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20
wuerg, 15.03.2005 00:55
Ich hatte schon vor, nach der 19 die 20 auszulassen, weil mir zu ihr so gar nichts einfiel. Natürlich kann man unter ihr den Ikosaeder mit seinen 20 Dreiecken oder den Dodekaeder mit seinen 20 Ecken feiern. Aber was bleibt? Eine Liste mit herausragenden Eigenschaften von Zahlen vermerkt zur 20 nur, daß sie die Anzahl der gerichteten Bäume mit sechs Knoten sei. Doch wie interessant ist eine solche Aussage, die noch nicht einmal ohne Vorkenntnisse zu verstehen ist? [1]
In meinen Unterlagen habe ich nur eine alte Überlegung zur Anzahl der Möglichkeiten gefunden, Zahlen mit vorgegebener Summe n in die vier Ecken eines Quadrates zu schreiben, wobei gedrehte und gespiegelte nur einmal zählen und die 0 erlaubt ist. Für n=7 ergeben sich 20 Möglichkeiten. Zwischenzeitlich kann man bequem im Internet die ersten mühsam ermittelten Anzahlen eingeben und bekommt sofort eine lange Liste mit weiteren angezeigt. [2] Dazu noch wissenswerte Informationen. Und so habe ich erfahren, daß es eine schönere Formulierung des Problemes gibt: Wieviele verschiedene Perlenketten (ohne Verschluß) kann ich aus 4 schwarzen und n weißen Perlen bilden?
Man überlegt sich leicht, daß es sich um äquivalente Aufgaben handelt. Hat man die Kette auf einem Gummiband und klebt die schwarzen Perlen auf den Seiten eines Quadrates fest, so verteilen sich die weißen Perlen auf die vier Ecken. Außerdem entsprechen sich die Drehungen und Spiegelungen der so präparierten Kette und des Quadrates. Es werden also die gleichen Anzahlen geliefert.
Was gilt es nach mehr als zehn Jahren nachzutragen? Übersehen hatte ich, daß 20=1+3+6+10 die vierte Tetraederzahl ist. Man erhält eine solche Dreieckspyramide mit vier Apfelsinen auf jeder Kante, wenn man zehn Stück wie beim Bowling auslegt, darauf sechs, darauf drei und ganz oben eine stapelt. Erwähnen will ich noch, daß es 20 offene Ketten aus sieben weißen und schwarzen Perlen gibt, die dreimal die Farbe wechseln, was nur von Bedeutung ist, weil sie in den sieben Strichen einer jeden Stelle des EAN-Codes zu finden sind. [3] Und nun, was erst seit 2010 bekannt ist und sehr viel Rechenleistung erforderte: Jeder Rubik-Würfel läßt sich in 20 Drehungen lösen.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Wurzelbäume A000081.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Perlenketten A005232.
[3] Eine offene Kette aus sieben Perlen hat sechs Stellen für die insgesamt drei Farbwechsel. Das ergibt 6 über 3, also 20 Möglichkeiten. Man kann mit weiß oder schwarz beginnen, also 40. Aber man kann jede Kette auch umdrehen, womit es wieder 20 sind, weil es keine symmetrischen gibt, denn es ist immer ein Ende weiß und das andere schwarz, meinetwegen auch das eine schwarz und das andere weiß.
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In meinen Unterlagen habe ich nur eine alte Überlegung zur Anzahl der Möglichkeiten gefunden, Zahlen mit vorgegebener Summe n in die vier Ecken eines Quadrates zu schreiben, wobei gedrehte und gespiegelte nur einmal zählen und die 0 erlaubt ist. Für n=7 ergeben sich 20 Möglichkeiten. Zwischenzeitlich kann man bequem im Internet die ersten mühsam ermittelten Anzahlen eingeben und bekommt sofort eine lange Liste mit weiteren angezeigt. [2] Dazu noch wissenswerte Informationen. Und so habe ich erfahren, daß es eine schönere Formulierung des Problemes gibt: Wieviele verschiedene Perlenketten (ohne Verschluß) kann ich aus 4 schwarzen und n weißen Perlen bilden?
●●●●○○○○○○○ 00 ●●●○●○○○○○○ 00 ●●●○○●○○○○○ 00 ●●●○○○●○○○○ 00 ●●○●●○○○○○○ 01
70 61 52 43 60
●●○○●●○○○○○ 02 ●●○○○●●○○○○ 03 ●●○●○●○○○○○ 01 ●●○●○○●○○○○ 01 ●●○●○○○●○○○ 01
50 40 51 42 33
●●○●○○○○●○○ 01 ●●○●○○○○○●○ 01 ●●○○●○●○○○○ 02 ●●○○●○○●○○○ 02 ●●○○●○○○●○○ 02
24 15 41 32 23
●●○○○●○●○○○ 03 ●○●○●○●○○○○ 11 ●○●○●○○●○○○ 11 ●○●○○●○●○○○ 12 ●○●○○●○○●○○ 12
31 41 32 31 22
Entsprechung der Perlenketten und der Quadratecken (png)Man überlegt sich leicht, daß es sich um äquivalente Aufgaben handelt. Hat man die Kette auf einem Gummiband und klebt die schwarzen Perlen auf den Seiten eines Quadrates fest, so verteilen sich die weißen Perlen auf die vier Ecken. Außerdem entsprechen sich die Drehungen und Spiegelungen der so präparierten Kette und des Quadrates. Es werden also die gleichen Anzahlen geliefert.
Was gilt es nach mehr als zehn Jahren nachzutragen? Übersehen hatte ich, daß 20=1+3+6+10 die vierte Tetraederzahl ist. Man erhält eine solche Dreieckspyramide mit vier Apfelsinen auf jeder Kante, wenn man zehn Stück wie beim Bowling auslegt, darauf sechs, darauf drei und ganz oben eine stapelt. Erwähnen will ich noch, daß es 20 offene Ketten aus sieben weißen und schwarzen Perlen gibt, die dreimal die Farbe wechseln, was nur von Bedeutung ist, weil sie in den sieben Strichen einer jeden Stelle des EAN-Codes zu finden sind. [3] Und nun, was erst seit 2010 bekannt ist und sehr viel Rechenleistung erforderte: Jeder Rubik-Würfel läßt sich in 20 Drehungen lösen.
