21
wuerg, 16.03.2005 23:44
Die Zahl 21 ist kaum interessanter als 20. Sie ist die kleinste Zahl, deren Sprechweise der Zwanzigeins-Verein ändern möchte. Wir leben im 21. Jahrhundert. Mit 21 Jahren wurde man früher volljährig, wenn drei der zwölf Lebensabschnitte zu sieben Jahren vorüber waren. Was war eigentlich der Grund für die Herabsetzung auf 18? Wohl nicht die früher eintretende sittliche Reife. Eher die Möglichkeit, im Kriegsfall eigenverantwortlich auf andere schießen zu dürfen. Das mag nur die halbe Wahrheit sein, denn die volle ist 42.
Die 21 ist eine Fibonacci-Zahl. Und wegen 1+2+3+4+5+6=21 die sechste Dreieckszahl. Nach 10 Kegeln beim Bowling und 15 roten Bällen beim Snooker nun die 21 Punkte auf dem Würfel. Geteilt durch die 6 Seiten ergibt das eine mittlere Augenzahl von 3,5. Aus diesem Grunde ist die 7 mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten. Nicht so interessant ist 1+7+13=21 als dritte Achteckzahl.¹
Spätestens durch Sheldon Cooper aus der Big Bang Theory wissen wir, daß 73 die 21. und 37 die 12. Primzahl ist. Unerwähnt läßt er die ebenfalls ziffernvertauschten Quadrate 441 und 144 mit der Quersumme 9, dem Quadrat der Quersumme von 12 und 21. Das aber ist nur der Winzigkeit ihrer Ziffern geschuldet und geht mit 13 und 31 genauso. Nicht aufmalen will ich das kleinste aller Quadrate, das sich aus verschieden großen kleineren Quadraten zusammensetzt. Es sind 21 Stück, die ein Gesamtquadrat der Größe 112 mal 112 ergeben. Wer ein Bild sehen möchte, sucht in der allwissenden Müllhalde nach der Spaßbezeichnung Quadratur des Quadrates. Auch die 21 Schlipsknoten mit genau acht Schlägen will ich hier nicht aufführen.² Nicht zufällig sind es auch 21 mit weniger als acht.
Nach der 15=3·5 ist 21=3·7 die zweite ungerade quadratfreie Semiprimzahl. Sie ist somit auch fermatsche Pseudoprimzahl. Zum Nachweis reicht es, eine Zahl a mit a=±1 mod 3 und a=∓1 mod 7 zu finden. Das ist etwas schwerer als bei der 15, doch immer noch leicht, denn 8=−1 mod 3 und 8=1 mod 7. Und in der Tat ist bereits 8²=1 mod 21, also auch 8²⁰=1 mod 21. Damit eine fermatsche auch eine eulersche Pseudoprimzahl ist, muß sogar a^((n−1)∕2)=±1 mod n für ein a=2,3,...,n−1 gelten.⁴ Für n=15 ist das nicht der Fall, weil a⁷=a≠±1 mod 15 für die beiden einzigen Kandidaten a=4,11. Wegen 8¹⁰=1 mod 21 ist damit 21 die kleinste eulersche Pseudoprimzahl.³
1 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Fibonacci-Zahlen A000045, Dreieckszahlen A000217, Achteckzahlen A000567.
2 Fink, Mao: Die 85 Methoden, eine Kravatte zu binden. Hoffmann und Campe, Hamburg, 2000.
3 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Eulersche Pseudoprimzahlen A181781.
4 Ich habe nicht a(n-1)∕2 statt a^((n-1)∕2) geschrieben, da echte Hochstellung den Zeilenabstand versaut und der Divisionsstrich nicht als hochgestelltes Zeichen zur Verfügung steht. Ersetzt durch ein Silbenzeichen kanadischer Ureinwohner sieht es saumäßig aus: a⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ².
20 | 22 | 15
Die 21 ist eine Fibonacci-Zahl. Und wegen 1+2+3+4+5+6=21 die sechste Dreieckszahl. Nach 10 Kegeln beim Bowling und 15 roten Bällen beim Snooker nun die 21 Punkte auf dem Würfel. Geteilt durch die 6 Seiten ergibt das eine mittlere Augenzahl von 3,5. Aus diesem Grunde ist die 7 mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten. Nicht so interessant ist 1+7+13=21 als dritte Achteckzahl.¹
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Dreieck, Achteckzahl als Stern, Augenzahlen des Würfels (png)Spätestens durch Sheldon Cooper aus der Big Bang Theory wissen wir, daß 73 die 21. und 37 die 12. Primzahl ist. Unerwähnt läßt er die ebenfalls ziffernvertauschten Quadrate 441 und 144 mit der Quersumme 9, dem Quadrat der Quersumme von 12 und 21. Das aber ist nur der Winzigkeit ihrer Ziffern geschuldet und geht mit 13 und 31 genauso. Nicht aufmalen will ich das kleinste aller Quadrate, das sich aus verschieden großen kleineren Quadraten zusammensetzt. Es sind 21 Stück, die ein Gesamtquadrat der Größe 112 mal 112 ergeben. Wer ein Bild sehen möchte, sucht in der allwissenden Müllhalde nach der Spaßbezeichnung Quadratur des Quadrates. Auch die 21 Schlipsknoten mit genau acht Schlägen will ich hier nicht aufführen.² Nicht zufällig sind es auch 21 mit weniger als acht.
