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Vier
wuerg, 23.01.2005 00:58
Nicht nur die Zahlen Eins und Drei gelten als heilig, auch die Vier. Warum eigentlich? Als Nachfolger und damit Erhöhung der Drei? Als ein heiliges Dreieck samt Mittenpunkt, evtl. in Form eines Tetraeders? Um 7=3+4 und 12=3·4 als heilig zu rechtfertigen? Schon eher wegen der vier Himmelsrichtungen Norden, Süden, Osten und Westen. [1]
Die vier Jahreszeiten, die vier Phasen des Mondes, die vier Dimensionen des Myers-Briggs-Typindikators [2] oder die vier Elemente würden die Bedeutung der Zahl untermauern, wenn es nicht auch drei oder fünf sein könnten. Tatsächlich fehlte früher der Neumond. Dafür gab es ein geheimes fünftes Element. Gelegen kommen da Adenin, Cytosin, Guanin und Thymin. [3]
Ausschlachtung der vier Elemente (png)
Sehr konstruiert wirken Versuche, die Zahl Vier als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Drei zu sehen. Wenn man den drei Mondphasen zunehmend, voll und abnehmend den Neumond hinzugefügt hat, wenn einem nach den drei Zuständen fest, flüssig und gasförmig das Plasma gerade recht kommt, wenn man die postulierte Dreiheit von Seele, Geist und Körper durch den Willen ergänzt, so ist das alles Ausdruck von Zufall und Beliebigkeit. [4]
Nach dem allgemeinen Schema ist die Vier als gerade Zahl weiblich. Das hindert manche Esoteriker nicht, sie als neutral einzustufen, um sodann ihre außerordentliche Weiblichkeit wegen der vier Phasen des Mondes zu betonen, der wegen des weiblichen Fruchtbarkeitszyklusses ebenfalls weiblich sein müsse. Doch für mein Empfinden einfacher ist die schlichte Tatsache, daß die ungeraden heiligen Zahlen 1 des einen Gottes und 3 der Dreifaltigkeit bereits an die Männer vergeben sind.
Jede Zahl läßt sich als Summe von vier Viereckszahlen (Quadratzahlen) schreiben. Das ist keine Besonderheit der Vier, weil jede Zahl Summe von n n‑Eckzahlen ist. [5] Doch n=4 ist der interessanteste Fall. Er ist besser untersucht und zeitigt die schöneren Ergebnisse. Seine Bedeutung ist nicht nur spielerischer Natur, wenn mir auch keine Anwendung bekannt ist, mit der man Geld sparen oder Freunde finden kann.
Vergnügen bereitete über ein Jahrhundert das Vierfarben-Problem [6], die Frage, ob jede Landkarte mit vier Farben zu färben sei. [7] Viele wollten das bewiesen oder widerlegt haben. Teilweise so gut, daß ihr Denkfehler erst nach Jahren gefunden wurde. Und weit mehr sollen Landkarten gemalt haben, deren Vierfärbung nur mit Mühe oder gar nicht gelang. Schließlich war es Heinrich Heesch, der um die Mitte des vergangenen Jahrhunderts (mit anderen) das Problem auf endlich viele Fälle reduzierte. Damit war das Vierfarben-Problem gelöst, wenn auch noch nicht entschieden und bewiesen. Dazu bedurfte es einer weiteren Reduktion der verbliebenen Fälle und wachsender Rechenkraft. [8]
[1] Im Osten geht die Sonne auf, nach Süden nimmt sie ihren Lauf, im Westen will sie untergehn, im Norden ist sie nie zu sehn.
[2] Ich bin ENTJ.
[3] Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach ‒ ein Endloses Geflochtenes Band. Klett-Cotta, 5. Auflage, 1985, S. 540ff. Wenn dort eine Beziehung der DNS zum Rest der Welt hergestellt wird, hat das eine ganz andere Qualität als die übliche Spintisiererei.
[4] Ein viertes Kleeblatt ist nicht erfunden, sondern nur selten. Glück bringt es nicht.
[5] Cauchy 1815, für n=3 Legendre 1798 und n=4 Lagrange 1770.
[6] Wenn ein mathematisches Problem gelöst oder eine Vermutung bestätigt ist, wird sie normalerweise als Satz bezeichnet. So auch hier. Doch irgendwie ist Problem schöner.
[7] Natürlich muß eine solche Aufgabenstellung präzisiert werden, soll Spitzfindigkeit und Sprachkritik vermieden werden: Gebiete müssen einfarbig sein und bei gemeinsamer Grenze verschiedene Farben haben, isolierte Punkte zählen nicht als Grenze, Exklaven gibt es nicht. Besser gleich: Können die Knoten eines jeden planaren Graphen derart mit vier Farben gefärbt werden, daß keine zwei gleicher Farbe durch eine Kante verbunden sind?
[8] Nicht jeder anerkannte den nachfolgenden Computerbeweis. Doch sind solche Kontroversen nicht neu. Gibt es Unendlichkeit, neben wahr und falsch nochwas, müssen Beweise konstruktiv sein? Und was ich selbst miterlebte: Haben probabilistische Primzahltests einen zahlentheoretischen Wert?
3 | 5 | Quadratzahlen | Vierteilung | Viererbande | Zahlgeschlecht
Die vier Jahreszeiten, die vier Phasen des Mondes, die vier Dimensionen des Myers-Briggs-Typindikators [2] oder die vier Elemente würden die Bedeutung der Zahl untermauern, wenn es nicht auch drei oder fünf sein könnten. Tatsächlich fehlte früher der Neumond. Dafür gab es ein geheimes fünftes Element. Gelegen kommen da Adenin, Cytosin, Guanin und Thymin. [3]
feucht trocken
+--------------------+--------------------+
| NO Sommer ♠ | ♣ Herbst SO | 1 2 3 4
w | O Geist ♒ | ♐ Seele S | Nummer der Sphäre
a | Sanguiniker ♎ | ♌ Choleriker |
r | rotes Blut ♊ | ♈ gelbe Galle | ▽ ▽ △ △
m | Oktaeder △ | △ Tetraeder | Zeichen der Alchemie
| gelb Luft 3 | 4 Feuer rot |
+--------------------+--------------------+ ♉ ♋ ♊ ♈
| blau Wasser 2 | 1 Erde grün | ♍ ♏ ♎ ♌
k | Icoseader ▽ | ▽ Hexaeder | ♑ ♓ ♒ ♐
a | weißer Schleim ♋ | ♉ schwarze Galle | Tierkreiszeichen
l | Phlegmatiker ♏ | ♍ Melancholiker |
t | W Verstand ♓ | ♑ Körper N | ♦ ♥ ♠ ♣
| SW Frühling ♥ | ♦ Winter NW | Spielkartenfarbe
+--------------------+--------------------+
Aristotelische, mittelalterliche, esoterische, dekorativeAusschlachtung der vier Elemente (png)
Sehr konstruiert wirken Versuche, die Zahl Vier als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Drei zu sehen. Wenn man den drei Mondphasen zunehmend, voll und abnehmend den Neumond hinzugefügt hat, wenn einem nach den drei Zuständen fest, flüssig und gasförmig das Plasma gerade recht kommt, wenn man die postulierte Dreiheit von Seele, Geist und Körper durch den Willen ergänzt, so ist das alles Ausdruck von Zufall und Beliebigkeit. [4]
Nach dem allgemeinen Schema ist die Vier als gerade Zahl weiblich. Das hindert manche Esoteriker nicht, sie als neutral einzustufen, um sodann ihre außerordentliche Weiblichkeit wegen der vier Phasen des Mondes zu betonen, der wegen des weiblichen Fruchtbarkeitszyklusses ebenfalls weiblich sein müsse. Doch für mein Empfinden einfacher ist die schlichte Tatsache, daß die ungeraden heiligen Zahlen 1 des einen Gottes und 3 der Dreifaltigkeit bereits an die Männer vergeben sind.
Jede Zahl läßt sich als Summe von vier Viereckszahlen (Quadratzahlen) schreiben. Das ist keine Besonderheit der Vier, weil jede Zahl Summe von n n‑Eckzahlen ist. [5] Doch n=4 ist der interessanteste Fall. Er ist besser untersucht und zeitigt die schöneren Ergebnisse. Seine Bedeutung ist nicht nur spielerischer Natur, wenn mir auch keine Anwendung bekannt ist, mit der man Geld sparen oder Freunde finden kann.
