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Differenzenfolge
wuerg, 17.06.2005 01:52
Zu jeder Zahlenfolge a(1), a(2), a(3), ... kann man die Folge der Differenzen d(1), d(2), d(3), ... betrachten, die durch
d(n) = a(n+1) - a(n)
definiert ist. [1] Diese Differenzen sind oftmals nützlich, um auf das in einer Folge steckende Bildungsgesetz zu schließen. Hat man zum Beispiel das Anfangsstück 1, 7, 19, 37, 61, 91, ... vorliegen und sucht eine geschlossene Formel, so kann man die Differenzen bilden und ggf. auch davon abermals die Differenzen
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
a(n) = a(0) + n·d(0) + C(n,2)·d2(0) + C(n,3)·d3(0) + .... (1)
Darin ist dₖ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a(0)=1, d(0)=6, d₂(0)=6 und dₖ(0)=0 für k>2 als Ergebnis
a(n)= 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n-1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch mamchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigerem mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, ..., für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages d(n)=a(n)-a(n-1) mit a(0)=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d(1)=a(1) ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn eine Fortsetzung ins Negative von a(0)=0 abweicht. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
d(n) = a(n+1) - a(n)
definiert ist. [1] Diese Differenzen sind oftmals nützlich, um auf das in einer Folge steckende Bildungsgesetz zu schließen. Hat man zum Beispiel das Anfangsstück 1, 7, 19, 37, 61, 91, ... vorliegen und sucht eine geschlossene Formel, so kann man die Differenzen bilden und ggf. auch davon abermals die Differenzen
Index n 1 2 3 4 5 6 ... Folge a(n) 1 7 19 37 61 91 ... Differenzen d(n)=a(n+1)-a(n) 6 12 18 24 30 36 ... Differenzen 2. Ordnung 6 6 6 6 6 6 ... Differenzen 3. Ordnung 0 0 0 0 0 0 ...Man erkennt sofort, daß die Differenzen zweiter Ordnung konstant sind, die Differenzen erster Ordnung also linear anwachsen und die Originalfolge damit quadratisch. Ein Ansatz a(n)=x·n²+y·n+z sollte also zum Erfolg führen. Man pickt sich einfach drei Werte heraus und erhält drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Der Einfachheit halber für die ersten drei:
n=1: x + y + z = 1 n=2: 4x + 2y + z = 7 n=3: 9x + 3y + z = 19Die Lösung x=3, y=-3, z=1 führt auf a(n)=3·n²-3·n+1=1+3n(n-1). Das sind die zentrierten Sechseckzahlen.
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
a(n) = a(0) + n·d(0) + C(n,2)·d2(0) + C(n,3)·d3(0) + .... (1)
Darin ist dₖ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a(0)=1, d(0)=6, d₂(0)=6 und dₖ(0)=0 für k>2 als Ergebnis
a(n)= 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n-1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch mamchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigerem mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, ..., für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
Index n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... Folge a(n) 1 3 4 8 10 16 20 29 35 ... Differenzen d(n)=a(n+1)-a(n) 2 1 4 2 6 4 9 6 12 ... Differenzen 2.Ordnung -1 3 -2 4 -2 5 -3 7 -4 ...Betrachtet man aber nur die ungeraden Folgeglieder, so sieht die Welt schon besser aus:
Index n 1 3 5 7 9 11 13 ... Folge a(n) 1 4 10 20 35 56 84 ... Differenzen d(n)=a(n+2)-a(n) 3 6 10 15 21 28 36 ... Differenzen 2. Ordnung 3 4 5 6 7 8 9 ...Das führt auf die für ungerade n vermutlich richtigen Tetraederzahlen a(n)=(n+1)(n+3)(n+5)/48. Für gerade n muß man jedoch Korrekturen anbringen. Wieder hilft der gleiche Trick. Für gerade, doch nicht durch 4 teilbare (einfach gerade) n ergibt sich ein Zuschlag von (9n+21)/48. Wird er für alle geraden Indizes berücksichtigt, bleibt nur noch für alle durch 4 teilbaren (doppelt geraden) n ein Rest von 1/4. Die vermutete Formel lautet also
a(n) = (n+1)(n+3)(n+5)/48
+ (9n+21)/48 falls n gerade
+ 12/48 falls n doppelt gerade
Ein Beispiel für n=8:
a(8) = [(8+1)(8+3)(8+5) + (9·8+21) + 12] / 48
= [9·11·13+72+21+12]/48 = 1392/48 = 29 (stimmt!)
