Zahlwort

So wie die Oktave (2:1) aus sieben, die Quinte (3:2) aus vier und die Quarte (4:3) aus drei Schritten einer Ton­leiter oder im Noten­linien­system besteht, so sind es bei der Terz zwei. Während erstere nur selten von 12, 7 bzw. 5 Halb­tönen abwei­chen, tritt die Terz regelmäßig in zwei Ausprä­gungen auf, was die Unvor­teil­haftig­keit der herkömm­lichen Inter­vall-​Bezeich­nungen deut­lich macht. Und leider liegt die natürliche große Terz (5:4) mit 386 Cent deutlich unterhalb von 4 chromatischen Halbtönen und die kleine natürliche Terz (6:5) mit 316 deitlich über 3 derselben.

Auf die Frage, wie man die Oktave gleich­mäßig teilt und dabei die großen Terzen gut trifft, gibt der Ketten­bruch ld(5/4)=[0,2,3,9,2,2,…] die Antwort. Es ist günstig in 3,28,59,146,… Inter­valle zu teilen, wovon 1,9,19,47,… eine große Terz nähern. Die 9 im Ketten­bruch besagt, daß 1/3=[0,2,3], also ein drittel der Oktave die große Terz einiger­maßen trifft. Die gleiche Über­legung für die kleine Terz führt auf ld(6/5)=[0,3,1,4,22,…], was 4,19,422,… Intervalle mit 1,5,111,… für die kleine Terz bedeutet. Die 4 im Ketten­bruch besagt, daß 1/4=[0,3,1], also ein viertel der Oktave die kleine Terz einiger­maßen gut trifft. Fast vollkommen ist 5/19=[0,3,1,4] wegen der 22 im Ketten­bruch.

Welche Teilungen sind also geeignet, um die Quinten, Quarten und Terzen gut zu nähern? Zunächst natür­lich die Teilung in 12 Inter­valle mit 7, 5, 4 und 3 für Quinte, Quarte, große und kleine Terz. Will man die Quinte gegen­über der Zwölf­ton­leiter nicht ver­schlech­tern, so kommt die 53‑Ton­leiter mit Intervall-​Längen 31, 22, 17 und 14 in Betracht. Quinte und Quarte stimmen natür­lich sehr genau. Und glück­licher­weise sind 17 und 14 Inter­valle für die Terzen nur um weniger als 2 Cent zu klein bzw. zu groß.

Die gleichstufige 12-Tonleiter hat nur mäßige Terzen und die 53‑Ton­leiter zu viele Töne. Das sind gute Gründe, die Terzen auf Kosten der Quinten zu verbes­sern. Wegen der guten 5/19 für kleine Terzen, liegt eine 19‑Tonleiter nahe. Durch 11, 8, 6 und 5 Inter­valle werden Quinte, Quarte, große und kleine Terz darge­stellt. Die kleine Terz stimmt natür­lich sehr genau, die Quinte und die große Terz sind aber um 7 Cent zu klein. Das ist der Preis für einen Kompro­miß, der auch nur eine musi­kali­sche Nische aus­füllt.

Quinte | Oktave

So wie die Oktave aus sieben Schritten einer Ton­leiter oder im Noten­linien­system besteht, so sind es bei der Quinte vier. Die reine Quinte hat das Schwin­gungs­verhält­nis 3:2 und ist mit 702 Cent nur wenig größer als sieben Halbtöne. Es wäre sinnvoll gewesen, die in der Nähe von 700 lie­genden Inter­valle mit einem Namen zu belegen, der auf sieben hin­deutet.

Wenn man wie die alten Griechen nur Inter­valle als harmonisch sieht, die sich aus Okta­ven und reinen Quinten bilden lassen, so entsteht zumindest auf Tasten­instru­menten das Problem, nicht alle so entste­henden Töne vor­sehen zu können. Doch wenn man etwas schummelt und alle Quinten etwas kleiner macht, dann bilden 12 Stück davon 7 Okta­ven und man kommt mit 12 Tönen pro Oktave gut hin.

Welche (anderen) Teilungen der Oktave in n völlig gleiche Inter­valle wird den Griechen einiger­maßen gerecht? Die Antwort liefert die Darstel­lung von ld(3/2)=​[0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,…] als Ketten­bruch. [1] Er führt auf n=2,5,12,​41,​53,306,665,… Inter­valle pro Oktave, von denen 1,3,7,24,​31,​179,389,… eine Quinte bilden. Wir haben uns für 7/12=[0,1,1,2,2] ent­schieden. Die einzig sinnvolle Alternative für Menschen ist 31/53=​[0,1,1,2,2,3,1], die wegen der folgen­den 5 im Ketten­bruch sehr genau die Quinte trifft. Delphine mögen 389/665 bevorzugen.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Kettenbruch A028507 sowie Zähler A046102 und Nenner A005664 der besten Näherungen von ld(3/2).