Vergnügen bereitete über ein Jahrhundert das Vierfarben-Problem [6], die Frage, ob jede Landkarte mit vier Farben zu färben sei. [7] Viele wollten das bewiesen oder widerlegt haben. Teilweise so gut, daß ihr Denkfehler erst nach Jahren gefunden wurde. Und weit mehr sollen Landkarten gemalt haben, deren Vierfärbung nur mit Mühe oder gar nicht gelang. Schließlich war es Heinrich Heesch, der um die Mitte des vergangenen Jahrhunderts (mit anderen) das Problem auf endlich viele Fälle reduzierte. Damit war das Vierfarben-Problem gelöst, wenn auch noch nicht entschieden und bewiesen. Dazu bedurfte es einer weiteren Reduktion der verbliebenen Fälle und wachsender Rechenkraft. [8]
[1] Im Osten geht die Sonne auf, nach Süden nimmt sie ihren Lauf, im Westen will sie untergehn, im Norden ist sie nie zu sehn.
[2] Ich bin ENTJ.
[3] Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach ‒ ein Endloses Geflochtenes Band. Klett-Cotta, 5. Auflage, 1985, S. 540ff. Wenn dort eine Beziehung der DNS zum Rest der Welt hergestellt wird, hat das eine ganz andere Qualität als die übliche Spintisiererei.
[4] Ein viertes Kleeblatt ist nicht erfunden, sondern nur selten. Glück bringt es nicht.
[5] Cauchy 1815, für n=3 Legendre 1798 und n=4 Lagrange 1770.
[6] Wenn ein mathematisches Problem gelöst oder eine Vermutung bestätigt ist, wird sie normalerweise als Satz bezeichnet. So auch hier. Doch irgendwie ist Problem schöner.
[7] Natürlich muß eine solche Aufgabenstellung präzisiert werden, soll Spitzfindigkeit und Sprachkritik vermieden werden: Gebiete müssen einfarbig sein und bei gemeinsamer Grenze verschiedene Farben haben, isolierte Punkte zählen nicht als Grenze, Exklaven gibt es nicht. Besser gleich: Können die Knoten eines jeden planaren Graphen derart mit vier Farben gefärbt werden, daß keine zwei gleicher Farbe durch eine Kante verbunden sind?
[8] Nicht jeder anerkannte den nachfolgenden Computerbeweis. Doch sind solche Kontroversen nicht neu. Gibt es Unendlichkeit, neben wahr und falsch nochwas, müssen Beweise konstruktiv sein? Und was ich selbst miterlebte: Haben probabilistische Primzahltests einen zahlentheoretischen Wert?
3 | 5 | Quadratzahlen | Vierteilung | Viererbande | Zahlgeschlecht
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Heilige Zahlen
wuerg, 21.01.2005 12:21
Die Heiligsprechung einer Zahl erfordert mit zunehmender Größe eine immer bessere Begründung. Mit der 1 und der 3, die für den (drei)einen Gott stehen, gibt es noch keine Probleme. Die 2 fällt durch, denn zwischen 1 und 3 kann kaum eine weitere heilige Zahl stehen. Außerdem spielt der durch sie repräsentierte Dualismus im Abendland keine bedeutende Rolle. Und die 0 ist nichts, also auch nicht heilig.
Zur Gewinnung heiliger Zahlen nutzen manche eine geschlechtliche Vererbung durch Addition und Multiplikation. So entsteht zunächst die 4 aus 1+3. Ich sehe nicht, was an ihr heilig sein soll, auch wenn ich kein Chinese bin. Sie wird aber benötigt, um weiter aufsteigen zu können:
3+4 = 7
3·4 = 12
Das ist doch wunderbar, denn die herausragende Bedeutung der 7 Tage einer Woche und der 12 Monate eines Jahres läßt sich nicht leugnen. Und in der Bibel kommen beide massenhaft vor. Auch 4+4=8 gilt als gut, doch 3+3=6 als Zahl des Menschen weniger. Nun geht es munter weiter. Aus den beiden ersten Generationen entsteht die dritte:
3+7 = 10
7+12 = 19
4·7 = 28
7·7 = 49
7·12 = 84
12·12 = 144
Natürlich wären auch 4+7=11 und 7+7=14 mögliche Nachfahren, doch überleben nicht alle, nur die genehmen. Ich persönlich sehe in der 10 keine Heiligkeit. Ihr Vorkommen beruht einzig auf unserer dezimalen Zahldarstellung. Die 19 mag vielen fremd vorkommen, doch manche sehen sie massenhaft im Koran. In 28 erkenne ich nichts von Heiligkeit. Man kann in ihr die vier Wochen eines Monats sehen. Auch ist sie eine vollkommene Zahl. Doch das ist die 6 ebenfalls. Die 84 mag für die 12 Lebensabschnitte zu 7 Jahren stehen. Diese Umlaufzeit des Uranus finde ich bemerkenswert, aber nicht heilig.
Anders ist es schon mit 144, vor allem in der Vertausendfachung als der Zahl der Logenplätze im Himmel. Damit sind wir bei einer weiteren Art der Fortpflanzung, der ungeschlechtlichen Vermehrung. Man kann nicht nur drei Nullen anhängen, es reicht auch eine. Und sehr beliebt ist die Verdreifachung der Ziffern, manchmal auch die Verdoppelung. So entstehen
2 mal 3 → 33
3 mal 7 → 777
10·7 = 70
1000·144 = 144000
Auf diese Art und Weise findet man zu jeder Zahl etwas. So steht 8880 für Christus, was sich aus 888 wie Jesus ableitet, und das aus der 8, die eigenständig oder wegen 8=4+4 bzw. 8=2+2+2 als gut, wenn nicht mehr gilt. Diese Inflation gefällt mir nicht. Mir reichen 1, 3, 7 und 12 als bedeutsam in unserer abendländischen Kultur.
1 | 3 | 7 | 12 | 84
Zur Gewinnung heiliger Zahlen nutzen manche eine geschlechtliche Vererbung durch Addition und Multiplikation. So entsteht zunächst die 4 aus 1+3. Ich sehe nicht, was an ihr heilig sein soll, auch wenn ich kein Chinese bin. Sie wird aber benötigt, um weiter aufsteigen zu können:
3+4 = 7
3·4 = 12
Das ist doch wunderbar, denn die herausragende Bedeutung der 7 Tage einer Woche und der 12 Monate eines Jahres läßt sich nicht leugnen. Und in der Bibel kommen beide massenhaft vor. Auch 4+4=8 gilt als gut, doch 3+3=6 als Zahl des Menschen weniger. Nun geht es munter weiter. Aus den beiden ersten Generationen entsteht die dritte:
3+7 = 10
7+12 = 19
4·7 = 28
7·7 = 49
7·12 = 84
12·12 = 144
Natürlich wären auch 4+7=11 und 7+7=14 mögliche Nachfahren, doch überleben nicht alle, nur die genehmen. Ich persönlich sehe in der 10 keine Heiligkeit. Ihr Vorkommen beruht einzig auf unserer dezimalen Zahldarstellung. Die 19 mag vielen fremd vorkommen, doch manche sehen sie massenhaft im Koran. In 28 erkenne ich nichts von Heiligkeit. Man kann in ihr die vier Wochen eines Monats sehen. Auch ist sie eine vollkommene Zahl. Doch das ist die 6 ebenfalls. Die 84 mag für die 12 Lebensabschnitte zu 7 Jahren stehen. Diese Umlaufzeit des Uranus finde ich bemerkenswert, aber nicht heilig.
Anders ist es schon mit 144, vor allem in der Vertausendfachung als der Zahl der Logenplätze im Himmel. Damit sind wir bei einer weiteren Art der Fortpflanzung, der ungeschlechtlichen Vermehrung. Man kann nicht nur drei Nullen anhängen, es reicht auch eine. Und sehr beliebt ist die Verdreifachung der Ziffern, manchmal auch die Verdoppelung. So entstehen
2 mal 3 → 33
3 mal 7 → 777
10·7 = 70
1000·144 = 144000
Auf diese Art und Weise findet man zu jeder Zahl etwas. So steht 8880 für Christus, was sich aus 888 wie Jesus ableitet, und das aus der 8, die eigenständig oder wegen 8=4+4 bzw. 8=2+2+2 als gut, wenn nicht mehr gilt. Diese Inflation gefällt mir nicht. Mir reichen 1, 3, 7 und 12 als bedeutsam in unserer abendländischen Kultur.
1 | 3 | 7 | 12 | 84
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Drei
wuerg, 20.01.2005 00:54
Mit Dreien wird alles kompliziert. Einer steht fast immer in der Mitte oder am Rand. Ab drei kann eine Reihenfolge zu sehen sein, deren Fortsetzung ins Unendliche weist. Drei Punkte deuten dies an. Drei überfordert uns noch nicht, auch wenn nicht jeder über eine dreidimensionale Vorstellung verfügt und ihm Vater, Sohn und Heiliger Geist zuviele sind. Doch nicht zuletzt deshalb ist die Drei eine heilige Zahl.