Natürlich müßte diese vermutete Formel noch als wirklich für alle n gültig überprüft werden. Aber das kann man nur, wenn man sie auch kennt.In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages d(n)=a(n)-a(n-1) mit a(0)=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d(1)=a(1) ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn eine Fortsetzung ins Negative von a(0)=0 abweicht. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
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DIN-A4-Papier
wuerg, 15.06.2005 01:06
Unsere normalen Papierformate haben sich glücklicherweise nicht am goldenen Schnitt ausgerichtet, sondern an der einfachen Teilbarkeit. Ohne diese starke Eigenschaft hätten die DIN-Formate in mehr als 20 Jahren mit Druckerproblemen dem Druck von 8 mal 12 Zoll großem Endlospapier nicht problemlos widerstanden. Ich erinnere mich noch gerne am meine ersten ordentlich formatierten Adressen auf handelsüblichen Aufklebern mit sieben mal drei Stück pro DIN-A4-Blatt. Doch fünfzehn Jahre später gibt immer noch Behörden und Reisebüros, die um einen Zentimeter zu lange Papierbögen bevorzugen.
Wie groß ist aber nun ein DIN-A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h die Beziehung "b zu h wie h/2 zu b", also h=b*sqrt(2) im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN-A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, daß neben h=b*sqrt(2) auch b*h=1 Quadratmeter sein muß. Das hat
Für die Fläche F(i)=b(i)*h(i) eines DIN-Ai-Blattes gilt natürlich eine einfachere Formel F(i)=1/2^^i Quadratmeter. Damit hat ein DIN-A4-Blatt genau 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.
Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen sqrt(2)=1,4142... ungefähr 141 Prozent und eine umgekehrte Verkleinerung wegen 1/sqrt(2)=sqrt(2)/2=0,7071... ungefähr 70 Prozent beträgt. Dann macht die Anweisung des Chefs "100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug" nicht nervös, weil sie sogleich in " bitte 100 Kopien auf 65% so schnell es Ihnen möglich ist" übersetzt werden kann.
DIN-A
Wie groß ist aber nun ein DIN-A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h die Beziehung "b zu h wie h/2 zu b", also h=b*sqrt(2) im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN-A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, daß neben h=b*sqrt(2) auch b*h=1 Quadratmeter sein muß. Das hat
h = vierte Wurzel aus 2 Meter = 1,1892... Meterals Höhe des DIN-A0-Blattes zur Folge. Ein DIN-Ai-Blatt hat damit eine Breite b(i) und eine Höhe h(i) gemäß
b(i) = 2 hoch (-i/2-1/4) Meter h(i) = 2 hoch (-i/2+1/4) MeterFür ein DIN-A4-Blatt ergibt sich eine Breite von 2 hoch -2,25 und eine Höhe von 2 hoch -1,75 Metern. Das sind ungefähr 297,3 und 210,2 Millimeter in guter Übereinstimmung mit der Realität.
Für die Fläche F(i)=b(i)*h(i) eines DIN-Ai-Blattes gilt natürlich eine einfachere Formel F(i)=1/2^^i Quadratmeter. Damit hat ein DIN-A4-Blatt genau 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.
Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen sqrt(2)=1,4142... ungefähr 141 Prozent und eine umgekehrte Verkleinerung wegen 1/sqrt(2)=sqrt(2)/2=0,7071... ungefähr 70 Prozent beträgt. Dann macht die Anweisung des Chefs "100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug" nicht nervös, weil sie sogleich in " bitte 100 Kopien auf 65% so schnell es Ihnen möglich ist" übersetzt werden kann.
DIN-A
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Goldener Schnitt
wuerg, 12.06.2005 00:23
Der goldene Schnitt ist die Teilung der Einheitsstrecke bei 0,618... im Verhältnis von 1 zu 1,618... und kommt allenthalben in Natur und Kultur vor. Erstere trifft den goldenen Schnitt natürlich nur ungefähr, wo er sich als günstig und damit von evolutionären Vorteil erwiesen hat. Geometrisch kommt er in der Lieblingsfigur der Griechen, dem Pentagramm vor:
Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN-A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN-A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
__●__
____/ / \ \____
____/ / \ \____
____/ / \ \____
____/ / \ c \____
____/ / \ \____
____/ / \ \____
/ c / d \ c \
● -- -- -- -- -- -- -- -- ●- -- -- -- -- -● -- -- -- -- -- -- -- -- ●
\____ / \ ____/
\ \____ / \ ____/ /
\ \____ a / \ ____/ /
\ \____ / \ ____/ /
\ ●___ ____● /
\ / \____ ____/ \ /
\ / \__ __/ \ b /
\ / __●__ \ /
\ / ____/ \____ \ /
\ / ____/ \____ \ /
\ / ____/ \____ \ /
\ /_/ b \_\ /
●-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --●
Einem Fünfeck einbeschriebenes Pentagramm (png)Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 2·cos(36°) = 1,6180339887498948482... φ = (√5-1)/2 = 1/Φ = Φ-1 = 2·sin(18°) = 0,6180339887498948482...zu kommen, ist dank a=b+c und b=c+d nur eine quadratische Gleichung zu lösen.
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN-A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN-A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
+-------------------------+---------------+ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | +---+-+---------+ | | | | | | +---+-+ | | | | | | | | | +-------------------------+-----+---------+Während die Kultur sich auf das goldene Rechteck als schön geeinigt hat, hält sich die Natur an den goldenen Winkel, der bei etwa 137,5° den Vollkreis im Verhältnis 1 zu Φ teilt. Ihn findet man näherungsweise an vielen Pflanzen.
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Fibonaccizahlen
wuerg, 11.06.2005 01:24
Nach den Prim- und den Polygonalzahlen sind die Fibonaccizahlen von weitreichendem Interesse. Die erste und zweite Fibonaccizahl sind einfach F(1)=F(2)=1, jede weitere entsteht durch Addition der beiden vorangehenden, also F(n)=F(n-1)+F(n-2). Das ergibt die Fibonacci-Folge [1]
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Sehr gerne wird die Entstehung dieser Folge mit Kaninchen verdeutlicht. Werfen sie an ihrem zweiten, dritten, vierten und jedem weiteren Geburtstag ein kleines Häschen [2], vermehren sie sich wie folgt:
Obwohl die Fibonaccizahlen gerne in der Natur vorkommen, ist mir ein genaueres Beispiel aus dem Baubereich doch lieber: Man will eine 20 cm hohe Mauer mit Ziegelsteinen der Größe 10 mal 20 cm verkleiden oder bauen. Diese Steine kann man waagerecht oder senkrecht verwenden. Wieviele Ziegelstein-Muster a(n) für eine Mauer von n Dezimetern sind möglich? Offensichtlich gibt es 1, 2 und 3 Muster für Mauern der bescheidenen Länge von 10, 20 und 30 Zentimetern.
Weitgehend bekannt ist das sich der goldenen Zahl nähernde Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen:
F(n) = ( Φn - (-φ)n ) / √5
Im wesentlichen wächst also F(n) in jedem Schritt um den Faktor Φ. Von der damit gegebenen Mittellinie Φⁿ/√5 weicht F(n) um den immer kleiner werdenden Betrag φⁿ/√5 ab. [3]
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. A000203
[2] Ich weiß, Has*innen sind keine Kaninchen, und auch die gebärenden unter ihnen werfen nicht beliebig lange genau ein Häschen/elein pro Jahr. Hauptsache es entstehen die Fibonaccizahlen und die Fibonaccifolge.
