Intervalle
wuerg, 02.06.2005 02:06
Schon lange frage ich mich, warum musikalische Intervalle so komisch, so vielfältig und leider auch widersprüchlich benannt werden, ob dahinter wenigsten grundsätzlich ein System steckt, so verwirrend es auch erscheinen mag. Musiker mögen diese Frage vorschnell beantworten: Der Grundname (Terz, Quinte usw.) kommt aus dem Abstand in der Siebentonleiter oder aus der Zahl der Linien und Zwischenräume im System der Notenlinien. Manche Intervalle (Terz, Septime usw.) treten gerne in verschiedenen Größen (Halbtonschritten der Zwölftonleiter) auf und heißen deshalb groß bzw. klein. Sollten Intervalle ausnahmsweise um einen weiteren Halbtonschritt größer oder kleiner sein, heißen sie übermäßig oder vermindert.
Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren. Wer aber 5-glatte Intervalle genau benennen möchte, muß noch ein weiteres Attribut beifügen, etwa für Unterschiede von einem syntonischen Komma (81/80). So könnte die doppelt übermäßige Undezime von ‘Fes nach „his als dreifach enharmonisch kleiner bezeichnet werden, weil es um drei syntonische Kommas abwärts geht. Aber warum sollte dieses kleinzahlige Intervall 5625/2048 dreifach kleiner heißen, wenn in der Folge das normale (0-fach kleinere) 23914845/9388608 wäre. Diese Unschönheit würde gemildert, wenn für jede Alteration um eine Apotome (is, 2187/2048) ein oder zwei syntonische Kommas weniger gezählt würden. Dann entsprächen Erhöhungen einem großen Chroma (135/128) bzw. einem kleinen Chroma (25/24).
Wahrscheinlich ist es dem Umstand zu verdanken, daß die beiden natürlichen Terzen sich um ein kleines, der diatonische Halbton und der pythagoreische Ganzton aber um ein großes Chroma unterscheiden, daß die beiden Chromatates wechselweise zum Zuge kommen, weshalb die normalen doppelt übermäßigen Intervalle immer um 1125/1024 größer sind. Damit sehe ich nachstehende Schema:
Fett sind die nach einem deutschen Musiklexikon gesicherten Namen. Der Rest in Anlehnung an die Huygens-Focker-Intervall-Liste. [1]
Damit stelle zumindest ich mir die Frage: Wie bestimme ich zu einem 5-glatten Intervall die korrekte Bezeichnung? Bei einem Intervall aus x Zweien, y Dreien und z Fünfen bestimmt sich der grundlegende Name aus n=4y+2z modulo 7. Der nachstehenden Tabelle kann dann der mittlere Ton (im Schema mit OOOOO gekennzeichnet) und die Zusammensetzung seines Quadrates aus α Zweien, β Dreien und γ Fünfen entnommen werden:
2x3y5z = 2α/23β/25γ/2 · 2a · ((135/128)(25/24))b/4 · (81/80)c/4
nach a, b und c aufzulösen. Es ergibt sich:
c=(6y-4z+2γ-3β)/7 b=2y-2c-β a=(2x+5b+2c-α)/2
Ist nunmehr k der ganzzahlige Anteil von |b|/2 und l der von |c|/4, werden die Attribute
Auch im deutschen Sprachgebrauch verdrängt die Bezeichnung pythagoreisch für 3-glatte Intervalle gerne die systematische. So heißt die kleinere kleine Terz (32/27) pythagoreisch und in der Folge die größere (6/5) einfach (natürliche) kleine Terz. Und es tut der allgemeinen Systematik auch keinen Abbruch, wenn sehr kleine Intervalle und einige besondere einen zusätzlichen Namen führen: Halbton, Ganzton, Chroma, Limma, Komma, Apotome, Diesis, Schisma, Ditonus, Tritonus.
