19
Durch Himmelsbeobachtung kannte man bereits in der Antike den Metoni­schen Zyklus von 19 Jahren, nach denen sich Mond- und Sonnen­lauf wieder­holen. Heute können wir die 365,2422 Tage des tropi­schen Jahres durch die 29,5306 des syno­dischen Monat dividieren, als Ketten­bruch [12;2,1,2,1,1,16,...] entwickeln und der großen Zahl 16 ent­nehmen, daß 235 Monate recht genau 19 Jahre lang sind. [1] Die Berech­nung des Oster­datums orien­tiert sich zwar am wahren Mond­lauf, beruht formal aber auf dem Meto­nischen Zyklus. [2]

Nun könnte man meinen, wegen des Mond­laufes spiele die 19 im islami­schen Kalender eine beson­dere Rolle. Dem ist aber nicht so, denn mit der Ableh­nung des Schalt­monates Nasi hat man sich vom Sonnen­jahr verab­schiedet, weshalb das Ver­hältnis von Monats- zur Jahres­länge völlig irrele­vant ist. Viel­mehr führten die 354,367 Tage für zwölf Monate schon damals ohne Ketten­bruch auf eine dreißig­jährige Peri­ode. [3] Auch wenn es im Koran 19 Engel gibt, ist die 19 erst durch Rashad Khalifa zur Zahl des Koran geworden, nachdem er ihn gleich dem Bibel-​Code nach Zahl­bezie­hungen durch­suchte. [4] Daß der Bahai-​Kalender das Jahr in 19 Monate zu 19 Tagen gliedert, scheint keinen ein­leuch­tenden Grund zu haben. Wohl völlig unab­hängig davon fand Peter Plichta die Zahl 19 im Perioden­system, besser Nuklid­tafel. Vier Gruppen von 19 Elementen gemäß Prima­lität, Gerad­heit und Isotopen­zahl samt fünf Aus­nahmem. [5]

Nicht unerwähnt läßt Plichta die 19+1 Amino­säuren, erwähnt aber meines Wissens nicht die Grund­lage unserer Zwölf­tonmusik, daß 2^19=524.288 nur knapp unter 3^12=531.441 liegt. Auch nicht die Neun­zehnton­leiter. [6] Weniger interes­sant ist, daß jede natür­liche Zahl Summe von 19 Biqua­draten ist. Bei 79 sind sie auch erforder­lich, nämlich viermal die 16 und fünf­zehnmal die 1. Danach erleichtern 8=4·16 und 81=3^4 die Zerle­gung. Aber in 80er-​Schrit­ten (1 durch 81 ersetzen) werden wieder 19 Sum­manden benö­tigt, solange 625=5^4 nicht über­schrit­ten wird. Danach gibt es keine Zahlen mehr, die 19 Sum­manden erfor­dern.

  2 = 1+1
 15 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
 79 = 16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
 80 = 16+16+16+16+16
159 = 81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
239 = 81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
319 = 81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
399 = 81+81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
479 = 81+81+81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
559 = 81+81+81+81+81+81+16+16+16+16+1+1+1+1+1+1+1+1+1
639 = 625+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Und nun zu einem Phänomen, von dem die 19 geradezu befallen scheint: Die viel­fältigen, mehr oder minder spaßigen Eigen­schaften von Zahlen, die ein­faltslos mehr oder minder gleich bezeich­net, ohne gute Englisch­kennt­nisse nur schwer zu unter­scheiden und wenn über­haupt recht will­kürlich in die deut­sche Sprache über­setzt sind. Es geht um ludi­city, lucki­ness, happi­ness und Konsor­ten. [7] Ich beginne mit dem Prim­zahl­sieb. Dazu schreibt man alle natür­lichen Zahlen ab der 2 in eine Reihe und verfährt immer und immer wieder wie folgt: Die klein­ste Zahl n der Reihe wird in eine Liste verschoben, und es werden alle Viel­fachen von n gestrichen. So entsteht eine neue, gekürzte Reihe.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
- 3 - 5 - 7 - 9 -- 11 -- 13 -- 15 -- 17 -- 19 -- 21 -- 23 -- 25 -- 27 --
- - - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 -- -- -- 23 -- 25 -- -- --
- - - - - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 -- -- -- 23 -- -- -- -- --

