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84
wuerg, 03.04.2005 01:18
Im Alter von 84 Jahren ist heute Papst Johannes Paul II gestorben. Das ist die Zeit für ein volles menschliches Leben aus zwölfmal sieben Jahren, in denen der Uranus einmal die Sonne umkreist.
Was gibt es sonst noch zu sagen: 2 hoch 84 liegt sehr knapp unter 3 hoch 53, weshalb eine Teilung der Oktave in 53 gleiche Intervalle eine sehr genaue Quinte mit 84−53=31 Tonschritten aufweist:
2 hoch 84 = 19342813113834066795298816
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723
7 | 12 | 31 | 53 | heilige Zahlen
Was gibt es sonst noch zu sagen: 2 hoch 84 liegt sehr knapp unter 3 hoch 53, weshalb eine Teilung der Oktave in 53 gleiche Intervalle eine sehr genaue Quinte mit 84−53=31 Tonschritten aufweist:
2 hoch 84 = 19342813113834066795298816
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723
7 | 12 | 31 | 53 | heilige Zahlen
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28
wuerg, 22.03.2005 17:44
Die Zahl 28 ist Summe 1+2+4+7+14 ihrer Teiler, sofern man von 28 selbst absieht. Sie ist damit zwischen 6 und 496 die zweite vollkommene Zahl. Ob es eine ungerade gibt, weiß man nicht, die geraden sind alle von der Form Mₙ⋅2ⁿ⁻¹ mit einer primen Mersennezahl Mₙ=2ⁿ−1. Die Suche nach geraden vollkommenen Zahlen ist somit auf die nach Mersenne-Primzahlen zurückgeführt. [1] Wenn man seinen PC nicht für die Suche nach Außerirdischen zur Verfügung stellen will, wäre er frei für das GIMPS‐Projekt. [2]
Jede gerade vollkommene Zahl ist Sechseckzahl, 28 ist die vierte. Im nachstehenden Bild ist die Definition H₄=1+5+9+13=28 dargestellt. Daneben die übliche Zerlegung H₄=4²+2⋅D₃ in ein Quadrat und zwei Dreiecke. Es geht auch mit zwei sich überlappenden Quadraten. Wie jede Sechseckzahl ist 28 zugleich Dreieckszahl, und zwar die siebte. Das zugehörige Dreieck kann gemäß D₇=D₄+3⋅D₃ in ein großes inneres mit drei kleinere an den Ecken geteilt werden. Da 7 zudem von der Form 3n−2 ist, ist auch ein inneres Sechseck mit 19 Punkten samt drei noch kleineren Dreiecken zu 3 Punkten möglich, womit 28 dritte zentrierte Neuneckzahl 1+9+18 ist.
Daß 28 die kleinste Zahl ist, die auf zweifache Weise als Summe von vier Quadraten dargestellt werden kann, verwundert nicht, zumal 27 die kleinste für drei Summanden ist. Auch 28 als Keith‐Zahl haut nicht vom Sockel, weil 14 bereits eine ist und bei der Verdoppelung kein Übertrag entsteht:
Die Univac 1108 war möglicherweise ein 36‑Bit-Rechner, um sechs Zeichen zu sechs Bit in einem Wort speichern zu können. Eine Spur des Trommelspeichers Fastrand II hatte 1024 Bit und konnte somit 28 dieser Wörter speichern. Zur Berechnung der richtigen Spur und Position mußte deshalb ständig durch 28 samt Rest geteilt werden. Das wurde durch eine gesonderte Hardware erledigt. Berühmt wurde diese Fastrand-Zahl aber schon im 19. Jahrhundert, nachdem sie durch Baron Gustav von Fastrand während einer Expedition zwischen der 27 und der 29 entdeckt wurde. [3]
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000043, A000668, A000396.
[2] Great Internet Mersenne Prime Search.
[3] The Fastrand II. Fourmilab Switzerland. Zur Einnerung an die Datenverarbeitung der Siebzigerjahre.
