Differenzenfolge
Zu jeder Zahlenfolge a(1),a(2),a(3),... kann man die Folge der Differenzen d(1),d(2),d(3),... betrachten, die durch
d(1)=a(1) und d(n)=a(n)-a(n-1) für n>1
definiert ist. Diese Differenzen sind oftmals nützlich, um auf das in einer Folge versteckte Bildungsgesetz zu schließen. Hat man zum Beispiel das Anfangsstück 1,7,19,37,61,91,.. vorliegen und sucht eine geschlossene Formel, so kann man die Differenzen bilden und ggf. auch davon abermals die Differenzen
Folge a(n)           1     7    19    37    61    91    ...
Differenzen d(n)        6    12    18    24    30    ...
Diff. 2. Ordnung           6     6     6     6    ...
Man erkennt sofort, daß die Differenzen zweiter Ordnung konstant sind, die Differenzen erster Ordnung also linear anwachsen und die Originalfolge damit quadratisch. Ein Ansatz a(n)=x*n^2+y*n+z sollte also zum Erfolg führen. Man pickt sich einfach drei Werte heraus und erhält drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Der Einfachheit halber für die ersten drei Werte:
n=1     x +  y + z = 1
n=2    4x + 2y + z = 7
n=3    9x + 3y + z = 19
Die Lösung x=3, y=-3, z=1 führt auf die Formel a(n)=3*n^2-3*n+1=1+3n(n-1). Das ist die Formel für die zentrierten Sechseckzahlen.

Dieses Verfahren mag einem überzogen und nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen. In Variationen kann man aber möglicherweise aus einem mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein komplizierteres Bildungsgesetz geführt werden. Unter der Überschrift "20" habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1,3,4,8,10,16,20,29,35,..., die der Differenzenmethode zunächst wenig zugänglich erscheint:
1     3     4     8    10    16    20    29    35    ...
   2     1     4     2     6     4     9     6    ...
     -1     3    -2     4    -2     5    -3    ...
Betrachtet man aber nur die ungeraden Folgeglieder, so sieht die Welt schon besser aus.
1           4          10          20          35    ...
      3           6          10          15    ...
            3           4           5    ...
Das führt auf die für ungerade n vermutlich richtige Formel a(n)=(n+1)(n+3)(n+5)/48. Für gerade n muß man jedoch Korrekturen anbringen. Wieder hilft der gleiche Trick. Für gerade, doch nicht durch 4 teilbare (einfach gerade) n ergibt sich ein Zuschlag von (9n+21)/48. Wird auch er berücksichtigt, bleibt nur noch für alle durch 4 teilbaren (doppelt geraden) n ein Rest von 1/4. Die vermutete Formel lautet also
a(n) = (n+1)(n+3)(n+5)/48
     + (9n+21)/48         falls n einfach gerade
     + 12/48              falls n doppelt gerade
Ein Beispiel für n=8:
a(8)=[(8+1)(8+3)(8+5)+(9*8+21)+12]/48
    =[9*11*13+72+21+12]/48
    =[1287+105]/48=1392/48=29 (stimmt!)
Natürlich müßte diese vermutete Formel noch als wirklich für alle n gültig überprüft werden. Aber das kann man nur, wenn man sie auch hat.

In modernen Zeiten gibt es natürlich zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.

Sechseckzahlen | 20 | Sloane

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DIN-A4-Papier
Unsere normalen Papierformate haben sich glücklicherweise nicht am goldenen Schnitt ausgerichtet, sondern an der einfachen Teilbarkeit. Ohne diese starke Eigenschaft hätten die DIN-Formate in mehr als 20 Jahren mit Druckerproblemen dem Druck von 8 mal 12 Zoll großem Endlospapier nicht problemlos widerstanden. Ich erinnere mich noch gerne am meine ersten ordentlich formatierten Adressen auf handelsüblichen Aufklebern mit sieben mal drei Stück pro DIN-A4-Blatt. Doch fünfzehn Jahre später gibt immer noch Behörden und Reisebüros, die um einen Zentimeter zu lange Papierbögen bevorzugen.

