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Fibonacci-Zahlen
wuerg, 11.06.2005 01:24
Nach den Prim- und den Polygonalzahlen sind die Fibonacci-Zahlen von weitreichendem Interesse. Die erste und zweite Fibonacci-Zahl lauten einfach F₁=F₂=1, jede weitere entsteht durch Addition der beiden vorangehenden, also Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂. Das ergibt die Fibonacci-Folge [1]
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Sehr gerne wird die Entstehung dieser Folge mit Kaninchen verdeutlicht. Werfen sie an ihrem zweiten, dritten, vierten und jedem weiteren Geburtstag ein kleines Häschen [2], vermehren sie sich wie folgt:
Obwohl die Fibonacci-Zahlen gerne in der Natur vorkommen, ist mir ein zutreffenderes Beispiel aus dem Baubereich doch lieber: Es ist eine 20 cm hohe Mauer mit Ziegelsteinen der Größe 10 mal 20 cm zu verkleiden. Diese Steine können waagerecht oder senkrecht verbaut werden. Wieviele Muster aₙ für eine Mauer von n Dezimetern Länge sind möglich? Offensichtlich gibt es 1, 2 und 3 Muster für Mauern der bescheidenen Länge von 10, 20 und 30 Zentimetern.
Weitgehend bekannt ist das sich der goldenen Zahl nähernde Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen:
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 1,6180339887498948482...
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 0,6180339887498948482...
Mit diesen beiden an vielen Stellen vorkommenden Zahlen, lautet die Binetsche Formel [4] für die Fibonacci-Zahlen:
Fₙ = ( Φn − (−φ)n ) / √5
Im wesentlichen wächst also Fₙ in jedem Schritt um den Faktor Φ. Von der damit gegebenen Mittellinie Φⁿ/√5 weicht Fₙ um den immer kleiner werdenden Betrag φⁿ/√5 ab. [5]
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. A000203
[2] Ich weiß, Has*innen sind keine Kaninchen, und auch die gebärenden unter ihnen werfen nicht beliebig lange genau ein Häschen/elein pro Jahr. Hauptsache es entstehen die Fibonacci-Zahlen und die Fibonacci-Folge. Man kann die Zibben auch schon im ersten Jahr werfen und dafür mit der Geburt eines zweiten Zibbeleins sterben lassen. So habe ich es in meinem Beitrag zur Zahl 13 geschehen lassen.
[3] Der aufmerksame Leser wird nun einwenden können, die Überlegung sei unvollständig, weil immer nur geradlinig abschließende Mauern verlängert würden. Doch habe ich dies stillschweigend vorausgesetzt, da ja gradlinig begonnen wird und auch nur gradlinig fortgesetzt werden kann. Ein Ziegelversatz wie an Hauswänden ist also nicht möglich. Aber tatsächlich steckt in der Ungradlinigkeit die Herausforderung, wenn man die Mauer höher als zwei Einheiten anlegt.
[4] Die Binetsche Formel ergibt sich aus folgender Überlegung: Da Φ und −φ Wurzeln der Gleichung x²=x+1 sind, erfüllen nicht nur die beiden Folgen der Potenzen von Φ und −φ die Rekursionsgleichung der Fibonacci-Folge, sondern auch alle Linearkombinationen αΦⁿ+β(−φ)ⁿ. Aus den Gleichungen αΦ−βφ=F₁=1 und αΦ²+βφ²=F₂=1 ergeben sich für die Fibonacci-Folge die beiden Gewichte α=1/√5 und β=−1/√5.
[5] Mit dem Taschenrechner berechnet sich zum Beispiel die 12. Fibonacci-Zahl wie folgt: 1+√5=/2=^12=/√5 ergibt 144,001…, gerundet F₁₂=144.
Goldener Schnitt
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Sehr gerne wird die Entstehung dieser Folge mit Kaninchen verdeutlicht. Werfen sie an ihrem zweiten, dritten, vierten und jedem weiteren Geburtstag ein kleines Häschen [2], vermehren sie sich wie folgt:
Beginn des 1. Jahres: 0
|
Beginn des 2. Jahres: 1--------------+
| |
Beginn des 3. Jahres: 1--------+ 0
| | |
Beginn des 4. Jahres: 1-----+ 0 1-----+
| | | | |
Beginn des 5. Jahres: 1--+ 0 1--+ 1--+ 0
| | | | | | | |
Beginn des 6. Jahres: 1 0 1 1 0 1 0 1
Darin bezeichnet 0 einen neugeborenen Hasen und 1 einen nach seinem ersten Geburtstag. Ordnen sie sich wie dargestellt an, entsteht die Fibonacci-Folge 10110101…, für die man keine Kaninchen benötigt: Mit 0 beginnend wird schrittweise 0 durch 1 und 1 durch 10 ersetzt.Obwohl die Fibonacci-Zahlen gerne in der Natur vorkommen, ist mir ein zutreffenderes Beispiel aus dem Baubereich doch lieber: Es ist eine 20 cm hohe Mauer mit Ziegelsteinen der Größe 10 mal 20 cm zu verkleiden. Diese Steine können waagerecht oder senkrecht verbaut werden. Wieviele Muster aₙ für eine Mauer von n Dezimetern Länge sind möglich? Offensichtlich gibt es 1, 2 und 3 Muster für Mauern der bescheidenen Länge von 10, 20 und 30 Zentimetern.
+---+ +---+---+ +-------+ | | | | | | | | | | | | +-------+ | | | | | | | +---+ +---+---+ +-------+ +---+---+---+ +---+-------+ +-------+---+ | | | | | | | | | | | | | | | +-------+ +-------+ | | | | | | | | | | | +---+---+---+ +---+-------+ +-------+---+Für größere n wähle ich eine kompaktere Darstellung mit | für einen senkrechten und == für zwei waagerechte Ziegel:
n=4: |||| ||== |==| ==|| ====
n=5: ||||| |||== ||==| |==||
==||| |==== ==|== ====|
Damit ist Verdacht auf Fibonacci gegeben, und tatsächlich führt die folgende Überlegung auf aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂: Mauern der Länge n mit einem senkrechten Ziegel am Ende gibt es soviele wie Mauern der Länge n−1, und Mauern der Länge n mit zwei waagerechten Ziegeln am Ende soviele wie von der Länge n−2. Mit senkrechtem Ziegel am Ende sind es demnach aₙ₋₁ und mit waagerechten aₙ₋₂, insgesamt also aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂. Da zudem a₁=1=F₂ und a₂=2=F₃ ist, muß aₙ=Fₙ₊₁ sein. [3]Weitgehend bekannt ist das sich der goldenen Zahl nähernde Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen:
3/2 = 1,500000 5/3 = 1,666667 8/5 = 1,600000 13/8 = 1,625000 21/13 = 1,615385 34/21 = 1,619048 55/34 = 1,617647 89/55 = 1,618182Die Darstellung in zwei Spalten soll verdeutlichen, daß die Näherungen abwechselnd unter und über der goldenen Zahl Φ≈1,618 liegen. Mit einem kleinen Phi wird der goldene Schnitt φ≈0,618 bezeichnet. Es gilt:
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 1,6180339887498948482...
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 0,6180339887498948482...
