Intervalle
Schon lange frage ich mich, warum musika­lische Inter­valle so komisch, so viel­fältig und leider auch wider­sprüch­lich benannt werden, ob dahinter wenig­sten grund­sätz­lich ein System steckt, so verwir­rend es auch erschei­nen mag. Musiker mögen diese Frage vor­schnell beant­worten: Der Grund­name (Terz, Quin­te usw.) kommt aus dem Abstand in der Sieben­ton­leiter oder aus der Zahl der Linien und Zwischen­räume im System der Noten­linien. Manche Inter­valle (Terz, Sep­ti­me usw.) treten gerne in ver­schie­denen Größen (Halb­ton­schrit­ten der Zwölf­ton­leiter) auf und heißen deshalb groß bzw. klein. Sollten Inter­valle aus­nahms­weise um einen wei­teren Halb­ton­schritt größer oder kleiner sein, heißen sie über­mäßig oder vermin­dert.

Mit dieser Genauig­keit kann man leben und natür­lich auch musi­zieren. Wer aber 5-glatte Inter­valle genau benennen möchte, muß noch ein weiteres Attri­but bei­fügen, etwa für Unter­schiede von einem synto­nischen Kom­ma (81/80). So könnte die doppelt über­mäßige Unde­zime von ‘Fes nach „his als drei­fach enhar­monisch kleiner bezeich­net werden, weil es um drei syntoni­sche Kommas abwärts geht. Aber warum sollte dieses klein­zahlige Inter­vall 5625/2048 drei­fach kleiner heißen, wenn in der Folge das normale (0-fach kleinere) 23914845/9388608 wäre. Diese Unschön­heit würde gemil­dert, wenn für jede Alte­ration um eine Apo­tome (is, 2187/2048) ein oder zwei synto­nische Kommas weniger gezählt würden. Dann entsprä­chen Erhö­hungen einem großen Chroma (135/128) bzw. einem kleinen Chroma (25/24).

Wahrscheinlich ist es dem Umstand zu verdanken, daß die beiden natür­lichen Terzen sich um ein kleines, der diato­nische Halbton und der pytha­gorei­sche Ganzton aber um ein großes Chroma unter­scheiden, daß die beiden Chroma­tates wechsel­weise zum Zuge kommen, weshalb die nor­malen doppelt über­mäßi­gen Intervalle immer um 1125/1024 größer sind. Damit sehe ich nachstehende Schema:

(weite)   (weite)   (weite)   (weite)           (weite)   scharfe   scharfe
dreifach  vermin-   übermä-   dreifach          vermin-             doppelt
vermind    derte     ßige     übermäß            derte     große    übermäß 
      \   /     \   /     \   /                  /   \     /   \     /
     scharfe     \ /     scharfe           scharfe   scharfe   (weite)
     doppelt   scharfe   doppelt           doppelt             übermä-
     vermind     / \     übermäß           vermind    kleine    ßige
      /   \     /   \     /   \                  \   /     \   /     \
größere   größere   größere   größere           größere   größere   größere
dreifach  vermin-   übermä-   dreifach          vermin-             doppelt
vermind    derte     ßige     übermäß            derte     große    übermäß
      \   /     \   /     \   /                  /   \     /   \     /
     doppelt   +-----+   doppelt           größere   größere   größere 
     vermin-   |OOOOO|   übermä-           doppelt             übermä-
      derte    +-----+    ßige             vermind    kleine    ßige
      /   \     /   \     /   \                  \   /   OOOOO /     \
kleinere  kleinere  kleinere  kleinere         kleinere   kleinere  kleinere
dreifach  vermin-   übermä-   dreifach          vermin-             doppelt
vermind    derte     ßige     übermäß            derte     große    übermäß
      \   /     \   /     \   /                  /   \     /   \     /
     schwache    \ /     schwache          kleinere  kleinere  kleinere
     doppelt   schwache  doppelt           doppelt             übermä-
     vermind     / \     übermäß           vermind    kleine    ßige
      /   \     /   \     /   \                  \   /     \   /     \
(enge)    (enge)    (enge)    (enge)            (enge)    schwache  (enge)
dreifach  vermin-   übermä-   dreifach          vermin-             doppelt
vermind    derte     ßige     übermäß            derte     große    übermäß   
                                                 /   \     /   \     /
Intervalle zur Prime, Quarte, Quinte,      schwache  schwache  (enge)
Oktave, Undezime, Dodezime, ...            doppelt             übermä-
                                           vermind    kleine    ßige
  135/128 (‚cis)   81/80 (‘c)                                           
 /                   |                     Intervalle zur Terz, Sexte, Dezime, 
1 (c)                |                     Tredezime,... Für Sekunde, Septime,
 \                   |                     None, ... ist zu spiegeln und über-
  25/24   („cis)     1 (c)                 mäßig mit vermindert zu tauschen