[1] Ich habe eng und weit in Klammern gesetzt, weil es nicht mehr ist als mein Versuch, die in [3] so bezeichneten Intervalle in das deutsche System einzuordnen. Wie es richtig ist oder sein könnte, weiß ich nicht. Ich bin jedem dankbar, dem anerkannte Konzepte bekannt sind und sie mir in einem Kommentar darlegt.
[2] Habe nur noch die Kopie der Seiten 409 bis 413 zum Stichwort Intervall. Darin sind leider nur die gängigsten Intervalle verzeichnet, daß ein Gesamtsystem über sie hinaus nicht zu erkennen ist.
[3] Intervall-Liste. Huygens-Fokker Foundation. Diese Liste nennt zwar mehr 5-glatte Intervalle als [2], doch leider ist ein System nur in Ansätzen zu erkennen und nicht konsequent umgesetzt.
Quinte | Dur
Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren. Wer aber 5-glatte Intervalle genau benennen möchte, muß noch ein weiteres Attribut beifügen, etwa für Unterschiede von einem syntonischen Komma (81/80). So könnte die doppelt übermäßige Undezime von ‘Fes nach „his als dreifach enharmonisch kleiner bezeichnet werden, weil es um drei syntonische Kommas abwärts geht. Aber warum sollte dieses kleinzahlige Intervall 5625/2048 dreifach kleiner heißen, wenn in der Folge das normale (0-fach kleinere) 23914845/9388608 wäre. Diese Unschönheit würde gemildert, wenn für jede Alteration um eine Apotome (is, 2187/2048) ein oder zwei syntonische Kommas weniger gezählt würden. Dann entsprächen Erhöhungen einem großen Chroma (135/128) bzw. einem kleinen Chroma (25/24).
Wahrscheinlich ist es dem Umstand zu verdanken, daß die beiden natürlichen Terzen sich um ein kleines, der diatonische Halbton und der pythagoreische Ganzton aber um ein großes Chroma unterscheiden, daß die beiden Chromatates wechselweise zum Zuge kommen, weshalb die normalen doppelt übermäßigen Intervalle immer um 1125/1024 größer sind. Damit sehe ich nachstehende Schema:
(weite) (weite) (weite) (weite) (weite) scharfe scharfe
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
scharfe \ / scharfe scharfe scharfe (weite)
doppelt scharfe doppelt doppelt übermä-
vermind / \ übermäß vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / \ / \
größere größere größere größere größere größere größere
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
doppelt +-----+ doppelt größere größere größere
vermin- |OOOOO| übermä- doppelt übermä-
derte +-----+ ßige vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / OOOOO / \
kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
schwache \ / schwache kleinere kleinere kleinere
doppelt schwache doppelt doppelt übermä-
vermind / \ übermäß vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / \ / \
(enge) (enge) (enge) (enge) (enge) schwache (enge)
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
/ \ / \ /
Intervalle zur Prime, Quarte, Quinte, schwache schwache (enge)
Oktave, Undezime, Dodezime, ... doppelt übermä-
vermind kleine ßige
135/128 (‚cis) 81/80 (‘c)
/ | Intervalle zur Terz, Sexte, Dezime,
1 (c) | Tredezime,... Für Sekunde, Septime,
\ | None, ... ist zu spiegeln und über-
25/24 („cis) 1 (c) mäßig mit vermindert zu tauschen
Fett sind die nach einem deutschen Musiklexikon gesicherten Namen. Der Rest in Anlehnung an die Huygens-Focker-Intervall-Liste. [1]