Nach der 15=3·5 ist 21=3·7 die zweite ungerade quadratfreie Semiprimzahl. Sie ist somit auch fermatsche Pseudoprimzahl. Zum Nachweis reicht es, eine Zahl a mit a=±1 mod 3 und a=∓1 mod 7 zu finden. Das ist etwas schwerer als bei der 15, doch immer noch leicht, denn 8=−1 mod 3 und 8=1 mod 7. Und in der Tat ist bereits 8²=1 mod 21, also auch 8²⁰=1 mod 21. Damit eine fermatsche auch eine eulersche Pseudoprimzahl ist, muß sogar a^((n−1)∕2)=±1 mod n für ein a=2,3,...,n−1 gelten.⁴ Für n=15 ist das nicht der Fall, weil a⁷=a≠±1 mod 15 für die beiden einzigen Kandidaten a=4,11. Wegen 8¹⁰=1 mod 21 ist damit 21 die kleinste eulersche Pseudoprimzahl.³
1 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Fibonacci-Zahlen A000045, Dreieckszahlen A000217, Achteckzahlen A000567.
2 Fink, Mao: Die 85 Methoden, eine Kravatte zu binden. Hoffmann und Campe, Hamburg, 2000.
3 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Eulersche Pseudoprimzahlen A181781.
4 Ich habe nicht a(n-1)∕2 statt a^((n-1)∕2) geschrieben, da echte Hochstellung den Zeilenabstand versaut und der Divisionsstrich nicht als hochgestelltes Zeichen zur Verfügung steht. Ersetzt durch ein Silbenzeichen kanadischer Ureinwohner sieht es saumäßig aus: a⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ².
20 | 22 | 15
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borisklug,
18.03.2005 10:36
21 ist meine Lieblingszahl...
... denn sie sieht so prim aus - ist es aber nicht. Irgendwie einfach schön.
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wuerg,
18.03.2005 11:37
Für mich hat die 21 nie prim ausgesehen. Von Kindesbeinen an war es 3 mal 7. Und deshalb erinnert sie mich mehr an einen unangenehmen Vorfall: Als ich in der dritten Klasse die Schule wechselte, frug mich der Direktor: Was ist dreimal die Sieben. Die naheliegende Antwort 21 erschien mir so trivial, daß ich in seiner abartigen Formulierung (die Sieben) einen Hintersinn suchte und nichts sagte.
Trotzdem sieht 21 etwas prim aus. Und sie ist nach 15 auch die zweitkleinste Pseudoprimzahl. Unter den eulerschen Pseudoprimzahlen ist 21 die kleinste.
Sollten Sie noch mehr über Ihre Lieblingszahl 21 sagen wollen, dann können Sie das gerne hier tun.
Trotzdem sieht 21 etwas prim aus. Und sie ist nach 15 auch die zweitkleinste Pseudoprimzahl. Unter den eulerschen Pseudoprimzahlen ist 21 die kleinste.
Sollten Sie noch mehr über Ihre Lieblingszahl 21 sagen wollen, dann können Sie das gerne hier tun.
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wuerg,
18.03.2005 12:54
Selbstverständlich kommt die Zahl 21 noch in weiteren als den bereits erwähnten Folgen vor. Eine davon ist a(n)=1,1,3,5,11,21,43,85,... und besteht aus den dritten Teilen der Zweierpotenzen auf die nächste ganze Zahl gerundet. Für n=6 ergibt sich (2^n)/3=64/3=21,3... und damit als 6. Glied der Folge die Zahl 21. Eine ähnliche Folge ist b(n)=0,1,2,5,10,21,42,85,... und entsteht dadurch, daß man die dritten Teile der Zweierpotenzen immer nach unten rundet. Auch darin kommt 21 vor.
Nur auf den ersten Blick verblüfft, daß die zweite Folge Summenfolge der ersten ist, also b(n)=a(1)+a(2)..+a(n-1) ist. Zum Beispiel ist 21=1+1+3+5+11, was aber keinen vom Sockel haut, wäre da nicht die folgende Tatsache: Es gibt a(n) Möglichkeiten, eine Kravatte in genau n+2 Schritten zu binden. Und selbstverständlich sind es dann b(n) Möglichkeiten, dies mit weniger zu tun. Für die Zahl 21 bedeutet das: In genau 8 Schritten können 21 verschiedene Schlipsknoten gefertigt werden. Mit weniger als 8 sind es ebenfalls 21.
So steht es in dem bemerkenswerten Buch von Thomas Fink und Yong Mao „Die 85 Methoden eine Kravatte zu binden“. Sie hätten im Titel auch die 21 statt der 85 nennen können, haben sich aber für maximal 9 Schläge entschieden, wodurch sich b(9-1)=85 Knoten ergeben. Ein Grund wird darin liegen, daß es mit 9 Schlägen gerade noch einen Kravattenknoten mit Namen gibt, den Balthus.
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Nur auf den ersten Blick verblüfft, daß die zweite Folge Summenfolge der ersten ist, also b(n)=a(1)+a(2)..+a(n-1) ist. Zum Beispiel ist 21=1+1+3+5+11, was aber keinen vom Sockel haut, wäre da nicht die folgende Tatsache: Es gibt a(n) Möglichkeiten, eine Kravatte in genau n+2 Schritten zu binden. Und selbstverständlich sind es dann b(n) Möglichkeiten, dies mit weniger zu tun. Für die Zahl 21 bedeutet das: In genau 8 Schritten können 21 verschiedene Schlipsknoten gefertigt werden. Mit weniger als 8 sind es ebenfalls 21.
So steht es in dem bemerkenswerten Buch von Thomas Fink und Yong Mao „Die 85 Methoden eine Kravatte zu binden“. Sie hätten im Titel auch die 21 statt der 85 nennen können, haben sich aber für maximal 9 Schläge entschieden, wodurch sich b(9-1)=85 Knoten ergeben. Ein Grund wird darin liegen, daß es mit 9 Schlägen gerade noch einen Kravattenknoten mit Namen gibt, den Balthus.
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