Fett sind die nach einem deutschen Musiklexikon gesicherten Namen. Der Rest in Anlehnung an die Huygens-Focker-Intervall-Liste. [1]

Damit stelle zumindest ich mir die Frage: Wie bestimme ich zu einem 5-glat­ten Inter­vall die korrekte Bezeich­nung? Bei einem Inter­vall aus x Zweien, y Dreien und z Fün­fen bestimmt sich der grund­legende Name aus n=4y+2z modulo 7. Der nach­stehen­den Tabelle kann dann der mittlere Ton (im Schema mit OOOOO gekenn­zeichnet) und die Zusam­menset­zung seines Qua­drates aus α Zweien, β Dreien und γ Fün­fen ent­nommen werden:
n  Name(n)  klein  groß Mittel Quadrat α(n) β(n) γ(n)
0  Prime         1        1       1      0    0    0
1  Sekunde  16/15  9/8  √(6/5)   6/5     1    1   -1
2  Terz      6/5   5/4  √(3/2)   3/2    -1    1    0
3  Quarte       4/3      4/3    16/9     4   -2    0
4  Quinte       3/2      3/2     9/4    -2    2    0
5  Sexte     8/5   5/3  √(8/3)   8/3     3   -1    0
6  Septime  16/9  15/8  √(10/3) 10/3     1   -1    1
Um zu ermitteln, wieviele Oktaven (a), Über­mäßig­kei­ten (b/2) und enhar­moni­sche Erhö­hun­gen (c/4) zum mitt­leren Ton hinzu­kommen, ist

2x3y5z = 2α/23β/25γ/2 · 2a · ((135/128)(25/24))b/4 · (81/80)c/4

nach a, b und c aufzu­lösen. Es ergibt sich:

c=(6y-4z+2γ-3β)/7   b=2y-2c-β   a=(2x+5b+2c-α)/2

Ist nunmehr k der ganz­zahlige Anteil von |b|/2 und l der von |c|/4, werden die Attri­bute
Alt(0)  = ""
Alt(1)  = "große"
Alt(-1) = "kleine"
Alt(b)  = "k-fach übermäßige"  für b>1
Alt(b)  = "k-fach verminderte" für b<-1

Enh(b,0) = ""
Enh(b,c) = "größere"         für c=1,2,3
Enh(b,c) = "kleinere"        für c=-1,-2,-3
Enh(b,c) = "l-fach scharfe"  für c>3 und k gerade
Enh(b,c) = "l-fach weite"    für c>3 und k ungerade
Enh(b,c) = "l-fach schwache" für c<-3 und k gerade
Enh(b,c) = "l-fach enge"     für c<-3 und k ungerade
zugeordnet, womit das Inter­vall „Enh(b,c) Alt(b) Name(n) plus a Oktaven“ lautet. Ein Beispiel: Für 1024/675 ist x=10, y=-3, z=-2, n=5 (Sexte), α=3, β=-1, γ=0, c=-1, b=-3, a=0, k=1 und l=0. Damit handelt es sich um eine „klei­nere 1-fach vermin­derte Sexte plus 0 Oktaven“, kurz die klei­nere vermin­derte Sexte. So steht es auch in einem deut­schen Musik­lexi­kon [2]. Doch die sich alle mögli­chen Inter­valle anhei­schig machende Huygens-​Fokker-​Liste [3] nennt eine enge vermin­derte Sexte.