In der Liste landen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Nun mag es auch mathe­matisch inter­essant sein, ähnliche Ver­fahren zu betrach­ten, nach denen andere Zahlen mit der gleichen Dichte ausge­wählt werden, um an ihnen möglicher­weise leichter gewisse Eigen­schaften abzu­lesen, die auch für Prim­zahlen gelten könnten. Ich aber glaube, es ist mehr eine spaßige Freizeit­beschäf­tigung. Ver­fährt man analog, streicht aber nicht die Viel­fachen von n, sondern jede n-te aus der aktuel­len Reihe, so ent­stehen die ludic numbers (lustige Zah­len): [8]
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
- 3 - 5 - 7 - 9 -- 11 -- 13 -- 15 -- 17 -- 19 -- 21 -- 23 -- 25 -- 27 --
- - - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 -- -- -- 23 -- 25 -- -- --
- - - - - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- -- -- -- -- 23 -- 25 -- -- --
- - - - - - - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- -- -- -- -- 23 -- 25 -- -- --

Es verbleiben 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 25, ... als lustig. [9] Die ersten sind Prim­zahlen, nur wird üblicher­weise die 1 auch für lustig befunden. Als erste Primzahl fehlt die 19. Sie ist damit die kleinste ernste Primzahl (nonludic prime). [10] Leider bleibt es nicht dabei. Es gibt auch lucky numbers (glück­liche Zah­len). [11] Dazu wird gesiebt wie bei den ludic numbers, nur zählen die bereits ermit­telten Zahlen beim Strei­chen mit:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
1 - 3 - 5 - 7 - 9 -- 11 -- 13 -- 15 -- 17 -- 19 -- 21 -- 23 -- 25 -- 27
1 - 3 - - - 7 - 9 -- -- -- 13 -- 15 -- -- -- 19 -- 21 -- -- -- 25 -- 27
1 - 3 - - - 7 - 9 -- -- -- 13 -- 15 -- -- -- -- -- 21 -- -- -- 25 -- 27
1 - 3 - - - 7 - 9 -- -- -- 13 -- 15 -- -- -- -- -- 21 -- -- -- 25 -- --

Man sieht, daß die 2 sich selbst streicht, weshalb gerne gleich mit den unge­raden Zahlen und n=3 begonnen wird. Es verbleiben 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, ... als glück­lich. [12] Die 19 ist wieder nicht dabei, aber es fehlen auch die klei­neren Prim­zahlen 5, 11 und 17, die aber wenig­stens lustig sind. Natür­lich ist 19 damit die kleinste ernste und unglück­liche Primzahl, mehr noch, auch die kleinste unge­rade.

Nach soviel Sieberei noch eine andere Vorstel­lung vom Glück: Qua­driert und addiert man alle Ziffern einer Zahl und setzt diesen Prozeß fort, so erreicht eine happy number (fröh­liche Zahl) [13] die 1. Die übrigen landen irgend­wann im Zyklus 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ... der trau­rigen Zahlen.

2, 4, ......
6, 36, 45, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, ......
7, 49, 97, 130, 10, 1
19, 82, 70, 49, 97, 130, 10, 1
78999, 356, 70, 49, 97, 130, 10, 
15999, 269, 121, 6, 36, 45, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, ......

Die fröhlichen Zahlen 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, ... sind von einem anderen Schlage als die lustigen und glück­lichen. [14] Sie werden nach hinten nicht weniger. Die 19 ist dabei, die damit ernst und unglück­lich, aber wenig­stens nicht traurig ist. Das ist nur erwähnt, weil die Wikipedia meint, happi­ness zur 19 ver­melden zu müssen. Ebenso 19 als Keith-​Zahl. Um das festzu­stellen beginnt man eine Folge mit den k Ziffern der Zahl n und addiert fibo­nacci­artig stets k Glieder zum näch­sten. Kommt n sodann in der Folge vor, heißt sie Keith-​Zahl. Die sind verständ­licher­weise dünner gesäht als alle anderen zuvor erwähn­ten. Die 19 ist nach der 14 die zweite nicht­triviale Keith-​Zahl. [15]

Da 19=1+18 und 18=3·6 das Produkt der zweiten und der dritten Drei­eckszahl ist, muß 19 sowohl dritte zen­trierte Sechs­eckzahl als auch vierte zen­trierte Drei­ecks­zahl sein. Letz­teres läßt sich nicht gut dar­stellen, doch soll die linke Figur der nach­stehenden Abbil­dung die vier sich umschlie­ßenden Dreiecke, also 19=1+3+6+9 verdeut­lichen, die daneben 19=1+3·D(3). Die Sechs­eckzahlen lassen sich schöner dar­stellen, nämlich als 19=1+6+12 und 19=1+6·D(2).

