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Sechs
wuerg, 27.01.2005 00:29
Die Sechs verdoppelt die 3, verdreifacht die 2, läßt sich durch 1, 2 und 3 teilen, ist als 1·2·3=6 eine Fakultät und dank 1+2+3=6 eine vollkommene Dreieckszahl. Unsere dreidimensionale Welt weist in sechs Richtungen, der Würfel hat sechs Flächen, der Oktaeder also sechs Ecken, und die Ebene läßt sich mit Sechsecken im Bienenwabenmuster parkettieren.
Das alles sollte die Sechs zu einer angenehmen, gar heiligen Zahl machen. Woher rührt die negative Sicht? An der lautlichen Änlichkeit von sechs, six, sexus und Sex wird es hoffentlich nicht liegen. Wohl auch nicht am Fehlen einer Eins bis zur heiligen Sieben. Meine bescheidene Antwort führt auf den Würfel mit seinen sechs Augen. Eine Sechs zu würfeln ist normal, zwei Sechsen sind Glück und drei Teufelswerk. Wer Buchstaben Zahlen zuordnet, versechsfacht sie gerne. So kommt man leichter auf die 666. Das macht die Sechs so schlecht und beliebt zugleich.
Betrachtet man jeden Rezeptor, der irgendeiner Regelung dient, als Sinn, so verfügt der Mensch über dutzende, wenn nicht hunderte. Wer dennoch von den fünf Sinnen (hören, sehen, riechen, schmecken, tasten) spricht, ist kein mittelalterlicher Blödmann. Für ihn ist der sechste Sinn nicht der für Temperatur oder Gleichgewicht, sondern sprachliche Umschreibung einer außer- oder gar übersinnlichen Wahrnehmung. Leider ging dieses Privileg der Sechs wieder verloren, nachdem jahrelang die Werbefilmchen „Der 7. Sinn“ Deutsche zu vernünftigen Verkehrsteilnehmern machen wollten.
Weniger wurden dagegen die Regenbogenfarben. Newton bemühte sich noch um sieben, um sie den sieben Tonschritten einer Oktave anzupassen. Rot von D zu E über orange, gelb, grün, blau und indigo bis violett von C zu D. Die schlecht erkennbaren Farben orange und indigo trafen auf die Halbtöne. Heute sind es nur noch die sechs Regenbogenfarben der sog. Peace-Flagge, indigo fehlt. Leicht hätte man auch orange, wenn nicht sogar violett streichen können. [1] So ist es wie in vielen Angelegenheiten, insbesondere den menschlichen: Es fehlt eine zwingende oder bedeutende Zuordnung zu Zahlen. Und wo zum Beispiel durch reine Aufzählung formal eine besteht, muß sie nicht wichtiger sein als ein Preisschild auf einer Bonbontüte.
Was gibt es sonst noch zur Zahl Sechs zu sagen? Sie ist eine alte deutsche Schulnote (−1 Punkte). Damals waren Lotto und 6 aus 49 das gleiche. Heute haben wir sogar eine Super 6. Die meisten Männer haben ihr Sixpack im Getränkeladen gekauft. Sterne am Himmel haben sechs Zacken. Die Arbeitswoche hat immer noch sechs Tage. Ruhetag ist der Sonntag. Auch das droht verloren zu gehen. Jetzt noch fünf, bald nur noch vier Arbeitstage und ein verlängertes Wochenende ohne Ruhetag. Auch nicht am Samstag, an dem Gott nach sechs Tagen Schöpfung ruhte. Dazu fällt mir ein: Wie setzt sich M, D, M, D, F fort? Natürlich mit S, S für Samstag und Sonntag. Und wie steht es um 110, 20, 12, 11, 10? Es wird mit der Zahl 6 zu tun haben, sonst stünde es nicht hier.
[1] Ein Regenbogen beschreibt bestenfalls einen unscharfen eindimensionalen Weg durch den dreidimensionalen Farbraum. Wie dieser erscheint, hängt von vielen Faktoren, auch uns selbst ab. Von ewig kopierten computergenerierten Darstellungen des Lichtsprektrums darf man sich nicht irritieren lassen.
5 | 7 | 666 | Dreieckszahlen | Sterne
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Das alles sollte die Sechs zu einer angenehmen, gar heiligen Zahl machen. Woher rührt die negative Sicht? An der lautlichen Änlichkeit von sechs, six, sexus und Sex wird es hoffentlich nicht liegen. Wohl auch nicht am Fehlen einer Eins bis zur heiligen Sieben. Meine bescheidene Antwort führt auf den Würfel mit seinen sechs Augen. Eine Sechs zu würfeln ist normal, zwei Sechsen sind Glück und drei Teufelswerk. Wer Buchstaben Zahlen zuordnet, versechsfacht sie gerne. So kommt man leichter auf die 666. Das macht die Sechs so schlecht und beliebt zugleich.
Betrachtet man jeden Rezeptor, der irgendeiner Regelung dient, als Sinn, so verfügt der Mensch über dutzende, wenn nicht hunderte. Wer dennoch von den fünf Sinnen (hören, sehen, riechen, schmecken, tasten) spricht, ist kein mittelalterlicher Blödmann. Für ihn ist der sechste Sinn nicht der für Temperatur oder Gleichgewicht, sondern sprachliche Umschreibung einer außer- oder gar übersinnlichen Wahrnehmung. Leider ging dieses Privileg der Sechs wieder verloren, nachdem jahrelang die Werbefilmchen „Der 7. Sinn“ Deutsche zu vernünftigen Verkehrsteilnehmern machen wollten.
Weniger wurden dagegen die Regenbogenfarben. Newton bemühte sich noch um sieben, um sie den sieben Tonschritten einer Oktave anzupassen. Rot von D zu E über orange, gelb, grün, blau und indigo bis violett von C zu D. Die schlecht erkennbaren Farben orange und indigo trafen auf die Halbtöne. Heute sind es nur noch die sechs Regenbogenfarben der sog. Peace-Flagge, indigo fehlt. Leicht hätte man auch orange, wenn nicht sogar violett streichen können. [1] So ist es wie in vielen Angelegenheiten, insbesondere den menschlichen: Es fehlt eine zwingende oder bedeutende Zuordnung zu Zahlen. Und wo zum Beispiel durch reine Aufzählung formal eine besteht, muß sie nicht wichtiger sein als ein Preisschild auf einer Bonbontüte.
