Prognose
Auf Basis der laut Robert-Koch-​Institut nachge­wiesenen Corona-​Infi­zierten bis zum 13. März habe ich eine Prog­nose gewagt. Sie ist im Bild als blaue Kurve darge­stellt. Die roten Punkte stehen für die leider nicht immer zuver­lässigen Zahlen der Folgezeit bis heute. Sie sind Grundlage einer neuen roten Prognose. [1,2,3,4,5,6,7]


blaue und rote Prognose, schwarze Weiterentwicklung

Aus den zum d. März vom Robert-Koch-​Institut gemel­deten jemals Erkrankten g(d) ergeben sich n(g)=g(d)-g(d-1) binnen eines Tages neu Infi­zierte. Ihre Anzahlen steigern sich gegen­über dem Vortag um die Faktoren λ(d)=n(d)/n(d-1), auf deren Loga­rithmen ich bis d=13 einen line­aren Ausgleich ln(λ)≈ln(b)+d·ln(c) vorge­nommen habe. Damit ergibt sich für die Neu­infi­zierten

n(d) ≈ a · bd · cd(d+1)/2 = α/√(2πσ2) · exp ( -(d-μ)2/2 )

Um nicht allzu optimi­stisch zu sein, habe ich leicht zugunsten des Virus gerundet und a=8, b=1,6 sowie c=0,98 angesetzt. Das entspricht einer blauen Normal­vertei­lung mit Maximum bei μ=23, also dem 23. März. Dort wird der Spitzen­wert n(μ)=1500 erreicht. Die erwar­tete Gesamt­zahl ist g()=26500 und die Streu­ung σ=7 beträgt eine Woche.

Die rote Kurve auf der Basis der Daten vom 13. bis 26. März läßt eine weniger günstige Entwick­lung erwarten: Es ist a=22, b=1,42 und c=0,99. Das ist eine Normal­vertei­lung mit Maximum bei μ=38, also dem 7. April. Dort wird der Spitzen­wert n(μ)=9500 erreicht. Die erwar­tete Gesamt­zahl ist g()=250.000 und die Streu­ung σ=10,5 beträgt andert­halb Wochen.

Gleich zu Beginn schrieb ich, daß es durchaus höhere Zahlen als progno­stiziert werden können, ich aber selbst bei zehn­facher Über­höhung nicht unzu­frieden sein werde, weil die Fernseh-​Viro­logen durch die Bank mehr als das Tausend­fache erwarten und meinen, die ergrif­fenen Maß­nah­men würden nur den Verlauf verlang­samen. Das bedeu­tete über einen Zeit­raum von zwei Jahren täglich 70.000 Neu­infi­zierte und 2000 Tote. Füllten schwer Erkrankte die Hälfte der geplanten 56.000 Intensivbetten, müßte sich jeder binnen zweier Wochen über­legen, ob er sich wieder halbwegs gesund fühlt oder sterben möchte.

Die Wahrheit aber ist: Die ergriffen Maßnahmen verschieben die Belastung nicht nach hinten, sondern mildern sie einfach ab, wahr­schein­lich um einen Fak­tor 300 oder höher. Die Epidemie wird in Deutsch­land ähnlich verlaufen wie in China, Korea oder Singapur. Im Prinzip wird meine Prognose eintreten. Trotzdem suche ich nach einer Erklä­rung, warum die als rote Punkte darge­stellten Zahlen des Robert-​Koch-​Insti­tutes von der blauen Prognoselinie deutlich nach oben abweichen.

So könnte ich anführen, die der Prognose zugrunde­liegenden Daten bis zum 13. März fielen noch in eine Zeit, da man in jedem einzelnen Falle der Infektions­kette nach vorne und hinten noch hat folgen können. Bevor diese Maß­nah­men durch Kontakt­einschrän­kungen für alle ersetzt wurden, gab es noch eine Woche Gele­genheit, sich ordent­lich anzu­stecken. Hinzu kamen zurück­kehrende Urlauber, die Corona an vielen neuen Orten aufkeimen ließen. Ist die Epidemie vorbei, werden alle diese Versäum­nisse und Zöger­lich­keiten disku­tiert. Auch die unameri­kani­schen Über­trei­bungen zu Lasten armer Unter­nehmer.