7 | 12 | Oktave

Oktave hat natürlich etwas mit acht zu tun und bezeich­net (ursprüng­lich) das von zwei Tönen einer Ton­leiter gebil­dete Inter­vall, wenn es acht Töne umfaßt, so man beide Rand­töne voll mit­zählt. In den gän­gigen Tonlei­tern führt das immer auf ein Schwin­gungs­ver­hält­nis von 2:1, was sicher­heits­halber als reine Oktave bezeich­net wird, denn es sind Abweichun­gen davon mög­lich. Zum einen könnten die Oktaven absicht­lich ver­stimmt werden, etwa zur Anpas­sung an die Quinte oder das mensch­liche Gehör. Zum anderen könnten sieben Ton­schritte durchaus weit neben 2:1 liegen. Das geht aber nicht soweit, daß sieben Halb­ton­schritte der Zwölf­ton­leiter als Oktave bezeich­net werden, denn heut­zutage orien­tiert man sich an der gän­gigen Nota­tion. Eine Oktave ist immer das, was vier Noten­linien und vier Zwischen­räume umfaßt.

Langer Rede kurzer Sinn: Jeder weiß, was eine Oktave sein soll, doch der Name ist nicht sehr günstig und seine Verwen­dung für weit von der reinen Oktave abwei­chende Inter­valle auch. Besser wäre eine Bezeich­nung auf der Basis der einge­schlos­senen Halbton­schritte, für die halb­wegs bei 2:1 liegen­den Inter­valle also irgend­was mit zwölf. Und unsere Urväter können sich nicht damit ent­schul­digen, die Zwölf­ton­musik nicht gekannt zu haben, denn sie wußten besser als wir heute, wie groß die ein­zelnen Inter­valle sind und daß man sich das Leben mit addi­tions­taug­lichen Namen erleich­tert. Da Strafe sein muß, ist es lustig zu sehen, wenn zur Verset­zung um zwei Oktaven eine 16 über oder unter dem Noten­schlüs­sel steht, obwohl 15 richtig wäre. Mit den Wochen ist es umge­kehrt, da sagen wir in 8 bzw. 14 Tagen. Zur Übung: Ein 10‑bän­diges Lexi­kon mit 1000 Seiten pro Band steht im Regal. Ein Bücher­wurm frißt sich von der ersten Seite des ersten Bandes auf die letzte Seite des letzten durch. Wieviele Seiten hat er durch­löchert?

7 | 12

Die Zahlen 4, 8 und 12 kommen dem nahe­lie­genden Bedür­fnis des Men­schen ent­gegen, einen perio­dischen Prozeß in vier Teile zu glie­dern. Drei wären recht unprak­tisch, weil ein drei­geteil­ter Kreis nicht in die recht­eckige Welt paßt. Zwei sind zu wenig, denn sie wechseln sich nur ab, daß ihre Abfolge nicht mehr die Dreh­richtung einer Kreis­bewe­gung zu bezeich­nen vermag. Diese Vier­telung zeichnet natür­lich die Zahl 4 aus und hebt deren Viel­fache hervor. Dazu gehören die 4, 8 oder gar 16 Him­mels­rich­tungen. Auch sind 12 Monate im Jahr ein Glücks­fall, der vier Jahres­zeiten oder Quar­tale zu drei Mona­ten gestat­tet. Und die Woche mit ihren 7 Tagen wird nicht zufällig nur knapp unter der Zeit für eine Mond­phase, dem Viertel des Mond­umlau­fes zurück­bleiben. Das Bedürf­nis der Vier­tei­lung erfreut sich sogar dort großer Beliebt­heit, wo es nicht um perio­dische Vor­gänge geht und sie eigent­lich sinnlos ist: Alle 25 Jahre feiern wir ein Jubi­läum, mit 25 muß man heute eine Quarter­life­crisis haben und der 250. Todes­tag ist nicht irgend­einer. Die Zeit Jesu in der Wüste wird wohl nur deshalb mit 40 Tagen ange­setzt sein, weil ein Viertel davon 10 Tage sind. Daß alle vier Jahre ein Schalt­jahr ist, liegt weit­gehend an der Jahres­länge mit fast einem viertel Tag über 365. Alle 400 Jahre aber das alle 100 Jahre ausge­fallene Schalt­jahr wieder einzu­setzen, ent­springt nicht allein dem Bedürf­nis, den Früh­lings­anfang nicht weg­laufen zu lassen, sondern auch dem Denken in Vierer­zyklen, denn 500 Jahre wären einfacher und besser gewesen.

4

Die Zwölf ist sicherlich bedeu­tend, nicht nur als Pro­dukt der beiden hei­ligen Zahlen drei und vier, zu deren Summe 7=3+4 die bekannte musika­li­sche Bezie­hung besteht, daß zwölf Quin­ten recht genau sie­ben Okta­ven umfas­sen. Das liegt daran, daß 3¹²=531441 nur knapp über 2¹²⁺⁷=524288 liegt, wes­halb die gleich­stufige Quinte gegen­über der reinen nur um einen hun­dert­stel Ganz­ton zu klein ist.

