Intervallnamen
wuerg, 02.06.2005 02:06
Schon lange frage ich mich, warum musikalische Intervalle so komisch, so vielfältig und leider auch widersprüchlich benannt werden, ob dahinter wenigsten grundsätzlich ein System steckt, so verwirrend es auch erscheinen mag. Musiker mögen diese Frage vorschnell beantworten: Der Grundname (Terz, Quinte usw.) kommt aus dem Abstand in der Siebentonleiter oder aus der Zahl der Linien und Zwischenräume im System der Notenlinien. Manche Intervalle (Terz, Septime usw.) treten gerne in verschiedenen Größen (Halbtonschritten der Zwölftonleiter) auf und heißen deshalb groß bzw. klein. Sollten Intervalle ausnahmsweise um einen weiteren Halbtonschritt größer oder kleiner sein, heißen sie übermäßig oder vermindert.
Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren. Wer aber 5‑glatte Intervalle genau benennen möchte, muß noch ein weiteres Attribut beifügen, etwa für Unterschiede von einem syntonischen Komma (81/80). So könnte die doppelt übermäßige Undezime von ’Fes nach „his als dreifach enharmonisch kleiner bezeichnet werden, weil es um drei syntonische Kommas abwärts geht. Aber warum sollte dieses kleinzahlige Intervall 5625/2048 dreifach kleiner heißen, wenn in der Folge das normale (0‑fach kleinere) 23914845/9388608 wäre? Diese Unschönheit würde gemildert, wenn für jede Alterierung um eine Apotome (is, 2187/2048) ein oder zwei syntonische Kommas weniger gezählt würden. Dann entsprächen Erhöhungen einem großen Chroma (135/128) bzw. einem kleinen Chroma (25/24).
Wahrscheinlich ist es dem Umstand zu verdanken, daß die beiden natürlichen Terzen sich um ein kleines, der diatonische Halbton und der pythagoreische Ganzton aber um ein großes Chroma unterscheiden, daß die beiden Chromatates wechselweise zum Zuge kommen, weshalb die normalen doppelt übermäßigen Intervalle immer um 1125/1024 größer sind. Damit sehe ich nachstehendes Schema:
Damit stelle zumindest ich mir die Frage: Wie bestimme ich zu einem 5‑glatten Intervall die korrekte Bezeichnung? Bei einem Intervall aus x Zweien, y Dreien und z Fünfen bestimmt sich der grundlegende Name aus m=7x+11y+16z, weil die zweite Harmonische 7, die dritte 11 und die fünfte 16 diatonische Schritte nach oben führt. Im Falle von m=0,1,2,3,… spricht man von einer Prime, Sekunde, Terz, Quarte, …, frei ins Deutsche übersetzt von einer (m+1)‑ten. Der Rest einer Division von m durch 7 ergibt das von Oktaven befreite Intervall n=m=4y+2z (7) aus dem Bereich von 0 bis 6 für Prime bis Septime. Der nachstehenden Tabelle kann damit das zentrale (neutrale) Intervall (im Schema mit OOOOO gekennzeichnet) und die Zusammensetzung seines Quadrates aus α Zweien, β Dreien und γ Fünfen entnommen werden:
2x3y5z = 2α/23β/25γ/2 · 2a · ((135/128)(25/24))b/4 · (81/80)c/4
nach a, b und c aufzulösen. Es ergibt sich:
c=(6y−4z−3β+2γ)/7 b=(2y+8z−β−4γ)/7 a=(m−n)/7
Das erste die Alterierung bezeichnende nur von b abhängende Attribut Alt(b) zum Grundnamen des Intervalls wird mit Hilfe von i=∣b∣/2 wie folgt bestimmt:
Auch im deutschen Sprachgebrauch verdrängt die Bezeichnung pythagoreisch für 3‑glatte Intervalle gerne die systematische. So heißt die kleinere kleine Terz (32/27) pythagoreisch und in der Folge die größere (6/5) einfach (natürliche) kleine Terz. Das ist nicht bedenklich, solange man in exotischen Bereichen nicht zu unsystematischen Bezeichnungen greift. Und damit meine ich nicht sehr kleine Intervalle und einige besondere wie Halbton, Ganzton, Chroma, Limma, Komma, Apotome, Diesis, Schisma, Ditonus, Tritonus.
[1] Ich habe scharf, schwach, eng und weit in Klammern gesetzt, denn es ist nicht mehr als mein Versuch, die in der Huygens-Fokker-Liste [3] so bezeichneten Intervalle in das deutsche System des Musiklexikons [2] einzuordnen. Wie es richtig ist oder sein könnte, weiß ich nicht. Ich bin jedem dankbar, dem anerkannte Konzepte bekannt sind und sie mir in einem Kommentar darlegt.
[2] Habe nur noch die Kopie der Seiten 409 bis 413 zum Stichwort Intervall. Darin sind leider nur die gängigsten Intervalle verzeichnet, daß ein Gesamtsystem über sie hinaus nicht zu erkennen ist.
[3] Intervall-Liste. Huygens-Fokker Foundation. Diese Liste nennt zwar mehr 5‑glatte Intervalle als das Musiklexikon [2], doch leider ist ein System nur in Ansätzen zu erkennen und nicht konsequent umgesetzt.
Quinte | Dur
Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren. Wer aber 5‑glatte Intervalle genau benennen möchte, muß noch ein weiteres Attribut beifügen, etwa für Unterschiede von einem syntonischen Komma (81/80). So könnte die doppelt übermäßige Undezime von ’Fes nach „his als dreifach enharmonisch kleiner bezeichnet werden, weil es um drei syntonische Kommas abwärts geht. Aber warum sollte dieses kleinzahlige Intervall 5625/2048 dreifach kleiner heißen, wenn in der Folge das normale (0‑fach kleinere) 23914845/9388608 wäre? Diese Unschönheit würde gemildert, wenn für jede Alterierung um eine Apotome (is, 2187/2048) ein oder zwei syntonische Kommas weniger gezählt würden. Dann entsprächen Erhöhungen einem großen Chroma (135/128) bzw. einem kleinen Chroma (25/24).
