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Adam Spencer
wuerg, 19.04.2005 10:29
Ich habe mir ein Buch von Adam Spencer [1] gekauft, in dem laut Klappentext das mathematische Superhirn allerlei Verrücktes, Wissenswertes, Kniffliges, Skurriles und Unterhaltsames über Zahlen von 1 bis 100 präsentiert. Was ich bisher geschrieben habe, findet sich teilweise in diesem Buch wieder, vieles war mir neu. Vor allem Beziehungen aus den mir unbekannten Bereichen wie Popmusik, Fernsehserien und natürlich Sex. Zum Beispiel der Umstand, daß sich eine mir völlig unbekannte Popgruppe namens 10cc nach der wie auch immer gemittelten Ausstoßmenge eines Mannes benannt habe. Ich werde erst einmal bei Mathematik, Musik, Astronomie, Kalender, Sprache und Spintisiererei bleiben und nur gelegentlich ein paar Reizwörter unterbringen, wie es hier geschehen ist.
[1] Adam Spencer: Das Buch der Zahlen. dtv, 2001.
[1] Adam Spencer: Das Buch der Zahlen. dtv, 2001.
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Null-Null
wuerg, 18.04.2005 17:28
Noch heute beginnt man Numerierungen und vor allem Zählungen normalerweise bei 1, auch wenn die 0 oftmals sinnvoller wäre. Der erste Tag im Monat hat die Nummer 1, der erste Monat Januar im Jahr ebenfalls. Warum sollte dann das erste Jahr seit der Zeitenwende die Nummer 0 haben? Weil anders als in Büchern, die mit der Seite 1 beginnen, die Zählung möglicherweise in die rückwärtige Richtung fortgesetzt werden soll und man nur zwei Möglichkeiten sieht: Die 0 auszulassen oder einer Seite zuzuschlagen.
Oft erweist es sich als günstig, mit der 1 begonnen zu haben. So kann man dem ersten Kapitel immer noch ein Vorwort unter der Nummer 0 voranstellen. Es ist zwar logisch, DIN‑A‑n als ein Rechteck zu definieren, dessen Seiten im Verhältnis √2 stehen und dessen Fläche durch n‑fache Halbierung eines Quadratmeters entsteht. Nur hätte man für zwei Quadratmeter nicht DIN‑A‑00 sagen sollen. Den gleichen Schwachsinn findet man auf Filmen, wo vor dem Bild 1 das Bild 0 und davor 00 kommt. Die Toilette dagegen ist mit 00 systematisch bezeichnet, nicht als Vorgänger des Raumes 0, sondern des Raumes 01 im Erdgeschoß (0). Korrekt sind auch die 00er‑Jahre, meinetwegen auch Nullerjahre, nicht aber die Nuller oder gar Nullziger.
Die Wikipedia nennt noch Null‐Null‐Sieben, die kurze Rochade und die Doppelnull beim Roulette, um die Einnahmen des Kasinos zu steigern. Unerwähnt bleibt aber, daß im Fußball zur Enttäuschung der Zuschauer oftmals null‑null gespielt wird. Fast vergessen ist die Vorwahl 00, um ins Ausland zu telefonieren.
0 | Jahr 0 | 00er Jahre
Oft erweist es sich als günstig, mit der 1 begonnen zu haben. So kann man dem ersten Kapitel immer noch ein Vorwort unter der Nummer 0 voranstellen. Es ist zwar logisch, DIN‑A‑n als ein Rechteck zu definieren, dessen Seiten im Verhältnis √2 stehen und dessen Fläche durch n‑fache Halbierung eines Quadratmeters entsteht. Nur hätte man für zwei Quadratmeter nicht DIN‑A‑00 sagen sollen. Den gleichen Schwachsinn findet man auf Filmen, wo vor dem Bild 1 das Bild 0 und davor 00 kommt. Die Toilette dagegen ist mit 00 systematisch bezeichnet, nicht als Vorgänger des Raumes 0, sondern des Raumes 01 im Erdgeschoß (0). Korrekt sind auch die 00er‑Jahre, meinetwegen auch Nullerjahre, nicht aber die Nuller oder gar Nullziger.