Was gibt es sonst noch zur Zahl Sechs zu sagen? Sie ist eine alte deutsche Schulnote (−1 Punkte). Damals waren Lotto und 6 aus 49 das gleiche. Heute haben wir sogar eine Super 6. Die meisten Männer haben ihr Sixpack im Getränkeladen gekauft. Sterne am Himmel haben sechs Zacken. Die Arbeitswoche hat immer noch sechs Tage. Ruhetag ist der Sonntag. Auch das droht verloren zu gehen. Jetzt noch fünf, bald nur noch vier Arbeitstage und ein verlängertes Wochenende ohne Ruhetag. Auch nicht am Samstag, an dem Gott nach sechs Tagen Schöpfung ruhte. Dazu fällt mir ein: Wie setzt sich M, D, M, D, F fort? Natürlich mit S, S für Samstag und Sonntag. Und wie steht es um 110, 20, 12, 11, 10? Es wird mit der Zahl 6 zu tun haben, sonst stünde es nicht hier.
[1] Ein Regenbogen beschreibt bestenfalls einen unscharfen eindimensionalen Weg durch den dreidimensionalen Farbraum. Wie dieser erscheint, hängt von vielen Faktoren, auch uns selbst ab. Von ewig kopierten computergenerierten Darstellungen des Lichtsprektrums darf man sich nicht irritieren lassen.
5 | 7 | 666 | Dreieckszahlen | Sterne
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Steigerung
wuerg, 25.01.2005 10:17
Gelegentlich wird versucht, die Bedeutung einer Zahl zu steigern. Neben dem Weiterzählen (5=4+1) liegt es nahe, das Doppelte (4=2+2) zu nehmen. Doch erst im Dreifachen (9=3+3+3) wird der Steigerungsprozeß richtig sichtbar. Esoteriker nehmen gerne das Sechsfache (A=6, B=12, ...), Christen das Siebenfache (7*77), wegen unserer Zahldarstellung liegt das Zehnfache (70) nahe, und das Tausendfache (144000) vereinigt die Verzehnfachung mit der Dreizahl. Beliebt sind auch Wiederholungen in den Ziffern einer Zahl (696969), insbesondere die Schnapszahlen (77), die eine einzelne Ziffer mehrfach aneinanderreihen, darunter vor allem die aus lauter Einsen (1111) und die dreistelligen (666). Nicht vergessen werden soll das Quadrat (144=12*12) als Steigerung.
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Fünf
wuerg, 25.01.2005 00:03
Will man der Fünf über die fünf Finger einer Hand hinaus eine Bedeutung zumessen, so bietet sich die Überhöhung der Vier an, also ein Quadrat mit Mittenpunkt, eine quadratische Pyramide, ein fünftes Element. Die griechischen Gelehrten verschwiegen dem gemeinen Volke den Äther, die Quintessenz und den zugeordneten Dodekaeder. Wie sollte ein normaler Mensch schon darauf kommen, daß auch Fünfecke ineinander passen? Noch heute wird im Film nach dem fünften Element gesucht, das gerne in die Mitte eines Kreuzes aus Erde, Wasser, Luft und Feuer gemalt wird. Eine fünfte Naturkraft würde gut in diese Vorstellungswelt passen. [1] Neben dieser Erhöhung 5=4+1 denken sich manche 5=3+2 als die Vereinigung von Mann (3) und Frau (2) zur Familie. Doch warum ist der Mann nicht 1? Weil das Gott ist! Und warum sind die geraden Zahlen weiblich? Weil Gott (1 und 3) männlich ist! Weil als erster Mensch Adam und als zweite/r/s Eva erschaffen wurde? [2]
Nichts von dem wird einen griechischen Mathematiker hinter dem Ofen vorgelockt haben. Für plausibler halte ich die Vorstellung, sie hätten die Fünf wegen des Pentagramms verehrt, dem man ganz anschaulich entnimmt, daß darin auftretende Strecken nicht kommensurabel, also nicht Vielfaches einer gemeinsamen Strecke sind. Heute würde man sagen, ihre Längen stehen in einem irrationalen Verhältnis. Das vorstehende Bild veranschaulicht den Nachweis: Dem großen Fünfeck mit Seitenlänge b ist ein Pentagramm einbeschrieben, in dessen Inneren ein auf dem Kopf stehendes kleineres Fünfeck mit Seitenlänge d entstanden ist. In das kann erneut ein Pentagramm einbeschrieben werden. So erhält man eine Folge von beliebig klein werdenden Fünfecken. Wären nun a und b Vielfaches einer gemeinsamen Strecke x, so auch c=a−b und d=a−2c=b−c=2b−a und in der Folge die Seitenlängen aller Fünfecke. Das kann aber nicht sein, da sie irgendwann kürzer werden als x. [3] Das Verhältnis b:a=c:b=d:c heißt goldener Schnitt. [4] Er ist einfach mit Zirkel und Lineal konstruierbar, damit auch das Pentagramm und das regelmäßige Fünfeck.
Weil der Mensch fünf Finger an jeder Hand und fünf Zehen an jedem Fuß haben sollte, gilt die Fünf als die Zahl des Menschen, der einmal fünf gerade sein lassen kann. [5] Auch wenn er gelegentlich nur das fünfte Rad am Wagen ist. Der Mensch und die ebenfalls durch eine Fünf repräsentierte Familie sind nicht vollkommen, und so bleibt offen, ob fünf gut oder schlecht ist. Beim Pentagramm entscheidet die Spitze, nach oben gut, nach unten schlecht, wenn nicht Hexenwerk. [6] Ählich ambivalent können das amerikanische Pentagon und der arabische fünfzackige Stern gesehen werden. Doch vernünftige Menschen halten Fünfzähligkeiten nicht mehr für geheimnisvolle Abweichungen von der Vier bzw. Sechs. Fünffachsymmetrien werden nicht mehr verdammt, und der fünfte Oberton [7] gilt schon lange als harmonisch.