Die Drei läßt sich als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Zwei sehen. Normalerweise sind auch Paare durch die Reihenfolge ihrer Nennung (Mann und Frau), ihre Numerierung (zum einen und zum anderen) oder Reihenfolge (Vergangenheit und Zukunft) angeordnet, doch eine Dreiergruppe macht deutlicher, in welche Richtung gedacht wird, an Fortpflanzung (Mann, Frau, Kind), Gruppenbildung (Mann, Frau, Familie), Überhöhung (Mann, Frau, Jesus), Abgrenzung (Vergangenheit, Gegenwart, Zukunft), an eine endlose Folge (1,2,3,…) oder einen Restbestand (männlich, weiblich, divers).
Die Dreizahl scheint dem Menschen zu liegen, in Esoterik [1], Märchen, Witzen, Religion, bei freien Wünschen und Schnapszahlen. Aller guten Dinge sind drei, Gold, Silber, Bronze, schnick, schnack, schnuck, bei Issos Keilerei, auf die Plätze, fertig, los. Drei Dinge braucht der Mann [2], Frauen sollten bei drei auf dem Baum sein, manche können nicht bis drei zählen.
Die Suche nach Bedeutungen kennt keine Hemmungen. Ein Beispiel: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad und die 18 ist eine Versechsfachung der 3. Das ist natürlich in mehrfacher Hinsicht albern: Es wird so getan, als seien Weglassung der Null, Versechsfachung und Teilung des Kreises in 360 Grad gottgegebene oder gar natürliche Operationen. Dabei hat es die Drei als kleine und schöne Zahl gar nicht nötig, in eine Überlegung reingesteckt zu werden, um am Ende herauszukommen.
Willkürliche Zuordnungen können Jahrtausende überdauern, in Stein gemeißelt sind sie dennoch nicht. Im Monotheismus angekommen ging es wieder herauf zur Dreifaltigkeit, von der Naßrasur zum Dreitagebart, vom Tetrachord herunter zum Dreiklang. Doch hat die Drei auch Verluste zu beklagen. Der Neumond erhöhte auf vier Mondphasen, die Dreigangschaltung verlor an die Sechs und droht im Unendlichen zu verschwinden.
Wer regelmäßig „Bares für Rares“ sieht, kennt den Trick, die Gebote gegen Ende noch etwas mit der Bemerkung in die Höhe zu treiben, man müsse den Erlös mit zwei anderen teilen. Da ist es vorteilhaft, in der Schule gelernt zu haben, daß eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme es ist. Dazu gehören alle dreistelligen Schnapszahlen 111 bis 999. Sie weisen auch den Faktor 37 auf, denn 111=3⋅37. Ich hatte dereinst die Schlüsselnummer 111. Der Pförtner sagte: Dreimal die eins. Und ich antworte: Nein, dreimal siebenunddreißig.
Ein anderes Kaliber hat die Tatsache, daß jede Zahl Summe dreier Dreieckszahlen ist. [3] Bewiesen hat dies Adrien-Marie Legendre. [4] Für kleine Zahlen findet man schnell eine Zerlegung, zumeist reicht es, die größtmögliche Dreieckszahl abzuknapsen und den Rest durch zwei Summanden darzustellen. Deutlich nerviger ist es, alle Zerlegungen zu finden. [5]
Schön ist auch die von Vera Sos (und anderen) bewiesene Vermutung von Hugo Steinhaus, die nunmehr Drei-Abstands-Satz heißt: Schneidet man eine Kreislinie an den Stellen 0,φ,2φ,3φ,...,(n-1)φ durch, so entstehen Teilstücke in höchstens drei verschiedenen Längen. Paradebeispiel ist die Teilung der Oktave (2π) in Quinten (φ=ld(3/2)⋅2π≈211°). Bei n=4 sind es erstmalig drei verschiede Längen. Zwei Teilstücke entsprechen dem großen Ganzton (9/8), die beiden anderen der Quarte (4/3) und der pythagoreischen kleinen Terz (32/27). Bei n=5,7,12,17,29,41,53,… verbleiben nur zwei Intervalle. [6] Fünf-, Sieben- und Zwölftonmusik sind also keine Willkür.
[1] Wie hätten sich Spinner früherer Jahrhunderte gefreut, wären ihnen bereits die Quarks bekannt gewesen, ohne deren Dreierverbünde die uns bekannte Welt nicht existierte.
[2] Feuer, Pfeife, Stanwell. Manche vereinfachen auf girls, girls, girls.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Dreieckszahlen A000217.
[4] Fermat kritzelte auch das an den Rand, blieb den angekündigten Beweis aber ebenfalls schuldig. Gauß schrieb zwar ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ins Tagebuch, doch die Ehre des ersten Beweises gebührt Legendre.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Ed Pegg erinnert in seiner Liste A061262 der kleinsten Dreieckszahlen, die auf genau n-fache Weise als Summe dreier Dreieckszahlen dargestellt werden können, an Carl Friedrich Gauß mit den Worten: If at first you do not succeed, tri + tri + tri again.
[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Beste pythagoreische Teilungen der Oktave A005664.
2 | 4 | 6 | 37 | 53 | 666 | Dreieckszahlen | Teilbarkeitsregeln | heilige Zahlen
Die Drei läßt sich als Erhöhung, Ergänzung oder Fortführung der Zwei sehen. Normalerweise sind auch Paare durch die Reihenfolge ihrer Nennung (Mann und Frau), ihre Numerierung (zum einen und zum anderen) oder Reihenfolge (Vergangenheit und Zukunft) angeordnet, doch eine Dreiergruppe macht deutlicher, in welche Richtung gedacht wird, an Fortpflanzung (Mann, Frau, Kind), Gruppenbildung (Mann, Frau, Familie), Überhöhung (Mann, Frau, Jesus), Abgrenzung (Vergangenheit, Gegenwart, Zukunft), an eine endlose Folge (1,2,3,…) oder einen Restbestand (männlich, weiblich, divers).
Die Dreizahl scheint dem Menschen zu liegen, in Esoterik [1], Märchen, Witzen, Religion, bei freien Wünschen und Schnapszahlen. Aller guten Dinge sind drei, Gold, Silber, Bronze, schnick, schnack, schnuck, bei Issos Keilerei, auf die Plätze, fertig, los. Drei Dinge braucht der Mann [2], Frauen sollten bei drei auf dem Baum sein, manche können nicht bis drei zählen.
Die Suche nach Bedeutungen kennt keine Hemmungen. Ein Beispiel: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 Grad und die 18 ist eine Versechsfachung der 3. Das ist natürlich in mehrfacher Hinsicht albern: Es wird so getan, als seien Weglassung der Null, Versechsfachung und Teilung des Kreises in 360 Grad gottgegebene oder gar natürliche Operationen. Dabei hat es die Drei als kleine und schöne Zahl gar nicht nötig, in eine Überlegung reingesteckt zu werden, um am Ende herauszukommen.
Willkürliche Zuordnungen können Jahrtausende überdauern, in Stein gemeißelt sind sie dennoch nicht. Im Monotheismus angekommen ging es wieder herauf zur Dreifaltigkeit, von der Naßrasur zum Dreitagebart, vom Tetrachord herunter zum Dreiklang. Doch hat die Drei auch Verluste zu beklagen. Der Neumond erhöhte auf vier Mondphasen, die Dreigangschaltung verlor an die Sechs und droht im Unendlichen zu verschwinden.
Wer regelmäßig „Bares für Rares“ sieht, kennt den Trick, die Gebote gegen Ende noch etwas mit der Bemerkung in die Höhe zu treiben, man müsse den Erlös mit zwei anderen teilen. Da ist es vorteilhaft, in der Schule gelernt zu haben, daß eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme es ist. Dazu gehören alle dreistelligen Schnapszahlen 111 bis 999. Sie weisen auch den Faktor 37 auf, denn 111=3⋅37. Ich hatte dereinst die Schlüsselnummer 111. Der Pförtner sagte: Dreimal die eins. Und ich antworte: Nein, dreimal siebenunddreißig.