Damit stelle zumindest ich mir die Frage: Wie bestimme ich zu einem 5-glatten Intervall die korrekte Bezeichnung? Bei einem Intervall aus x Zweien, y Dreien und z Fünfen bestimmt sich der grundlegende Name aus n=4y+2z modulo 7. Der nachstehenden Tabelle kann dann der mittlere Ton (im Schema mit OOOOO gekennzeichnet) und die Zusammensetzung seines Quadrates aus α Zweien, β Dreien und γ Fünfen entnommen werden:
n Name(n) klein groß Mittel Quadrat α(n) β(n) γ(n) 0 Prime 1 1 1 0 0 0 1 Sekunde 16/15 9/8 √(6/5) 6/5 1 1 -1 2 Terz 6/5 5/4 √(3/2) 3/2 -1 1 0 3 Quarte 4/3 4/3 16/9 4 -2 0 4 Quinte 3/2 3/2 9/4 -2 2 0 5 Sexte 8/5 5/3 √(8/3) 8/3 3 -1 0 6 Septime 16/9 15/8 √(10/3) 10/3 1 -1 1Um zu ermitteln, wieviele Oktaven (a), Übermäßigkeiten (b/2) und enharmonische Erhöhungen (c/4) zum mittleren Ton hinzukommen, ist
2x3y5z = 2α/23β/25γ/2 · 2a · ((135/128)(25/24))b/4 · (81/80)c/4
nach a, b und c aufzulösen. Es ergibt sich:
c=(6y-4z+2γ-3β)/7 b=2y-2c-β a=(2x+5b+2c-α)/2
Ist nunmehr k der ganzzahlige Anteil von |b|/2 und l der von |c|/4, werden die Attribute
Alt(0) = "" Alt(1) = "große" Alt(-1) = "kleine" Alt(b) = "k-fach übermäßige" für b>1 Alt(b) = "k-fach verminderte" für b<-1 Enh(b,0) = "" Enh(b,c) = "größere" für c=1,2,3 Enh(b,c) = "kleinere" für c=-1,-2,-3 Enh(b,c) = "l-fach scharfe" für c>3 und k gerade Enh(b,c) = "l-fach weite" für c>3 und k ungerade Enh(b,c) = "l-fach schwache" für c<-3 und k gerade Enh(b,c) = "l-fach enge" für c<-3 und k ungeradezugeordnet, womit das Intervall „Enh(b,c) Alt(b) Name(n) plus a Oktaven“ lautet. Ein Beispiel: Für 1024/675 ist x=10, y=-3, z=-2, n=5 (Sexte), α=3, β=-1, γ=0, c=-1, b=-3, a=0, k=1 und l=0. Damit handelt es sich um eine „kleinere 1-fach verminderte Sexte plus 0 Oktaven“, kurz die kleinere verminderte Sexte. So steht es auch in einem deutschen Musiklexikon [2]. Doch die sich alle möglichen Intervalle anheischig machende Huygens-Fokker-Liste [3] nennt eine enge verminderte Sexte.
Auch im deutschen Sprachgebrauch verdrängt die Bezeichnung pythagoreisch für 3-glatte Intervalle gerne die systematische. So heißt die kleinere kleine Terz (32/27) pythagoreisch und in der Folge die größere (6/5) einfach (natürliche) kleine Terz. Und es tut der allgemeinen Systematik auch keinen Abbruch, wenn sehr kleine Intervalle und einige besondere einen zusätzlichen Namen führen: Halbton, Ganzton, Chroma, Limma, Komma, Apotome, Diesis, Schisma, Ditonus, Tritonus.
[1] Ich habe eng und weit in Klammern gesetzt, weil es nicht mehr ist als mein Versuch, die in [3] so bezeichneten Intervalle in das deutsche System einzuordnen. Wie es richtig ist oder sein könnte, weiß ich nicht. Ich bin jedem dankbar, dem anerkannte Konzepte bekannt sind und sie mir in einem Kommentar darlegt.
[2] Habe nur noch die Kopie der Seiten 409 bis 413 zum Stichwort Intervall. Darin sind leider nur die gängigsten Intervalle verzeichnet, daß ein Gesamtsystem über sie hinaus nicht zu erkennen ist.
[3] Intervall-Liste. Huygens-Fokker Foundation. Diese Liste nennt zwar mehr 5-glatte Intervalle als [2], doch leider ist ein System nur in Ansätzen zu erkennen und nicht konsequent umgesetzt.