                      
                 
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19 (png, 14 KB) : 19 als zentrierte Dreieckszahl und zentrierte Sechseckzahl

Der Tetraeder mit vier Punkten auf jeder Kante besteht aus ins­gesamt 19 Punkten. Man kann ihn erhal­ten, wenn man auf 10 Kugeln im Dreicks­muster 6, darauf wiede­rum 3 und an der Spitze eine Kugel stapelt. Meinet­wegen auch Apfel­sinen. Könnte man sie auch nach unten stapeln, so käme man mit einer quadra­tischen Pyramide aus 4+1 Punkten oben und unten an ein 3-mal-3-Quadrat ange­setzt auf einen Oktaeder mit 9+2·5=19, entlang jeder Kante 3 Apfel­sinen.

Und was bleibt noch neben COVID-19? Die 19 könnte als Summe von 12 und 7 heilig sein, doch habe ich davon im Gegen­satz zu 12·7=84 noch nichts gehört. Das Go-Brett hat 19 mal 19 Posi­tionen, das 19. Loch auf dem Golf­platz ist die Bar, die kleinste prime Schnaps­zahl aus lauter Einsen ist 1.111.111.111.111.111.111, wenn man 11 als nicht richtig besoffen außen vorläßt. Der Neun­zehn­punkte­marien­käfer soll tatsäch­lich 19 Punkte haben. Und wer 19 ist, hat zuviele Horror­bücher gelesen.

[1] Der Mond benötigt nur 2 Stunden länger. Wegen der 16 ist das gemessen an der Kürze der Periode von nur 19 Jahren sehr genau, auch wenn man bedenkt, daß wir mitten in einer fast 200-jäh­rigen „juliani­schen“ Periode leben, in der 19 mitt­lere Kalender­jahre stolze 3,5 Stunden zu lang sind.

[2] Eine Spielerei auf Basis religösen Quatsches zur Verwir­rung des Volkes und Festi­gung der Herr­schaft durch pseudo­wissen­schaft­liches Getue wie dem Computus.

[3] 19 Normaljahre zu 354 und 11 Schaltjahre zu 355 Tagen ergeben im Mittel genau 354,367. Der Kalender war und ist also sehr genau. Nur der Mond lief nicht immer nach Vorschrift.

[4] Das war nicht überall gern gesehen, doch sein Leben büßte er nicht deshalb ein, sondern weil er sich selbst als Gesandter ein­stufte und seinen Namen in einen Koran­vers einfügte. Er war Mikro­biloge und hätte seine Hybris sicher­lich gerne an COVID-19 gestei­gert.

[5] Die 81-4·19=5 Ausnahmen sind das 19. Element Kalium, was die 19 bestärkt und Pro­bleme mit dem uu-Kern K-40 umschifft, und die kleinen Ele­mente Beryl­lium, Helium, Kohlen­stoff und Lithium mit den Ordnungs­zah­len 4, 2, 6, 3. Und nun kommt es: 81/19=4,263.

[6] Die Quinte aus 11 Intervallen ist dann um stolze 7 Cent zu klein, doch die Terzen aus 5 und 6 Inter­vallen stimmen deut­lich besser als mit 12 Tönen.

[7] Adam Spencer: Das Buch der Zahlen. Deutscher Taschen­buch Verlag, München, 2. Auflage, 2002. Sobald ich wieder an dieses Buch komme, werde ich die Über­setzun­gen hier vermerken.

[8] Für das Gegenteil habe ich in mathematischem Zusammen­hang nur nonludic gefunden. Die dominie­rende Über­setzung für ludic ist spiele­risch, ich benutzte lustig mit dem Gegen­teil ernst. Rück­über­setzt wäre m.E. serious besser als nonludic.

[9] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A003309. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 25, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 71, 77, ...

[10] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A192505. 19, 31, 59, 73, 79, 101, 103, 109, 113, 137, 139, 151, 163, 167, 191, ...