Auch im deutschen Sprach­gebrauch verdrängt die Bezeich­nung pythago­reisch für 3-glatte Inter­valle gerne die syste­matische. So heißt die kleinere kleine Terz (32/27) pythago­reisch und in der Folge die grö­ßere (6/5) einfach (natür­liche) kleine Terz. Und es tut der all­gemei­nen Syste­matik auch keinen Abbruch, wenn sehr kleine Inter­valle und einige beson­dere einen zusätz­lichen Namen führen: Halbton, Ganzton, Chroma, Limma, Komma, Apotome, Diesis, Schisma, Ditonus, Tritonus.

[1] Ich habe eng und weit in Klammern gesetzt, weil es nicht mehr ist als mein Versuch, die in [3] so bezeich­neten Inter­valle in das deutsche System einzu­ordnen. Wie es richtig ist oder sein könnte, weiß ich nicht. Ich bin jedem dankbar, dem anerkannte Konzepte bekannt sind und sie mir in einem Kommen­tar darlegt.
[2] Habe nur noch die Kopie der Seiten 409 bis 413 zum Stich­wort Inter­vall. Darin sind leider nur die gängig­sten Inter­valle ver­zeichnet, daß ein Gesamt­system über sie hinaus nicht zu erkennen ist.
[3] Intervall-Liste. Huygens-​Fokker Foun­dation. Diese Liste nennt zwar mehr 5-glatte Inter­valle als [2], doch leider ist ein System nur in Ansätzen zu erkennen und nicht konse­quent umge­setzt.

Quinte | Dur

... comment

 
Wenn einer auf die Google-Anfrage "kann eine Oktave vermindert und übermäßig sein" hin mich an erster Stelle findet und zumindest auch anklickt, dann sollte er auch die richtige Antwort finden: Ja, es gibt sie, und zwar wie Sand am Meer. Das geht auch aus meinem Hauptbeitrag hervor, es steht nur nicht explizit da.

Die Intervalle C-cis, D-dis, ... sind allesamt übermäßige Oktaven, vermindert ist zum Beispiel C-ces, doppelt vermindert d-deses' oder Dis-des, dreifach übermäßig geses-gis'. Aber das erklärt ja eigentlich gar nichts, denn auf dieser Ebene ist es ja nur eine sprachliche Angelegenheit:

Wenn ein normal notierter Ton t2 um n Stufen (Linien, Zwischenräume) höher liegt als ein der Ton t1, erhält das Intervall t1-t2 einen Namen gemäß folgender Tabelle:
------------------------
    n  Name
------------------------
*  -4  Quinte abwärts
*  -3  Quarte abwärts
   -2  Terz abwärts 
   -1  Sekunde abwärts
*   0  Prime
    1  Sekunde aufwärts
    2  Terz aufwärts
*   3  Quarte aufwärts
*   4  Quinte aufwärts
    5  Sexte aufwärts
    6  Septim aufwärts
*   7  Otave aufwärts
    8  None aufwärts
    9  Dezime aufwärts
*  10  Undezime aufwärts
------------------------
In den mit einem Stern gekennzeichneten Fällen gilt weiterhin: Ist der Ton t2 mit "m Kreuzen mehr" versehen als t1, so erhält der Intervallname den folgenden Zusatz:
-----------------------
 m  Zusatz
-----------------------
-3  dreifach vermindert
-2  doppelt vermindert
-1  vermindert
 0  
 1  übermäßig
 2  doppelt übermäßig
 3  dreifach übermäßig
-----------------------
In den übrigen Fällen ist es wegen der Reihenfolge "...-vermindert-klein-groß-übermäßig-..." etwas schwieriger. Aber das ist alles in meinem Hauptbeitrag ausgebreitet. Darin ist zu lesen, wie man aus dem Schwingungsverhältnis eines 5-Limit-Intervalles auf seinen Namen kommt. Der umgekehrte Weg sollte dann leicht fallen. Auch die Ermittlung des Intervalls aus den Namen der Randtöne sowie die des Namens eines Randtones aus dem anderen bei gegebenem Intervall sollte danach möglich sein.