Wahrscheinlich ist es dem Umstand zu verdanken, daß die beiden natürlichen Terzen sich um ein kleines, der diatonische Halbton und der pythagoreische Ganzton aber um ein großes Chroma unterscheiden, daß die beiden Chromatates wechselweise zum Zuge kommen, weshalb die normalen doppelt übermäßigen Intervalle immer um 1125/1024 größer sind. Damit sehe ich nachstehendes Schema:
(weite) (weite) (weite) (weite) (weite) (scharfe) (scharfe)
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
(scharfe) \ / (scharfe) (scharfe) (scharfe) (weite)
doppelt (scharfe) doppelt doppelt übermä-
vermind / \ übermäß vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / \ / \
größere größere größere größere größere größere größere
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
doppelt +-----+ doppelt größere größere größere
vermin- |OOOOO| übermä- doppelt übermä-
derte +-----+ ßige vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / OOOOO / \
kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
(schwache) \ / (schwache) kleinere kleinere kleinere
doppelt (schwache) doppelt doppelt übermä-
vermind / \ übermäß vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / \ / \
(enge) (enge) (enge) (enge) (enge) (schwache)(schwache)
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
/ \ / \ /
Intervalle zur Prime, Quarte, Quinte, (schwache)(schwache) (enge)
Oktave, Undezime, Duodezime, ... doppelt übermä-
vermind kleine ßige
135/128 (‚cis) 81/80 (’c)
/ | Intervalle zur Terz, Sexte, Dezime,
1 (c) | Tredezime,... Für Sekunde, Septime,
\ | None, ... ist zu spiegeln und über-
25/24 („cis) 1 (c) mäßig mit vermindert zu tauschen
Fett sind die nach einem deutschen Musiklexikon gesicherten Namen. Der Rest durch systematische Fortsetzung und in Anlehnung an die Huygens-Focker-Intervall-Liste. [1]Damit stelle zumindest ich mir die Frage: Wie bestimme ich zu einem 5‑glatten Intervall die korrekte Bezeichnung? Bei einem Intervall aus x Zweien, y Dreien und z Fünfen bestimmt sich der grundlegende Name aus m=7x+11y+16z, weil die zweite Harmonische 7, die dritte 11 und die fünfte 16 diatonische Schritte nach oben führt. Im Falle von m=0,1,2,3,… spricht man von einer Prime, Sekunde, Terz, Quarte, …, frei ins Deutsche übersetzt von einer (m+1)‑ten. Der Rest einer Division von m durch 7 ergibt das von Oktaven befreite Intervall n=m=4y+2z (7) aus dem Bereich von 0 bis 6 für Prime bis Septime. Der nachstehenden Tabelle kann damit das zentrale (neutrale) Intervall (im Schema mit OOOOO gekennzeichnet) und die Zusammensetzung seines Quadrates aus α Zweien, β Dreien und γ Fünfen entnommen werden:
n Name(n) klein groß Mittel Quadrat α(n) β(n) γ(n) 0 Prime 1 1 1 0 0 0 1 Sekunde 16/15 9/8 √(6/5) 6/5 1 1 -1 2 Terz 6/5 5/4 √(3/2) 3/2 -1 1 0 3 Quarte 4/3 4/3 16/9 4 -2 0 4 Quinte 3/2 3/2 9/4 -2 2 0 5 Sexte 8/5 5/3 √(8/3) 8/3 3 -1 0 6 Septime 16/9 15/8 √(10/3) 10/3 1 -1 1Um zu ermitteln, wieviele Oktaven (a), Übermäßigkeiten (b/2) und enharmonische Erhöhungen (c/4) zum mittleren Ton, der neutralen (n+1)‑ten hinzukommen, ist
2x3y5z = 2α/23β/25γ/2 · 2a · ((135/128)(25/24))b/4 · (81/80)c/4
nach a, b und c aufzulösen. Es ergibt sich:
c=(6y−4z−3β+2γ)/7 b=(2y+8z−β−4γ)/7 a=(m−n)/7
Das erste die Alterierung bezeichnende nur von b abhängende Attribut Alt(b) zum Grundnamen des Intervalls wird mit Hilfe von i=∣b∣/2 wie folgt bestimmt:
Alt(b) = '' für b=0 Alt(b) = 'große' für b=1 Alt(b) = 'kleine' für b=-1 Alt(b) = 'i-fach übermäßige' für b>1 Alt(b) = 'i-fach verminderte' für b<-1Leider ist das zweite Attribut Enh(b,c) zur Angabe der enharmonischen Abweichungen etwas kompliziert. Mit j=∣c∣/4 lautet es:
Enh(b,c) = '' für c=0 Enh(b,c) = 'größere' für c=1,2,3 Enh(b,c) = 'kleinere' für c=-1,-2,-3 Enh(b,c) = 'j-fach scharfe' für c>3 und i gerade Enh(b,c) = 'j-fach weite' für c>3 und i ungerade Enh(b,c) = 'j-fach schwache' für c<-3 und i gerade Enh(b,c) = 'j-fach enge' für c<-3 und i ungeradezugeordnet, womit das Intervall „Enh(b,c) Alt(b) Name(n) plus a Oktaven“ oder im Falle von a≥0 einfacher „Enh(b,c) Alt(b) (m+1)‑te“ lautet. Ist Name(m) bekannt, so auch „Enh(b,c) Alt(b) Name(m)“ Ein Beispiel: Für 1024/675 ist x=10, y=−3, z=−2, m=n=5 (Sexte), β=−1, γ=0, c=−1, b=−3, a=0, i=1 und j=0. Damit handelt es sich um eine „kleinere 1‑fach verminderte Sexte plus 0 Oktaven“, kurz die kleinere verminderte Sexte. So steht es auch in einem deutschen Musiklexikon. [2] Doch die sich alle möglichen Intervalle anheischig machende Huygens-Fokker-Liste [3] nennt eine enge verminderte Sexte.
Auch im deutschen Sprachgebrauch verdrängt die Bezeichnung pythagoreisch für 3‑glatte Intervalle gerne die systematische. So heißt die kleinere kleine Terz (32/27) pythagoreisch und in der Folge die größere (6/5) einfach (natürliche) kleine Terz. Das ist nicht bedenklich, solange man in exotischen Bereichen nicht zu unsystematischen Bezeichnungen greift. Und damit meine ich nicht sehr kleine Intervalle und einige besondere wie Halbton, Ganzton, Chroma, Limma, Komma, Apotome, Diesis, Schisma, Ditonus, Tritonus.
[1] Ich habe scharf, schwach, eng und weit in Klammern gesetzt, denn es ist nicht mehr als mein Versuch, die in der Huygens-Fokker-Liste [3] so bezeichneten Intervalle in das deutsche System des Musiklexikons [2] einzuordnen. Wie es richtig ist oder sein könnte, weiß ich nicht. Ich bin jedem dankbar, dem anerkannte Konzepte bekannt sind und sie mir in einem Kommentar darlegt.
[2] Habe nur noch die Kopie der Seiten 409 bis 413 zum Stichwort Intervall. Darin sind leider nur die gängigsten Intervalle verzeichnet, daß ein Gesamtsystem über sie hinaus nicht zu erkennen ist.
[3] Intervall-Liste. Huygens-Fokker Foundation. Diese Liste nennt zwar mehr 5‑glatte Intervalle als das Musiklexikon [2], doch leider ist ein System nur in Ansätzen zu erkennen und nicht konsequent umgesetzt.