Es ist immer wieder interessant zu sehen, wie recht simple Zusammenhänge als überraschend und bedeutungsschwanger gesehen werden können, obgleich sie eigentlich beliebig und trivial sind. So gilt die menschliche Zahl Fünf als eine mit starkem Fortpflanzungsdrang, zumal sie sich gerne selbst reproduziere, nämlich bei jeder Multiplikation mit einer ungeraden Zahl. Gemeint ist natürlich nicht die Zahl 5, sondern die Endziffer 5. Und daß dem so ist, liegt nicht im geringsten an der 5, sondern an der von uns bevorzugten Dezimaldarstellung. Weil 10=2·5 ist, pflanzt sich die 5 stark fort und die 2 mäßig. Die 0 wie die Kaninchen und der Rest nur schlecht. Rechneten wir zur Basis 14, wäre 7 neben der 0 eine sich gut fortpflanzende Zahl geworden.
[1] Zur Zeit (2021) träumen manche von einer fünften Naturkraft, weil eine Verletzung der sog. Leptonen-Universalität festgestellt wurde. Vielleicht gibt es nicht nur einen Teilchen-, sondern auch einen Kräftezoo. Die Suche nach der Quintessenz wird noch sehr, sehr lange andauern.
[2] Eine umgekehrte Schöpfungsreihenfolge änderte gar nichts. Hätte Gott dagegen den zweiten ebenfalls nach seinem Bilde geschaffen, wäre sicherlich einiges anders, aber nicht unbedingt gleichberechtigt. Er/sie hätte sich für Gleichzeitigkeit entscheiden sollen.
[3] Das irrationale Verhältnis von Quadratseite und -diagonale soll erst später entdeckt worden sein. Heute kann das leicht rechnerisch gezeigt werden. Die Griechen standen aber mehr auf Anschauung und Geometrie.
[4] Der goldene Schnitt zerschneidet eine Strecke im Verhältnis 1:φ, 1:Φ, φ:1 oder Φ:1. Die kleinere Zahl φ=(√5−1)/2=0,618… heißt goldener Schnitt. Der Kehrwert Φ=1/φ=φ+1=(√5+1)/2=1,618… ist die goldene Zahl.
[5] Das gilt besondes für Knastbrüder, die sich gerne fünf Punkte wie auf einem normalen Würfel vorzugsweise auf die für jeden sichtbare Hand tätowieren lassen. Wahrscheinlich sind sie selbst der Mittenpunkt, die umrandenden vier Punkte die Zelle.
[6] Immer wieder sind in der Weihnachtszeit fünfzackige Sterne mit der Spitze nach unten zu sehen, weil das Stromkabel von oben hereinführt.
[7] Ja, ja, ich meine den fünften Teilton, die fünfte Harmonische. Für Anhänger veralteten Schwachsinns: Vierter Oberton.
4 | 6 | Sterne | Fünfeckzahlen | goldener Schnitt | Fortpflanzung | Terz
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Im Fünfeck regiert a:b=b:c=c:d=Φ=1,618… (png)Nichts von dem wird einen griechischen Mathematiker hinter dem Ofen vorgelockt haben. Für plausibler halte ich die Vorstellung, sie hätten die Fünf wegen des Pentagramms verehrt, dem man ganz anschaulich entnimmt, daß darin auftretende Strecken nicht kommensurabel, also nicht Vielfaches einer gemeinsamen Strecke sind. Heute würde man sagen, ihre Längen stehen in einem irrationalen Verhältnis. Das vorstehende Bild veranschaulicht den Nachweis: Dem großen Fünfeck mit Seitenlänge b ist ein Pentagramm einbeschrieben, in dessen Inneren ein auf dem Kopf stehendes kleineres Fünfeck mit Seitenlänge d entstanden ist. In das kann erneut ein Pentagramm einbeschrieben werden. So erhält man eine Folge von beliebig klein werdenden Fünfecken. Wären nun a und b Vielfaches einer gemeinsamen Strecke x, so auch c=a−b und d=a−2c=b−c=2b−a und in der Folge die Seitenlängen aller Fünfecke. Das kann aber nicht sein, da sie irgendwann kürzer werden als x. [3] Das Verhältnis b:a=c:b=d:c heißt goldener Schnitt. [4] Er ist einfach mit Zirkel und Lineal konstruierbar, damit auch das Pentagramm und das regelmäßige Fünfeck.
Weil der Mensch fünf Finger an jeder Hand und fünf Zehen an jedem Fuß haben sollte, gilt die Fünf als die Zahl des Menschen, der einmal fünf gerade sein lassen kann. [5] Auch wenn er gelegentlich nur das fünfte Rad am Wagen ist. Der Mensch und die ebenfalls durch eine Fünf repräsentierte Familie sind nicht vollkommen, und so bleibt offen, ob fünf gut oder schlecht ist. Beim Pentagramm entscheidet die Spitze, nach oben gut, nach unten schlecht, wenn nicht Hexenwerk. [6] Ählich ambivalent können das amerikanische Pentagon und der arabische fünfzackige Stern gesehen werden. Doch vernünftige Menschen halten Fünfzähligkeiten nicht mehr für geheimnisvolle Abweichungen von der Vier bzw. Sechs. Fünffachsymmetrien werden nicht mehr verdammt, und der fünfte Oberton [7] gilt schon lange als harmonisch.
Es ist immer wieder interessant zu sehen, wie recht simple Zusammenhänge als überraschend und bedeutungsschwanger gesehen werden können, obgleich sie eigentlich beliebig und trivial sind. So gilt die menschliche Zahl Fünf als eine mit starkem Fortpflanzungsdrang, zumal sie sich gerne selbst reproduziere, nämlich bei jeder Multiplikation mit einer ungeraden Zahl. Gemeint ist natürlich nicht die Zahl 5, sondern die Endziffer 5. Und daß dem so ist, liegt nicht im geringsten an der 5, sondern an der von uns bevorzugten Dezimaldarstellung. Weil 10=2·5 ist, pflanzt sich die 5 stark fort und die 2 mäßig. Die 0 wie die Kaninchen und der Rest nur schlecht. Rechneten wir zur Basis 14, wäre 7 neben der 0 eine sich gut fortpflanzende Zahl geworden.
[1] Zur Zeit (2021) träumen manche von einer fünften Naturkraft, weil eine Verletzung der sog. Leptonen-Universalität festgestellt wurde. Vielleicht gibt es nicht nur einen Teilchen-, sondern auch einen Kräftezoo. Die Suche nach der Quintessenz wird noch sehr, sehr lange andauern.
