Zahlwort

Wer die Zahl 16 googelt, wird zuge­müllt mit Luft­bal­lons, Pinata-​Zahlen und gene­rier­tem Pipifax. Wenig­stens die Wiki­pedia bemüht sich, etwas von Inter­esse zu berich­ten, es ist aber nicht viel.¹ Unter „Mathema­ti­sches“ wird wie­der­holt, daß 16 gerade ist. Dazu eine Qua­drat-, eine Biqua­drat- und eine Stör­mer­zahl.² Auch „Bedeu­tung“ gibt es nur wenig: Mit 16 erwirbt man ein paar Rechte, das Hexa­dezimal­system, zwei reli­giöse Belang­losig­kei­ten und die fran­zösi­sche Sprache.³ Bleibt „Siehe auch“ von eben­falls beschei­denem Wert.⁴

Die Haupt­bedeu­tung der Zahl 16 sehe ich im Zusamen­hang mit fort­wäh­ren­der Ver­dop­pe­lung oder Halbie­rung, nicht nur der Wind­rose in vier, dann acht und schließ­lich 16 Rich­tun­gen mit so schö­nen Bezeich­nun­gen wie West­nord­west, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölf­tei­lung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Fin­ger geteilt und ist es eigent­lich immer noch.⁵ Wir wür­den heute wohl hexa­dezi­mal oder oktal rech­nen, wenn es unse­ren Vor­fahren vor 5000 Jah­ren gelun­gen wäre, vier bzw. drei Binär­stel­len zu einer Zif­fer zusam­men­zufas­sen.⁶ So kam es zu einer dauer­haf­ten Kon­kur­renz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahl­rei­chen Umdeu­tun­gen von Maßen im Ver­hält­nis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.

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16  3  2 13        ● ○ ●         ● ● ●  
 5 10 11  8      ● ○ ● ○ ●     ● ● ○ ● ●  
 9  6  7 12       ● ○ ○ ●       ● ● ● ●  
 4 15 14  1        ● ● ●         ● ● ●  

Dürerquadrat und 16 als dritte zentrierte Fünfeckzahl (png)

So wie das kleinste magi­sche Quadrat dem entfern­testen Wandel­stern Saturn zuge­ord­net wird, so das der Größe 4x4 dem Jupi­ter, womit neben 4, der magi­schen Zahl 34 und der Ziffern­summe 136 auch 16 als Jupi­ter­zahl gilt. Das berühm­teste Qua­drat mit 16 Ziffern ist das Dürer­qua­drat. Natürlich ist 16 als Qua­drat einer Quadrat­zahl (2²)² auch ein Biqua­drat 2⁴, wie die Wiki­pedia zurecht bemerkt. Das ist inso­fern bemer­kens­wert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier ver­schie­dener natür­licher Zah­len ist.⁷ Unter den figu­rier­ten Zahlen ist 16=1+5+10=​1+5·D(2)=​1+D(5) die dritte zen­trierte Fünf­eck­zahl und die sechste zen­trierte Ein­eck­zahl, also fünfte Pizza­zahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnit­ten in 16 Stücke geteilt wer­den kann. Dazu kann man ein Penta­gramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlän­gern. Außer­dem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zwei­fache Weise als Summe zweier Drei­ecks­zah­len schreiben läßt.⁸ Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehr­facher Weise in zwei Dreiecks­zahlen zer­legen.⁹

 ¹ Einleitungstext: „Die Sech­zehn (16) ist eine natür­liche Zahl zwi­schen Fünf­zehn und Sieb­zehn. Sie ist gerade.“
 ² Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkom­menden Störmer­zahlen, die wohl nur erfun­den wurden, um damit fast alle Zahl­bei­träge der Wiki­pedia zuzu­müllen.
 ³ Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Ita­liener seidici, aber dicia­ssette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf - drei­zehn), der 20 (quatre-​vingt) und der 60 (soi­xante-​dix) geblie­ben sind.
 ⁴ Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16-Meter-​Raum ver­wie­sen, der eigent­lich ein 18-Yard-​Raum ist.
 ⁵ Im anglo­amerikani­schen Maß­system besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dicke­ren finger (7/8 Zoll) ver­wech­selt wer­den.
 ⁶ Es ist ja immer noch üblich, angloameri­kani­sche Maße nicht dezi­mal zu tei­len, son­dern mehr­fach zu hal­bieren: 5-1/4-Zoll-​Dis­ketten, 3/16-Zoll-​Schraube.
 ⁷ Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kom­men für die klei­nere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.
 ⁸ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Drei­ecks­zahlen auf mehr­fache Weise A185979.
 ⁹ Für die ersten Biquad­rate alle Zerle­gun­gen bestim­men, aus ihnen eine Gesetz­mäßig­keit able­sen und dann deren All­gemein­gültig­keit nach­rechnen.