Quinte | Dur
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wuerg,
23.09.2023 22:22
In Intervallnamen tritt der Zusatz pythagoreisch leider nicht nur als Ergänzung oder Zweitbezeichnung auf. So verzichtet die Huygens-Fokker-Liste gänzlich auf die Unterscheidung von größeren und kleineren Intervallen und versucht, das eine pythagoreisch zu nennen, um sodann das andere (normale, natürliche, reine) nicht näher zu spezifizieren. [1] Bei Terzen und Sexten klappt es einigermaßen, weil von den vier zentralen Intervallen zwei pythagoreisch und die anderen beiden natürlich sind.
Bei Sekunden und Septimen muß man dafür aber deren Zentrum um ein halbes syntonisches Komma verschieben. Von √(6/5) nach unten auf √(32/27) bzw. von √(10/3) nach oben auf √(27/8). Die größeren Zähler und Nenner legen bereits nahe, daß dies keine gute Idee ist. Warum sollte die kleinzahligere größere kleine Sekunde (27/25, großes Limma, kleiner Halbton) für die großzahligere pythagoreische kleine Sekunde (256/243, Limma) das Zentrum räumen und der große Ganzton (9/8) seine Zentrumsnähe an den kleinen (10/9) abtreten? Einzig dafür spräche die Tatsache, daß dann das Sekunden- und Septimen-Schema gleich dem der Terzen und Sexten ohne Spiegelung würde.
Außerdem beseitigt das unsägliche Wort pythagoreisch die Zusätze größer und kleiner bei übermäßigen und verminderten Zusätze nicht mehr. Hier wird in der Huygens-Fokker-Liste unsystematisch von klassisch und irgendetwas anderem geredet. Es entsteht der Eindruck, man betrachte ausschließlich das kleine Chroma (25/24) als Standard-Verminderung. Das leuchtet mir zwar als einfacher und sinnvoller ein, nur muß man es dann auch konsequent durchziehen. Zwar gilt einheitlich
[1] Das ist immer noch besser, als sie ptolemäisch zu nennen, wenn sie in der „intensiven diatonischen Skala des Ptolemäus“ (das ist schlicht und einfach Dur) vorkommen. Ein solcher Zusatz ist mir auch nur als ptolemaic im amerikanischen Sprachraum aufgefallen.
Bei Sekunden und Septimen muß man dafür aber deren Zentrum um ein halbes syntonisches Komma verschieben. Von √(6/5) nach unten auf √(32/27) bzw. von √(10/3) nach oben auf √(27/8). Die größeren Zähler und Nenner legen bereits nahe, daß dies keine gute Idee ist. Warum sollte die kleinzahligere größere kleine Sekunde (27/25, großes Limma, kleiner Halbton) für die großzahligere pythagoreische kleine Sekunde (256/243, Limma) das Zentrum räumen und der große Ganzton (9/8) seine Zentrumsnähe an den kleinen (10/9) abtreten? Einzig dafür spräche die Tatsache, daß dann das Sekunden- und Septimen-Schema gleich dem der Terzen und Sexten ohne Spiegelung würde.
Außerdem beseitigt das unsägliche Wort pythagoreisch die Zusätze größer und kleiner bei übermäßigen und verminderten Zusätze nicht mehr. Hier wird in der Huygens-Fokker-Liste unsystematisch von klassisch und irgendetwas anderem geredet. Es entsteht der Eindruck, man betrachte ausschließlich das kleine Chroma (25/24) als Standard-Verminderung. Das leuchtet mir zwar als einfacher und sinnvoller ein, nur muß man es dann auch konsequent durchziehen. Zwar gilt einheitlich
klassische überm. Sekund : (größere) große Sek. = (75/64):(9/8) = 25/24 klassische überm. Terz : (kleinere) große Terz = (125/96):(5/4) = 25/24 klassische überm. Quart : reine Quart = (25/18):(4/3) = 25/24 klassische überm. Quint : reine Quint = (25/16):(3/2) = 25/24 klassische überm. Sext : (kleinere) große Sext = (125/72):(5/3) = 25/24 klassische überm. Septim : (kleinere) große Sep. = (125/64):(15/8) = 25/24 klassisch vermind. Terz : (größere) kleine Terz = (144/125):(6/5) = 24/25 klassisch vermind. Quart : reine Quart = (32/25):(4/3) = 24/25 klassisch vermind. Quint : reine Quint = (36/25):(3/2) = 24/25 klassisch vermind. Sext : (größere) kleine Sext = (192/125):(8/5) = 24/25doch fällt auf, daß unter den verminderten Intervallen keine klassischen zur Sekunde und Septime gelistet sind. Welche Intervalle müßten das sein?
Schema Mitte Quadrat : klass.üb = klass.ver = Huygens-Fokker-Name Sekund √(6/5) (6/5) : (75/64) = 128/125 = kleine Diesis Sekund √(32/27) (32/27) : (75/64) = 2048/2025 = Diaschisma Septim √(10/3) (10/3) : (125/64) = 128/75 = verminderte Septime Septim √(27/8) (27/8) : (125/64) = 216/125 = erweiterte SexteWieder sprechen die kleineren Zahlen für die von mir und dem deutschen Lexikon angenommenen Mitten der gegenüber Terzen und Sexten gespiegelten Schematates für Sekunden und Septimen. Schlimmer aber ist die erweiterte Sexte. Doch nicht nur sie kratzt an der Sinnhaftigkeit der Huygens-Fokker-Liste mit ihrem inkonsequent durchgezogenen System, sofern eines beabsichtigt war:
weite überm Terz · enge verm Terz = (675/512)·(4096/3645) = 40/27 weite überm Sext · enge verm Sext = (3645/2048)·(1024/675) = 27/10Beide gehen an den auch von der Huygens-Fokker-Liste nicht bezweifelten Mitten-Quadraten 3/2 und 8/3 vorbei, weit und eng liegen nicht symmetrisch. Und gerne drückt man sich einfach um eine systematische komplementäre Benennung entgegengesetzter Intervalle, wenn ein alternativer oder woher auch immer gezauberter Name zur Verfügung steht:
(6/5):weite überm Sek = (6/5):(1215/1024) = 2048/2025 = Diaschisma (3/2):weite überm Terz = (3/2):(675/512) = 256/225 = neapolit. Terz (3/2):enge verm Terz = (3/2):(4096/3645) = 10935/8192 = Quarte+Schisma (16/9):enge verm Ouart = (16/9):(512/405) = 45/32 = diat. Tritonus (9/4):weite über Quint = (9/4):(405/256) = 64/45 = 2. Tritonus (8/3):weite überm Sext = (8/3):(3645/2048) = 16384/10935 = Quinte-Schisma (10/3):enge verm Septim = (10/3):(2048/1215) = 2025/1024 = dopp. TritonusKurz gesagt: Die Huygens-Fokker-Liste ist allenfalls ein Anhaltspunkt, wie man den harten Kern der in meiner Aufstellung fetten Intervalle erweitern könnte. Zunächst habe ich den Wechsel von größeren und kleineren bzw. solchen ohne Zusatz (manchmal rein oder natürlich genannt) in der Horizontalen zu stärkeren Alterierungen hin fortgesetzt. Danach wäre es sinnvoll gewesen, die für ein syntonisches Komma über bzw. unter den kleineren, größeren und reinen Intervallen verwendeten Begriffe scharf und schwach bzw. weit und eng ebenfalls horizontal fortzusetzen, und zwar einheitlich. Die Huygens-Fokker-Liste benutzt für die übermäßigen weit statt scharf und für die verminderten eng statt schwach. Enge übermäßige und weite verminderte Intervalle kommen nicht vor. In meinem Streben, dem Chaos ein System zu entlocken, habe ich als geistige Übung für die fehlenden oder geradzahligen Alterierungen scharf und schwach, für die ungeraden weit und eng vorgesehen, und zwar in Klammern zum Zeichen einer reinen Imagination meinerseits.
