Dur
wuerg, 25.05.2005 01:40
Schon vor der Erfindung der Musik wiesen die Laute des Menschen und der Natur eine spektrale Zusammensetzung in vorzugsnäherungsweisen [1] kleinzahligen Frequenzverhältnissen auf. Spätestens die alten Griechen erkannten Saitenlängen in den Verhältnissen 2:1 (Oktave) und 3:2 (Quinte) als harmonisch zusammenklingend. Doch die Götter versagten ihnen auch hier kommensurable Verhältnisse. Keine m Quinten würden jemals genau n Oktaven treffen. Zum Trost gaben sie recht kleinen Verhältnissen noch heute gebräuchliche Namen:
Auch die Griechen kammen auf den Trichter, über die 3-glatten Verhältnisse zu den 5- oder gar 7-glatten aufzusteigen. Und mit den Jahrhunderten wurde auch das gut singbare Verhältnis 5:4 als harmonisch anerkannt. Damit standen für eine Teilung der Oktave nicht nur die Intervalle 3/2, 4/3, 9/8, 32/27, 81/64, 32/27, 256/243, ... sondern mit 5/4, 6/5, 10/9, 16/25, 25/24, 27/25, 81/80, 128/125, 135/128, ... auch eine ganze Reihe neuer geringer Größe bei kleinzahligen Verhältnissen zur Verfügung.
Automatisch entsteht die Frage, wie man aus bis zu dreien dieser Intervalle eine Oktave exakt zusammensetzen kann. Nicht alle Kombinationen sind sinnvoll oder gar möglich. Hier nur die drei Siebenteilungen mit Intervallen, deren Zähler und Nenner 256 nicht übersteigen und von denen das größte kleiner ist als zwei der kleinsten:
[1] Im folgenden geht es um die Teilung der ungestreckten reinen Oktave, gleichwohl die Schwingungsverhältnisse der Natur keineswegs immer exakt rational sind. An ihnen hat der normale Mensch sein Gehör ausgebildet, nicht am Monochord, am Stimmgerät, in der Hochschule für Musik oder auf dem Reißbrett.
[2] Das Eulersche Tonnetz zeigt alle 5-glatten Intervalle. Ein Schritt nach rechts entspricht einem Faktor 3, einer nach oben einem Faktor 5. Sich um 2 unterscheidende Töne werden als gleich gesehen. Töne mit n führenden Tief- bzw. Hochkommas sind n syntonische Kommatates (81/80) tiefer bzw. höher als die gleichnamigen pythagoreischen.
Oktave | Quinte
23 : (3/2)5 = 28 /35 = 256/243 = Diesis ≈ 1,054
(3/2)7 : 24 = 37 /211 = 2187/2048 = Apotome ≈ 1,068
(3/2)12 : 27 = 312/219 = 531441/524288 = Komma ≈ 1,014
Dank der Volksmusik setzte sich die ungenaueste Variante mit sieben Tönen pro Oktave durch, zu deren Rechtfertigung Gebäude aus Tetrachorden errichtet wurden, denen wir letztlich die sieben Töne F-c-g-d'-a'-e"-h" im Abstand reiner Quinten verdanken. Durch Oktavierung und Anhängen von -is oder -es für jede Erhöhung bzw. Erniedrigung um eine Apotome entsteht ein heute pythagoreisch genanntes Universum von Tönen.Auch die Griechen kammen auf den Trichter, über die 3-glatten Verhältnisse zu den 5- oder gar 7-glatten aufzusteigen. Und mit den Jahrhunderten wurde auch das gut singbare Verhältnis 5:4 als harmonisch anerkannt. Damit standen für eine Teilung der Oktave nicht nur die Intervalle 3/2, 4/3, 9/8, 32/27, 81/64, 32/27, 256/243, ... sondern mit 5/4, 6/5, 10/9, 16/25, 25/24, 27/25, 81/80, 128/125, 135/128, ... auch eine ganze Reihe neuer geringer Größe bei kleinzahligen Verhältnissen zur Verfügung.
Automatisch entsteht die Frage, wie man aus bis zu dreien dieser Intervalle eine Oktave exakt zusammensetzen kann. Nicht alle Kombinationen sind sinnvoll oder gar möglich. Hier nur die drei Siebenteilungen mit Intervallen, deren Zähler und Nenner 256 nicht übersteigen und von denen das größte kleiner ist als zwei der kleinsten:
1. (125/108)1 · (10/9)3 · (27/25)3 = 2 (140/10) 2. (9/8)1 · (10/9)4 · (27/25)2 = 2 (105/9) 3. (9/8)3 · (10/9)2 · (16/15)2 = 2 (210/18)In Klammern die Anzahl der Möglichkeiten insgesamt und solche, die unter Rotation und Spiegelung verschieden sind. Betrachtet man die insgesamt 37 Fälle, so ragt einer mit sechs reinen Quinten heraus. Alle anderen weisen keine fünf auf. Diese eine Teilung führt auf die einzig akzeptablen Teilungen
... G K G H:G K H G K G H:G K H G K G H ... (Dur) ... G K:G H K G H G K:G H K G H G K G H ... (Moll)mit G=9/8 (großer Ganzton), K=10/9 (kleiner Ganzton) und H=16/15 (diatonischer Halbton). Es handelt sich um die Dur- und die Moll-Teilung der Oktave, aus der unsere Dur- und Moll-Tonleitern entstehen, zu denen Musiker die mit einem Doppelpunkt gekennzeichneten Positionen als Grundton sehen. Es verwundert nicht, daß sie die kompakteste Darstellung im Eulerschen Tonnetz [2] aufweisen. Hier für C-Dur und ‚a-moll:
‚a ‚e ‚h ‚d--‚a--‚e--‚h 5/4 |\ |\ |\ \ |\ |\ | | | \ | \ | \ \ | \ | \ | | | \| \| \ \| \| \| | f---c---g---d f c g 1/1---3/2Man sieht nicht nur die drei Dur- bzw. Moll-Dreiklänge (Dreiecke mit Spitze oben bzw. unten) und das um ein syntonisches Komma (81/80) abweichende d, sondern auch, daß Dur den größten gemeinsamen Unterton umfaßt (f in C-Dur), Moll jedoch nicht (b in a-moll). Damit ist die Dur-Teilung nicht eine von zwei guten, sondern die bessere. Sich damit rauszureden, daß eine Moll-Tonleiter dafür den kleinsten gemeinsamen Oberton enthält (h im Falle von a-moll), Dur jedoch nicht, geht an der physikalischen Realität vorbei.
[1] Im folgenden geht es um die Teilung der ungestreckten reinen Oktave, gleichwohl die Schwingungsverhältnisse der Natur keineswegs immer exakt rational sind. An ihnen hat der normale Mensch sein Gehör ausgebildet, nicht am Monochord, am Stimmgerät, in der Hochschule für Musik oder auf dem Reißbrett.
[2] Das Eulersche Tonnetz zeigt alle 5-glatten Intervalle. Ein Schritt nach rechts entspricht einem Faktor 3, einer nach oben einem Faktor 5. Sich um 2 unterscheidende Töne werden als gleich gesehen. Töne mit n führenden Tief- bzw. Hochkommas sind n syntonische Kommatates (81/80) tiefer bzw. höher als die gleichnamigen pythagoreischen.
Oktave | Quinte
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