Wie groß ist aber nun ein DIN-A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h die Beziehung "b zu h wie h/2 zu b", also h=b*sqrt(2) im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN-A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, daß neben h=b*sqrt(2) auch b*h=1 Quadratmeter sein muß. Das hat
h = vierte Wurzel aus 2 Meter = 1,1892... Meter
als Höhe des DIN-A0-Blattes zur Folge. Ein DIN-Ai-Blatt hat damit eine Breite b(i) und eine Höhe h(i) gemäß
b(i) = 2 hoch (-i/2-1/4) Meter
h(i) = 2 hoch (-i/2+1/4) Meter
Für ein DIN-A4-Blatt ergibt sich eine Breite von 2 hoch -2,25 und eine Höhe von 2 hoch -1,75 Metern. Das sind ungefähr 297,3 und 210,2 Millimeter in guter Übereinstimmung mit der Realität.

Für die Fläche F(i)=b(i)*h(i) eines DIN-Ai-Blattes gilt natürlich eine einfachere Formel F(i)=1/2^^i Quadratmeter. Damit hat ein DIN-A4-Blatt genau 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.

Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen sqrt(2)=1,4142... ungefähr 141 Prozent und eine umgekehrte Verkleinerung wegen 1/sqrt(2)=sqrt(2)/2=0,7071... ungefähr 70 Prozent beträgt. Dann macht die Anweisung des Chefs "100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug" nicht nervös, weil sie sogleich in " bitte 100 Kopien auf 65% so schnell es Ihnen möglich ist" übersetzt werden kann.

DIN-A

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Goldener Schnitt
Der goldene Schnitt ist die Teilung der Einheitsstrecke bei 0,6180... im Verhältnis von 1 zu 1,6180... und kommt allenthalben in Natur und Kultur vor. Die Natur trifft den goldenen Schnitt natürlich nur ungefähr, wo er sich als günstig und damit von evolutionären Vorteil erwiesen hat. Geometrisch kommt er in der Lieblingsfigur der Griechen, dem Pentagramm
                O
              O   O
            O  O O  O
          O           O
        O     O   O     O
      O                   O
    O        O     O        O
  O                           O
O  x  x  x  O  y y  O  x  x  x  O
  O                           O
 O  O      O         O      O  O
      O                   O
  O     O O           O O     O
vor, dessen unteren Teil ich wegen Unschönheit der Darstellung im Zeichenraster weggelassen sowie eine Seite des inneren Fünfeckes mit y und zwei Seiten der Sternspitzen mit x gekennzeichnet habe. Die vielen Winkel von 36° und die darauf basierenden ähnlichen Dreiecke führen schnell auf die Längen-Verhältnissse
y : x  =  x : (x+y)  =  (x+y) : (x+y+x)
Dieses Verhältnis heißt goldener Schnitt und wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit phi abgekürzt. Wer quadratische Gleichungen lösen kann, errechnet schnell
y/x = phi = (sqrt(5)-1)/2 = 2*sin(18°) = 0,6180339887498948482...
x/y = Phi = (sqrt(5)+1)/2 = 2*cos(36°) = 1,6180339887498948482...
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt. Ein goldnes Rechteck hat Seiten im Verhältnis 1 zu Phi. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal proportioniert. Wie man ein Din-A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres Din-A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und behält wieder ein goldenes Rechteck übrig:
+-------------------------+---------------+
|                         |               |   
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|                         +---+-+---------+  
|                         |   | |         |   
|                         +---+-+         |   
|                         |     |         |   
|                         |     |         |   
+-------------------------+-----+---------+
Während die Kultur sich auf das goldenen Rechteck als schön geeinigt hat, hält sich die Natur an den goldenen Winkel. Bei etwa 137,5° werden die 360° im Verhältnis 1 zu Phi bzw. phi geteilt. Das ist der goldene Winkel, der sich zumindest näherungsweise in vielen Pflanzen wiederfindet.

