Dreieckszahlen
wuerg, 04.05.2005 21:29
Wie man die n-te Quadratzahl Q(n) von der Zahl der Punkte einer quadratischen Anordnung von n mal n Punkten ableitet, ergibt sich die n-te Dreieckszahl D(n) aus einer ebensolchen dreieckigen.
Ich schreibe auch D(n) für Dreiecks- und Q(n) für Quadratzahlen, nicht nach amerikanischer Sitte T(n) und S(n), was sich von trigonal bzw. square ableitet, gleichwohl ich bei allen Vorbehalten gegen das amerikanische Wesen im allgemeinen die in der Mathematik üblichen internationalen Bezeichnungen bevorzuge.² Glücklicherweise sind die Formeln für diese Zahlen so einfach, daß man sie abseits von Erläuterungen zumeist direkt hinschreibt und so D, Q, T und S vermeidet.
Die Formel für Quadratzahlen Q(n)=n·n=n2 ist einfach. Die n-te Quadratzahl ist die zweite Potenz (Quadrat) des Argumentes. Für Dreieckszahlen³ lautet die Formel D(n)=n(n+1)/2 .Sie ist nicht ganz so einfach zu merken, gleichwohl es dafür auch Bezeichnungen wie n+1 über 2 gibt. Doch wenn man die nicht kennt, nütz einem das auch nichts.
Die Anschauung führt auf die Definition D(n)=1+2+...+n. Zwar liegen die Verhältnisse hier so einfach, daß man auch direkt aus Abbildungen wie
Aus der Definition D(n)=1+2+...+n die Formel D(n)=n(n+1)/2 abzuleiten, ist sehr leicht, wenn man sie schon kennt. Man muß sich lediglich davon überzeugen, daß D(1)=1 und D(n)-D(n-1)=n ist. Oder man sieht die arithmeische Reihe und erinnert sich an die sechste Klasse: Anzahl der Summanden n mal Mittelwert. Für letzteren reicht die halbe Summe aus erstem und letztem Glied, also (1+n)/2.
Gerne wird erzählt, daß der Lehrer von Gauß⁴ die Schüler beschäftigen wollte und sie deshalb die Zahlen von 1 bis 100 addieren, also D(100) bilden ließ. Gauß antwortete sofort 5050, weil er wie fast jeder Mathematiker vorging, der keine Formel für die arithmetische Reihe auswendig gelernt hat, sondern sich einfach fragt, wieviele Summanden (hier 100) es sind und wie groß der Mittelwert (hier 50,5) ist. Das Produkt 100·50,5=5050 ist offensichtlich das Ergebnis.
Zwei der drei meiner Leser werden sich nun fragen, warum das offensichtlich sei. Weil die arithmetische Reihe so leicht zu durchschauen ist, daß keine Formel memoriert werden muß. Sie wird jedesmal vom Kleinhirn mühelos abgeleitet oder hochgespült. Es mag selbst Bildungsbürgern, die sich in der Schule vergeblich an Formeln mühten, merkwürdig vorkommen, was Mathematiker alles für klar wie Kloßbrühe, folkloristisch, evident oder gar trivial halten. Zum Verständnis sollten sie einfach daran denken, daß sie selbst auch kaum Vokabeln lernen mußten, weil ihre Eltern französisch parlierten.
1 Fugen-S. Kompetenzteam, 01.11.2004.
2 Bei allem Lobpreis der sowjetischen mathematischen Literatur zu Zeiten der DDR, muß ich dennoch eingestehen, daß sie schon wegen der von westlichen Gepflogenheiten abweichenden Darstellung Schwierigkeiten bereitet. Im Original so und so, doch auch in der Übersetzung. Nicht selten sind dann i und j verwechselt.
3 The On-line Encyclopedia of Integer Sequences. A000217.
4 Ich las einmal DER GAUSZSCHE BEWEIS in einer Überschrift. Auf der Schreibmaschine müßte der Lehrer von Gauß DER GAUSZSCHE LEHRER sein. Neuerdings gibt es auch ein großes Eszett.