Auch für die übermäßige oder verminderte Oktave will ich hier nicht viel zu den Schwingungsverhältnissen sagen, denn im 5-Limit-Tonraum gibt es mehrere davon. Bei Beschränkung auf pythagoräische Intervalle (3-Limit) bleibt zwar nur ein Intervall übrig, doch ist es nicht das interessanteste, wichtigste, häufigste, kleinzahligste.

... link  


... comment
 
In Intervallnamen tritt der Zusatz pythago­reisch leider nicht nur als Ergänzung oder Zweit­bezeich­nung auf. So verzichtet die Huygens-​Fokker-​Liste gänzlich auf die Unter­schei­dung von größe­ren und klei­neren Inter­vallen und versucht, das eine pythago­reisch zu nennen, um sodann darauf zu ver­zichten, das andere (normale, natür­liche, reine) näher zu spezi­fizieren. Bei Terzen und Sexten klappt es einiger­maßen, weil von den vier zentralen zwei pythago­reisch und die anderen beiden natür­lich sind.

Bei Sekunden und Septimen muß man dafür aber deren Zentrum um ein halbes syntoni­sches Komma ver­schieben. Von √(6/5) nach unten auf √(32/27) bzw. von √(10/3) nach oben auf √(27/8). Die größeren Zähler und Nenner legen bereits nahe, daß dies keine gute Idee ist. Warum sollte die klein­zahli­gere größere kleine Sekunde (27/25, großes Limma, kleiner Halbton) für die groß­zahli­gere pytha­gorei­sche kleine Sekunde (256/243, Limma) das Zentrum räumen und der große Ganz­ton (9/8) seine Zen­trums­nähe an den klei­nen (10/9) abtreten? Einzig dafür spräche die Tatsache, daß dann das Sekun­den- und Septi­men-Schema gleich dem von Terzen und Sexten ohne Spiege­lung würde.

