15
Bei 15 denke ich immer daran, daß ich sie auser­koren hatte, um an einem ein­fachen Produkt zweier Prim­zahlen das RSA-Schema zu erläu­tern. [1] Solche Produkte heißen Semi­prim­zahlen. [2] Wenig inter­essant sind die geraden und die Qua­drat­zahlen darunter. Streicht man sie, so bleiben die unge­raden quadrat­freien Semi­prim­zahlen. [3] Sie sind alle­samt fermat­sche Pseudo­prim­zahlen. [4] Beide Listen werden von der 15 ange­führt, die sogar Produkt eines Prim­zahl­zwillings ist.

Semiprimzahlen sind einfach definiert, für fermat­sche Pseudo­prim­zahlen ist es kom­pli­zierter: Für eine Prim­zahl p gilt nach dem kleinen fermat­schen Satz a^p=a mod p für alle a, insbe­sondere a^(p-1)=1 mod p für a=2,3,...,(p-2). Für zusammen­gesetzte Zahlen n trifft letz­teres nur selten zu. [5] Gibt es dennoch ein solches a, so heißt n fermat­sche Pseudo­prim­zahl. Für einen Primzahlzwilling (p,q) mit der Mittenzahl a=p+1=q-1 ist unmittelbar zu sehen, daß n=pq auch fermat­sche Pseudo­prim­zahl ist,da bereits a^2=pq+1=1 mod n. Für 15=3·5 ist a=4 die Mitten­zahl und tatsäch­lich ist 4^14=1 mod 15, weil bereits 4^2=16=1 mod 15 ist.

Mit der 15 ist es abgesehen von wenigen prominenten Zahlen mit den biblischen, esote­rischen, numero­logi­schen Gedöns weit­gehend vorbei. [6] Auch rechne­rische Aspekte halten sich bedeckt. Zumeist können nur irgend­welche Anzahlen, Posi­tionen oder Zahlen­spiele­reien genannt werden: So ist 15 dritte Sechseck- und damit fünfte Dreiecks­zahl, was man an den 15 roten Bällen beim Snooker erkennt. Es gibt 15 archi­medi­sche Körper, wenn gespie­gelte mitge­zählt werden, und 15 ist die magi­sche Zahl des dem Saturn zuge­ord­neten magi­schen 3x3-Qua­drates.

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15 (png, 12 KB) : Magisches Quadrat, H3=1+5+9=15=D5=D3+3D2=32+2D2

[1] Das ermöglicht öffentliche Ver­schlüs­selung und Authen­tifi­zierung, wenn die Zahlen so groß sind, daß eine Faktori­sierung prak­tisch unmög­lich ist.

[2] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A001358. 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, ...

[3] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A046388. 15, 21, 33, 35, 39, 51, 55, 57, 65, 69, 77, 85, 87, 91, 93, 95, 111, 115, ...

[4] N. J. A. Sloane: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A181780. 15, 21, 25, 28, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 52, 55, 57, 63, 65, 66, 69, 70, 75, ...

[5] Im allgemeinen ist durch Auspro­bieren weniger Zahlen a sehr schnell klar, ob eine zufällig gewählte sehr große Zahl n eine Prim­zahl ist, wie man sie zum Beispiel für das RSA-Schema benötigt. Todsicher ist es aller­dings nicht. Und leider gibt es auch ganz wenige zusammen­gesetzte Zah­len n, an denen fast alle a scheitern.

[6] Fromme Juden sollen die hebräisch geschrie­bene 15 als 6 und 9 (Waw und Tet) notieren, weil die kanonische Darstel­lung als 10 und 5 (Jod und He) eine der vielen Kurz­bezeich­nungen für Jahwe ist, dessen Namen man nicht ausspre­chen darf. Ob das stimmt? Und ist 69 eine gute Alternative?

14 | 16 | Saturnquadrat | Dreieckszahlen | Sechseckzahlen

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