Goldener Schnitt
wuerg, 12.06.2005 00:23
Der goldene Schnitt ist die Teilung der Einheitsstrecke bei φ=(√5−1)/2≈0,618 im Verhältnis von 1 zu Φ=(√5+1)/2≈1,618 und kommt allenthalben in Natur und Kultur vor. Erstere trifft den goldenen Schnitt natürlich nur ungefähr, wo er sich als günstig und damit von evolutionären Vorteil erwiesen hat. Geometrisch ist er in der Lieblingsfigur der Griechen, dem Pentagramm zu bewundern:
Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 2·cos(36°) = 1,6180339887498948482…
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 2·sin(18°) = 0,6180339887498948482…
zu kommen, ist dank a=b+c und b=c+d nur eine quadratische Gleichung zu lösen.
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN‑A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN‑A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
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____/ / \ \____
____/ / \ \____
____/ / \ c \____
____/ / \ \____
____/ / \ \____
/ c / d \ c \
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Einem Fünfeck einbeschriebenes Pentagramm (png)Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 2·cos(36°) = 1,6180339887498948482…
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 2·sin(18°) = 0,6180339887498948482…
zu kommen, ist dank a=b+c und b=c+d nur eine quadratische Gleichung zu lösen.
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN‑A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN‑A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
+-------------------------+---------------+ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | +---+-+---------+ | | | | | | +---+-+ | | | | | | | | | +-------------------------+-----+---------+Während die Kultur sich auf das goldene Rechteck als schön geeinigt hat, hält sich die Natur an den goldenen Winkel, der bei etwa 137,5° den Vollkreis im Verhältnis 1 zu Φ teilt. Ihn findet man näherungsweise an vielen Pflanzen.
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wuerg,
17.06.2005 22:35
Ich bin beständig versucht, die Zahl Φ=1,618… für den goldenen Schnitt zu halten, weil die Seiten des goldenen Rechteckes für mich im Verhältnis 1 zu 1,618… stehen, wie es beim DIN‑A-Papier 1 zu 1,4142… ist. Natürlich kann man am goldenen Rechteck auch das Verhältnis 1 zu 0,618…, also den goldenen Schnitt sehen, der die Einheitsstrecke bei φ=0,618… durchschneidet. Das kleinere Stück 1−φ≈0,382 leistet das gleiche, ist aber nicht golden, denn nicht für dieses, sondern für φ gilt die schöne Beziehung 1+φ=1/φ.
Der goldene Schnitt ist wegen φ=(√5−1)/2 mit Zirkel und Lineal konstruierbar, weil alle Quadratwurzeln es sind. Klassisch wird der goldene Schnitt AE einer gegebenen Strecke AB wie folgt konstruiert: Am Punkt B wird eine Senkrechte auf AB errichtet, auf der die Hälfte der Strecke AB zum Punkt C abgetragen wird. Der Kreis um C durch B schneidet die Strecke AC im Punkt D und der Kreis um A durch D schneidet die Strecke AB im Punkt E. Die so entstandene Strecke AE teilt AB golden. [1] Und weil φ=2·sin(18°) die Kantenlänge des regelmäßigen Zehnecks im Einheitskreis ist, ist das Zehneck und damit auch das Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
[1] Ein Bild dazu ist mit ASCII-Zeichen kaum möglich. Also vorstellen, selber malen oder in der allwissenden Müllhalde wühlen.
Der goldene Schnitt ist wegen φ=(√5−1)/2 mit Zirkel und Lineal konstruierbar, weil alle Quadratwurzeln es sind. Klassisch wird der goldene Schnitt AE einer gegebenen Strecke AB wie folgt konstruiert: Am Punkt B wird eine Senkrechte auf AB errichtet, auf der die Hälfte der Strecke AB zum Punkt C abgetragen wird. Der Kreis um C durch B schneidet die Strecke AC im Punkt D und der Kreis um A durch D schneidet die Strecke AB im Punkt E. Die so entstandene Strecke AE teilt AB golden. [1] Und weil φ=2·sin(18°) die Kantenlänge des regelmäßigen Zehnecks im Einheitskreis ist, ist das Zehneck und damit auch das Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
[1] Ein Bild dazu ist mit ASCII-Zeichen kaum möglich. Also vorstellen, selber malen oder in der allwissenden Müllhalde wühlen.
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