Quinte | Dur
... comment
wuerg,
09.01.2009 00:30
Wenn einer auf die Google-Anfrage "kann eine Oktave vermindert und übermäßig sein" hin mich an erster Stelle findet und zumindest auch anklickt, dann sollte er auch die richtige Antwort finden: Ja, es gibt sie, und zwar wie Sand am Meer. Das geht auch aus meinem Hauptbeitrag hervor, es steht nur nicht explizit da.
Die Intervalle C-cis, D-dis, ... sind allesamt übermäßige Oktaven, vermindert ist zum Beispiel C-ces, doppelt vermindert d-deses' oder Dis-des, dreifach übermäßig geses-gis'. Aber das erklärt ja eigentlich gar nichts, denn auf dieser Ebene ist es ja nur eine sprachliche Angelegenheit:
Wenn ein normal notierter Ton t2 um n Stufen (Linien, Zwischenräume) höher liegt als ein der Ton t1, erhält das Intervall t1-t2 einen Namen gemäß folgender Tabelle:
Auch für die übermäßige oder verminderte Oktave will ich hier nicht viel zu den Schwingungsverhältnissen sagen, denn im 5-Limit-Tonraum gibt es mehrere davon. Bei Beschränkung auf pythagoräische Intervalle (3-Limit) bleibt zwar nur ein Intervall übrig, doch ist es nicht das interessanteste, wichtigste, häufigste, kleinzahligste.
Die Intervalle C-cis, D-dis, ... sind allesamt übermäßige Oktaven, vermindert ist zum Beispiel C-ces, doppelt vermindert d-deses' oder Dis-des, dreifach übermäßig geses-gis'. Aber das erklärt ja eigentlich gar nichts, denn auf dieser Ebene ist es ja nur eine sprachliche Angelegenheit:
Wenn ein normal notierter Ton t2 um n Stufen (Linien, Zwischenräume) höher liegt als ein der Ton t1, erhält das Intervall t1-t2 einen Namen gemäß folgender Tabelle:
------------------------
n Name
------------------------
* -4 Quinte abwärts
* -3 Quarte abwärts
-2 Terz abwärts
-1 Sekunde abwärts
* 0 Prime
1 Sekunde aufwärts
2 Terz aufwärts
* 3 Quarte aufwärts
* 4 Quinte aufwärts
5 Sexte aufwärts
6 Septim aufwärts
* 7 Otave aufwärts
8 None aufwärts
9 Dezime aufwärts
* 10 Undezime aufwärts
------------------------
In den mit einem Stern gekennzeichneten Fällen gilt weiterhin: Ist der Ton t2 mit "m Kreuzen mehr" versehen als t1, so erhält der Intervallname den folgenden Zusatz:
----------------------- m Zusatz ----------------------- -3 dreifach vermindert -2 doppelt vermindert -1 vermindert 0 1 übermäßig 2 doppelt übermäßig 3 dreifach übermäßig -----------------------In den übrigen Fällen ist es wegen der Reihenfolge "...-vermindert-klein-groß-übermäßig-..." etwas schwieriger. Aber das ist alles in meinem Hauptbeitrag ausgebreitet. Darin ist zu lesen, wie man aus dem Schwingungsverhältnis eines 5-Limit-Intervalles auf seinen Namen kommt. Der umgekehrte Weg sollte dann leicht fallen. Auch die Ermittlung des Intervalls aus den Namen der Randtöne sowie die des Namens eines Randtones aus dem anderen bei gegebenem Intervall sollte danach möglich sein.
Auch für die übermäßige oder verminderte Oktave will ich hier nicht viel zu den Schwingungsverhältnissen sagen, denn im 5-Limit-Tonraum gibt es mehrere davon. Bei Beschränkung auf pythagoräische Intervalle (3-Limit) bleibt zwar nur ein Intervall übrig, doch ist es nicht das interessanteste, wichtigste, häufigste, kleinzahligste.