27 | 29
Jede gerade vollkommene Zahl ist Sechseckzahl, 28 ist die vierte. Im nachstehenden Bild ist die Definition H₄=1+5+9+13=28 dargestellt. Daneben die übliche Zerlegung H₄=4²+2⋅D₃ in ein Quadrat und zwei Dreiecke. Es geht auch mit zwei sich überlappenden Quadraten. Wie jede Sechseckzahl ist 28 zugleich Dreieckszahl, und zwar die siebte. Das zugehörige Dreieck kann gemäß D₇=D₄+3⋅D₃ in ein großes inneres mit drei kleinere an den Ecken geteilt werden. Da 7 zudem von der Form 3n−2 ist, ist auch ein inneres Sechseck mit 19 Punkten samt drei noch kleineren Dreiecken zu 3 Punkten möglich, womit 28 dritte zentrierte Neuneckzahl 1+9+18 ist.
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28 als normale Sechseckzahl und als zentrierte Neuneckzahl (png)Daß 28 die kleinste Zahl ist, die auf zweifache Weise als Summe von vier Quadraten dargestellt werden kann, verwundert nicht, zumal 27 die kleinste für drei Summanden ist. Auch 28 als Keith‐Zahl haut nicht vom Sockel, weil 14 bereits eine ist und bei der Verdoppelung kein Übertrag entsteht:
1, 4, 5, 9, 14 (1+4=5, 4+5=9, 5+9=14) 2, 8, 10, 18, 28 (2+8=10, 8+10=18, 10+18=28)Bleiben nur die 28 Buchstaben verschiedener Alphabete, insbesondere des arabischen aus 14 Sonnen- und 14 Mondbuchstaben, die 28 Tage des Februar, die vier Wochen und der Sonnenzyklus von 28 Jahren. Er ist von wenig astronomischer Bedeutung und gründet sich auf den schlichten Umstand, daß im julianischen Kalender jeder Tag nach 28 Jahren wieder auf den gleichen Wochentag fällt. Das gilt von 1901 bis 2099 auch für unseren gregorianischen Kalender.
Die Univac 1108 war möglicherweise ein 36‑Bit-Rechner, um sechs Zeichen zu sechs Bit in einem Wort speichern zu können. Eine Spur des Trommelspeichers Fastrand II hatte 1024 Bit und konnte somit 28 dieser Wörter speichern. Zur Berechnung der richtigen Spur und Position mußte deshalb ständig durch 28 samt Rest geteilt werden. Das wurde durch eine gesonderte Hardware erledigt. Berühmt wurde diese Fastrand-Zahl aber schon im 19. Jahrhundert, nachdem sie durch Baron Gustav von Fastrand während einer Expedition zwischen der 27 und der 29 entdeckt wurde. [3]
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000043, A000668, A000396.
[2] Great Internet Mersenne Prime Search.
[3] The Fastrand II. Fourmilab Switzerland. Zur Einnerung an die Datenverarbeitung der Siebzigerjahre.
27 | 29
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25
wuerg, 21.03.2005 23:23
Die Quadratzahl 25 ist Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen 9 und 16 und somit zugleich zentrierte Quadratzahl. Aus den ersten 25 Zahlen kann ein magisches Quadrat der Größe 5 mal 5 gebildet werden. Es ist nach Saturn (3) und Jupiter (4) dem Mars zugeordnet, dazu neben 5 und 25 auch die magische Zahl 65 und die Gesamtsumme 325. Weil 25−1=24 nicht nur durch die dritte Dreieckszahl 6 geteilt werden kann, was die 25 zur vierten zentrierten Quadratzahl macht, sondern auch durch die weniger interessante zweite Dreieckszahl 3, ist 25 auch die dritte zentrierte Achteckzahl.
Nach siebenmal sieben Jahren war bei den Juden jedes 50. Jahr ein Erlaßjahr, später dann im Christentum ein heiliges Jahr, das nunmehr vom Papst alle 25 Jahre durch das Einschlagen einer Tür eingeläutet wird. Diese Bevorzugung der 25 ist schlichte Folge der Vierteilung des Jahrhunderts. Deshalb wird die Silberhochzeit nach 25 und nicht nach 20 oder 30 Jahren gefeiert. Und wir neigen zu merkwürdigen Gedenktagen nach 75, 125 oder 375 Jahren. Das wird dadurch befördert, daß Vielfache von 25 sämtlich auf 25, 50, 75 oder 00 enden, die 25 sich also gut vererbt, was natürlich direkte Folge der Vierteilung ist.