[1] Das ist immer noch besser, als sie ptolemäisch zu nennen, wenn sie in der „intensiven diatonischen Skala des Ptolemäus“ (das ist schlicht und einfach Dur) vorkommen. Ein solcher Zusatz ist mir auch nur als ptolemaic im amerikanischen Sprachraum aufgefallen.
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wuerg,
15.10.2023 20:51
Die Huygens-Fokker-Liste erscheint mir wie eine Meldestelle für kreativ benannte (neue) Intervalle, obgleich die große Masse wohl abgewiesen wurde. Wer etwas rechnet, kann leichter als einen neuen Asteroiden ein weiteres Intervall finden und benennen, sogar ein neues Komma unterhalb der Hörbarkeitsgrenze. Doch stehen die Chancen schlecht, auch nur in die lange Wikipedia-Liste der unnoticeable commas zu kommen. Hier ein paar komische Intervall-Namen, die ohne weiteres systematisch bezeichnet werden können:
Für einige Intervalle jenseits der Oktave gibt es noch gängige Namen: None, Dezime, Undezime, Duodezime und Tredezime, evtl. auch Quartdezime und ähnliches. Man könnte auch englisch mit 14th, 15th, 16th usw. fortfahren, aber auch bedenkenlos Oktave auf Septime, Doppeloktave, Sekunde plus zwei Oktaven usw. sagen. Leider wird es bei Oktavierungen nach unten mit m<0 unangenehmer. Eine Nulle wird man das Schisma wohl nicht nennen wollen. Vielmehr scheint salonfähig zu sein, ein Intervall mit m<0 eine Negativ-(1−m)‑te zu nennen. [1] Und dem Farbnamen Layo‑2 für das Schisma [2] entnehme ich, daß auch bei Negativ-Intervallen Übermäßigkeiten und syntonische Kommas die Intervallgröße p/q erhöhen und nicht in die andere Richtung weisen. Versieht man dagegen eine Intervall-Bezeichnung mit dem Zusatz abwärts, dann ist der Name vom Inversen q/p abzuleiten, womit sich die Qualitäten vertauschen.
Bleibt immer noch zu klären, wie man ein Schisma innerhalb des normalen deutschen Namens-Schema bezeichnen würde. Grundsätzlich sehe ich:
Mit der Prime ist es praktisch einfacher, weil man für Aufwärts-Primen (m=0, p>q) eine Prime aufwärts und für Abwärts-Primen (m=0, p<q) eine Prime abwärts nennen kann. In der Theorie ist es aber merkwürdiger als für andere Intervalle, denn es ist sowohl die entgegengesetzte Richtung als auch eine Negativ-Prime möglich. Für die maximale Diesis 250/243 (49 Cent, enge übermäßige Prime, ∣1 −5 3⟩, y³1, triyo1) ergeben sich acht Möglichkeiten:
[1] Man vermeidet viele Nomenklaturprobleme, wenn man 5‑glatte Intervalle einfach als ∣x y z⟩, also die Anzahl der Zweier-, Dreier und Fünferpotenzen darstellt, sich an der Dirac-Notation erbaut und diesen monzo genannten kontravarianten Ket-Vektor einfach mit den als val bezeichneten kovarianten Bra-Vektor ⟨7 11 16∣ der diatonischen Leiter zu einem ‚Skalarprodukt‘ m=⟨7 11 16∣x y z⟩ verhackstückt. Das Schisma ∣−15 8 1⟩ ist dann wegen m=7·(−15)+11·8+16·1=−1 eine Negativ-Sekunde.
[2] Für den Farbnamen des Schisma muß man zunächst wissen, daß es sich wegen m=−1 um eine Negativ-Sekunde handelt. Die folgt der Nomenklatur für Septimen. Deshalb gilt 15/16 (−112 Cent, diatonischer Halbton abwärts) als yellow (over) und heißt y‑2 oder yo‑2. Eine Apotome (114 Cent) höher ändert nicht die Farbe (weiterhin nur eine gelbe 5 im Zähler), wohl aber die Größe von normal auf large (l). Damit ist das Schisma (−112+114=2 Cent) erreicht und heißt ly‑2 oder layo‑2. Das hat dem Schisma den Zweitnamen Layo-Komma eingetragen.
[3] Glücklicherweise nennen wir den Dezember des Jahres 2023 nicht verminderter Januar 2024 und feiern den Heiligen Abend nicht am 24.00.2024. Vielleicht hätten wir eine Weile nach einer derartigen Reform damit keine Probleme mehr, zumal wir weit von der Zeitenwende (Prime) entfernt leben. Doch läge der 24.00.1 n.Chr. dann davor und entspräche noch nicht einmal dem 24.12.0, sondern unserem 24.12.1 v.Chr. Das ist keine reine Spinnerei, denn nach dem Nativitätsstil begann früher das neue Jahr mit dem 25. Dezember, damit Jesus nicht nach fast zwölf Monaten, sondern am ersten Tag des ersten Jahres geboren wurde, heute der 24. Dezember nach Sonnenuntergang. Es gab also im Kalender eine Alterierung von einer Woche (Beschneidung auf Geburt) und eine enharmonische Verwechselung von wenigen Stunden (24 Uhr auf Sonnenuntergang). Wer solche Überlegungen für abstrus hält, der betrachte einmal die amerikanischen Uhrzeiten oder den jüdischen Jahreswechsel mit dem siebten Monat.