Mit diesen beiden an vielen Stellen vorkommenden Zahlen, lautet die Binetsche Formel [4] für die Fibonacci-Zahlen:
Fₙ = ( Φn − (−φ)n ) / √5
Im wesentlichen wächst also Fₙ in jedem Schritt um den Faktor Φ. Von der damit gegebenen Mittellinie Φⁿ/√5 weicht Fₙ um den immer kleiner werdenden Betrag φⁿ/√5 ab. [5]
[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. A000203
[2] Ich weiß, Has*innen sind keine Kaninchen, und auch die gebärenden unter ihnen werfen nicht beliebig lange genau ein Häschen/elein pro Jahr. Hauptsache es entstehen die Fibonacci-Zahlen und die Fibonacci-Folge. Man kann die Zibben auch schon im ersten Jahr werfen und dafür mit der Geburt eines zweiten Zibbeleins sterben lassen. So habe ich es in meinem Beitrag zur Zahl 13 geschehen lassen.
[3] Der aufmerksame Leser wird nun einwenden können, die Überlegung sei unvollständig, weil immer nur geradlinig abschließende Mauern verlängert würden. Doch habe ich dies stillschweigend vorausgesetzt, da ja gradlinig begonnen wird und auch nur gradlinig fortgesetzt werden kann. Ein Ziegelversatz wie an Hauswänden ist also nicht möglich. Aber tatsächlich steckt in der Ungradlinigkeit die Herausforderung, wenn man die Mauer höher als zwei Einheiten anlegt.
[4] Die Binetsche Formel ergibt sich aus folgender Überlegung: Da Φ und −φ Wurzeln der Gleichung x²=x+1 sind, erfüllen nicht nur die beiden Folgen der Potenzen von Φ und −φ die Rekursionsgleichung der Fibonacci-Folge, sondern auch alle Linearkombinationen αΦⁿ+β(−φ)ⁿ. Aus den Gleichungen αΦ−βφ=F₁=1 und αΦ²+βφ²=F₂=1 ergeben sich für die Fibonacci-Folge die beiden Gewichte α=1/√5 und β=−1/√5.
[5] Mit dem Taschenrechner berechnet sich zum Beispiel die 12. Fibonacci-Zahl wie folgt: 1+√5=/2=^12=/√5 ergibt 144,001…, gerundet F₁₂=144.
Goldener Schnitt
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Eineck
wuerg, 10.06.2005 01:42
Wie ein Eineck aussehen sollte, ob es eine Kante hat, wie lang und gerade sie sein muß und ob sie eine Fläche umschließt, habe ich unter dem Titel Zweieck diskutiert. Hier soll es nur um die Fortsetzung der Frage gehen, aus wievielen Punkten denn ein Zweieck oder ein Eineck analog zu den zentrierten Dreieckszahlen, Viereckzahlen usw. gebildet werden, was also zentrierte Zwei- und Eineckzahlen sind.
Aus der Formel Pᵏₙ=n·[(k−2)n−(k−4)]/2 für die normalen k‑Eckzahlen ergeben sich:
einfache und zentrierte Polygonalzahlen | Zweieck
Aus der Formel Pᵏₙ=n·[(k−2)n−(k−4)]/2 für die normalen k‑Eckzahlen ergeben sich:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Zweieck Zn: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dreieck Dn: 1 3 6 10 15 21 28 36 45
Viereck Qn: 1 4 9 16 25 36 49 64 81
Fünfeck Fn: 1 5 12 22 35 51 70 92 117
Normale Eineckzahlen machen wenig Sinn, denn sie würden nach der Formel n(3−n)/2 bereits negativ. Wie aber steht es um die zentrierten Zwei- und Eineckzahlen? Eine Formel für die zentrierten k-Eckzahlen lautet pᵏₙ=1+k·Dₙ₋₁. Damit ergibt sich folgende Tabelle:
n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Eineck en: 1 2 4 7 11 16 22 29 37
Zweieck zn: 1 3 7 13 21 31 43 57 73
Dreieck an: 1 4 10 19 31 46 64 85 109
Viereck qn: 1 5 13 25 41 61 85 113 145
Fünfeck fn: 1 6 16 31 51 76 106 141 181
Die zentrierten Zwei- und sogar die Eineckzahlen wachsen mit zunehmenden n wie die übrigen ebenfalls quadratisch an. Erst die Nulleckzahlen stagnieren bei 1. Sie bestehen nur aus dem Mittenpunkt mit 0 Dreiecken drumherum. Die Vorstellung
/2--4--6--8\
1--2--3--4--5--6 und nicht 1 10
\3--5--7--9/
von den normalen Zweieckzahlen läßt sich offensichtlich nicht auf zentrierte übertragen. Man kommt auf ein Bild wie das linke
A C C C C
A B A C C C A
A B A A C C B A
A A B B A A C B A A
A A O B B A A O B B A A O
A A B B A D B B A A
A B A D D B B A
A B D D D B A
D D D D B
im dem vom Viereck in der Mitte zwei der vier Flügel fehlen. Für das Eineck bleibt wie im rechten Bild nur ein Flügel samt Mittenpunkt, insgesamt also eₙ=1+Dₙ₋₁. Das sind die sog. Pizzazahlen pₙ=1+Dₙ=eₙ₊₁, die Maximalzahl der Pizzastücke, die durch n gerade Schnitte möglich sind.einfache und zentrierte Polygonalzahlen | Zweieck
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Zentrierte Polygonalzahlen
wuerg, 08.06.2005 10:57
Die Dreieckszahlen, Quadratzahlen, Fünfeckzahlen, Sechseckzahlen usw. werden nach griechischen Vorstellungen gebildet, indem man stets ein größeres Polygon hinzunimmt:
Die den Griechen so wichtige einfache Fünfeckzahl Fₙ=P⁵ₙ=n(3n−1)/2 kann wie in der mittleren Figur der drittletzten Abbildung als halbes zentriertes Sechseck gesehen werden. Das bedeutet hₙ=2·Fₙ−(2n−1), eine von vielen Beziehungen, die ich hier nicht ausbreiten kann und will.