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Fibonaccizahlen
Nach den Primzahlen und den Polygonalzahlen sind die Fibonaccizahlen von weitreichendem Interesse. Die erste und zweite Fibonaccizahl sind einfach F(1)=F(2)=1, jede weitere entsteht durch Addition der beiden vorangehenden, also F(n)=F(n-1)+F(n-2). Das ergibt die Fibonacci-Folge
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Sehr gerne wird die Entstehung dieser Folge mit Kaninchen verdeutlicht, die an ihrem zweiten, dritten, vierten und jedem weiteren Geburtstag ein kleines Häschen werfen. Man beginnt mit einem Hasen, der sich wie folgt vermehrt:
Beginn des 1. Jahres:   0
                        |
Beginn des 2. Jahres:   1--------------+
                        |              |
Beginn des 3. Jahres:   1--------+     0
                        |        |     |
Beginn des 4. Jahres:   1-----+  0     1-----+ 
                        |     |  |     |     |
Beginn des 5. Jahres:   1--+  0  1--+  1--+  0
                        |  |  |  |  |  |  |  |
Beginn des 6. Jahres:   1  0  1  1  0  1  0  1
Darin bezeichnet 0 einen Hasen im Alter von 0 Jahren und 1 einen älteren. Das ist natürlich Quatsch, weil es nicht der Natur entspricht, auch wenn man nur die weiblichen Hasen betrachtet. Insbesondere leben Hasen nicht beliebig lang.

Obwohl die Fibonacci-Zahlen gerne in der Natur vorkommen, ist mir ein genaueres Beispiel aus dem Baubereich doch lieber: Man will eine 20 cm hohe Mauer mit Ziegelsteinen der Größe 10 mal 20 cm verkleiden oder bauen. Diese Steine kann man waagerecht oder senkrecht verwenden. Und die Frage ist, wieviele verschiedene Ziegelstein-Muster a(n) für eine Mauer der Lange 20*n Zentimeter möglich sind. Offensichtlich gibt es die 1, 2, 3, 5 und 8 Muster für Mauern der bescheidenen Länge von 10, 20, 30, 40 bzw. 50 Zentimetern.
+---+                   +---+---+   +-------+
|   |                   |   |   |   |       |
|   |                   |   |   |   +-------+
|   |                   |   |   |   |       |
+---+                   +---+---+   +-------+

+---+---+---+   +---+-------+   +-------+---+
|   |   |   |   |   |       |   |       |   |
|   |   |   |   +   +-------+   +-------+   |
|   |   |   |   |   |       |   |       |   |
+---+---+---+   +---+-------+   +-------+---+
gibt n=1,2,3 wieder. Für größere n wähle ich eine kompaktere Darstellung mit | für einen senkrechten und == für zwei waagerechte Ziegel:
n=4:  ||||   ||==   |==|   ==||   ====

n=5:  |||||   |||==    ||==|    |==||
      
      ==|||   |====    ==|==    ====|
Damit ist Verdacht auf Fibonacci gegeben, und tatsächlich führt die folgende Überlegung auf a(n)=a(n-1)+a(n-2): Mauern der Länge n mit einem senkrechten Ziegel am Ende gibt es soviele wie Mauern der Länge n-1, und Mauern der Länge n mit zwei waagerechten Ziegeln am Ende soviele wie von der Länge n-2. Mit senkrechtem Ziegel am Ende sind es demnach a(n-1) und mit wagerechtem a(n-2), insgesamt also a(n)=a(n-1)+a(n-2). Da a(1)=1=F(2) und a(2)=2=F(3) ist, muß a(n)=F(n+1) sein.