Ein anderes Kaliber hat die Tatsache, daß jede Zahl Summe dreier Dreieckszahlen ist. [3] Bewiesen hat dies Adrien-Marie Legendre. [4] Für kleine Zahlen findet man schnell eine Zerlegung, zumeist reicht es, die größtmögliche Dreieckszahl abzuknapsen und den Rest durch zwei Summanden darzustellen. Deutlich nerviger ist es, alle Zerlegungen zu finden. [5]
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Die ersten sieben Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 (png)Schön ist auch die von Vera Sos (und anderen) bewiesene Vermutung von Hugo Steinhaus, die nunmehr Drei-Abstands-Satz heißt: Schneidet man eine Kreislinie an den Stellen 0,φ,2φ,3φ,...,(n-1)φ durch, so entstehen Teilstücke in höchstens drei verschiedenen Längen. Paradebeispiel ist die Teilung der Oktave (2π) in Quinten (φ=ld(3/2)⋅2π≈211°). Bei n=4 sind es erstmalig drei verschiede Längen. Zwei Teilstücke entsprechen dem großen Ganzton (9/8), die beiden anderen der Quarte (4/3) und der pythagoreischen kleinen Terz (32/27). Bei n=5,7,12,17,29,41,53,… verbleiben nur zwei Intervalle. [6] Fünf-, Sieben- und Zwölftonmusik sind also keine Willkür.
[1] Wie hätten sich Spinner früherer Jahrhunderte gefreut, wären ihnen bereits die Quarks bekannt gewesen, ohne deren Dreierverbünde die uns bekannte Welt nicht existierte.
[2] Feuer, Pfeife, Stanwell. Manche vereinfachen auf girls, girls, girls.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Dreieckszahlen A000217.
[4] Fermat kritzelte auch das an den Rand, blieb den angekündigten Beweis aber ebenfalls schuldig. Gauß schrieb zwar ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ins Tagebuch, doch die Ehre des ersten Beweises gebührt Legendre.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Ed Pegg erinnert in seiner Liste A061262 der kleinsten Dreieckszahlen, die auf genau n-fache Weise als Summe dreier Dreieckszahlen dargestellt werden können, an Carl Friedrich Gauß mit den Worten: If at first you do not succeed, tri + tri + tri again.
[6] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Beste pythagoreische Teilungen der Oktave A005664.
2 | 4 | 6 | 37 | 53 | 666 | Dreieckszahlen | Teilbarkeitsregeln | heilige Zahlen
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Zwei
wuerg, 17.01.2005 17:39
Wie null für nichts, eins für das Individuum, so steht zwei für ein Paar, wie es allenthalben vorkommt, insbesondere als Gegensatz wie Gut und Böse, Mann und Frau, Kaffee und Tee. Zu zweit ist die Welt noch überschaubar, das Zwei-Körper-Problem ist noch lösbar. Mehr gibt es kaum zu sagen, lebten wir nicht zunehmend in einer Zeit, da man zur Effekthascherei neigt, aus billigem Eigeninteresse alles infrage stellt und in der Zwei überholtes binäres Denken sieht. Wenn zwei nicht eine Schublade zuviel sind, dann deutlich zuwenig. Deshalb erlaube ich mir ein paar Abschweifungen:
Eins und eins ist zwei. So haben wir es in der vom weißen Mann dominierten Schule gelernt. Wenn in einer anderen Ethnie null *, eins $, plus ? und gleich 7 wäre und das Ergebnis nicht nur mündlich von Generation zu Generation überliefert oder in eine Felswand gehauen, sondern auf Papier links neben die Rechenvorschrift in umgekehrter polnischer Notation geschrieben oder wie in diesem HTML-File an einer geeignet kleineren Adresse gespeichert würde, dann könnte zwei als % geschrieben oder durch $$$***$*$**$$*$*$*$**$** kodiert sein und im Einklang mit der Gefühlswelt des Schreibenden $$?7% gelten. Wenn die Befindlichkeit zusätzlich *7$$? und/oder %7* erfordert, darf das zu keiner Kritik Anlaß geben: Man verbietet einfach die Division des weißen Mannes oder töpfert sich eine neue, die auch durch * geht. [1]
Was kann man sonst noch zur Zwei berichten? Die Wikipedia erwähnt ihre Lage zwischen eins und drei. Außerdem sei sie nicht nur die kleinste, sondern auch noch die einzige gerade Primzahl. Keiner anderen folgt sofort eine weitere. Und jetzt kommt es: „Alle geraden Zahlen sind durch zwei teilbar.“ [2] Würde ab der 0 oder 3 jede dritte Zahl terade heißen, dann wären alle teraden Zahlen durch 3 teilbar und 3 die einzige terade Primzahl. Ich gebe aber zu, daß gerade im Vergleich zu terade die wichtigere Eigenschaft und deshalb keine von mir erfundene Bezeichnung ist, denn Divisionen durch 2 kommen wesentlich häufiger vor als solche durch 3. Zum Beispiel bei der Mittelwertbildung (x+y)/2. Dann sollte 2 ungleich 0 sein. Andernfalls muß man die Charakteristik 2 außen vor lassen.
Im Anschluß geht es in der Wikipedia nur noch um Herkunft, Sprache und Zweiheiten: Himmel und Hölle, gut und böse, Yin und Yang, Polarität, Dual, Pluraliatantum, beide, Paare, Sekunden, Zwieback und die geschlechtsspezifische Deklination: Zween Männer, zwo Frauen, zwei Kinder. [3] Vielleicht sollten Feminist(en/innen) die zwo aus einer Zeit, da man noch Telefonnummern memorierte, für sich entdecken und für alle verbindlich vorschreiben, solange die neuzeitliche Vorstellung zweier (nicht zweener oder zwoer) Geschlechter nicht dekonstruiert ist. [4] Bis dahin muß man sich nicht entscheiden, kann beides haben: Elektro und Benzin, be hybrid!
Tag und Nacht, Sommer und Winter, Auf- und Untergang, Ost und West vermerkt die Wikipedia unter der Rubrik Astronomie. Zur Physik gilt es nur die magische Zahl 2 zu vermelden. Aber immerhin wird Symmetrie nicht nur im Menschen, sondern in allen Wirbeltieren, ja allen Bilateria gesehen. Gibt es die nicht exakter auch anderswo? Und warum vertauscht der Spiegel links und rechts, nicht aber oben und unten?
Das Binärsystem sei von Leibniz erfunden worden. Und wo wurde das Dezimalsystem entdeckt? Das ist zumindest rudimentär seit Jahrtausenden bekannt. Irgendwann nahm es mit den zehn Ziffern die heutige Gestalt an, ob mit Dezimalkomma oder -punkt. Einen Erfinder wird es nicht gegeben haben. Auch das Binärsystem ist als Grundgedanke sicherlich älter als Tri- oder Hexagramme oder die möglicherweise erste bekannte Beschreibung durch Pingala im alten Indien. Zweiteilung und Verdoppelung waren schon lange üblich, besonders bei Maßen und Gewichten. Schon vor 5000 Jahren hatte der Fuß 16 Finger. [5]
In der Wikipedia unerwähnt bleiben so schöne Wörter wie anderthalb. Wie die für Esoteriker weibliche Zwei aus der männlichen Eins entsteht, indem Adam eine Eva aus den Rippen geschnitten wurde, so ist bei vielen Paaren klar, wer die erste, das eine und wer der zweite, die andere ist: Anfang und Ende, Mann und Frau, Kind und Kegel, Geld oder Leben, Kopf oder Zahl, Dick und Dünn, alt und neu, auf und ab, aber ab und zu, hin und her, cis und trans, Dur und moll, ich und mein Alter. Benötigt man vom ersten nur die Hälfte, ist es einhalb. Ist auch vom zweiten die Hälfte erforderlich, heißt es anderthalb, nicht zweihalb oder zweithalb. [6] Der andere erlebt gerade seine Blüte und neigt zu überheblicher Großschreibung. [7] Anderssein ist ganz wichtig, für ungetrübte Zweisamkeit gibt es keine Opferpunkte.
Beinahe hätte ich auch Tag und Nacht, links und rechts sowie wahr und falsch gelistet. Doch legen andere Völker und Religionen den Abend und die Nacht vor den Tag, wovon uns nur die Vorabende Halloween, Heiligabend und Silvester geblieben sind. Auch schreiben viele Menschen von rechts nach links, wenn nicht von oben nach unten. Und mein Beitrag zur Dekonstruktion des Binären: Falsch ist nicht der duale Partner von wahr. Die Logik kennt nur wahre Aussagen. Alle anderen sind unsinnig, unentscheidbar und werden falsch genannt, wenn ihre Negation wahr ist. Eine falsche Aussage A wird nie als A sondern immer als „nicht A“, non A, ¬A, A [8] oder „A ist falsch“ notiert. Eine Dualität ist nicht durchgängig vorhanden, kann aber zur Grundlage weißen Mannesdenkens stilisiert selbst dann der Non-Binär-Mafia noch Nahrung geben, wenn Geschlechter und Ehe schon lange verschwunden sind.
