15
Die Zahl 15 wird sicherlich von jedermann sofort als durch 5 teilbar erkannt. Das liegt zum einen daran, daß sie recht klein ist, zum anderen aber auch an der Dezimaldarstellung, die praktisch einen Test auf Teilbarkeit durch 5 darstellt. Jede zusammengesetzte Zahl ist einfach zu faktorisieren, wenn man sie in einer geeigneten Basis darstellt. Wir denken in Dezimalzahlen und könnten so 323 auch auf den zweiten Blick für eine Primzahl halten. Zur Basis 17 aber wäre würde dieses Zahl 323 als 120 dargestellt, was sofort die Teilbarkeit durch 17 enthüllt. Wenn wir also davon sprechen, daß eine Zahl schwer zu faktorisieren ist, so meinen wir dies an sich, ohne eine Darstellung zu irgendeiner Basis zu haben. Daß uns Zahlen zumeist schon dezimal zerlegt vorliegen, ist eine gewisse Vorarbeit bereits geleistet, wodurch die Prüfung der Teilbarkeit durch gewisse Zahlen wie 2, 5, 3, 9, 11, 7, 13, aber auch größere wie 37 und 101 leichter fällt. Im allgemeinen ist die Dezimaldarstellung kaum eine Hilfe, wenn man eine Zahl faktorisieren oder auf Primalität testen will.

Wenn man 323 als pseudoprim bezeichnet, weil sie zwei recht große Primfaktoren hat, so müßte man auch 221, 143, 77, 35, 15 und sogar 6 als pseudoprim bezeichnen, obwohl sich die Zerlegung zumindest der letzten vier Zahlen sofort ergibt. Trotzdem kann man mit einem gewissen Recht sagen, daß 15 eine Pseudoprimzahl ist, weil sie gemessen an ihrer Kleinheit doch recht prim aussieht, jedenfalls mehr als 14 und 16. Eigentlich ist sie auch „primer“ als 21, sieht jedoch wegen der Endziffer 5 nicht so aus. Es muß deshalb eine ordentliche Definition dessen her, was eine Pseudoprimzahl ist: Die Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn x^(n-1)=1 mod n für alle x=2,...,n-2 ist. Gilt das nicht für alle x, jedoch für einige, so nennt man n eine Pseudoprimzahl. In diesem Sinne ist 15 die kleinste Pseudoprimzahl, denn 4^14=11^14=1 mod 15.

Daß 15 wegen 1+2+3+4+5=15 eine Dreieckszahl ist, haut auch nicht gerade vom Sockel, zumal 15 recht klein ist und die Dreieckszahlen so häufig wie Quadratzahlen sind. Etwas seltener als Dreieckszahlen n*(n+1)/2 sind die der Form n*(n*n+1)/2, wobei es sich um die Zeilen- und Spaltensummen in magischen Quadraten mit n mal n Feldern handelt, in die die Zahlen 1 bis n*n eingetragen sind. Für n=3 ist n*(n*n+1)=3*(3*3+1)/2=15. Das bis auf Spiegelung einzige magische Quadrat der Größe 3 mal 3 ist
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Dieses kleinste aller magischen Quadrate ist dem „kleinsten“, weil entferntesten aller früh bekannter Planeten, dem Saturn zugeordnet, und damit auch die Zahlen 3, 9, 15 und 45. Das ist die Zahl 3 der Zeilen und Spalten, die Zahl 9 der Felder, die Zeilen-, Spalten und Diagonalsummen 15 und die Gesamtsumme 45. Was das soll, wird mir ewig verborgen bleiben.

... comment

 
Bei der Zahl 15=1+2+3+4+5 handelt es sich um eine Dreieckszahl, was für sich allein gesehen nicht besonders erwähnenswert ist. Die Zahl 10=1+2+3+4 ist auch eine. Und das wohl einzig interessante daran ist, daß es beim Bowling eben 10 Kegel sind, die im Dreieck aufgestellt werden, und beim Snooker 15 rote Kugeln. Die für heute um 20 Uhr vorgesehene Übertagung eines Halbfinales der Irish Masters verzögerte sich leider, weil unbedingt noch gezeigt werden mußte, wie Skifahrer Löcher in den Schnee schießen. Aber immer noch besser als Skispringer, die mit Reklamebrettern an der Schulter in einem südländischen Dialekt unverständliches Zeug brabbeln. Nun ist es bald Mitternacht und Matthew Stevens hat doch noch im 17. (sic!) und letzen Frame gewonnen.

... link  


... comment
 
Auf der Suche nach dem Beginn der Übertragung des zweiten Snooker-Halbfinales fällt mir zunächst die Schreibweise des Weltmeisters "Ronnie#amp;#180;Sullivan" im Videotext von Eurosport auf. Weil dort immer noch Skifahrer Löcher in den Schnee schießen, zappel ich weiter und sehe die Schmalzbacke Robin Williams in "Good Will Hunting". Wie schön wäre es gewesen, in diesem Film auf die Lieblingsthemen der Amerikaner zu verzichten: Baseball, Blasen und dem Märchen vom Erfolg. Ich sah diesen Film seinerzeit im Kino und erinnerte mich eigentlich nur an zwei Kleinigkeiten: An eine kombinatorische Aufgabe an der Tafel und ein Buch von Polya auf dem Schreibtisch. Wenigstens diesen beiden Details hatten einen Zusammenhang.

Ist man mathematisch begabt, kann man sicher mit 19 Jahren komplexe Probleme lösen. Das hat Gauß mit dem 17-Eck auch getan. Heute fällt sein Ergebnis aus der Theorie von Galois ab, der keine zwei Jahre älter wurde. Beide haben auch nicht den ganzen Tag vor Formeln gesessen, doch ganz ohne Zeitaufwand geht es nur im Film. Egal, ich habe meine uralten Aufzeichnungen wieder hervorgeholt und schreibe an späterer Stelle, auf wieviele Arten im Naphtalin vier der acht Wasserstoffatome durch Chlor zu ersetzen sind.

... link  


... comment
 
15 ist sowohl 3. Sechseckzahl als auch 5. Dreieckszahl
S3=S2+9=1+5+9=15

    3   3   3

  2   2       3

1       2       3

  2   2       3

    3   3   3
S3=Q3+2D2=32+2*3=9+6=15

      x   x   x
   o             o
o     x   x   x     o
   o             o
      x   x   x
S3=D5=D3+3D2=6+3*3=6+9=15

        o

      o   o

    x   x   x

  o   x   x   o 

o   o   x   o   o

... link  


... comment