Polygonalzahlen
wuerg, 06.05.2005 01:56
Weitgehend bekannt ist, wie sich die Dreieckszahlen Dₙ aus Dreiecken und die Quadratzahlen Qₙ aus Quadraten ergeben. Dieses Verfahren kann auf Fünfecke, Sechsecke, Siebenecke usw. wie folgt fortgesetzt werden:
Man sieht, daß für k>4 die geometrische Schönheit zunehmend verloren geht und für große n riesige Löcher entstehen, sofern man die Polygone nicht stark verbiegt. Dennoch werden Punktzahlen dieser Gebilde normale, einfache, gewöhnliche oder schlicht die Polygonalzahlen genannt. Oft heißen sie auch unzentriert oder dezentral, wodurch sie zumindest sprachlich hinter die ebenmäßigeren, runder und symmetrischer aussehenden zentrierten Polygonalzahlen zurückfallen. [2]
Die Bildung der Figuren beginnt für n=1 mit einem Punkt (1). Für n=2 ist es ein k‑Eck mit 2 Punkten pro Kante. Dem Anfangspunkt und seinen beiden Kanten (1–2) überlagert man sodann für n=3 ein k‑Eck mit 3 Punkten pro Kante. Das geht so weiter bis zu einem überlagernden k‑Eck mit n Punkten auf jeder Kante. Die Gesamtzahl der Punkte ist die n‑te k‑Eckzahl
Pkn = n((k−2)n−(k−4))/2 = n+(k−2)Dn−1 = Dn+(k−3)Dn−1 = n2+(k−4)Dn−1
worin Dₙ=P³ₙ=n(n+1)/2 die n‑te Dreieckszahl ist.
[1] Aus lautlichen Gründen gestatte ich mir nur bei den Dreieckszahlen ein Fugen‑S, zumal ich Quadratszahlen nie hörte und mich an Dreieckzahlen nicht erinnern kann. Es ist wie mit dreißig und vierzig.
[2] Das liegt wohl an den alten Griechen, die sich für die zentrierten Polygonalzahlen vermutvlich weniger interessierten. Immer wieder erscheinen derart holprige Attribute. So ist die Zahl zwar nicht zusammengesetzt, gilt aber dennoch als stark zusammengesetzt, da alle kleineren Zahlen weniger Teiler haben. Auch sind alle Körper Schiefkörper, obwohl sie kommutativ, also nicht schief sind. Und im Jahre 2026 werden Einheimische zu Nicht-Migranten. Demnächst sind wir alle Migranten, nur die Einwanderer keine Nicht-Migranten, also von diesem Makel befreit.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Dreieckszahlen A000217, Quadratzahlen A000290, Fünkfeckzahlen A000326, Sechseckzahlen A000384, alle Polygonalzahlen mit k,n>2 A090466.
[4] Jutta Gut: Figurierte Zahlen.
[5] Wolfram Mathworld. Figurate Number.
Dreieckszahlen | Quadratzahlen | Zweieck | Eineck | zentrierte Polygonalzahlen
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3
4 4 4 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 2 3 4
4 3 4 4 3 3 3 4 4 3 3 4
k=3 4 4 4 4 4 3 3 4
4 4 4 4 4 4 3 4
4 4
n=4 k=4 k=5 4 4
4 k=6
Die vierten Dreiecks-, Quadrat-, Fünfeck-, Sechseckzahlen [1]Man sieht, daß für k>4 die geometrische Schönheit zunehmend verloren geht und für große n riesige Löcher entstehen, sofern man die Polygone nicht stark verbiegt. Dennoch werden Punktzahlen dieser Gebilde normale, einfache, gewöhnliche oder schlicht die Polygonalzahlen genannt. Oft heißen sie auch unzentriert oder dezentral, wodurch sie zumindest sprachlich hinter die ebenmäßigeren, runder und symmetrischer aussehenden zentrierten Polygonalzahlen zurückfallen. [2]
Die Bildung der Figuren beginnt für n=1 mit einem Punkt (1). Für n=2 ist es ein k‑Eck mit 2 Punkten pro Kante. Dem Anfangspunkt und seinen beiden Kanten (1–2) überlagert man sodann für n=3 ein k‑Eck mit 3 Punkten pro Kante. Das geht so weiter bis zu einem überlagernden k‑Eck mit n Punkten auf jeder Kante. Die Gesamtzahl der Punkte ist die n‑te k‑Eckzahl
Pkn = n((k−2)n−(k−4))/2 = n+(k−2)Dn−1 = Dn+(k−3)Dn−1 = n2+(k−4)Dn−1
worin Dₙ=P³ₙ=n(n+1)/2 die n‑te Dreieckszahl ist.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P3n 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 Dreieckszahlen Dn=n(n+1)/2 P4n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 Quadratzahlen Qn=n2 P5n 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 Pentagonalzahlen Fn=n(3n−1)/2 P6n 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 Hexagonalzahlen Hn=n(2n−1) P7n 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 Heptagonalzahlen Sn=n(5n−3)/2 P8n 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 Oktagonalzahlen An=n(3n−2)Die Formel für diese Polygonalzahlen läßt auf alle k,n aus ℕ, ja ℤ, ℝ oder mehr fortsetzen. Für festes n sind es Geraden mit Steigung Dₙ₋₁, für festes k≠2 Parabeln. Interessant sind die Zweieckzahlen Zₙ=n, die Eineckzahlen Eₙ=n(3−n)/2 und die Nulleckzahlen Nₙ=n(2−n).