Dreieckszahlen | Quadratzahlen
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
4 4 4 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 2 3 4
4 3 4 4 3 3 3 4 4 3 3 4
4 4 4 4 4 3 3 4
4 4 4 4 4 4 3 4
4 4
4 4
4
Doch ab den Fünfeckzahlen werden die Bilder löchrig, und schon bei den Sechseckzahlen fragt man sich, warum sie nicht wie folgt aussehen:
4 4 4 4
3 3 3 4 3 3 3 4
2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
1 2 1 2 3 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4
2 2 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
3 3 3 4 3 3 3 4
4 4 4 4
Dieses Schema kann auf alle k‑Ecke ausgedehnt werden, sieht jedoch nur für Quadrate, Fünf- und Sechsecke gut aus:
4 4---4---4---4 4 4 4 4 4
/3\ | 3---3---3 | 4 3 4 4 3 3 3 4
4/2\4 4 | 2---2 | 4 4 3 2 3 4 4 3 2 2 3 4
/3/1\3\ | 3 | 1 | 3 | 4 3 2 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 4
4/2---2\4 4 | 2---2 | 4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
/3---3---3\ | 3---3---3 | 4 3 3 3 4 4 3 3 3 4
4---4---4---4 4---4---4---4 4 4 4 4 4 4 4 4
Die solchen Gebilden zugeordneten Punktezahlen heißen zentrierte Polygonalzahlen, die ich mit pᵏₙ für das k‑Eck mit jeweils n Punkten auf der äußeren Kante abkürzen will. Sie lassen sich dank
pkn = 1 + k + 2k +3k + ... + (n-1)k
= 1 + k·(1+2+3+...+(n-1))
= 1 + k·D(n-1)
= 1 + k·n(n-1)/2
leichter berechnen als die (unzentrierten, gewöhnlichen, einfachen, normalen) Polygonalzahlen
Pkn = 1 + (1+(k-2)) + (1+2(k-2) + (1+3(k-2)) + ... + (1+(n-1)(k-2))
= n + (1+2+3+...+(n-1))·(k-2)
= n + D(n-1)·(k-2)
= n + (n(n-1)/2)·(k-2)
= n·[(k-2)n-(k-4)]/2
In beiden Formeln ist Dₙ₋₁=P³ₙ₋₁=n(n−1)/2 die (n−1)‑te Dreieckszahl. Wie man in geeigneten Darstellungen der einfachen Polygonalzahlen
B B B B A B B B B A B B B B A
B B B A A C B B B A A C B B B A A
B B A A A C C B B A A A C C B B A A A
B A A A A C C C B A A A A C C C B A A A A
1 2 3 4 5 C C C C 1 2 3 4 5 C C C C 1 2 3 4 5
D D D D
k=4 k=5 D D D k=6
D D
in allen drei Bildern: n=5 D
die Formel Pᵏₙ=n+(k−2)·Dₙ₋₁ erkennen kann, ist dies auch bei den zentrierten
k=3: C k=4: D---C---C---C k=5: D k=6: E D D D
/C\ | D---C---C | D D C E E D D C
C/C\B D | D---C | B D D D C C E E E D C C
/C/o\B\ | D | o | B | E E E o C C C F F F o C C C
C/A---B\B D | A---B | B E E A B B B F F A B B B
/A---A---B\ | A---A---B | E A A B B F A A B B
A---A---A---B A---A---A---B A A A B n=4 A A A B
mit der Formel pᵏₙ=1+k·Dₙ₋₁ der Fall. Andere Figuren verdeutlichen weitere Beziehungen. So lassen sich Quadrate gemäß
4---4---4---4 4---4---4---4
3---3---3 | | | 3---3---3 |
| | 4 2---2 4 4 | 2---2 | 4
3 1 3 + | | | | = | 3 | 1 | 3 |
| | 4 2---2 4 4 | 2---2 | 4
3---3---3 | | | 3---3---3 |
4---4---4---4 4---4---4---4
zusammensetzen. Deshalb ist qₙ=Qₙ+Qₙ₋₁=n²+(n−1)², worin qₙ=p⁴ₙ die n-te zentrierte Quadratzahl und Qₙ=P⁴ₙ die normale Quadratzahl ist.Die den Griechen so wichtige einfache Fünfeckzahl Fₙ=P⁵ₙ=n(3n−1)/2 kann wie in der mittleren Figur der drittletzten Abbildung als halbes zentriertes Sechseck gesehen werden. Das bedeutet hₙ=2·Fₙ−(2n−1), eine von vielen Beziehungen, die ich hier nicht ausbreiten kann und will.
Dreieckszahlen | Quadratzahlen
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Teilbarkeitsregeln
wuerg, 06.06.2005 17:42
Manche Zahlen haben einfache Teilbarkeitsregeln, andere nicht. Das liegt auch an ihrer Darstellung zur Basis 10, die eine mehr oder minder günstige Vorarbeit leistet. Deshalb gibt es einfache, allgemein bekannte Regeln für die Teiler der Zahlen 9, 10, 11 und 100, also für 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 20, 25, 50 und 100.
1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar.
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 als Endziffer.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 3 teilbar ist.
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. Das sind die Zahlen mit Endziffer 0 oder 5.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 9 teilbar ist.
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [2] durch 11 teilbar ist.
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist.
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten.
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 27 teilbar ist.
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie auf 0 endet und durch 3 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 37 teilbar ist.
Sollte die genannte Quersumme zu groß sein, kann von ihr abermals eine gleichartige Quersumme gebildet werden. Alle genannten Quersummenbildungen und Reduktionen auf endständige Ziffern erhalten den Divisionsrest. Anders in den mit [5] bezeichneten Fällen. Sie testen nur auf Teilbarkeit.
Selbstverständlich kann zur Prüfung sowohl der Ausgangszahl als auch der Quersummen oder Abschneidungen stets ein Vielfaches des Divisors zu- oder abgeschlagen werden. Beispiel: 789 dividiert durch 7 läßt den Rest 5, weil 789−100⋅7=89 es tut, aber auch 789−777=12.
Ist eine Quersumme negativ, so kann das Vorzeichen ignoriert werden, sofern man nur an Teilbarkeit interessiert ist. Beispiel: 18291 hat die alternierende Quersumme 1−9+2−8+1=−13 und ist nicht durch 11 teilbar, weil +13 es nicht ist. Doch Vorsicht: +13 läßt den Rest 2, doch 18291 den Rest 9.
Bei Quersummen von Dreierblöcken kann eine schwer im Kopf teilbare Zahl übrigbleiben. Dann mag man zu alternativen Regeln greifen, die nur für kleine Zahlen sinnvoll sind. Praktisch bleibt nur der Fall 7, in dem man die verdoppelten Hunderter den verbleibenden zwei Endziffern zuschlagen kann. Beispiel: 456 führt auf 56+2⋅4=64. Beide Zahlen lassen bei Division durch 7 den Rest 1.
[1] Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiel: 123456 hat die Quersumme 1+2+3+4+5+6=21. Systematischer wäre 6+5+4+3+2+1=21.
[2] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern hinten mit den Einern beginnend abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 123456 hat die alternierende Quersumme 6−5+4−3+2−1=3.
[3] Die Quersumme der Dreierblöcke ensteht dadurch, daß hinten beginnend jeweis drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert addiert werden. Beispiel: 12.345.678 hat Quersumme der Dreierblöcke 678+345+12=1034, nicht 123+456+78 oder 123+456+780.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß hinten beginnend jeweils drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 1.234.567.890 hat die alternierende Quersumme der Dreierblöcke 890−567+234−1=556, nicht 1−234+567−890.
[5] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Vorsicht: Sie testen nur die Teilbarkeit und liefern nicht den Divisionsrest.
7
1: Jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar.
2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 2 teilbar ist. Das sind die geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8 als Endziffer.
3: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 3 teilbar ist.
4: Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese beiden zweimal halbiert werden können.
5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle durch 5 teilbar ist. Das sind die Zahlen mit Endziffer 0 oder 5.
6: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
7: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 7 teilbar ist.
8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese drei dreimal halbiert werden können.
9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme [1] durch 9 teilbar ist.
10: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
11: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme [2] durch 11 teilbar ist.
12: Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.
13: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme der Dreierblöcke [4] durch 13 teilbar ist.
14: Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist.
15: Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist.
16: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzten vier Stellen durch 16 teilbar sind. Das wiederum ist der Fall, wenn diese vier viermal halbiert werden können.
17: Man kann fortgesetzt das Fünffache der letzten Ziffer von den übrigen abziehen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
18: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist.
19: Man kann fortgesetzt das Doppelte der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen und den Rest auf Teilbarkeit prüfen. [5]
20: Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 und die vorletzte gerade ist.
21: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 7 teilbar ist.
22: Eine Zahl ist durch 22 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 11 teilbar ist.
23: Man kann fortgesetzt das Siebenfache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
24: Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
25: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen durch 25 teilbar sind, also 00, 25, 50 oder 75 lauten.
26: Eine Zahl ist durch 26 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 13 teilbar ist.
27: Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 27 teilbar ist.
28: Eine Zahl ist durch 28 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
29: Man kann fortgesetzt das Dreifache der letzten Ziffer den übrigen zuschlagen. [5]
30: Eine Zahl ist durch 30 teilbar, wenn sie auf 0 endet und durch 3 teilbar ist.