[3] Mit dem Taschenrechner berechnet sich zum Beispiel die 12. Fibonaccizahl wie folgt: 1+√5=/2=^12=/√5 ergibt 144,001..., gerundet F(12)=144.
Goldener Schnitt
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Sehr gerne wird die Entstehung dieser Folge mit Kaninchen verdeutlicht. Werfen sie an ihrem zweiten, dritten, vierten und jedem weiteren Geburtstag ein kleines Häschen [2], vermehren sie sich wie folgt:
Beginn des 1. Jahres: 0
|
Beginn des 2. Jahres: 1--------------+
| |
Beginn des 3. Jahres: 1--------+ 0
| | |
Beginn des 4. Jahres: 1-----+ 0 1-----+
| | | | |
Beginn des 5. Jahres: 1--+ 0 1--+ 1--+ 0
| | | | | | | |
Beginn des 6. Jahres: 1 0 1 1 0 1 0 1
Darin bezeichnet 0 einen neugeborenen Hasen und 1 einen nach seinem ersten Geburtstag. Ordnen sie sich wie dargestellt an, entsteht die Fibonaccifolge 10110101 ..., für die man keine Kaninchen benötigt: Mit 0 beginnend wird schrittweise 0 durch 1 und 1 durch 10 ersetzt.Obwohl die Fibonaccizahlen gerne in der Natur vorkommen, ist mir ein genaueres Beispiel aus dem Baubereich doch lieber: Man will eine 20 cm hohe Mauer mit Ziegelsteinen der Größe 10 mal 20 cm verkleiden oder bauen. Diese Steine kann man waagerecht oder senkrecht verwenden. Wieviele Ziegelstein-Muster a(n) für eine Mauer von n Dezimetern sind möglich? Offensichtlich gibt es 1, 2 und 3 Muster für Mauern der bescheidenen Länge von 10, 20 und 30 Zentimetern.
+---+ +---+---+ +-------+ | | | | | | | | | | | | +-------+ | | | | | | | +---+ +---+---+ +-------+ +---+---+---+ +---+-------+ +-------+---+ | | | | | | | | | | | | | | | +-------+ +-------+ | | | | | | | | | | | +---+---+---+ +---+-------+ +-------+---+Für größere n wähle ich eine kompaktere Darstellung mit | für einen senkrechten und == für zwei waagerechte Ziegel:
n=4: |||| ||== |==| ==|| ====
n=5: ||||| |||== ||==| |==||
==||| |==== ==|== ====|
Damit ist Verdacht auf Fibonacci gegeben, und tatsächlich führt die folgende Überlegung auf a(n)=a(n-1)+a(n-2): Mauern der Länge n mit einem senkrechten Ziegel am Ende gibt es soviele wie Mauern der Länge n-1, und Mauern der Länge n mit zwei waagerechten Ziegeln am Ende soviele wie von der Länge n-2. Mit senkrechtem Ziegel am Ende sind es demnach a(n-1) und mit waagerechten a(n-2), insgesamt also a(n)=a(n-1)+a(n-2). Da zudem a(1)=1=F(2) und a(2)=2=F(3) ist, muß a(n)=F(n+1) sein.Weitgehend bekannt ist das sich der goldenen Zahl nähernde Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen:
3/2 = 1,500000 5/3 = 1,666667 8/5 = 1,600000 13/8 = 1,625000 21/13 = 1,615385 34/21 = 1,619048 55/34 = 1,617647 89/55 = 1,618182Die Darstellung in zwei Spalten soll verdeutlichen, daß die Näherungen abwechselnd unter und über der goldenen Zahl Φ≈1,618034 liegen. Mit einem kleinen Phi wird der goldene Schnitt φ=0,6180... bezeichnet. Es gilt:
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 1,6180339887498948482... φ = (√5-1)/2 = 1/Φ = Φ-1 = 0,6180339887498948482...Mit diesen beiden an vielen Stellen vorkommenden Zahlen, kann auch die Binetsche Formel für die Fibonaccizahlen kompakt geschrieben werden:
F(n) = ( Φn - (-φ)n ) / √5
Im wesentlichen wächst also F(n) in jedem Schritt um den Faktor Φ. Von der damit gegebenen Mittellinie Φⁿ/√5 weicht F(n) um den immer kleiner werdenden Betrag φⁿ/√5 ab. [3]
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. A000203
[2] Ich weiß, Has*innen sind keine Kaninchen, und auch die gebärenden unter ihnen werfen nicht beliebig lange genau ein Häschen/elein pro Jahr. Hauptsache es entstehen die Fibonaccizahlen und die Fibonaccifolge.