[11] Für das Gegenteil habe ich in mathematischem Zusamen­hang nur unlucky gefunden. Ich über­setze mit glück­lich und dem ebenso unkrea­tiven Gegen­teil unglück­lich.

[12] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A000959. 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, ...

[13] Für das Gegenteil habe ich in mathematischem Zusammen­hang nur unhappy gefunden. Ich übersetze mit fröhlich und dem Gegen­teil traurig.

[14] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A007770. 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, ...

[15] Diese und andere unter 14.

18 | 20 | 14 | 4263 | 31557600 | Primzahlen | Sechseckzahlen | Quinte | Isotope

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Auf den ersten Blick dachte ich, der Fall k=4 sei schwierig, weil 2^4+q^4-2 so nah an 19 liegt. Doch spricht das ja gerade gegen 20. Und 18 ist ja offensichtlich falsch.

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In der Musik spielt die 19 nicht nur dadurch ein Rolle, weil die 19. Potenz von 2 sehr nahe an der 12. Potenz von 3 liegt, sondern auch wegen der Teilung der Oktave in 19 gleiche Intervalle, auf die man kommt, wenn man nach einer mäßigen Erweiterung der bekannten zwölf Töne sucht. Warum gerade 19? Nicht nur wegen der sehr genauen Näherung der kleinen Terz durch 5 der 19 Intervalle, sondern auch zur Verbesserung der großen Terz. Da drei große Terzen knapp unter und vier kleine Terzen knapp über einer Oktave liegen, ist eine Teilung in n=13,...,24 Intervalle sicherlich dann gut, wenn 4 ein Teiler von n+1 und 3 einer von n-1 ist. Und das führt auf n=19.

Tatsächlich treffen 5 Intervalle mit 315,8 Cent sehr genau die kleine Terz von 315,6 Cent. Auch die 379 Cent von 6 Intervallen liegt ausreichend nahe bei der großen Terz von 386 Cent. Erkauft wird das mit einer Verschlechterung der Quinte aus 11 Intervallen zu 695 Cent. Quinte und große Terz sind also in der 19-Teilung um etwa 7 Cent zu tief. Um das zu mildern, kann an der heiligen Kuh gerüttelt werden, an der Oktave, zumal eine kleine Oktavverlängerung wohl so und so dem menschlichen Gehör und den physikalischen Gegebenheiten realer Musikinstrumente entgegenkommt. Eine Teilung der reinen Oktave in 18,9 Intervalle liefert eine aus 19 Intervallen gebildete Oktave mit 1206 Cent. Das ist eine Verstimmung von 6 Cent, was aber die Quinte um 4 und die die große Terz um 2 Cent verbessert.

Neben diesen gegenüber der üblichen 12-Teilung genaueren Terzen unterstützt die 19-Teilung auch noch ein weiteres Steckenpferd der Mikrotoniker: Die natürliche Septime (7:4 aus dem 7. Naturton) mit 969 Cent liegt in der 12-Teilung völlig quer, wird aber von 15 Schritten der 19-Teilung mit 947 Cent passabel getroffen. Auch der 11. Naturton aus 9 Intervallen liegt mit 568 nicht weit entfernt vom 11. Naturton von 551 Cent.

Oktave | Quinte | Terz

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Das tropische Jahr hat 365,2422 und der synodische Monat 29,5306 Tage. Das sind 12,3683 Monate im Jahr. Zwölf Mondmonate haben also nur 354,4 Tage, womit unser Sonnenjahr im Mittel etwa 11 Tage länger ist als ein Mondjahr. Die Kettenbruchzerlegung 12,3683=[12,2,1,2,1,1,17,3,74,...] berechnet sich wie folgt:
365,2422 / 29,5306 = 12 Rest 0,368266392746   12 / 1
1 / 0,368266392746 =  2 Rest 0,715425625844   25 / 2
1 / 0,715425625844 =  1 Rest 0,397769333214   37 / 3
1 / 0,397769333214 =  2 Rest 0,514019851458   99 / 8
1 / 0,514019851458 =  1 Rest 0,945450155599  136 / 11
1 / 0,945450155599 =  1 Rest 0,057697218704  235 / 19
1 / 0,057697218704 = 17 Rest 0,331857972749
An der 17 erkennt man eine sehr gute Näherung durch [12,2,2,2,1,1]=235/19=12,3684. Tatsächlich sind 235 Monate nur etwa zwei Stunden länger als 19 Sonnenjahre, in denen 19 Mondjahre und 7 Monate vergangen sind. Daraus folgt, daß 228=12*19 Sonnenjahre sehr genau 235=228+7 Mondjahre lang sind, woraus man aber nicht schließen sollte, daß dann die Jahresanfänge wieder auf den gleichen Tag fallen müssen, denn das hängt von den konkreten Kalendern mit ihren Schaltregeln ab und kommt im langen Mittel natürlich nur alle 365 Jahre vor.