15 | 17 | 34 | zentrierte Polygonalzahlen

Bei 15 denke ich immer daran, daß ich sie auser­koren hatte, um an einem ein­fachen Produkt zweier Prim­zahlen das RSA-​Schema zu erläu­tern. [1] Solche Pro­dukte hei­ßen Semi­prim­zahlen. Wenig inter­es­sant sind die geraden und die Qua­drat­zahlen darun­ter. Streicht man sie, so bleiben die unge­raden qua­drat­freien Semi­prim­zah­len. Sie sind alle­samt Fer­mat­sche Pseudo­prim­zah­len. Beide Listen werden von der 15 ange­führt, die sogar Pro­dukt eines Prim­zahl­zwil­lings ist. [2]

Fermat­sche Pseudo­prim­zahlen sind etwas schwe­rer zu ver­stehen: Für eine Prim­zahl p gilt nach dem klei­nen fermat­schen Satz aᵖ=a mod p für alle a, insbe­sondere aᵖ⁻¹=1 mod p für a=2,3,…,p−2. Für zusam­men­ge­setzte Zah­len n trifft letz­te­res nur sel­ten zu. [3] Gibt es den­noch ein sol­ches a, so heißt n fermat­sche Pseudo­prim­zahl. Für einen Prim­zahl­zwil­ling (p,q) mit der Mitten­zahl a=p+1=q−1 ist unmit­tel­bar zu sehen, daß n=pq auch fermat­sche Pseudo­prim­zahl ist, da bereits a²=pq+1=1 mod n. Für 15=3·5 ist a=4 die Mitten­zahl und tat­säch­lich ist 4¹⁴=1 mod 15, weil bereits 4²=16=1 mod 15 ist.

Mit der 15 ist es abge­sehen von weni­gen promi­nen­ten Zahlen mit den bib­li­schen, esote­ri­schen, numero­logi­schen Gedöns weit­ge­hend vorbei. [4] Auch rechne­rische Aspekte hal­ten sich bedeckt. Zumeist kön­nen nur irgend­wel­che Anzah­len, Posi­tio­nen oder Zahlen­spiele­reien genannt wer­den: So ist 15 dritte Sechs­eck- und damit fünfte Drei­ecks­zahl, was man an den 15 ro­ten Bällen beim Snooker erkennt. Es gibt 15 ar­chi­medi­sche Körper, wenn gespie­gelte mitge­zählt wer­den, und 15 ist die magi­sche Zahl des dem Saturn zuge­ord­neten magi­schen 3×3‑Qua­drates.

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┃ 8 ┃ 1 ┃ 6 ┃     ● ● ●         ●         ● ●
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┃ 3 ┃ 5 ┃ 7 ┃   ●   ○   ●     ○ ○ ○      ○ ○ ○
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┃ 4 ┃ 9 ┃ 2 ┃     ● ● ●     ● ● ○ ● ●     ● ●
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Magisches Quadrat, H₃=1+5+9=15=D₅=D₃+3D₂=3²+2D₂ (png)

[1] Das ermöglicht öffentliche Ver­schlüs­selung und Authen­tifi­zierung, wenn die Zahlen so groß sind, daß eine Faktori­sierung prak­tisch unmög­lich ist.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Semi­prim­zahlen A001358, unge­rade qua­drat­freie Semi­prim­zahlen A046388, fermat­sche Pseudo­prim­zahlen A181780.

[3] Im allgemeinen ist durch Auspro­bieren weniger Zahlen a sehr schnell klar, ob eine zufällig gewählte sehr große Zahl n eine Prim­zahl ist, wie man sie zum Beispiel für das RSA-​Schema benötigt. Todsicher ist es aller­dings nicht. Und leider gibt es auch ganz wenige zusammen­gesetzte Zah­len n, an denen fast alle a scheitern.