[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Wurzelbäume A000081.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Perlenketten A005232.
[3] Eine offene Kette aus sieben Perlen hat sechs Stellen für die insgesamt drei Farbwechsel. Das ergibt 6 über 3, also 20 Möglichkeiten. Man kann mit weiß oder schwarz beginnen, also 40. Aber man kann jede Kette auch umdrehen, womit es wieder 20 sind, weil es keine symmetrischen gibt, denn es ist immer ein Ende weiß und das andere schwarz, meinetwegen auch das eine schwarz und das andere weiß.
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19
wuerg, 13.03.2005 21:13
Durch Himmelsbeobachtung kannte man bereits in der Antike den Metonischen Zyklus von 19 Jahren, nach denen sich Mond- und Sonnenlauf wiederholen. Heute können wir die 365,2422 Tage des tropischen Jahres durch die 29,5306 des synodischen Monat dividieren, als Kettenbruch [12;2,1,2,1,1,16,...] entwickeln und der großen Zahl 16 entnehmen, daß 235 Monate sehr schön 19 Jahre nähern. [1] Auf dieser Idealvorstellung beruht die Berechnung des Osterdatums. [2]
Nun könnte man meinen, wegen des Mondlaufes spiele die 19 im islamischen Kalender eine besondere Rolle. Dem ist aber nicht so, denn mit dem Verbot eines Schaltmonates hat man sich vom Sonnenjahr verabschiedet, weshalb das Verhältnis von Monats- zur Jahreslänge völlig irrelevant ist. Vielmehr führten die 354,367 Tage für zwölf Monate schon damals ohne Kettenbruch auf eine dreißigjährige Periode. [3] Auch wenn es im Koran 19 Engel gibt, ist die 19 erst durch Rashad Khalifa zur Zahl des Koran geworden, nachdem er ihn gleich dem Bibel‐Code nach Zahlbeziehungen durchsucht hatte. [4] Daß der Bahai‐Kalender das Jahr in 19 Monate zu 19 Tagen gliedert, scheint über die 19 Engel hinaus keinen einleuchtenden Grund zu haben. Allerdings passen die Tage 361 Tage recht gut.
Wohl völlig unabhängig davon fand Peter Plichta die Zahl 19 im Periodensystem, besser in der Nuklidtafel. Vier Gruppen zu je 19 Elementen gemäß Primalität, Geradheit und Isotopenzahl samt fünf Ausnahmem. [5] Zudem erwähnt Plichta die 19+1 Aminosäuren, meines Wissens aber nicht nicht die Grundlage unserer Zwölftonmusik, daß 2¹⁹=524.288 nur knapp unter 3¹²=531.441 liegt. Auch nicht die Neunzehntonleiter. [6]
Irgendwo las ich, daß 19 die kleinste nonludic prime und zudem auch unlucky sei, weil sie durch das Sieb von Josephus fällt. Natürlich gibt es weitere Siebe, in dem die 19 nicht verbleibt. Doch zum Trost auch fröhliche Zahlen, deren Ziffern fortwährend quadriert und addiert letztlich auf 1 führen. [7] Bei der 19 dauert es etwas:
19 → 12+92=82 → 82+22=68 → 62+82=100 → 1
Eine Zahl heißt Keith-Zahl, wenn man aus ihren Ziffern eine Anfangsfolge bildet, sie addiert, in Fibonacci-Manier fortfährt und die vorgegebene Zahl irgendwann erreicht.
1, 9, 10, 19 wegen 1+9=10 und 9+10=19
Das macht die 19 zu einer Keith-Zahl, aber auch ohne die trivialen einstelligen ist 14 immer noch kleiner, wenn auch nicht prim. Das wollte ich neben luckiness, ludicity und happiness nicht auslassen, zumal die Wikipedia es für erwähnenswert hält.
Da 19=1+18 und 18=3·6 das Produkt der zweiten und der dritten Dreieckszahl ist, muß 19 sowohl dritte zentrierte Sechseckzahl als auch vierte zentrierte Dreieckszahl sein. Letzteres läßt sich nicht gut darstellen, doch soll die linke Figur der nachstehenden Abbildung die vier sich umschließenden Dreiecke, also 19=1+3+6+9 verdeutlichen, die daneben 19=1+3·D(3). Die Sechseckzahlen lassen sich schöner darstellen, nämlich als 19=1+6+12 und 19=1+6·D(2).
Stapelt man wie im linken Teilbild auf 10 blaue Kugeln 6 rote und darauf 3 grüne, so fehlt zu einem Tetraeder noch eine ander Spitze, die über der mittleren blauen liegt. Deshalb hat der Tetraeder mit vier Punkten auf jeder Kante 19+1=20 insgesamt. Könnte man auch nach unten stapeln, so käme man mit einer quadratischen Pyramide aus 4+1=5 Punkten oben und unten an ein 3×3‑Quadrat angesetzt auf einen Oktaeder mit 9+2·5=19 Apfelsinen, drei entlang jeder Kante.
Und was bleibt nach über 17 Jahren noch neben COVID‑19? Die 19 könnte als Summe von 12 und 7 heilig sein, doch habe ich davon im Gegensatz zu 12·7=84 noch nichts gehört. Das Go‑Brett hat 19 mal 19 Positionen, das 19. Loch auf dem Golfplatz ist die Bar, die kleinste prime Schnapszahl aus lauter Einsen ist 1.111.111.111.111.111.111, wenn man 11 als nicht richtig besoffen außen vorläßt. Der Neunzehnpunktemarienkäfer soll tatsächlich 19 Punkte haben. Und wer 19 ist, hat zuviele Horrorbücher gelesen.