So wie Numerlogen gerne die iterierte Quersumme bilden, bis sie bei einer Ziffer von 1 bis 9 angekommen sind, so kann man es auch mit dem Produkt handhaben: Immer wieder alle Ziffern multiplizieren, bis man bei 0 bis 9 landet. [1] Die Zahlen 0 bis 9 benötigen keinen Schritt, 10 bis 19 einen, um in ihre Endziffer überzugehen, 20 bis 24 ergeben sofort 0, 2, 4, 6 bzw. 8, aber 25 geht in 10 und ist damit die kleinste Zahl, die zwei Schritte benötigt.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Interessanter als das iterierte Querprodukt A031347 selbst sind die Schritte A031346 bis zur Einstelligkeit und die kleinsten Zahlen A003001, die eine vorgegebene Schrittzahl erfordern.
24 | 26 | Fortpflanzung | Vierteilung
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25 als zentrierte Achteck- und Quadratzahl, magisches Quadrat (png)Nach siebenmal sieben Jahren war bei den Juden jedes 50. Jahr ein Erlaßjahr, später dann im Christentum ein heiliges Jahr, das nunmehr vom Papst alle 25 Jahre durch das Einschlagen einer Tür eingeläutet wird. Diese Bevorzugung der 25 ist schlichte Folge der Vierteilung des Jahrhunderts. Deshalb wird die Silberhochzeit nach 25 und nicht nach 20 oder 30 Jahren gefeiert. Und wir neigen zu merkwürdigen Gedenktagen nach 75, 125 oder 375 Jahren. Das wird dadurch befördert, daß Vielfache von 25 sämtlich auf 25, 50, 75 oder 00 enden, die 25 sich also gut vererbt, was natürlich direkte Folge der Vierteilung ist.
So wie Numerlogen gerne die iterierte Quersumme bilden, bis sie bei einer Ziffer von 1 bis 9 angekommen sind, so kann man es auch mit dem Produkt handhaben: Immer wieder alle Ziffern multiplizieren, bis man bei 0 bis 9 landet. [1] Die Zahlen 0 bis 9 benötigen keinen Schritt, 10 bis 19 einen, um in ihre Endziffer überzugehen, 20 bis 24 ergeben sofort 0, 2, 4, 6 bzw. 8, aber 25 geht in 10 und ist damit die kleinste Zahl, die zwei Schritte benötigt.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Interessanter als das iterierte Querprodukt A031347 selbst sind die Schritte A031346 bis zur Einstelligkeit und die kleinsten Zahlen A003001, die eine vorgegebene Schrittzahl erfordern.
24 | 26 | Fortpflanzung | Vierteilung
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Kußzahlen
wuerg, 19.03.2005 18:49
Billardspieler haben Angst vor dem double kiss, wenn Kugeln erneut und ungeplant zusammentreffen. Und so heißt Kußzahl (kissing number) die maximale Zahl gleichgroßer Kugeln, die an eine zentrale angelegt werden können. Wer sich Stapel von Apfelsinen ansieht, wird vorschnell 12 annehmen. Aber erst 1953 wurde bewiesen, daß eine 13. Kugel nicht dranpaßt, obwohl zwischen zwölfen noch recht viel Luft ist. Schlimmer noch: Die Luft kann man noch nicht einmal nutzen, um Kugeln dichter zu stapeln als bisher bekannt. Diese Keplersche Vermutung wird erst 2017 bewiesen. Newton hatte recht, 12 ist richtig, die dichteste Packung ist die in der Natur realisierte mit einer Dichte von (π/6)√2, etwa 74 Prozent. Etwas mehr als ein Viertel eines Apfelsinenstapels muß also aus Luft bestehen.
In zwei Dimensionen weiß jedes Kind, daß man sechs Münzen an eine anlegen kann. Da wackelt nichts mehr, sieben sind offensichtlich unmöglich. Eindimensional sind Kugeln Strecken, an die zwei andere stoßen können. In der vierten Dimension hat man schnell 24 Hyperkugeln angelegt. Daß eine 25. nicht mehr geht wird auch erst 2008 gezeigt. Umso überraschender ist es, daß man für die 8. und die 24. Dimension die Kußzahlen 240 und 196.560 kennt, weil man die Kugeln gitterförmig anlegen kann und nicht mehr Luft bleibt als unbedingt erforderlich.