[3] Mit dem Taschenrechner berechnet sich zum Beispiel die 12. Fibonaccizahl wie folgt: 1+√5=/2=^12=/√5 ergibt 144,001..., gerundet F(12)=144.
Goldener Schnitt
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Eineck
wuerg, 10.06.2005 01:42
Wie ein Eineck aussehen sollte, ob es eine Kante hat, wie lang und gerade sie sein muß und ob sie eine Fläche umschließt, habe ich unter dem Titel Zweieck diskutiert. Hier soll es nur um die Fortsetzung der Frage gehen, aus wievielen Punkten denn ein Zweieck oder ein Eineck analog zu den zentrierten Dreieckszahlen, Viereckzahlen usw. gebildet werden, was also zentrierte Zwei- und Eineckzahlen sind.
Aus der Formel P(k,n)=n·[(k-2)n-(k-4)]/2 für die normalen k-Eckzahlen ergeben sich:
Eine vielleicht bessere, aber mit ASCII-Zeichen schlecht darstellbare Veranschaulichung der n-ten k-Eckzahl ist ein Mittelpunkt, um den n-1 Kreise gezeichnet werden, wobei auf dem i-ten Kreis von innen genau i Punkte liegen.
einfache und zentrierte Polygonalzahlen | Zweieck
Aus der Formel P(k,n)=n·[(k-2)n-(k-4)]/2 für die normalen k-Eckzahlen ergeben sich:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Zweieck Z(n): 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dreieck D(n): 1 3 6 10 15 21 28 36 45
Viereck Q(n): 1 4 9 16 25 36 49 64 81
Fünfeck F(n): 1 5 12 22 35 51 70 92 117
Normale Eineckzahlen machen wenig Sinn, denn sie würden nach der Formel n(3-n)/2 bereits negativ. Wie aber steht es um die zentrierten Zwei- und Eineckzahlen? Eine Formel für die zentrierten k-Eckzahlen lautet p(k,n)=1+k·D(n-1). Damit ergibt sich folgende Tabelle:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Eineck e(n): 1 2 4 7 11 16 22 29 37
Zweieck z(n): 1 3 7 13 21 31 43 57 73
Dreieck d(n): 1 4 10 19 31 46 64 85 109
Viereck q(n): 1 5 13 25 41 61 85 113 145
Fünfeck f(n): 1 6 16 31 51 76 106 141 181
Die zentrierten Zwei- und sogar die Eineckzahlen wachsen mit zunehmenden n wie die übrigen ebenfalls quadratisch an. Erst die Nulleckzahlen stagnieren bei 1. Sie bestehen nur aus dem Mittenpunkt mit 0 Dreiecken drumherum. Die Vorstellung
/2--4--6--8\
1--2--3--4--5--6 und nicht 1 10
\3--5--7--9/
von den normalen Zweieckzahlen läßt sich offensichtlich nicht übertragen. Man kommt auf ein Bild wie das linke
A C C C C
A B A C C C A
A B A A C C B A
A A B B A A C B A A
A A O B B A A O B B A A O
A A B B A D B B A A
A B A D D B B A
A B D D D B A
D D D D B
im dem vom Viereck in der Mitte zwei der vier Flügel fehlen. Für das Eineck bleibt wie im rechten Bild nur ein Flügel mit einem Zusatzpunkt, insgesamt also e(n)=1+D(n-1). Das sind die sog. Pizzazahlen 1+D(n)=e(n+1), die Maximalzahl der Pizzastücke, die durch n gerade Schnitte möglich sind.Eine vielleicht bessere, aber mit ASCII-Zeichen schlecht darstellbare Veranschaulichung der n-ten k-Eckzahl ist ein Mittelpunkt, um den n-1 Kreise gezeichnet werden, wobei auf dem i-ten Kreis von innen genau i Punkte liegen.