Die Wikipedia nennt noch Null‐Null‐Sieben, die kurze Rochade und die Doppelnull beim Roulette, um die Einnahmen des Kasinos zu steigern. Unerwähnt bleibt aber, daß im Fußball zur Enttäuschung der Zuschauer oftmals null‑null gespielt wird. Fast vergessen ist die Vorwahl 00, um ins Ausland zu telefonieren.
0 | Jahr 0 | 00er Jahre
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Minus 0
wuerg, 15.04.2005 11:46
Es gibt zahlreiche Methoden, Zahlen zu speichern. Die grundlegende Art ist die Abbildung der ganzen Zahlen (unsigned integers) von 0 bis 2ⁿ−1 als Binärzahlen in n aufeinanderfolgenden Bits. Heute ist es üblich, höherwertige Stellen auch an höherwertigen Bits und unter höheren Adressen zu speichern, für n eine Zweierpotenz zu wählen und sich an die Wortgrenzen zu halten. Das war nicht immer der Fall, weil man die höherwertigen Adressen rechts denkt, die höherwertigen Stellen einer Zahl jedoch links schreibt.
Will man auch negative ganze Zahlen (signed integers) darstellen, so entscheidet man sich heutzutage, die unsigned integers u mit führender 1 als s=u−2ⁿ negativ zu interpretieren. Diese Darstellung heißt 2er-Komplement, weil das normale Additionsverfahren zu s und −s immer 2, also 0 mit Übertrag ergibt.
Diese Darstellung ist keinesweg mit den Computern erfunden worden. Mechanische Rechenmaschinen hatten die gleichen Grundlagen. Nur verwendete man die Dezimaldarstellung und damit statt des 2er- das 10er-Komplement. Beide leiden unter mangelnder Symmetrie. So gibt es unterhalb der 0 eine Zahl mehr als oberhalb. Diesen Mangel beseitig man nicht durch Streichung der kleinsten Zahl, denn die auf Computern übliche bitweise Negation stimmt nicht mit der arithmetischen überein. Leider ist not(s)=−s−1. Auch kann bei negativen Zahlen die häufig vorkommende Division durch eine Zweierpotenz nicht durch eine viel schnellere Bitverschiebung ersetzt werden.
Für binär dargestellte Zahlen werden die geschilderten Nachteile vermieden, indem man zum Wechsel des Vorzeichens einfach alle Bits umkehrt und die unsigned integers u mit führender 1 als negative Zahlen s=u−2ⁿ+1 interpretiert. Diese Methode heißt 1er-Komplement, weil die Addition von s und −s auf eine Kette aus lauter Einsen führt. Für Dezimalzahlen ist es das 9er-Komplement. Die so gewonnene Symmetrie ergibt eleganterweise not(s)=−s, und auch negative Zahlen können durch einfach Bitverschiebung durch eine Zweierpotenz geteilt werden.
Doch leider liefert das normale Additionsverfahren nicht immer das richtige Ergebnis. Das Carry-Bit ist zusätzlich zu addieren, wodurch diese Zahldarstellung nur auf Computern Sinn macht, die diesen Zusatz (end-arround carry) in der Hardware realisiert haben. Außerdem liefert eine Addition zur 0 lauter 1‑Bits, die sogenannte negative Null, während die positive Null aus lauter 0‑Bits besteht. [1]
Man könnte eine der beiden verbieten, also durch die andere ersetzen. Schöner aber ist es, beide Nullen zu benutzen. Das gestattet elegante Programme, birgt aber auch Gefahren. So werden −0 und +0 im normalen Bitvergleich als verschieden getestet. Damit der unbedarfte Programmierer möglichst nie auf die 0 trifft, führt die Hardware Additionen als Subtraktionen (subtractive adder) aus.
Auch hier ist eine Unsymmetrie nicht wegzudiskutieren, die zu der Einsicht verhelfen sollte, daß es nicht immer möglich ist, etwas symmetrisch, ebenmäßig oder einfach darzustellen, was ungleich, holprig oder schwierig ist. Eine zunächst vorhandene Unsymmetrie (2er-Komplement) weitgehend zu beseitigen und auf ein möglichst unbemerkt bleibendes Detail (+0 und −0) zu verschieben, ist eigentlich Augenwischerei. Ich halte das dualistische Bestreben, alles auf zwei komplementäre Teile zurückzuführen, für naiv und gefährlich. Man kann nicht 0 und 1, und und oder, positiv und negativ, links und rechts, wahr und falsch auf allen Ebenen vertauschen und erhält wieder das gleiche.