... link
... comment
wuerg,
23.09.2023 22:22
In Intervallnamen tritt der Zusatz pythagoreisch leider nicht nur als Ergänzung oder Zweitbezeichnung auf. So verzichtet die Huygens-Fokker-Liste gänzlich auf die Unterscheidung von größeren und kleineren Intervallen und versucht, das eine pythagoreisch zu nennen, um sodann darauf zu verzichten, das andere (normale, natürliche, reine) näher zu spezifizieren. Bei Terzen und Sexten klappt es einigermaßen, weil von den vier zentralen zwei pythagoreisch und die anderen beiden natürlich sind.
Bei Sekunden und Septimen muß man dafür aber deren Zentrum um ein halbes syntonisches Komma verschieben. Von √(6/5) nach unten auf √(32/27) bzw. von √(10/3) nach oben auf √(27/8). Die größeren Zähler und Nenner legen bereits nahe, daß dies keine gute Idee ist. Warum sollte die kleinzahligere größere kleine Sekunde (27/25, großes Limma, kleiner Halbton) für die großzahligere pythagoreische kleine Sekunde (256/243, Limma) das Zentrum räumen und der große Ganzton (9/8) seine Zentrumsnähe an den kleinen (10/9) abtreten? Einzig dafür spräche die Tatsache, daß dann das Sekunden- und Septimen-Schema gleich dem von Terzen und Sexten ohne Spiegelung würde.
Außerdem beseitigt das unsägliche Wort pythagoreisch die Zusätze größer und kleiner bei übermäßigen und verminderten Zusätze nicht mehr. Hier wird in der Huygens-Fokker-Liste unsystematisch von klassisch und und irgendetwas anderem geredet. Es entsteht der Eindruck, man betrachte ausschließlich das kleine Chroma (25/24) als Standard-Verminderung. Das leuchtet mir zwar als einfacher und sinnvoller ein, nur muß man es dann auch konsequent durchziehen. Zwar gilt einheitlich
Bei Sekunden und Septimen muß man dafür aber deren Zentrum um ein halbes syntonisches Komma verschieben. Von √(6/5) nach unten auf √(32/27) bzw. von √(10/3) nach oben auf √(27/8). Die größeren Zähler und Nenner legen bereits nahe, daß dies keine gute Idee ist. Warum sollte die kleinzahligere größere kleine Sekunde (27/25, großes Limma, kleiner Halbton) für die großzahligere pythagoreische kleine Sekunde (256/243, Limma) das Zentrum räumen und der große Ganzton (9/8) seine Zentrumsnähe an den kleinen (10/9) abtreten? Einzig dafür spräche die Tatsache, daß dann das Sekunden- und Septimen-Schema gleich dem von Terzen und Sexten ohne Spiegelung würde.
Außerdem beseitigt das unsägliche Wort pythagoreisch die Zusätze größer und kleiner bei übermäßigen und verminderten Zusätze nicht mehr. Hier wird in der Huygens-Fokker-Liste unsystematisch von klassisch und und irgendetwas anderem geredet. Es entsteht der Eindruck, man betrachte ausschließlich das kleine Chroma (25/24) als Standard-Verminderung. Das leuchtet mir zwar als einfacher und sinnvoller ein, nur muß man es dann auch konsequent durchziehen. Zwar gilt einheitlich
klassische überm. Sekund : (größere) große Sek. = (75/64):(9/8) = 25/24 klassische überm. Terz : (kleinere) große Terz = (125/96):(5/4) = 25/24 klassische überm. Quart : reine Quart = (25/18):(4/3) = 25/24 klassische überm. Quint : reine Quint = (25/16):(3/2) = 25/24 klassische überm. Sext : (kleinere) große Sext = (125/72):(5/3) = 25/24 klassische überm. Septim : (kleinere) große Sep. = (125/64):(15/8) = 25/24 klassisch vermind. Terz : (größere) kleine Terz = (144/125):(6/5) = 24/25 klassisch vermind. Quart : reine Quart = (32/25):(4/3) = 24/25 klassisch vermind. Quint : reine Quint = (36/25):(3/2) = 24/25 klassisch vermind. Sext : (größere) kleine Sext = (192/125):(8/5) = 24/25doch fällt auf, daß unter den verminderten Intervallen keine klassischen zur Sekunde und Septime gelistet sind. Welche Intervalle müßten das sein?