[1] Der rassismusfrei, aber dennoch stringent denkende Leser wird hoffentlich mit mir, einem alten weißen cis‑Mann übereinstimmen und sagen: Dieser Alien-Kram ist zwar schwer zu lesen und zu verstehen, doch mit leichten Vorkenntnissen und Geduld geht es, und es kommt heraus, was wir immer schon wußten: Eins und eins ist zwei.
[2] Ich kann mir vorstellen, daß in allgemeineren Strukturen, unter Außerirdischen oder fremden Ethnien bereits in der dritten Klasse allgemeiner definiert wird und die Aussage, alle geraden Zahlen seien durch zwei teilbar, keine Wiederholung der Definition, sondern ein tiefliegender Satz ist. Mehr noch: Alle ungeraden Zahlen sind nicht durch zwei teilbar. Und auch die Umkehrungen gelten: Alle (nicht) durch zwei teilbaren Zahlen sind (un)gerade.
[3] Was ein Deklinationsaufwand aus einer Zeit, da es weder lecker Salat, noch lecker Suppe oder lecker Schnitzel gab.
[4] Was ein Glück für die Männer, daß die normalen bestimmten substantivierten Ordinalzahlwörter weiblich sind. Der Null würde das abrunden.
[5] Noch heute: digit–palm–shaftment–foot, inch–stick–hand, nail–span–cubit–yard–fathom.
[6] Für schlichte Gemüter auch eineinhalb. Dritthalb, vierthalb usw. sagt man leider nicht mehr, aber immer noch dreiviertel Sechs und halb Zwei, nicht halb Ander, weil es ja weitergeht, nicht mit der zweiten Stunde endet.
[7] Leider wird der einzelne nicht mehr klein geschrieben. Das bedeutet nichts für den anderen, allenfalls für den Andernen, Zuzweitnen oder Paarweisnen, weckt aber Begehrlichkeiten. Und Manche werden nicht ruhen, bis nur noch der eine oder Andere der alten Rechtschreibung anhängt.
[8] Fehlt der Strich über dem A, so hat die Text-Dekoration wohl nicht versagt, sondern wurde einfach ignoriert.
1 | 3 | 128 | Zahlgeschlecht | Symmeterieargument | Ethnomathematik
Eins und eins ist zwei. So haben wir es in der vom weißen Mann dominierten Schule gelernt. Wenn in einer anderen Ethnie null *, eins $, plus ? und gleich 7 wäre und das Ergebnis nicht nur mündlich von Generation zu Generation überliefert oder in eine Felswand gehauen, sondern auf Papier links neben die Rechenvorschrift in umgekehrter polnischer Notation geschrieben oder wie in diesem HTML-File an einer geeignet kleineren Adresse gespeichert würde, dann könnte zwei als % geschrieben oder durch $$$***$*$**$$*$*$*$**$** kodiert sein und im Einklang mit der Gefühlswelt des Schreibenden $$?7% gelten. Wenn die Befindlichkeit zusätzlich *7$$? und/oder %7* erfordert, darf das zu keiner Kritik Anlaß geben: Man verbietet einfach die Division des weißen Mannes oder töpfert sich eine neue, die auch durch * geht. [1]
Was kann man sonst noch zur Zwei berichten? Die Wikipedia erwähnt ihre Lage zwischen eins und drei. Außerdem sei sie nicht nur die kleinste, sondern auch noch die einzige gerade Primzahl. Keiner anderen folgt sofort eine weitere. Und jetzt kommt es: „Alle geraden Zahlen sind durch zwei teilbar.“ [2] Würde ab der 0 oder 3 jede dritte Zahl terade heißen, dann wären alle teraden Zahlen durch 3 teilbar und 3 die einzige terade Primzahl. Ich gebe aber zu, daß gerade im Vergleich zu terade die wichtigere Eigenschaft und deshalb keine von mir erfundene Bezeichnung ist, denn Divisionen durch 2 kommen wesentlich häufiger vor als solche durch 3. Zum Beispiel bei der Mittelwertbildung (x+y)/2. Dann sollte 2 ungleich 0 sein. Andernfalls muß man die Charakteristik 2 außen vor lassen.
Im Anschluß geht es in der Wikipedia nur noch um Herkunft, Sprache und Zweiheiten: Himmel und Hölle, gut und böse, Yin und Yang, Polarität, Dual, Pluraliatantum, beide, Paare, Sekunden, Zwieback und die geschlechtsspezifische Deklination: Zween Männer, zwo Frauen, zwei Kinder. [3] Vielleicht sollten Feminist(en/innen) die zwo aus einer Zeit, da man noch Telefonnummern memorierte, für sich entdecken und für alle verbindlich vorschreiben, solange die neuzeitliche Vorstellung zweier (nicht zweener oder zwoer) Geschlechter nicht dekonstruiert ist. [4] Bis dahin muß man sich nicht entscheiden, kann beides haben: Elektro und Benzin, be hybrid!
Tag und Nacht, Sommer und Winter, Auf- und Untergang, Ost und West vermerkt die Wikipedia unter der Rubrik Astronomie. Zur Physik gilt es nur die magische Zahl 2 zu vermelden. Aber immerhin wird Symmetrie nicht nur im Menschen, sondern in allen Wirbeltieren, ja allen Bilateria gesehen. Gibt es die nicht exakter auch anderswo? Und warum vertauscht der Spiegel links und rechts, nicht aber oben und unten?
Das Binärsystem sei von Leibniz erfunden worden. Und wo wurde das Dezimalsystem entdeckt? Das ist zumindest rudimentär seit Jahrtausenden bekannt. Irgendwann nahm es mit den zehn Ziffern die heutige Gestalt an, ob mit Dezimalkomma oder -punkt. Einen Erfinder wird es nicht gegeben haben. Auch das Binärsystem ist als Grundgedanke sicherlich älter als Tri- oder Hexagramme oder die möglicherweise erste bekannte Beschreibung durch Pingala im alten Indien. Zweiteilung und Verdoppelung waren schon lange üblich, besonders bei Maßen und Gewichten. Schon vor 5000 Jahren hatte der Fuß 16 Finger. [5]
In der Wikipedia unerwähnt bleiben so schöne Wörter wie anderthalb. Wie die für Esoteriker weibliche Zwei aus der männlichen Eins entsteht, indem Adam eine Eva aus den Rippen geschnitten wurde, so ist bei vielen Paaren klar, wer die erste, das eine und wer der zweite, die andere ist: Anfang und Ende, Mann und Frau, Kind und Kegel, Geld oder Leben, Kopf oder Zahl, Dick und Dünn, alt und neu, auf und ab, aber ab und zu, hin und her, cis und trans, Dur und moll, ich und mein Alter. Benötigt man vom ersten nur die Hälfte, ist es einhalb. Ist auch vom zweiten die Hälfte erforderlich, heißt es anderthalb, nicht zweihalb oder zweithalb. [6] Der andere erlebt gerade seine Blüte und neigt zu überheblicher Großschreibung. [7] Anderssein ist ganz wichtig, für ungetrübte Zweisamkeit gibt es keine Opferpunkte.
Beinahe hätte ich auch Tag und Nacht, links und rechts sowie wahr und falsch gelistet. Doch legen andere Völker und Religionen den Abend und die Nacht vor den Tag, wovon uns nur die Vorabende Halloween, Heiligabend und Silvester geblieben sind. Auch schreiben viele Menschen von rechts nach links, wenn nicht von oben nach unten. Und mein Beitrag zur Dekonstruktion des Binären: Falsch ist nicht der duale Partner von wahr. Die Logik kennt nur wahre Aussagen. Alle anderen sind unsinnig, unentscheidbar und werden falsch genannt, wenn ihre Negation wahr ist. Eine falsche Aussage A wird nie als A sondern immer als „nicht A“, non A, ¬A, A [8] oder „A ist falsch“ notiert. Eine Dualität ist nicht durchgängig vorhanden, kann aber zur Grundlage weißen Mannesdenkens stilisiert selbst dann der Non-Binär-Mafia noch Nahrung geben, wenn Geschlechter und Ehe schon lange verschwunden sind.
[1] Der rassismusfrei, aber dennoch stringent denkende Leser wird hoffentlich mit mir, einem alten weißen cis‑Mann übereinstimmen und sagen: Dieser Alien-Kram ist zwar schwer zu lesen und zu verstehen, doch mit leichten Vorkenntnissen und Geduld geht es, und es kommt heraus, was wir immer schon wußten: Eins und eins ist zwei.