Weitgehend bekannt ist, daß das Verhältnis zweier aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen sich dem goldenen Schnitt nähert:
  3/2  = 1,500000    5/3  = 1,666667
  8/5  = 1,600000   13/8  = 1,625000
 21/13 = 1,615385   34/21 = 1,619048
 55/34 = 1,617647   89/55 = 1,618182
Die Darstellung in zwei Spalten soll verdeutlichen, daß die Näherungen abwechselnd unter und über dem goldenen Schnitt Phi=1,6180... liegen. Mit einem kleinen phi wird der Kehrwert phi=0,6180... bezeichnet. Es ist
Phi = (sqrt(5)+1)/2 = 1/phi = phi+1 = 1,6180339887498948482...
phi = (sqrt(5)-1)/2 = 1/Phi = Phi-1 = 0,6180339887498948482...
Mit diesen beiden an vielen Stellen vorkommenden Zahlen, kann auch eine geschlossene Formel für die Fibonacci-Zahlen angegeben werden. Es ist
F(n) = ( Phi^n - (-phi)^n ) / sqrt(5)
Im wesentlichen wächst also F(n) in jedem Schritt um den Faktor Phi. Von der damit gegebenen Mittellinie Phi^n weicht F(n) um den immer kleiner werdenden Betrag phi^n ab.

Sloane | Goldener Schnitt

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Eineck
Wie ein Eineck aussehen sollte, ob es eine Kante hat, wie lang und gerade sie sein muß und ob sie eine Fläche umschließt, habe ich schon unter dem Titel Zweieck diskutiert. Hier soll es nur um die Fortsetzung der Frage gehen, aus wievielen Punkten denn ein Zweieck oder ein Eineck analog zu den zentrierten Dreieckszahlen, Viereckzahlen usw. gebildet werden, was also Zweieck- und Eineckzahlen sind.

Aus der Formel für die normalen k-Eckzahlen ergab sich Z(n)=n als die n-te Zweieckzahl.
Zweieck Z(n):  1  2  3   4   5   6   7   8   9
Dreieck D(n):  1  3  6  10  15  21  28  36  45
Viereck Q(n):  1  4  9  16  25  36  49  64  81
Fünfeck F(n):  1  5 12  22  35  51  70  92 117
Normale Eineckzahlen machen wenig Sinn, denn sie würden nach der Formel n(3-n)/2 bereits negativ. Wie aber steht es um die zentrierten Zweieck- und Eineckzahlen? Die Formel für die zentrierten k-Eckzahlen lautet ja p(k,n)=1+k*D(n-1). Damit ergibt sich folgende Tabelle
Eineck  e(n):  1  2   4   7  11  16  22  29  37
Zweieck z(n):  1  3   7  13  21  31  43  57  73
Dreieck d(n):  1  4  10  19  31  46  64  85 109
Viereck q(n):  1  5  13  25  41  61  85 113 145
Fünfeck f(n):  1  6  16  31  51  76 106 141 181
Die zentrierten Zweieck- und sogar die Eineckzahlen wachsen mit zunehmenden n wie die übrigen ebenfalls quadratisch an. Die Vorstellung
                                /2--4--6--8\
1--2--3--4--5--6   und nicht   1            10
                                \3--5--7--9/
von den normalen Zweieckzahlen läßt sich also nicht übertragen. Man muß sich wieder den Bildungsprozeß
                        4---4---4---4   4---4---4---4
            3---3---3   |           |   | 3---3---3 |
    2---2   |       |   4           4   4 | 2---2 | 4
1 + |   | + 3       3 + |           | = | 3 | 1 | 3 |
    2---2   |       |   4           4   4 | 2---2 | 4
            3---3---3   |           |   | 3---3---3 | 
                        4---4---4---4   4---4---4---4
ansehen, der für Zweiecke wie folgt aussieht:
                        4---4---4---+   4---4---4---+
            3---3---+   |           |   | 3---3---+ |
    2---+   |       |   |           |   | | 2---+ | |
1 + |   | + |       | + |           | = | | | 1 | | |
    +---2   |       |   |           |   | | +---2 | |
            +---3---3   |           |   | +---3---3 | 
                        +---4---4---4   +---4---4---4
Darin stehen die Pluszeichen nicht für Ecken, sondern für abknickend dargestellte Seiten. Die in den Ecken stehenden Ziffern stehen für zu zählende Punkte an den Ecken. Die Ziffern geben auch an, wieviele Punkte auf einer Seite liegen. Zur Verdeutlichung noch einmal die beiden Seiten mit jeweils drei Punkten:
3---3---+    3            3---3---+
        |    |            |       |
        | +  |         =  |       |
        |    |            |       |
        3    +---3---3    +---3---3
Auf dem Gesamtumfang befinden sich immer k(n-1) Punkte. Hier ist k=2 und n=3, und es sind wirklich 3(3-1)=4 Punkte. Für das Eineck ist das nicht anders
                        4---4---4---+   4---4---4---+
            3---3---+   |           |   | 3---3---+ |
    2---+   |       |   |           |   | | 2---+ | |
1 + |   | + |       | + |           | = | | | 1 | | |
    +---+   |       |   |           |   | | +---+ | |
            +-------+   |           |   | +-------+ | 
                        +-----------+   +-----------+
Auch hier befinden sich k(n-1) Punkte auf dem Gesamtumfang. Wegen k=1 ist das mit n-1 immer einer weniger als die Ziffer angibt. So gibt es korrekterweise nur eine 2 auf dem Gesamtumfang und damit auch nur eine 2 auf der einzigen Seite. Das ist ein Unterschied zum Fall k>1.