[4] Fromme Juden sollen die hebräisch geschrie­bene 15 als 6 und 9 (Waw und Tet) notieren, weil die kanonische Darstel­lung als 10 und 5 (Jod und He) eine der vielen Kurz­bezeich­nungen für Jahwe ist, dessen Namen man nicht ausspre­chen darf. Ob das stimmt? Und ist 69 eine gute Alternative?

14 | 16 | Saturnquadrat | Dreieckszahlen

Jetzt habe ich angeregt durch eine Presse­mittei­lung über die Zwan­zig­eins-​Reform etwas zu Zahl­wörtern ge­schrie­ben. Wieso, weshalb, warum mache ich das in einem Blog, der auch nicht mehr Leser hat als ein Stapel Blätter in meiner Schreib­tisch­schub­lade?¹ Begon­nen hat das als ein Versuch, dem eine lange und dann eine kurze Pause folgte. Jetzt die­nen meine Ein­träge dazu, zumeist weniger bedeu­tende Gedan­ken aufzu­schrei­ben. Die in beschei­denem Umfange öffent­liche Dar­stel­lung bewäl­tigt sie und befreit von dem Drang, hinter­her viel mehr als nur Fehler korri­gieren zu wollen.

 ¹ Das mußte ich bald zurück­nehmen, denn einige Bei­träge wurden doch recht oft gelesen, zumin­dest aufge­rufen.

In der halben Welt, vor allem aber Kontinental­europa ist das Chuquet-​System üblich, das eine Eins mit 6p Nul­len eine ⟨p⟩-il­lion nennt. Die sich aus­brei­tende kurze Skala der Ameri­kaner mit 3(p+1) Nul­len für eine ⟨p⟩-il­lion ist nicht wegen der Dreier­blöcke 3p, son­dern der häßli­chen +1 min­der­wer­tig. Archi­medes war fast zwei Jahr­tausende voraus. Er benannte große Zahlen expo­nen­tiell und dachte die Unend­lich­keit. Basis war die den Grie­chen geläu­fige Myri­ade von 10.000, mit der sie auch ohne Archi­medes zumin­dest Zahlen bis zu einer Myriade Myriaden, also 100 Mil­lio­nen benen­nen konn­ten.

Leider ist diese Myriade unter­gegan­gen, und es kam nicht zur Glie­de­rung unse­rer Zahlen in Blöcken zu 2, 4, 8, 16, ... Stel­len. Geblie­ben ist nur ein gele­gent­licher Hang zur Zwei­stellig­keit. Früher beim Memo­rieren von Tele­fon­num­mern, heute noch bei den zwei Nach­komma­stel­len von Geld­beträ­gen, Zenti­metern und vor allem Pro­zenten. Deutlicher als Deka und Hekto ist Myriad aus dem Sprach­ge­brauch gera­ten und hat es nicht mehr zum SI‑Prä​fix geschafft. Geblie­ben sind Myri­aden nur noch im Sinne von unüber­schau­bar vielen.

Billion | Googol

In der Welt gibt es zwar unter­schied­liche Auf­fas­sun­gen über die Größe einer Bil­lion, Tril­lion und so weiter, gemein­sam aber ist allen, daß ab einer gewis­sen Größen­ord­nung die Namen nur noch den sport­lichen Ehr­geiz von Latein­leh­rern befrie­digen. Bis zur Oktil­lion sind die Namen noch ganz nett. So kommt man ohne Probleme knapp über 10³&#8304 bzw. 10&#8309⁴. Ähn­liches gilt für musi­kali­sche Inter­valle. Bis zu einer Duode­zime sind sie in Ordnung, danach fragt man sich, wie sie heißen und ob eine for­male Bezeich­nung mit geläu­figen Zahlen nicht besser wäre.

Für sehr große Zahlen hat man sich vor­schnell zu Googol für 10¹⁰⁰ hin­reißen lassen. Leider fällt dieses Googol mit 10 Sex­dezil­liar­den bzw. 10 duo­tri­gin­til­lions ebenso aus unse­rem Raster von Dreier­blöcken wie ein Ang­ström für 10¹⁰-tel Meter und eine Myri­ade für 10.000. So sehe ich Googol als Spaß, der von Google aufge­grif­fen wurde. Ein Googol­plex mit 10 hoch 10¹⁰⁰ durch wei­tere Poten­zie­rung auch Googol­plex­plex usw. zu defi­nie­ren, was so albern ist wie Tril­lionen als Mimi­mil­lio­nen zu stot­tern.

