Intervalle
Nachdem ich mich nun lang und breit über die gleichschwebenden Stimmungen, die pythagoreische Teilung und die Dur-Tonleiter ausgelassen habe, möchte ich für mich und vielleicht auch andere die Frage beantworten, warum in der Musik die Intervalle so komisch benannt werden und wie man darin ein System erkennen kann. Gerade Musiker mögen diese Frage vorschnell beantworten wollen und sagen: Der Grundname (Terz, Quinte usw.) kommt aus dem Abstand in der Siebentonleiter oder aus der Zahl der Linien und Zwischenräume im System der Notenlinien. Manche (Terz, Septime usw.) treten grundsätzlich in verschiedenen Größen (Schritten in der Zwölftonleiter) auf und heißen deshalb groß bzw. klein. Sollten Intervalle ausnahmsweise um einen Halbtonschritt zu groß oder zu klein sein, so heißen sie übermäßig oder vermindert.

Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren, doch sollte man sich dann Wörter wie Wolfsquinte oder Tritonus zur Verwirrung der Laien verkneifen, auch wenn man weiß, ob ein Tritonus größer oder kleiner als eine halbe Oktave und ob eine Wolfsquinte größer oder kleiner als eine reine ist. Kurz gesagt: Es kann nicht schaden, sich einmal im Leben zu überlegen, was die größere übermäßige Terz, die kleinere übermäßige Terz und die reine Quarte unterscheidet. Sehen wir uns einfach einen Ausschnitt aus einer gängigen Tabelle eines Musiklexikon an:
über c  Name des Intervalles            Verhältnis  Cent   i  j  k
------------------------------------------------------------------
e+      natürliche große Terz              5/4       386  -2  0  1
...     ........
eis+++  kleinere übermäßige Terz         125/96      457  -5 -1  3
eis++   größere übermäßige Terz          675/512     478  -9  3  2
f       pythagoreische reine Quarte        4/3       498   2 -1  0
[f]     5/12 Oktave                                  500
eis     pythagoreische übermäßige Terz 177147/131072 522 -17 11  0
geses-- doppelt verminderte Quinte       512/375     539   9 -1 -3
...     ........
g       pythagoreische reine Quinte        3/2       702  -1  1  0
Die Spalten i, j und k geben an, um wieviele Oktaven (2:1), Duodezimen (3:1) und "major seventeenth" (5:1) man sich vom vom Grundton wegbewegen muß, um den anderen Ton des Intervalles zu treffen. Somit bilden die drei Zahlen eigentlich eine gute exakte Bezeichnung aller Töne, die allein aus den Primfaktoren 2, 3 und 5 gebildet werden (5-limit). Sollte auf den 7. Naturton wert gelegt werden, könnte man einfach eine vierte Zahl l hinzunehmen.

Doch dieses System wird dem Menschen nicht gerecht. Die Spalten j und k mögen ihm noch inhaltlich bedeutend sein, weil sie die im Intervall steckenden Oberquinten bzw. Oberterzen angeben, doch die Zahl i der Oktaven ist mehr oder minder wertlos. Sie kann sogar ganz entfallen, wenn man sich auf Intervalle unterhalb einer Oktave beschränkt. Wie würde man also die Intervalle menschengerecht benennen, wenn man sich heute erneut vor diese Aufgabe gestellt sähe?

Meines Erachtens ist es ganz einfach: Alle wirklich relevanten Intervalle tummeln sich naturgemäß um die zwölf Intervalle der gleichmäßigen Temperatur, weshalb ich zur Verdeutlichung das [f] in die Tabelle aufgenommen habe. Es wäre also ein gutes System, Intervalle im ersten Schritt einfach nach der zugeordneten Zahl von zwölftel Oktaven zu benennen. Dabei sage ich "zugeordnet" und nicht "gerundet", weil im praktisch nicht vorkommenden Extremfall zwischen beiden Methoden Abweichungen bestehen könnten. So liegt ein eis++++ näher am [e] als am [f], gehört aber "logisch" zur Gruppe der dem [f] zugeordneten Töne.

