Zahlwort

Die Null ist sicher­lich eine sehr interes­sante Zahl. Sie steht für nichts und damit für etwas, eigent­lich für das erste, von dessen Existenz ich aus­gehen kann, wenn ich von meiner eigenen Person absehe. Es gibt also etwas und nicht nichts. [1]

Immer wieder wird behauptet, die Null sei irgendwo in Indien erfunden worden und dann über die Araber nach Europa gekommen, obwohl es nichts oder keins sicher­lich schon ewige Zeiten gab. Gemeint ist die Ziffer 0, also die Verwen­dung eines eige­nen Symbo­les für das Feh­len eines Ziffern­zeichens, wo zuvor besten­falls Leer­raum gelassen oder ein Platz­halter notiert wurde. Eine rich­tige Zahl Null als Rechen­größe oder Ergän­zung der natür­lichen Zahlen, soll es selbst bei den Baby­loniern weder sprach­lich, noch als allein­ste­hende Ziffer, noch als null­stel­lige Ziffern­folge gegeben haben. [2] Die Römer umgingen dieses Problem durch die Verwen­dung verschie­dener Zeichen für die verschie­denen Stellen. Griechen und Juden waren mit ihrer Darstel­lung von Zahlen durch Buch­staben noch schlechter und beför­derten dadurch die aber­gläubi­sche Unsitte, Wörter als Zahlen und Zahlen als Wörter oder gar Namen zu inter­pre­tieren.

Es mag uns heute unverständlich erscheinen, warum in einem schon vorhan­denen Posi­tionssystem die Leer­stellen nicht schon sehr früh mit einem unschein­baren Zeichen, zum Beispiel einem Punkt gekenn­zeichnet wurden. Doch denke man nur an das Leer­zeichen. Lange Zeit ließ man gar keinen Freiraum zwischen den Wörtern. Solange man mit der Hand schrieb, hatte man einen sinn­vollen Abstand im Griff. Ob mit Spatien gesetzt oder mit Leer­taste und Tabu­lator maschi­nell geschrieben, beim Lesen gab es keine Probleme. Mit der Daten­verar­beitung ploppten sie aber dank sich nicht vom Hinter­grund abset­zender Leer­zeichen hervor: Falsche Zeilen­einzüge, beschissen ausse­hender Block­satz, häß­lich gesperrte Wörter, inkon­sistente Tabu­lator-​Expansion.

Drucker produzieren heute kaum noch Freizeilen, das CR‑LF-​Problem tritt aber immer wieder auf. Auch scheitert selbst teure Software manchmal an Umlauten. Wer hier bei blogger.de nicht nur liest oder ein paar Absätze schlichten Textes schreibt, sollte eigent­lich ein Lied davon singen können, wenn Frei­zeilen einge­fügt werden, die normaler­weise nur der Glie­derung des Quell­textes dienen. Unsere Vorfahren konnten Leer­stellen nicht durch Text­markie­rung hervor­heben, sie hatten auch kein karier­tes Papier, keine festen Bild­schirm­posi­tionen, die früher auch gerne markiert wurden, wie heute auf Personal­ausweisen < ein Leer­zeichen ersetzt.

Anders als zu den natürlichen Zahlen berichtet die Wikipedia nicht bereits in der Einlei­tung, durch welche Zahlen die Null einge­rahmt wird und daß sie sowohl eine Quadrat- als auch Kubik­zahl, aber keine Prim­zahl ist. [3] Dafür steht ganz vorne, sie sei die Kardi­nalität der leeren Menge, also die Anzahl ihrer Elemente. Andere würden sagen, die Null sei die durch Bijek­tion gegebene Äqui­valenz­klasse aller Mengen, die zur leeren Menge gleich­mächtig sind. Oder einfach 0={}. Alles schöne Vor­schläge, einfache und seit ewigen Zeiten bekannte Dinge durch recht neumodi­schen Kram wie Mengen­lehre zu begründen oder zu verein­nahmen.