einfache und zentrierte Polygonalzahlen | Zweieck
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Zentrierte Polygonalzahlen
wuerg, 08.06.2005 10:57
Die Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckzahlen, Sechseckzahlen usw. werden nach griechischen Vorstellungen gebildet, indem man stets ein größeres Polygon hinzunimmt:
Die den Griechen so wichtige einfache Fünfeckzahl F(n)=P(5,n)=n(3n-1)/2 kann wie in der mittleren Figur der drittletzten Abbildung als halbes Sechseck dargestellt werden. Die zentrierte Sechseckzahl s(n)=2*F(n)-(2n-1) bildet wie in der letzten Figur der vorletzten Abbildung ein ganzes Sechseck. Deshalb ist s(n)=2·F(n)-2(n-1).
Die letzte Formel läßt sich verallgemeinern, und zahlreiche andere Beziehungen können errechnet werden. Doch darum soll es hier nicht gehen. Abschließend soll nur noch die Frage beantwortet werden, warum die zentrierten Polygonalzahlen in ihrer Bedeutung hinter den normalen zurückbleiben. Zum einen liegt es daran, daß die so bekannten und bedeutsamen Dreiecks- und Quadratzahlen normale Polygonalzahlen sind und das Sechseck die zentrierten Zahlen nicht mehr rausreißt. Zum anderen sind die zentrierten Polygonalzahlen nur um eins vermehrte Vielfache der Dreieckszahlen. Und zum dritten stellt diese Eins in der Formel eine gewisse Unschönheit dar. Erst ohne den Mittenpunkt (eins weniger) ergäbe sich eine arithmetische Reihe, wie dies bei den normalen Polygonalzahlen der Fall ist.
Dreieckszahlen | Quadratzahlen
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
4 4 4 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 2 3 4
4 3 4 4 3 3 3 4 4 3 3 4
4 4 4 4 4 3 3 4
4 4 4 4 4 4 3 4
4 4
4 4
4
Doch ab den Fünfeckzahlen werden die Bilder löchrig, und schon bei den Sechseckzahlen fragt man sich, warum sie nicht wie folgt gebildet werden:
4 4 4 4
3 3 3 4 3 3 3 4
2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
1 2 1 2 3 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4
2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
3 3 3 4 3 3 3 4
4 4 4 4
Dieses Schema kann auf alle k-Ecke ausgedehnt werden, sieht jedoch nur für Quadrate, Fünf- und Sechsecke gut aus:
4 4---4---4---4 4 4 4 4 4
/3\ | 3---3---3 | 4 3 4 4 3 3 3 4
4/2\4 4 | 2---2 | 4 4 3 2 3 4 4 3 2 2 3 4
/3/1\3\ | 3 | 1 | 3 | 4 3 2 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4
4/2---2\4 4 | 2---2 | 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
/3---3---3\ | 3---3---3 | 4 3 3 3 4 4 3 3 3 4
4---4---4---4 4---4---4---4 4 4 4 4 4 4 4 4
Die solchen Gebilden zugeordneten Punktezahlen heißen zentrierte Polygonalzahlen, die ich mit p(k,n) für das k-Eck mit jeweils n Punkten auf der äußeren Kante abkürzen will. Sie lassen sich dank