Dieser 19-jährige Zyklus des Mondes ist schon lange bekannt und führte dazu, jedem Jahr eine sog. goldene Zahl von 1 bis 19 zuzuordnen, die alle 19 Jahre wiederkehrt und bei der Berechnung des Osterdatums recht nützlich ist, denn Ostern liegt am ersten Sonntag nach dem ersten Vollmond nach dem Frühlingsanfang. Und die Hauptschwierigkeit bei der Berechnung ist eben der Mondlauf.

Nicht unbemerkt bleiben soll der Zufall, daß 19=12+7=(3*4)+(3+4) analog zur 84=(3*4)*(3+4) für heilig gehalten werden kann, weil sie sich aus den heiligen Zahlen 3 und 4 ableitet. Ebenso keine Sphärenmusik, sondern gleichfalls Zufall ist die güngstige Teilung der Oktave in 19=12+7=(3*4)+(3+4) Intervalle, in der die Quinte 11=7+4=(3+4)+4 Intervalle lang ist.

Und diese 11 kommt auch im Mondlauf zweimal vor. Zum einen in den 11 Tagen, die ein Mondjahr hinter dem Sonnenjahr zurückbleibt. Zum anderen ist obenstehender Berechnung zu entnehmen, daß 11 Jahre recht genau 136 Monate umfassen. Und da anders als nach 19 Jahren nach 11 Jahren in dreivierteln aller Fälle der 1. März wieder auf den gleichen Wochentag fällt, ist es recht wahrscheinlich, daß sich ein Osterdatum nach 11 Jahren wiederholt.

11 | 84

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Die wohl anschaulichste Methode zur Gewinnung aller Primzahlen ist das Sieb des Erastosthenes. Man schreibt alle Zahlen ab der 2 auf und verfährt unendlich oft wie folgt: Übernimm die kleinste Zahl in die Reihe der Primzahlen und entferne deren Vielfache.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2 3 - 5 - 7 - 9 -- 11 -- 13 -- 15 -- 17 -- 19 -- 21 -- 23 -- 25
2 3 - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 -- -- -- 23 -- 25
2 3 - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 -- -- -- 23 -- --
Da hier nur Zahlen bis 25 dargestellt sind, muß man nur bis zur Wurzel aus 25, nämlich 5 sieben. Eine leichte Variation der Siebregel besteht darin, nicht die Vielfachen der jeweils kleinsten verbliebenen Zahl p, also jede p-te Zahl des Gesamtvorrates zu löschen, sondern jede p-te der noch verbliebenen. Dadurch entstehen die "ludic numbers":
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2 3 - 5 - 7 - 9 -- 11 -- 13 -- 15 -- 17 -- 19 -- 21 -- 23 -- 25
2 3 - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 -- -- -- 23 -- 25
2 3 - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- -- -- -- -- 23 -- 25
Auch hier reicht es, bis zur Zahl 5 zu sieben. Bei längeren Reihen der Länge n, reicht es aber nicht aus bis zur Wurzel aus n zu sieben. Aber darum geht es hier nicht, sondern um die Tatsache, daß offensichtlich die 19 die kleinste unglückliche Primzahl ist, wenn ich dem Sprachgebrauch in der Übersetzung des Buches "Das Buch der Zahlen" von Adam Spencer folge. Ich muß mir wohl das englische Original besorgen, um zu sehen, ob Spencer diese "glücklichen" Zahlen wie Sloane "ludic numbers" nennt. Auf jeden Fall ist "glücklich" nicht die geeignete Übersetzung und auch für andere Zahleigenschaften bereits verwendet.

Spencer | Sloane

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