Quadratzahlen
Q(4)=16 1 2 3 4 D(4)=10 1
2 2 3 4 2 2
3 3 3 4 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4
Ich schreibe mit Fugen‑S¹, gleichwohl manche geneigt sind, von Dreieckzahlen oder sogar von einer Dreieckzahl zu sprechen, weil es ja auch nicht Quadratszahl heiße. Doch beim Fugen-S gewinnen neben Üblichkeit nicht fadenscheinige formale Gründe, sondern lautliche.Ich schreibe auch D(n) für Dreiecks- und Q(n) für Quadratzahlen, nicht nach amerikanischer Sitte T(n) und S(n), was sich von trigonal bzw. square ableitet, gleichwohl ich bei allen Vorbehalten gegen das amerikanische Wesen im allgemeinen die in der Mathematik üblichen internationalen Bezeichnungen bevorzuge.² Glücklicherweise sind die Formeln für diese Zahlen so einfach, daß man sie abseits von Erläuterungen zumeist direkt hinschreibt und so D, Q, T und S vermeidet.
Die Formel für Quadratzahlen Q(n)=n·n=n2 ist einfach. Die n-te Quadratzahl ist die zweite Potenz (Quadrat) des Argumentes. Für Dreieckszahlen³ lautet die Formel D(n)=n(n+1)/2 .Sie ist nicht ganz so einfach zu merken, gleichwohl es dafür auch Bezeichnungen wie n+1 über 2 gibt. Doch wenn man die nicht kennt, nütz einem das auch nichts.
Die Anschauung führt auf die Definition D(n)=1+2+...+n. Zwar liegen die Verhältnisse hier so einfach, daß man auch direkt aus Abbildungen wie
o o o o o x D(5) mal o o o o o x x D(5) mal x o o o x x x o o x x x x 5 Zeilen o x x x x x 6 Spaltendie Beziehung 2·D(n)=n(n+1) und damit D(n)=n(n+1)/2 ableiten könnte, doch bezieht der Mathematiker sich letztlich nicht auf Bilder. Sie sind ihm nur Anregung und Hilfe. Dadurch werden Mathematiker nicht zu reinen Formalisten. Sie sind im allgemeinen nur besser in der Lage, Anschauung zu formalisieren, um ihre intuitiven Ideen abzusichern. Heute reicht es nicht mehr, ein Bild zu malen und „siehe“ darunter zu schreiben. Ab der vierten Dimension versagt diese Vorgehensweise so und so.
Aus der Definition D(n)=1+2+...+n die Formel D(n)=n(n+1)/2 abzuleiten, ist sehr leicht, wenn man sie schon kennt. Man muß sich lediglich davon überzeugen, daß D(1)=1 und D(n)-D(n-1)=n ist. Oder man sieht die arithmeische Reihe und erinnert sich an die sechste Klasse: Anzahl der Summanden n mal Mittelwert. Für letzteren reicht die halbe Summe aus erstem und letztem Glied, also (1+n)/2.
Gerne wird erzählt, daß der Lehrer von Gauß⁴ die Schüler beschäftigen wollte und sie deshalb die Zahlen von 1 bis 100 addieren, also D(100) bilden ließ. Gauß antwortete sofort 5050, weil er wie fast jeder Mathematiker vorging, der keine Formel für die arithmetische Reihe auswendig gelernt hat, sondern sich einfach fragt, wieviele Summanden (hier 100) es sind und wie groß der Mittelwert (hier 50,5) ist. Das Produkt 100·50,5=5050 ist offensichtlich das Ergebnis.
Zwei der drei meiner Leser werden sich nun fragen, warum das offensichtlich sei. Weil die arithmetische Reihe so leicht zu durchschauen ist, daß keine Formel memoriert werden muß. Sie wird jedesmal vom Kleinhirn mühelos abgeleitet oder hochgespült. Es mag selbst Bildungsbürgern, die sich in der Schule vergeblich an Formeln mühten, merkwürdig vorkommen, was Mathematiker alles für klar wie Kloßbrühe, folkloristisch, evident oder gar trivial halten. Zum Verständnis sollten sie einfach daran denken, daß sie selbst auch kaum Vokabeln lernen mußten, weil ihre Eltern französisch parlierten.
