16
wuerg, 10.03.2005 17:37
Wer die Zahl 16 googelt, wird zugemüllt mit Luftballons, Pinata-Zahlen und generiertem Pipifax. Wenigstens die Wikipedia bemüht sich, etwas von Interesse zu berichten, es ist aber nicht viel. [1] Unter „Mathematisches“ wird wiederholt, daß 16 gerade ist. Dazu eine Quadrat-, eine Biquadrat- und eine Störmerzahl. [2] Auch „Bedeutung“ gibt es nur wenig: Mit 16 erwirbt man ein paar Rechte, das Hexadezimalsystem, zwei religiöse Belanglosigkeiten und die französische Sprache. [3] Bleibt „Siehe auch“ von ebenfalls bescheidenem Wert. [4]
Die Hauptbedeutung der Zahl 16 sehe ich im Zusamenhang mit fortwährender Verdoppelung oder Halbierung, nicht nur der Windrose in vier, dann acht und schließlich 16 Richtungen mit so schönen Bezeichnungen wie Westnordwest, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölfteilung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Finger geteilt und ist es eigentlich immer noch. [5] Wir würden heute wohl hexadezimal oder oktal rechnen, wenn es unseren Vorfahren vor 5000 Jahren gelungen wäre, vier bzw. drei Binärstellen zu einer Ziffer zusammenzufassen. [6] So kam es zu einer dauerhaften Konkurrenz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahlreichen Umdeutungen von Maßen im Verhältnis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.
So wie das kleinste magische Quadrat dem entferntesten Wandelstern Saturn zugeordnet wird, so das der Größe 4×4 dem Jupiter, womit neben 4, der magischen Zahl 34 und der Ziffernsumme 136 auch 16 als Jupiterzahl gilt. Das berühmteste Quadrat mit 16 Ziffern ist das Dürerquadrat. Natürlich ist 16 als Quadrat einer Quadratzahl (2²)² auch ein Biquadrat 2⁴, wie die Wikipedia zurecht bemerkt. Das ist insofern bemerkenswert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier verschiedener natürlicher Zahlen ist. [7]
Unter den figurierten Zahlen ist 16=1+5+10=1+5·D(2)=1+D(5) die dritte zentrierte Fünfeckzahl und die sechste zentrierte Eineckzahl, also fünfte Pizzazahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnitten in 16 Stücke geteilt werden kann. Dazu kann man ein Pentagramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlängern. Außerdem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zweifache Weise als Summe zweier Dreieckszahlen schreiben läßt. [8] Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehrfacher Weise in zwei Dreieckszahlen zerlegen. [9]
[1] Einleitungstext: „Die Sechzehn (16) ist eine natürliche Zahl zwischen Fünfzehn und Siebzehn. Sie ist gerade.“
[2] Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkommenden Störmerzahlen, die wohl nur erfunden wurden, um damit fast alle Zahlbeiträge der Wikipedia zuzumüllen.
[3] Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Italiener seidici, aber diciassette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf – dreizehn), der 20 (quatre-vingt) und der 60 (soixante-dix) geblieben sind.
[4] Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16‑Meter-Raum verwiesen, der eigentlich ein 18‑Yard-Raum ist.
[5] Im angloamerikanischen Maßsystem besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dickeren finger (7/8 Zoll) verwechselt werden.
[6] Es ist ja immer noch üblich, angloamerikanische Maße nicht dezimal zu teilen, sondern mehrfach zu halbieren: 5‑1/4‑Zoll-Disketten, 3/16‑Zoll-Schraube.
[7] Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kommen für die kleinere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.
[8] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Dreieckszahlen auf mehrfache Weise A185979.
[9] Für die ersten Biquadrate alle Zerlegungen bestimmen, aus ihnen eine Gesetzmäßigkeit ablesen und dann deren Allgemeingültigkeit nachrechnen.