[1] Minus Zero. Fourmilab Switzerland. Beschreibung der Univac-1100-Serie, 36‑Bit-Rechner der Siebziger mit einer Wortbreite abseits heute üblicher Zweierpotenzen. In einem Wort konnten Zahlen von ±0 bis ±2³⁵−1 gespeichert werden, insbesondere zwei Nullen −0 und +0.
28 | Jahr 0 | 00 | noon
Will man auch negative ganze Zahlen (signed integers) darstellen, so entscheidet man sich heutzutage, die unsigned integers u mit führender 1 als s=u−2ⁿ negativ zu interpretieren. Diese Darstellung heißt 2er-Komplement, weil das normale Additionsverfahren zu s und −s immer 2, also 0 mit Übertrag ergibt.
Diese Darstellung ist keinesweg mit den Computern erfunden worden. Mechanische Rechenmaschinen hatten die gleichen Grundlagen. Nur verwendete man die Dezimaldarstellung und damit statt des 2er- das 10er-Komplement. Beide leiden unter mangelnder Symmetrie. So gibt es unterhalb der 0 eine Zahl mehr als oberhalb. Diesen Mangel beseitig man nicht durch Streichung der kleinsten Zahl, denn die auf Computern übliche bitweise Negation stimmt nicht mit der arithmetischen überein. Leider ist not(s)=−s−1. Auch kann bei negativen Zahlen die häufig vorkommende Division durch eine Zweierpotenz nicht durch eine viel schnellere Bitverschiebung ersetzt werden.
Für binär dargestellte Zahlen werden die geschilderten Nachteile vermieden, indem man zum Wechsel des Vorzeichens einfach alle Bits umkehrt und die unsigned integers u mit führender 1 als negative Zahlen s=u−2ⁿ+1 interpretiert. Diese Methode heißt 1er-Komplement, weil die Addition von s und −s auf eine Kette aus lauter Einsen führt. Für Dezimalzahlen ist es das 9er-Komplement. Die so gewonnene Symmetrie ergibt eleganterweise not(s)=−s, und auch negative Zahlen können durch einfach Bitverschiebung durch eine Zweierpotenz geteilt werden.
Doch leider liefert das normale Additionsverfahren nicht immer das richtige Ergebnis. Das Carry-Bit ist zusätzlich zu addieren, wodurch diese Zahldarstellung nur auf Computern Sinn macht, die diesen Zusatz (end-arround carry) in der Hardware realisiert haben. Außerdem liefert eine Addition zur 0 lauter 1‑Bits, die sogenannte negative Null, während die positive Null aus lauter 0‑Bits besteht. [1]
Man könnte eine der beiden verbieten, also durch die andere ersetzen. Schöner aber ist es, beide Nullen zu benutzen. Das gestattet elegante Programme, birgt aber auch Gefahren. So werden −0 und +0 im normalen Bitvergleich als verschieden getestet. Damit der unbedarfte Programmierer möglichst nie auf die 0 trifft, führt die Hardware Additionen als Subtraktionen (subtractive adder) aus.
Auch hier ist eine Unsymmetrie nicht wegzudiskutieren, die zu der Einsicht verhelfen sollte, daß es nicht immer möglich ist, etwas symmetrisch, ebenmäßig oder einfach darzustellen, was ungleich, holprig oder schwierig ist. Eine zunächst vorhandene Unsymmetrie (2er-Komplement) weitgehend zu beseitigen und auf ein möglichst unbemerkt bleibendes Detail (+0 und −0) zu verschieben, ist eigentlich Augenwischerei. Ich halte das dualistische Bestreben, alles auf zwei komplementäre Teile zurückzuführen, für naiv und gefährlich. Man kann nicht 0 und 1, und und oder, positiv und negativ, links und rechts, wahr und falsch auf allen Ebenen vertauschen und erhält wieder das gleiche.