Duodezimal­zahlen zur Basis zwölf wären zu unse­ren Dezimal­zah­len eine ernst­hafte Alter­na­tive gewe­sen, weil zwölf viele Teiler hat. Es gab eine Zeit, da man sich von der 16 verab­schie­dete und der 12 zuwandte, den Fuß nicht mehr in 16 Fin­ger, son­dern in 12 Zoll teilte. Jahr­hun­derte hielt sich auch das £sd-​System [1] mit einer Libra (Pfund) zu 20 So­lidi (Schil­ling), jeder geteilt in 12 De­nari (Pence), wie ich es noch aus Eng­land kenne. Von wenigen rück­stän­digen Staa­ten abge­sehen hat sich aber das Dezi­mal­system nicht nur bei den Zah­len, son­dern im gesam­ten Leben durch­gesetzt. Geblie­ben sind die zwölf Sterne auf der Europa­flagge, die zwölf Stunden der Uhr und das Dut­zend. [2]

Wie kam es parallel zum Dezimal­system zu den vielen Zwölf­tei­lun­gen, nicht nur des Tages, auch der Himmels­rich­tungen und Isra­elis? Ich glaube nicht, daß es an 36 Ster­nen lag, die den Ägyptern zur Zeit- oder Winkel­mes­sung gedient haben sollen. Plau­sibler finde ich die Herlei­tung aus den natür­lich vorhan­denen zwölf Mona­ten im Jahr, die zu zwölf Tier­kreis­zei­chen Anlaß gaben. Wenn man sie des nachts zur Zeit­mes­sung verwen­dete, lagen zwölf Stun­den pro Tag nahe, die baby­loni­schen Doppel­stun­den. [3] Halbie­rung ergab 24 Stun­den. Es hätten aber auch 48 werden können. Die Teilung von Tag und Nacht in jeweils zwölf zunächst nach Jahres­zeit unglei­che Stun­den führte letzt­lich zur sog. klei­nen Uhr mit zwei Umdre­hungen des Stunden­zeigers pro Tag. [4]

Zwölf ist die dreidimen­sio­nale Kuß­zahl, denn es lassen sich an eine Kugel bis zu zwölf glei­cher Größe anlegen, eine drei­zehnte geht nicht, soviel es auch pro­biert wurde. Anders als in zwei Dimen­sio­nen, wo sechs Kreise an einem ohne zu wackeln anlie­gen und sieben offen­sicht­lich zuviel sind, lassen die zwölf Kugeln genü­gend Luft für eine drei­zehnte. Daß es bei 12 bleibt, bewiesen erst 1953 Kurt Schütte und Bartel Leen­dert van der Waerden, dessen berühmte Lehr­bücher der Alge­bra einfach „van der Waerden I und II“ heißen. [5]

Der Dodekaeder wird aus zwölf Fünf­ecken gebildet, entspre­chend hat der Iko­saeder zwölf Ecken. Der Würfel hat zwölf Kan­ten, damit auch der Okta­eder. Die Wurzel aus zwei wird durch 17/12=​1,417 besser genä­hert als durch 7/5 oder 10/7, kann aber gegen die 11‑glatte 99/70=​1,41429 nicht anstin­ken. Blei­ben die zif­fern­ver­tausch­ten Qua­drate 144 und 441 der ziffern­ver­tausch­ten 12 bzw. 21, was aber ein­fach den sehr klei­nen Zif­fern 1 und 2 geschul­det ist. Und nicht zu ver­ges­sen die durch Shel­don Coo­per bekannte Tat­sache, daß 37 und 73 die 12. bzw. 21. Prim­zahl sind.

Zwölf ist der kleinste Teiler­protz, denn die Summe 1+2+3+4+6=16 ihrer Teiler ist größer als 12 selbst. [6] Sie ist auch die klein­ste Zahl mit mehr als vier Tei­lern. Es sind sogar sechs. Und weil sowohl Teiler­anzahl 6 als auch Teiler­summe 28 voll­kommen sind, hat sich irgend­wer dafür die Bezeich­nung erha­ben ausge­dacht, um so an sehr sel­tene Zah­len zu kommen, von denen zwölf die klein­ste ist. Eine wei­tere mit 76 Stel­len ist bekannt, sonst nix.

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Zwölf als dritte Fünfeckzahl (png)

Zwölf ist die dritte Fünf­eck­zahl. Die erste Figur des vorste­henden Bil­des zeigt ihre Entste­hung nach dem Bil­dungs­gesetz 1+4+7=12. Die zweite formt dieses Gebilde zu einer kom­pak­ten Figur in Form eines Hau­ses, dem man in der drit­ten die für alle Fünf­eck­zahlen mög­liche Zusammen­set­zung aus Qua­drat und Drei­eck ent­nehmen kann. Wem es gefällt, kann die ebenso allge­meine Zerle­gung in ein gro­ßes und zwei klei­nere Drei­ecke bevor­zugen.

