Dur
Im Laufe der Geschichte hat sich unsere heutige Zwölfteilung der Oktave entwickelt. Und damit wird deren Evolution wohl nicht zufällig ein Ende finden. Außerirdische oder Delphine mit einem exakteren Gehör mögen zu anderen Ergebnissen kommen, wie das menschliche Auge auch sehr feine Intervalle (Farbstiche) erkennen kann. Dafür sieht es aber nur eine Oktave. Deshalb geht es hier nicht um die Zahl der Töne pro Oktave, sondern nur noch um ihre Detailpositionierung und Auswahl.

Soll ein Klavier auch in Tonarten mit vielen Kreuzen und B verwendet werden, dann liegt die gleichmäßige Stimmung nahe: [c]-[cis]-[d]-[dis]-[e]-[f]-[fis]-[g]-[gis]-[a]-[ais]-[h]-[c]. Die Klammer habe ich nicht nur zum Spaß geschrieben, denn [cis] ist zum Beispiel nicht cis, sondern liegt genau eine zwölftel Oktave über [c]=c, woraus sofort [cis]=[des] folgt, sich also die Frage erübrigt, warum ich für die schwarzen Tasten nur Tonerhöhungen genommen habe.

In den Bezeichnungen bevorzuge ich die mit "-is", weil eine systematische pythagoreische Anordnung von 11 reinen Quinten zum Grundton f führt: f-c-g-d-a-e-h-fis-cis-gis-dis-ais. Diese Reihe ist auch gleichzeitig eine Definition der Bezeichnungen. Somit steht "-is" für 2187/2048, was mit 114 Cent deutlich größer ist als ein Halbton "[-is]" von genau 100 Cent. In der pythagoreischen Anordnung folgt als zwölfte die Quinte ais-eis mit 702 Cent. Wird das eis aber als f ausgeführt, so erklingt die pythagoreische verminderte Sexte ais-f mit nur 678 Cent. Ein eis liegt 23 Cent über dem f. Das ist das pythagoreische Komma.

Die Griechen hatten nicht die geistige Freiheit, eine gleichmäßige Stimmung zu akzeptieren. So überzogen sie die Musik mit reinen Quinten und absurden Schwingungsverhältnissen. Erfolgreich damit waren ihre Nachfolger nur deshalb, weil alles glücklicherweise einigermaßen auf die von Menschen ohne Theorie geträllerten Lieder paßte, die zumeist mit sieben Tönen auskamen. Welche Intervalle diese sieben Töne genau bilden, kann man nach dem Gehör wohl schlecht sagen.

Es gibt aber mehrere Ansätze, die letztlich auf unsere Dur Tonleiter führen: f/g/a+/h+/c/d/e+. Darin soll das + für die Erniedrigung um ein syntonisches Komma von 81/80 stehen. Es wird normalerweise mit einem Strich über dem Namen gekennzeichent, was sich hier aber schwer darstellen läßt. Wie bei den Schulnoten eine 2+ nicht größer, sondern mit 1,7 kleiner ist als 2, so ist ein e+ nicht höher, sondern tiefer als ein e. Das Pluszeichen (im Original Überstreichung) soll andeuten, wieviele Terzen (Fünfen) darin stecken. So enthält e:c=81/64=3*3*3*3/2*2*2*2*2*2 nach reiner pythagorischer Lehre keine einzige 5 und das viel schlichtere Intervall e+:c=5/4 eben genau eine.

Von wenig oder nur geschichtlicher Bedeutung ist wohl die Aneinanderfügung von zwei Tetrachorden g-a-h-c und c-d-e-f, zumal auch nicht klar ist, wie groß darin die Intervalle g-a und c-d sein sollen. Vernünftig ist, sie beide gleich groß zu machen und 10/9 statt 9/8 zu wählen, womit man zu Moll statt Dur käme: f/g/a+/h+/c/d+/e+. Man beachte, daß es mir hier nur um die Tonauswahl geht, weshalb ich nicht von einem (willkürlichen) Grundton aus notiere.