Und weiter mit der Wikipedia: „Die Null ist das neutrale Element der Addition in vielen Körpern, wie etwa den ratio­nalen Zahlen, reellen Zahlen und kom­plexen Zahlen, selbst wenn andere Elemente nicht mit gängigen Zahlen identi­fiziert werden.“ Was soll uns das sagen? Daß es auch Körper über die genannten hinaus mit ungän­gigen Zahlen gibt oder die kom­plexen größten­teils keine gän­gigen Zahlen sind? Warum nicht einfach: Die Null ist das neu­trale Element der Addi­tion ganzer Zahlen und ihrer Erweite­rungen. Nicht nur in gän­gigen Körpern, sondern in allen Struk­turen mit additiv geschrie­bener zwei­stel­liger Verknüp­fung nennt man ein (eindeutiges) neutrales Ele­ment eine (die) (Links-,Rechts-)Null, ohne die Zahl Null sein zu müssen. [4] Schreibt man die Verknüp­fung multi­plikativ, so nennt man das neu­trale Element Eins. Mehr steckt nicht dahinter.

Wer die Eins für eine Primzahl hält oder gar aus esote­rischen Gründen zwei und drei aus­schließt, könnte auch die Frage stellen, ob denn die Null prim oder zusammen­gesetzt sei. Ist die Null prim, weil sie keine Einheit und wie die posi­tiven Prim­zahlen nicht Produkt zweier kleinerer natür­licher Zahlen ist? Ist sie keine Prim­zahl, weil sie nicht genau zwei Teiler hat? Und wieviele Teiler hat die Null über­haupt? Wegen 0·n=0 unend­lich viele, also mehr als zwei, obwohl die natür­lichen Zahlen doch null­teiler­fremd sind. Ist sie deshalb zusammen­gesetzt, oder zählt eine Multi­plika­tion mit sich selbst nicht? Müßte dann nicht auch bei allen posi­tiven Prim­zahlen p die Zerlegung 1·p=p außen vor bleiben, womit p gar keine (echten) Teiler hätte? Gehört die Null einem vierten Geschlecht an, da sie weder prim, noch zusammen­gesetzt, noch eine Einheit ist? Im Bereich der natürlichen Zahlen nicht, weil die Null keine ist und die Frage nach ihrer Prima­lität sich gar nicht stellt. [5] Einige mögen das anders sehen. Dann muß man die Begriff­lich­keiten abgleichen. Mit Außer­irdischen wird das gelingen, mit modernen Sprach­gouver­nanten nicht unbedingt.

[1] George Englebretsen: Sommers' proof that something exists. Notre Dame Journal of Formal Logic 16, 1975.

[2] Ein Problem, das sich noch heute bemerkbar macht, weil Zahlen normaler­weise ohne führende Nullen geschrie­ben werden, es bei der 0 selbst aber nicht geht, auch nicht bei den Ameri­kanern, die eine 0 vor dem Dezimal­punkt weglassen. Das führt zum Bei­spiel dazu, daß in der OEIS die Folge A002275 der Einser­kolonnen (Schnaps­zahlen aus Einsen, repunits) nicht mit 111, nicht mit 11 und auch nicht mit 1 beginnt, sondern (zum Spaß?) mit 0, der 0‑fachen Wieder­holung der Ziffer 1 oder (10ⁿ−1)/9 für n=0.

[3] Erst weiter unten ist in unerwarter Genauig­keit zu lesen: „Als ganze Zahl ist die Null Nachfol­gerin der Minus‐Eins und Vorgän­gerin der Eins.“ Eine völlig witzlose Infor­mation, doch wenig­stens mit Rück­sicht darauf, daß die Null als nicht-​nega­tive ganze Zahl keinen Vor­gänger hat. Und im Anschluß weitere uner­wartete Eigen­heiten der Null: „Auf einer Zahlen­geraden trennt der Null­punkt die posi­tiven von den nega­tiven Zahlen. Die Null ist die einzige reelle Zahl, die weder posi­tiv noch nega­tiv ist. Die Zahl Null ist gerade.“

[4] Wie im täglichen Leben kann es durchaus sehr viele Nullen geben.