Unter den vielen pytha­gorei­schen Tri­peln, also den Lösungen von x²+y²=z² gibt es nur eines mit aufein­ander­fol­genden natür­lichen Zahlen, das all­seits bekannte 3²+4²=5². Doch wie steht es mit fünf auf­ein­ander­fol­genden Zah­len, mit drei links und zwei rechts vom Gleich­heits­zei­chen? Auch diese ein­zige Lösung kann man schnell finden: 10²+11²+12²=​13²+14². Die Summe ist übri­gens so groß wie das Jahr Tage hat, nämlich 365. Ich erwähne diese Bezie­hung hier, weil 12 die mitt­lere der fünf Zahlen ist. Verall­gemei­nert man auf k+1 Sum­man­den links und k rechts, so ergibt sich für die mitt­lere Zahl das Vier­fache der k‑ten Drei­ecks­zahl. Im Falle k=2 also 4·D(2)=4·3=12.

Ich verzichte hier darauf, die bis auf Drehung und Spiege­lung 12 der insge­samt 92 Mög­lich­keiten darzu­stellen, acht Damen derart auf ein Schach­brett zu stellen, daß sie sich nicht gegen­seitig schlagen. Ich lasse es als eine nette Aufgabe, die eine von den zwöl­fen zu finden, die unter Rota­tion um 180 Grad in sich selbst über­geht. Ihret­wegen sind es insge­samt 11·8+1·4=92 und nicht 96 Lö­sun­gen. Ist es zu mühsam, einfach in der Wiki­pedia unter Damen­problem nach­sehen.

Bleibt die Bibel. Gerhard Kringe [7] schreibt: „Die Zahl ‚12‘ spielt in Verbin­dung mit Israel eine große Rolle. Da diese Zahl für den Kosmos steht, ist es ein Hin­weis, daß Israel seine Auf­ga­ben im Kosmos, bzw. auf dieser Erde hat.“ Ohne gerade als Deut­scher die Rolle Isra­els schmä­lern zu wol­len, ist es doch eher umge­kehrt: Zwölf war und ist den Juden wich­tig und steht des­halb man­chem für den Kos­mos. Und weiter: „Diese Zahl zieht sich durch die ganze Bibel. Es ist die Zahl der Monate (Monde) und der Tier­kreis­zei­chen […] Israel 12 Stämme hat, daß Jesus 12 Jün­ger […] im neuen Jeru­salem sind die 12 Tore aus 12 Perlen gemacht. Die Bäume des Lebens tragen 12 mal Frucht im Jahr.“ Unbe­strit­ten spielt die Zwölf im Leben der Men­schen noch heute eine große Rolle, doch wird sie ein­fach hinge­nom­men, ohne einen Gedan­ken an ko(s)mi­sche Bezie­hun­gen zu ver­schwen­den: „In dieser Zahl 12 ist 2 mal die Zahl des Men­schen enthal­ten (6) […] finden wir in den 24 Äl­te­sten 2 mal die Zahl 12. Bei dieser Zahl 24 geht es um Voll­macht und Voll­en­dung.“

[1] Natürlich kann man Libra-​Solidus-​Denarius als Lsd schreiben, doch gibt es im Unicode auch mehrere Pfund­zeichen, nur nicht das deut­sche. In £sd ist es das kursive aus dem ASCII-Code.

[2] Vergessen sind Stiege (20 oder 24), Schock (60), groß Hun­dert (120), Gros (144) und groß Gros (1728).

[3] Trotz des Sexagesimal­systems wurden die Doppel­stun­den in nur 30 ‚Minuten‘ geglie­dert, was wohl dem Monat zu 30 Tagen nach­empfun­den war. Dadurch ent­sprach ein Tag im Jahr etwa einer ‚Minute‘ des Tages. Bei aber­maliger Tei­lung in 360 ‚Sekun­den‘ wären diese 2/3 heu­tige Sekun­den lang. Ein Stab­pen­del von 0,6615 Me­tern benö­tigt auf dem 30. Brei­ten­grad diese Zeit für eine Halb­schwin­gung. Das sind genau zwei reale Gudea­fuß. Es ist also plau­si­bel, daß Gudea sein reales Längen­maß vom Sekunden­pen­del ablei­tete, ohne die moderne Sekunde zu ken­nen.

[4] Wenn man nur bis zwölf schlägt, ist es nahe­liegend und mecha­nisch von Vorteil, zwei­mal umlau­fen zu lassen. Ein Nach­teil besteht darin, daß Süden nicht ungefähr auf der Mittags­zeit (in Deutsch­land etwa 12:30 im Winter und 13:30 im Sommer) liegt, wenn man den Stunden­zeiger auf die Sonne richtet, son­dern auf der Winkel­halbie­renden zwi­schen Stunden­zeiger und Mittags­zeit. Das alles ist natür­lich kein Grund, die Uhrzeit zweimal von 1:00 bis 12:59 durch­zuzäh­len. Vor allem nicht 12:00pm auf 11:59am und 1:00am auf 12:59am folgen zu lassen. Und wel­cher Ameri­kaner weiß schon, daß noon mehr­heitlich 12:00pm und nicht 12:00am ist? Man komme ihm nicht mit Plau­sibi­lität, weil eine Sekunde nach Mittag ja 12:00:01pm sei.