[2] Eine umgekehrte Schöpfungsreihenfolge änderte gar nichts. Hätte Gott dagegen den zweiten ebenfalls nach seinem Bilde geschaffen, wäre sicherlich einiges anders, aber nicht unbedingt gleichberechtigt. Er/sie hätte sich für Gleichzeitigkeit entscheiden sollen.
[3] Das irrationale Verhältnis von Quadratseite und -diagonale soll erst später entdeckt worden sein. Heute kann das leicht rechnerisch gezeigt werden. Die Griechen standen aber mehr auf Anschauung und Geometrie.
[4] Der goldene Schnitt zerschneidet eine Strecke im Verhältnis 1:φ, 1:Φ, φ:1 oder Φ:1. Die kleinere Zahl φ=(√5−1)/2=0,618… heißt goldener Schnitt. Der Kehrwert Φ=1/φ=φ+1=(√5+1)/2=1,618… ist die goldene Zahl.
[5] Das gilt besondes für Knastbrüder, die sich gerne fünf Punkte wie auf einem normalen Würfel vorzugsweise auf die für jeden sichtbare Hand tätowieren lassen. Wahrscheinlich sind sie selbst der Mittenpunkt, die umrandenden vier Punkte die Zelle.
[6] Immer wieder sind in der Weihnachtszeit fünfzackige Sterne mit der Spitze nach unten zu sehen, weil das Stromkabel von oben hereinführt.
[7] Ja, ja, ich meine den fünften Teilton, die fünfte Harmonische. Für Anhänger veralteten Schwachsinns: Vierter Oberton.
4 | 6 | Sterne | Fünfeckzahlen | goldener Schnitt | Fortpflanzung | Terz
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Zahlgeschlecht
wuerg, 23.01.2005 01:07
Wer in Gegensätzen, Polen oder sowas denkt, der kommt nicht umhin, die Zahlen in ein männliches und weibliches Geschlecht aufzuteilen. (Un)voreingenommen würden die meisten Menschen wohl die geraden für männlich halten. Die Esoteriker der Welt aber sehen es anders. Die geraden sind weiblich, die ungeraden männlich, womit sich die Männer alle Primzahlen bis auf eine und die heiligen Zahlen 1 und 3 unter den Nagel gerissen haben. Ob es aber eine vollkommene männliche Zahl gibt, ist unbekannt.
Die ungeraden Zahlen sollen nicht nur deshalb männlich sein, weil die göttlichen Zahlen 1 und 3 dazugehören. Es läge auch daran, daß auf dem Würfel die ungeraden Zahlen alle in der Mitte einen Punkt haben, der für den Penis stehe, während die weiblichen geraden dort ein Loch aufweisen. Außerdem müßten die geraden Zahlen auch deshalb weiblich sein, weil sie sich besser fortpflanzen, weil alle Vielfachen von geraden Zahlen wieder gerade sind.
1 | 2 | 3 | heilige Zahlen | Planetengeschlecht | Trigender | Symmetrieargument
Die ungeraden Zahlen sollen nicht nur deshalb männlich sein, weil die göttlichen Zahlen 1 und 3 dazugehören. Es läge auch daran, daß auf dem Würfel die ungeraden Zahlen alle in der Mitte einen Punkt haben, der für den Penis stehe, während die weiblichen geraden dort ein Loch aufweisen. Außerdem müßten die geraden Zahlen auch deshalb weiblich sein, weil sie sich besser fortpflanzen, weil alle Vielfachen von geraden Zahlen wieder gerade sind.
1 | 2 | 3 | heilige Zahlen | Planetengeschlecht | Trigender | Symmetrieargument
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Vier
wuerg, 23.01.2005 00:58
Nicht nur die Zahlen Eins und Drei gelten als heilig, auch die Vier. Warum eigentlich? Als Nachfolger und damit Erhöhung der Drei? Als ein heiliges Dreieck samt Mittenpunkt, evtl. in Form eines Tetraeders? Um 7=3+4 und 12=3·4 als heilig zu rechtfertigen? Schon eher wegen der vier Himmelsrichtungen Norden, Süden, Osten und Westen. [1]
Die vier Jahreszeiten, die vier Phasen des Mondes, die vier Dimensionen des Myers-Briggs-Typindikators [2] oder die vier Elemente würden die Bedeutung der Zahl untermauern, wenn es nicht auch drei oder fünf sein könnten. Tatsächlich fehlte früher der Neumond. Dafür gab es ein geheimes fünftes Element. Gelegen kommen da Adenin, Cytosin, Guanin und Thymin. [3]
Ausschlachtung der vier Elemente (png)
Sehr konstruiert wirken Versuche, die Zahl Vier als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Drei zu sehen. Wenn man den drei Mondphasen zunehmend, voll und abnehmend den Neumond hinzugefügt hat, wenn einem nach den drei Zuständen fest, flüssig und gasförmig das Plasma gerade recht kommt, wenn man die postulierte Dreiheit von Seele, Geist und Körper durch den Willen ergänzt, so ist das alles Ausdruck von Zufall und Beliebigkeit. [4]
Nach dem allgemeinen Schema ist die Vier als gerade Zahl weiblich. Das hindert manche Esoteriker nicht, sie als neutral einzustufen, um sodann ihre außerordentliche Weiblichkeit wegen der vier Phasen des Mondes zu betonen, der wegen des weiblichen Fruchtbarkeitszyklusses ebenfalls weiblich sein müsse. Doch für mein Empfinden einfacher ist die schlichte Tatsache, daß die ungeraden heiligen Zahlen 1 des einen Gottes und 3 der Dreifaltigkeit bereits an die Männer vergeben sind.
Jede Zahl läßt sich als Summe von vier Viereckszahlen (Quadratzahlen) schreiben. Das ist keine Besonderheit der Vier, weil jede Zahl Summe von n n‑Eckzahlen ist. [5] Doch n=4 ist der interessanteste Fall. Er ist besser untersucht und zeitigt die schöneren Ergebnisse. Seine Bedeutung ist nicht nur spielerischer Natur, wenn mir auch keine Anwendung bekannt ist, mit der man Geld sparen oder Freunde finden kann.