[1] Minus Zero. Fourmilab Switzerland. Beschreibung der Univac-1100-Serie, 36‑Bit-Rechner der Siebziger mit einer Wortbreite abseits heute üblicher Zweierpotenzen. In einem Wort konnten Zahlen von ±0 bis ±2³⁵−1 gespeichert werden, insbesondere zwei Nullen −0 und +0.
28 | Jahr 0 | 00 | noon
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Jahr 0
wuerg, 14.04.2005 01:40
Gelegentlich hat man sogar im täglichen Leben das Problem, Abschnitte sinnvoll zu benennen. Auf den ersten Blick mag es selbstverständlich erscheinen, einen Bereich von einer ganzen Zahl n bis zur nächsten n+1 mit n zu bezeichnen, denkt sich also Zahlen wie x=12,345 aus n=12 und x−n=0,345 zusammengesetzt. Ein Blick auf die negativen Zahlen trübt aber diesen ebenmäßigen Eindruck, denn x=−12,345 läge dann im Intervall n=−13. Man mag deshalb unsere Darstellung negativer Zahlen für falsch halten und eine andere bevorzugen, wie sie vor der Einführung des Taschenrechners ab der dritten Klasse beim Rechnen mit Logarithmen üblich war. Man entnahm die Werte einer Tafel und kam für den Logarithmus von 0,0123 auf 0,09−2, nicht −1,91.
Auf der anderen Seite muß man in der üblichen Darstellung bei Multiplikation mit −1 nur das Vorzeichen austauschen und beim Zehnfachen keine Handstände machen. Von der Symmetrie um den Nullpunkt herum ganz zu schweigen. Das darf aber nicht dazu verleiten, einfach die Vorkommastellen als Intervallnummern zu verwenden, denn dann haben wir um die 0 herum ein größeres Intervall oder zwei, +0 und −0 mit der Frage, in welches denn die 0 selbst fällt. Und deshalb waren unsere Vorfahren gar nicht so dumm, zum Erhalt der Symmetrie auf das nullte Intervall zu verzichten, kein Jahr 0 zu haben und die Jahre 1901 bis 2000 als 20. Jahrhundert, nicht als novecento zu bezeichnen.
Für einen modernen im Zweierkomplement rechnenden Computer ist es selbstverständlich, die Null weder auszulassen noch zu verdoppeln. Es schadete aber Programmierern nicht, wenn Fortran ihnen früher einen Beginn mit der 1 aufzwang. Wo ist das Problem mit dritthalb, schließlich gibt es mit anderthalb ja auch keines? Auch dreiviertel Vier sollte man verstehen. Und warum halten manche sich für geistreich, darauf hinzuweisen, daß der letzte Tag des 20. Jahrhunderts der 31. Dezember 2000 gewesen sei? Das ändert doch nichts an den Problemen ein Jahr zuvor, die nicht Jahrtausendwechsel, sondern Jahr‐2000‐Umstellung hießen. Schließlich weiß doch jeder, daß er sich mit dem 17. Geburtstag im 18. Lebensjahr befindet. So wie man ins erste Lebensjahr geboren wird und der erste Geburtstag noch auf sich warten läßt, gleichwohl es doch schon einen wirklichen gegeben hat.
Es ist weitgehend eine Schönheitsfrage, ob man bei 0 oder 1 beginnt. Und so erinnere ich mich immer noch daran, daß ein Professor ausgerechnet mich unvermittelt frug, ob es zur Numerierung der n+1 Ecken eines n‑dimensionalen Simplexes besser sei, bei 0 oder bei 1 zu beginnen. Meine Antwort habe ich vergessen. Aber eines war mir damals bereits klar: Es kommt auf den Kontext an, auf Einfachheit, Ebenmäßigkeit und praktischen Nutzen.
−0 | 00 | noon | Logarithmen
Auf der anderen Seite muß man in der üblichen Darstellung bei Multiplikation mit −1 nur das Vorzeichen austauschen und beim Zehnfachen keine Handstände machen. Von der Symmetrie um den Nullpunkt herum ganz zu schweigen. Das darf aber nicht dazu verleiten, einfach die Vorkommastellen als Intervallnummern zu verwenden, denn dann haben wir um die 0 herum ein größeres Intervall oder zwei, +0 und −0 mit der Frage, in welches denn die 0 selbst fällt. Und deshalb waren unsere Vorfahren gar nicht so dumm, zum Erhalt der Symmetrie auf das nullte Intervall zu verzichten, kein Jahr 0 zu haben und die Jahre 1901 bis 2000 als 20. Jahrhundert, nicht als novecento zu bezeichnen.