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Mindestkußzahlen A002336. Nur für Dimen­sio­nen 1, 2, 3, 4, 8 und 24 als exakt bekannt.

[6] Das klingt schöner als: Eine Zahl n heißt Teiler­protz, wenn die Summe ihrer Teiler größer als 2n ist. Alter­nativ könnte man sagen, die Summe der echten Teiler muß größer als n selbst sein, muß sich aber fragen lassen, warum 1 mit­zählt.

[7] Gerhard Kringe: Die Zahl 12 und 13. Gedanken zur Heilsgeschichte Gottes.

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Die Zahl Elf liegt ungün­stig zwi­schen zehn und zwölf, eins zuviel oder eins zuwe­nig. Streicht man Judas, blei­ben elf Jün­ger. Der Elfer­rat mag die spa­ßige Ant­wort auf sich wich­tig machen­de Gre­mien aus zehn oder zwölf Per­sonen gewe­sen sein. Sich für Frei­geister hal­tende Jecken verein­nah­men auch Ega­lite, Liberte, Frater­nite (ELF), obwohl es eigent­lich LEF hei­ßen müßte. In jedem Falle hat sich die Elf im Kar­neval festge­fres­sen, wes­halb die Kam­pagne am 11.11. um 11 Uhr 11 beginnt. Sie sollte mit dem Fast­nachts­dienstag 47 Tage vor dem Osterfest enden. Im Jahre 1971 fiel das auf den 11. April, und 11, 22 und 33 Jahre später wieder, also auch letz­tes Jahr. Kein Wunder, denn der Abstand von elf Jah­ren im Oster­datum tritt häufig auf. Nor­maler­weise gibt es alle vier Jahre ein Schalt­jahr. Jedes Datum fällt dann in 28 Jah­ren vier­mal auf den gleichen Wochen­tag, im Abstand von 6, 11, 6 und 5 Jahren. Nach den drei Abstän­den 5+6, 11 und 6+5 liegt der Voll­mond keine zwei Tage frü­her, daß bis zu vier­mal hinter­einander der Oster­abstand von 11 Jah­ren ent­ste­hen kann. Der fast exakte Zyklus von 235 Voll­mon­den inner­halb von 19 Jahren spielt keine Rolle, weil deren 6939 und aus­nahms­weise 6938 Tage nicht durch sie­ben teil­bar sind.

Eine Fußball­mann­schaft aus zehn Feld­spie­lern und einem Torwart wird ein­fach Elf genannt. Unter dem File­namen Busen­elf habe ich zwei fast nackte Frauen­mann­schaften von vorne und hinten abge­legt, die Rudi Völler vor seinem Spiel gegen Tsche­chien 2004 moti­vie­ren soll­ten. [1] In der allwis­senden Müll­halde konnte ich sie 15 Jah­re später nicht mehr finden. Das waren wohl gerade noch Zeiten, da man unge­straft solche Bilder zeigen und dazu von Mann­schaften spre­chen durfte. Ein Jahr später las ich: Zum Auf­takt des Länder­­spiel-​Jahres 2005 musste sich die Ver­legen­­heits­elf von Jür­gen Klins­mann mit einem 2:2 (2:1) gegen den zwei­fachen Welt­mei­ster Argen­­ti­nien begnü­gen. Da Fuß­ball eine emo­tio­nal aufrei­bende Sache ist, wird es viele wei­tere Elfen geben, auch Sie­ger­el­fen. Ich habe mich hier mit den ein­zi­gen begnügt, an die ich mich erin­nern kann. Mein Inter­esse an Fuß­ball ist näm­lich sehr beschei­den. Ich weiß aber, daß der Elf­meter­punkt drei Zenti­meter näher am Tor liegt, weil es nur 12 Yard sind.

Ins engli­sche Maß­system rutschte die Elf wohl durch 99/70 als Nähe­rung der Wurzel aus 2 zur Mes­sung der Fläche über die Diago­nale. Deshalb gibt es die engli­sche Rute (Rod) von etwa 5 Metern aus 11 hal­ben Yard (Cubit). Eine Meile umfaßt 320 Rod, also 160·11=1760 Yard, etwa 1,6 Kilometer. Amerika­nische Stadt­blöcke halten sich gerne an dieses Rod-​Maß. Ein kleines quadra­ti­sches Grund­stück von 10 Rod Länge und Breite hat 2529,285 Qua­drat­meter. Das sind recht genau die 2529,346 des römi­schen Iuge­rum (Joch), wenn ich den metrolo­gi­schen römi­schen Fuß zu­grunde­lege. Es ist also durch­aus plau­sibel, daß man sich mit dem Rod am römi­schen Maß­system orien­tierte. [2] Auch wenn damals die abso­luten Maße nicht sehr genau waren, ging man dennoch davon aus, daß 36 pes genau 35 foot umfaßten. [3] Zusammen mit den 99/70 für die Wurzel aus 2 gelangte man so zu den 16,5 Fuß eines Rod und damit zu einem Faktor 11 nicht nur im anglo­amerika­ni­schen Maß­system.