Vergnügen bereitete über ein Jahrhundert das Vierfarben-Problem [6], die Frage, ob jede Landkarte mit vier Farben zu färben sei. [7] Viele wollten das bewiesen oder widerlegt haben. Teilweise so gut, daß ihr Denkfehler erst nach Jahren gefunden wurde. Und weit mehr sollen Landkarten gemalt haben, deren Vierfärbung nur mit Mühe oder gar nicht gelang. Schließlich war es Heinrich Heesch, der um die Mitte des vergangenen Jahrhunderts (mit anderen) das Problem auf endlich viele Fälle reduzierte. Damit war das Vierfarben-Problem gelöst, wenn auch noch nicht entschieden und bewiesen. Dazu bedurfte es einer weiteren Reduktion der verbliebenen Fälle und wachsender Rechenkraft. [8]
[1] Im Osten geht die Sonne auf, nach Süden nimmt sie ihren Lauf, im Westen will sie untergehn, im Norden ist sie nie zu sehn.
[2] Ich bin ENTJ.
[3] Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach ‒ ein Endloses Geflochtenes Band. Klett-Cotta, 5. Auflage, 1985, S. 540ff. Wenn dort eine Beziehung der DNS zum Rest der Welt hergestellt wird, hat das eine ganz andere Qualität als die übliche Spintisiererei.
[4] Ein viertes Kleeblatt ist nicht erfunden, sondern nur selten. Glück bringt es nicht.
[5] Cauchy 1815, für n=3 Legendre 1798 und n=4 Lagrange 1770.
[6] Wenn ein mathematisches Problem gelöst oder eine Vermutung bestätigt ist, wird sie normalerweise als Satz bezeichnet. So auch hier. Doch irgendwie ist Problem schöner.
[7] Natürlich muß eine solche Aufgabenstellung präzisiert werden, soll Spitzfindigkeit und Sprachkritik vermieden werden: Gebiete müssen einfarbig sein und bei gemeinsamer Grenze verschiedene Farben haben, isolierte Punkte zählen nicht als Grenze, Exklaven gibt es nicht. Besser gleich: Können die Knoten eines jeden planaren Graphen derart mit vier Farben gefärbt werden, daß keine zwei gleicher Farbe durch eine Kante verbunden sind?
[8] Nicht jeder anerkannte den nachfolgenden Computerbeweis. Doch sind solche Kontroversen nicht neu. Gibt es Unendlichkeit, neben wahr und falsch nochwas, müssen Beweise konstruktiv sein? Und was ich selbst miterlebte: Haben probabilistische Primzahltests einen zahlentheoretischen Wert?
3 | 5 | Quadratzahlen | Vierteilung | Viererbande | Zahlgeschlecht
Die vier Jahreszeiten, die vier Phasen des Mondes, die vier Dimensionen des Myers-Briggs-Typindikators [2] oder die vier Elemente würden die Bedeutung der Zahl untermauern, wenn es nicht auch drei oder fünf sein könnten. Tatsächlich fehlte früher der Neumond. Dafür gab es ein geheimes fünftes Element. Gelegen kommen da Adenin, Cytosin, Guanin und Thymin. [3]
feucht trocken
+--------------------+--------------------+
| NO Sommer ♠ | ♣ Herbst SO | 1 2 3 4
w | O Geist ♒ | ♐ Seele S | Nummer der Sphäre
a | Sanguiniker ♎ | ♌ Choleriker |
r | rotes Blut ♊ | ♈ gelbe Galle | ▽ ▽ △ △
m | Oktaeder △ | △ Tetraeder | Zeichen der Alchemie
| gelb Luft 3 | 4 Feuer rot |
+--------------------+--------------------+ ♉ ♋ ♊ ♈
| blau Wasser 2 | 1 Erde grün | ♍ ♏ ♎ ♌
k | Icoseader ▽ | ▽ Hexaeder | ♑ ♓ ♒ ♐
a | weißer Schleim ♋ | ♉ schwarze Galle | Tierkreiszeichen
l | Phlegmatiker ♏ | ♍ Melancholiker |
t | W Verstand ♓ | ♑ Körper N | ♦ ♥ ♠ ♣
| SW Frühling ♥ | ♦ Winter NW | Spielkartenfarbe
+--------------------+--------------------+
Aristotelische, mittelalterliche, esoterische, dekorativeAusschlachtung der vier Elemente (png)
Sehr konstruiert wirken Versuche, die Zahl Vier als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Drei zu sehen. Wenn man den drei Mondphasen zunehmend, voll und abnehmend den Neumond hinzugefügt hat, wenn einem nach den drei Zuständen fest, flüssig und gasförmig das Plasma gerade recht kommt, wenn man die postulierte Dreiheit von Seele, Geist und Körper durch den Willen ergänzt, so ist das alles Ausdruck von Zufall und Beliebigkeit. [4]
Nach dem allgemeinen Schema ist die Vier als gerade Zahl weiblich. Das hindert manche Esoteriker nicht, sie als neutral einzustufen, um sodann ihre außerordentliche Weiblichkeit wegen der vier Phasen des Mondes zu betonen, der wegen des weiblichen Fruchtbarkeitszyklusses ebenfalls weiblich sein müsse. Doch für mein Empfinden einfacher ist die schlichte Tatsache, daß die ungeraden heiligen Zahlen 1 des einen Gottes und 3 der Dreifaltigkeit bereits an die Männer vergeben sind.
Jede Zahl läßt sich als Summe von vier Viereckszahlen (Quadratzahlen) schreiben. Das ist keine Besonderheit der Vier, weil jede Zahl Summe von n n‑Eckzahlen ist. [5] Doch n=4 ist der interessanteste Fall. Er ist besser untersucht und zeitigt die schöneren Ergebnisse. Seine Bedeutung ist nicht nur spielerischer Natur, wenn mir auch keine Anwendung bekannt ist, mit der man Geld sparen oder Freunde finden kann.
Vergnügen bereitete über ein Jahrhundert das Vierfarben-Problem [6], die Frage, ob jede Landkarte mit vier Farben zu färben sei. [7] Viele wollten das bewiesen oder widerlegt haben. Teilweise so gut, daß ihr Denkfehler erst nach Jahren gefunden wurde. Und weit mehr sollen Landkarten gemalt haben, deren Vierfärbung nur mit Mühe oder gar nicht gelang. Schließlich war es Heinrich Heesch, der um die Mitte des vergangenen Jahrhunderts (mit anderen) das Problem auf endlich viele Fälle reduzierte. Damit war das Vierfarben-Problem gelöst, wenn auch noch nicht entschieden und bewiesen. Dazu bedurfte es einer weiteren Reduktion der verbliebenen Fälle und wachsender Rechenkraft. [8]
[1] Im Osten geht die Sonne auf, nach Süden nimmt sie ihren Lauf, im Westen will sie untergehn, im Norden ist sie nie zu sehn.