Für einen modernen im Zweierkomplement rechnenden Computer ist es selbstverständlich, die Null weder auszulassen noch zu verdoppeln. Es schadete aber Programmierern nicht, wenn Fortran ihnen früher einen Beginn mit der 1 aufzwang. Wo ist das Problem mit dritthalb, schließlich gibt es mit anderthalb ja auch keines? Auch dreiviertel Vier sollte man verstehen. Und warum halten manche sich für geistreich, darauf hinzuweisen, daß der letzte Tag des 20. Jahrhunderts der 31. Dezember 2000 gewesen sei? Das ändert doch nichts an den Problemen ein Jahr zuvor, die nicht Jahrtausendwechsel, sondern Jahr‐2000‐Umstellung hießen. Schließlich weiß doch jeder, daß er sich mit dem 17. Geburtstag im 18. Lebensjahr befindet. So wie man ins erste Lebensjahr geboren wird und der erste Geburtstag noch auf sich warten läßt, gleichwohl es doch schon einen wirklichen gegeben hat.
Es ist weitgehend eine Schönheitsfrage, ob man bei 0 oder 1 beginnt. Und so erinnere ich mich immer noch daran, daß ein Professor ausgerechnet mich unvermittelt frug, ob es zur Numerierung der n+1 Ecken eines n‑dimensionalen Simplexes besser sei, bei 0 oder bei 1 zu beginnen. Meine Antwort habe ich vergessen. Aber eines war mir damals bereits klar: Es kommt auf den Kontext an, auf Einfachheit, Ebenmäßigkeit und praktischen Nutzen.
−0 | 00 | noon | Logarithmen
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31
wuerg, 12.04.2005 18:18
In der sehr guten gleichschwebenden Teilung der Oktave in 53 Schritte bilden 31 eine fast reine Quinte, weil die 2³¹ sehr genau (3∕2)⁵³ trifft. Die Zahl 31 ist die fünfte Mersenne-Zahl. Damit überrascht 31=1+2+4+8+16 als Summe der ersten fünf Zweierpotenzen nicht. Mit 31=1+5+25 ist 31 aber auch Summe der ersten drei Fünferpotenzen.
Die Zahl 13 hat es im Gegensatz zur 31 nicht zum Sinnbild der Vereinigung von Gott (1) und Dreieinigkeit (3) gebracht. Als gerechter Ausgleich ist 13 die kleinste aller Mirp-Zahlen. Das sind Primzahlen, die rückwärts geschrieben eine andere Primzahl ergeben. Zwar ist 31 eine solche Mirpzahl, doch sind 13 und 17 kleiner. Einstellige Zahlen und 11 sind als Palindrome nicht mirp, 19 scheidet wegen 91=7·13 aus.
Bekannt ist die 31 natürlich auch als Monatslänge. Gemeinerweise weist unser Kalender in Schaltjahren nicht einfach je sechs Monate zu 30 bzw. 31 Tagen auf, wovon in Normaljahren einer von 31 auf 30 gekürzt würde, am besten der Dezember. Deshalb lernte man früher in der Schule entlang der Fingerknochen der Hände:
30 | 32 | 13 | 53
Die Zahl 13 hat es im Gegensatz zur 31 nicht zum Sinnbild der Vereinigung von Gott (1) und Dreieinigkeit (3) gebracht. Als gerechter Ausgleich ist 13 die kleinste aller Mirp-Zahlen. Das sind Primzahlen, die rückwärts geschrieben eine andere Primzahl ergeben. Zwar ist 31 eine solche Mirpzahl, doch sind 13 und 17 kleiner. Einstellige Zahlen und 11 sind als Palindrome nicht mirp, 19 scheidet wegen 91=7·13 aus.