Die Elf ist eine sog. Repunit, eine Schnaps­zahl aus lau­ter Ein­sen. [4] Für manche mag sie die klein­ste sein, weil man einstel­lige nicht mit­zählt, für andere ist sie gar keine, weil minde­stens drei Ziffern erfor­der­lich seien. Man kann aber noch bru­taler denken und jede Zahl (10ⁿ−1)/9 Rep­unit nennen. Dann wäre die Null eine null­stel­lige Rep­unit. Diese unter­schied­lichen Auf­fas­sun­gen sind kein Pro­blem unter den­ken­den Menschen und Außer­irdi­schen. Im Inter­net aber versam­meln sich gerne Neun­mal­kluge und ant­wor­ten auf die Frage, ob es prime Schnaps­zah­len gäbe: Ja, die Elf. Aber es gibt auch Ver­nünf­tige, die auf 19 und 23 Ein­sen in Folge auf­merk­sam machen, den beiden kürze­sten der wenigen bekann­ten primen Rep­unit nach der Elf. [5]

Da man eine Pizza mit vier geraden Schnit­ten in 11 Stücke tei­len kann, ist 11 die vierte Pizza­zahl. [6] Ganz allge­mein ist mit n Schnitten ein Stück mehr zu erzielen als die zuge­hörige Dreieckszahl angibt. Wer es elegant probieren will: Penta­gramm-​Stern auf die Pizza malen und vier der fünf Kan­ten zu Schnit­ten verlän­gern. Alle Schnitte kreu­zen sich. Mehr Stücke gehen nicht, es sei denn, man kauft eine übli­cher­weise mit vier Schnitten geach­telte Pizza und teilt sie in den sozi­alen Medien. Manch­mal kann man im Mitten­matsch noch die drei feh­len­den Stücke erah­nen.

Makabere Berühmtheit färbt vom Terror­anschlag am 11. Sep­tem­ber 2001 ab. Verschwö­rungs­theo­retiker finden immer etwas. So ist 9/11 mit der Quer­summe 9+1+1=11 der 254. Tag im Jahre 2001 mit der gleichen Quer­summe 2+5+4=11. In den beiden Flug­zeugen sollen 92 bzw. 65 Passa­giere mit 9+2=6+5=11 geses­sen haben. Die Wiki­pedia nennt 155 statt 157. Dieser kleine Unter­schied ist numero­logisch so tödlich wie einer von einer Mil­lion. Aber dank 1+5+5=11 wäre noch etwas zu ret­ten. Die Ameri­kaner schlu­gen einen Monat später am 07.10.2001 in Afgha­ni­stan zurück und töte­ten nach zehn Jahren am 02.05.2011 Osama Bin Laden. Wieder sind die Quer­summen 11. Leicht findet man auch pas­sende Begriffe mit elf Buch­sta­ben: Afgha­ni­stan, New York City, The Pen­ta­gon. Wie gut, daß man einen Arti­kel voran­stel­len kann! Am besten ist aber die Dar­stel­lung der bei­den Türme als 11, wobei pikan­ter­weise nicht uner­wähnt bleibt, daß die 1 für einen Phal­lus steht. Manche Men­schen haben eben viel Phan­tasie.

Was bleibt mathe­ma­tisch? Aus 11=10+1 ergibt sich die Regel, daß eine Zahl durch 11 teil­bar ist, wenn ihre alter­nie­rende Quer­summe es ist. Eine Mer­senne-​Zahl, also eine Zweier­po­tenz minus eins, kann nur prim sein, wenn auch der Expo­nent prim ist. Für 2, 3, 5 und 7 ist das der Fall, denn 3, 7, 31 und 127 sind prim. Für 11 wegen 2^11−1=​2047=​23·89 erst­malig nicht. [7] Das ist erwäh­nens­wert, weil man sich auf der Suche nach sehr großen Prim­zah­len gerne an Mer­senne-​Zah­len hält. Schließ­lich kommt die Elf noch in ver­schie­denen Anzah­len vor, die ich aber nicht auf­zähle, weil ich mich zu lange sach­kun­dig machen müßte, um zu über­prü­fen, daß es nicht zehn oder zwölf sind und es neben der Elf nicht eine ganze Reihe von Zahlen mit ähn­li­chen Eigen­schaf­ten gibt.