Zielführender ist es, unsere Tonleiter als Hintereinanderfügung von drei Dur-Dreiklängen f-a-c, c-e-g und g-h-d zu sehen, womit dann auch klar wäre, daß die mittleren Töne a, e und h als große Terzen (5:4) über f, c und g nicht die pythagoreischen, sondern die um ein syntonisches Komma (81/89) verminderten sind. Wir erhalten f/g/a+/h+/c/d/e+, was aber nicht verwundert: Wo man Dur reinsteckt, kommt auch Dur wieder raus. Das ist aber keine Benachteiligung des Moll-Dreiklanges, dem mit Schwingungsverhältnissen 36:40:45 zumindest nicht die gleiche physikalische Realität zukommt wie dem Dur-Dreiklang mit 8:9:10.

Ein historisch und musikalisch weit unbelasteterer Ansatz aber ist, eine Tonleiter aus möglichst einfachen Intervallen zu bilden, in denen über Pythagoras hinaus auch der Primfaktor 5 vorkommen darf. Da bieten sich nach den für eine Tonleiter zu großen 3/2, 4/3, 5/4 und 6/5 Intervallen die nächsten drei an, nämlich 9/8, 10/9 und 16/15. Wenn diese drei sich zu einer Oktave zusammenfügen lassen sollen, so muß es natürliche Zahlen x, y und z geben, daß (9/8)^x*(10/9)^y+(16/15)^z=2 ist. Das führt auf das Gleichungssystem
-3x +  y + 4z = 1
 2x - 2y -  z = 0
       y -  z = 0
mit der Lösung x=3 (drei große Ganztöne G=9/8), y=2 (zwei kleine Ganztöne K=10/9) und z=2 (zwei Halbtöne H=16/15). Es verbleibt aber die Frage, in welcher Reihefolge man die Intervalle anordnet. Tonleitern kann man daraus 6!/(3!*2!*2!)=210 bilden. Da es auf den Grundton nicht ankommt, bleiben 210/7=30. Von den sechs möglichen Terzen sind die aus zwei gleichen Intervallen (GG, KK und HH) sehr schlecht. Es verbleiben die drei übrigen: GK=5/4 (reine große Terz), GH=6/5 (reine kleine Terz) und KH=32/27 (pythagoreische kleine Terz). Letztere läßt sich nicht vermeiden, wohl aber GG, KK und HH. So verbleiben vier Teilungen der Oktave:
GKGHGKH GHGKGHK GKGHGHK GHGKGKH
Allen vier gemeinsam sind je eine Quarte GKG=45/32 (Tritonus) und eine Quarte GHG=27/20 (?). Die ersten beiden Teilungen weisen zusätzlich fünf reine Quarten GKH=4/3 auf, die beiden übrigen nur drei, weil in ihnen die beiden Halbtöne und die beiden kleinen Ganztöne nicht in maximaler Entfernung liegen. Damit sind wir bei nur noch zwei Teilungen angekommen:
Dur:  ... G K H G K G H G K H G K G H ...
moll: ... K G H G K G H K G H G K G H ...
Manche mögen darin eine gewisse Symmetrie erkennen, denn beide Zyklen sind nur in der Drehrichtung vertauscht. Doch die Physik kennt keine Symmetrie zwischen Ober- und Untertönen. Zeichnet man wie üblich Quinten nach rechts und große Terzen nach oben, so bilden Dur und moll folgende Diagramme
a+  e+  h+    d---a---e---h
| \ | \ | \    \  |\  |\  | 
|  \|  \|  \    \ | \ | \ |
f---c---g---d    f-  c-  g-
in denen die Dreiklänge durch Dreiecke wiedergegeben sind. Das linke Diagramm gibt die Töne einer C-Dur-Leiter wieder, die sämtlich Obertöne von f sind, während im rechten Beispiel einer a-moll-Leiter der Grundton b- gar nicht zur Tonleiter gehört. Daß es sich um Untertöne von h handelt, ist eine formale Symmetrie ohne physikalische Grundlage. Und tatsächlich würde moll in der musikalischen Praxis zurückfallen, wenn die Musiker nicht beständig für Ausgleich sorgen würden. Sie sind schließlich der Kunst und nicht der Einfachheit verpflichtet.