1 Fugen-S. Kompetenzteam, 01.11.2004.
2 Bei allem Lobpreis der sowjetischen mathematischen Literatur zu Zeiten der DDR, muß ich dennoch eingestehen, daß sie schon wegen der von westlichen Gepflogenheiten abweichenden Darstellung Schwierigkeiten bereitet. Im Original so und so, doch auch in der Übersetzung. Nicht selten sind dann i und j verwechselt.
3 The On-line Encyclopedia of Integer Sequences. A000217.
4 Ich las einmal DER GAUSZSCHE BEWEIS in einer Überschrift. Auf der Schreibmaschine müßte der Lehrer von Gauß DER GAUSZSCHE LEHRER sein. Neuerdings gibt es auch ein großes Eszett.
Quadratzahlen
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kid37,
04.05.2005 22:10
Ich glaube, beim Addieren Ihrer Leser haben Sie sich aber verzählt. Das sind mehr als drei ;-)
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mark793,
04.05.2005 22:19
Zumindest sind's drei,
von denen ich jetzt namentlich weiß: Sie, Herr Kid, Frau Wortschnittchen und meine Wenigkeit. Darüber hinaus existiert aber noch eine nicht unerhebliche Dunkelziffer (boah, war der schlecht).
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wuerg,
06.05.2005 00:11
Die Formel für die Dreieckszahlen D(n) ist so einfach, daß ein paar Beziehungen schnell nachzurechnen sind. Eine elementare lautet D(n)+D(n-1)=Q(n), zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen addieren sich also zu einer Quadratzahl:
Das Achtfache einer Dreieckszahl bleibt genau um eins hinter einer Quadratzahl zurück, genauer 8·D(n)=Q(2n+1)−1. Das habe ich schon unter den Quadratzahlen in einem üblichen anschaulichen Bild verdeutlich. Es kann aber auch leicht nachgerechnet werden. Damit ist jede ungerade Quadratzahl durch 8 dividiert eine Dreieckszahl Rest 1.
Es gibt weitere Formeln wie Sand am Meer, von denen ich nur noch eine wegen ihrer Schönheit erwähnen will:
D(n)2 − D(n−1)2 = n3
Die Quadrate zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen weisen als Differenz eine Kubikzahl auf.
D(n)2 = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Das ist alles also nicht merkwürdig, hindert dennoch Numerologen nicht, daraus Zusammenhänge vom Kaliber „hätten Sie das gedacht“ abzuleiten. Eher verwundern sollte, warum D(17)=153, D(23)=276 und D(36)=666 die einzigen exakten (ungerundeten, keine 0 hinten) dreistelligen Zahlen der Bibel sind.
153 | 666 | Quadratzahlen
D(n): 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 Summe: 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 o o o o o o o o o o o o o o o x o o o o o o x x o o o o o x x x o o o o x x x x o o o x x x x x o o x x x x x x o x x x x x x xÜblicherweise wird die Beziehung D(n)+D(n-1)=Q(n) durch ein in zwei Dreiecke geteiltes n×n‑Quadrat dargestellt. Im vorstehenden Bild eines aus Kreisen und ein weiteres aus Kreuzen. Die Diagonale von links unten nach rechts oben umfaßt genau n Kreise. Insgesamt sind es deshalb D(n) Kreise. Das Dreieck aus den Kreuzen ist um eins kleiner, also D(n-1) groß.
Das Achtfache einer Dreieckszahl bleibt genau um eins hinter einer Quadratzahl zurück, genauer 8·D(n)=Q(2n+1)−1. Das habe ich schon unter den Quadratzahlen in einem üblichen anschaulichen Bild verdeutlich. Es kann aber auch leicht nachgerechnet werden. Damit ist jede ungerade Quadratzahl durch 8 dividiert eine Dreieckszahl Rest 1.