p(k,n) = 1 + k + 2k +3k + ... + (n-1)k
= 1 + k·(1+2+3+...+(n-1))
= 1 + k·D(n-1)
= 1 + k·n(n-1)/2
leichter berechnen als die (unzentrierten) Polygonalzahlen
P(k,n) = 1 + (1+(k-2)) + (1+2(k-2) + (1+3(k-2)) + ... + (1+(n-1)(k-2))
= n + (1+2+3+...+(n-1))·(k-2)
= n + D(n-1)·(k-2)
= n + (n(n-1)/2)·(k-2)
= n·[(k-2)n-(k-4)]/2
In beiden Formeln ist D(n-1)=P(3,n-1)=n(n-1)/2 die (n-1)-te Dreieckszahl. Wie man in geeigneten Darstellungen der (unzentrierten) Polygonalzahlen
B B B B A B B B B A B B B B A
B B B A A C B B B A A C B B B A A
B B A A A C C B B A A A C C B B A A A
B A A A A C C C B A A A A C C C B A A A A
1 2 3 4 5 C C C C 1 2 3 4 5 C C C C 1 2 3 4 5
D D D D
k=4 k=5 D D D k=6
D D
in allen drei Bildern: n=5 D
die Formel P(k,n)=n+(k-2)·D(n-1) erkennen kann, ist dies auch bei den zentrierten
k=3: C k=4: D---C---C---C k=5: D k=6: E D D D
/C\ | D---C---C | D D C E E D D C
C/C\B D | D---C | B D D D C C E E E D C C
/C/O\B\ | D | O | B | E E E O C C C F F F O C C C
C/A---B\B D | A---B | B E E A B B B F F A B B B
/A---A---B\ | A---A---B | E A A B B F A A B B
A---A---A---B A---A---A---B A A A B n=4 A A A B
mit der Formel p(k,n)=1+k·D(n-1) der Fall. Manche Figuren lassen Beziehungen zwischen Polygonalzahlen erkennen. So lassen sich Quadrate gemäß
4---4---4---4 4---4---4---4
3---3---3 | | | 3---3---3 |
| | 4 2---2 4 4 | 2---2 | 4
3 1 3 + | | | | = | 3 | 1 | 3 |
| | 4 2---2 4 4 | 2---2 | 4
3---3---3 | | | 3---3---3 |
4---4---4---4 4---4---4---4
zusammensetzen. Deshalb ist q(n)=Q(n)+Q(n-1)=n²+(n-1)², worin q(n)=p(4,n) die n-te zentrierte Quadratzahl und Q(n)=P(4,n)=n² die normale Quadratzahl ist.Die den Griechen so wichtige einfache Fünfeckzahl F(n)=P(5,n)=n(3n-1)/2 kann wie in der mittleren Figur der drittletzten Abbildung als halbes Sechseck dargestellt werden. Die zentrierte Sechseckzahl s(n)=2*F(n)-(2n-1) bildet wie in der letzten Figur der vorletzten Abbildung ein ganzes Sechseck. Deshalb ist s(n)=2·F(n)-2(n-1).
Die letzte Formel läßt sich verallgemeinern, und zahlreiche andere Beziehungen können errechnet werden. Doch darum soll es hier nicht gehen. Abschließend soll nur noch die Frage beantwortet werden, warum die zentrierten Polygonalzahlen in ihrer Bedeutung hinter den normalen zurückbleiben. Zum einen liegt es daran, daß die so bekannten und bedeutsamen Dreiecks- und Quadratzahlen normale Polygonalzahlen sind und das Sechseck die zentrierten Zahlen nicht mehr rausreißt. Zum anderen sind die zentrierten Polygonalzahlen nur um eins vermehrte Vielfache der Dreieckszahlen. Und zum dritten stellt diese Eins in der Formel eine gewisse Unschönheit dar. Erst ohne den Mittenpunkt (eins weniger) ergäbe sich eine arithmetische Reihe, wie dies bei den normalen Polygonalzahlen der Fall ist.