Wie aber bestimmt man die "logische" Anzahl h der Halbtöne (zwölftel Oktaven), die in einem Intervall stecken, von dem man nur das Schwingungsverhältnis kennt. Die Anzahl wäre einfach h=x+y+z, wenn das Intervall aus x diatonischen Halbtönen H=16/15, y großen Chroma g=135/128 und z kleinen Chroma k=25/24 besteht. Die Berechnung der Zahlen x, y und z mag uneinsichtig sein, ergibt sich aber einfach aus dem Gleichungssystem
4x - 7y - 3z = i
-x + 3y -  z = j
-x +  y + 2z = K 
Es liegt in der Natur der Sache, daß die Lösungen für x, y und z ganzzahlig sind:
x =  7i + 11j + 16k
y =  3i +  5j +  7k
z =  2i +  3j +  5k
h = 12i + 19j + 28k
Damit kann die Tabelle um die Spalten x (diatonische Halbtöne), y (großes Chroma), z (kleines Chroma) und h (Halbtöne insgesamt) ergänzt werden. Hinzu kommen zwei weitere Spalten, deren Inhalte im weiteren Verlaufe des Textes erläutert werden. Die erste (7u) gibt die Übermäßigkeit u wieder, die zweite (14v) die Vergrößerung v.
über c  Name des Intervalles   i  j  k  x  y  z  h  7u 14v
----------------------------------------------------------
e+      nat. große Terz       -2  0  1  2  1  1  4   4  -2
...     ........
eis+++  kl. überm. Terz       -5 -1  3  2  1  2  5  11  -9 
eis++   gr. überm. Terz       -9  3  2  2  2  1  5  11   5
f       pyth. reine Quarte     2 -1  0  3  1  1  5  -1  -3
[f]     5/12 Oktave               0  0           5   0   0
eis     pyth. überm. Terz    -17 11  0  2  4 -1  5  11  33
geses-- doppelt verm. Quinte   9 -1 -3  4  1  0  5 -13   3
...     ........
g       pyth. reine Quinte    -1  1  0  4  2  1  7   1   3
Es wäre also sinnvoll Intervalle zunächst nach h zu benennen und ggf. durch die Angabe von j und k zu verfeinern. Dann hieße die kleinere übermäßige Terz von c nach eis+++ zunächst "5-Ton-Schritt" und bei genauerer Angabe "5-Ton-Schritt mit einer Unterquinte und drei Oberterzen". Doch will ich mich nicht mit Reformen wie den Zwanzigeins-Bestrebungen im Zahlsprech-Bereich aufhalten, sondern die vorfindlichen Intervallnamen ableiten. Und scharfes Hinsehen ergibt, daß der Wert x die Basis für die bekannte Grobbennnung ist. Das verwundert nicht, denn x ist die Anzahl der enthaltenen diatonischen Halbtöne H=16/15, was genau der Anzahl von Schritten der diatonischen Siebentonleiter entspricht. Somit ist klar: Bei x=0,1,2,3,... nennen wir das Intervall Prime, Sekunde, Terz, Quarte usw.

Wie aber erkenne ich, ob ein Intervall groß, klein, übermäßig oder vermindert ist? Dazu die folgende Überlegung: Ein Intervall aus x Schritten der Siebentonleiter sollte idealerweise h=(12/7)x Halbtöne groß sein. Der Wert u mit u=h-(12/7)x=(j+4k)/7 ist also ein gutes Maß für die Übermäßigkeit, das im Einklang mit den Vorstellungen der Musiker steht. In Prime und Qktave ist natürlich der Anteil der Halbtöne H exakt richtig (u=0), Quinte und Quarte sind sehr ausgewogen (|u|=1/7), die Extremfälle sind natürlich kleine Sekunde und große Septime (|u|=5/7). Mit dieser Erkenntnis kommt man zu folgenden genaueren Bezeichnungen:
                 7u=-1,0,1 (rein)
7u=2,3,4,5  groß (rein)        7u=-2,...,-5  klein (rein)
7u=6,...,12 übermäßig          7u=-6,...,-12 vermindert
7u=13,..,19 doppelt übermäßig  7u=-13,..,-19 doppelt vermindert
7u=20,..,26 dreifach übermäßig 7u=-20,..,-26 dreifach vermindert
Übermäßigkeit und Verminderung kommen also dadurch zustande, daß man ein Chroma hinzunimmt bzw. entfernt. Dabei hat man aber die Wahl zwischen kleinem und großem Chroma, so daß regelmäßig verschiedene Übermäßigkeiten und Verminderungen auftreten. Außerdem kann man das eine Chroma gegen das andere tauschen, womit Vergrößerungen und Verkleinerungen um ein syntonisches Komma von 81/80 zu allen Intervallen möglich sind.