Schema Mitte - Quadrat:klass.üb = klass.ver = Huygens-Fokker-Name Sekund √(6/5) - (6/5):(75/64) = 128/125 = kleine Diesis Sekund √(32/27) - (32/27):(75/64) = 2048/2025 = Diaschisma Septim √(10/3) - (10/3):(125/64) = 128/75 = verminderte Septime Septim √(27/8) - (27/8):(125/64) = 216/125 = erweiterte SexteWieder sprechen die kleineren Zahlen für die von mir und dem deutschen Lexikon angenommenen Mitten der gegenüber Terzen und Sexten gespiegelten Schematates für Sekunden und Septimen. Schlimmer aber ist die erweiterte Sexte. Doch nicht nur sie kratzt an der Sinnhaftigkeit in der Huygens-Fokker-Liste mit ihrem inkonsequent durchgezogenen System, sofern eines beabsichtigt war:
weite überm Terz · enge verm Terz = (675/512)·(4096/3645) = 40/27 weite überm Sext · enge verm Sext = (3645/2048)·(1024/675) = 27/10Beide gehen an den auch von der Huygens-Fokker-Liste nicht bezweifelten Mitten-Quadraten 3/2 und 8/3 vorbei, weit und eng liegen nicht symmetrisch. Und gerne drückt man sich einfach um eine systematische komplementäre Benennung entgegengesetzter Intervalle, wenn ein alternativer oder woher auch immer gezauberten Name zur Verfügung steht:
(6/5):weite überm Sek = (6/5):(1215/1024)= 2048/2025 = Diaschisma (3/2):weite überm Terz = (3/2):(675/512) = 256/225 = neapolit. Terz (3/2):enge verm Terz = (3/2):(4096/3645)=10935/8192 = Quarte+Schisma (16/9):enge verm Ouart = (16/9):(512/405) = 45/32 = diat. Tritonus (9/4):weite über Quint = (9/4):(405/256) = 64/45 = 2. Tritonus (8/3):weite überm Sext = (8/3):(3645/2048)=16384/10935 = Quinte-Schisma (10/3):enge verm Septim = (10/3):(2048/1215)= 2025/1024 = dopp. TritonusKurz gesagt: Die Huygens-Fokker-Liste ist allenfalls ein Anhaltspunkt, wie man den harten Kern der in meiner Aufstellung fetten Intervalle erweitern könnte. Zunächst habe ich den Wechsel von größeren und kleineren bzw. solchen ohne Zusatz (manchmal rein oder natürlich genannt) in der Horizontalen zu stärkeren Alterierungen hin fortgesetzt. Danach wäre es sinnvoll gewesen, die für ein syntonisches Komma über bzw. unter den kleineren, größeren und reinen Intervallen verwendeten Begriffe scharf und schwach ebenfalls horizontal fortzusetzen. Doch benutzt die Huygens-Fokker-Liste für die übermäßigen weit statt scharf und für die verminderten eng statt schwach. Enge übermäßige und weite verminderte kommen nicht vor. In meinem Streben, dem Chaos ein System zu entlocken, habe als geistige Übung für die geradzahligen Alterierungen scharf und schwach, für die ungeraden weit und eng vorgesehen, und zwar in Klammern zum Zeichen einer reinen Imagination meinerseits. Sinnvoller und einfacher wäre einfach (weit)=scharf und (eng)=schwach.
... link
... comment
