verlän­gern sich Schritt für Schritt im Mittel um etwa 30 Pro­zent. Dieser Convay-​Kon­stante genannte Wachstums­fak­tor 1,303577... ist von 22 abgesehen für alle Anfangs­werte gleich und die ein­zige posi­tive reelle Null­stelle eines Polynoms 71. Gra­des. Das zu wissen, ist schon erstaun­lich für eine solche will­kürlich und unsy­stema­tisch wirkende Folge.

[1] Treten in der Anfangsfolge Zahlen über 9 (oder gar andere Zeichen) auf, so verschwinden sie zwar nicht vollständig, spielen aber keine Rolle, da die Musik nach wenigen Schritte nur zwischen ihnen spielt. Ein Beispiel: (23,23,23,​23,​23,​23,​23,​23,​23,​23,23,23)​-->​(12,23)​-->​(1,12,1,23)​--->​(1,1,1,12,​1,1,1,23)​-->​(3,1,1,12,​3,1,1,23).

21 | 23

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Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle, so treffen 22 davon eine reine Quarte sehr genau, weil ld(4/3)=0,4150375 (498 Cent) sehr nahe bei 22/53=0,41509434 liegt. Das folgt aus dem Kettenbruch ld(4/3)=[0,2,2,2,3,1,5,2,23,...] mit 22/53=[0,2,2,2,3,1], was wiederum der Tatsache entspricht, daß die 84. Potenz von 2 nicht weit entfernt von der 53. Potenz der 2 ist.

53 | 84

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22 ist 4. Fünfeckzahl
F4=F3+10=1+4+7+10=22

      4
          4
    3         4
        3         4
  2         3
      2           4
1           3
      2           4
  2         3
        3         4
    3         4
          4
      4
F4=Q4+D3=42+6=16+6=22

      o

    o   o

  o   o   o

x   x   x   x

x   x   x   x

x   x   x   x

x   x   x   x
F4=D4+2D3=10+2*6=10+12=22

      x   x   x   x

    o   x   x   x   o 

  o   o   x   x   o   o

o   o   o   x   o   o   o
F4=S4-D3=D7-D3=28-6=22

            x

          x   x

        x   x   x

      o   o   o   o 

    o   o   o   o   o

  o   o   o   o   o   o

o   o   o   o   o   o   o

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