[1] Zwischenzeitlich fand ich die Busenelf in den Tiefen meines Datei­systems, ver­kneife mir aber hier eine Wieder­gabe.

[2] Ganz so einfach ist es nicht. Wie der Mensch nicht vom Affen abstammt, so der engli­sche nicht vom römi­schen Fuß. Viel­mehr haben auch sie beide einen gemein­samen Vor­fahren. Aus der 30‑fin­gri­gen Nippur­elle ent­stand durch den Faktor 96/100 (Gudea paßte die 96 Finger des Klaf­ters auf 100 an) das ideale Gudea­maß. Durch zwei­fache Teilung der Elle in 28 statt 30 Fin­ger, ergab sich zunächst das ptolo­mäi­sche Ellen­maß und daraus die alt­engli­schen Maße. Die Römer über­nahmen die alt­ägyp­ti­schen Maße, die nur einmal durch den Faktor 30/28 aus den ursprüng­lichen hervor­gingen. Da sowohl pes als auch foot 16‑fin­grig sind (engl. digit, nicht finger) stehen beide im Ver­hält­nis 35:36. Macht man sich pes=29,62 cm zu eigen, so foot=30,466 cm in sehr guter Über­ein­stim­mung mit der moder­nen Anpas­sung an das metri­sche System mit 30,48 cm.

[3] Hier ist eine gute Gelegen­heit darauf hinzu­weisen, daß Maß­anga­ben im allge­mei­nen nicht dekli­niert wer­den.

[4] Weil die Begriffs­bil­dung in der Wissen­schaft nicht mehr in deut­scher, sondern in engli­scher Sprache erfolgt, gibt es gele­gent­lich keine schönen Über­set­zun­gen. Durch die man­chmal rigo­rose engli­sche Wort­bil­dung wird das noch beför­dert. Und so nehme ich hier Abstand von mir gekün­stelt vor­kom­men­den Bezeich­nun­gen wie Ein­ser­kolon­nen.

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Stellen­zahl primer Repunits A004023.

[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Pizza­zahlen A000124.

[7] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Expo­nenten primer Mersenne-​Zahlen A000043.

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Die Zahl Zehn ist sicher­lich bedeu­tend, doch im wesent­lichen nur wegen eines ein­zigen Umstan­des, näm­lich der übli­chen Dar­stel­lung der Zahlen mit zehn Zif­fern, dem Dezi­mal­system. Bevor man eine Zahl wegen einer Eigen­schaft rühmt, die sich allein aus ihrer Dezimal­dar­stel­lung ergibt, sollte man sich immer fragen, ob ver­gleich­bare Bedeu­tung nicht einer ganzen Reihe ande­rer Zahlen zu ande­ren Basen eben­falls zukommt. Es ist sicher­lich ein guter Sport, Beson­der­hei­ten der Basis 10 zu finden, um sie unter ande­ren heraus­zuhe­ben. Nur sollten sie nicht kon­stru­iert, sondern schlicht und einfach sein. Fünf Finger an jeder Hand sind allen­falls eine gute Erklä­rung für unsere Ent­schei­dung, mehr nicht.

Der für Vollkommen­heit stehen­den Zah­len ist kein Ende. Nach acht und neun nun auch zehn. Nicht zuletzt wegen der zehn Gebote, wovon nach Luther die ersten drei auf der einen und die letz­ten sieben auf der ande­ren Tafel stehen sollen. Das bestärkt die Heilig­keit der 10=3+7 als Summe zweier ande­rer hei­liger Zahlen, kann aber auch rein­inter­pre­tiert sein, zumal Reihen­folge und Zusam­men­fas­sung sich nach Glau­bens­rich­tung unter­schei­den. Schon in der Bibel gibt es mehrere Versi­onen, die nicht durch­nume­riert sind. Deshalb ist es wohl umge­kehrt: Es gibt nicht zwölf Gebote gemäß den Stäm­men Israels, sondern nur zehn, weil wir dezi­mal denken und uns ein Deka­log gut in den Kram paßt.

Als Summe der ersten vier Zahlen ist 1+2+3+4=10 die vierte Drei­ecks­zahl, eine Tetrak­tys genannte Vier­heit, die natur­gemäß gerne wie die Kegel beim Bow­ling als Dreieck darge­stellt wird. Das zeigt die zweite Figur im nach­ste­henden Bild. Die erste ver­sucht eine Veran­schau­lichung von 10=1+3+6 als drit­ter zen­trier­ter Drei­ecks­zahl. Um den blauen Mitten­punkt herum liegt ein grünes Dreieck mit zwei Punkten auf der Kante, darum ein rotes mit dreien. Man kann darin auch einen Tetra­eder mit blauer Spitze und roter Basis sehen. Deshalb ist zehn zugleich auch dritte Tetra­eder­zahl. [1]