Wollte man mit wenigen latei­nisch benann­ten Zahlen sehr weit zäh­len, hätte man weder das euro­päi­sche System in Sechser-, noch das ameri­kani­sche in Dreier­schrit­ten neh­men dür­fen, son­dern mit Archi­medes im Sinne sei­nes Sand­rech­ners fort­set­zen sol­len: Mit dem Begriff Mil­lion (10⁶) konnte man 12 Stel­len leicht benen­nen. Mit der euro­päi­schen Billion (10¹²) kommt man auf 24. Würde sodann eine ⟨p⟩-illion als Quadrat einer ⟨p-1⟩-illion defi­niert, wäre sie eine Eins mit 3·2^p Nullen¹ und ein Googol nur eine Myriade Quin­til­lionen groß.

 ¹ Wer sich jetzt fragt, warum ich 2^p und nicht 2^p wie zuvor auch 10⁹ geschrie­ben habe: Echte Hoch­stellung versaut im Gegen­satz zu hoch­gestell­ten Zeichen den Zeilen­abstand. Und das erlaube ich mir mög­lichst nur wie hier in der ersten Zeile. Ein hoch­gestell­tes P habe ich im Unicode nicht gefunden, auch kein kleines. Wer die Text­breite verklei­nert, sollte den vergrö­ßerten Zeilen­abstand sehen können. Auch, wenn man auf einem kurz­zeiligen Mobil­telefon liest.

Billion | Myriade

Wenn wir weiterhin einund­zwanzig und nicht zwanzig­eins sagen, so mag das unse­ren Kindern ein Wett­bewerbs­nach­teil sein. Proble­mati­scher sind jedoch Ver­wechse­lungen großer Zahlen. So ist es auch sprach­lich ver­sierten Men­schen nicht pein­lich, eine ameri­kani­sche bil­lion mit einer deut­schen Billion zu ver­wechseln. Auch in Amerika lebende Wissen­schaft­ler und große Teile des ein­fachen Vol­kes waren durch­aus der Meinung, daß es sich bei einer bil­lion um 10¹² han­deln sollte. Doch die klei­nere mit 10⁹ wurde durch Geld­säcke und deren Hilfs­trup­pen beför­dert, die sich dadurch wich­tiger, größer und reicher vor­kommen.

Es gab einmal eine Zeit, da man selten über 1000 kam, aber bereits ein Zahlwort dafür hatte, womit man ohne Mühe bis 999.999 und etwas darüber zählen konnte. Weit vor der Erfin­dung der Ameri­kaner hat man dieses Prinzip der Dreier­blöcke für größere Zahlen fort­gesetzt: Wie die kleine mille (1000) die benenn­baren Zahlen von drei auf sechs Stellen aus­dehnte, gestat­tete die große mille-one (1.000.000) neun, wenn nicht zwölf und mehr Stellen.

Die selten vorkom­menden noch größeren Zahlen hätte man einfach mit Zehner­poten­zen aus­drücken können. Doch unsere Vor­fahren ent­schlos­sen sich zu der nahe­liegen­den Fort­setzung, in einer <p+1>il­lion das Mil­lionen­fache der <p>il­lion zu sehen und für <p> einen lateini­schen Prä­fix zu verwen­den. So ent­standen die noch heute in Europa gül­tigen Bezeich­nun­gen Bil­lion, Tril­lion, Qua­dril­lion usw. in Schrit­ten zu sechs Stel­len. Das ist die lange Skala oder System von Chuquet mit <p>il­lion für eine Eins mit 6p Nul­len. Daß tau­send <p>il­lionen auch <p>il­liarde genannt werden, ändert am Prinzip nichts.

Auch Dreierblöcke wären sinnvoll, doch dann <p>illion für eine Eins mit 3p und nicht 3(p+1) Nullen, der sog. kurzen Skala, die zwar nicht von den Ameri­kanern erfun­den wurde, sich jedoch wegen ihres welt­weiten Einflusses auf die ganze Welt aus­brei­tet. Auch wenn es in der Praxis von wenig Bedeu­tung ist, so stört es meinen Schön­heits­sinn, wenn ein <p>illionstel nicht eine <-p>illion ist.