[2] Ich kann mir vorstellen, daß in allgemeineren Strukturen, unter Außerirdischen oder fremden Ethnien bereits in der dritten Klasse allgemeiner definiert wird und die Aussage, alle geraden Zahlen seien durch zwei teilbar, keine Wiederholung der Definition, sondern ein tiefliegender Satz ist. Mehr noch: Alle ungeraden Zahlen sind nicht durch zwei teilbar. Und auch die Umkehrungen gelten: Alle (nicht) durch zwei teilbaren Zahlen sind (un)gerade.
[3] Was ein Deklinationsaufwand aus einer Zeit, da es weder lecker Salat, noch lecker Suppe oder lecker Schnitzel gab.
[4] Was ein Glück für die Männer, daß die normalen bestimmten substantivierten Ordinalzahlwörter weiblich sind. Der Null würde das abrunden.
[5] Noch heute: digit–palm–shaftment–foot, inch–stick–hand, nail–span–cubit–yard–fathom.
[6] Für schlichte Gemüter auch eineinhalb. Dritthalb, vierthalb usw. sagt man leider nicht mehr, aber immer noch dreiviertel Sechs und halb Zwei, nicht halb Ander, weil es ja weitergeht, nicht mit der zweiten Stunde endet.
[7] Leider wird der einzelne nicht mehr klein geschrieben. Das bedeutet nichts für den anderen, allenfalls für den Andernen, Zuzweitnen oder Paarweisnen, weckt aber Begehrlichkeiten. Und Manche werden nicht ruhen, bis nur noch der eine oder Andere der alten Rechtschreibung anhängt.
[8] Fehlt der Strich über dem A, so hat die Text-Dekoration wohl nicht versagt, sondern wurde einfach ignoriert.
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Eins
wuerg, 15.01.2005 01:03
Für mich ist eins die kleinste natürliche Zahl. Andere beginnen mit der Null. [1] Sie ist weder prim noch zusammengesetzt. [2] Es gibt aber immer wieder Spinner, die das anders sehen, doch nicht statt Primalität einen anderen Begriff verwenden wollen, weil sie von penetranter Besserwisserei beseelt sind. [3] Die Wikipedia sieht die Zahl Eins als natürliche Zahl zwischen null und zwei. [4] Und dann wird noch bemerkt, daß die Eins eine Quadrat- und eine Kubikzahl ist. Jawoll, auch Biquadratzahl, 37. Potenz, Dreieckszahl, 37-Eckzahl, nullte Potenz aller Zahlen, erste und zweite Fibonaccizahl.
Natürlich hat die Eins auch einen symbolischen Wert. Sie ist gut, stark, aufrecht, männlich, sie steht für Gott, das Individuum, das Unteilbare. [5] Die Eins steht auch für {0}={{}}, wenn sie es nicht sogar ist. Was nicht umzufallen droht, steht wie eine Eins, also aufrecht und gerade, gleichwohl eins ungerade ist. Lange Zeit war eine Eins als die beste Schulnote weitgehend unerreichbar, heute entwertet durch inflationäre 14 und in den Schatten gestellt durch leicht mögliche 15 Punkte. [6]
[1] Letztlich ist es nur eine Übereinkunft. Meines Erachtens spricht aber vieles für ℕ={1,2,3,...}, weil es mir einfacher erscheint, bei Bedarf durch einen Index 0 die Null hinzuzunehmen als sie dauernd auszuschließen. Siehe auch A000027, A001477, A001057.
[2] Nicht wegen der schlechten Definition, daß eine Primzahl genau zwei Teiler habe und eine zusammengesetzte Zahl mehr. Vielmehr ist die Eins eine Einheit und deshalb weder prim noch zusammengesetzt.
[3] So sieht Peter Plichta 1 als Primzahl, 2 und 3 aber nicht, weil alle anderen Primzahlen ±1 mod 6 sind, was gut in sein Raster aus 24 Strahlen und seine Ordnung der Elemente paßt. Dagegen spricht natürlich, daß Primalität allgemeiner definiert ist und es äußerst unelegant wäre, für die natürlichen Zahlen davon abzuweichen. Außerdem: Es gibt modulo 10 unendlich viele Primzahlen mit den Endziffern 1,3,7,9 und keine mit 0,4,6,8. Es bleiben 2 und 5 mit nur einer Primzahl. Es müßte also auch 5 gestrichen werden.
[4] Einmal von der Trivialität dieser Bemerkung abgesehen, sollte man besser schwurbeln: Die Eins liegt als natürliche Zahl nicht nach der Null, sondern ganz vorne, und in der Reihe der (nicht-negativen) ganzen Zahlen (als ganze Zahl) zwischen 0 und 2.
[5] Heutzutage kann man alles teilen. Nicht nur Kuchen und den letzten Bissen, im Internet auch Bilder, Texte, Filme, Babybäuche, Haß und Lobhudelei. Warum nicht auch die Eins?
[6] Ich glaube, es war mein Deutschlehrer, zumindest ein Vertreter der weichen Fächer, der meinte: Eine Eins bin ich. Mathematik, Physik, Chemie und Biologie können es nicht gewesen sein.
0 | 2 | heilige Zahlen | Primzahlkreuz
Natürlich hat die Eins auch einen symbolischen Wert. Sie ist gut, stark, aufrecht, männlich, sie steht für Gott, das Individuum, das Unteilbare. [5] Die Eins steht auch für {0}={{}}, wenn sie es nicht sogar ist. Was nicht umzufallen droht, steht wie eine Eins, also aufrecht und gerade, gleichwohl eins ungerade ist. Lange Zeit war eine Eins als die beste Schulnote weitgehend unerreichbar, heute entwertet durch inflationäre 14 und in den Schatten gestellt durch leicht mögliche 15 Punkte. [6]
[1] Letztlich ist es nur eine Übereinkunft. Meines Erachtens spricht aber vieles für ℕ={1,2,3,...}, weil es mir einfacher erscheint, bei Bedarf durch einen Index 0 die Null hinzuzunehmen als sie dauernd auszuschließen. Siehe auch A000027, A001477, A001057.
[2] Nicht wegen der schlechten Definition, daß eine Primzahl genau zwei Teiler habe und eine zusammengesetzte Zahl mehr. Vielmehr ist die Eins eine Einheit und deshalb weder prim noch zusammengesetzt.
[3] So sieht Peter Plichta 1 als Primzahl, 2 und 3 aber nicht, weil alle anderen Primzahlen ±1 mod 6 sind, was gut in sein Raster aus 24 Strahlen und seine Ordnung der Elemente paßt. Dagegen spricht natürlich, daß Primalität allgemeiner definiert ist und es äußerst unelegant wäre, für die natürlichen Zahlen davon abzuweichen. Außerdem: Es gibt modulo 10 unendlich viele Primzahlen mit den Endziffern 1,3,7,9 und keine mit 0,4,6,8. Es bleiben 2 und 5 mit nur einer Primzahl. Es müßte also auch 5 gestrichen werden.
[4] Einmal von der Trivialität dieser Bemerkung abgesehen, sollte man besser schwurbeln: Die Eins liegt als natürliche Zahl nicht nach der Null, sondern ganz vorne, und in der Reihe der (nicht-negativen) ganzen Zahlen (als ganze Zahl) zwischen 0 und 2.
[5] Heutzutage kann man alles teilen. Nicht nur Kuchen und den letzten Bissen, im Internet auch Bilder, Texte, Filme, Babybäuche, Haß und Lobhudelei. Warum nicht auch die Eins?
[6] Ich glaube, es war mein Deutschlehrer, zumindest ein Vertreter der weichen Fächer, der meinte: Eine Eins bin ich. Mathematik, Physik, Chemie und Biologie können es nicht gewesen sein.
0 | 2 | heilige Zahlen | Primzahlkreuz
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Null
wuerg, 15.01.2005 00:58
Die Null ist sicherlich eine sehr interessante Zahl. Sie steht für nichts und damit für etwas, eigentlich für das erste, von dessen Existenz ich ausgehen kann, wenn ich von meiner eigenen Person absehe. Es gibt also etwas und nicht nichts. [1]
Immer wieder wird behauptet, die Null sei irgendwo in Indien erfunden worden und dann über die Araber nach Europa gekommen, obwohl es nichts oder keins sicherlich schon ewige Zeiten gab. Gemeint ist die Ziffer 0, also die Verwendung eines eigenen Symboles für das Fehlen eines Ziffernzeichens, wo zuvor bestenfalls Leerraum gelassen oder ein Platzhalter notiert wurde. Eine richtige Zahl Null als Rechengröße oder Ergänzung der natürlichen Zahlen, soll es selbst bei den Babyloniern weder sprachlich, noch als alleinstehende Ziffer, noch als nullstellige Ziffernfolge gegeben haben. [2] Die Römer umgingen dieses Problem durch die Verwendung verschiedener Zeichen für die verschiedenen Stellen. Griechen und Juden waren mit ihrer Darstellung von Zahlen durch Buchstaben noch schlechter und beförderten dadurch die abergläubische Unsitte, Wörter als Zahlen und Zahlen als Wörter oder gar Namen zu interpretieren.