Aus diesem Grunde wäre es vielleicht besser gewesen, die Zahl der Verbindungslinien zwischen den Punkten zu zählen, was zum gleichen Ergebnis führt, denn jede Verbindungslinie verbindet zwei Punkte und jeder Punkt gehört zu zwei Verbindungslinien. Dann wäre klar, daß einer Seite soviele Punkte zugeordnet werden wie sie Verbindungslinien enthält, da die beiden Endpunkte nur halb zählen. Im Falle des Eineckes rühren dann die beiden Hälften vom gleichen Punkt her.

Es läge deshalb nahe, zumindest die zentrierten k-Eckzahlen nicht nach der Zahl der Punkte auf der Seite, sondern nach der um eins geringeren Seitenlänge zu indizieren. Dann wäre die n-te k-Eckzahl das, was normalerweise die (n+1)-te ist. Auch für die normalen k-Eckzahlen könnte man dieser Auffassung zuneigen. Dann würde sich die allgemeine Formel für die k-Eckzahlen zu (n+1)[(k-2)n+2]/2 vereinfachen. Leider auch mit Nachteilen: Die n-te Quadratzahl wäre dann (n+1)(n+1) und die n-te Dreieckszahl die Anzahl der Kombinationen von zwei Elementen aus n+1 statt aus n. Die Griechen waren also gar nicht so dumm.