Wäh­rend die Fran­zosen durch Verord­nung ins euro­päi­sche Chuquet-​System zurück­kehr­ten, konn­ten die Eng­länder sich dem Sprach­chauvi­nismus nicht erwehren und haben ihre mil­liard weit­gehend der bil­lion geop­fert. Viel­leicht sind wir gut beraten, bil­lion und ange­beri­sche tril­lion dollar zu ver­ges­sen und uns an Giga- und Tera-​Dollar gewöh­nen, nach­dem geklärt ist, daß Giga für 10⁹ und nicht 2³⁰ steht.

Zahlreform

Wenn man den Deutschen eine der Ziffern­reihen­folge ange­paßte Sprech­weise wie zwanzig­eins statt einund­zwanzig auf­drücken will, dann sollte auch nicht mehr zwan­zig gesagt oder gar drei­ßig geschrieben werden, sondern zum Beispiel ein­zig, zwei­zig, drei­zig. Zur weiteren Syste­mati­sie­rung könnte eins durch ein und sie­ben durch sieb ersetzt wer­den. Unter Bei­behal­tung der höhe­ren Posi­tio­nen hun­dert, tau­send, Mil­lion, Milli­arde usw. nebst Unter­drückung der Null, würde 10.700.001.234 als

einzigmilliarden­siebhundertmillionen­eintausend­zweihundert­dreizigvier

geschrieben werden. Kürzt man neben eintau­send und einhun­dert auch ein­zig, so erge­ben sich verwir­rende zig­milli­arden. Eine Erset­zung von zig durch zehn macht es mit drei­zehn­vier nicht besser. Viel­leicht werden sich mode­rate Bemü­hun­gen zur Zwan­zig­eins¹ eines Tages durch­setzen, wahr­schein­lich aber wie die Zehn­tage­woche und der Sech­zehn­stun­den­tag schei­tern. Schön, wenn man das für alle Sprach­gänge­lungen sagen könnte!

Natürlich ist es ungerecht, die Bestre­bun­gen zur Anpas­sung der Zahl­wörter an die Abfolge der Ziffern mit wei­teren Proble­men zu kari­kie­ren. Ist die deut­sche Sprech­weise aber wirk­lich so abwe­gig, daß Kindern und Aus­län­dern durch eine Reform die Aneig­nung erleich­tert werden sollte? Kommt es wirk­lich zu vielen Zahl­verdre­hun­gen, die gele­gent­lich auch Geld kosten? Es sollte doch egal sein, ob man vierzig­fünf oder fünfund­vierzig sagt. In beiden Fällen führt das auf 40+5=5+40=45. Wer 54 schreibt, hat nicht rückgelesen, sonst wäre ihm sowohl mit vierund­fünfzig als auch fünfzig­vier das Versehen aufge­fallen.

Und so geht es dem Verein Zwanzig­eins zumin­dest im ersten Schritt nicht darum, die einund­zwanzig aus der Schule und dann aus der Gesell­schaft zu drängen, son­dern um eine Aner­ken­nung der Zwanzig­eins als korrekt und allge­mein ver­standen, so wie 3 Uhr 45 statt drei­viertel Vier. Auf der anderen Seite besteht die Gefahr, daß wie mit der Recht­schreib­reform und vor allem zwan­zig Jahre später der Gende­risie­rung eine nervige Sprach­verhun­zung über Schu­len, Behör­den und aggres­sive Minder­heiten durch­ge­drückt wird. Wenn es Schwie­rig­keiten berei­tet, deut­sche oder fran­zösi­sche Zahl­wörter zu erlernen, sollte man sich eher fragen, wel­chen Nutzen Sprachen neben der des eigenen Landes und Eng­lisch haben. Wer meint, dadurch in die Kultur viel­fäl­tiger Völker einzu­drin­gen, der kann gerne mit den Zahl­wörtern begin­nen.

 ¹ Zwanzigeins. Von Prof. Lothar Gerrit­zen gegrün­deter Verein Zwanzig­eins. Leider habe ich es in Frank­furt ver­säumt, eine seiner Vor­lesun­gen zu hören.

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