[1] Der Mond benötigt in fast exakter Übereinstimmung mit dem mittleren Monat des islamischen Kalenders für 235 Umläufe 6939 Tage und 16 Stunden. Unser gregorianisches und das tropische Jahr sind etwa zwei Stunden kürzer, das julianische zwei länger. So macht es kaum etwas aus, daß wir zur Zeit in einer fast 200‑jährigen ‚julianischen‘ Periode leben.
[2] Eine Spielerei auf Basis religösen Quatsches zur Verwirrung des Volkes und Festigung der Herrschaft durch pseudowissenschaftliches Getue wie dem Computus.
[3] Auch wenn die 19 wieder mit der Zahl der Normaljahre in einer Periode von 30 Jahren (besser 360 Monaten) ins Spiel kommt. Der islamische Kalender war und ist sehr genau und würde es in den nächsten Jahrtausenden sein, in denen der Mond seinen Verzug wieder ausgleicht. Der verleitete, den 1. Muharram des Jahres 1 vom julianischen 15. auf den 16. Juli 622 zu verschieben. Aus religiöser Sicht entscheidet die Mondsichtung. Ist nach dem 29. kein Neulicht zu erkennen, folgt ein 30. Tag. Das und die verschiedenen islamischen Kalender führen somit regelmäßig zu Streit über den Beginn des Fastens.
[4] Das war nicht überall gern gesehen, doch sein Leben büßte er nicht deshalb ein, sondern weil er sich selbst als Gesandter einstufte und seinen Namen in einen Koranvers einfügte. Er war Mikrobiologe und hätte seine Hybris sicherlich gerne an COVID‑19 gesteigert.
[5] Die 81−4·19=5 Ausnahmen sind das 19. Element Kalium, was die 19 bestärkt und Probleme mit dem uu‑Kern Kalium‑40 umschifft, sowie die kleinen Elemente Beryllium, Helium, Kohlenstoff und Lithium mit den Ordnungszahlen 4, 2, 6, 3. Und nun kommt es: 81/19=4,263.
[6] Die Quinte aus 11 Intervallen ist dann um stolze 7 Cent zu klein, doch die Terzen aus 5 und 6 Intervallen stimmen deutlich besser als mit 12 Tönen.
[7] Adam Spencer: Das Buch der Zahlen. Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 2. Auflage, 2002. Sobald ich wieder an dieses Buch komme, werde ich vielleicht die korrekte deutsche Bezeichnung der (non)ludic numbers hier vermerken können. Die (un)lucky numbers heißen (un)gücklich, die (un)happy numbers fröhlich bzw. traurig.
18 | 20 | Keith-Zahlen | Sechseckzahlen | Josephus | Quinte | Isotope
Nun könnte man meinen, wegen des Mondlaufes spiele die 19 im islamischen Kalender eine besondere Rolle. Dem ist aber nicht so, denn mit dem Verbot eines Schaltmonates hat man sich vom Sonnenjahr verabschiedet, weshalb das Verhältnis von Monats- zur Jahreslänge völlig irrelevant ist. Vielmehr führten die 354,367 Tage für zwölf Monate schon damals ohne Kettenbruch auf eine dreißigjährige Periode. [3] Auch wenn es im Koran 19 Engel gibt, ist die 19 erst durch Rashad Khalifa zur Zahl des Koran geworden, nachdem er ihn gleich dem Bibel‐Code nach Zahlbeziehungen durchsucht hatte. [4] Daß der Bahai‐Kalender das Jahr in 19 Monate zu 19 Tagen gliedert, scheint über die 19 Engel hinaus keinen einleuchtenden Grund zu haben. Allerdings passen die Tage 361 Tage recht gut.
Wohl völlig unabhängig davon fand Peter Plichta die Zahl 19 im Periodensystem, besser in der Nuklidtafel. Vier Gruppen zu je 19 Elementen gemäß Primalität, Geradheit und Isotopenzahl samt fünf Ausnahmem. [5] Zudem erwähnt Plichta die 19+1 Aminosäuren, meines Wissens aber nicht nicht die Grundlage unserer Zwölftonmusik, daß 2¹⁹=524.288 nur knapp unter 3¹²=531.441 liegt. Auch nicht die Neunzehntonleiter. [6]
2 = 1+1 15 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 79 = 16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 80 = 16+16+16+16+16 159 = 81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 239 = 81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 319 = 81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 399 = 81+81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 479 = 81+81+81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 559 = 81+81+81+81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1 639 = 625+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1Gleichfalls nicht übermäßig interessant ist, daß jede natürliche Zahl Summe von 19 Biquadraten ist. Bei 79 sind sie erstmals erforderlich. Danach erleichtern 80=5·16 und 81=3⁴ die Zerlegung. Aber in 80er‑Schritten (1 durch 81 ersetzen) werden wieder 19 Summanden benötigt, solange 625=5⁴ nicht überschritten ist. Danach geht es stets mit weniger als 19 Summanden.
Irgendwo las ich, daß 19 die kleinste nonludic prime und zudem auch unlucky sei, weil sie durch das Sieb von Josephus fällt. Natürlich gibt es weitere Siebe, in dem die 19 nicht verbleibt. Doch zum Trost auch fröhliche Zahlen, deren Ziffern fortwährend quadriert und addiert letztlich auf 1 führen. [7] Bei der 19 dauert es etwas:
19 → 12+92=82 → 82+22=68 → 62+82=100 → 1
Eine Zahl heißt Keith-Zahl, wenn man aus ihren Ziffern eine Anfangsfolge bildet, sie addiert, in Fibonacci-Manier fortfährt und die vorgegebene Zahl irgendwann erreicht.
1, 9, 10, 19 wegen 1+9=10 und 9+10=19
Das macht die 19 zu einer Keith-Zahl, aber auch ohne die trivialen einstelligen ist 14 immer noch kleiner, wenn auch nicht prim. Das wollte ich neben luckiness, ludicity und happiness nicht auslassen, zumal die Wikipedia es für erwähnenswert hält.