37: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die Quersumme der Dreierblöcke [3] durch 37 teilbar ist.
Sollte die genannte Quersumme zu groß sein, kann von ihr abermals eine gleichartige Quersumme gebildet werden. Alle genannten Quersummenbildungen und Reduktionen auf endständige Ziffern erhalten den Divisionsrest. Anders in den mit [5] bezeichneten Fällen. Sie testen nur auf Teilbarkeit.
Selbstverständlich kann zur Prüfung sowohl der Ausgangszahl als auch der Quersummen oder Abschneidungen stets ein Vielfaches des Divisors zu- oder abgeschlagen werden. Beispiel: 789 dividiert durch 7 läßt den Rest 5, weil 789−100⋅7=89 es tut, aber auch 789−777=12.
Ist eine Quersumme negativ, so kann das Vorzeichen ignoriert werden, sofern man nur an Teilbarkeit interessiert ist. Beispiel: 18291 hat die alternierende Quersumme 1−9+2−8+1=−13 und ist nicht durch 11 teilbar, weil +13 es nicht ist. Doch Vorsicht: +13 läßt den Rest 2, doch 18291 den Rest 9.
Bei Quersummen von Dreierblöcken kann eine schwer im Kopf teilbare Zahl übrigbleiben. Dann mag man zu alternativen Regeln greifen, die nur für kleine Zahlen sinnvoll sind. Praktisch bleibt nur der Fall 7, in dem man die verdoppelten Hunderter den verbleibenden zwei Endziffern zuschlagen kann. Beispiel: 456 führt auf 56+2⋅4=64. Beide Zahlen lassen bei Division durch 7 den Rest 1.
[1] Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Beispiel: 123456 hat die Quersumme 1+2+3+4+5+6=21. Systematischer wäre 6+5+4+3+2+1=21.
[2] Die alternierende Quersumme entsteht dadurch, daß die Ziffern hinten mit den Einern beginnend abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 123456 hat die alternierende Quersumme 6−5+4−3+2−1=3.
[3] Die Quersumme der Dreierblöcke ensteht dadurch, daß hinten beginnend jeweis drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert addiert werden. Beispiel: 12.345.678 hat Quersumme der Dreierblöcke 678+345+12=1034, nicht 123+456+78 oder 123+456+780.
[4] Die alternierende Quersumme der Dreierblöcke entsteht dadurch, daß hinten beginnend jeweils drei Ziffern als Zahl von 0 bis 999 interpretiert abwechselnd addiert und subtrahiert werden. Beispiel: 1.234.567.890 hat die alternierende Quersumme der Dreierblöcke 890−567+234−1=556, nicht 1−234+567−890.
[5] Solche Regeln kommen immer dann zum Zuge, wenn einem keine besseren einfallen. Vorsicht: Sie testen nur die Teilbarkeit und liefern nicht den Divisionsrest.
7
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Intervallnamen
wuerg, 02.06.2005 02:06
Schon lange frage ich mich, warum musikalische Intervalle so komisch, so vielfältig und leider auch widersprüchlich benannt werden, ob dahinter wenigsten grundsätzlich ein System steckt, so verwirrend es auch erscheinen mag. Musiker mögen diese Frage vorschnell beantworten: Der Grundname (Terz, Quinte usw.) kommt aus dem Abstand in der Siebentonleiter oder aus der Zahl der Linien und Zwischenräume im System der Notenlinien. Manche Intervalle (Terz, Septime usw.) treten gerne in verschiedenen Größen (Halbtonschritten der Zwölftonleiter) auf und heißen deshalb groß bzw. klein. Sollten Intervalle ausnahmsweise um einen weiteren Halbtonschritt größer oder kleiner sein, heißen sie übermäßig oder vermindert.
Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren. Wer aber 5‑glatte Intervalle genau benennen möchte, muß noch ein weiteres Attribut beifügen, etwa für Unterschiede von einem syntonischen Komma (81/80). So könnte die doppelt übermäßige Undezime von ’Fes nach „his als dreifach enharmonisch kleiner bezeichnet werden, weil es um drei syntonische Kommas abwärts geht. Aber warum sollte dieses kleinzahlige Intervall 5625/2048 dreifach kleiner heißen, wenn in der Folge das normale (0‑fach kleinere) 23914845/9388608 wäre? Diese Unschönheit würde gemildert, wenn für jede Alterierung um eine Apotome (is, 2187/2048) ein oder zwei syntonische Kommas weniger gezählt würden. Dann entsprächen Erhöhungen einem großen Chroma (135/128) bzw. einem kleinen Chroma (25/24).
Wahrscheinlich ist es dem Umstand zu verdanken, daß die beiden natürlichen Terzen sich um ein kleines, der diatonische Halbton und der pythagoreische Ganzton aber um ein großes Chroma unterscheiden, daß die beiden Chromatates wechselweise zum Zuge kommen, weshalb die normalen doppelt übermäßigen Intervalle immer um 1125/1024 größer sind. Damit sehe ich nachstehendes Schema:
Damit stelle zumindest ich mir die Frage: Wie bestimme ich zu einem 5‑glatten Intervall die korrekte Bezeichnung? Bei einem Intervall aus x Zweien, y Dreien und z Fünfen bestimmt sich der grundlegende Name aus m=7x+11y+16z, weil die zweite Harmonische 7, die dritte 11 und die fünfte 16 diatonische Schritte nach oben führt. Im Falle von m=0,1,2,3,… spricht man von einer Prime, Sekunde, Terz, Quarte, …, frei ins Deutsche übersetzt von einer (m+1)‑ten. Der Rest einer Division von m durch 7 ergibt das von Oktaven befreite Intervall n=m=4y+2z (7) aus dem Bereich von 0 bis 6 für Prime bis Septime. Der nachstehenden Tabelle kann damit das zentrale (neutrale) Intervall (im Schema mit OOOOO gekennzeichnet) und die Zusammensetzung seines Quadrates aus α Zweien, β Dreien und γ Fünfen entnommen werden:
2x3y5z = 2α/23β/25γ/2 · 2a · ((135/128)(25/24))b/4 · (81/80)c/4
nach a, b und c aufzulösen. Es ergibt sich:
c=(6y−4z−3β+2γ)/7 b=(2y+8z−β−4γ)/7 a=(m−n)/7
Das erste die Alterierung bezeichnende nur von b abhängende Attribut Alt(b) zum Grundnamen des Intervalls wird mit Hilfe von i=∣b∣/2 wie folgt bestimmt:
Auch im deutschen Sprachgebrauch verdrängt die Bezeichnung pythagoreisch für 3‑glatte Intervalle gerne die systematische. So heißt die kleinere kleine Terz (32/27) pythagoreisch und in der Folge die größere (6/5) einfach (natürliche) kleine Terz. Das ist nicht bedenklich, solange man in exotischen Bereichen nicht zu unsystematischen Bezeichnungen greift. Und damit meine ich nicht sehr kleine Intervalle und einige besondere wie Halbton, Ganzton, Chroma, Limma, Komma, Apotome, Diesis, Schisma, Ditonus, Tritonus.
[1] Ich habe scharf, schwach, eng und weit in Klammern gesetzt, denn es ist nicht mehr als mein Versuch, die in der Huygens-Fokker-Liste [3] so bezeichneten Intervalle in das deutsche System des Musiklexikons [2] einzuordnen. Wie es richtig ist oder sein könnte, weiß ich nicht. Ich bin jedem dankbar, dem anerkannte Konzepte bekannt sind und sie mir in einem Kommentar darlegt.