[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Natür­liche Zahlen A000027 und nicht-​nega­tive ganze Zahlen A001477.

1 | Minus 0 | Jahr 0 | 00 | Unterstrich

Ich habe hier wieder lange Zeit nichts geschrieben. Das kann nicht daran liegen, daß es keine erwäh­nens­wer­ten Zahlen gibt. Denn zumin­dest alle natür­li­chen Zahlen sind inter­essant. Andernfalls gäbe es eine klein­ste unin­teres­sante Zahl. Und die wäre durch­aus von Inter­esse.

Inzwischen sind wieder fast 17 Jahre vergangen. Doch schon früher hätte ich die Frage stel­len kön­nen: Wenn es schon keine unin­teres­san­ten Zah­len gibt, welche ist dann unter den inter­essan­ten (also allen) die von gering­stem Inter­esse? Auch das kann schwie­rig werden, wenn diese Eigen­schaft eine Zahl auf­wertet und eine andere nach unten rutscht, was diese wiede­rum auf­wer­tet und so weiter.

Wie man es auch dreht und wendet, es bleibt ungenau, auch ange­sichts der unend­lich vielen sehr großen Zahlen ohne bekann­tes Inter­esse. Man müßte zum Bei­spiel jeder Zahl ein mit ihrer Größe stei­gen­des bedin­gungs­loses Grund­inter­esse zukom­men las­sen, was eine Ober­grenze nach sich zöge.

Es bleibt natürlich eine Geschmacks­frage. Und wer am 29. Fe­bruar Ge­burts­tag hat, wird im Gegen­satz zu mir der 29 nicht die rote La­terne anhän­gen wol­len. Zunächst hielt ich mit David Wells [1] die 39 für die unin­teres­san­teste Zahl, die aber gerade des­halb Auf­merk­sam­keit auf sich zog. Ich dachte des­halb an 38, spä­ter 43 oder 45, bis ich die noch klei­nere und damit schwe­rer vom Thron zu sto­ßen­de 29 fand.

[1] David Wells: The Penguin Dictionary of Interesting and Curious Numbers.

29 | 38 | 39 | 43 | 45

Meines Wissens gilt seit gestern für Sozial­demokra­ten 0,098... als die größte Zahl unter­halb von 10%.

Nachtrag auch zum eigenen Verständnis nach 19 Jahren: Die SPD erzielte in der säch­sischen Land­tags­wahl 2004 stol­ze 9,8 Pro­zent.

Heute Zwerg, morgen Riese | Von Brandt bis Nahles

Meine Suche nach dem 27. Buch­sta­ben endete am 27. Fe­bruar. Die Zahl 28 ist zu be­deu­tend, um sie gestern nur kurz zu behan­deln. Und zur 29 gibt es eigent­lich kaum mehr als den wie heute alle vier Jahre wie­der­keh­ren­den Schalt­tag, den 29. Fe­bruar.

Ganze 16 Jahre sind nun vergangen, blogger.de gibt es immer noch, und heute ist wieder der 29. Fe­bruar. Gestern ein will­kommener Anlaß, im Haus­frauen‐Fern­sehen neben Essen, Gesund­heit, Garten und Rei­sen auch einmal einen Blick in den Kalen­der zu werfen. Natür­lich muß­ten Pas­san­ten be­fragt wer­den. Neben einem alten Herrn, der das Reiz­wort julia­nisch kannte, sonst aber auch nichts wußte, wur­den nur ahnungs­lose junge Men­schen ge­zeigt. Der Wahr­heit am näch­sten kam eine Frau mit ihrer Vermu­tung, der Monat Februar habe alle vier Jahre nur 28 Tage.