Da 19=1+18 und 18=3·6 das Produkt der zweiten und der dritten Dreieckszahl ist, muß 19 sowohl dritte zentrierte Sechseckzahl als auch vierte zentrierte Dreieckszahl sein. Letzteres läßt sich nicht gut darstellen, doch soll die linke Figur der nachstehenden Abbildung die vier sich umschließenden Dreiecke, also 19=1+3+6+9 verdeutlichen, die daneben 19=1+3·D(3). Die Sechseckzahlen lassen sich schöner darstellen, nämlich als 19=1+6+12 und 19=1+6·D(2).
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19 als zentrierte Dreieckszahl und zentrierte Sechseckzahl (png)Stapelt man wie im linken Teilbild auf 10 blaue Kugeln 6 rote und darauf 3 grüne, so fehlt zu einem Tetraeder noch eine ander Spitze, die über der mittleren blauen liegt. Deshalb hat der Tetraeder mit vier Punkten auf jeder Kante 19+1=20 insgesamt. Könnte man auch nach unten stapeln, so käme man mit einer quadratischen Pyramide aus 4+1=5 Punkten oben und unten an ein 3×3‑Quadrat angesetzt auf einen Oktaeder mit 9+2·5=19 Apfelsinen, drei entlang jeder Kante.
Und was bleibt nach über 17 Jahren noch neben COVID‑19? Die 19 könnte als Summe von 12 und 7 heilig sein, doch habe ich davon im Gegensatz zu 12·7=84 noch nichts gehört. Das Go‑Brett hat 19 mal 19 Positionen, das 19. Loch auf dem Golfplatz ist die Bar, die kleinste prime Schnapszahl aus lauter Einsen ist 1.111.111.111.111.111.111, wenn man 11 als nicht richtig besoffen außen vorläßt. Der Neunzehnpunktemarienkäfer soll tatsächlich 19 Punkte haben. Und wer 19 ist, hat zuviele Horrorbücher gelesen.
[1] Der Mond benötigt in fast exakter Übereinstimmung mit dem mittleren Monat des islamischen Kalenders für 235 Umläufe 6939 Tage und 16 Stunden. Unser gregorianisches und das tropische Jahr sind etwa zwei Stunden kürzer, das julianische zwei länger. So macht es kaum etwas aus, daß wir zur Zeit in einer fast 200‑jährigen ‚julianischen‘ Periode leben.
[2] Eine Spielerei auf Basis religösen Quatsches zur Verwirrung des Volkes und Festigung der Herrschaft durch pseudowissenschaftliches Getue wie dem Computus.
[3] Auch wenn die 19 wieder mit der Zahl der Normaljahre in einer Periode von 30 Jahren (besser 360 Monaten) ins Spiel kommt. Der islamische Kalender war und ist sehr genau und würde es in den nächsten Jahrtausenden sein, in denen der Mond seinen Verzug wieder ausgleicht. Der verleitete, den 1. Muharram des Jahres 1 vom julianischen 15. auf den 16. Juli 622 zu verschieben. Aus religiöser Sicht entscheidet die Mondsichtung. Ist nach dem 29. kein Neulicht zu erkennen, folgt ein 30. Tag. Das und die verschiedenen islamischen Kalender führen somit regelmäßig zu Streit über den Beginn des Fastens.
[4] Das war nicht überall gern gesehen, doch sein Leben büßte er nicht deshalb ein, sondern weil er sich selbst als Gesandter einstufte und seinen Namen in einen Koranvers einfügte. Er war Mikrobiologe und hätte seine Hybris sicherlich gerne an COVID‑19 gesteigert.
[5] Die 81−4·19=5 Ausnahmen sind das 19. Element Kalium, was die 19 bestärkt und Probleme mit dem uu‑Kern Kalium‑40 umschifft, sowie die kleinen Elemente Beryllium, Helium, Kohlenstoff und Lithium mit den Ordnungszahlen 4, 2, 6, 3. Und nun kommt es: 81/19=4,263.
[6] Die Quinte aus 11 Intervallen ist dann um stolze 7 Cent zu klein, doch die Terzen aus 5 und 6 Intervallen stimmen deutlich besser als mit 12 Tönen.
[7] Adam Spencer: Das Buch der Zahlen. Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 2. Auflage, 2002. Sobald ich wieder an dieses Buch komme, werde ich vielleicht die korrekte deutsche Bezeichnung der (non)ludic numbers hier vermerken können. Die (un)lucky numbers heißen (un)gücklich, die (un)happy numbers fröhlich bzw. traurig.
18 | 20 | Keith-Zahlen | Sechseckzahlen | Josephus | Quinte | Isotope
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18
wuerg, 13.03.2005 00:57
Als Jürgen Möllemann 18 Prozent für die FDP forderte, dachte er wohl einfach an herausfordernde 10 mehr als eben nur 8 Prozent, nicht aber an die gängige Bezeichnung für Adolf Hitler (1=A, 8=H). Übersehen aber hat er diese Interpretation gewiß nicht. Schon eher 18=6+6+6, also die durch Verdreifachung entstehende Überhöhung der 6, womit 18 natürlich auch die Quersumme von 666 ist. Daß diese Zahl des Tieres auch noch durch 18 geteilt werden kann, ist damit wenig überraschend.
Was können wir sonst noch zur 18 sagen? Aus mathematischer Sicht so gut wie nichts. Sonst würde ich in einer Liste, die zu vielen hundert Zahlen herausragende Eigenschaften nennt, mehr als nur die folgende finden: Einzige Zahl, die doppelt so groß ist wie ihre Quersumme. Offensichtlich kommen nur zweistellige Zahlen 10a+b infrage. Deren doppelte Quersumme ist 2(a+b), was auf 8a=b führt mit a=1 und b=8 als einziger Lösung.