Es gibt weitere Formeln wie Sand am Meer, von denen ich nur noch eine wegen ihrer Schönheit erwähnen will:
D(n)2 − D(n−1)2 = n3
Die Quadrate zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen weisen als Differenz eine Kubikzahl auf.
D(n): 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 Quadrat: 1 9 36 100 225 441 784 1296 2025 3025 Differenz: 8 27 64 125 216 343 512 729 1000Damit ist die die Summe der ersten n Kubikzahlen eine Quadratzahl, und zwar nicht irgendeine, sondern das Quadrat der n-ten Dreieckszahl:
D(n)2 = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Das ist alles also nicht merkwürdig, hindert dennoch Numerologen nicht, daraus Zusammenhänge vom Kaliber „hätten Sie das gedacht“ abzuleiten. Eher verwundern sollte, warum D(17)=153, D(23)=276 und D(36)=666 die einzigen exakten (ungerundeten, keine 0 hinten) dreistelligen Zahlen der Bibel sind.
153 | 666 | Quadratzahlen
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wuerg,
06.05.2005 12:16
Ich hatte den Quadratzahlen den Vortritt vor den Dreieckszahlen gelassen, obwohl Pythagoras die Dreieckszahlen für heiliger hielt als die Quadratzahlen und sie in der Reihe der normalen Polygonalzahlen (k‑Eck-Zahlen) ganz vorne stehen. Einen Grund nannte ich bereits, nämlich die einfachere Formel für die Quadratzahlen.
Ein anderer ist der folgende: Verdoppele ich die Kantenlänge eines Quadrates oder eines Dreieckes, so wächst die Fläche um das Vierfache. Wird aber die Zahl der Punkte auf der Kante eines quadratischen bzw. dreieckigen Schemas verdoppelt, so vervierfacht sich die Gesamtzahl der Punkte beim Quadrat ebenfalls, nicht aber die eines Dreieckes.
Für das Quadrat folgt dies aus der eineindeutigen Zuordnung der Q(n) Punkte (o) eines quadratischen Schemas mit n Punkten auf der Kante zu den Mittelpunkten der Einheitsquadrate eines Quadrates mit Kantenlänge n. Aus diesem Grunde ist Q(2n)=4·Q(n).
Ein anderer ist der folgende: Verdoppele ich die Kantenlänge eines Quadrates oder eines Dreieckes, so wächst die Fläche um das Vierfache. Wird aber die Zahl der Punkte auf der Kante eines quadratischen bzw. dreieckigen Schemas verdoppelt, so vervierfacht sich die Gesamtzahl der Punkte beim Quadrat ebenfalls, nicht aber die eines Dreieckes.
Für das Quadrat folgt dies aus der eineindeutigen Zuordnung der Q(n) Punkte (o) eines quadratischen Schemas mit n Punkten auf der Kante zu den Mittelpunkten der Einheitsquadrate eines Quadrates mit Kantenlänge n. Aus diesem Grunde ist Q(2n)=4·Q(n).
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wuerg,
13.05.2005 17:34
Welche Zahl kommt heraus, wenn man die Kehrwerte 1/D(n) der Dreieckszahlen D(n) addiert? Hier die ersten neun:
1/D(1) = 1/1 = 1,000
1/D(2) = 1/3 = 0,333
1/D(3) = 1/6 = 0,167
1/D(4) = 1/10 = 0,100
1/D(5) = 1/15 = 0,067
1/D(6) = 1/21 = 0,048
1/D(7) = 1/28 = 0,038
1/D(8) = 1/36 = 0,028
1/D(9) = 1/45 = 0,022
-----
1,803
Wer einen Taschenrechner genutzt hat, wird vielleicht bemerkt haben, daß die letzte Stelle recht ungenau ist und die Summe eigentlich schlicht 1,8 lauten müßte. Und wer in altertümlicher Manier die Bruchrechnung bemühte, sollte exakt auf 9/5 gekommen sein. Seine Zwischenergebnisse lauten 1, 4/3, 3/2, 8/5, 5/3, 12/7, 7/4, 16/9 und eben 9/5. Das sind merkwürdig kleine Brüche. Und wenn man jeden zweiten mit 2 erweitert, lautet die Reihe 2/2, 4/3, 6/4, 8/5, 10/6, 12/7, 14/8, 16/9, 18/10, was die Vermutung1 1 1 1 2n ---- + ---- + ---- + ... + ---- = --- = 2(1-1/n) D(1) D(2) D(3) D(n) n+1nahelegt. Ohne weiteres bestätigt man die Richtigkeit, indem man die Differenz von 2n/(n+1) und 2(n-1)/n ausrechnet und 1/D(n) erhält. Und damit ist die Summe aller Kehrwerte der Dreieckszahlen schlicht und ergreifend 2.
