19
Die Zahl 3^12=531441 liegt bemerkenswert knapp über 2^19=524288. Das ist die Grundlage unserer Zwölfteilung der Oktave, in der 7=19-12 Halbtöne eine Quinte bilden, die mit 700 Cent nur knapp hinter den 702 Cent der reinen Quinte q=3/2 zurückbleibt. Bemerkenswert ist auch, wie gut vier Quinten q^4=81/16=5+1/16 den fünften Oberton, also die Terz (plus zwei Oktaven) treffen. Diese knappe Differenz zu 5 kann kaum der Grund sein, weshalb folgende Frage so schwer zu beantworten ist: Wieviele Summanden reichen aus, um jede Zahl in Biquadrate zu zerlegen?

Diese Frage ist nicht nur für die vierte Potenz (k=4) interessant. Und es gilt wohl immer noch die alte und weitgehend überprüfte Vermutung, daß die korrekte Anzahl g(k) der ganzzahlige Anteil von 2^k+q^k-2 ist. Da kommt sie also wieder vor, die Quinte q. Jede Zahl läßt sich bekanntlich als Summe von vier Quadratzahlen schreiben. Tatsächlich ist g(2)=4 der ganzzahlige Anteil von 2^2+(3/2)^2-2=4,25. Für Kubikzahlen ergibt sich g(3)=9 wegen 2^3+(3/2)^3-2=9,375. Für Biquadrate liegt g(4)=19 nur sehr knapp unter 2^4+(3/2)^4-2=19,0625. Trotzdem ist 19 richtig, und weniger können es wegen der Zahl 79 schon nicht sein.

Die vierten Potenzen sind 1, 16, 81, 256, 625, ..., und für kleine Zahlen bereitet die Zerlegung keine Schwierigkeiten. Für die Zahl 79 muß man 4 mal die 16 und 15 mal die 1 nehmen. Hier sind also die 19 Summanden erforderlich. Bis 159 reicht es, immer die größte Zahl abzuziehen und dann den Rest weiter zu zerlegen. Doch zieht man von 160 die 81 ab, so bleibt 79 übrig, wofür allein schon 19 Summanden benötigt werden. Deshalb muß man 160 aus 10 mal 16 bilden. Der Eindruck, daß die zunehmende Größe der Zahlen durch mehr Möglichkeiten und kleinere Verhältnisse zwischen zwei Biquadraten ausgeglichen wird, ist zwar richtig, doch schwer zu belegen.

81

... comment

 
Auf den ersten Blick dachte ich, der Fall k=4 sei schwierig, weil 2^4+q^4-2 so nah an 19 liegt. Doch spricht das ja gerade gegen 20. Und 18 ist ja offensichtlich falsch.

... link  


... comment
 
In der Musik spielt die 19 nicht nur dadurch ein Rolle, weil die 19. Potenz von 2 sehr nahe an der 12. Potenz von 3 liegt, sondern auch wegen der Teilung der Oktave in 19 gleiche Intervalle, auf die man kommt, wenn man nach einer mäßigen Erweiterung der bekannten zwölf Töne sucht. Warum gerade 19? Nicht nur wegen der sehr genauen Näherung der kleinen Terz durch 5 der 19 Intervalle, sondern auch zur Verbesserung der großen Terz. Da drei große Terzen knapp unter und vier kleine Terzen knapp über einer Oktave liegen, ist eine Teilung in n=13,...,24 Intervalle sicherlich dann gut, wenn 4 ein Teiler von n+1 und 3 einer von n-1 ist. Und das führt auf n=19.

Tatsächlich treffen 5 Intervalle mit 315,8 Cent sehr genau die kleine Terz von 315,6 Cent. Auch die 379 Cent von 6 Intervallen liegt ausreichend nahe bei der großen Terz von 386 Cent. Erkauft wird das mit einer Verschlechterung der Quinte aus 11 Intervallen zu 695 Cent. Quinte und große Terz sind also in der 19-Teilung um etwa 7 Cent zu tief. Um das zu mildern, kann an der heiligen Kuh gerüttelt werden, an der Oktave, zumal eine kleine Oktavverlängerung wohl so und so dem menschlichen Gehör und den physikalischen Gegebenheiten realer Musikinstrumente entgegenkommt. Eine Teilung der reinen Oktave in 18,9 Intervalle liefert eine aus 19 Intervallen gebildete Oktave mit 1206 Cent. Das ist eine Verstimmung von 6 Cent, was aber die Quinte um 4 und die die große Terz um 2 Cent verbessert.

Neben diesen gegenüber der üblichen 12-Teilung genaueren Terzen unterstützt die 19-Teilung auch noch ein weiteres Steckenpferd der Mikrotoniker: Die natürliche Septime (7:4 aus dem 7. Naturton) mit 969 Cent liegt in der 12-Teilung völlig quer, wird aber von 15 Schritten der 19-Teilung mit 947 Cent passabel getroffen. Auch der 11. Naturton aus 9 Intervallen liegt mit 568 nicht weit entfernt vom 11. Naturton von 551 Cent.