Sich auf Gitter zu beschränken, vereinfacht das Problem. Man könnte meinen, daß in drei Dimensionen die 12 als Gitterkußzahl schon ewig bekannt ist, doch erst Gauß konnte es beweisen. Inzwischen kennt man sie in 1 bis 9 und eben 24 Dimensionen. [1] Sie entspricht der Kußzahl, so letztere bekannt ist. Das ist nicht selbstverständlich. In der Dimension 9 kennt man zwar die Kußzahl nicht, es geht aber unregelmäßig mit 306 dichter als mit 272 im Gitter.
Das mag man alles für mathematische Spinnerei halten. [2] Auch die überraschenden Beziehungen zu anderen Zahlen und Gebieten kann rein theoretischer, gar zufälliger Natur sein, so wie 24 als vierte Fakultät allenthalben auftaucht. Auch könnte die Stringtheorie in 8 und 24 Dimensionen ein nur darauf aufbauendes Hirngespinst sein. Es bleibt aber der berechtigte Wunsch, die Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest nicht an einen allmächtigen Schöpfer oder Programmierer weiterzuleiten, der die Antwort auch nicht kennt, zumindest nicht verrät, sondern etwas zu finden, das geeignet groß, aber dennoch endlich an sich existiert. Gewissermaßen die Umkehrung der Frage von John Conway, warum es die Monstergruppe gibt. [3]
[1] Gabriele Nebe: Table of the Highest Kissing Numbers Presently Known.
[2] Die scheinheilige Frage nach der Anwendbarkeit, die nicht nur naive Menschen und Ingenieure, sondern auch angewandte Mathematiker gerne stellen, kann dank Datenverarbeitung beantwortet werden: Sieben Fehler erkennender und drei korrigierender Golay-Code von 12 Bit in 24.
[3] Life, Death and the Monster (John Conway) - Numberphile. In dem Youtube-Filmchen sagt der an Corona verstorbene John Conway in seiner Küche: „I would like to know what it's all about. You know, why it's there … that the one thing I'd really like to know before I die is why the monster group exists.“
24
In zwei Dimensionen weiß jedes Kind, daß man sechs Münzen an eine anlegen kann. Da wackelt nichts mehr, sieben sind offensichtlich unmöglich. Eindimensional sind Kugeln Strecken, an die zwei andere stoßen können. In der vierten Dimension hat man schnell 24 Hyperkugeln angelegt. Daß eine 25. nicht mehr geht wird auch erst 2008 gezeigt. Umso überraschender ist es, daß man für die 8. und die 24. Dimension die Kußzahlen 240 und 196.560 kennt, weil man die Kugeln gitterförmig anlegen kann und nicht mehr Luft bleibt als unbedingt erforderlich.
Sich auf Gitter zu beschränken, vereinfacht das Problem. Man könnte meinen, daß in drei Dimensionen die 12 als Gitterkußzahl schon ewig bekannt ist, doch erst Gauß konnte es beweisen. Inzwischen kennt man sie in 1 bis 9 und eben 24 Dimensionen. [1] Sie entspricht der Kußzahl, so letztere bekannt ist. Das ist nicht selbstverständlich. In der Dimension 9 kennt man zwar die Kußzahl nicht, es geht aber unregelmäßig mit 306 dichter als mit 272 im Gitter.
Das mag man alles für mathematische Spinnerei halten. [2] Auch die überraschenden Beziehungen zu anderen Zahlen und Gebieten kann rein theoretischer, gar zufälliger Natur sein, so wie 24 als vierte Fakultät allenthalben auftaucht. Auch könnte die Stringtheorie in 8 und 24 Dimensionen ein nur darauf aufbauendes Hirngespinst sein. Es bleibt aber der berechtigte Wunsch, die Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest nicht an einen allmächtigen Schöpfer oder Programmierer weiterzuleiten, der die Antwort auch nicht kennt, zumindest nicht verrät, sondern etwas zu finden, das geeignet groß, aber dennoch endlich an sich existiert. Gewissermaßen die Umkehrung der Frage von John Conway, warum es die Monstergruppe gibt. [3]
[1] Gabriele Nebe: Table of the Highest Kissing Numbers Presently Known.
[2] Die scheinheilige Frage nach der Anwendbarkeit, die nicht nur naive Menschen und Ingenieure, sondern auch angewandte Mathematiker gerne stellen, kann dank Datenverarbeitung beantwortet werden: Sieben Fehler erkennender und drei korrigierender Golay-Code von 12 Bit in 24.