Damit ist nun die Dur-Tonleiter als die natürliche erkannt, ohne den Wert anderer Tonauswahlen und Stimmungen schmälern zu wollen. Es bleibt nur noch zu klären, welche Töne man natürlicherweise auf die schwarzen Tasten legt, wenn die weißen eine C-Dur-Leiter bilden. Zunächst möchte man auch in der Zwölftonleiter nur drei verschiedene Intervalle haben, alle ungefähr von der Größe 100 Cent. Der Halbton H=16/15 hat 118 Cent. Er spaltet vom großen Ganzton G das große Chroma g=135/128 (92 Cent) und vom kleinen Ganzton K das kleine Chroma k=25/24 (70 Cent) ab.

Ich halte es für sinnvoll, wenn die Intervalle von den schwarzen zu den rechts oder zu den links daneben liegenden alle gleich sind. Damit ergeben sich die zwei Möglichkeiten
    a---e---h             gis-dis-ais
    |   |   |             |   |   | 
b---f---c---g---d     a---e---h---fis--cis 
|   |   |   |         |   |   |   | 
ges-des-as--es        f---c---g---d
die das gleiche Muster und deshalb auch den gleichen Zyklus in der Tonfolge bilden. Damit wäre geklärt, wie die Oktave in 7 Halbtöne H, drei große Chroma(ta?) g und zwei kleine Chroma(s?) k zu teilen ist. Offen bleibt allerdings, welche der beiden Möglichkeiten man auf dem Klavier realisiert. Ich persönlich würde keine der beiden nehmen, da in jedem Falle nur zwei reine Dur-Tonleitern enthalten sind. Anderen ging es ebenso. Sie haben immer wieder an den Tönen kleine Abweichungen angebracht. Das nützt aber alles nicht viel. Entweder nimmt man mehr als 12 Töne oder man legt sie in gleichen Abständen. Das ist Dur und auch moll genug für ein normales Gehör.

Oktave | Quinte

... comment

 
Die Kettenbruchentwicklung von ld(3/2) führt zur Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Fünf wären zu ungenau, 41 oder gar 53 zuviel. Da alle Töne gleich weit voneinander entfernt sind, gibt es auch nur eine Abbildung dieser 12 Töne auf die Tastatur des Klavieres. Die Bezeichnungen der Töne dieser gleichschwebenden Stimmung lauten
c [cis] [d] [dis] [e] [f] [fis] [g] [gis] [a] [ais] [h]
Die Griechen konnten mit derartigen Ungenauigkeiten nichts anfangen und bildeten die Töne durch Hinzunahme von Quinten zu einem Grundton. Elf aufeinanderfolgende Quinten teilen die Oktave gemäß
"...ALALALLALALLALALALLALALL..." in zwölf Intervalle. Darin steht L für das pythagoreische Limma (256/243, 90 Cent) und A für die pythagoreische Apotome (2187/2048, 114 Cent). Es gibt 12 Möglichkeiten der Abbildung auf die Tasten des Klavieres. Wenn man aber eine Quinte nach der anderen hinzunimmt und nach sechsen die weißen Tasten belegt haben will, dann muß f der Grundton sein. Somit betrachte ich als die grundlegende pythagoreische Stimmung
c - cis - d - dis - e - f - fis - g - gis - a - ais - h
Es spricht einiges dafür, daß beim Singen einfacher Melodien kleinzahlige Intervalle bevorzugt werden, darunter auch die reine Terz (5/4). Das auf dieser Ansicht basierte Streben, die Oktave in einfache und wenige verschiedene Intervalle zu teilen, führt auf die Dur-Tonleiter, die für C-Dur wie folgt aussieht:
c ----- d ----- e+ -- f ----- g ----- a+ ---- h+ -- c
Das Problem der Einbettung in eine Zwölftonskala ist aber noch nicht zufriedenstellend beantwortet. Zwar müssen die fünf neuen Töne von den Ganztönen (G=9/8 und K=10/9) jeweils einen Halbton (H=16/15) abspalten, um nicht mehr als drei verschieden große Intervalle zu bilden, doch kann dies in 32-facher Weise geschehen. Die drei Intervalle sind neben den Halbton H=16/15 das große Chroma g=135/128 und das kleine Chroma k=25/24. Insgesamt sind mit diesen dreien (12!/(7!*3!*2!))/12=660 verschiedene Teilungen möglich, doch nur 32 davon sind Verfeinerungen der Dur-Tonleiter.