Bekannt ist die 31 natürlich auch als Monatslänge. Gemeinerweise weist unser Kalender in Schaltjahren nicht einfach je sechs Monate zu 30 bzw. 31 Tagen auf, wovon in Normaljahren einer von 31 auf 30 gekürzt würde, am besten der Dezember. Deshalb lernte man früher in der Schule entlang der Fingerknochen der Hände:
Faust der linken Hand Faust der rechten Hand Jan Mrz Mai Jul Aug Okt Dez nix Feb Apr Jun Sep Nov nix f g a h c d e fis as b cis esUm den Kreis zur Musik zu schließen, habe ich unter den beiden Fäusten die C‑Dur-Tonleiter mit ihrem Grundton f beginnend notiert. Die weißen Klaviertasten haben 31 Tage, die schwarzen weniger. Schönerweise fällt der Februar auf den Tritonus. In Normaljahren mit 28 Tagen könnte es mit ‚fis der eigentliche diatonische (45/32), in Schaltjahren mit ’ges der größere zweite (64/45) sein.
30 | 32 | 13 | 53
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53
wuerg, 12.04.2005 00:57
Der päpstlichen 84 hätte ich nicht irgendeine Zahl wie 230 folgen lassen dürfen. Es hätte gleich 53 sein müssen, denn
2 hoch 84 = 19342813113834066795298816 und
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723
liegen bemerkenswert nah beieinander, was zur Teilung der Oktave in 53 gleiche Intervalle verleitet. Die Quinte läge mit 84−53=31 Intervallen nur 0,069 Cent unter der reinen. Auch große und kleine Terz werden mit 17 und 14 recht genau getroffen. Ihre Differenz von 3 Tonschritten ist deutlich geringer als die 5 eines diatonischen Halbtones. Zwei davon übersteigen die 8 und 9 eines kleinen bzw. großen Ganztones deutlich. Und deren Differenz von einem Schritt trifft gut das syntonische Komma.
Damit ist die 53‑Teilung der Oktave geeignet, die enharmonischen Verwechselungen unserer 12‑Tonleiter zu studieren. Und selbstverständlich wurde beginnend mit der Teilung der schwarzen Tasten versucht, geeignete Instrumente zu bauen. Heutzutage kann man die Töne elektronisch erzeugen und eine geschickte Belegung der Computertastatur versuchen. Doch praktisch sind auch dann 53 Töne einfach zuviel.
Wie kommt man auf 53, nicht 24 oder 36? Und eigentlich auch: Warum 12? Dazu entwickelt man die reine Quinte von ld(3∕2) Oktaven einfach in einen Kettenbruch:
31 | 84 | Oktave | Quinte
2 hoch 84 = 19342813113834066795298816 und
3 hoch 53 = 19383245667680019896796723
liegen bemerkenswert nah beieinander, was zur Teilung der Oktave in 53 gleiche Intervalle verleitet. Die Quinte läge mit 84−53=31 Intervallen nur 0,069 Cent unter der reinen. Auch große und kleine Terz werden mit 17 und 14 recht genau getroffen. Ihre Differenz von 3 Tonschritten ist deutlich geringer als die 5 eines diatonischen Halbtones. Zwei davon übersteigen die 8 und 9 eines kleinen bzw. großen Ganztones deutlich. Und deren Differenz von einem Schritt trifft gut das syntonische Komma.
Damit ist die 53‑Teilung der Oktave geeignet, die enharmonischen Verwechselungen unserer 12‑Tonleiter zu studieren. Und selbstverständlich wurde beginnend mit der Teilung der schwarzen Tasten versucht, geeignete Instrumente zu bauen. Heutzutage kann man die Töne elektronisch erzeugen und eine geschickte Belegung der Computertastatur versuchen. Doch praktisch sind auch dann 53 Töne einfach zuviel.