Nach einem solchen Stimmungs­bild darf die Erklä­rung durch eine Repor­te­rin nicht fehlen, die am 29. Fe­bruar gebo­ren es ja wis­sen muß. Sie be­ginnt ganz gut mit der tropi­schen Jahres­länge von 365 Ta­gen, 5 Stun­den und 49 Mi­nu­ten, wes­halb alle vier Jahre mit dem 29. Fe­bruar ein Schalt­tag einge­fügt wer­den müsse, damit in 600 Jah­ren der Monat Juli nicht im Winter liege.

Meine Erwartung wurde bestä­tigt: Kein Wort über die wei­te­ren Schalt­re­geln, daß alle 100 Jah­re das Schalt­jahr aus­fällt und alle 400 wie­der einge­setzt wird, wes­halb 2000 ein Schalt­jahr war und wir in einer 200‑jäh­rigen Peri­ode leben, in der es ohne Aus­nahme alle vier Jahre einen 29. Fe­bruar gibt. Zur näch­sten Unregel­mäßig­keit im Jahre 2100 muß kei­ner mehr be­fragt wer­den, weil dann die implan­tier­ten persön­li­chen Assi­sten­ten die kor­rekte Ant­wort kennen.

Und bei der Gelegenheit hätte erwähnt werden kön­nen, warum der gregori­ani­sche Kalen­der mit seiner 4‑100‑400‐Schalt­re­gel den julia­ni­schen ab­löste, der stur alle vier Jahre einen 29. Fe­bruar vor­sah. Weil dessen Jahr von durch­schnitt­lich 365,25 Tagen um 0,00781 zu lang ist, sich so alle 128 Jahre der Früh­lings­anfang um einen Tag nach vorne ver­schob und im Jahre 1582 schon auf den 11. März fiel. [1] Um das zu korri­gie­ren, folgte am Über­gang zum gre­gori­ani­schen Kalen­der der 15. auf den 4. Okt­ober 1582.

Fast perfekt wäre es gewe­sen, alle 128 Jahre ein Schalt­jahr aus­fal­len zu lassen, weil dann 300 Jahr­tau­sende für einen Tag Diffe­renz ver­gehen müß­ten. Doch konnte man sich vom Dezi­mal­system nicht lösen, weshalb es zur 4‑100‑400‐Schalt­regel mit einem mitt­leren gregori­ani­schen Jahr zu 365,2425 Tagen kam, womit schon nach 3 Jahr­tau­sen­den ein Tag Diffe­renz an­fällt, worauf es aber wegen der Bedeu­tungs­losig­keit des Men­schen im Jahre 5000 nicht ankom­men wird.

Eines aber habe ich doch durch den Fernseh­bericht gelernt, denn die am 29. Fe­bruar gebo­rene Frau wußte, daß sie in Normal­jah­ren nicht am 28. Fe­bruar, sondern erst am 1. März ein Jahr älter wird. Das könnte wich­tig sein, wenn man die Voll­jährig­keit erreicht und mit dem Auto fahren möchte oder der 28. Februar ein Wahltag ist.

Es ist sinnvoll, im n. Fe­bruar den (31+n)‑ten Tag des Jahres zu sehen, selbst wenn n weit über 28 liegt. Damit ist der 29. Fe­bruar immer der 60. Tag im Jahr, in Normal­jah­ren iden­tisch mit der Num­mer des 1. März. Ein sinn­vol­ler Kalen­der hätte den Schalt­tag am Jahres­ende, aller­dings mit dem Neben­effekt, daß am Schalt­tag Gebo­rene in man­chen Jahren zwei und in ande­ren keinen Geburts­tag fei­ern könn­ten. Dann hät­ten sich die Juri­sten mög­licher­weise anders ent­schie­den und den Geburts­tag nicht nach hin­ten, son­dern nach vorne ver­legt. Der Schalt­tag im Februar hat somit auch seine posi­ti­ven Aspekte.

Für einen zwischen 1901 und 2099 leben­den Mensch ist es nicht erfor­der­lich, die genauen Schalt­re­geln des gre­gori­ani­schen Kalen­ders zu ken­nen, eigent­lich auch nicht die 4‑Jah­res­regel. [2] Man kann sich ein­fach auf den Wand­kalen­der ver­las­sen, ähn­lich den Juden mit ihren sechs ver­schie­de­nen Jah­res­län­gen und einem 13. Monat.