Minus-0 | Jahr 0 | noon
(mögl.) deutscher Name Bruch Cent Huygens-Fokker-Liste (scharfe Prime) 81/80 21,5 syntonisches Komma (doppelt scharfe Prime) 6561/6400 43,0 Mathieus Superdiesis (schwache überm. Prime) 250/243 49,2 maximale Diesis kleinere überm. Prime 25/24 70,7 kleines Chroma größere überm. Prime 135/128 92,2 großes Chroma pythagor. überm. Prime 2187/2048 113,7 Apotome (kleinere verm. Sekunde) 2048/2025 19,6 Diaschisma (größere verm. Sekunde) 128/125 41,1 kleine Diesis (weite verm. Sekunde) 648/625 62,6 große Diesis (dopp. weite verm. Sek.) 6561/6250 84,1 Ripple pythagor. kleine Sek. 256/243 90,2 (pythagor.) Limma kleinere kleine Sekunde 16/15 111,7 diatonischer Halbton größere kleine Sekunde 27/25 133,2 großes Limma (scharfe kleine Sekunde) 2187/2000 154,7 Gorgo-Limma (kleinere) große Sekunde 10/9 182,4 kleiner Ganzton pythagor. große Sekunde 9/8 203,9 großer Ganzton (enge) übermäßige Sekunde 125/108 253,6 erweiterte Sekunde (kleinere dopp überm Sek) 625/512 344,9 klass. neutrale Terz (kleinere vermind. Terz) 256/225 223,5 neapolit. verm. Terz pythagoreische große Terz 81/84 407,8 Ditonus (größere) übermäß. Quarte 45/32 590,2 diatonischer Tritonus pythagor. übermäß. Quarte 729/512 611,7 pythagor. Tritonus (kleinere) verm. Quinte 64/45 609,8 2. Tritonus (kleinere) überm. Quinte 25/16 772,6 natürliche Doppelterz (weite verminderte Sexte) 216/125 946,9 erweiterte Sexte (größere überm. Septime) 2025/1024 1180,4 doppelter TritonusDer aufmerksame Leser könnte das Schisma (32805/32768) vermissen. Mein Verfahren liefert: x=−15, y=8, z=1, m=−1, n=6 (Septime), α=1, β=−1, γ=1, c=7, b=3, a=−1, i=1, j=1, Alt(b)='1‑fach weite' und Enh(b,c)='1‑fach übermäßige'. Damit ist das Schisma eine „1‑fach weite 1‑fach übermäßige Septime −1 Oktave“, etwas angenehmer formuliert eine Oktave unter der weiten übermäßigen Septime. Doch auch das ist unbefriedigend.
Für einige Intervalle jenseits der Oktave gibt es noch gängige Namen: None, Dezime, Undezime, Duodezime und Tredezime, evtl. auch Quartdezime und ähnliches. Man könnte auch englisch mit 14th, 15th, 16th usw. fortfahren, aber auch bedenkenlos Oktave auf Septime, Doppeloktave, Sekunde plus zwei Oktaven usw. sagen. Leider wird es bei Oktavierungen nach unten mit m<0 unangenehmer. Eine Nulle wird man das Schisma wohl nicht nennen wollen. Vielmehr scheint salonfähig zu sein, ein Intervall mit m<0 eine Negativ-(1−m)‑te zu nennen. [1] Und dem Farbnamen Layo‑2 für das Schisma [2] entnehme ich, daß auch bei Negativ-Intervallen Übermäßigkeiten und syntonische Kommas die Intervallgröße p/q erhöhen und nicht in die andere Richtung weisen. Versieht man dagegen eine Intervall-Bezeichnung mit dem Zusatz abwärts, dann ist der Name vom Inversen q/p abzuleiten, womit sich die Qualitäten vertauschen.
Bleibt immer noch zu klären, wie man ein Schisma innerhalb des normalen deutschen Namens-Schema bezeichnen würde. Grundsätzlich sehe ich:
Schisma aufwärts (0) Oktave unter der weiten übermäßigen Septime
(1) weite übermäßige Negativ-Sekunde (aufwärts)
(2) enge verminderte Sekunde abwärts
Schisma abwärts (3) enge verminderte Sekunde (aufwärts)
(4) weite übermäßige Negativ-Sekunde abwärts
Alle Varianten sind unschön: (0) klingt doch sehr komisch und bringt eine weit entfernte Septime ins Spiel, und wer will schon ein absteigendes Intervall (p<q) aufwärts (3) oder ein aufsteigendes (p>q) abwärts (2) nennen? Bleiben wohl nur die Negativ-Sekunden (1,4).Mit der Prime ist es praktisch einfacher, weil man für Aufwärts-Primen (m=0, p>q) eine Prime aufwärts und für Abwärts-Primen (m=0, p<q) eine Prime abwärts nennen kann. In der Theorie ist es aber merkwürdiger als für andere Intervalle, denn es ist sowohl die entgegengesetzte Richtung als auch eine Negativ-Prime möglich. Für die maximale Diesis 250/243 (49 Cent, enge übermäßige Prime, ∣1 −5 3⟩, y³1, triyo1) ergeben sich acht Möglichkeiten:
maximale Diesis aufwärts (1a) enge übermäßige Prime (aufwärts)
(250/243, y31) (1b) enge übermäßige Negativ-Prime (aufwärts)
(2a) weite verminderte Negativ-Prime abwärts
(2b) weite verminderte Prime abwärts
maximale Diesis abwärts (3a) weite verminderte Prime (aufwärts)
(243/250) (3b) weite verminderte Negativ-Prime (aufwärts)
(4a) enge übermäßige Negativ-Prime abwärts
(4b) enge übermäßige Prime abwärts
Die Prime (m=+0) und die Negativ-Prime (m=−0) sind das gleiche, und ich habe letztere nicht allein der Vollständigkeit halber erwähnt, sondern auch aus sentimentaler Erinnerung an die Univac 1108, die im Einerkomplement rechnend auch zwei Nullen (+0 und −0) kannte. Ähnliche Probleme kann man auch mit dem Jahr 0 oder dem Jahreswechsel bekommen. [3] Nur lassen sie sich leichter beherrschen als die der Intervalle.[1] Man vermeidet viele Nomenklaturprobleme, wenn man 5‑glatte Intervalle einfach als ∣x y z⟩, also die Anzahl der Zweier-, Dreier und Fünferpotenzen darstellt, sich an der Dirac-Notation erbaut und diesen monzo genannten kontravarianten Ket-Vektor einfach mit den als val bezeichneten kovarianten Bra-Vektor ⟨7 11 16∣ der diatonischen Leiter zu einem ‚Skalarprodukt‘ m=⟨7 11 16∣x y z⟩ verhackstückt. Das Schisma ∣−15 8 1⟩ ist dann wegen m=7·(−15)+11·8+16·1=−1 eine Negativ-Sekunde.