       ●             ♛ • • • •   • ♛ • • •   0 - 00110  5 01100                                                       
    ● ●       ●      • • • ♛ •   • • • • ♛   1 - 00011  6 10001                                                 
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Zehn als Tetraeder- und Dreieckszahl, 8+2 Möglichkeiten für fünf Damen
auf dem 5×5‑Schach­brett und der 2‑aus‑5-​Code (png)

Die beiden Schach­bret­ter des nun­mehr vorste­hen­den Bildes zeigen die zehn Mög­lich­kei­ten, fünf sich nicht schla­gende Damen auf ein Schach­brett der Grö­ße 5×5 zu stel­len. [2] Das linke reprä­sen­tiert 8 durch Dre­hung und Spiege­lung entste­hende Mög­lich­kei­ten, das rechte ergibt unter reinen Rota­tionen keine neue Stel­lung, steht also nur für zwei Lösun­gen. Und die letz­ten beiden Spal­ten zeigen den 2‑aus‑5-Code, den Urvater vieler Strich­codes. Die ange­gebene Zuord­nung der zehn Zif­fern auf die Fünfer­ketten ist zwar grund­sätz­lich belie­big, folgt hier jedoch der gängi­gen Vor­stel­lung, daß den fünf Stel­len die Gewichte 6, 3, 2, 1 und 0 zukom­men. Nur auf die 0 trifft das nicht zu.

Was gibt es sonst noch? Nicht nur zehn Gebote, auch zehn Plagen, zehn kleine Neger­lein und die zehn Zweige des Lebens­baumes Sephi­rot, der die Zahlen von 1 bis 10 mit den 22 Buch­staben des hebrä­ischen Alpha­betes verwur­stelt. Eigent­lich nichts von eige­nem Wert, nur Aus­schmückung unseres Dezi­mal­systems, durch das es den Zehn­ten, Dezi­meter für zehn­tel Meter [3] und für Öster­rei­cher auch Deka­gramm gibt. Ein Dime zu 10 Cent umfaßt den zehn­ten Teil eines Dol­lars, Renn­fahrer geben nicht 100 Pro­zent, sondern ten tenths, der eng­li­sche Pre­mier­mini­ster wohnt in Num­ber Ten, mit zehn Jah­ren wird man Teen­ager, und das Zehn­fache wird gerne eine Größen­ord­nung oder Magni­tude genannt. [4] Ein Bel bezeich­net eine solche Ver­zehn­fachung. Fünf Dezibel, also die Wurzel aus 10 liegen mit 3,16 bemer­kens­wert nahe an der Kreis­zahl π. [5]

[1] Doch Vorsicht! Die vierte zen­trierte Dre­iecks­zahl 1+3+6+9=19 bildet keinen Tetra­eder 1+3+6+10=20, weil in der vier­ten Schicht ein Punkt unter dem blauen zu lie­gen kommt. Es kann ja auch nicht über n=1,2,3 hinaus für alle n Gleich­heit herr­schen, da die ebenen Drei­ecks­zah­len nur qua­dra­tisch wachsen, das Volu­men des Tetra­eders aber mit der drit­ten Potenz zunimmt. Von Bedeu­tung sind die drei Schich­ten (blau, grün, rot) nicht nur beim Sta­peln von Apfel­sinen, sondern auch in Kri­stal­len, in denen die Far­ben zwar von Schicht zu Schicht wech­seln müssen, doch nicht unbe­dingt in stets der glei­chen Abfolge.

[2] Ich weiß, es gibt 53130 (25 über 5) Mög­lich­kei­ten, weil nur Figuren fremder Farbe geschla­gen wer­den kön­nen. Und ein Schach­brett hat nicht 5x5, sondern 8x8 Fel­der. Doch dafür muß auf die 12, wenn nicht 92 gewar­tet werden.

[3] Früher war man humaner und dezi­mierte nicht auf den zehn­ten Teil, son­dern nur einen von Zehnen.

[4] Irgend­wie hatte ich im Klein­hirn, daß der Loga­rith­mus aus Magni­tude vor und Man­tisse nach dem Komma besteht. Zumin­dest letz­teres ist rich­tig. Bei Erd­beben und Stern­hellig­keiten steht eine Magni­tude auch für einen solchen Zusam­men­hang, nur mit einem ande­ren Faktor als 10. Bei Beben wohl die etwa dreißig­fache Ener­gie, bei Ster­nen geht es sogar nach unten, etwa um den Fak­tor 2,51 in der Hellig­keit.

[5] Da π² im tägli­chen Leben kaum vor­kommt, wäre das von wenig Nutzen, wenn es nicht auf guten Rechen­schie­bern auch π‑versetzte Skalen gäbe, nicht (nur) um die Multi­pli­kation mit und Divi­sion durch π zu verein­fachen, sondern weil damit die Eins ziem­lich genau in der Skalen­mitte liegt. Das erweist sich als prak­tisch, weil durch diese Skalen mögli­cher­weise ein starker Auszug oder ein Umsetzen der Zunge vermieden werden kann.

9 | 11 | Dreieckszahlen | Logarithmentafel | Rechenschieber