[3] Life, Death and the Monster (John Conway) - Numberphile. In dem Youtube-Filmchen sagt der an Corona verstorbene John Conway in seiner Küche: „I would like to know what it's all about. You know, why it's there … that the one thing I'd really like to know before I die is why the monster group exists.“
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Folge, Reihe, Serie
wuerg, 18.03.2005 19:19
Manch einer fragt sich, welche Zahl das Folge-Opfer einer nicht enden wollenden Mord-Reihe des Serien-Würgers wird. [1] Zunächst hatte er scheinbar wahllos, doch mit der Ausstrahlung des Messias [2] systematisch zugeschlagen: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 und erst gestern die 22. Welche Zahl wird die nächste sein? Muß die 23 bis in den Mai zittern? Schon einmal hatte der Killer eine Pause eingelegt und sich nach dem Wieso, dem Weshalb und sogar dem Warum gefragt. Mordet er weiter, weil man ihm eine Antwort schuldig blieb? Möglicherweise Zahlen stellvertretend für Buchstaben? Sind es hebräische, und er hat sein Werk bereits vollendet? Greift er bald auf ganze Wörter über, rafft heute Folge, Reihe und Serie dahin, morgen vielleicht Variable, Parameter und Konstante? Droht bald Gefahr für ganze Sätze, Abschnitte oder Blogs?
[1] Bei Wortschnittchen einer, der inzwischen (2022) viele Benzinpreiserhöhungen überlebte.
[2] Messias. Englische Fernsehserie, deutsche Erstausstrahlung im ZDF ab 27. Februar 2005.
wieso, weshalb, warum
[1] Bei Wortschnittchen einer, der inzwischen (2022) viele Benzinpreiserhöhungen überlebte.
[2] Messias. Englische Fernsehserie, deutsche Erstausstrahlung im ZDF ab 27. Februar 2005.
wieso, weshalb, warum
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22
wuerg, 18.03.2005 00:42
Mit der 22 ist es eigentlich nicht anders als mit 20 und 21. Es gibt irgendwelche Zufallstreffer aus dem täglichen Leben, numerologische Bedeutungen und mehr oder minder konstruierte kombinatorische oder mathematische Vorkommnisse. Am Fußballspiel sind 22 Spieler beteiligt, elf auf jeder Seite. Snooker wird mit 22 Bällen gespielt, 15 rote, 6 farbige und der weiße Stoßball. Numerologen reduzieren normalerweise durch wiederholte Quersummenbildung auf eine Ziffer von 1 bis 9. Zweistelligen Zwischenergebnissen werden gelegentlich Zusatzbedeutungen zugesprochen, um Genauigkeit und Differenzierung vorzutäuschen. Zumeist begnügt man sich aber mit den Engelszahlen 11, 22 und 33.
Kombinatorisch ist immer etwas zu finden. So soll es 22 Möglichkeiten geben, fünf Sechsecke aneinander zu kleben. Und ich selbst fand vor vielen Jahren die 22 beim Naphthalin, das aus zwei Benzolringen besteht. An den zwei Positionen 0 des nachstehenden Bildes befindet sich nur ein Kohlenstoffatom, an den Positionen 1 bis 8 ebenfalls, jedoch mit Wasserstoff dran. Substituiert man einen, so gibt es zwei Möglichkeiten. An Position 1, 4, 5, 8 heißt es Alpha-Stellung, an Position 2, 3, 6, 7 Beta-Stellung. Mein uralter Holleman-Richter [2] schreibt dazu: „Die Anzahl der Disubstitutionsprodukte ist sehr groß. Bei zwei gleichen Substituenten sind 10 möglich, bei zwei ungleichen 14.“ Doch bei vier gleichen Substituenten ist die Zahl gar nicht so hoch, nämlich nur 22.