[2] Ich bin ENTJ.
[3] Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach ‒ ein Endloses Geflochtenes Band. Klett-Cotta, 5. Auflage, 1985, S. 540ff. Wenn dort eine Beziehung der DNS zum Rest der Welt hergestellt wird, hat das eine ganz andere Qualität als die übliche Spintisiererei.
[4] Ein viertes Kleeblatt ist nicht erfunden, sondern nur selten. Glück bringt es nicht.
[5] Cauchy 1815, für n=3 Legendre 1798 und n=4 Lagrange 1770.
[6] Wenn ein mathematisches Problem gelöst oder eine Vermutung bestätigt ist, wird sie normalerweise als Satz bezeichnet. So auch hier. Doch irgendwie ist Problem schöner.
[7] Natürlich muß eine solche Aufgabenstellung präzisiert werden, soll Spitzfindigkeit und Sprachkritik vermieden werden: Gebiete müssen einfarbig sein und bei gemeinsamer Grenze verschiedene Farben haben, isolierte Punkte zählen nicht als Grenze, Exklaven gibt es nicht. Besser gleich: Können die Knoten eines jeden planaren Graphen derart mit vier Farben gefärbt werden, daß keine zwei gleicher Farbe durch eine Kante verbunden sind?
[8] Nicht jeder anerkannte den nachfolgenden Computerbeweis. Doch sind solche Kontroversen nicht neu. Gibt es Unendlichkeit, neben wahr und falsch nochwas, müssen Beweise konstruktiv sein? Und was ich selbst miterlebte: Haben probabilistische Primzahltests einen zahlentheoretischen Wert?
3 | 5 | Quadratzahlen | Vierteilung | Viererbande | Zahlgeschlecht
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Heilige Zahlen
wuerg, 21.01.2005 12:21
Die Heiligsprechung einer Zahl erfordert mit zunehmender Größe eine immer bessere Begründung. Mit der 1 und der 3, die für den (drei)einen Gott stehen, gibt es noch keine Probleme. Die 2 fällt durch, denn zwischen 1 und 3 kann kaum eine weitere heilige Zahl stehen. Außerdem spielt der durch sie repräsentierte Dualismus im Abendland keine bedeutende Rolle. Und die 0 ist nichts, also auch nicht heilig.
Zur Gewinnung heiliger Zahlen nutzen manche eine geschlechtliche Vererbung durch Addition und Multiplikation. So entsteht zunächst die 4 aus 1+3. Ich sehe nicht, was an ihr heilig sein soll, auch wenn ich kein Chinese bin. Sie wird aber benötigt, um weiter aufsteigen zu können:
3+4 = 7
3·4 = 12
Das ist doch wunderbar, denn die herausragende Bedeutung der 7 Tage einer Woche und der 12 Monate eines Jahres läßt sich nicht leugnen. Und in der Bibel kommen beide massenhaft vor. Auch 4+4=8 gilt als gut, doch 3+3=6 als Zahl des Menschen weniger. Nun geht es munter weiter. Aus den beiden ersten Generationen entsteht die dritte:
3+7 = 10
7+12 = 19
4·7 = 28
7·7 = 49
7·12 = 84
12·12 = 144
Natürlich wären auch 4+7=11 und 7+7=14 mögliche Nachfahren, doch überleben nicht alle, nur die genehmen. Ich persönlich sehe in der 10 keine Heiligkeit. Ihr Vorkommen beruht einzig auf unserer dezimalen Zahldarstellung. Die 19 mag vielen fremd vorkommen, doch manche sehen sie massenhaft im Koran. In 28 erkenne ich nichts von Heiligkeit. Man kann in ihr die vier Wochen eines Monats sehen. Auch ist sie eine vollkommene Zahl. Doch das ist die 6 ebenfalls. Die 84 mag für die 12 Lebensabschnitte zu 7 Jahren stehen. Diese Umlaufzeit des Uranus finde ich bemerkenswert, aber nicht heilig.
Anders ist es schon mit 144, vor allem in der Vertausendfachung als der Zahl der Logenplätze im Himmel. Damit sind wir bei einer weiteren Art der Fortpflanzung, der ungeschlechtlichen Vermehrung. Man kann nicht nur drei Nullen anhängen, es reicht auch eine. Und sehr beliebt ist die Verdreifachung der Ziffern, manchmal auch die Verdoppelung. So entstehen
2 mal 3 → 33
3 mal 7 → 777
10·7 = 70
1000·144 = 144000
Auf diese Art und Weise findet man zu jeder Zahl etwas. So steht 8880 für Christus, was sich aus 888 wie Jesus ableitet, und das aus der 8, die eigenständig oder wegen 8=4+4 bzw. 8=2+2+2 als gut, wenn nicht mehr gilt. Diese Inflation gefällt mir nicht. Mir reichen 1, 3, 7 und 12 als bedeutsam in unserer abendländischen Kultur.
1 | 3 | 7 | 12 | 84
Zur Gewinnung heiliger Zahlen nutzen manche eine geschlechtliche Vererbung durch Addition und Multiplikation. So entsteht zunächst die 4 aus 1+3. Ich sehe nicht, was an ihr heilig sein soll, auch wenn ich kein Chinese bin. Sie wird aber benötigt, um weiter aufsteigen zu können:
3+4 = 7
3·4 = 12
Das ist doch wunderbar, denn die herausragende Bedeutung der 7 Tage einer Woche und der 12 Monate eines Jahres läßt sich nicht leugnen. Und in der Bibel kommen beide massenhaft vor. Auch 4+4=8 gilt als gut, doch 3+3=6 als Zahl des Menschen weniger. Nun geht es munter weiter. Aus den beiden ersten Generationen entsteht die dritte:
3+7 = 10
7+12 = 19
4·7 = 28
7·7 = 49
7·12 = 84
12·12 = 144
Natürlich wären auch 4+7=11 und 7+7=14 mögliche Nachfahren, doch überleben nicht alle, nur die genehmen. Ich persönlich sehe in der 10 keine Heiligkeit. Ihr Vorkommen beruht einzig auf unserer dezimalen Zahldarstellung. Die 19 mag vielen fremd vorkommen, doch manche sehen sie massenhaft im Koran. In 28 erkenne ich nichts von Heiligkeit. Man kann in ihr die vier Wochen eines Monats sehen. Auch ist sie eine vollkommene Zahl. Doch das ist die 6 ebenfalls. Die 84 mag für die 12 Lebensabschnitte zu 7 Jahren stehen. Diese Umlaufzeit des Uranus finde ich bemerkenswert, aber nicht heilig.