Es bleiben die Volljährigkeit mit 18 Jahren und ein paar weniger interessante Figuren mit 18 Punkten. Ein Dreicksprisma mit drei Punkten entlang jeder Kante umfaßt 3·D₃=3·6=18 Punkte. Eine dreischichtige Pyramide aus Fünfeckzahlen gemäß 1+5+12=18 mag ich mir lieber nicht vorstellen. Bleibt nur noch die dritte Siebeneckzahl 1+6+11=18. Aber wie stelle ich Siebeneckzahlen vernünftig dar, denn sie liegen blöd zwischen den Sechseckzahlen (Dreieck mit drei Zacken) und den Achteckzahlen (Quadrat mit vier Zacken). Es bleibt eigentlich nur ein Quadrat mit drei Zacken oder ein zweistöckiges Haus mit Dach. Grundsätzlich auch ein großes Dreieck mit vier kleinen, woraus sich ein Sechseck aus 19 Punkten mit einem Loch ergibt.
[1] Wenn man sich für das Doppelte interessiert, warum nicht auch für das n‑fache. So kommt man auf die Harshad-Zahlen (A005349), die Vielfaches (A113315) ihrer eigenen Quersumme (A325454) sind. Das führt zu vielen Folgefragen. Zum Beispiel nach der kleinsten Harshad-Zahl mit vorgegebener Quersumme (A003634) oder Quersummen ohne Harshard-Zahl (A003635).
17 | 19 | 88 | 4/20 | 666
Was können wir sonst noch zur 18 sagen? Aus mathematischer Sicht so gut wie nichts. Sonst würde ich in einer Liste, die zu vielen hundert Zahlen herausragende Eigenschaften nennt, mehr als nur die folgende finden: Einzige Zahl, die doppelt so groß ist wie ihre Quersumme. Offensichtlich kommen nur zweistellige Zahlen 10a+b infrage. Deren doppelte Quersumme ist 2(a+b), was auf 8a=b führt mit a=1 und b=8 als einziger Lösung.
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Siebeneckzahl 18 als Quadrat mit Zacken, Haus und Sechseck (png)Es bleiben die Volljährigkeit mit 18 Jahren und ein paar weniger interessante Figuren mit 18 Punkten. Ein Dreicksprisma mit drei Punkten entlang jeder Kante umfaßt 3·D₃=3·6=18 Punkte. Eine dreischichtige Pyramide aus Fünfeckzahlen gemäß 1+5+12=18 mag ich mir lieber nicht vorstellen. Bleibt nur noch die dritte Siebeneckzahl 1+6+11=18. Aber wie stelle ich Siebeneckzahlen vernünftig dar, denn sie liegen blöd zwischen den Sechseckzahlen (Dreieck mit drei Zacken) und den Achteckzahlen (Quadrat mit vier Zacken). Es bleibt eigentlich nur ein Quadrat mit drei Zacken oder ein zweistöckiges Haus mit Dach. Grundsätzlich auch ein großes Dreieck mit vier kleinen, woraus sich ein Sechseck aus 19 Punkten mit einem Loch ergibt.
[1] Wenn man sich für das Doppelte interessiert, warum nicht auch für das n‑fache. So kommt man auf die Harshad-Zahlen (A005349), die Vielfaches (A113315) ihrer eigenen Quersumme (A325454) sind. Das führt zu vielen Folgefragen. Zum Beispiel nach der kleinsten Harshad-Zahl mit vorgegebener Quersumme (A003634) oder Quersummen ohne Harshard-Zahl (A003635).
17 | 19 | 88 | 4/20 | 666
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17
wuerg, 12.03.2005 00:06
Im Altertum kannte man neben den Konstruktionen des Dreiecks, des Quadrates und des Fünfecks mit Zirkel und Lineal nur noch die darauf aufbauenden, nämlich das 15‑Eck durch Überlagerung von Drei- und Fünfeck, sowie aus den genannten durch Winkelhalbierung hervorgehenden mit 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, 32, 40, ... Ecken. Erst Jahrtausende später zeigte Carl Friedrich Gauß, daß ein q‑Eck genau dann konstruierbar ist, wenn q=p·2ᵐ ist, worin p für das Produkt verschiedener primer Fermatzahlen 2^2ⁿ+1 steht. [1] Damit war bewiesen, daß insbesondere das 17‑Eck konstruierbar ist, das als 17‑zackiger Stern das Grabmal von Carl Friedrich Gauß ziert.
Während die Konstruktion des 17‑Eckes noch in Büchern zu finden ist, soll die für 2⁸+1=257 mehr als hundert Seiten umfassen und die für 2¹⁶+1=65537 in einer Kiste ruhen. Weitere prime Fermatzahlen sind nicht bekannt. Trotzdem muß das Problem als gelöst gelten, weil es auf ein einfaches Kriterium zurückgeführt ist. In jedem Falle sind das Sieben- und das Neuneck nicht konstruierbar.
Was bleibt noch zu sagen? Den Pythagoräern soll die 17 ein Dorn im Auge gewesen sein, weil sie zwischen der 16 und der 18 das Epogdoon (Verhältnis 8:9) durchtrennt. Den Italienern gilt sie wie bei uns die 13 als Unglückszahl. Wahrscheinlich liegt das weder an den Griechen, noch den Römern, die VIXI (ich habe gelebt) in XVII gelesen haben sollen. Eigentlich ist die 17 beliebt, soll wie die 7 oft genannt werden. Besonders originell ist der Trick 17, die Sintflut setzte am 17. Tage des zweiten Monats ein, es gibt 17 Parkettierungen der Ebene, die in der Alhambra und bei M. C. Escher zu bewundern sind.
Die ersten vier Primzahlen addieren sich zu 2+3+5+7=17, was aber nicht bedeutender sein kann als die Summe 100 der ersten neun Primzahlen. Und die Quersumme von 17³=4913 ist 4+9+1+3=17. Eine recht konstruierte Eigenschaft, die zur Basis 10 nur für 1, 8, 17, 18, 26 und 27 zutrifft. Für die größte ist 27³=19683 mit 1+9+6+8+3=27.
