Zahlwort

Wie ein Eineck aussehen sollte, ob es eine Kante hat, wie lang und gerade sie sein muß und ob sie eine Fläche umschließt, habe ich unter dem Titel Zweieck disku­tiert. Hier soll es nur um die Fort­setzung der Frage gehen, aus wievielen Punkten denn ein Zweieck oder ein Eineck analog zu den zen­trier­ten Drei­ecks­zahlen, Viereck­zahlen usw. gebil­det werden, was also zen­trierte Zwei- und Eineck­zahlen sind.

Aus der Formel P(k,n)=n·[(k-2)n-(k-4)]/2 für die normalen k-Eck­zahlen ergeben sich:

           n:  1  2  3   4   5   6   7   8   9
Zweieck Z(n):  1  2  3   4   5   6   7   8   9
Dreieck D(n):  1  3  6  10  15  21  28  36  45
Viereck Q(n):  1  4  9  16  25  36  49  64  81
Fünfeck F(n):  1  5 12  22  35  51  70  92 117

Normale Eineck­zahlen machen wenig Sinn, denn sie würden nach der Formel n(3-n)/2 bereits negativ. Wie aber steht es um die zen­trier­ten Zwei- und Eineck­zahlen? Eine Formel für die zen­trier­ten k-Eck­zahlen lautet p(k,n)=1+k·D(n-1). Damit ergibt sich folgende Tabelle:

           n:  1  2   3   4   5   6   7   8   9
Eineck  e(n):  1  2   4   7  11  16  22  29  37
Zweieck z(n):  1  3   7  13  21  31  43  57  73
Dreieck d(n):  1  4  10  19  31  46  64  85 109
Viereck q(n):  1  5  13  25  41  61  85 113 145
Fünfeck f(n):  1  6  16  31  51  76 106 141 181

Die zentrierten Zwei- und sogar die Eineck­zahlen wachsen mit zuneh­menden n wie die übrigen eben­falls quadra­tisch an. Erst die Nulleck­zahlen stag­nieren bei 1. Sie bestehen nur aus dem Mitten­punkt mit 0 Drei­ecken drum­herum. Die Vorstel­lung

                                /2--4--6--8\
1--2--3--4--5--6   und nicht   1            10
                                \3--5--7--9/

von den normalen Zweieck­zahlen läßt sich offen­sicht­lich nicht über­tragen. Man kommt auf ein Bild wie das linke

                          A   C   C   C   C
A                   B       A   C   C   C       A 
  A               B       A   A   C   C   B       A
A   A           B   B       A   A   C   B       A   A
  A   A   O   B   B       A   A   O   B   B       A   A   O
A   A           B   B       A   D   B   B       A   A
  A               B       A   D   D   B   B       A
A                   B       D   D   D   B       A
                          D   D   D   D   B

im dem vom Viereck in der Mitte zwei der vier Flügel fehlen. Für das Eineck bleibt wie im rechten Bild nur ein Flügel mit einem Zusatz­punkt, insge­samt also e(n)=1+D(n-1). Das sind die sog. Pizzazahlen 1+D(n)=e(n+1), die Maximal­zahl der Pizza­stücke, die durch n gerade Schnitte möglich sind.

Eine viel­leicht bessere, aber mit ASCII-Zeichen schlecht dar­stell­bare Veran­schau­lichung der n-ten k-Eck­zahl ist ein Mittel­punkt, um den n-1 Kreise gezeich­net werden, wobei auf dem i-ten Kreis von innen genau i Punkte liegen.

einfache und zentrierte Polygonalzahlen | Zweieck