[2] Habe nur noch die Kopie der Seiten 409 bis 413 zum Stichwort Intervall. Darin sind leider nur die gängigsten Intervalle verzeichnet, daß ein Gesamtsystem über sie hinaus nicht zu erkennen ist.
[3] Intervall-Liste. Huygens-Fokker Foundation. Diese Liste nennt zwar mehr 5‑glatte Intervalle als das Musiklexikon [2], doch leider ist ein System nur in Ansätzen zu erkennen und nicht konsequent umgesetzt.
Quinte | Dur
Mit dieser Genauigkeit kann man leben und natürlich auch musizieren. Wer aber 5‑glatte Intervalle genau benennen möchte, muß noch ein weiteres Attribut beifügen, etwa für Unterschiede von einem syntonischen Komma (81/80). So könnte die doppelt übermäßige Undezime von ’Fes nach „his als dreifach enharmonisch kleiner bezeichnet werden, weil es um drei syntonische Kommas abwärts geht. Aber warum sollte dieses kleinzahlige Intervall 5625/2048 dreifach kleiner heißen, wenn in der Folge das normale (0‑fach kleinere) 23914845/9388608 wäre? Diese Unschönheit würde gemildert, wenn für jede Alterierung um eine Apotome (is, 2187/2048) ein oder zwei syntonische Kommas weniger gezählt würden. Dann entsprächen Erhöhungen einem großen Chroma (135/128) bzw. einem kleinen Chroma (25/24).
Wahrscheinlich ist es dem Umstand zu verdanken, daß die beiden natürlichen Terzen sich um ein kleines, der diatonische Halbton und der pythagoreische Ganzton aber um ein großes Chroma unterscheiden, daß die beiden Chromatates wechselweise zum Zuge kommen, weshalb die normalen doppelt übermäßigen Intervalle immer um 1125/1024 größer sind. Damit sehe ich nachstehendes Schema:
(weite) (weite) (weite) (weite) (weite) (scharfe) (scharfe)
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
(scharfe) \ / (scharfe) (scharfe) (scharfe) (weite)
doppelt (scharfe) doppelt doppelt übermä-
vermind / \ übermäß vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / \ / \
größere größere größere größere größere größere größere
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
doppelt +-----+ doppelt größere größere größere
vermin- |OOOOO| übermä- doppelt übermä-
derte +-----+ ßige vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / OOOOO / \
kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere kleinere
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
\ / \ / \ / / \ / \ /
(schwache) \ / (schwache) kleinere kleinere kleinere
doppelt (schwache) doppelt doppelt übermä-
vermind / \ übermäß vermind kleine ßige
/ \ / \ / \ \ / \ / \
(enge) (enge) (enge) (enge) (enge) (schwache)(schwache)
dreifach vermin- übermä- dreifach vermin- doppelt
vermind derte ßige übermäß derte große übermäß
/ \ / \ /
Intervalle zur Prime, Quarte, Quinte, (schwache)(schwache) (enge)
Oktave, Undezime, Duodezime, ... doppelt übermä-
vermind kleine ßige
135/128 (‚cis) 81/80 (’c)
/ | Intervalle zur Terz, Sexte, Dezime,
1 (c) | Tredezime,... Für Sekunde, Septime,
\ | None, ... ist zu spiegeln und über-
25/24 („cis) 1 (c) mäßig mit vermindert zu tauschen
Fett sind die nach einem deutschen Musiklexikon gesicherten Namen. Der Rest durch systematische Fortsetzung und in Anlehnung an die Huygens-Focker-Intervall-Liste. [1]Damit stelle zumindest ich mir die Frage: Wie bestimme ich zu einem 5‑glatten Intervall die korrekte Bezeichnung? Bei einem Intervall aus x Zweien, y Dreien und z Fünfen bestimmt sich der grundlegende Name aus m=7x+11y+16z, weil die zweite Harmonische 7, die dritte 11 und die fünfte 16 diatonische Schritte nach oben führt. Im Falle von m=0,1,2,3,… spricht man von einer Prime, Sekunde, Terz, Quarte, …, frei ins Deutsche übersetzt von einer (m+1)‑ten. Der Rest einer Division von m durch 7 ergibt das von Oktaven befreite Intervall n=m=4y+2z (7) aus dem Bereich von 0 bis 6 für Prime bis Septime. Der nachstehenden Tabelle kann damit das zentrale (neutrale) Intervall (im Schema mit OOOOO gekennzeichnet) und die Zusammensetzung seines Quadrates aus α Zweien, β Dreien und γ Fünfen entnommen werden:
n Name(n) klein groß Mittel Quadrat α(n) β(n) γ(n) 0 Prime 1 1 1 0 0 0 1 Sekunde 16/15 9/8 √(6/5) 6/5 1 1 -1 2 Terz 6/5 5/4 √(3/2) 3/2 -1 1 0 3 Quarte 4/3 4/3 16/9 4 -2 0 4 Quinte 3/2 3/2 9/4 -2 2 0 5 Sexte 8/5 5/3 √(8/3) 8/3 3 -1 0 6 Septime 16/9 15/8 √(10/3) 10/3 1 -1 1Um zu ermitteln, wieviele Oktaven (a), Übermäßigkeiten (b/2) und enharmonische Erhöhungen (c/4) zum mittleren Ton, der neutralen (n+1)‑ten hinzukommen, ist
2x3y5z = 2α/23β/25γ/2 · 2a · ((135/128)(25/24))b/4 · (81/80)c/4
nach a, b und c aufzulösen. Es ergibt sich:
c=(6y−4z−3β+2γ)/7 b=(2y+8z−β−4γ)/7 a=(m−n)/7
Das erste die Alterierung bezeichnende nur von b abhängende Attribut Alt(b) zum Grundnamen des Intervalls wird mit Hilfe von i=∣b∣/2 wie folgt bestimmt:
Alt(b) = '' für b=0 Alt(b) = 'große' für b=1 Alt(b) = 'kleine' für b=-1 Alt(b) = 'i-fach übermäßige' für b>1 Alt(b) = 'i-fach verminderte' für b<-1Leider ist das zweite Attribut Enh(b,c) zur Angabe der enharmonischen Abweichungen etwas kompliziert. Mit j=∣c∣/4 lautet es:
Enh(b,c) = '' für c=0 Enh(b,c) = 'größere' für c=1,2,3 Enh(b,c) = 'kleinere' für c=-1,-2,-3 Enh(b,c) = 'j-fach scharfe' für c>3 und i gerade Enh(b,c) = 'j-fach weite' für c>3 und i ungerade Enh(b,c) = 'j-fach schwache' für c<-3 und i gerade Enh(b,c) = 'j-fach enge' für c<-3 und i ungeradezugeordnet, womit das Intervall „Enh(b,c) Alt(b) Name(n) plus a Oktaven“ oder im Falle von a≥0 einfacher „Enh(b,c) Alt(b) (m+1)‑te“ lautet. Ist Name(m) bekannt, so auch „Enh(b,c) Alt(b) Name(m)“ Ein Beispiel: Für 1024/675 ist x=10, y=−3, z=−2, m=n=5 (Sexte), β=−1, γ=0, c=−1, b=−3, a=0, i=1 und j=0. Damit handelt es sich um eine „kleinere 1‑fach verminderte Sexte plus 0 Oktaven“, kurz die kleinere verminderte Sexte. So steht es auch in einem deutschen Musiklexikon. [2] Doch die sich alle möglichen Intervalle anheischig machende Huygens-Fokker-Liste [3] nennt eine enge verminderte Sexte.