Wie kommt man auf 53, nicht 24 oder 36? Und eigentlich auch: Warum 12? Dazu entwickelt man die reine Quinte von ld(3∕2) Oktaven einfach in einen Kettenbruch:
1,0000000 : 0,5849625 = 1 Rest 0,4150375 1=1·1+0 1=0·1+1 0,5849625 : 0,4150375 = 1 Rest 0,1699250 2=1·1+1 1=1·1+0 0,4150375 : 0,1699250 = 2 Rest 0,0751875 5=2·2+1 3=2·1+1 0,1699250 : 0,0751875 = 2 Rest 0,0195500 12=2·5+2 7=2·3+3 0,0751875 : 0,0195500 = 3 Rest 0,0165375 41=3·12+5 24=3·7+3 0,0195500 : 0,0165375 = 1 Rest 0,0030125 53=1·41+12 31=1·24+7 0,0165375 : 0,0030125 = 5 Rest 0,0014750Eine gemessen am Aufwand sehr gute gleichschwebende Teilung der Oktave erhält man durch Abschneidung des Kettenbruches ld(3/2)=[0;1,1,2,2,3,1,5,…] vor einer möglichst großen Stelle. So ergibt [0;1,1,2,2]=7/12 unsere 12‑Tonleiter mit einer um 1,995 Cent zu kleinen Quinte. Die nächste bessere aus [0;1,1,2,2,3,1]=31/53 ist die 53‑Tonleiter, deren Quinte nur um 0,069 Cent zu klein ist. Das kann kein Mensch mehr hören. Auch die 2 Cent Verstimmung der 12‑Tonleiter nur anhand von Schwebungen.
31 | 84 | Oktave | Quinte
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230
wuerg, 05.04.2005 20:27
Mein allererster Beitrag unter zahlwort.blogger.de war und ist der mit Nummer 230 unter der Überschrift 20six. Aufgerufen und damit teilweise gelesen wurde er bisher 176 mal. Das schafft ein Alpha-Blogger mit neun von zehn Beiträgen am ersten Tag.
Lange Zeit herrschte auf den unteren der 25 angezeigten Plätze nur eine leichte Diffusion. So hat es mich überrascht, heute nach nur drei Tagen meinen Beitrag mit der Überschrift 84 zum Tode des Papstes dort auftauchen zu sehen. Sollte ich nun auch auf die Quote schielen? Ich muß ja keine Sexgeschichten erfinden, wenn es reicht, Reizwörter einzubauen.
Inzwischen sind 17 Jahre vergangen. Wider meine Erwartung genügen 10.000 für Platz 25 nicht mehr. Und es haben sich Themen mit interessanten mathematischen oder zahlenbasierten Themen durchgesetzt. Nur kurze Zeit konnten sich dank hitziger Debatten ein paar Beiträge zu Corona hocharbeiten. Der letzte wird wohl bald eingeholt.
Nunmehr sind wir im vierten Corona-Jahr und die Impfbinse ist immer noch nicht aus der Liste der 25 meistgelesenen Beiträge verschwunden, weil die Impfgegner und Coronaleugner immer noch von einem grenzenlosen Missionsdrang beseelt sind, um in die Geschichte als diejenigen einzugehen, die von Anfang an recht hatten. Auch die Ukraine konnte sie davon nicht ablenken.
84 | 20six | EPORN | Impfbinse
Lange Zeit herrschte auf den unteren der 25 angezeigten Plätze nur eine leichte Diffusion. So hat es mich überrascht, heute nach nur drei Tagen meinen Beitrag mit der Überschrift 84 zum Tode des Papstes dort auftauchen zu sehen. Sollte ich nun auch auf die Quote schielen? Ich muß ja keine Sexgeschichten erfinden, wenn es reicht, Reizwörter einzubauen.
Inzwischen sind 17 Jahre vergangen. Wider meine Erwartung genügen 10.000 für Platz 25 nicht mehr. Und es haben sich Themen mit interessanten mathematischen oder zahlenbasierten Themen durchgesetzt. Nur kurze Zeit konnten sich dank hitziger Debatten ein paar Beiträge zu Corona hocharbeiten. Der letzte wird wohl bald eingeholt.
Nunmehr sind wir im vierten Corona-Jahr und die Impfbinse ist immer noch nicht aus der Liste der 25 meistgelesenen Beiträge verschwunden, weil die Impfgegner und Coronaleugner immer noch von einem grenzenlosen Missionsdrang beseelt sind, um in die Geschichte als diejenigen einzugehen, die von Anfang an recht hatten. Auch die Ukraine konnte sie davon nicht ablenken.
84 | 20six | EPORN | Impfbinse
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