Es mag uns heute unverständlich erscheinen, warum in einem schon vorhandenen Positionssystem die Leerstellen nicht schon sehr früh mit einem unscheinbaren Zeichen, zum Beispiel einem Punkt gekennzeichnet wurden. Doch denke man nur an das Leerzeichen. Lange Zeit ließ man gar keinen Freiraum zwischen den Wörtern. Solange man mit der Hand schrieb, hatte man einen sinnvollen Abstand im Griff. Ob mit Spatien gesetzt oder mit Leertaste und Tabulator maschinell geschrieben, beim Lesen gab es keine Probleme. Mit der Datenverarbeitung ploppten sie aber dank sich nicht vom Hintergrund absetzender Leerzeichen hervor: Falsche Zeileneinzüge, beschissen aussehender Blocksatz, häßlich gesperrte Wörter, inkonsistente Tabulator-Expansion.
Drucker produzieren heute kaum noch Freizeilen, das CR‑LF-Problem tritt aber immer wieder auf. Auch scheitert selbst teure Software manchmal an Umlauten. Wer hier bei blogger.de nicht nur liest oder ein paar Absätze schlichten Textes schreibt, sollte eigentlich ein Lied davon singen können, wenn Freizeilen eingefügt werden, die normalerweise nur der Gliederung des Quelltextes dienen. Unsere Vorfahren konnten Leerstellen nicht durch Textmarkierung hervorheben, sie hatten auch kein kariertes Papier, keine festen Bildschirmpositionen, die früher auch gerne markiert wurden, wie heute auf Personalausweisen < ein Leerzeichen ersetzt.
Anders als zu den natürlichen Zahlen berichtet die Wikipedia nicht bereits in der Einleitung, durch welche Zahlen die Null eingerahmt wird und daß sie sowohl eine Quadrat- als auch Kubikzahl, aber keine Primzahl ist. [3] Dafür steht ganz vorne, sie sei die Kardinalität der leeren Menge, also die Anzahl ihrer Elemente. Andere würden sagen, die Null sei die durch Bijektion gegebene Äquivalenzklasse aller Mengen, die zur leeren Menge gleichmächtig sind. Oder einfach 0={}. Alles schöne Vorschläge, einfache und seit ewigen Zeiten bekannte Dinge durch recht neumodischen Kram wie Mengenlehre zu begründen oder zu vereinnahmen.
Und weiter mit der Wikipedia: „Die Null ist das neutrale Element der Addition in vielen Körpern, wie etwa den rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen, selbst wenn andere Elemente nicht mit gängigen Zahlen identifiziert werden.“ Was soll uns das sagen? Daß es auch Körper über die genannten hinaus mit ungängigen Zahlen gibt oder die komplexen größtenteils keine gängigen Zahlen sind? Warum nicht einfach: Die Null ist das neutrale Element der Addition ganzer Zahlen und ihrer Erweiterungen. Nicht nur in gängigen Körpern, sondern in allen Strukturen mit additiv geschriebener zweistelliger Verknüpfung nennt man ein (eindeutiges) neutrales Element eine (die) (Links-,Rechts-)Null, ohne die Zahl Null sein zu müssen. [4] Schreibt man die Verknüpfung multiplikativ, so nennt man das neutrale Element Eins. Mehr steckt nicht dahinter.
Wer die Eins für eine Primzahl hält oder gar aus esoterischen Gründen zwei und drei ausschließt, könnte auch die Frage stellen, ob denn die Null prim oder zusammengesetzt sei. Ist die Null prim, weil sie keine Einheit und wie die positiven Primzahlen nicht Produkt zweier kleinerer natürlicher Zahlen ist? Ist sie keine Primzahl, weil sie nicht genau zwei Teiler hat? Und wieviele Teiler hat die Null überhaupt? Wegen 0·n=0 unendlich viele, also mehr als zwei, obwohl die natürlichen Zahlen doch nullteilerfremd sind. Ist sie deshalb zusammengesetzt, oder zählt eine Multiplikation mit sich selbst nicht? Müßte dann nicht auch bei allen positiven Primzahlen p die Zerlegung 1·p=p außen vor bleiben, womit p gar keine (echten) Teiler hätte? Gehört die Null einem vierten Geschlecht an, da sie weder prim, noch zusammengesetzt, noch eine Einheit ist? Im Bereich der natürlichen Zahlen nicht, weil die Null keine ist und die Frage nach ihrer Primalität sich gar nicht stellt. [5] Einige mögen das anders sehen. Dann muß man die Begrifflichkeiten abgleichen. Mit Außerirdischen wird das gelingen, mit modernen Sprachgouvernanten nicht unbedingt.
[1] George Englebretsen: Sommers' proof that something exists. Notre Dame Journal of Formal Logic 16, 1975.
[2] Ein Problem, das sich noch heute bemerkbar macht, weil Zahlen normalerweise ohne führende Nullen geschrieben werden, es bei der 0 selbst aber nicht geht, auch nicht bei den Amerikanern, die eine 0 vor dem Dezimalpunkt weglassen. Das führt zum Beispiel dazu, daß in der OEIS die Folge A002275 der Einserkolonnen (Schnapszahlen aus Einsen, repunits) nicht mit 111, nicht mit 11 und auch nicht mit 1 beginnt, sondern (zum Spaß?) mit 0, der 0‑fachen Wiederholung der Ziffer 1 oder (10ⁿ−1)/9 für n=0.
[3] Erst weiter unten ist in unerwarter Genauigkeit zu lesen: „Als ganze Zahl ist die Null Nachfolgerin der Minus‐Eins und Vorgängerin der Eins.“ Eine völlig witzlose Information, doch wenigstens mit Rücksicht darauf, daß die Null als nicht-negative ganze Zahl keinen Vorgänger hat. Und im Anschluß weitere unerwartete Eigenheiten der Null: „Auf einer Zahlengeraden trennt der Nullpunkt die positiven von den negativen Zahlen. Die Null ist die einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist. Die Zahl Null ist gerade.“
[4] Wie im täglichen Leben kann es durchaus sehr viele Nullen geben.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Natürliche Zahlen A000027 und nicht-negative ganze Zahlen A001477.
1 | Minus 0 | Jahr 0 | 00 | Unterstrich
Immer wieder wird behauptet, die Null sei irgendwo in Indien erfunden worden und dann über die Araber nach Europa gekommen, obwohl es nichts oder keins sicherlich schon ewige Zeiten gab. Gemeint ist die Ziffer 0, also die Verwendung eines eigenen Symboles für das Fehlen eines Ziffernzeichens, wo zuvor bestenfalls Leerraum gelassen oder ein Platzhalter notiert wurde. Eine richtige Zahl Null als Rechengröße oder Ergänzung der natürlichen Zahlen, soll es selbst bei den Babyloniern weder sprachlich, noch als alleinstehende Ziffer, noch als nullstellige Ziffernfolge gegeben haben. [2] Die Römer umgingen dieses Problem durch die Verwendung verschiedener Zeichen für die verschiedenen Stellen. Griechen und Juden waren mit ihrer Darstellung von Zahlen durch Buchstaben noch schlechter und beförderten dadurch die abergläubische Unsitte, Wörter als Zahlen und Zahlen als Wörter oder gar Namen zu interpretieren.
Es mag uns heute unverständlich erscheinen, warum in einem schon vorhandenen Positionssystem die Leerstellen nicht schon sehr früh mit einem unscheinbaren Zeichen, zum Beispiel einem Punkt gekennzeichnet wurden. Doch denke man nur an das Leerzeichen. Lange Zeit ließ man gar keinen Freiraum zwischen den Wörtern. Solange man mit der Hand schrieb, hatte man einen sinnvollen Abstand im Griff. Ob mit Spatien gesetzt oder mit Leertaste und Tabulator maschinell geschrieben, beim Lesen gab es keine Probleme. Mit der Datenverarbeitung ploppten sie aber dank sich nicht vom Hintergrund absetzender Leerzeichen hervor: Falsche Zeileneinzüge, beschissen aussehender Blocksatz, häßlich gesperrte Wörter, inkonsistente Tabulator-Expansion.
