43
wuerg, 18.03.2021 01:28
Zu den natürlichen Zahlen 1 bis 42 schrieb ich bereits vor Jahren etwas. Nun ist 43 dran, ein Kandidat für die kleinste uninteressante Zahl. Was vermeldet uns die Wikipedia? Sie ist die Ordnungszahl des leichtesten Elementes ohne stabiles Isotop [1] und die größte Zahl von McNuggets, die man mit den gängigen Größen 6, 9 und 20 nicht ohne Rest zusammenstellen kann. [2] Die Überlegung ist einfach: Mit 6 und 9 allein kann mann alle durch 3 teilbaren Zahlen erreichen, außer 3 selbst. Mit kein-, ein- oder zweimal 20 sind alle Anzahlen n=3k, n=20+3k und n=40+3k für k≥2 möglich, darunter alle n≥46. Auch 45=5·9 und 44=20+4·6 gehen, nicht jedoch 43: Mit einer oder keiner Zwanziger-Packung müßte 23 bzw. 43 durch 3 teilbar sein. Bleiben zweimal 20. Der Rest 3 aber ist unmöglich. Ganz allgemein ist dieses Problem aber nicht leicht lösbar. [3]
Die Zahl 43 ist nicht nur eine Primzahl, sondern zusammen mit 41 auch ein Primzahlzwilling. Daß es 18 Positionen weiter mit 59 und 61 einen weiteren gibt, ist nicht verwunderlich. Es kommt aber gelegen, daß Promethium mit der Ordnungszahl 61 nach Technetium mit 43 das zweite instabile Element ist. Peter Plichta zählt wie die Römer in Musikermanier 19 Elemente von 43 bis 61, und schon ist er in seinem Denkraster von Primzahlen und 19.
Ansonsten muß man 43 schon suchen. Um sie als ordentliche Figur aus Punkten zu malen, sollte man sie irgendwo unter den figurierten Zahlen finden. Doch macht sie sich rar. Zu den normalen Polygonal- und Pyramidenzahlen gehört sie nicht. Um sie als zentrierte Polygonalzahl zu finden, muß 43-1=42 Vielfaches einer Dreieckszahl sein. Tatsächlich ist 42=2·21=7·6 und 43 damit siebte Zweieckszahl und vierte Siebeneckzahl. Die Figur vom Zweieck will keiner sehen und ein Siebeneck paßt auch schlecht ins Zeilenraster:
Ganz lustig ist auch eine Liste von euklidischen Zahlen, vor allem wegen des Zusammenhanges mit ägyptischen Brüchen. Man beginnt mit 1, fährt mit 1+1=2 fort und multipliziert immer wieder alle bereits gebildeten Zahlen, zu denen dann 1 addiert wird. So ergeben sich 1·2+1=3, 1·2·3+1=7 und bereits als vierte Zahl 1·2·3·7+1=43. Es folgt 1·2·3·7·43+1=1807. Danach werden die Zahlen schnell sehr groß. Als alter Ägypter hätte man 1 als 1/2+1/2 schreiben können, doch wird auf 1/2+1/3=5/6 erniedrigt. Es verbleibt 1/6, das zu 1/7 führt. Sodann fehlt 1/2+1/3+1/7=41/42 noch 1/42 bis zur 1 und es wird 1/43 angefügt, womit man den unendlichen ägyptischen Bruch
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1807 + 1/263443 + ...
erhält. Diese Spielerei soll an Euklid erinnern, der nachwies, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Wären es nämlich nur endlich viele, etwa p1,p2,...,pn, könnte p1·p2·...·pn+1 durch keine Primzahl geteilt und wäre eine weitere. Das darf nicht zu der Hoffnung verleiten, in der Folge 1,2,3,7,43,1807,263443,... seien nur Primzahlen. Schon 1807=13·139 ist keine. Eins natürlich auch nicht. [4]
[1] The 43 Peculiarity. The Big Bang Theory, Fernsehserie, Staffel 6, Folge 8. Text. Sheldon hat 43 groß auf eine Tafel geschrieben. Die Bedeutung bleibt bis zum Schluß unklar. Eine Vermutung war Technetium.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Liste A214777 der McNugget-Zahlen. Oberhalb von 43 sind alle dabei, weshalb es gerechtfertigt ist, 43 „die“ McNugget-Zahl zu nennen.