Zweieck

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Sechseckzahlen
Die Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckzahlen, Sechseckzahlen usw. werden nach griechischen Vorstellungen gebildet, indem man an einer Ecke stets ein größeres Polygon hinzunimmt:
    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
              4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
                                             4   4
                                               4
Doch ab den Fünfeckzahlen werden die Bilder löchrig, und schon bei den Sechseckzahlen fragt man sich, warum sie nicht wie folgt gebildet werden:
                           4 4 4 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
1   2 1 2   3 2 1 2 3   4 3 2 1 2 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
                           4 4 4 4
Dieses Schema kann auf alle k-Ecke ausgedehnt werden, sieht jedoch nur für Quadrate und Sechsecke gut aus
      4         4---4---4---4          4             4 4 4 4
     /3\        | 3---3---3 |        4 3 4          4 3 3 3 4
    4/2\4       4 | 2---2 | 4      4 3 2 3 4       4 3 2 2 3 4
   /3/1\3\      | 3 | 1 | 3 |    4 3 2 1 2 3 4    4 3 2 1 2 3 4
  4/2---2\4     4 | 2---2 | 4     4 3 2 2 3 4      4 3 2 2 3 4
 /3---3---3\    | 3---3---3 |      4 3 3 3 4        4 3 3 3 4
4---4---4---4   4---4---4---4       4 4 4 4          4 4 4 4
Die solchen Gebilden zugeordneten Punktezahlen heißen zentrierte Polygonalzahlen, die ich mit p(k,n) für das k-Eck mit jeweils n Punkten auf der äußeren Kante abkürzen will. Sie lassen sich durch
p(k,n) = 1 + k + 2k +3k + ... + (n-1)k
       = 1 + k(1+2+3+...+(n-1))
       = 1 + k*D(n-1)
       = 1 + kn(n-1)/2
leichter berechnen als die (unzentrierten) Polygonalzahlen
P(k,n) = n + (k-2)*D(n-1)
       = n[(k-2)n-(k-4)]/2
In beiden Formel ist D(n-1) die (n-1)-te Dreieckszahl D(n-1)=P(3,n-1)=n(n-1)/2. Wie man in geeigneten Darstellungen der (unzentrierten) Polygonalzahlen
B B B B A           B B B B A            B B B B A
 B B B A A         C B B B A A          C B B B A A
  B B A A A       C C B B A A A        C C B B A A A
   B A A A A     C C C B A A A A      C C C B A A A A
    1 2 3 4 5   C C C C 1 2 3 4 5    C C C C 1 2 3 4 5
                                     D D D D
                                      D D D
                                       D D
                                        D
die Formel P(k,n)=n+(k-2)*D(n-1) sehen kann, ist dies auch bei den zentrierten
      C         D---C---C---C          D             E D D D
     /C\        | D---C---C |        D D C          E E D D C
    C/C\B       D | D---C | B      D D D C C       E E E D C C
   /C/1\B\      | D | 1 | B |    E E E 1 C C C    F F F 1 C C C
  C/A---B\B     D | A---B | B     E E A B B B      F F A B B B
 /A---A---B\    | A---A---B |      E A A B B        F A A B B
A---A---A---B   A---A---A---B       A A A B          A A A B
für die Formel p(k,n)=1+k*D(n-1) der Fall. Einzelne Figuren weisen auf Beziehungen zwischen den zentrierten und den einfachen Polygonalzahlen. So lassen sich Quadrate gemäß
              4---4---4---4     4---4---4---4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3   1   3  +  |   |   |   |  =  | 3 | 1 | 3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 | 
              4---4---4---4     4---4---4---4
zusammensetzen, womit q(n)=Q(n)+Q(n-1) ist, worin q(n)=p(4,n)=1+2n(n-1) die zentrierte Quadratzahl (besser: Viereckszahl) ist, wie Q(n)=P(4,n)=n*n die normale Quadratzahl vertritt.

Die den Griechen so wichtige Fünfeckzahl kann als halbes Sechseck dargestellt werden. Dies ist in der mittleren Figur der drittletzten Abbildung geschehen. Das ganze Sechseck bildet wie in der letzten Figur der vorletzten Abbildung eine zentrierte Sechseckzahl. Damit ist s(n)=2*F(n)-(2n-1), worin s(n)=p(6,n)=1+2n(n-1) die zentrierte Sechseckzahl ist, wie F(n)=P(5,n)=n(3n-1)/2 die normale Fünfeckzahl vertritt.

Die letzte Formel läßt sich verallgemeinern, und zahlreiche andere Beziehungen können errechnet werden, doch darum soll es hier nicht gehen, denn abschließend soll nur noch die Frage beantwortet werden, warum die zentrierten Polygonalzahlen in ihrer Bedeutung hinter den normalen zurückbleiben. Zum einen liegt es daran, daß Dreieckzahlen und Quadratzahlen normale Polygonalzahlen sind. Das Sechseck reißt da die zentrierten Zahlen nicht mehr raus. Zum anderen sind die zentrierten Polygonalzahlen nur die um eins vermehrten Vielfache der Dreieckszahlen. Und zum dritten stellt diese eins eine gewisse Unschönheit dar. Erst ohne Mittelpunkt (eins weniger) ergäbe sich eine bei 0 beginnende arithmetische Reihe, wie dies bei den normalen Polygonalzahlen der Fall ist.