Das Bild zeigt neben dem Naphthalin die 22 als vierte Fünfeckzahl 1+4+7+10=22. Sie übersteigt die Dreieckszahl 21 um eins, ist also die sechste Pizzazahl. Um eine Pizza mit sechs geraden Schnitten in 22 Stücke zu teilen, kann man sich ein kleines Heptagramm in die Mitte malen und sechs der Kanten des siebenzackigen Sternes bis zum Rand verlängern. Die Wikipedia erwähnt noch, daß 22/7 eine gute Näherung für π ist, Amerikaner gerne mit Kaliber 22 um sich balllern (0,22″=5,6mm), das hebräische Alphabet 22 Buchstaben und deshalb der Lebensbaum 22 Wege hat, und jetzt kommt es: „Die Kettenbruchzerlegung von π hoch e beginnt mit 22“. Das ist ja toll für etwa 22,5.
Es bleibt die Look-And-Say-Folge von Convay. Man beginnt mit einer (gesehenen) Folge aus k₁ Ziffern z₁, k₂ Ziffern z₂ bis kₙ Ziffern zₙ ohne identische Nachbarn und geht über zu der Folge k₁, z₁, k₂, z₂ bis kₙ, zₙ (gesprochen: k₁ mal z₁, k₂ mal z₂ bis kₙ mal zₙ) über. Dieser Prozeß wird immer und immer wiederholt. Da Ziffern oberhalb von 3 und damit mehr als dreifache Wiederholungen unbedeutend sind, kann man die Folgen einfach als Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3 auffassen. [1]
[1] Treten in der Anfangsfolge Zahlen über 9 (oder gar andere Zeichen) auf, so verschwinden sie zwar nicht vollständig, spielen aber keine Rolle, da die Musik nach wenigen Schritten nur zwischen ihnen spielt. Ein Beispiel: (23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23)→(12,23)→(1,12,1,23)→(1,1,1,12,1,1,1,23)→(3,1,1,12,3,1,1,23) und so weiter.
[2] Holleman, Richter: Lehrbuch der organischen Chemie. Walter de Gruyter, Berlin, 1961. Seite 468.
21 | 23
Kombinatorisch ist immer etwas zu finden. So soll es 22 Möglichkeiten geben, fünf Sechsecke aneinander zu kleben. Und ich selbst fand vor vielen Jahren die 22 beim Naphthalin, das aus zwei Benzolringen besteht. An den zwei Positionen 0 des nachstehenden Bildes befindet sich nur ein Kohlenstoffatom, an den Positionen 1 bis 8 ebenfalls, jedoch mit Wasserstoff dran. Substituiert man einen, so gibt es zwei Möglichkeiten. An Position 1, 4, 5, 8 heißt es Alpha-Stellung, an Position 2, 3, 6, 7 Beta-Stellung. Mein uralter Holleman-Richter [2] schreibt dazu: „Die Anzahl der Disubstitutionsprodukte ist sehr groß. Bei zwei gleichen Substituenten sind 10 möglich, bei zwei ungleichen 14.“ Doch bei vier gleichen Substituenten ist die Zahl gar nicht so hoch, nämlich nur 22.
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Das Bild zeigt neben dem Naphthalin die 22 als vierte Fünfeckzahl 1+4+7+10=22. Sie übersteigt die Dreieckszahl 21 um eins, ist also die sechste Pizzazahl. Um eine Pizza mit sechs geraden Schnitten in 22 Stücke zu teilen, kann man sich ein kleines Heptagramm in die Mitte malen und sechs der Kanten des siebenzackigen Sternes bis zum Rand verlängern. Die Wikipedia erwähnt noch, daß 22/7 eine gute Näherung für π ist, Amerikaner gerne mit Kaliber 22 um sich balllern (0,22″=5,6mm), das hebräische Alphabet 22 Buchstaben und deshalb der Lebensbaum 22 Wege hat, und jetzt kommt es: „Die Kettenbruchzerlegung von π hoch e beginnt mit 22“. Das ist ja toll für etwa 22,5.