[3] Wolfram Mathworld. Coin Problem. Dort wird berichtet, daß es nicht einfach, aber ein Lösungsweg für drei Münzen (hier 6,9,20) bekannt ist.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A008578. Man war früher auch anderer Meinung.
42 | 44 | Isotope | uninteressante Zahlen
Die Zahl 43 ist nicht nur eine Primzahl, sondern zusammen mit 41 auch ein Primzahlzwilling. Daß es 18 Positionen weiter mit 59 und 61 einen weiteren gibt, ist nicht verwunderlich. Es kommt aber gelegen, daß Promethium mit der Ordnungszahl 61 nach Technetium mit 43 das zweite instabile Element ist. Peter Plichta zählt wie die Römer in Musikermanier 19 Elemente von 43 bis 61, und schon ist er in seinem Denkraster von Primzahlen und 19.
Ansonsten muß man 43 schon suchen. Um sie als ordentliche Figur aus Punkten zu malen, sollte man sie irgendwo unter den figurierten Zahlen finden. Doch macht sie sich rar. Zu den normalen Polygonal- und Pyramidenzahlen gehört sie nicht. Um sie als zentrierte Polygonalzahl zu finden, muß 43-1=42 Vielfaches einer Dreieckszahl sein. Tatsächlich ist 42=2·21=7·6 und 43 damit siebte Zweieckszahl und vierte Siebeneckzahl. Die Figur vom Zweieck will keiner sehen und ein Siebeneck paßt auch schlecht ins Zeilenraster:
● ● ● ● ○ ● ● ○ ○ ● ○ ● ○ ● ● ● ● ○ ○ ○ ● ● ● ● ○ ● ● ○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ● ● ● ● ● ●43 als vierte zentrierte Heptagonalzahl (png)
Ganz lustig ist auch eine Liste von euklidischen Zahlen, vor allem wegen des Zusammenhanges mit ägyptischen Brüchen. Man beginnt mit 1, fährt mit 1+1=2 fort und multipliziert immer wieder alle bereits gebildeten Zahlen, zu denen dann 1 addiert wird. So ergeben sich 1·2+1=3, 1·2·3+1=7 und bereits als vierte Zahl 1·2·3·7+1=43. Es folgt 1·2·3·7·43+1=1807. Danach werden die Zahlen schnell sehr groß. Als alter Ägypter hätte man 1 als 1/2+1/2 schreiben können, doch wird auf 1/2+1/3=5/6 erniedrigt. Es verbleibt 1/6, das zu 1/7 führt. Sodann fehlt 1/2+1/3+1/7=41/42 noch 1/42 bis zur 1 und es wird 1/43 angefügt, womit man den unendlichen ägyptischen Bruch
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1807 + 1/263443 + ...
erhält. Diese Spielerei soll an Euklid erinnern, der nachwies, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Wären es nämlich nur endlich viele, etwa p1,p2,...,pn, könnte p1·p2·...·pn+1 durch keine Primzahl geteilt und wäre eine weitere. Das darf nicht zu der Hoffnung verleiten, in der Folge 1,2,3,7,43,1807,263443,... seien nur Primzahlen. Schon 1807=13·139 ist keine. Eins natürlich auch nicht. [4]
[1] The 43 Peculiarity. The Big Bang Theory, Fernsehserie, Staffel 6, Folge 8. Text. Sheldon hat 43 groß auf eine Tafel geschrieben. Die Bedeutung bleibt bis zum Schluß unklar. Eine Vermutung war Technetium.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Liste A214777 der McNugget-Zahlen. Oberhalb von 43 sind alle dabei, weshalb es gerechtfertigt ist, 43 „die“ McNugget-Zahl zu nennen.
[3] Wolfram Mathworld. Coin Problem. Dort wird berichtet, daß es nicht einfach, aber ein Lösungsweg für drei Münzen (hier 6,9,20) bekannt ist.
[4] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A008578. Man war früher auch anderer Meinung.
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