Dreieckszahlen | Quadratzahlen
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Teilbarkeitsregeln
wuerg, 06.06.2005 17:42
Manche Zahlen haben einfache Teilbarkeitsregeln, andere nicht. Das liegt an ihrer Darstellung zur Basis 10, die eine mehr oder minder günstige Vorarbeit leistet. Deshalb gibt es einfache, allgemein bekannte Regeln für die Teiler der Zahlen 9, 10, 11 und 100, also für 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 20, 25, 50 und 100.
1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. [1] Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 am Ende.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [2] durch 3 teilbar ist. [1]
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. [1] Das sind die Zahlen mit 0 oder 5 am Ende.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist. [5] Verbleiben mehr als drei Stellen, kann der Prozeß wiederholt werden. Verbleiben drei Stellen, kann das Doppelte der Hunderterstelle den anderen beiden zugeschlagen werden.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [2] durch 9 teilbar ist. [1]
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer [1] eine 0 ist.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [3] durch 11 teilbar ist. [6]
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist. [5]
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [7]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [7]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [7]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten. [1]
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [8] durch 27 teilbar ist. [1]
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [7]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 10 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [8] durch 37 teilbar ist. [1]
[1] Diese Regel führt auch auf den gleichen Divisionsrest. Sie testet also nicht nur die Teilbarkeit, sondern bestimmt auch den bei der Division bleibenden Rest.
[2] Die Quersumme ist die Summe der Ziffern.
[3] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert werden.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß sie abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Bei Zahlen mit weniger als sechs Stellen ist es wohl am einfachsten, die führenden von den hinteren drei abzuziehen.
[5] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn der gesamte rechte Dreierblock (Hunderter, Zehner, Einer) addiert wird.
[6] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn die Einerstelle addiert wird.
[7] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Auch im Zeitalter vor dem Computer hat man sie sich nicht gemerkt, zumal die Durchführung der Division nicht deutlich länger dauert und dazu noch den Divisionsrest liefert.
[8] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke ist die Summe aller Dreierblöcke der normalen Zahlgliederung in Tausendern.
7
1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. [1] Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 am Ende.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [2] durch 3 teilbar ist. [1]
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. [1] Das sind die Zahlen mit 0 oder 5 am Ende.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist. [5] Verbleiben mehr als drei Stellen, kann der Prozeß wiederholt werden. Verbleiben drei Stellen, kann das Doppelte der Hunderterstelle den anderen beiden zugeschlagen werden.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [2] durch 9 teilbar ist. [1]
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer [1] eine 0 ist.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [3] durch 11 teilbar ist. [6]
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist. [5]
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. [1] Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [7]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [7]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [7]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten. [1]
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [8] durch 27 teilbar ist. [1]
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [7]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 10 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [8] durch 37 teilbar ist. [1]
[1] Diese Regel führt auch auf den gleichen Divisionsrest. Sie testet also nicht nur die Teilbarkeit, sondern bestimmt auch den bei der Division bleibenden Rest.
[2] Die Quersumme ist die Summe der Ziffern.
[3] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert werden.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß sie abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Bei Zahlen mit weniger als sechs Stellen ist es wohl am einfachsten, die führenden von den hinteren drei abzuziehen.
[5] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn der gesamte rechte Dreierblock (Hunderter, Zehner, Einer) addiert wird.
[6] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn die Einerstelle addiert wird.
[7] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Auch im Zeitalter vor dem Computer hat man sie sich nicht gemerkt, zumal die Durchführung der Division nicht deutlich länger dauert und dazu noch den Divisionsrest liefert.
[8] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke ist die Summe aller Dreierblöcke der normalen Zahlgliederung in Tausendern.
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