Ich glaube, die Abweichung der Realität von meiner Prognose erklärt sich viel einfacher: Wenn sich im Laufe der Zeit die Zahl der Testungen viel­leicht um den Fak­tor 10 erhöht hat, können jetzt durchaus dreimal soviele Kranke auffliegen als zu Beginn. [8] Ich hätte also statt der Kon­stan­ten a=8 besser eine stei­gende Funk­tion a(d) ansetzen sollen, die heute bei a(27)=a·3=24 liegen könnte. Das aber erklärt nicht alles. Vielmehr ist der Faktor c=0,98 für die abfal­lenden Flanke zu optimi­stisch angesetzt. Heute scheint c=0,99 reali­stischer, war aber in den wenigen Daten bis zu 13. März nicht zu erkennen. [9]

[1] 28.03.2020: Die Anzahl 6294 von gestern mag manchem im Vergleich zur letzten Woche und ange­sichts der Ausgeh­beschrän­kungen hoch erscheinen, liegt aber genau auf der roten Prog­nose­linie.

[2] 29.03.2020: In den Zahlen des RKI von heute 0 Uhr, besser gestern 24 Uhr fehlen etwa 2000 aus Baden-Württemberg und 500 aus dem Rest der Republik, weshalb die gemeldeten 3965 eher 6500 sind. Am Dienstag sollten die Lücken wieder gefüllt sein. Dann aktualisiere ich mein Diagramm.

[3] 31.03.2020: Heute ist Dienstag, und die Meldemängel des Wochen­endes sollten ausge­glichen sein, auch wenn man den Eindruck haben kann, einige Anzahlen seien dauer­haft unter den Teppich gekehrt. Die vier neuen schwarz darge­stellten Werte liegen allesamt unter dem Maximum und sinken deutlich, vor allem dann, wenn ich einige von gestern und viele von vorgestern denen vom Samstag zuschlage. Wenn kein grober Erfas­sungs­fehler vorliegt, ist es völlig unwahr­schein­lich, daß erneut mehr als 6000 Neu­infizierte an einem Tag hinzu­kommen.

[4] 02.04.2020: Die neuesten schwarz dargestellten Zuwächse sind etwas unge­ordnet und lassen Zweifel an der Gewis­senhaf­tigkeit ihrer Erfas­sung aufkommen. Es sieht aber so aus, als sei der Höhe­punkt erreicht. Auf die Steige­rungen der letzten Tage gebe ich nicht viel, denn im Prinzip ist dieser Verlauf Woche für Woche zu sehen. Morgen gibt es die Zahlen für Don­ners­tag, die noch nie unter dem Mittel­wert lagen.

[5] 07.04.2020: Im Laufe der letzten Woche wurden immer weniger durch immer mehr infiziert. Wer jetzt noch von einer Repro­duktions­ziffer 1,2 bis 1,5 faselt, ist völlig unfähig oder lügt, hoffent­lich im Interesse einer politisch korrekten Panikmache.

[6] 09.04.2020: Heute heißt es, man könne von einer Entspannung nicht wirklich ausgehen. Gestern fehlte noch das Wort „wirklich“, obgleich die Zahlen wieder gestiegen sind. Wir seien noch nicht über den Berg. Ich meine schon, auch wenn sich eine Hoch­ebene anschließt und der Blick auf den Ozean noch durch eine weitere Berg­kette versperrt wird. Morgen gibt es die Zahlen für Donnerstag. Die sind im allge­meinen die höchsten.

[7] 04.05.2020: Die schwarz gestrichelte Linie ist keine Prognose, sondern eine der realen Werten (blaue, rote und schwarze Punkte) ange­paßte Normal­vertei­lung. Sie sieht nicht optimal aus, doch ist zu bedenken, daß die Kurve nicht nur Ende April, sondern auch im Februar und Anfang März einiger­maßen treffen muß. Schon seit ein paar Tagen ist die Zeit des Ratten­schwanzes gekommen, der den Verlauf unsymme­trisch macht, womit eine Normal­verteilung als Ausgleichs­kurve nicht mehr gut ist.

[8] 20.04.2020: Inzwischen ist klar, daß die Zahl der Infi­zierten schneller gewachsen ist als die der Testungen. Es liegt deshalb nahe, daß viel mehr Tests die Zahl der erkannten Infi­zierten kaum erhöhen würde. Trotzdem mag es viele Infizierte ohne Symptome geben, die zu erkennen die Sterbe­rate redu­zieren würde. Effi­zienter drückt man sie jedoch, indem man Sterbe­fälle verschweigt oder andere Ursachen als Corona in den Toten­schein schreibt.