Das sind immer noch zuviel, doch reduziert sich die Anzahl auf 12, wenn man sinnvollerweise fordert, daß nur drei verschiedenen Ganztonschritte auftreten dürfen. Da gH=G=9/8 (großer Ganzton), kH=K=10/9 (kleiner Ganzton) und HH=256/225 (verminderte Terz) unvermeidlich sind, sollen keine anderen zugelassen sein. Damit verbleiben
 G   K   G  H  G   K  H
-----------------------
H g H k H g H H g H k H
H g H k H g H g H H k H  *
H g H k H g H g H k H H  *
g H H k H g H H g H k H
g H H k H g H g H H k H  *
g H H k H g H g H k H H  *
g H k H H g H H g H k H  #
g H k H H g H g H H k H  *
g H k H H g H g H k H H  *
g H k H g H H H g H k H  *
g H k H g H H g H H k H  #
g H k H g H H g H k H H 
Auch bei drei Tonschritten (normalerweise kleine Terzen) sollen nur drei verschiedene akzeptiert werden. Unvermeidlich sind gHH=6/5 (reine kleine Terz), kHH=32/27 (pythagoreische kleine Terz) und gkH=75/64 (übermäßige Sekunde). Die mit * gekennzeichneten Möglichkeiten entfallen damit. Sie haben drei Halbtöne hintereinander (HHH) oder zwei große Limma zu nah beieinander (gHg).

Der Versuch, diese Anzahl von 5 weiter zu reduzieren, indem man nur drei verschieden Intervalle aus vier Schritten (normalerweise große Terzen) zuläßt, scheitert leider, denn alle fünf Möglichkeiten weisen siebenmal gkHH=5/4 (reine große Terz), dreimal gHHH=32/25 (größere verminderte Quarte), einmal ggHH=81/64 (pythagoreische große Terz) und einmal kHHH=512/405 (kleinere verminderte Quarte) auf. Mit fünf Tonschritten (normalerweise Quarten) aber haben wir mehr Glück. Die mit # gekennzeichneten weisen vier verschiedene auf, weil die beiden kleinen Chroma zu nah beieinander liegen. Die verbleibenden haben neunmal gkHHH=4/3 (reine Quarte), zweimal ggHHH=27/20 (?) und einmal ggkHH=675/512 (größere übermäßige Terz).

Leider ist neben den beiden bereits betrachteten sinnvollen Möglichkeiten (H immer unten oder immer oben abgespalten) noch eine weitere übriggeblieben. Als Erweiterungen von C-Dur sehen die drei Skalen wie folgt aus:
c  des-  d  es-    e   f  ges-  g  as-   a    b      h
c  des-  d  es-    e   f  fis+  g  as-   a    b      h
c  cis+  d  dis++  e+  f  fis+  g  gis   a+   ais++  h+

    a---e---h           a---e---h---fis     gis-dis-ais
    |   |   |           |   |   |   |       |   |   | 
b---f---c---g---d   b---f---c---g---d   a---e---h---fis--cis 
|   |   |   |           |   |   |       |   |   |   | 
ges-des-as--es          des-as--es      f---c---g---d
Die mittlere Möglichkeit fällt dadurch dumm auf, daß sie nur eine einzige Dur-Tonleiter umfaßt, während die beiden anderen es auf zwei bringen. Ist das aber ein Grund, sie ausscheiden zu lassen? Im Gegenzuge enthält sie zwei Moll-Tonarten, die anderen nur eine. Betrachten wir die Lage der drei unreinen Intervalle aus fünf Schritten oder andersherum die aus sieben (normalerweise Quinten): Die unreinen (nicht 3/2) Quinten bauen immer auf den rechten drei Tönen des Diagrammes auf. Die Quinte d-a (40/27) ist in allen drei Möglichkeiten dabei. Und nur in der mittleren Möglichkeit betreffen die beiden anderen unreinen Intervalle fis-des (1024/675, kleinere verminderte Sexte) und es-b (40/27) keinen Ton der C-Dur-Leiter.