Um sie namentlich zu unterscheiden, läge eine Wiederholung der zum Parameter u führenden Grundidee nahe: Da große und kleine Chroma in der Zwölftonleiter wie große und kleine Ganztöne in der Siebentonleiter im Verhältnis 3:2 vorkommen, wäre 2y-3z ein Maß für die Vergrößerung. Könnte ich dagegen am grünen Tisch über die Detailbennung entscheiden, würde ich wegen der Einfachheit eine Erhöhung um eine kleines Chroma (Verhältnis 0:1) als normal ansehen. Doch ist hier mein Ziel, das richtige Verhältnis aus der freien musikalischen Wildbahn abzuleiten. Da nur die Mikrotoniker eine umfangreichere Palette von Intervallen zu benennen bereit scheinen, versuche ich aus der Huygens-Fokker-Intervalliste das Prinzip zu erkennen:

Zunächst bestätigt sich das Verhältnis 0:1, da der Versatz um ein kleines Chroma mit dem Namenszusatz "klassisch" belegt wird, während der um ein großes Chroma "weit" bzw. "eng" heißt. Leider ist die Palette der benannten doppelt übermäßigen Töne sehr klein. Erwähnt sind ohne Namenszusatz nur die Übermäßigkeiten bzw. Verminderungen um jeweils ein großes und ein kleines Chroma, also im Verhältnis 1:1. Daran will ich mich für ein allgemeines System halten: Übermäßigkeiten und Verminderungen der normalen Intervalle entstehen durch wechselweise Hinzunahme des kleinen und des großen Chroma, wobei mit dem kleinen begonnen wird.

Die Grundlage für einen numerischen Wert v der Vergrößerung ist damit das gleichmäßige Anwachsen von y und z mit der Überhöhung u. Im Verhältnis 3:2 sollen also nicht y und z, sondern y-u/2 und z-u/2 stehen. Etwas Rechnerei führt auf einen Wert v=(3j-2k)/14. Natürlich steht v=0 für Ausgewogenheit und v=1 für eine Vergrößerung um 81/80, was dem Austausch eines kleinen Chroma gegen ein großes entspricht.