[9] 20.04.2020: Ich wollte meine blaue Fehlprognose nicht auf andere schieben, sonst hätte ich gleich meine Vermu­tung geäu­ßert, die nun wohl Gewiß­heit ist: Schon bald gelang es nicht mehr, jeden Einzel­fall zu verfolgen, späte­stens mit der Rück­kehr infi­zierter Urlauber aus den Seuchen­gebieten.

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Die meisten Deutschen glauben wohl, die Corona-​Epidemie hätte ihre Hoch­burg in Nord­rhein-​West­falen. Das mag Armin Laschet und den mit dem chine­sischen Staats­präsi­denten korres­pondie­renden Landrat gelegen kommen. Die Wahrheit aber ist: Nord­rhein-​West­falen bewegt sich mit derzeit 0,064 Pro­zent voll auf dem Bundes­durch­schnitt. Mit 0,105 Prozent auf dem ersten Platz liegt das ganz unauffällige Baden-​Würt­temberg, wenn man für heute 2000 feh­lende Neuinfi­zierte zuschlägt. Knapp vor Hamburg und den Bayern, über die man auch gerne spricht. [1,2,3]

Am besten schneidet Mecklenburg-​Vorpommern ab, weil sich dort wenige Einwohner auf viel Fläche verteilen und die Touristen syste­matisch fernge­halten werden. Eben muß sich Manuela Schwesig dafür recht­fertigen und sagt mit vollem Recht sinn­gemäß: Warum soll die Bevöl­kerung ihre Beschrän­kungen einsehen und befolgen, wenn im Nord­osten Touristen ihrem Vergnügen nach­gehen dürfen?

[1] 30.03.2020: Ich weiß nicht, ob ich den heute gemel­deten Zahlen des Robert-​Koch-​Insti­tutes trauen darf, denn ich kann mir gut vorstellen, daß immer noch 2000 Fälle hinterm Württem­berg gehalten werden oder nicht korrekt nachge­arbeitet wurden. Es bleibt aber dabei: Hamburg, Bayern und Baden-​Württem­berg bilden eine eben­bürtige Spitzen­gruppe. Danach kommt lange nichts. Das von Bazis gescholte Berlin, aber auch Nord­rhein-​West­falen liegen ganz knapp unter dem Bundes­durchschnitt.

[2] 02.04.2020: Markus Söder wird nicht nur angesichts der neuesten Zahlen hart bleiben. Sein Bayern hat sich an die Spitze gesetzt, gefolgt von Baden-​Württem­berg und Hamburg gleichauf. Von hinten nähert sich das Saar­land. Das legt nahe: Abge­sehen vom Karneval sind Süd- und West­grenzen sowie Reisen in den Schul­ferien die wesent­lichen Übel­täter. Rigo­rose Grenz­kon­trollen hätten viel bewirken können.

[3] 20.04.2020: Nordrhein-​Westfalen ist bereits unter den Bundes­durch­schnitt gefallen. Bayern hält Platz eins, gefolgt von Baden-​Württem­berg. Hamburg wurde vor einer Woche vom Saar­land überholt.

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Auch wenn die Zahlen vom Wochenende unvoll­ständig sein können, sehen einige ange­sichts sinkender Zuwächse eine gewisse Besse­rung, die von Poli­tikern den ergrif­fenen Maßnahmen zuge­rechnet werden. Trotzden sollen die Einschrän­kungen minde­stens bis Führers Geburtstag bleiben. Doch es mehren sich die „Exit-​Stimmen“ der üblichen Verdäch­tigen. Und es kommt die Zeit der einzig zur Güterab­wägung fähigen Wirt­schafts­weisen und Ethiker, schlimmer als Virologen. Warum bedarf es erst deutlich zurück­gehender Absolut­zahlen, um eine Besse­rung zu erkennen?


Logarithmen der Zuwächse der Neuinfizierten [1]

Das Bild zeigt die natür­lichen Loga­rithmen der Zuwächse der Anzahl der täglich Neuinfi­zierten. Pi mal Dauem kann man den Wert 0,1 durchaus als 10 Pro­zent Zuwachs und -0,1 als 10 Pro­zent Abnahme sehen. Nicht erst seit heute ist die einge­zeich­nete Aus­gleichs­gerade sinkend. Wo sie die Nullinie schneidet, ist das Maximum zu erwarten, hoffent­lich wirk­lich noch diesen Monat.

