20
Ich hatte schon vor, nach der 19 die 20 auszulassen, weil mir zu ihr so gar nichts einfiel. Natürlich kann man unter ihr den Ikosa­eder mit seinen 20 Drei­ecken oder den Dode­kaeder mit seinen 20 Ecken feiern. Aber was bleibt sonst? Eine Liste mit den heraus­ragenden Eigen­schaften von Zahlen, vermerkt zur 20 nur, daß sie die Anzahl der gerichteten Bäume mit sechs Knoten ist. Doch wie interessant ist eine solche Aussage, die noch nicht einmal ohne Vorkennt­nisse zu verstehen ist? Wer es aber kann und Geduld hat, der mag sich die gerich­teten Bäume oder Wurzel­bäume mit sechs Knoten aufmalen und über­prüfen, ob er wirklich auf 20 kommt.¹

Auch in meinen übrigen Unterlagen habe ich nur wenig gefunden. Eigent­lich nur eine alte Über­legung zur Anzahl der Möglich­keiten, Zahlen mit vorge­gebener Summe n in die vier Ecken eines Quadrates zu schreiben, wobei gedrehte und gespie­gelte nur einmal zählen, aber auch die 0 erlaubt ist. Für n=7 ergeben sich 20 Mög­lich­keiten. Zwischen­zeitlich kann man bequem im Internet die ersten mühsam ermit­telten Anzahlen eingeben und bekommt sofort eine lange Liste mit weiteren angezeigt.² Dazu noch wissens­werte Infor­mationen. Und so habe ich erfahren, daß es eine schönere Formu­lierung des Problemes gibt: Wieviele verschie­dene Perlen­ketten (ohne Verschluß) kann ich aus 4 schwar­zen und n weißen Perlen bilden?

●●●●○○○○○○○ 00  ●●●○●○○○○○○ 00  ●●●○○●○○○○○ 00  ●●●○○○●○○○○ 00  ●●○●●○○○○○○ 01
            70              61              52              43              60

●●○○●●○○○○○ 02  ●●○○○●●○○○○ 03  ●●○●○●○○○○○ 01  ●●○●○○●○○○○ 01  ●●○●○○○●○○○ 01
            50              40              51              42              33

●●○●○○○○●○○ 01  ●●○●○○○○○●○ 01  ●●○○●○●○○○○ 02  ●●○○●○○●○○○ 02  ●●○○●○○○●○○ 02
            24              15              41              32              23

●●○○○●○●○○○ 03  ●○●○●○●○○○○ 11  ●○●○●○○●○○○ 11  ●○●○○●○●○○○ 12  ●○●○○●○○●○○ 12
            31              41              32              31              22
Entsprechung der Perlenketten und der Quadrate (png)

Man überlegt sich leicht, daß es sich um äqui­valente Aufgaben handelt. Hat man die Kette auf einem Gummi­band und klebt die schwarzen Perlen an den Seiten eines Quadrates fest, so verteilen sich die weißen Perlen auf die vier Ecken. Außerdem entsprechen sich die Drehungen und Spiegelungen der so präpa­rierten Kette und des Quadrates. Es werden also die gleichen Anzahlen geliefert.

Was gibt es nach mehr als zehn Jahren noch nachzutragen? Übersehen hatte ich, daß 20=1+3+6+10 die vierte Tetra­ederzahl ist. Man erhält eine solche Dreiecks­pyramide mit vier Apfel­sinen auf jeder Kante, wenn man zehn Stück wie beim Bowling aus­legt, darauf sechs, darauf drei und ganz oben eine stapelt. Erwähnen will ich noch, daß es 6 über 3, also 20 off­ene Ketten aus sieben weißen und schwarzen Perlen gibt, die dreimal die Farbe wechseln, was nur von Bedeu­tung ist, weil sie in den sieben Strichen einer jeden Stelle des EAN-Codes zu finden sind.³ Und nun, was erst seit 2010 bekannt ist und sehr viel Rechen­leistung erorderte: Jeder Rubik-​Würfel läßt sich in 20 Dreh­ungen lösen.