Auch Programmierer sind nur Menschen. Sie berech­nen Datums­anga­ben immer wie­der anders und manch­mal nach fal­schen Vor­stel­lun­gen. So hiel­ten die ersten Tabel­len­kalkula­tio­nen bis hin zu Excel 2000 das Jahr 1900 für ein Schalt­jahr. [3] Das ist schon früh aufge­fal­len, doch eine ein­fache Kor­rek­tur hätte unan­ge­nehme Neben­wir­kun­gen gehabt.

[1] Wären wir wie die Kopten beim julia­ni­schen Kalen­der geblie­ben, hätten wir heute den 16. statt 29. Fe­bruar und wür­den sin­gen: Der April ist gekom­men, die Bäume schla­gen aus. Das haben wir nun durch den Klima­wandel auf ande­rem Wege auch er­reicht.

[2] Eine Olympiade umfaßt vier Jahre und hat gegen­wär­tig wie im julia­ni­schen Kalen­der 1461 Tage, nach deren Ver­ge­hen wieder der glei­che Tag im glei­chen Monat erreicht wird. Da 1461 aber nicht durch 7 teil­bar ist, wird nicht der glei­che Wochen­tag getrof­fen. Für die gregori­ani­sche Peri­ode von 400 Jah­ren zu 146097 Ta­gen ist das anders. Es sind genau 20871 Wo­chen. Des­halb und dank der feh­len­den 10 Tage im Jahre 1582 trifft die Be­rech­nung des Oster­da­tums eini­ger­ma­ßen das Leben Jesu. Das war Papst Gregor wohl wich­ti­ger als Astro­no­mie, Bau­ern­re­geln, Saat und Ernte.

[3] Lu Chen: Excel geht fälschlicherweise davon aus, dass das Jahr 1900 ein Schaltjahr ist. Microsoft.

29 | 128 | 688 | 1.1.2007 | Oktoberrevolution | Reformationstag

Leider gibt es keinen brauch­baren 27. Buch­sta­ben. Mit den 10 Zif­fern wären es 37 Zei­chen, und bei Unter­schei­dung von Groß- und Klein­buch­sta­ben sogar 64. Sowohl 27 als auch 64 sind Dreier­poten­zen. Mit der Schön­heit 27·37=999 ergibt sich

10³ − 1³ = 1000 − 1 = 999 = 27·37 = 27·(64−27) = 3³·(4³−3³) = 12³ − 9³

also 10³+9³=12³+1³=1729, die klein­ste Zahl, die auf zwei­fache Weise als Summe zweier Kubik­zah­len dar­stell­bar ist.

Diese Zahl 1729 heißt Hardy-​Rama­nujan-​Zahl, gele­gent­lich auch poli­tisch und inhalt­lich kor­rek­ter Rama­nujan-​Hardy-​Number, denn es geht die Ge­schich­te, der große Zah­len­theo­reti­ker Hardy habe Rama­nujan am Kran­ken­bett besucht und er­wähnt, er sei mit dem Taxi 1729 gekom­men, was wohl eine recht un­inter­es­sante Zahl sei, worauf­hin Rama­nujan ihm wider­sprach und be­merk­te, 1729 sei die klein­ste Zahl, die auf zwei­fache Weise als Summe zweier Kubik­zah­len dar­stell­bar ist.

Wegen dieser Geschichte heißt 1729 auch zweite Taxicab-​Number. Die n‑te ist die klein­ste Zahl, die auf n‑fache Weise als Summe von 2 Kubik­zahlen dar­ge­stellt wer­den kann. [1] Nur sechs sind bis­her be­kannt.

[1] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Hardy-​Rama­nujan-​Zahlen A011541.