Auch im deutschen Sprachgebrauch verdrängt die Bezeichnung pythagoreisch für 3‑glatte Intervalle gerne die systematische. So heißt die kleinere kleine Terz (32/27) pythagoreisch und in der Folge die größere (6/5) einfach (natürliche) kleine Terz. Das ist nicht bedenklich, solange man in exotischen Bereichen nicht zu unsystematischen Bezeichnungen greift. Und damit meine ich nicht sehr kleine Intervalle und einige besondere wie Halbton, Ganzton, Chroma, Limma, Komma, Apotome, Diesis, Schisma, Ditonus, Tritonus.
[1] Ich habe scharf, schwach, eng und weit in Klammern gesetzt, denn es ist nicht mehr als mein Versuch, die in der Huygens-Fokker-Liste [3] so bezeichneten Intervalle in das deutsche System des Musiklexikons [2] einzuordnen. Wie es richtig ist oder sein könnte, weiß ich nicht. Ich bin jedem dankbar, dem anerkannte Konzepte bekannt sind und sie mir in einem Kommentar darlegt.
[2] Habe nur noch die Kopie der Seiten 409 bis 413 zum Stichwort Intervall. Darin sind leider nur die gängigsten Intervalle verzeichnet, daß ein Gesamtsystem über sie hinaus nicht zu erkennen ist.
[3] Intervall-Liste. Huygens-Fokker Foundation. Diese Liste nennt zwar mehr 5‑glatte Intervalle als das Musiklexikon [2], doch leider ist ein System nur in Ansätzen zu erkennen und nicht konsequent umgesetzt.
Quinte | Dur
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Ober-Unter
wuerg, 30.05.2005 16:10
Gehen wir eine Treppe mit fünf Stufen hoch, so führte die erste Stufe von der Grundebene 0 zur Ebene 1, die zweite von dieser zur Ebene 2 bis zur letzten und fünften Stufe auf die Ebene 5.
Das soll nicht heißen, daß unsere Stockwerksnummern blödsinnig sind und die amerikanische Zählung überlegen ist. Man darf nur nicht reflexartig eine Ober-Unter-Symmetrie annehmen, auch wenn viele Menschen dazu neigen, Dualität und Symmetrie in die Welt zu dichten. Wahr und falsch, positiv und negativ sind keineswegs im strengen Sinne symmetrisch oder polar und im Gegensatz zu Mann und Frau noch nicht einmal gleichwertig.
Man muß bei Numerierungen aufpassen. Ist Herr Ratzinger nun der 265. Papst oder der 265. Nachfolger Petri? Ergeben eine Quarte und eine Quinte eine None? Und warum malen manche eine 16 über den Violinschlüssel, wenn zwei Oktaven höher gespielt werden soll? Warum haben wir in acht Tagen den gleichen Wochentag, den nächsten aber in 14? Liegt der zweite Oberton eine Oktave oder eine Duodezime höher? Zumeist ist eine Ansicht die angenehmere. Bei Intervallen und Tageszählungen von Sonntag zu Sonntag oder Ostern bis Pfingsten hat man sich für die ungeschicktere entschieden. Das verdanken wir den beide Endpunkte mitzählenden Römern, gleichwohl auch sie eine Meile für 1000 und nicht 1001 Schritte hielten.
Zumeist ist es besser, additiv bei 0 und multiplikativ bei 1 zu beginnen. Deshalb sollte man den Begriff Oberton meiden und die n‑fache Frequenz n‑ten Teilton, n‑te Harmonische oder n‑ten Naturton nennen. Dann ist die m‑te Harmonische über der n‑ten einfach der die mn‑te. Vollkommener Quatsch ist es, den m‑ten zum n‑ten Oberton als den (mn+m+n)‑ten zu bestimmen. Additiv ist es nicht so dramatisch, denn unabhängig von der Zählung des Parterres liegt das siebte Geschoß immer drei über dem vierten und fünf Jahre nach 1998 schreiben wir das Jahr 2003, ob es nun ein Jahr 0 gegeben hat oder nicht.
Additiv kann man auch gut unter die Null in den negativen Bereich gehen, multiplikativ nur schlecht unter die Eins. Zwar ist es naheliegend, einen Ton mit einem n‑tel der Frequenz n‑te Subharmonische oder gar (n−1)‑ten Unterton zu nennen, doch fügen sich diese beiden Bereiche mit den Harmonischen und den Obertönen algebraisch nicht zusammen. Außerdem kommt Untertönen nicht die physikalische Realität der Obertöne zu, wie auch Ober beim Doppelkopf angenehmer sind als Unter.
Man rettet die Symmetrie auch nicht dadurch, daß die n‑te Subharmonische die n‑fache Wellenlänge hat, denn der Mensch hört die Frequenz, nicht die Wellenlänge, auch wenn die Griechen Töne mit kleinerer Frequenz als die höheren sahen, weil ihre Saiten länger waren. Gerne kann man zu einem Ton eine Subharmonische anschlagen, um ihn so zu einem Oberton zu machen und zu verstärken. Von selbst erklingen sie aber nur selten. Auch kann man Notenblätter auf den Kopf stellen oder Musikstücke rückwärts spielen. Das ist eine nette Spielerei, doch vollkommene Symmetrie wird dadurch nicht erreicht, wie Wasser auch leichter aus der Flasche fließt als hinein.
Jahr 0 | Intervalle
o--- Ebene 5
Stufe 5 |
+---+ Ebene 4
Stufe 4 |
+---+ Ebene 3
Stufe 3 |
+---+ Ebene 2
Stufe 2 |
o---+ Ebene 1
Stufe 1 |
--------+ Ebene 0
Über diese Numerierung sollte es keinen Streit geben. Und es ist auch klar, wohin die Markierungen für Blinde kommen, nämlich an die mit o gekennzeichnete An- und Austrittsstufe auf der ersten und der obersten Ebene. Diese Vorstellung wandeln wir ab, wenn die Stufen etwa drei Meter hoch sind:
+-----------+ Ebene 5
4. Stock | |
+-----------+ Ebene 4
3. Stock | |
+-----------+ Ebene 3
2. Stock | |
+-----------+ Ebene 2
1. Stock | |
+-----------+ Ebene 1
Erdgeschoß | |
-----------+-----------+ Ebene 0
Die n‑te Stufe heißt nun (n−1)‑ter Stock. Vor allem in Bürohochhäusern ist die Bezeichnung Obergeschoß üblich, zumal es normalerweise auch mehrere Untergeschosse gibt. Das suggeriert eine Symmetrie beider zum Erdgeschoß (0). Doch ist diese Symmetrie dadurch gestört, daß ein Haus mit m Ober- und n Untergeschossen m+1 Stockwerke hoch, ober nur n tief ist. Die Benennung der Stockwerke birgt also eine ähnliche Problematik wie das Jahr 0. Hätte es ein solches gegeben, wäre das zweite Jahrtausend nicht erst am 31. Dezember 2000, sondern schönerweise mit dem 31. Dezember 1999 zuende gegangen. Doch das erste vorchristliche Jahrtausend läge dann immer noch von 1000 bis 1 vor Christus oder überlappte sich im Jahre 0 mit dem ersten nachchristlichen. Es war also gar nicht so blöd, kein Jahr 0 vorzusehen, denn dann gilt vor und nach der Zeitenwende: Das n‑te Jahrtausend umfaßt die Jahre 1000(n−1)+1 bis 1000n.Das soll nicht heißen, daß unsere Stockwerksnummern blödsinnig sind und die amerikanische Zählung überlegen ist. Man darf nur nicht reflexartig eine Ober-Unter-Symmetrie annehmen, auch wenn viele Menschen dazu neigen, Dualität und Symmetrie in die Welt zu dichten. Wahr und falsch, positiv und negativ sind keineswegs im strengen Sinne symmetrisch oder polar und im Gegensatz zu Mann und Frau noch nicht einmal gleichwertig.