Aber das ist keine neue Erkenntnis. Die Ausgleichs­gerade war schon immer fallend. Als ich am 14. März meine blaue Prog­nose aufstellte, fiel sie aller­dings stärker als jetzt. An den wegen der relativ kleinen Absolut­zahlen stark schwan­kenden Werte im linken Teil des Dia­gram­mes erkennt man die Unsicher­heit einer so frühzei­tigen Prognose. Im Prinzip ändert sich aber nichts, wenn die Vertei­lung fünfmal so hoch und doppelt so breit wird, denn unsere Experten reden von Entwick­lungen, die fünfzig­fach höher und zwanzig­fach breiter sein müssen.

Was lernt uns das? Die Menschen sind auf Absolut­zahlen fixiert, bedenken nicht, daß Nord­rhein-​West­falen 37 Pro­zent mehr Einwohner hat als Bayern, die USA viermal so groß sind wie Deutsch­land. Sie weigern sich, in wachsenden Zahlen eine Besserung zu erkennen, auch wenn sie auf eine ebenfalls wachsende Grund­gesamt­heit bezogen stag­nieren oder gar sinken. Und schon gar nicht vermögen sie, sinkende Zuwachs­raten in die Zukunft fortzu­setzen, um in der Ferne eine Stag­nation und danach einen Abschwung zu erwarten. [2]

Woran erinnert mich das? An Frömmler, die ihre Bibel wortwört­lich lesen und zur Strafe auch im Alltag nicht in der Lage sind, freie, blumen­reiche oder gar metapho­rische Sprache richtig einzu­ordnen. Wenn ich zum Beispiel „was ein Idiot“ sage, wird mir vorge­halten, ich kenne ihn doch gar nicht und wüßte nicht, ob er wirklich einer ist. Ich gehe davon aus, daß die Gleich­nisse des Neuen Testa­mentes ohne Weisung ebenfalls nicht verstanden würden. Umfang­reiche Ausle­gungen sind natür­lich Teu­felswerk.

[1] 04.05.2020: Ursprünglich zeigte das Bild nur Daten bis zum 29. März. Heute habe ich es erneut aktua­lisiert.

[2] Eben höre ich im Qualitätsfernsehen von kritische Fragen stellenden investi­gativen Journa­listen weiterhin, die Zahlen würden immer noch stark zunehmen. Welche denn? Die Gesamt­zahlen? Die werden in alle Ewigkeit nicht fallen!

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Leider hatte ich diesen Kommentar gelöscht, weshalb das Datum im Kopf falsch ist. Richtig ist Mitte April 2020.

Wie sehr viele, wenn nicht die meisten Menschen Größen­ordnungen falsch einschätzen, zeigt mir eine Frage bei „Hart aber fair“: Können nicht die inzwi­schen geheilten Menschen wieder voll einge­setzt werden und Geschäfte öffnen? Glück­licher­weise konnte darauf sinnvoll geant­wortet werden: Wir haben über 80 Mil­li­onen Einwohner!

Will man sich eine Anzahl n von Menschen oder auch anderen Objekten wie Kranken­häuser, Bank­filialen, Lebens­mittel­läden in Deutsch­land vorstellen, kann man sie sich in Gedanken in einem Dreiecks­muster gleich­mäßig auf das Land verteilt denken. Die Entfer­nung d=642km/√n von den zumeist sechs direkten Nach­barn kann man sich leichter vorstellen als eine schlecht ein­schätz­bare Anzahl.

Nach dieser Rechnung ist ein Deutscher, besser Einwohner vom anderen nur 70 Meter entfernt. Von einem Infi­zierten zum anderen aber liegen stolze 2700 Meter, zwischen den Geheilten sogar 5,5 Kiloneter. [1] Das macht deut­lich, daß man mit ihnen die Infra­struktur nur marginal entlasten und kaum einen Betrieb wieder öffnen kann.

Zwar ist es gerade in Deutschland moralisch verwerf­lich, Kranke gut sichtbar zu kenn­zeichnen, doch könnten umgekehrt die Geheilten sich frei­willig eine Plakette anheften. Nur selten könnte man eine solche erblicken. Außerdem hoffe ich, daß diese Form der „Daten­spende“ unter­sagt würde. Andern­falls müßte durch eine Verord­nung Mißbrauch bestraft werden.

[1] 18.04.2020: Der nächste Infizierte ist bereits auf 1700 Meter heran­gerückt, der nächste Tote aber immer noch 10 Kilo­meter entfernt.

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