Es bleibt die Look-And-Say-Folge von Convay. Man beginnt mit einer (gesehenen) Folge aus k₁ Ziffern z₁, k₂ Ziffern z₂ bis kₙ Ziffern zₙ ohne identische Nachbarn und geht über zu der Folge k₁, z₁, k₂, z₂ bis kₙ, zₙ (gesprochen: k₁ mal z₁, k₂ mal z₂ bis kₙ mal zₙ) über. Dieser Prozeß wird immer und immer wiederholt. Da Ziffern oberhalb von 3 und damit mehr als dreifache Wiederholungen unbedeutend sind, kann man die Folgen einfach als Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3 auffassen. [1]
1 n 333 11 1n 33 21 111n 2k 1211 311n 121k 111221 13211n 1112111k 312211 1113211n 3112311k 13112221 311312211n 13211213211kIn der zweiten Spalte kann n=0,2,3,… in der dritten k=0,3,4,… sein. Folgen 10 bis 19 ergeben sich aus 0 bis 9, die 20 und 23 bis 29 kommen in Spalte 3 vor, 21 in Spalte 1. Es bleibt 22 als die einzige Zahl, die in sich selbst übergeht. Alle anderen verlängern sich Schritt für Schritt im Mittel um etwa 30 Prozent. Dieser Convay-Konstante genannte Wachstumsfaktor 1,303577… ist von 22 abgesehen für alle Anfangswerte gleich und die einzige positive reelle Nullstelle eines Polynoms 71. Grades. Das zu wissen, ist schon erstaunlich für eine solche willkürlich und unsystematisch wirkende Folge.
[1] Treten in der Anfangsfolge Zahlen über 9 (oder gar andere Zeichen) auf, so verschwinden sie zwar nicht vollständig, spielen aber keine Rolle, da die Musik nach wenigen Schritten nur zwischen ihnen spielt. Ein Beispiel: (23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23,23)→(12,23)→(1,12,1,23)→(1,1,1,12,1,1,1,23)→(3,1,1,12,3,1,1,23) und so weiter.
[2] Holleman, Richter: Lehrbuch der organischen Chemie. Walter de Gruyter, Berlin, 1961. Seite 468.
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21
wuerg, 16.03.2005 23:44
Die Zahl 21 ist kaum interessanter als 20. Sie ist die kleinste Zahl, deren Sprechweise der Zwanzigeins-Verein ändern möchte. Wir leben im 21. Jahrhundert. Mit 21 Jahren wurde man früher volljährig, wenn drei der zwölf Lebensabschnitte zu sieben Jahren vorüber waren. Was war eigentlich der Grund für die Herabsetzung auf 18? Wohl nicht die früher eintretende sittliche Reife. Eher die Möglichkeit, im Kriegsfall eigenverantwortlich auf andere schießen zu dürfen. Das mag nur die halbe Wahrheit sein, denn die volle ist 42.
Die 21 ist eine Fibonacci-Zahl. Und wegen 1+2+3+4+5+6=21 die sechste Dreieckszahl. Nach 10 Kegeln beim Bowling und 15 roten Bällen beim Snooker nun die 21 Punkte auf dem Würfel. Geteilt durch die 6 Seiten ergibt das eine mittlere Augenzahl von 3,5. Aus diesem Grunde ist die 7 mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten. Nicht so interessant ist 1+7+13=21 als dritte Achteckzahl. [1]
Spätestens durch Sheldon Cooper aus der Big Bang Theory wissen wir, daß 73 die 21. und 37 die 12. Primzahl ist. Unerwähnt läßt er die ebenfalls ziffernvertauschten Quadrate 441 und 144 mit der Quersumme 9, dem Quadrat der Quersumme von 12 und 21. Das aber ist nur der Winzigkeit ihrer Ziffern geschuldet und geht mit 13 und 31 genauso. Nicht aufmalen will ich das kleinste aller Quadrate, das sich aus verschieden großen kleineren Quadraten zusammensetzt. Es sind 21 Stück, die ein Gesamtquadrat der Größe 112 mal 112 ergeben. Wer ein Bild sehen möchte, sucht in der allwissenden Müllhalde nach der Spaßbezeichnung Quadratur des Quadrates. Auch die 21 Schlipsknoten mit genau acht Schlägen will ich hier nicht aufführen. [2] Nicht zufällig sind es auch 21 mit weniger als acht.
Nach der 15=3·5 ist 21=3·7 die zweite ungerade quadratfreie Semiprimzahl. Sie ist somit auch fermatsche Pseudoprimzahl. Zum Nachweis reicht es, eine Zahl a mit a=±1 mod 3 und a=∓1 mod 7 zu finden. Das ist etwas schwerer als bei der 15, doch immer noch leicht, denn 8=−1 mod 3 und 8=1 mod 7. Und in der Tat ist bereits 8²=1 mod 21, also auch 8²⁰=1 mod 21. Damit eine fermatsche auch eine eulersche Pseudoprimzahl ist, muß sogar a^((n−1)∕2)=±1 mod n für ein a=2,3,…,n−1 gelten. [4] Für n=15 ist das nicht der Fall, weil a⁷=a≠±1 mod 15 für die beiden einzigen Kandidaten a=4,11. Wegen 8¹⁰=1 mod 21 ist damit 21 die kleinste eulersche Pseudoprimzahl. [3]
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Fibonacci-Zahlen A000045, Dreieckszahlen A000217, Achteckzahlen A000567.