Man muß bei Numerierungen aufpassen. Ist Herr Ratzinger nun der 265. Papst oder der 265. Nachfolger Petri? Ergeben eine Quarte und eine Quinte eine None? Und warum malen manche eine 16 über den Violinschlüssel, wenn zwei Oktaven höher gespielt werden soll? Warum haben wir in acht Tagen den gleichen Wochentag, den nächsten aber in 14? Liegt der zweite Oberton eine Oktave oder eine Duodezime höher? Zumeist ist eine Ansicht die angenehmere. Bei Intervallen und Tageszählungen von Sonntag zu Sonntag oder Ostern bis Pfingsten hat man sich für die ungeschicktere entschieden. Das verdanken wir den beide Endpunkte mitzählenden Römern, gleichwohl auch sie eine Meile für 1000 und nicht 1001 Schritte hielten.
Zumeist ist es besser, additiv bei 0 und multiplikativ bei 1 zu beginnen. Deshalb sollte man den Begriff Oberton meiden und die n‑fache Frequenz n‑ten Teilton, n‑te Harmonische oder n‑ten Naturton nennen. Dann ist die m‑te Harmonische über der n‑ten einfach der die mn‑te. Vollkommener Quatsch ist es, den m‑ten zum n‑ten Oberton als den (mn+m+n)‑ten zu bestimmen. Additiv ist es nicht so dramatisch, denn unabhängig von der Zählung des Parterres liegt das siebte Geschoß immer drei über dem vierten und fünf Jahre nach 1998 schreiben wir das Jahr 2003, ob es nun ein Jahr 0 gegeben hat oder nicht.
Additiv kann man auch gut unter die Null in den negativen Bereich gehen, multiplikativ nur schlecht unter die Eins. Zwar ist es naheliegend, einen Ton mit einem n‑tel der Frequenz n‑te Subharmonische oder gar (n−1)‑ten Unterton zu nennen, doch fügen sich diese beiden Bereiche mit den Harmonischen und den Obertönen algebraisch nicht zusammen. Außerdem kommt Untertönen nicht die physikalische Realität der Obertöne zu, wie auch Ober beim Doppelkopf angenehmer sind als Unter.
Man rettet die Symmetrie auch nicht dadurch, daß die n‑te Subharmonische die n‑fache Wellenlänge hat, denn der Mensch hört die Frequenz, nicht die Wellenlänge, auch wenn die Griechen Töne mit kleinerer Frequenz als die höheren sahen, weil ihre Saiten länger waren. Gerne kann man zu einem Ton eine Subharmonische anschlagen, um ihn so zu einem Oberton zu machen und zu verstärken. Von selbst erklingen sie aber nur selten. Auch kann man Notenblätter auf den Kopf stellen oder Musikstücke rückwärts spielen. Das ist eine nette Spielerei, doch vollkommene Symmetrie wird dadurch nicht erreicht, wie Wasser auch leichter aus der Flasche fließt als hinein.
Jahr 0 | Intervalle
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Dur
wuerg, 25.05.2005 01:40
Schon vor der Erfindung der Musik wiesen die Laute des Menschen und der Natur eine spektrale Zusammensetzung in vorzugsnäherungsweisen [1] kleinzahligen Frequenzverhältnissen auf. Spätestens die alten Griechen erkannten Saitenlängen in den Verhältnissen 2:1 (Oktave) und 3:2 (Quinte) als harmonisch zusammenklingend. Doch die Götter versagten ihnen auch hier kommensurable Verhältnisse. Keine m Quinten würden jemals genau n Oktaven treffen. Zum Trost gaben sie recht kleinen Verhältnissen noch heute gebräuchliche Namen:
Dank der Volksmusik setzte sich die Siebenteilung durch. Sie besteht pythagoreisch aus fünf großen Ganztönen (9/8) und zwei Diesen (256/243). Eine gleichmäßige Verkleinerung aller Quinten um eine siebtel Apotome, also eine Teilung in sieben gleiche Intervalle scheidet weniger wegen der dann um 16 Cent zu kleinen Quinte aus, sondern dadurch, daß die halben Töne genauso groß würden wie die ganzen, die offensichtlich im menschlichen Gesang liegende Diatonik verloren ginge. Man kann also bei der pythagoreischen Teilung bleiben oder eine andere ins Auge fassen, die beide halben Tonschritte in etwa halb so groß läßt wie die ganzen. [2]
Zur Rechtfertigung einer reinen pythagoreischen Teilung errichteten die Griechen Gebäude aus Tetrachorden, deren nur teilweise richtige Neuentdeckung im Mittelalter wir letztlich die sieben Töne F–c–g–d′–a′–e″–h′ im Abstand reiner Quinten verdanken. Durch Oktavierung und Anhängen von -is oder -es für jede Erhöhung bzw. Erniedrigung um eine Apotome entsteht das heute pythagoreisch genannte Universum von Tönen und Intervallen.
Auch die Griechen kamen auf den Trichter, über die 3‑glatten Verhältnisse zu den 5- oder gar 7‑glatten aufzusteigen. Und mit den Jahrhunderten wurde auch das gut singbare Verhältnis 5:4 als harmonisch anerkannt. Damit standen für eine Teilung der Oktave nicht nur die Intervalle 3/2, 4/3, 9/8, 32/27, 81/64, 32/27, 256/243, … sondern mit 5/4, 6/5, 10/9, 16/15, 25/24, 27/25, 81/80, 128/125, 135/128, … auch eine ganze Reihe neuer geringer Größe bei kleinzahligen Verhältnissen zur Verfügung.
Automatisch entsteht die Frage, wie man aus bis zu dreien dieser Intervalle eine Oktave exakt zusammensetzen kann. Nicht alle Kombinationen sind sinnvoll oder gar möglich. Hier nur die drei Siebenteilungen mit Intervallen, deren Zähler und Nenner 256 nicht übersteigen und von denen das größte kleiner ist als zwei der kleinsten:
[1] Im folgenden geht es um die Teilung der ungestreckten reinen Oktave, gleichwohl die Schwingungsverhältnisse der Natur keineswegs immer exakt rational sind. An ihnen hat der normale Mensch sein Gehör ausgebildet, nicht am Monochord, am Stimmgerät, in der Hochschule für Musik oder auf dem Reißbrett.
[2] Am einfachsten ist es, die halben Töne genau halb so groß zu machen wie die ganzen. Dann betten sich die sieben Töne in die gleichstufige Zwölfteilung ein. In der mitteltönigen Stimmung bilden zwei ganze Töne zu √(5/4) eine große Terz. Auch Werckmeister verkürtzte alle zwölf Quinten um ein Zwölftel des pythagoreischen Kommas, die nach ihm benannten Teilungen aber sehen ungleichmäßig als Zu- und Abschläge Vielfache von einem Drittel, Viertel bzw. Siebtel eines pythagoreischen Kommas vor.
[3] Das Eulersche Tonnetz zeigt alle 5‑glatten Intervalle. Ein Schritt nach rechts entspricht einem Faktor 3, einer nach oben einem Faktor 5. Sich um 2 unterscheidende Töne werden als gleich gesehen. Töne mit n führenden Tief- bzw. Hochkommas sind n syntonische Kommatates (81/80) tiefer bzw. höher als die gleichnamigen pythagoreischen.