[1] Wer sich jetzt fragt, warum ich 2^2ⁿ+1 und nicht 22n+1 geschrieben habe: Echte Hochstellung versaut im Gegensatz zu hochgestellten Zeichen den Zeilenabstand. Und das erlaube ich mir möglichst nur wie hier in der ersten Zeile. Wer die Textbreite verkleinert, sollte den vergrößerten Zeilenabstand sehen können. Auch, wenn man auf einem kurzzeiligen Mobiltelefon liest.
16 | 18 | Epogdoon
Während die Konstruktion des 17‑Eckes noch in Büchern zu finden ist, soll die für 2⁸+1=257 mehr als hundert Seiten umfassen und die für 2¹⁶+1=65537 in einer Kiste ruhen. Weitere prime Fermatzahlen sind nicht bekannt. Trotzdem muß das Problem als gelöst gelten, weil es auf ein einfaches Kriterium zurückgeführt ist. In jedem Falle sind das Sieben- und das Neuneck nicht konstruierbar.
Was bleibt noch zu sagen? Den Pythagoräern soll die 17 ein Dorn im Auge gewesen sein, weil sie zwischen der 16 und der 18 das Epogdoon (Verhältnis 8:9) durchtrennt. Den Italienern gilt sie wie bei uns die 13 als Unglückszahl. Wahrscheinlich liegt das weder an den Griechen, noch den Römern, die VIXI (ich habe gelebt) in XVII gelesen haben sollen. Eigentlich ist die 17 beliebt, soll wie die 7 oft genannt werden. Besonders originell ist der Trick 17, die Sintflut setzte am 17. Tage des zweiten Monats ein, es gibt 17 Parkettierungen der Ebene, die in der Alhambra und bei M. C. Escher zu bewundern sind.
Die ersten vier Primzahlen addieren sich zu 2+3+5+7=17, was aber nicht bedeutender sein kann als die Summe 100 der ersten neun Primzahlen. Und die Quersumme von 17³=4913 ist 4+9+1+3=17. Eine recht konstruierte Eigenschaft, die zur Basis 10 nur für 1, 8, 17, 18, 26 und 27 zutrifft. Für die größte ist 27³=19683 mit 1+9+6+8+3=27.
[1] Wer sich jetzt fragt, warum ich 2^2ⁿ+1 und nicht 22n+1 geschrieben habe: Echte Hochstellung versaut im Gegensatz zu hochgestellten Zeichen den Zeilenabstand. Und das erlaube ich mir möglichst nur wie hier in der ersten Zeile. Wer die Textbreite verkleinert, sollte den vergrößerten Zeilenabstand sehen können. Auch, wenn man auf einem kurzzeiligen Mobiltelefon liest.
16 | 18 | Epogdoon
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16
wuerg, 10.03.2005 17:37
Wer die Zahl 16 googelt, wird zugemüllt mit Luftballons, Pinata-Zahlen und generiertem Pipifax. Wenigstens die Wikipedia bemüht sich, etwas von Interesse zu berichten, es ist aber nicht viel. [1] Unter „Mathematisches“ wird wiederholt, daß 16 gerade ist. Dazu eine Quadrat-, eine Biquadrat- und eine Störmerzahl. [2] Auch „Bedeutung“ gibt es nur wenig: Mit 16 erwirbt man ein paar Rechte, das Hexadezimalsystem, zwei religiöse Belanglosigkeiten und die französische Sprache. [3] Bleibt „Siehe auch“ von ebenfalls bescheidenem Wert. [4]
Die Hauptbedeutung der Zahl 16 sehe ich im Zusamenhang mit fortwährender Verdoppelung oder Halbierung, nicht nur der Windrose in vier, dann acht und schließlich 16 Richtungen mit so schönen Bezeichnungen wie Westnordwest, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölfteilung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Finger geteilt und ist es eigentlich immer noch. [5] Wir würden heute wohl hexadezimal oder oktal rechnen, wenn es unseren Vorfahren vor 5000 Jahren gelungen wäre, vier bzw. drei Binärstellen zu einer Ziffer zusammenzufassen. [6] So kam es zu einer dauerhaften Konkurrenz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahlreichen Umdeutungen von Maßen im Verhältnis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.
So wie das kleinste magische Quadrat dem entferntesten Wandelstern Saturn zugeordnet wird, so das der Größe 4×4 dem Jupiter, womit neben 4, der magischen Zahl 34 und der Ziffernsumme 136 auch 16 als Jupiterzahl gilt. Das berühmteste Quadrat mit 16 Ziffern ist das Dürerquadrat. Natürlich ist 16 als Quadrat einer Quadratzahl (2²)² auch ein Biquadrat 2⁴, wie die Wikipedia zurecht bemerkt. Das ist insofern bemerkenswert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier verschiedener natürlicher Zahlen ist. [7]
Unter den figurierten Zahlen ist 16=1+5+10=1+5·D(2)=1+D(5) die dritte zentrierte Fünfeckzahl und die sechste zentrierte Eineckzahl, also fünfte Pizzazahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnitten in 16 Stücke geteilt werden kann. Dazu kann man ein Pentagramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlängern. Außerdem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zweifache Weise als Summe zweier Dreieckszahlen schreiben läßt. [8] Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehrfacher Weise in zwei Dreieckszahlen zerlegen. [9]
[1] Einleitungstext: „Die Sechzehn (16) ist eine natürliche Zahl zwischen Fünfzehn und Siebzehn. Sie ist gerade.“
[2] Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkommenden Störmerzahlen, die wohl nur erfunden wurden, um damit fast alle Zahlbeiträge der Wikipedia zuzumüllen.
[3] Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Italiener seidici, aber diciassette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf – dreizehn), der 20 (quatre-vingt) und der 60 (soixante-dix) geblieben sind.