[2] Fink, Mao: Die 85 Methoden, eine Kravatte zu binden. Hoffmann und Campe, Hamburg, 2000.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Eulersche Pseudoprimzahlen A181781.
[4] Ich habe nicht a(n−1)/2 statt a^((n−1)/2) geschrieben, da echte Hochstellung den Zeilenabstand versaut und der Divisionsstrich nicht als hochgestelltes Zeichen zur Verfügung steht. Ersetzt durch ein Silbenzeichen kanadischer Ureinwohner sieht es saumäßig aus: a⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ².
20 | 22 | 15
Die 21 ist eine Fibonacci-Zahl. Und wegen 1+2+3+4+5+6=21 die sechste Dreieckszahl. Nach 10 Kegeln beim Bowling und 15 roten Bällen beim Snooker nun die 21 Punkte auf dem Würfel. Geteilt durch die 6 Seiten ergibt das eine mittlere Augenzahl von 3,5. Aus diesem Grunde ist die 7 mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten. Nicht so interessant ist 1+7+13=21 als dritte Achteckzahl. [1]
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Dreieck, Achteckzahl als Stern, Augenzahlen des Würfels (png)Spätestens durch Sheldon Cooper aus der Big Bang Theory wissen wir, daß 73 die 21. und 37 die 12. Primzahl ist. Unerwähnt läßt er die ebenfalls ziffernvertauschten Quadrate 441 und 144 mit der Quersumme 9, dem Quadrat der Quersumme von 12 und 21. Das aber ist nur der Winzigkeit ihrer Ziffern geschuldet und geht mit 13 und 31 genauso. Nicht aufmalen will ich das kleinste aller Quadrate, das sich aus verschieden großen kleineren Quadraten zusammensetzt. Es sind 21 Stück, die ein Gesamtquadrat der Größe 112 mal 112 ergeben. Wer ein Bild sehen möchte, sucht in der allwissenden Müllhalde nach der Spaßbezeichnung Quadratur des Quadrates. Auch die 21 Schlipsknoten mit genau acht Schlägen will ich hier nicht aufführen. [2] Nicht zufällig sind es auch 21 mit weniger als acht.
Nach der 15=3·5 ist 21=3·7 die zweite ungerade quadratfreie Semiprimzahl. Sie ist somit auch fermatsche Pseudoprimzahl. Zum Nachweis reicht es, eine Zahl a mit a=±1 mod 3 und a=∓1 mod 7 zu finden. Das ist etwas schwerer als bei der 15, doch immer noch leicht, denn 8=−1 mod 3 und 8=1 mod 7. Und in der Tat ist bereits 8²=1 mod 21, also auch 8²⁰=1 mod 21. Damit eine fermatsche auch eine eulersche Pseudoprimzahl ist, muß sogar a^((n−1)∕2)=±1 mod n für ein a=2,3,…,n−1 gelten. [4] Für n=15 ist das nicht der Fall, weil a⁷=a≠±1 mod 15 für die beiden einzigen Kandidaten a=4,11. Wegen 8¹⁰=1 mod 21 ist damit 21 die kleinste eulersche Pseudoprimzahl. [3]
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Fibonacci-Zahlen A000045, Dreieckszahlen A000217, Achteckzahlen A000567.
[2] Fink, Mao: Die 85 Methoden, eine Kravatte zu binden. Hoffmann und Campe, Hamburg, 2000.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Eulersche Pseudoprimzahlen A181781.
[4] Ich habe nicht a(n−1)/2 statt a^((n−1)/2) geschrieben, da echte Hochstellung den Zeilenabstand versaut und der Divisionsstrich nicht als hochgestelltes Zeichen zur Verfügung steht. Ersetzt durch ein Silbenzeichen kanadischer Ureinwohner sieht es saumäßig aus: a⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ².
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