15 | 17 | 34 | zentrierte Polygonalzahlen
Die Hauptbedeutung der Zahl 16 sehe ich im Zusamenhang mit fortwährender Verdoppelung oder Halbierung, nicht nur der Windrose in vier, dann acht und schließlich 16 Richtungen mit so schönen Bezeichnungen wie Westnordwest, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölfteilung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Finger geteilt und ist es eigentlich immer noch. [5] Wir würden heute wohl hexadezimal oder oktal rechnen, wenn es unseren Vorfahren vor 5000 Jahren gelungen wäre, vier bzw. drei Binärstellen zu einer Ziffer zusammenzufassen. [6] So kam es zu einer dauerhaften Konkurrenz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahlreichen Umdeutungen von Maßen im Verhältnis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.
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16 3 2 13 ● ○ ● ● ● ●
5 10 11 8 ● ○ ● ○ ● ● ● ○ ● ●
9 6 7 12 ● ○ ○ ● ● ● ● ●
4 15 14 1 ● ● ● ● ● ●
Dürerquadrat und 16 als dritte zentrierte Fünfeckzahl (png)So wie das kleinste magische Quadrat dem entferntesten Wandelstern Saturn zugeordnet wird, so das der Größe 4×4 dem Jupiter, womit neben 4, der magischen Zahl 34 und der Ziffernsumme 136 auch 16 als Jupiterzahl gilt. Das berühmteste Quadrat mit 16 Ziffern ist das Dürerquadrat. Natürlich ist 16 als Quadrat einer Quadratzahl (2²)² auch ein Biquadrat 2⁴, wie die Wikipedia zurecht bemerkt. Das ist insofern bemerkenswert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier verschiedener natürlicher Zahlen ist. [7]
Unter den figurierten Zahlen ist 16=1+5+10=1+5·D(2)=1+D(5) die dritte zentrierte Fünfeckzahl und die sechste zentrierte Eineckzahl, also fünfte Pizzazahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnitten in 16 Stücke geteilt werden kann. Dazu kann man ein Pentagramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlängern. Außerdem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zweifache Weise als Summe zweier Dreieckszahlen schreiben läßt. [8] Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehrfacher Weise in zwei Dreieckszahlen zerlegen. [9]
[1] Einleitungstext: „Die Sechzehn (16) ist eine natürliche Zahl zwischen Fünfzehn und Siebzehn. Sie ist gerade.“
[2] Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkommenden Störmerzahlen, die wohl nur erfunden wurden, um damit fast alle Zahlbeiträge der Wikipedia zuzumüllen.
[3] Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Italiener seidici, aber diciassette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf – dreizehn), der 20 (quatre-vingt) und der 60 (soixante-dix) geblieben sind.
[4] Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16‑Meter-Raum verwiesen, der eigentlich ein 18‑Yard-Raum ist.
[5] Im angloamerikanischen Maßsystem besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dickeren finger (7/8 Zoll) verwechselt werden.
[6] Es ist ja immer noch üblich, angloamerikanische Maße nicht dezimal zu teilen, sondern mehrfach zu halbieren: 5‑1/4‑Zoll-Disketten, 3/16‑Zoll-Schraube.
[7] Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kommen für die kleinere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.
[8] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Dreieckszahlen auf mehrfache Weise A185979.
[9] Für die ersten Biquadrate alle Zerlegungen bestimmen, aus ihnen eine Gesetzmäßigkeit ablesen und dann deren Allgemeingültigkeit nachrechnen.
15 | 17 | 34 | zentrierte Polygonalzahlen
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wuerg,
11.03.2005 20:56
Sollte es eine Strafe für meinen Beitrag zur Zahl 16 und auch den zur Zahl 15 sein, daß gestern erst die Linie 16 nicht kam und dann auch die Linie 15 nicht fuhr, weil beide hinter einem parkenden Jaguar zum stehen kamen? Sicherlich hätten 15 bis 16 Fahrgäste ausgereicht, um ihn zur Seite zu rollen, doch zogen sie es auch angesichts der beiden Polizisten vor, geduldig auf den Fahrer oder Abschleppwagen zu warten. Ich habe es nicht getan und bin zu Fuß gegangen. Das brachte mir eine Viertelstunde Verspätung ein und eine Bestätigung meiner Sicht auf Jaguar-Fahrer aus Bad Homburg.