[4] Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16‑Meter-Raum verwiesen, der eigentlich ein 18‑Yard-Raum ist.
[5] Im angloamerikanischen Maßsystem besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dickeren finger (7/8 Zoll) verwechselt werden.
[6] Es ist ja immer noch üblich, angloamerikanische Maße nicht dezimal zu teilen, sondern mehrfach zu halbieren: 5‑1/4‑Zoll-Disketten, 3/16‑Zoll-Schraube.
[7] Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kommen für die kleinere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.
[8] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Dreieckszahlen auf mehrfache Weise A185979.
[9] Für die ersten Biquadrate alle Zerlegungen bestimmen, aus ihnen eine Gesetzmäßigkeit ablesen und dann deren Allgemeingültigkeit nachrechnen.
15 | 17 | 34 | zentrierte Polygonalzahlen
Die Hauptbedeutung der Zahl 16 sehe ich im Zusamenhang mit fortwährender Verdoppelung oder Halbierung, nicht nur der Windrose in vier, dann acht und schließlich 16 Richtungen mit so schönen Bezeichnungen wie Westnordwest, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölfteilung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Finger geteilt und ist es eigentlich immer noch. [5] Wir würden heute wohl hexadezimal oder oktal rechnen, wenn es unseren Vorfahren vor 5000 Jahren gelungen wäre, vier bzw. drei Binärstellen zu einer Ziffer zusammenzufassen. [6] So kam es zu einer dauerhaften Konkurrenz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahlreichen Umdeutungen von Maßen im Verhältnis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.
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16 3 2 13 ● ○ ● ● ● ●
5 10 11 8 ● ○ ● ○ ● ● ● ○ ● ●
9 6 7 12 ● ○ ○ ● ● ● ● ●
4 15 14 1 ● ● ● ● ● ●
Dürerquadrat und 16 als dritte zentrierte Fünfeckzahl (png)So wie das kleinste magische Quadrat dem entferntesten Wandelstern Saturn zugeordnet wird, so das der Größe 4×4 dem Jupiter, womit neben 4, der magischen Zahl 34 und der Ziffernsumme 136 auch 16 als Jupiterzahl gilt. Das berühmteste Quadrat mit 16 Ziffern ist das Dürerquadrat. Natürlich ist 16 als Quadrat einer Quadratzahl (2²)² auch ein Biquadrat 2⁴, wie die Wikipedia zurecht bemerkt. Das ist insofern bemerkenswert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier verschiedener natürlicher Zahlen ist. [7]
Unter den figurierten Zahlen ist 16=1+5+10=1+5·D(2)=1+D(5) die dritte zentrierte Fünfeckzahl und die sechste zentrierte Eineckzahl, also fünfte Pizzazahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnitten in 16 Stücke geteilt werden kann. Dazu kann man ein Pentagramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlängern. Außerdem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zweifache Weise als Summe zweier Dreieckszahlen schreiben läßt. [8] Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehrfacher Weise in zwei Dreieckszahlen zerlegen. [9]
[1] Einleitungstext: „Die Sechzehn (16) ist eine natürliche Zahl zwischen Fünfzehn und Siebzehn. Sie ist gerade.“
[2] Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkommenden Störmerzahlen, die wohl nur erfunden wurden, um damit fast alle Zahlbeiträge der Wikipedia zuzumüllen.
[3] Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Italiener seidici, aber diciassette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf – dreizehn), der 20 (quatre-vingt) und der 60 (soixante-dix) geblieben sind.
[4] Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16‑Meter-Raum verwiesen, der eigentlich ein 18‑Yard-Raum ist.
[5] Im angloamerikanischen Maßsystem besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dickeren finger (7/8 Zoll) verwechselt werden.
[6] Es ist ja immer noch üblich, angloamerikanische Maße nicht dezimal zu teilen, sondern mehrfach zu halbieren: 5‑1/4‑Zoll-Disketten, 3/16‑Zoll-Schraube.
[7] Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kommen für die kleinere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.
[8] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Dreieckszahlen auf mehrfache Weise A185979.
[9] Für die ersten Biquadrate alle Zerlegungen bestimmen, aus ihnen eine Gesetzmäßigkeit ablesen und dann deren Allgemeingültigkeit nachrechnen.
15 | 17 | 34 | zentrierte Polygonalzahlen
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15
wuerg, 09.03.2005 19:45
Bei 15 denke ich immer daran, daß ich sie auserkoren hatte, um an einem einfachen Produkt zweier Primzahlen das RSA-Schema zu erläutern. [1] Solche Produkte heißen Semiprimzahlen. Wenig interessant sind die geraden und die Quadratzahlen darunter. Streicht man sie, so bleiben die ungeraden quadratfreien Semiprimzahlen. Sie sind allesamt Fermatsche Pseudoprimzahlen. Beide Listen werden von der 15 angeführt, die sogar Produkt eines Primzahlzwillings ist. [2]
Fermatsche Pseudoprimzahlen sind etwas schwerer zu verstehen: Für eine Primzahl p gilt nach dem kleinen fermatschen Satz aᵖ=a mod p für alle a, insbesondere aᵖ⁻¹=1 mod p für a=2,3,…,p−2. Für zusammengesetzte Zahlen n trifft letzteres nur selten zu. [3] Gibt es dennoch ein solches a, so heißt n fermatsche Pseudoprimzahl. Für einen Primzahlzwilling (p,q) mit der Mittenzahl a=p+1=q−1 ist unmittelbar zu sehen, daß n=pq auch fermatsche Pseudoprimzahl ist, da bereits a²=pq+1=1 mod n. Für 15=3·5 ist a=4 die Mittenzahl und tatsächlich ist 4¹⁴=1 mod 15, weil bereits 4²=16=1 mod 15 ist.