Dreieckszahlen | Fünfeckzahlen | Sloane

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Teilbarkeitsregeln
Zu einigen Zahlen habe ich mich zumeist mit Begründungen darüber ausgelassen, wie man die Teilbarkeit durch diese prüft. Manche Zahlen haben einfache Teilbarkeitsregeln, andere nicht. Das liegt an der Zahldarstellung zur Basis 10, die eine für manche Zahlen günstige Vorarbeit geleistet hat. Gute Regeln gibt es für die Teiler der Zehnerpotenzen und ihrer beiden benachbarten Zahlen. Hier nun die Zusammenfassung für die ersten Zahlen:

1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist [a]. Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 am Ende.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [b] durch 3 teilbar ist [a].
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 4 teilbar sind [a,c].
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist [a]. Das sind die Zahlen mit 0 und 5 am Ende.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke durch 7 teilbar ist [d,e,f]. Alternativ kann man fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer von den verbleibenden abziehen [h,i]. Und wer die Subtraktion scheut, der kann auch fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer den verbleibenden zuschlagen.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind [a,c].
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [b] durch 9 teilbar ist [a].
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer [a] eine 0 ist.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist [e,g].
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke durch 13 teilbar ist [d,e]. Alternativ kann man fortgesetzt das Vierfache der letzten Ziffer von den verbleibenden abziehen [h,i].
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind [a,c].
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den verbleibenden abziehen [h].
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den verbleibenden Ziffern zuschlagen [h].
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den verbleibenden Ziffern zuschlagen [h]. Alternativ kann man auf das Dreifache der letzten beiden Ziffern wiederholt zu den verbleibenden addieren [h].
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten [a].
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Summe der Dreierblöcke durch 27 teilbar ist [a]. Alternativ kann man fortgesetzt das Achtfache der letzten Ziffer von den verbleibenden Ziffern abziehen [i].
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den verbleibenden Ziffern zuschlagen [h].
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 10 teilbar ist, also eine durch 3 teilbare Quersumme und als letzte Ziffer eine 0 hat.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Summe der Dreierblöcke durch 37 teilbar ist [a]. Alternativ kann man fortgesetzt das Elffache der letzten Ziffer von den verbleibenden Ziffern abziehen oder das Zehnfache der letzten beiden ebenfalls zu den verbleibenden addieren [i].

[a] Diese Regel führt auch auf den gleichen Divisionsrest. Sie testet also nicht nur die Teilbarkeit, sondern kann auch feststellen, welcher Rest bei der Division bleibt.
[b] Die Quersumme ist die Summe der Ziffern.
[c] Die verbleibende (zwei/drei/vier)stellige Zahl ist durch 4/8/16 teilbar, wenn man sie (zwei/drei/vier)mal durch 2 teilen kann.
[d] Die alternierende Quersumme von Blöcken entsteht dadurch, daß sie abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Bei nicht zu großen Zahlen ist es wohl am einfachsten stets den führenden Block vom nächsten abzuziehen, bis nur noch einer übrig ist.
[e] Diese Regel führt nur auf den gleichen Divisionsrest, wenn die Einerstelle mit positiven Gewicht in die alternierende Quersumme eingeht.
[f] Die verbleibende dreistellige Zahl kann auf Teilbarkeit durch 7 wie folgt geprüft werden: Das Doppelte der Hunderterstelle wird den restlichen beiden zugeschlagen. Das Ergebnis wird auf Teilbarkeit durch 7 geprüft.
[g] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert werden.
[h] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Auch im Zeitalter vor dem Computer hat man sie sich nicht gemerkt, zumal die Durchführung der Division nicht deutlich länger dauert und auch noch den korrekten Divisionsrest liefert.
[i] Es empfiehlt sich auch, zunächst die erste Regel anzuwenden und dann diese zweite zu verwenden, um die letztlich zu testende Zahl noch etwas kleiner zu bekommen.

7

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