21
Die Zahl 21 ist kaum interessanter als die 20. Sie ist die kleinste Zahl, deren Sprech­weise der Zwanzig­eins-​Verein ändern möchte. Wir leben im 21. Jahr­hundert. Mit 21 Jahren wurde man früher voll­jährig, wenn drei der zwölf Lebens­abschnitte zu sieben Jahren vorüber waren. Was war eigent­lich der Grund für die Herab­setzung auf 18? Wohl nicht die früher eintre­tende sitt­liche Reife. Eher die Möglich­keit, im Kriegs­fall eigen­verant­wort­lich auf andere schießen zu dürfen. Das mag nur die halbe Wahr­heit 21 sein, denn die volle ist 42.

Die 21 ist eine Fibo­nacci-​Zahl.¹ Und wegen 1+2+3+4+5+6=21 die sechste Drei­ecks­zahl.² Nach 10 Kegeln beim Bowling und 15 roten Bällen beim Snooker nun die 21 Punkte auf dem Würfel. Geteilt durch die 6 Sei­ten ergibt das eine mitt­lere Augen­zahl von 3,5. Aus diesem Grunde ist die 7 mit zwei Würfeln am wahr­schein­lich­sten. Nicht so inter­essant ist 21=1+7+13=21 als dritte Acht­eck­zahl.³

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Dreieck, Achteckzahl als Stern, Augenzahlen des Würfels (png)

Spätestens durch Sheldon Cooper aus der Big Bang Theory wissen wir, daß 73 die 21. und 37 die 12. Prim­zahl ist. Uner­wähnt läßt er die eben­falls ziffern­ver­tauschten Quad­rate 441 und 144 mit der Quer­summe 9, dem Quadrat der Quer­summe von 12 und 21. Das aber ist nur der Winzig­keit ihrer Ziffern geschuldet und geht mit 13 und 31 genauso. Nicht aufmalen will ich das kleinste aller Quadrate, das sich aus verschie­den großen klei­neren Quadraten zusammen­setzt. Es sind 21 Stück, die ein Gesamt­quadrat der Größe 112 mal 112 ergeben. Wer ein Bild sehen möchte, sucht in der allwis­senden Müll­halde nach der Spaß­bezeich­nung Qua­dratur des Qua­drates. Auch die 21 Schlips­knoten, die mit 8 bzw. weniger als 8 Schlägen möglich sind, will ich hier nicht aufführen.⁴

Nach der 15=3·5 ist 21=3·7 die zweite ungerade quadrat­freie Semi­prim­zahl. Sie ist somit auch fermat­sche Pseudo­primzahl. Zum Nach­weis reicht es, eine Zahl a mit a=±1 mod 3 und a=∓1 mod 7 zu finden. Das ist etwas schwerer als bei der 15, doch immer noch leicht, denn 8=-1 mod 3 und 8=1 mod 7. Und in der Tat ist bereits 8²=1 mod 21, also auch 8²⁰=1 mod 21. Damit eine fermat­sche auch eine euler­sche Pseudo­primzahl ist, muß sogar a^(n-1)/2=±1mod n für ein a=2,3,...,n-1 gelten. Für n=15 ist daß nicht der Fall, weil a⁷=a≠±1 mod 15 für die beiden einzigen Kandidaten a=4,11. Wegen 8¹⁰=1 mod 21 ist damit 21 die kleinste euler­sche Pseudo­prim­zahl.⁵

  1 Fibonacci-Zahlen (A000045): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, u8=21, 34, 55, 89, 144, ... 
  2 Dreieckszahlen (A000217): 1, 3, 6, 10, 15, D6=21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, ... 
  3 Achteckzahlen (A000567): 1, 8, A3=21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341,... 
  4 Fink, Mao: Die 85 Methoden, eine Kravatte zu binden. Hoffmann und Campe. 
  5 Eulersche Pseudoprimzahlen (A181781): 21, 25, 33, 45, 49, 57, 65, 69, 77, ... 

20 | 22 | 15

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21 ist meine Lieblingszahl...
... denn sie sieht so prim aus - ist es aber nicht. Irgendwie einfach schön.

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Für mich hat die 21 nie prim ausgesehen. Von Kindes­beinen an war es 3 mal 7. Und deshalb erinnert sie mich mehr an einen unange­nehmen Vorfall: Als ich in der dritten Klasse die Schule wechselte, frug mich der Direktor: Was ist dreimal die Sieben. Die nahe­liegende Antwort 21 erschien mir so trivial, daß ich in seiner abartigen Formu­lierung (die Sieben) einen Hinter­sinn suchte und nichts sagte.

Trotzdem sieht 21 etwas prim aus. Und sie ist nach 15 auch die zweit­kleinste Pseudo­primzahl. Unter den eulerschen Pseudo­prim­zahlen ist 21 die kleinste.

Sollten Sie noch mehr über Ihre Lieblings­zahl 21 sagen wollen, dann können Sie das gerne hier tun.

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Selbstverständlich kommt die Zahl 21 noch in weiteren als den bereits erwähnten Folgen vor. Eine davon ist a(n)=1,1,3,5,11,21,43,85,... und besteht aus den dritten Teilen der Zweierpotenzen auf die nächste ganze Zahl gerundet. Für n=6 ergibt sich (2^n)/3=64/3=21,3... und damit als 6. Glied der Folge die Zahl 21. Eine ähnliche Folge ist b(n)=0,1,2,5,10,21,42,85,... und entsteht dadurch, daß man die dritten Teile der Zweierpotenzen immer nach unten rundet. Auch darin kommt 21 vor.

Nur auf den ersten Blick verblüfft, daß die zweite Folge Summenfolge der ersten ist, also b(n)=a(1)+a(2)..+a(n-1) ist. Zum Beispiel ist 21=1+1+3+5+11, was aber keinen vom Sockel haut, wäre da nicht die folgende Tatsache: Es gibt a(n) Möglichkeiten, eine Kravatte in genau n+2 Schritten zu binden. Und selbstverständlich sind es dann b(n) Möglichkeiten, dies mit weniger zu tun. Für die Zahl 21 bedeutet das: In genau 8 Schritten können 21 verschiedene Schlipsknoten gefertigt werden. Mit weniger als 8 sind es ebenfalls 21.

So steht es in dem bemerkenswerten Buch von Thomas Fink und Yong Mao „Die 85 Methoden eine Kravatte zu binden“. Sie hätten im Titel auch die 21 statt der 85 nennen können, haben sich aber für maximal 9 Schläge entschieden, wodurch sich b(9-1)=85 Knoten ergeben. Ein Grund wird darin liegen, daß es mit 9 Schlägen gerade noch einen Kravattenknoten mit Namen gibt, den Balthus.

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die 21 ist total schön, denn das ist mein geburtstag!

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