Oktave | Quinte | Terz

... link  


... comment
 
Das tropische Jahr hat 365,2422 und der synodische Monat 29,5306 Tage. Das sind 12,3683 Monate im Jahr. Zwölf Mondmonate haben also nur 354,4 Tage, womit unser Sonnenjahr im Mittel etwa 11 Tage länger ist als ein Mondjahr. Die Kettenbruchzerlegung 12,3683=[12,2,1,2,1,1,17,3,74,...] berechnet sich wie folgt:
365,2422 / 29,5306 = 12 Rest 0,368266392746   12 / 1
1 / 0,368266392746 =  2 Rest 0,715425625844   25 / 2
1 / 0,715425625844 =  1 Rest 0,397769333214   37 / 3
1 / 0,397769333214 =  2 Rest 0,514019851458   99 / 8
1 / 0,514019851458 =  1 Rest 0,945450155599  136 / 11
1 / 0,945450155599 =  1 Rest 0,057697218704  235 / 19
1 / 0,057697218704 = 17 Rest 0,331857972749
An der 17 erkennt man eine sehr gute Näherung durch [12,2,2,2,1,1]=235/19=12,3684. Tatsächlich sind 235 Monate nur etwa zwei Stunden länger als 19 Sonnenjahre, in denen 19 Mondjahre und 7 Monate vergangen sind. Daraus folgt, daß 228=12*19 Sonnenjahre sehr genau 235=228+7 Mondjahre lang sind, woraus man aber nicht schließen sollte, daß dann die Jahresanfänge wieder auf den gleichen Tag fallen müssen, denn das hängt von den konkreten Kalendern mit ihren Schaltregeln ab und kommt im langen Mittel natürlich nur alle 365 Jahre vor.

Dieser 19-jährige Zyklus des Mondes ist schon lange bekannt und führte dazu, jedem Jahr eine sog. goldene Zahl von 1 bis 19 zuzuordnen, die alle 19 Jahre wiederkehrt und bei der Berechnung des Osterdatums recht nützlich ist, denn Ostern liegt am ersten Sonntag nach dem ersten Vollmond nach dem Frühlingsanfang. Und die Hauptschwierigkeit bei der Berechnung ist eben der Mondlauf.

Nicht unbemerkt bleiben soll der Zufall, daß 19=12+7=(3*4)+(3+4) analog zur 84=(3*4)*(3+4) für heilig gehalten werden kann, weil sie sich aus den heiligen Zahlen 3 und 4 ableitet. Ebenso keine Sphärenmusik, sondern gleichfalls Zufall ist die güngstige Teilung der Oktave in 19=12+7=(3*4)+(3+4) Intervalle, in der die Quinte 11=7+4=(3+4)+4 Intervalle lang ist.

Und diese 11 kommt auch im Mondlauf zweimal vor. Zum einen in den 11 Tagen, die ein Mondjahr hinter dem Sonnenjahr zurückbleibt. Zum anderen ist obenstehender Berechnung zu entnehmen, daß 11 Jahre recht genau 136 Monate umfassen. Und da anders als nach 19 Jahren nach 11 Jahren in dreivierteln aller Fälle der 1. März wieder auf den gleichen Wochentag fällt, ist es recht wahrscheinlich, daß sich ein Osterdatum nach 11 Jahren wiederholt.

11 | 84

... link  


... comment
 
Die wohl anschaulichste Methode zur Gewinnung aller Primzahlen ist das Sieb des Erastosthenes. Man schreibt alle Zahlen ab der 2 auf und verfährt unendlich oft wie folgt: Übernimm die kleinste Zahl in die Reihe der Primzahlen und entferne deren Vielfache.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2 3 - 5 - 7 - 9 -- 11 -- 13 -- 15 -- 17 -- 19 -- 21 -- 23 -- 25
2 3 - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 -- -- -- 23 -- 25
2 3 - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 -- -- -- 23 -- --
Da hier nur Zahlen bis 25 dargestellt sind, muß man nur bis zur Wurzel aus 25, nämlich 5 sieben. Eine leichte Variation der Siebregel besteht darin, nicht die Vielfachen der jeweils kleinsten verbliebenen Zahl p, also jede p-te Zahl des Gesamtvorrates zu löschen, sondern jede p-te der noch verbliebenen. Dadurch entstehen die "ludic numbers":
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2 3 - 5 - 7 - 9 -- 11 -- 13 -- 15 -- 17 -- 19 -- 21 -- 23 -- 25
2 3 - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- 19 -- -- -- 23 -- 25
2 3 - 5 - 7 - - -- 11 -- 13 -- -- -- 17 -- -- -- -- -- 23 -- 25
Auch hier reicht es, bis zur Zahl 5 zu sieben. Bei längeren Reihen der Länge n, reicht es aber nicht aus bis zur Wurzel aus n zu sieben. Aber darum geht es hier nicht, sondern um die Tatsache, daß offensichtlich die 19 die kleinste unglückliche Primzahl ist, wenn ich dem Sprachgebrauch in der Übersetzung des Buches "Das Buch der Zahlen" von Adam Spencer folge. Ich muß mir wohl das englische Original besorgen, um zu sehen, ob Spencer diese "glücklichen" Zahlen wie Sloane "ludic numbers" nennt. Auf jeden Fall ist "glücklich" nicht die geeignete Übersetzung und auch für andere Zahleigenschaften bereits verwendet.

Spencer | Sloane

... link  


... comment
 
Kaum denkt man an die 19 in Chemie und Koran, da springt sie auch bei Spiegel-Online ins Auge: 19 Sekunden Sex von T’ney mit Fed-Ex oder umgekehrt.

Chemie-Koran | Spon

... link  


... comment