Mit der 15 ist es abgesehen von wenigen prominenten Zahlen mit den biblischen, esoterischen, numerologischen Gedöns weitgehend vorbei. [4] Auch rechnerische Aspekte halten sich bedeckt. Zumeist können nur irgendwelche Anzahlen, Positionen oder Zahlenspielereien genannt werden: So ist 15 dritte Sechseck- und damit fünfte Dreieckszahl, was man an den 15 roten Bällen beim Snooker erkennt. Es gibt 15 archimedische Körper, wenn gespiegelte mitgezählt werden, und 15 ist die magische Zahl des dem Saturn zugeordneten magischen 3×3‑Quadrates.
[1] Das ermöglicht öffentliche Verschlüsselung und Authentifizierung, wenn die Zahlen so groß sind, daß eine Faktorisierung praktisch unmöglich ist.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Semiprimzahlen A001358, ungerade quadratfreie Semiprimzahlen A046388, fermatsche Pseudoprimzahlen A181780.
[3] Im allgemeinen ist durch Ausprobieren weniger Zahlen a sehr schnell klar, ob eine zufällig gewählte sehr große Zahl n eine Primzahl ist, wie man sie zum Beispiel für das RSA-Schema benötigt. Todsicher ist es allerdings nicht. Und leider gibt es auch ganz wenige zusammengesetzte Zahlen n, an denen fast alle a scheitern.
[4] Fromme Juden sollen die hebräisch geschriebene 15 als 6 und 9 (Waw und Tet) notieren, weil die kanonische Darstellung als 10 und 5 (Jod und He) eine der vielen Kurzbezeichnungen für Jahwe ist, dessen Namen man nicht aussprechen darf. Ob das stimmt? Und ist 69 eine gute Alternative?
14 | 16 | Saturnquadrat | Dreieckszahlen
Fermatsche Pseudoprimzahlen sind etwas schwerer zu verstehen: Für eine Primzahl p gilt nach dem kleinen fermatschen Satz aᵖ=a mod p für alle a, insbesondere aᵖ⁻¹=1 mod p für a=2,3,…,p−2. Für zusammengesetzte Zahlen n trifft letzteres nur selten zu. [3] Gibt es dennoch ein solches a, so heißt n fermatsche Pseudoprimzahl. Für einen Primzahlzwilling (p,q) mit der Mittenzahl a=p+1=q−1 ist unmittelbar zu sehen, daß n=pq auch fermatsche Pseudoprimzahl ist, da bereits a²=pq+1=1 mod n. Für 15=3·5 ist a=4 die Mittenzahl und tatsächlich ist 4¹⁴=1 mod 15, weil bereits 4²=16=1 mod 15 ist.
Mit der 15 ist es abgesehen von wenigen prominenten Zahlen mit den biblischen, esoterischen, numerologischen Gedöns weitgehend vorbei. [4] Auch rechnerische Aspekte halten sich bedeckt. Zumeist können nur irgendwelche Anzahlen, Positionen oder Zahlenspielereien genannt werden: So ist 15 dritte Sechseck- und damit fünfte Dreieckszahl, was man an den 15 roten Bällen beim Snooker erkennt. Es gibt 15 archimedische Körper, wenn gespiegelte mitgezählt werden, und 15 ist die magische Zahl des dem Saturn zugeordneten magischen 3×3‑Quadrates.
┏━━━┳━━━┳━━━┓ ● ┃ 8 ┃ 1 ┃ 6 ┃ ● ● ● ● ● ● ┣━━━╋━━━╋━━━┫ ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ┃ 3 ┃ 5 ┃ 7 ┃ ● ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ┣━━━╋━━━╋━━━┫ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ○ ○ ○ ┃ 4 ┃ 9 ┃ 2 ┃ ● ● ● ● ● ○ ● ● ● ● ┗━━━┻━━━┻━━━┛ ●Magisches Quadrat, H3=1+5+9=15=D5=D3+3D2=32+2D2 (png)
[1] Das ermöglicht öffentliche Verschlüsselung und Authentifizierung, wenn die Zahlen so groß sind, daß eine Faktorisierung praktisch unmöglich ist.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Semiprimzahlen A001358, ungerade quadratfreie Semiprimzahlen A046388, fermatsche Pseudoprimzahlen A181780.
[3] Im allgemeinen ist durch Ausprobieren weniger Zahlen a sehr schnell klar, ob eine zufällig gewählte sehr große Zahl n eine Primzahl ist, wie man sie zum Beispiel für das RSA-Schema benötigt. Todsicher ist es allerdings nicht. Und leider gibt es auch ganz wenige zusammengesetzte Zahlen n, an denen fast alle a scheitern.
[4] Fromme Juden sollen die hebräisch geschriebene 15 als 6 und 9 (Waw und Tet) notieren, weil die kanonische Darstellung als 10 und 5 (Jod und He) eine der vielen Kurzbezeichnungen für Jahwe ist, dessen Namen man nicht aussprechen darf. Ob das stimmt? Und ist 69 eine gute Alternative?
14 | 16 | Saturnquadrat | Dreieckszahlen
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wieso, weshalb, warum
wuerg, 08.03.2005 23:57
Jetzt habe ich angeregt durch eine Pressemitteilung über die Zwanzigeins-Reform etwas zu Zahlwörtern geschrieben. Wieso, weshalb, warum mache ich das in einem Blog, der auch nicht mehr Leser hat als ein Stapel Blätter in meiner Schreibtischschublade? [1] Begonnen hat das als ein Versuch, dem eine lange und dann eine kurze Pause folgte. Jetzt dienen meine Einträge dazu, zumeist weniger bedeutende Gedanken aufzuschreiben. Die in bescheidenem Umfange öffentliche Darstellung bewältigt sie und befreit von dem Drang, hinterher viel mehr als nur Fehler korrigieren zu wollen.
[1] Das mußte ich bald zurücknehmen, denn einige Beiträge wurden doch recht oft gelesen, zumindest aufgerufen.
[1] Das mußte ich bald zurücknehmen, denn einige Beiträge wurden doch recht oft gelesen, zumindest aufgerufen.
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