[2] Für den Farbnamen des Schisma muß man zunächst wissen, daß es sich wegen m=−1 um eine Negativ-Sekunde handelt. Die folgt der Nomenklatur für Septimen. Deshalb gilt 15/16 (−112 Cent, diatonischer Halbton abwärts) als yellow (over) und heißt y‑2 oder yo‑2. Eine Apotome (114 Cent) höher ändert nicht die Farbe (weiterhin nur eine gelbe 5 im Zähler), wohl aber die Größe von normal auf large (l). Damit ist das Schisma (−112+114=2 Cent) erreicht und heißt ly‑2 oder layo‑2. Das hat dem Schisma den Zweitnamen Layo-Komma eingetragen.
[3] Glücklicherweise nennen wir den Dezember des Jahres 2023 nicht verminderter Januar 2024 und feiern den Heiligen Abend nicht am 24.00.2024. Vielleicht hätten wir eine Weile nach einer derartigen Reform damit keine Probleme mehr, zumal wir weit von der Zeitenwende (Prime) entfernt leben. Doch läge der 24.00.1 n.Chr. dann davor und entspräche noch nicht einmal dem 24.12.0, sondern unserem 24.12.1 v.Chr. Das ist keine reine Spinnerei, denn nach dem Nativitätsstil begann früher das neue Jahr mit dem 25. Dezember, damit Jesus nicht nach fast zwölf Monaten, sondern am ersten Tag des ersten Jahres geboren wurde, heute der 24. Dezember nach Sonnenuntergang. Es gab also im Kalender eine Alterierung von einer Woche (Beschneidung auf Geburt) und eine enharmonische Verwechselung von wenigen Stunden (24 Uhr auf Sonnenuntergang). Wer solche Überlegungen für abstrus hält, der betrachte einmal die amerikanischen Uhrzeiten oder den jüdischen Jahreswechsel mit dem siebten Monat.
Minus-0 | Jahr 0 | noon
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wuerg,
08.11.2023 19:29
Als Albert Einstein einen Brief des indischen Physiker Satyendranath Bose in englischer Sprache erhielt, soll er gesagt haben, man müsse ihn unbedingt ins Deutsche übersetzen, damit alle Welt ihn verstünde. Diese Zeiten sind vorbei, die Musikwissenschaft soll die letzte in deutscher Sprache sein. Wie aber steht es um deren Intervallnamen? Mein Auszug aus einem Musiklexikon nennt die folgenden:
Ich gehe davon aus, daß die vier Intervalle (kleinere/größere kleine/große) jeweils das bestimmende Quadrupel bilden. Ihre geometrischen Mittel liegen bei √(6/5), √(3/2), √(8/3) und √(10/3), neutrale Intervalle genannt. Die zwei ihrer Mitte nächstgelegenen Sekunden sind 16/15 und 9/8, zwischen denen ein großes Chroma liegt. Deshalb ist das in meinem Hauptbeitrag gezeigte Diagramm der Terzen und Sexten für Sekunden und Septimen zu spiegeln.
Der aufmerksame Leser mag nun einwenden, daß in meinem Musiklexikon nicht 9/8, sondern 10/9 die große Sekunde sowie nicht 16/9, sondern 9/5 die kleine Septime heißt. Das mag einen ganz profanen Grund haben: Man konnte die Alternativen 9/8 und 16/9 pythagoreisch nennen, womit ein Zusatz für 10/9 und 9/5 entfiel.
Trotzdem bleibt es berechtigt, auf den in der Dur-Tonleiter am häufigsten vorkommenden großen Ganzton 9/8 zugunsten des kleineren Ganztones 10/9 zu verzichten, zumal die zugehörige Septime mit 9/5 deutlich kleinzahliger ist als 16/9. Damit wäre es möglich und sinnvoll, auf größer und kleiner zu verzichten und zwischen den kleinen und großen Intervallen stets ein kleines Chroma zu legen, das zudem ausnahmlos allen Alterierungen zugrunde gelegt werden könnte. Doch leider sehe ich diese schöne Grundidee nur unvollkommen umgesetzt:
Keenan [1] scheint konsequent mit 25/24 zu alterieren, erliegt aber mit seinen (fast) neutralen Intervallen wieder der Faszination des großen Ganztones. Auch Xen-Calc [2] bezeichnet 10/9 und 9/5 als classic, legt also zwischen kleiner und größer einheitlich ein kleines Chroma. Nur wird zu den verminderten und übermäßigen hin wieder nach deutschem Vorbild ein großes verwendet.
Das tröstet mich, ist doch in Amerika und insbesondere von den Mikrotonikern keine der deutschen überlegene Nomenklatur entwickelt worden. Farbnamen sind albern und ebenfalls schwer zu verstehen. [3] Die FJS-Namen orientieren sich zwar an den Tonbezeichnungen, leiden aber wie diese und auch die Farbnamen an der sehr großen Apotome von 114 Cent als Übermäßigkeit. [4] Und die sog. Monzos sind zwar elegant und leicht zu verrechnen, doch recht unanschaulich. [5] Wahrscheinlich hilft da nur die Fähigkeit der Musiker, neben vielen Noten auch die Intervalle und ihr Zusammenspiel auswendig zu lernen oder im Gefühl bzw. Gehör zu haben.
Die alten Griechen nahmen es mit den kommensurablen Verhältnissen sehr genau, doch in der Praxis wichen sie von reinen Stimmungen ab und nannten das Chroma. So ist es bis auf den heutigen Tag. Es gibt in der Praxis kaum Differenzierungen annähernd gleicher Töne und Intervalle. Wer sie zu hören und sogar auf seinem Instrument zu spielen vermag, wird dies ohne große Theorie tun. [6] Auf der anderen Seite gibt es Mikrotoniker, die auch kleinste Unterschiede in den Vordergrund stellen und darin keine chromatischen Abweichungen, sondern neue Tonsysteme sehen. [7] Ich wäre schon zufrieden, wenn Diskussionen um fis und ges sich nicht in verschiedenen Notationen und Denkweisen erschöpften, sondern klar gesagt würde, um welchen Halbton ♯ erhöht bzw. ♭ erniedrigt, ob f♯ unter oder über g♭ liegt. [8]
[1] David C. Keenan: A note on naming of musical intervals. 03.11.2001. Der kleine Ganzton heißt wohl major second, der große whole tone.
[2] Matthew Ycavone: xen-calc. Bezeichnungen, Eigenschaften, Umrechnungen auch von ausgefallenen Intervallen. Der kleine Ganzton heißt classic major second, der große pythagorean major second. Im XEN-Wiki dagegen ist 10/9 der small, classic(al) oder ptolemaic whole tone, steht also hinter 9/8 als whole tone und major second ohne Zusatz zurück.