Anders ist es schon mit 144, vor allem in der Vertausendfachung als der Zahl der Logenplätze im Himmel. Damit sind wir bei einer weiteren Art der Fortpflanzung, der ungeschlechtlichen Vermehrung. Man kann nicht nur drei Nullen anhängen, es reicht auch eine. Und sehr beliebt ist die Verdreifachung der Ziffern, manchmal auch die Verdoppelung. So entstehen
2 mal 3 → 33
3 mal 7 → 777
10·7 = 70
1000·144 = 144000
Auf diese Art und Weise findet man zu jeder Zahl etwas. So steht 8880 für Christus, was sich aus 888 wie Jesus ableitet, und das aus der 8, die eigenständig oder wegen 8=4+4 bzw. 8=2+2+2 als gut, wenn nicht mehr gilt. Diese Inflation gefällt mir nicht. Mir reichen 1, 3, 7 und 12 als bedeutsam in unserer abendländischen Kultur.
1 | 3 | 7 | 12 | 84
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Drei
wuerg, 20.01.2005 00:54
Mit Dreien wird alles kompliziert. Einer steht fast immer in der Mitte oder am Rand. Ab drei kann eine Reihenfolge zu sehen sein, deren Fortsetzung ins Unendliche weist. Drei Punkte deuten dies an. Drei überfordert uns noch nicht, auch wenn nicht jeder über eine dreidimensionale Vorstellung verfügt und ihm Vater, Sohn und Heiliger Geist zuviele sind. Doch nicht zuletzt deshalb ist die Drei eine heilige Zahl.
Die Drei läßt sich als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Zwei sehen. Normalerweise sind auch Paare durch die Reihenfolge ihrer Nennung (Mann und Frau), ihre Numerierung (zum einen und zum anderen) oder Reihenfolge (Vergangenheit und Zukunft) angeordnet, doch eine Dreiergruppe macht deutlicher, in welche Richtung gedacht wird, an Fortpflanzung (Mann, Frau, Kind), Gruppenbildung (Mann, Frau, Familie), Überhöhung (Mann, Frau, Jesus), Abgrenzung (Vergangenheit, Gegenwart, Zukunft), an eine endlose Folge (1,2,3,…) oder einen Restbestand (männlich, weiblich, divers).
Die Dreizahl scheint dem Menschen zu liegen, in Esoterik [1], Märchen, Witzen, Religion, bei freien Wünschen und Schnapszahlen. Aller guten Dinge sind drei, Gold, Silber, Bronze, schnick, schnack, schnuck, bei Issos Keilerei, auf die Plätze, fertig, los. Drei Dinge braucht der Mann [2], Frauen sollten bei drei auf dem Baum sein, manche können nicht bis drei zählen.
Die Suche nach Bedeutungen kennt keine Hemmungen. Ein Beispiel: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad und die 18 ist eine Versechsfachung der 3. Das ist natürlich in mehrfacher Hinsicht albern: Es wird so getan, als seien Weglassung der Null, Versechsfachung und Teilung des Kreises in 360 Grad gottgegebene oder gar natürliche Operationen. Dabei hat es die Drei als kleine und schöne Zahl gar nicht nötig, in eine Überlegung reingesteckt zu werden, um am Ende herauszukommen.
Willkürliche Zuordnungen können Jahrtausende überdauern, in Stein gemeißelt sind sie dennoch nicht. Im Monotheismus angekommen ging es wieder herauf zur Dreifaltigkeit, von der Naßrasur zum Dreitagebart, vom Tetrachord herunter zum Dreiklang. Doch hat die Drei auch Verluste zu beklagen. Der Neumond erhöhte auf vier Mondphasen, die Dreigangschaltung verlor an die Sechs und droht im Unendlichen zu verschwinden.
Wer regelmäßig „Bares für Rares“ sieht, kennt den Trick, die Gebote gegen Ende noch etwas mit der Bemerkung in die Höhe zu treiben, man müsse den Erlös mit zwei anderen teilen. Da ist es vorteilhaft, in der Schule gelernt zu haben, daß eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme es ist. Dazu gehören alle dreistelligen Schnapszahlen 111 bis 999. Sie weisen auch den Faktor 37 auf, denn 111=3⋅37. Ich hatte dereinst die Schlüsselnummer 111. Der Pförtner sagte: Dreimal die eins. Und ich antworte: Nein, dreimal siebenunddreißig.
Ein anderes Kaliber hat die Tatsache, daß jede Zahl Summe dreier Dreieckszahlen ist. [3] Bewiesen hat dies Adrien-Marie Legendre. [4] Für kleine Zahlen findet man schnell eine Zerlegung, zumeist reicht es, die größtmögliche Dreieckszahl abzuknapsen und den Rest durch zwei Summanden darzustellen. Deutlich nerviger ist es, alle Zerlegungen zu finden. [5]
Schön ist auch die von Vera Sos (und anderen) bewiesene Vermutung von Hugo Steinhaus, die nunmehr Drei-Abstands-Satz heißt: Schneidet man eine Kreislinie an den Stellen 0,φ,2φ,3φ,...,(n-1)φ durch, so entstehen Teilstücke in höchstens drei verschiedenen Längen. Paradebeispiel ist die Teilung der Oktave (2π) in Quinten (φ=ld(3/2)⋅2π≈211°). Bei n=4 sind es erstmalig drei verschiede Längen. Zwei Teilstücke entsprechen dem großen Ganzton (9/8), die beiden anderen der Quarte (4/3) und der pythagoreischen kleinen Terz (32/27). Bei n=5,7,12,17,29,41,53,… verbleiben nur zwei Intervalle. [6] Fünf-, Sieben- und Zwölftonmusik sind also keine Willkür.