[4] Zu diesem Ergebnis kam schon Ptolemäus, weshalb im amerikanischen Sprachraum die Intervalle mit einer 5 im Nenner oder Zähler im Kontrast zu pythagorean gerne ptolemaic genannt werden.
Oktave | Quinte
23 : (3/2)5 = 28 / 35 = 256/243 = Diesis ≈ 1,054
(3/2)7 : 24 = 37 / 211 = 2187/2048 = Apotome ≈ 1,068
(3/2)12 : 27 = 312 / 219 = 531441/524288 = Komma ≈ 1,014
Das gibt Anlaß zu Oktavteilungen in 5, 7 oder 12 Töne, die durch Stapelung von 4, 6 oder 11 Quinten entstehen. Vom letzten zum ersten Ton liegt dann keine reine Quinte, sondern eine Diesis mehr bzw. eine Apotome oder ein Komma weniger. Teilt man diese Verstimmungen gleichmäßig auf, sind alle Quinten um 90 Cent zu groß bzw. 16 oder 2 Cent zu klein. Letzteres liegt unter der Hörbarkeitsgrenze, weshalb es bzgl. der Quinten an der gleichstufigen Zwölftonleiter nichts auszusetzen gibt.Dank der Volksmusik setzte sich die Siebenteilung durch. Sie besteht pythagoreisch aus fünf großen Ganztönen (9/8) und zwei Diesen (256/243). Eine gleichmäßige Verkleinerung aller Quinten um eine siebtel Apotome, also eine Teilung in sieben gleiche Intervalle scheidet weniger wegen der dann um 16 Cent zu kleinen Quinte aus, sondern dadurch, daß die halben Töne genauso groß würden wie die ganzen, die offensichtlich im menschlichen Gesang liegende Diatonik verloren ginge. Man kann also bei der pythagoreischen Teilung bleiben oder eine andere ins Auge fassen, die beide halben Tonschritte in etwa halb so groß läßt wie die ganzen. [2]
Zur Rechtfertigung einer reinen pythagoreischen Teilung errichteten die Griechen Gebäude aus Tetrachorden, deren nur teilweise richtige Neuentdeckung im Mittelalter wir letztlich die sieben Töne F–c–g–d′–a′–e″–h′ im Abstand reiner Quinten verdanken. Durch Oktavierung und Anhängen von -is oder -es für jede Erhöhung bzw. Erniedrigung um eine Apotome entsteht das heute pythagoreisch genannte Universum von Tönen und Intervallen.
Auch die Griechen kamen auf den Trichter, über die 3‑glatten Verhältnisse zu den 5- oder gar 7‑glatten aufzusteigen. Und mit den Jahrhunderten wurde auch das gut singbare Verhältnis 5:4 als harmonisch anerkannt. Damit standen für eine Teilung der Oktave nicht nur die Intervalle 3/2, 4/3, 9/8, 32/27, 81/64, 32/27, 256/243, … sondern mit 5/4, 6/5, 10/9, 16/15, 25/24, 27/25, 81/80, 128/125, 135/128, … auch eine ganze Reihe neuer geringer Größe bei kleinzahligen Verhältnissen zur Verfügung.
Automatisch entsteht die Frage, wie man aus bis zu dreien dieser Intervalle eine Oktave exakt zusammensetzen kann. Nicht alle Kombinationen sind sinnvoll oder gar möglich. Hier nur die drei Siebenteilungen mit Intervallen, deren Zähler und Nenner 256 nicht übersteigen und von denen das größte kleiner ist als zwei der kleinsten:
1. (125/108)1 ⋅ (10/9)3 ⋅ (27/25)3 = 2 (140/10) 2. (9/8)1 ⋅ (10/9)4 ⋅ (27/25)2 = 2 (105/9) 3. (9/8)3 ⋅ (10/9)2 ⋅ (16/15)2 = 2 (210/18)In Klammern die Anzahl der Möglichkeiten insgesamt und solche, die unter Rotation und Spiegelung verschieden sind. Betrachtet man die insgesamt 37 Fälle, so sticht einer mit sechs reinen Quinten hervor. Alle anderen weisen keine fünf auf. Diese eine Teilung führt auf die einzig akzeptablen Abfolgen
... G K G H:G K H G K G H:G K H G K G H ... (Dur) ... G K:G H K G H G K:G H K G H G K G H ... (Moll)mit G=9/8 (großer Ganzton), K=10/9 (kleiner Ganzton) und H=16/15 (diatonischer Halbton). Es handelt sich um die Dur- und die Moll-Teilung der Oktave, zu denen Musiker die mit einem Doppelpunkt gekennzeichneten Positionen als Grundton sehen. Es verwundert nicht, daß diese beiden die kompakteste Darstellung im Eulerschen Tonnetz [3] aufweisen. Hier für C‑Dur und ‚a‑moll:
‚a ‚e ‚h ‚d--‚a--‚e--‚h 5/4 |\ |\ |\ \ |\ |\ | | | \ | \ | \ \ | \ | \ | | | \| \| \ \| \| \| | f---c---g---d f c g 1/1---3/2Man sieht nicht nur die drei Dur- bzw. Moll-Dreiklänge (Dreiecke mit Spitze oben bzw. unten) und das um ein syntonisches Komma (81/80) abweichende d, sondern auch, daß Dur den größten gemeinsamen Unterton umfaßt (f in C‑Dur), Moll jedoch nicht (’b in a‑moll). Damit ist die Dur-Teilung nicht eine von zwei guten oder gar vielen, sondern die beste und natürliche. [4] Sich damit rauszureden, daß eine Moll-Tonleiter dafür den kleinsten gemeinsamen Oberton enthält (h im Falle von a‑moll), Dur jedoch nicht, geht an der physikalischen Realität vorbei.
[1] Im folgenden geht es um die Teilung der ungestreckten reinen Oktave, gleichwohl die Schwingungsverhältnisse der Natur keineswegs immer exakt rational sind. An ihnen hat der normale Mensch sein Gehör ausgebildet, nicht am Monochord, am Stimmgerät, in der Hochschule für Musik oder auf dem Reißbrett.
[2] Am einfachsten ist es, die halben Töne genau halb so groß zu machen wie die ganzen. Dann betten sich die sieben Töne in die gleichstufige Zwölfteilung ein. In der mitteltönigen Stimmung bilden zwei ganze Töne zu √(5/4) eine große Terz. Auch Werckmeister verkürtzte alle zwölf Quinten um ein Zwölftel des pythagoreischen Kommas, die nach ihm benannten Teilungen aber sehen ungleichmäßig als Zu- und Abschläge Vielfache von einem Drittel, Viertel bzw. Siebtel eines pythagoreischen Kommas vor.
[3] Das Eulersche Tonnetz zeigt alle 5‑glatten Intervalle. Ein Schritt nach rechts entspricht einem Faktor 3, einer nach oben einem Faktor 5. Sich um 2 unterscheidende Töne werden als gleich gesehen. Töne mit n führenden Tief- bzw. Hochkommas sind n syntonische Kommatates (81/80) tiefer bzw. höher als die gleichnamigen pythagoreischen.
[4] Zu diesem Ergebnis kam schon Ptolemäus, weshalb im amerikanischen Sprachraum die Intervalle mit einer 5 im Nenner oder Zähler im Kontrast zu pythagorean gerne ptolemaic genannt werden.
Oktave | Quinte
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