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wuerg,
16.06.2008 23:18
Dreieckszahlen kommen auch im täglichen Leben vor, beim Teilen einer Pizza, bei den zehn Bowlingpins, den 15 roten Snookerbällen und in den 15 Spielen bei „Schlag den Raab“. Dort gewinnt der Spieler mit den meisten Punkten, wobei das i-te Spiel i Punkte erbringt. Insgesamt sind es also D(15)=120, von denen 61 zum Sieg reichen. Wer die letzten fünf Spiele gewinnt, hat bereits 65 Punkte. Oder andersherum: Mit zehn gewonnenen Spielen kann man immer noch verlieren. Das merkte auch Stefan Raab, als er in der letzten Sendung seine Felle davonschwimmen sah: „Wer hat sich denn dieses System einfallen lassen?“
Die Antwort kann er sich selbst geben: Seine eigene Produktionsfirma. Und zwar aus gutem Grund: Da die ersten zehn Spiele nur 55 Punkte erbringen, endet die Sendung nicht vor dem 11. Spiel. Im Normalfalle bleibt die Entscheidung bis kurz vor Schluß offen. So wünschen es die Quote und der Zeitgeist, auch wenn es Herrn Raab letztesmal nicht paßte, gleichwohl er doch beiden nicht abgeneigt ist.
Bei „Schlag den Raab“ kann die Entscheidung frühestens nach m=11 von n=15 Spielen fallen, wenn p=m/n=73,3% aller Spiele absolviert sind. Die Tabelle führt die Werte bis n=15 auf:
Die Antwort kann er sich selbst geben: Seine eigene Produktionsfirma. Und zwar aus gutem Grund: Da die ersten zehn Spiele nur 55 Punkte erbringen, endet die Sendung nicht vor dem 11. Spiel. Im Normalfalle bleibt die Entscheidung bis kurz vor Schluß offen. So wünschen es die Quote und der Zeitgeist, auch wenn es Herrn Raab letztesmal nicht paßte, gleichwohl er doch beiden nicht abgeneigt ist.
Bei „Schlag den Raab“ kann die Entscheidung frühestens nach m=11 von n=15 Spielen fallen, wenn p=m/n=73,3% aller Spiele absolviert sind. Die Tabelle führt die Werte bis n=15 auf:
n Dn Dn/2 Dm m p=m/n 1 1 0,5 1 1 100% 2 3 1,5 3 2 100% 3 6 3 6 3 100% 4 10 5 6 3 75% 5 15 7,5 10 4 80% 6 21 10,5 15 5 83,3% 7 28 14 15 5 71,4% 8 36 18 21 6 75% 9 45 22,5 28 7 77,8% 10 55 27,5 28 7 70% 11 66 33 36 8 72,7% 12 78 39 45 9 75% 13 91 45,5 55 10 76,9% 14 105 52,5 55 10 71,4% 15 120 60 66 11 73,3%Das raabfreundliche Minimum wird bei n=10 mit p=70% angenommen. Zum Beweis reicht jedoch eine Tabellenschau nicht aus. Er ist aber leicht zu führen: Der Anteil p strebt gegen 1/√2=0,707... und liegt für n>70 oberhalb von 70 Prozent. Die 70 Fälle davor werden schnell durchgerechnet.
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