  1 Anzahl der Wurzelbäume (A000081): 0, 1, 1, 2, 4, 9, 20 (6 Kno­ten), 48, 115, ... 
  2 Anzahl geschlossener Ketten mit 4 schwarzen Perlen, Rest weiß: (A005232): 1, 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20 (4 schwarz, 7 weiß), 29, 35, 47, 56, 72, 84, 104, 120, ... 
  3 Eine offene Kette aus sieben Perlen hat sechs Stellen für die insge­samt drei Farb­wechsel. Das ergibt 6 über 3, also 20 Mög­lich­keiten. Man kann mit weiß oder schwarz begin­nen, also 40. Aber man kann jede Kette auch umdrehen, womit es wieder 20 sind, weil es keine symme­trischen gibt, denn es ist immer ein Ende weiß und das andere schwarz.

19 | 21 | Score

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Vielleicht weiß ja einer meiner drei Leser, woher die Tabellenkalkulation 20/20 ihren Namen hat. Hoffentlich nicht aus der affengeilen Bezeichnung 20/20 für einen amerikanischen Normalsichtigen, der auf 20 Fuß Entfernung erkennen kann, was auf 20 Fuß gerade noch zu lesen sein sollte. Indianische Adleraugen sind dann wohl 40/20 oder mehr.

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Da muss ich passen
Vielleicht wissen die anderen beiden Leser mehr?

Darüber hinaus versuche ich mich krampfhaft zu erinnern, warum in der französischen Zählweise die 20 immerhin so prominent ist, dass 80 als quatre-vingt laufen. Ich hab nen Franzosen mal gefragt, warum 60 dann nicht triple-vingt heißt, aber der hat mich nur ganz entgeistert angeguckt...

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Ob die Franzosen deutlicher der 20 verfallen sind als andere, haben die Sprachwissenschaftler sicherlich geklärt. Ich glaube, sie sind der 60 verfallen, kamen damit bis 79 (wie wir ja auch ohne tausend bis neunzehnhundertneunundneunzig gekommen sind) und verfielen dann auf die Schnapsidee, die Lücke mit 4*20=80 zu schließen.

Daß Franzosen auf diese Unebenheit angesprochen den Kopf schütteln, ist durchaus verständlich. Jeder Muttersprachler verinnerlicht in früher Kindheit einfach zwei Zahlenreihen (1 bis 9 und 10 bis 90). Völlig willkürliche Bezeichnungen wären nach einiger Übung nicht schwerer.

zwo

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Es gibt ne archaische 20er-Signifikanz, von der ich mal in einem Buch über die Entstehung des Zahlensystems gelesen habe. Ist aber lang her, und leider habe ich's nicht mehr parat. Im älteren Englisch (siehe King-James-Bibel) wird ja auch noch mit three-score = 3*20 = 60 operiert. Vielleicht hilft Ihnen die etymologische Suche nach der Score-Zählweise weiter.

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Die 20 mag mit Händen und Füßen eine eigenständige Bedeutung haben, ist aber sicherlich auch ein Rest der 60, für die sich die Babylonier entschieden haben, damit 10/3 nicht 3,33333... sondern 3;20 ist. Die Darstellung von 60 als dreimal 20 ist also über Jahrtausende geläufig. Wollten die Babylonier durch drei teilen, haben sie mit 20 multipliziert. Eines Tages wird sich herausstellen, daß sie die sagenhaften Erfinder des Dartspieles sind.

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Einige Spezialisten werden wissen, ob das Dartspiel aus dem Teil der Welt kommt, da man gerne in Gruppen zu 20 zählt. Doch auch ihnen scheint nicht mehr bekannt zu sein, durch welchen evolutionären Vorgang die zyklische Dartboard-Folge 20,1,18,4,...,9,12,5 entstanden ist. Sicherlich war man bestrebt, neben einer großen Zahl zwei kleine zu haben. Doch gibt es bessere Lösungen. Ist D(p) die Summe der p-ten Potenzen der 20 Abstände je zwei benachbarter Zahlen, so ist für das real existierende Dartspiel D(1)=198 und D(2)=2374. Das ist nicht schlecht, doch liefern einfache alternierende Folgen das Optimum mit D(1)=200 und D(2)=2648.

Bisher hat noch keiner ein anderes vernünftiges Kriterium gefunden, das die "dartboard sequence" als optimale Lösung aufweist. Die Summen benachbarter Zahlen zu quadrieren, ist gleichbedeutend mit dem vorangehenden Fall p=2. Und das Quadrieren der Summen dreier benachbarter Zahlen führt für das Dartspiel mit 20.478 ebenfalls auf mehr als die 19.874 für eine bessere Lösung.

Cohen | Brown

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