[3] Pythagoreische Intervalle sind weiß (w, wa, white all), jede Oberterz färbt gelb (y, yo, yellow over), umgekehrt wird das Intervall grün (g, gu, green under). Natürlich gibt es noch weitere Farben. Aber mit bunten Noten für Anfänger haben sie nichts zu tun. Der kleine Ganzton 10/9 lautet damit yo 2nd oder kurz y2, der große wa 2nd bzw. w2.
[4] Functional Just System zur Benennung auch ausgefallener Intervalle. Ausgehend von den pythagoreischen Intervallen (m2, M2, m3, M3, P4, P5, m6, M6, m7, M7) werden weitere durch Buchstaben wie d und A für Alterierungen sowie hoch- und tiefgestellte Zahlen für Kommas dargestellt. Der kleine Ganzton ist M2⁵, der große einfach M2.
[5] Eine auf der Hand liegende Bezeichnung ist die Folge der Exponenten der Primfaktoren. Also für den kleinen Ganzton 10/9=2¹3⁻²5¹ der Monzo genannte Vektor ∣1 −2 1⟩ in Dirac-Notation. Der große Ganzton 9/8 ist pythagoreisch und kann mit ∣−3 2⟩ kürzer geschrieben werden.
[6] So sie es können, spielen Musiker ein h als Durterz über g gerne tiefer, als Leitton zum c aber höher. Nicht immer sind sie sich einig, was von beiden jetzt vorliegt. Und schon gar nicht wissen sie, um wieviel die beiden sich unterscheiden. Das ist auch nicht erforderlich.
[7] Anzuerkennen sind grundlegend neue Tonsysteme wie die beliebte 31‑Teilung der Oktave. Doch reines Vierteltongedudel halte ich allenfalls für eine chromatische Veränderung, wenn nicht nervige Verzierung. Den kurzen mikrotonalen Stücken unter Youtube konnte ich ebenfalls nichts abgewinnen. Sie klangen sehr hohl, weil zur Herausarbeitung der alternativen exakten Intervalle auf computergenerierte Töne gesetzt wurde. Mit richtigen Instrumenten mag das schöner klingen.
[8] Natürlich liegt fis um ein pythagoreisches Komma (23 Cent) über ges. Geht man aber durch ein ♯ in der Vorzeichnung von C‑Dur zu G‑Dur über, wird mit einem ♯ die Erhöhung des f zum ‚fis angezeigt (‚a zu a wird unterschlagen). Das ♯ ist (hier!) also kein diatonischer Halbton, keine Apotome (-is), kein kleines Chroma (25/24), sondern ein großes (135/128). Und weil ‚fis (Tritonus, 45/32 oder 590 Cent über c) unter ’ges (2. Tritonus, 64/45 oder 610 Cent über c) liegt, ist (hier!) g♭ um ein Diaschisma (2048/2025 oder 20 Cent) höher als f♯. Weshalb „hier!“? Mit dem Übergang von A‑Dur nach E‑Dur (4. ♯) erhöht sich das ‚fis zu fis, dem Grundton von Fis‑Dur, was damit über Ges‑Dur liegt. Ja, man kann das pythagoreische und das syntonische Komma eben nicht wegdiskutieren, die Quintenspirale nicht zum Zirkel löten! Für mich, der nie über das dritte ♯ oder das fünfte ♭ kam, ist Fis immer ‚fis und Ges immer ges. Letzteres um ein winziges Schisma von unhörbaren 2 Cent höher. Zu meinen Antipoden E/Fes kam ich nie. Eine Analogie: Solange man auf deutschem Boden bleibt, kann die Vorstellung genügen, die Erde sei flach.
systematischer Name Verhältnis und Name aus dem deutschen Musiklexikon für:
nach meinem Schema Sekunde Terz Sexte Septime
256/225 1024/675
kleinere verminderte verminderte (kl.) verminderte
192/125 128/75
größere verminderte (gr.) verminderte verminderte
16/15 32/27 128/81 16/9
kleinere kleine (kl.) kleine pyth. kleine pyth. kleine pyth. kleine
27/25 6/5 8/5 9/5
größere kleine (gr.) kleine natürl. kleine natürl. kleine kleine
10/9 5/4 5/3 50/27
kleinere große große natürl. große natürl. große (kl.) große
9/8 81/64 27/16 15/8
größere große pyth. große pyth. große pyth. große (gr.) große
75/64 125/96 125/64
kleinere übermäßige übermäßige (kl.) übermäßige übermäßige
675/512 225/128
größere übermäßige (gr.) übermäßige übermäßige
Fett sind Intervalle, die keiner besonderen Namensergänzung bedürfen. Da man ohne mir bekannte Ausnahme den diatonischen Halbton (16/15) als die kleine Sekunde sieht und alle Intervalle spiegelt, sollte die große Septime wohl die größere (15/8) sein. Damit entsteht die Frage, ob die Abweichung der Sekunden und Septimen von den Terzen und Sexten ein Mangel meines aus den mageren Daten abgeleiteten Systems ist. Gesichert scheint mir:
größer : kleiner = 81/80 für alle
übermäßig : klein = 1125/1024 für alle
groß : vermindert = 1125/1024 für alle
groß : klein = 25/24 für Terzen und Sexten
Offensichtlich ist es richtig, daß in der Folge „ … ‒ doppelt vermindert ‒ vermindert ‒ klein ‒ groß ‒ übermäßig ‒ doppelt übermäßig ‒ …“ abwechselnd ein kleines Chroma (25/24) und ein großes Chroma (135/128) zum Tragen kommt. Aber welches ist das richtige zwischen den kleinen und großen Sekunden bzw. Septimen? Meine Antwort: Das große Chroma! Warum?Ich gehe davon aus, daß die vier Intervalle (kleinere/größere kleine/große) jeweils das bestimmende Quadrupel bilden. Ihre geometrischen Mittel liegen bei √(6/5), √(3/2), √(8/3) und √(10/3), neutrale Intervalle genannt. Die zwei ihrer Mitte nächstgelegenen Sekunden sind 16/15 und 9/8, zwischen denen ein großes Chroma liegt. Deshalb ist das in meinem Hauptbeitrag gezeigte Diagramm der Terzen und Sexten für Sekunden und Septimen zu spiegeln.
Der aufmerksame Leser mag nun einwenden, daß in meinem Musiklexikon nicht 9/8, sondern 10/9 die große Sekunde sowie nicht 16/9, sondern 9/5 die kleine Septime heißt. Das mag einen ganz profanen Grund haben: Man konnte die Alternativen 9/8 und 16/9 pythagoreisch nennen, womit ein Zusatz für 10/9 und 9/5 entfiel.