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kid37,
11.03.2005 22:16
Ich warte sehnsüchtig auf die 37. Dazu habe ich übrigens vor Jahren mal ein Buch angefangen.
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wuerg,
12.03.2005 00:35
Jetzt muß ich mit der 37 ja aufpassen. Einen leichten Anlauf hatte ich mit 999 und 1729 bereits genommen. Und schon jetzt will ich verraten, daß ich jahrelang in Zimmer 111 gearbeitet habe. Jedesmal, wenn der Pförtner etwas von „dreimal die eins“ sagte, antwortete ich: „Nein, dreimal 37!“
999 | 1729
999 | 1729
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kid37,
12.03.2005 00:36
Ich sammel halt 37-er Effekte. Wenn man sich konzentriert, bekommt man schnell viel Material zusammen. Aber dann fand es seinen Platz in einer Schublade und öh... Kurzzeitig hatte ich mal überlegt, dafür eine Kategorie in meinem Blog einzurichten. Vielleicht mache ich das mal.
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wuerg,
12.03.2005 00:45
Leider fehlt mir doch die oben gelobte Muße, um zu jeder Zahl alles zu sammeln. Wenn ich zur 37 etwas schreibe oder vorher das Zeichen des Tieres erledige, dann will ich sie auch für den Rest des Lebens zur Seite legen können.
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wuerg,
12.03.2005 19:32
Ich passe jetzt auf. Bisher habe ich die 37 nur gesehen in kid37, 37 Grad Celsius und g(5)=37. Und auf Kanal 37 habe ich HSE24, weil sich das bei automatischer Sendersuche so ergab.
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wuerg,
14.03.2005 00:08
In meiner Schulzeit gab es im Zeugnis sechs verschiedene Noten 1 bis 6. Die dem Lehrer die Entscheidung abnehmenden halben Noten wie 2 bis 3 auf Einzelleistungen haben sich nicht durchgesetzt. Auch damals gab es schon plus und minus, die eine Note in meiner Erinnerung um ein Viertel veränderten. Im Laufe der Zeit setzte sich wohl das Drittelverständnis durch, das schließlich auch in die heutigen Punkte von 0 bis 15 eingeflossen ist. Schön an dieser Reform ist die Abbildung auf 2⁴=16 Werte, und dann auch noch von 0 bis 15 und nicht etwa von 1 bis 16. Vorbildlich ist auch, daß mehr Punkte eine bessere Leistung bedeuten, denn zuvor wiesen plus und minus numerisch in die falsche Richtung. Nur eines konnten die Reformer sich nicht verkneifen: Statt die 16 bekannten Noten 1,1⁻,2⁺,…,5⁻,6⁺,6 abzubilden, hat man eine 1⁺ eingeführt und die 6 gestrichen. Wie unschön das ist, erkennt man schon daran, daß zur Erlangung ganzer Noten auf 14, 11, 8, 5, 2 zu runden ist. Die Note sehr gut umfaßt drei Punkte (13–15), ein ungenügend nur einen (0). Das alles soll wohl dem Wunsch der Lehrer entgegenkommen, gute Noten zu vergeben, und die Möglichkeit bieten, mit Durchschnitten wie 0,8 eine Leistung erbringen zu können, die den Vorvätern verschlossen blieb, zumal damals so und so nur der Lehrer selbst eine Eins bekam. Am Arbeitsmarkt aber wird es nicht helfen. Dort ist das Ergebnis eines Casting wichtiger als das in der Schule.
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