[1] Wie hätten sich Spinner früherer Jahrhunderte gefreut, wären ihnen bereits die Quarks bekannt gewesen, ohne deren Dreierverbünde die uns bekannte Welt nicht existierte.
[2] Feuer, Pfeife, Stanwell. Manche vereinfachen auf girls, girls, girls.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Dreieckszahlen A000217.
[4] Fermat kritzelte auch das an den Rand, blieb den angekündigten Beweis aber ebenfalls schuldig. Gauß schrieb zwar ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ins Tagebuch, doch die Ehre des ersten Beweises gebührt Legendre.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Ed Pegg erinnert in seiner Liste A061262 der kleinsten Dreieckszahlen, die auf genau n-fache Weise als Summe dreier Dreieckszahlen dargestellt werden können, an Carl Friedrich Gauß mit den Worten: If at first you do not succeed, tri + tri + tri again.
[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Beste pythagoreische Teilungen der Oktave A005664.
2 | 4 | 6 | 37 | 53 | 666 | Dreieckszahlen | Teilbarkeitsregeln | heilige Zahlen
Die Drei läßt sich als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Zwei sehen. Normalerweise sind auch Paare durch die Reihenfolge ihrer Nennung (Mann und Frau), ihre Numerierung (zum einen und zum anderen) oder Reihenfolge (Vergangenheit und Zukunft) angeordnet, doch eine Dreiergruppe macht deutlicher, in welche Richtung gedacht wird, an Fortpflanzung (Mann, Frau, Kind), Gruppenbildung (Mann, Frau, Familie), Überhöhung (Mann, Frau, Jesus), Abgrenzung (Vergangenheit, Gegenwart, Zukunft), an eine endlose Folge (1,2,3,…) oder einen Restbestand (männlich, weiblich, divers).
Die Dreizahl scheint dem Menschen zu liegen, in Esoterik [1], Märchen, Witzen, Religion, bei freien Wünschen und Schnapszahlen. Aller guten Dinge sind drei, Gold, Silber, Bronze, schnick, schnack, schnuck, bei Issos Keilerei, auf die Plätze, fertig, los. Drei Dinge braucht der Mann [2], Frauen sollten bei drei auf dem Baum sein, manche können nicht bis drei zählen.
Die Suche nach Bedeutungen kennt keine Hemmungen. Ein Beispiel: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad und die 18 ist eine Versechsfachung der 3. Das ist natürlich in mehrfacher Hinsicht albern: Es wird so getan, als seien Weglassung der Null, Versechsfachung und Teilung des Kreises in 360 Grad gottgegebene oder gar natürliche Operationen. Dabei hat es die Drei als kleine und schöne Zahl gar nicht nötig, in eine Überlegung reingesteckt zu werden, um am Ende herauszukommen.
Willkürliche Zuordnungen können Jahrtausende überdauern, in Stein gemeißelt sind sie dennoch nicht. Im Monotheismus angekommen ging es wieder herauf zur Dreifaltigkeit, von der Naßrasur zum Dreitagebart, vom Tetrachord herunter zum Dreiklang. Doch hat die Drei auch Verluste zu beklagen. Der Neumond erhöhte auf vier Mondphasen, die Dreigangschaltung verlor an die Sechs und droht im Unendlichen zu verschwinden.
Wer regelmäßig „Bares für Rares“ sieht, kennt den Trick, die Gebote gegen Ende noch etwas mit der Bemerkung in die Höhe zu treiben, man müsse den Erlös mit zwei anderen teilen. Da ist es vorteilhaft, in der Schule gelernt zu haben, daß eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme es ist. Dazu gehören alle dreistelligen Schnapszahlen 111 bis 999. Sie weisen auch den Faktor 37 auf, denn 111=3⋅37. Ich hatte dereinst die Schlüsselnummer 111. Der Pförtner sagte: Dreimal die eins. Und ich antworte: Nein, dreimal siebenunddreißig.
Ein anderes Kaliber hat die Tatsache, daß jede Zahl Summe dreier Dreieckszahlen ist. [3] Bewiesen hat dies Adrien-Marie Legendre. [4] Für kleine Zahlen findet man schnell eine Zerlegung, zumeist reicht es, die größtmögliche Dreieckszahl abzuknapsen und den Rest durch zwei Summanden darzustellen. Deutlich nerviger ist es, alle Zerlegungen zu finden. [5]
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Die ersten sieben Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 (png)Schön ist auch die von Vera Sos (und anderen) bewiesene Vermutung von Hugo Steinhaus, die nunmehr Drei-Abstands-Satz heißt: Schneidet man eine Kreislinie an den Stellen 0,φ,2φ,3φ,...,(n-1)φ durch, so entstehen Teilstücke in höchstens drei verschiedenen Längen. Paradebeispiel ist die Teilung der Oktave (2π) in Quinten (φ=ld(3/2)⋅2π≈211°). Bei n=4 sind es erstmalig drei verschiede Längen. Zwei Teilstücke entsprechen dem großen Ganzton (9/8), die beiden anderen der Quarte (4/3) und der pythagoreischen kleinen Terz (32/27). Bei n=5,7,12,17,29,41,53,… verbleiben nur zwei Intervalle. [6] Fünf-, Sieben- und Zwölftonmusik sind also keine Willkür.
[1] Wie hätten sich Spinner früherer Jahrhunderte gefreut, wären ihnen bereits die Quarks bekannt gewesen, ohne deren Dreierverbünde die uns bekannte Welt nicht existierte.
[2] Feuer, Pfeife, Stanwell. Manche vereinfachen auf girls, girls, girls.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Dreieckszahlen A000217.
[4] Fermat kritzelte auch das an den Rand, blieb den angekündigten Beweis aber ebenfalls schuldig. Gauß schrieb zwar ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ins Tagebuch, doch die Ehre des ersten Beweises gebührt Legendre.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Ed Pegg erinnert in seiner Liste A061262 der kleinsten Dreieckszahlen, die auf genau n-fache Weise als Summe dreier Dreieckszahlen dargestellt werden können, an Carl Friedrich Gauß mit den Worten: If at first you do not succeed, tri + tri + tri again.
[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Beste pythagoreische Teilungen der Oktave A005664.
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