Trotzdem bleibt es berechtigt, auf den in der Dur-Tonleiter am häufigsten vorkommenden großen Ganzton 9/8 zugunsten des kleineren Ganztones 10/9 zu verzichten, zumal die zugehörige Septime mit 9/5 deutlich kleinzahliger ist als 16/9. Damit wäre es möglich und sinnvoll, auf größer und kleiner zu verzichten und zwischen den kleinen und großen Intervallen stets ein kleines Chroma zu legen, das zudem ausnahmlos allen Alterierungen zugrunde gelegt werden könnte. Doch leider sehe ich diese schöne Grundidee nur unvollkommen umgesetzt:
Keenan [1] scheint konsequent mit 25/24 zu alterieren, erliegt aber mit seinen (fast) neutralen Intervallen wieder der Faszination des großen Ganztones. Auch Xen-Calc [2] bezeichnet 10/9 und 9/5 als classic, legt also zwischen kleiner und größer einheitlich ein kleines Chroma. Nur wird zu den verminderten und übermäßigen hin wieder nach deutschem Vorbild ein großes verwendet.
Das tröstet mich, ist doch in Amerika und insbesondere von den Mikrotonikern keine der deutschen überlegene Nomenklatur entwickelt worden. Farbnamen sind albern und ebenfalls schwer zu verstehen. [3] Die FJS-Namen orientieren sich zwar an den Tonbezeichnungen, leiden aber wie diese und auch die Farbnamen an der sehr großen Apotome von 114 Cent als Übermäßigkeit. [4] Und die sog. Monzos sind zwar elegant und leicht zu verrechnen, doch recht unanschaulich. [5] Wahrscheinlich hilft da nur die Fähigkeit der Musiker, neben vielen Noten auch die Intervalle und ihr Zusammenspiel auswendig zu lernen oder im Gefühl bzw. Gehör zu haben.
Die alten Griechen nahmen es mit den kommensurablen Verhältnissen sehr genau, doch in der Praxis wichen sie von reinen Stimmungen ab und nannten das Chroma. So ist es bis auf den heutigen Tag. Es gibt in der Praxis kaum Differenzierungen annähernd gleicher Töne und Intervalle. Wer sie zu hören und sogar auf seinem Instrument zu spielen vermag, wird dies ohne große Theorie tun. [6] Auf der anderen Seite gibt es Mikrotoniker, die auch kleinste Unterschiede in den Vordergrund stellen und darin keine chromatischen Abweichungen, sondern neue Tonsysteme sehen. [7] Ich wäre schon zufrieden, wenn Diskussionen um fis und ges sich nicht in verschiedenen Notationen und Denkweisen erschöpften, sondern klar gesagt würde, um welchen Halbton ♯ erhöht bzw. ♭ erniedrigt, ob f♯ unter oder über g♭ liegt. [8]
[1] David C. Keenan: A note on naming of musical intervals. 03.11.2001. Der kleine Ganzton heißt wohl major second, der große whole tone.
[2] Matthew Ycavone: xen-calc. Bezeichnungen, Eigenschaften, Umrechnungen auch von ausgefallenen Intervallen. Der kleine Ganzton heißt classic major second, der große pythagorean major second. Im XEN-Wiki dagegen ist 10/9 der small, classic(al) oder ptolemaic whole tone, steht also hinter 9/8 als whole tone und major second ohne Zusatz zurück.
[3] Pythagoreische Intervalle sind weiß (w, wa, white all), jede Oberterz färbt gelb (y, yo, yellow over), umgekehrt wird das Intervall grün (g, gu, green under). Natürlich gibt es noch weitere Farben. Aber mit bunten Noten für Anfänger haben sie nichts zu tun. Der kleine Ganzton 10/9 lautet damit yo 2nd oder kurz y2, der große wa 2nd bzw. w2.
[4] Functional Just System zur Benennung auch ausgefallener Intervalle. Ausgehend von den pythagoreischen Intervallen (m2, M2, m3, M3, P4, P5, m6, M6, m7, M7) werden weitere durch Buchstaben wie d und A für Alterierungen sowie hoch- und tiefgestellte Zahlen für Kommas dargestellt. Der kleine Ganzton ist M2⁵, der große einfach M2.
[5] Eine auf der Hand liegende Bezeichnung ist die Folge der Exponenten der Primfaktoren. Also für den kleinen Ganzton 10/9=2¹3⁻²5¹ der Monzo genannte Vektor ∣1 −2 1⟩ in Dirac-Notation. Der große Ganzton 9/8 ist pythagoreisch und kann mit ∣−3 2⟩ kürzer geschrieben werden.
[6] So sie es können, spielen Musiker ein h als Durterz über g gerne tiefer, als Leitton zum c aber höher. Nicht immer sind sie sich einig, was von beiden jetzt vorliegt. Und schon gar nicht wissen sie, um wieviel die beiden sich unterscheiden. Das ist auch nicht erforderlich.
[7] Anzuerkennen sind grundlegend neue Tonsysteme wie die beliebte 31‑Teilung der Oktave. Doch reines Vierteltongedudel halte ich allenfalls für eine chromatische Veränderung, wenn nicht nervige Verzierung. Den kurzen mikrotonalen Stücken unter Youtube konnte ich ebenfalls nichts abgewinnen. Sie klangen sehr hohl, weil zur Herausarbeitung der alternativen exakten Intervalle auf computergenerierte Töne gesetzt wurde. Mit richtigen Instrumenten mag das schöner klingen.
[8] Natürlich liegt fis um ein pythagoreisches Komma (23 Cent) über ges. Geht man aber durch ein ♯ in der Vorzeichnung von C‑Dur zu G‑Dur über, wird mit einem ♯ die Erhöhung des f zum ‚fis angezeigt (‚a zu a wird unterschlagen). Das ♯ ist (hier!) also kein diatonischer Halbton, keine Apotome (-is), kein kleines Chroma (25/24), sondern ein großes (135/128). Und weil ‚fis (Tritonus, 45/32 oder 590 Cent über c) unter ’ges (2. Tritonus, 64/45 oder 610 Cent über c) liegt, ist (hier!) g♭ um ein Diaschisma (2048/2025 oder 20 Cent) höher als f♯. Weshalb „hier!“? Mit dem Übergang von A‑Dur nach E‑Dur (4. ♯) erhöht sich das ‚fis zu fis, dem Grundton von Fis‑Dur, was damit über Ges‑Dur liegt. Ja, man kann das pythagoreische und das syntonische Komma eben nicht wegdiskutieren, die Quintenspirale nicht zum Zirkel löten! Für mich, der nie über das dritte ♯ oder das fünfte ♭ kam, ist Fis immer ‚fis und Ges immer ges. Letzteres um ein winziges Schisma von unhörbaren 2 Cent höher. Zu meinen Antipoden E/Fes kam ich nie. Eine Analogie: Solange man auf deutschem Boden bleibt, kann die Vorstellung genügen, die Erde sei flach.
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