Dieses Ergebnis macht mich schwankend. Sollte doch die zunächst so unregelmäßig aussehende mittlere Lösung die richtige sein, nach der man die schwarzen Tasten stimmen sollte? Nein, ich nehme die letzte von den dreien, denn sie weist f als gemeinsamen Grundton auf, der auch schon Grundton zu C-Dur ist. Der mittleren Lösung fehlt der Grundton ganz. Und in der vorderen weicht er mit ges vom Grundton f der C-Dur-Leiter ab. Außerdem entspricht die Lösung mit fis, cis, gis, dis und ais dem aus der Physik kommenden Grundgedanken, zu einer Tonpalette Obertöne hinzuzunehmen. Daß in den exakten Tonbezeichnungen schon zwei Pluszeichen in dis++ und ais++ (normalerweise Überstreichungen) vorkommen, irritiert mich nicht. Zum einen werden dadurch Minuszeichen (Unterstreichungen) vermieden. Zum anderen machen die Pluszeichen deutlich, wie mit aufsteigenden Quinten die pythagoreische Denkweise die natürlichen Töne nicht mehr trifft.

... link  


... comment
 
Meine Überlegungen zur Erweiterung der Dur-Tonleiter auf 12 Töne führte zunächst auf diese
    a---e---h           a---e---h---fis     gis-dis-ais
    |   |   |           |   |   |   |       |   |   | 
b---f---c---g---d   b---f---c---g---d   a---e---h---fis--cis 
|   |   |   |           |   |   |       |   |   |   | 
ges-des-as--es          des-as--es      f---c---g---d
drei Möglichkeiten, von denen mich die dritte Möglichkeit wegen des Grundtones f überzeugte. Lieber wäre mir aber ein rechteckiger Ausschnitt wie
a---e---h---fis
|   |   |   |
f---c---g---d
|   |   |   |
des-as--es--b
gewesen. Doch wenn man mit dem mittleren Diagramm der ersten Abbildung vergleicht, erkennt man im Unterschied auch das Problem: Von a nach b ist es kein Halbton H mehr, sondern das große Limma von 27/25 (133 Cent). Damit tritt in dieser Tonauswahl neben dem Halbton H, dem großem Chroma g und dem kleinen Chroma k ein weiterer Tonschritt auf, der auch noch unangenehm groß ist. Aus diesem Grunde ist die zugehörige Teilung von Anfang an nicht betrachtet worden.

Das noch schlichtere Ansinnen, aus der unendlichen Fülle von Quinten und großen Terzen ein Rechteck der Größe zwei mal sechs auszuschneiden scheitert noch brutaler. Senkrecht ist es unsinnig, weil dann keine Dur-Tonleiter reinpaßt. Waagerecht scheitert es auch unmittelbar
X---Y---o---o---o---o
|   |   |   |   |   |
o---o---o---o---X---Y
weil die mit X bzw. Y gekennzeichnete Töne sich nur um eine syntonisches Komma unterscheiden. Aus diesem Grunde ist es auch nicht möglich, die C-Dur-Leiter so zu erweitern, daß die als parallel geltende Leiter in a-moll hineinpaßt, denn beide unterscheiden sich im Ton d. Nun könnte man sagen, daß es auf ein so kleines syntonisches Komma nicht ankommt, deshalb C-Dur und a-moll die gleiche Tonpalette aufweisen und deshalb parallel heißen, doch dann bräuchte man auch gar nicht erst über so feine Unterschiede wie zwischen dem großen und kleinen Chroma nachzudenken und kann sich gleich für die gleichschwebende Teilung entscheiden.

Zu dieser einfachen und brutalen gleichschwebenden Teilung hat man heute die Freiheit, nachdem nicht nur bekannt, sondern auch anerkannt ist, daß ungenaue Intervalle im korrekten Zusammenklang und -hang mit anderen Tönen für reiner gehalten werden als genaue Schwingungsverhältnisse isoliert oder unmotiviert. In früheren Zeiten dagegen war man vielfältig bemüht, eher an einer exakten Teilung (wie C-Dur oder der reinen pythagoreischen Teilung) rumzupopeln, um sie an andere Tonarten anzupassen. Dazu gehören auch Schummeleien mit dem d, nämlich es einfach zwischen Dur und Moll zu stimmen. Doch dazu ein andermal mehr.

... link  


... comment