Außerdem beseitigt das unsäg­liche Wort pythago­reisch die Zusätze größer und kleiner bei über­mäßigen und vermin­derten Zusätze nicht mehr. Hier wird in der Huygens-​Fokker-​Liste unsyste­matisch von klas­sisch und und irgend­etwas anderem geredet. Es entsteht der Eindruck, man betrachte aus­schließ­lich das kleine Chroma (25/24) als Stan­dard-​Vermin­derung. Das leuchtet mir zwar als ein­facher und sinn­voller ein, nur muß man es dann auch konse­quent durch­ziehen. Zwar gilt einheitlich
klassische überm. Sekund : (größere) große Sek.   =   (75/64):(9/8)  = 25/24
klassische überm. Terz   : (kleinere) große Terz  =  (125/96):(5/4)  = 25/24
klassische überm. Quart  : reine Quart            =   (25/18):(4/3)  = 25/24
klassische überm. Quint  : reine Quint            =   (25/16):(3/2)  = 25/24
klassische überm. Sext   : (kleinere) große Sext  =  (125/72):(5/3)  = 25/24
klassische überm. Septim : (kleinere) große Sep.  =  (125/64):(15/8) = 25/24
klassisch vermind. Terz  : (größere) kleine Terz  = (144/125):(6/5)  = 24/25
klassisch vermind. Quart : reine Quart            =   (32/25):(4/3)  = 24/25
klassisch vermind. Quint : reine Quint            =   (36/25):(3/2)  = 24/25
klassisch vermind. Sext  : (größere) kleine Sext  = (192/125):(8/5)  = 24/25 
doch fällt auf, daß unter den vermin­derten Intervallen keine klassischen zur Sekunde und Septime gelistet sind. Welche Inter­valle müßten das sein?
Schema Mitte    - Quadrat:klass.üb = klass.ver = Huygens-Fokker-Name 
Sekund √(6/5)   -   (6/5):(75/64)  =  128/125  = kleine Diesis
Sekund √(32/27) - (32/27):(75/64)  = 2048/2025 = Diaschisma
Septim √(10/3)  -  (10/3):(125/64) =  128/75   = verminderte Septime
Septim √(27/8)  -  (27/8):(125/64) =  216/125  = erweiterte Sexte
Wieder sprechen die klei­neren Zahlen für die von mir und dem deut­schen Lexikon angenom­menen Mitten der gegen­über Terzen und Sexten gespie­gelten Schema­tates für Sekun­den und Sep­timen. Schlim­mer aber ist die erwei­terte Sexte. Doch nicht nur sie kratzt an der Sinn­haftig­keit in der Huygens-​Fokker-​Liste mit ihrem inkon­sequent durch­gezo­genen System, sofern eines beab­sichtigt war:
weite überm Terz · enge verm Terz =   (675/512)·(4096/3645) = 40/27
weite überm Sext · enge verm Sext = (3645/2048)·(1024/675)  = 27/10
Beide gehen an den auch von der Huygens-​Fokker-​Liste nicht bezwei­felten Mitten-​Quadra­ten 3/2 und 8/3 vorbei, weit und eng liegen nicht symme­trisch. Und gerne drückt man sich einfach um eine systema­tische komple­mentäre Benen­nung entgegen­gesetzter Inter­valle, wenn ein alter­nativer oder woher auch immer gezau­berten Name zur Verfü­gung steht:
 (6/5):weite überm Sek  =  (6/5):(1215/1024)= 2048/2025  = Diaschisma
 (3/2):weite überm Terz =  (3/2):(675/512)  =  256/225   = neapolit. Terz
 (3/2):enge verm Terz   =  (3/2):(4096/3645)=10935/8192  = Quarte+Schisma
(16/9):enge verm Ouart  = (16/9):(512/405)  =   45/32    = diat. Tritonus
 (9/4):weite über Quint =  (9/4):(405/256)  =   64/45    = 2. Tritonus
 (8/3):weite überm Sext =  (8/3):(3645/2048)=16384/10935 = Quinte-Schisma
(10/3):enge verm Septim = (10/3):(2048/1215)= 2025/1024  = dopp. Tritonus
Kurz gesagt: Die Huygens-​Fokker-​Liste ist allen­falls ein Anhalts­punkt, wie man den harten Kern der in meiner Auf­stel­lung fetten Inter­valle erwei­tern könnte. Zunächst habe ich den Wechsel von größe­ren und klei­neren bzw. solchen ohne Zusatz (manchmal rein oder natür­lich genannt) in der Hori­zon­talen zu stär­keren Alte­rie­rungen hin fortge­setzt. Danach wäre es sinnvoll gewesen, die für ein synto­nisches Komma über bzw. unter den klei­neren, grö­ßeren und reinen Inter­vallen verwen­deten Begriffe scharf und schwach eben­falls hori­zontal fortzu­setzen. Doch benutzt die Huygens-​Fokker-​Liste für die über­mäßigen weit statt scharf und für die vermin­derten eng statt schwach. Enge über­mäßige und weite vermin­derte kommen nicht vor. In meinem Streben, dem Chaos ein System zu ent­locken, habe als geistige Übung für die gerad­zah­ligen Alte­rierun­gen scharf und schwach, für die unge­raden weit und eng vorge­sehen, und zwar in Klammern zum Zeichen einer reinen Imagi­nation meiner­seits. Sinn­voller und ein­facher wäre einfach (weit)=scharf und (eng)=schwach.

... link  


... comment