27 | 37 | 999

Unter­strich, Klammer­affe, Dollar­zei­chen, Krämer-Und, Eszett und Umlaute sind für mich als 27. Buch­staben aus­ge­schie­den. Alle ande­ren Zei­chen des ASCII-​Codes schnei­den nicht besser ab. Und der Rest kommt so und so nicht in­frage, denn er berei­tet nur Schwie­rig­kei­ten. Lei­der kommt man in der moder­nen Welt nicht umhin, auch Zei­chen zu ver­wen­den, die noch nicht einmal in der der 8‑Bit-​ANSI-​Erwei­te­rung des 7‑Bit-​ASCII-​Codes vor­gese­hen sind. Ich ver­suche sie spar­sam einzu­setzen, denn selbst teu­erste Soft­ware kann schon an ein­fa­chen Um­lau­ten scheitern. [1]

Noch in den Achtzi­gern mußte man zumeist mit den 128 Zei­chen des US‑ASCII-​Codes aus­kom­men, der aller­dings an den 12 Posi­tio­nen $@[\]^_`{|}~ natio­nale Anpas­sun­gen er­laubte. Die deut­sche gemäß DIN 66003 er­setzte davon @[\]{|}~ durch §ÄÖÜäöüß. Das führte gele­gent­lich zu Pro­ble­men, wes­halb ein Be­kann­ter einen Schalter am sei­nem PET 2001 hatte, um die Dar­stel­lung zwi­schen eng­lisch für Assemb­ler und deutsch für Texte um­zu­schalten.

[1] Inzwischen sind zwei Jahr­zehnte vergangen, und ich habe mich damit ange­freundet auch ent­legene Zeichen des Unicodes zu ver­wenden, allein schon zur Dar­stel­lung von hoch- und tief­gestell­ten Zeichen ohne Verhun­zung des Zeilen­abstan­des. Hinzu kommen so simple Zeichen wie der Malpunkt, die einen Formel­umbruch ver­hindern helfen.

27 | Unterstrich | Klammeraffe | Dollar | Krämer-Und | Eszett | Umlaute

Hundert Tage lang habe hier nichts ein­getra­gen. Es gab wohl wich­tige­res als Zahl­wörter.

Die Umlaute Ä, Ö und Ü scheiden auch als 27. Buch­stabe aus. Zum einen muß man sie wohl im Dreier­pack nehmen, zum ande­ren sind es nur A, O und U mit zwei Punk­ten, und zum drit­ten haben sie keinen Platz im 7‑Bit-​ASCII-​Code gefun­den, der aller­dings 12 Zei­chen für natio­nale Vari­an­ten vorsah. So erset­zen die Umlaute nach DIN 66003 die drei Zei­chen [\] und {|} hin­ter dem Buch­sta­ben Z. Davon wurde Abstand genom­men als der ab­stru­se Black­slash \ sich in der Welt breit machte.

27 | 999 | ASCII | Unterstrich | Klammeraffe | Dollar | Krämer-Und | Eszett

Wer schon ein­mal Wör­ter wie SCHEIßE in Über­schrif­ten gese­hen hat, wird mir zu­stim­men, daß Eszett als 27. Buch­stabe aus­fällt, zumal es auch kein gro­ßes Eszett gibt und deshalb SCHEISSE, nicht aber SCHEISZE zu schreiben ist. Außer­dem fehlte Eszett im 7‑Bit-​ASCII-​Code, der aller­dings 12 Zeichen zu nati­ona­len Anpas­sung vorsah. So befin­det sich das Eszett nach DIN 66003 statt der Tilde an Posi­ti­on 126.

Nun sind fünf Jahre vergan­gen, und es gibt ein gro­ßes, häßli­ches ẞ als Eszett. Da­durch sind so abar­tige Schreib­wei­sen wie SCHEIẞE mög­lich. Er­for­der­lich war es nicht, denn auch andere Liga­tu­ren wer­den als Ver­sa­lien ge­trennt ge­schrie­ben. Und jeder sollte den Kon­text so gestal­ten können, daß ein als SS ge­schrie­be­nes Eszett er­kannt wird.

27 | 999 | ASCII | Unterstrich | Klammeraffe | Dollar | Krämer-Und | Umlaute