Drucker produzieren heute kaum noch Freizeilen, das CR‑LF-Problem tritt aber immer wieder auf. Auch scheitert selbst teure Software manchmal an Umlauten. Wer hier bei blogger.de nicht nur liest oder ein paar Absätze schlichten Textes schreibt, sollte eigentlich ein Lied davon singen können, wenn Freizeilen eingefügt werden, die normalerweise nur der Gliederung des Quelltextes dienen. Unsere Vorfahren konnten Leerstellen nicht durch Textmarkierung hervorheben, sie hatten auch kein kariertes Papier, keine festen Bildschirmpositionen, die früher auch gerne markiert wurden, wie heute auf Personalausweisen < ein Leerzeichen ersetzt.
Anders als zu den natürlichen Zahlen berichtet die Wikipedia nicht bereits in der Einleitung, durch welche Zahlen die Null eingerahmt wird und daß sie sowohl eine Quadrat- als auch Kubikzahl, aber keine Primzahl ist. [3] Dafür steht ganz vorne, sie sei die Kardinalität der leeren Menge, also die Anzahl ihrer Elemente. Andere würden sagen, die Null sei die durch Bijektion gegebene Äquivalenzklasse aller Mengen, die zur leeren Menge gleichmächtig sind. Oder einfach 0={}. Alles schöne Vorschläge, einfache und seit ewigen Zeiten bekannte Dinge durch recht neumodischen Kram wie Mengenlehre zu begründen oder zu vereinnahmen.
Und weiter mit der Wikipedia: „Die Null ist das neutrale Element der Addition in vielen Körpern, wie etwa den rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen, selbst wenn andere Elemente nicht mit gängigen Zahlen identifiziert werden.“ Was soll uns das sagen? Daß es auch Körper über die genannten hinaus mit ungängigen Zahlen gibt oder die komplexen größtenteils keine gängigen Zahlen sind? Warum nicht einfach: Die Null ist das neutrale Element der Addition ganzer Zahlen und ihrer Erweiterungen. Nicht nur in gängigen Körpern, sondern in allen Strukturen mit additiv geschriebener zweistelliger Verknüpfung nennt man ein (eindeutiges) neutrales Element eine (die) (Links-,Rechts-)Null, ohne die Zahl Null sein zu müssen. [4] Schreibt man die Verknüpfung multiplikativ, so nennt man das neutrale Element Eins. Mehr steckt nicht dahinter.
Wer die Eins für eine Primzahl hält oder gar aus esoterischen Gründen zwei und drei ausschließt, könnte auch die Frage stellen, ob denn die Null prim oder zusammengesetzt sei. Ist die Null prim, weil sie keine Einheit und wie die positiven Primzahlen nicht Produkt zweier kleinerer natürlicher Zahlen ist? Ist sie keine Primzahl, weil sie nicht genau zwei Teiler hat? Und wieviele Teiler hat die Null überhaupt? Wegen 0·n=0 unendlich viele, also mehr als zwei, obwohl die natürlichen Zahlen doch nullteilerfremd sind. Ist sie deshalb zusammengesetzt, oder zählt eine Multiplikation mit sich selbst nicht? Müßte dann nicht auch bei allen positiven Primzahlen p die Zerlegung 1·p=p außen vor bleiben, womit p gar keine (echten) Teiler hätte? Gehört die Null einem vierten Geschlecht an, da sie weder prim, noch zusammengesetzt, noch eine Einheit ist? Im Bereich der natürlichen Zahlen nicht, weil die Null keine ist und die Frage nach ihrer Primalität sich gar nicht stellt. [5] Einige mögen das anders sehen. Dann muß man die Begrifflichkeiten abgleichen. Mit Außerirdischen wird das gelingen, mit modernen Sprachgouvernanten nicht unbedingt.
[1] George Englebretsen: Sommers' proof that something exists. Notre Dame Journal of Formal Logic 16, 1975.
[2] Ein Problem, das sich noch heute bemerkbar macht, weil Zahlen normalerweise ohne führende Nullen geschrieben werden, es bei der 0 selbst aber nicht geht, auch nicht bei den Amerikanern, die eine 0 vor dem Dezimalpunkt weglassen. Das führt zum Beispiel dazu, daß in der OEIS die Folge A002275 der Einserkolonnen (Schnapszahlen aus Einsen, repunits) nicht mit 111, nicht mit 11 und auch nicht mit 1 beginnt, sondern (zum Spaß?) mit 0, der 0‑fachen Wiederholung der Ziffer 1 oder (10ⁿ−1)/9 für n=0.
[3] Erst weiter unten ist in unerwarter Genauigkeit zu lesen: „Als ganze Zahl ist die Null Nachfolgerin der Minus‐Eins und Vorgängerin der Eins.“ Eine völlig witzlose Information, doch wenigstens mit Rücksicht darauf, daß die Null als nicht-negative ganze Zahl keinen Vorgänger hat. Und im Anschluß weitere unerwartete Eigenheiten der Null: „Auf einer Zahlengeraden trennt der Nullpunkt die positiven von den negativen Zahlen. Die Null ist die einzige reelle Zahl, die weder positiv noch negativ ist. Die Zahl Null ist gerade.“
[4] Wie im täglichen Leben kann es durchaus sehr viele Nullen geben.
[5] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Natürliche Zahlen A000027 und nicht-negative ganze Zahlen A001477.
1 | Minus 0 | Jahr 0 | 00 | Unterstrich
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Uninteressante Zahlen
wuerg, 01.11.2004 15:46
Ich habe hier wieder lange Zeit nichts geschrieben. Das kann nicht daran liegen, daß es keine erwähnenswerten Zahlen gibt. Denn zumindest alle natürlichen Zahlen sind interessant. Andernfalls gäbe es eine kleinste uninteressante Zahl. Und die wäre durchaus von Interesse.
Inzwischen sind wieder fast 17 Jahre vergangen. Doch schon früher hätte ich die Frage stellen können: Wenn es schon keine uninteressanten Zahlen gibt, welche ist dann unter den interessanten (also allen) die von geringstem Interesse? Auch das kann schwierig werden, wenn diese Eigenschaft eine Zahl aufwertet und eine andere nach unten rutscht, was diese wiederum aufwertet und so weiter.
Wie man es auch dreht und wendet, es bleibt ungenau, auch angesichts der unendlich vielen sehr großen Zahlen ohne bekanntes Interesse. Man müßte zum Beispiel jeder Zahl ein mit ihrer Größe steigendes bedingungsloses Grundinteresse zukommen lassen, was eine Obergrenze nach sich zöge.
Es bleibt natürlich eine Geschmacksfrage. Und wer am 29. Februar Geburtstag hat, wird im Gegensatz zu mir der 29 nicht die rote Laterne anhängen wollen. Zunächst hielt ich mit David Wells [1] die 39 für die uninteressanteste Zahl, die aber gerade deshalb Aufmerksamkeit auf sich zog. Ich dachte deshalb an 38, später 43 oder 45, bis ich die noch kleinere und damit schwerer vom Thron zu stoßende 29 fand.
[1] David Wells: The Penguin Dictionary of Interesting and Curious Numbers.
29 | 38 | 39 | 43 | 45
Inzwischen sind wieder fast 17 Jahre vergangen. Doch schon früher hätte ich die Frage stellen können: Wenn es schon keine uninteressanten Zahlen gibt, welche ist dann unter den interessanten (also allen) die von geringstem Interesse? Auch das kann schwierig werden, wenn diese Eigenschaft eine Zahl aufwertet und eine andere nach unten rutscht, was diese wiederum aufwertet und so weiter.
Wie man es auch dreht und wendet, es bleibt ungenau, auch angesichts der unendlich vielen sehr großen Zahlen ohne bekanntes Interesse. Man müßte zum Beispiel jeder Zahl ein mit ihrer Größe steigendes bedingungsloses Grundinteresse zukommen lassen, was eine Obergrenze nach sich zöge.
Es bleibt natürlich eine Geschmacksfrage. Und wer am 29. Februar Geburtstag hat, wird im Gegensatz zu mir der 29 nicht die rote Laterne anhängen wollen. Zunächst hielt ich mit David Wells [1] die 39 für die uninteressanteste Zahl, die aber gerade deshalb Aufmerksamkeit auf sich zog. Ich dachte deshalb an 38, später 43 oder 45, bis ich die noch kleinere und damit schwerer vom Thron zu stoßende 29 fand.
[1] David Wells: The Penguin Dictionary of Interesting and Curious Numbers.
29 | 38 | 39 | 43 | 45
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