Es bleibt also wieder festzulegen, für welche v welche Bezeichnung zuzuordnen ist. Man muß sich wohl mit zwei Tabellen abfinden, nämlich eine für die geraden u und eine zweite für die ungeraden. Für die geraden ist es mit der Vergrößerung v ähnlich wie mit der Übermäßigkeit u:
             14v=-5,...,5 (normal)
14v=6,...,8  größer          14v=-6,...,-8  kleiner
14v=9,...,22 scharf          14v=-9,...,-22 schwach
14v=23,..,36 doppelt scharf  14v=-23,..,-36 doppelt schwach
14v=37,..,50 dreif. scharf   14v=-37,..,-50 dreif. schwach
Für ungerade u ist ein Wert w=14v+7 für positive u und ein Wert w=14v-7 für negative u gegeignet, beide Fälle in einer Tabelle zusammenzufassen:
             w=-7,...,+7 klassisch
w=8,...,21 weit              w=-8,...,-21 eng
w=22,..,35 doppelt weit      w=-22,..,-35 doppelt eng
w=36,..,49 dreifach weit     w=-36,..,-49 dreifach eng
Die Bennenungen mit "doppelt" und "dreifach" sollen lediglich das Prinzip verdeutlichen. Sie kommen praktisch nicht vor und heißen dann zumeist anders. Auch die normalen Intervalle haben gelegentlich von den hier abgeleiteten systematischen Namen abweichende Bezeichnungen. Für die eingangs erwähnten Beispiele ist die Übereinstimmung jedoch sehr gut:
über c  Name aus Lexikon     systematischer Name
--------------------------------------------------------
e+      nat. große Terz      (normale) große Terz
...     ........
eis+++  kl. überm. Terz      kleinere übermäßige Terz
eis++   gr. überm. Terz      größere übermäßige Terz
f       pyth. reine Quarte   (normale) reine Quarte
[f]     5/12 Oktave
eis     pyth. überm. Terz    doppelt scharfe überm. Terz
geses-- doppelt verm. Quinte doppelt verminderte Quinte
...     ........
g       pyth. reine Quinte   (normale) reine Quinte
20-1 | Quinte | Dur

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Wenn einer auf die Google-Anfrage "kann eine Oktave vermindert und übermäßig sein" hin mich an erster Stelle findet und zumindest auch anklickt, dann sollte er auch die richtige Antwort finden: Ja, es gibt sie, und zwar wie Sand am Meer. Das geht auch aus meinem Hauptbeitrag hervor, es steht nur nicht explizit da.

Die Intervalle C-cis, D-dis, ... sind allesamt übermäßige Oktaven, vermindert ist zum Beispiel C-ces, doppelt vermindert d-deses' oder Dis-des, dreifach übermäßig geses-gis'. Aber das erklärt ja eigentlich gar nichts, denn auf dieser Ebene ist es ja nur eine sprachliche Angelegenheit:

Wenn ein normal notierter Ton t2 um n Stufen (Linien, Zwischenräume) höher liegt als ein der Ton t1, erhält das Intervall t1-t2 einen Namen gemäß folgender Tabelle:
------------------------
    n  Name
------------------------
*  -4  Quinte abwärts
*  -3  Quarte abwärts
   -2  Terz abwärts 
   -1  Sekunde abwärts
*   0  Prime
    1  Sekunde aufwärts
    2  Terz aufwärts
*   3  Quarte aufwärts
*   4  Quinte aufwärts
    5  Sexte aufwärts
    6  Septim aufwärts
*   7  Otave aufwärts
    8  None aufwärts
    9  Dezime aufwärts
*  10  Undezime aufwärts
------------------------
In den mit einem Stern gekennzeichneten Fällen gilt weiterhin: Ist der Ton t2 mit "m Kreuzen mehr" versehen als t1, so erhält der Intervallname den folgenden Zusatz:
-----------------------
 m  Zusatz
-----------------------
-3  dreifach vermindert
-2  doppelt vermindert
-1  vermindert
 0  
 1  übermäßig
 2  doppelt übermäßig
 3  dreifach übermäßig
-----------------------
In den übrigen Fällen ist es wegen der Reihenfolge "...-vermindert-klein-groß-übermäßig-..." etwas schwieriger. Aber das ist alles in meinem Hauptbeitrag ausgebreitet. Darin ist zu lesen, wie man aus dem Schwingungsverhältnis eines 5-Limit-Intervalles auf seinen Namen kommt. Der umgekehrte Weg sollte dann leicht fallen. Auch die Ermittlung des Intervalls aus den Namen der Randtöne sowie die des Namens eines Randtones aus dem anderen bei gegebenem Intervall sollte danach möglich sein.

Auch für die übermäßige oder verminderte Oktave will ich hier nicht viel zu den Schwingungsverhältnissen sagen, denn im 5-Limit-Tonraum gibt es mehrere davon. Bei Beschränkung auf pythagoräische Intervalle (3-Limit) bleibt zwar nur ein Intervall übrig, doch ist es nicht das interessanteste, wichtigste, häufigste, kleinzahligste.

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