[1] Aus lautlichen Gründen gestatte ich mir nur bei den Dreieckszahlen ein Fugen‑S, zumal ich Quadratszahlen nie hörte und mich an Dreieckzahlen nicht erinnern kann. Es ist wie mit dreißig und vierzig.
[2] Das liegt wohl an den alten Griechen, die sich für die zentrierten Polygonalzahlen vermutvlich weniger interessierten. Immer wieder erscheinen derart holprige Attribute. So ist die Zahl zwar nicht zusammengesetzt, gilt aber dennoch als stark zusammengesetzt, da alle kleineren Zahlen weniger Teiler haben. Auch sind alle Körper Schiefkörper, obwohl sie kommutativ, also nicht schief sind. Und im Jahre 2026 werden Einheimische zu Nicht-Migranten. Demnächst sind wir alle Migranten, nur die Einwanderer keine Nicht-Migranten, also von diesem Makel befreit.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Dreieckszahlen A000217, Quadratzahlen A000290, Fünkfeckzahlen A000326, Sechseckzahlen A000384, alle Polygonalzahlen mit k,n>2 A090466.
[4] Jutta Gut: Figurierte Zahlen.
[5] Wolfram Mathworld. Figurate Number.
Dreieckszahlen | Quadratzahlen | Zweieck | Eineck | zentrierte Polygonalzahlen
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wuerg,
06.05.2005 23:22
Wenn man irgendetwas aus einem Bild oder anderen Realitäten heraus formalisiert, besteht immer die Gefahr, daß es sich irgendwann als ungenau, unvollständig oder gar falsch herausstellt. Aus solchen ungenauen Formalisierungen korrekt abgeleitete Erkenntnisse bleiben natürlich richtig, treffen aber nicht mehr vollumfänglich auf die betrachteten Bilder und Realitäten zu. Eine unter Mühen aufgebaute Theorie wird dadurch nicht falsch, doch möglicherweise uninteressant oder gar wertlos.
Insbesondere gilt das für den Versuch, wirtschaftliche Zusammenhänge, das menschliche Verhalten oder andere schwer durchschaubare Systeme zu formalisieren. Das bleibt stets ungenau. Die aus solchen Modellen korrekt gewonnenen Erkenntnisse sind zwar in Ewigkeit gültig, es ist jedoch stets zu überprüfen, ob diese Ergebnisse die Realität noch einigermaßen treffen, zumindest ansatzweise erklären. [1]
Das Bild meines Hauptbeitrages sollte nahelegen, daß man von Pᵏₙ₋₁ nach Pᵏₙ aufsteigt, indem neben jeweils n−1 inneren Punkten auf den den k−2 neuen Kanten noch k−1 Eckpunkte hinzutreten, was auf die Rekursion
Pᵏₙ=Pᵏₙ + (k−2)(n−2)+(k−1) = (k−2)n−k+3
führt. Es könnten sich aber Denkfehler eingeschlichen haben. Deshalb nochmals der Bildungsprozeß am Beipiel des Fünfeckes mit dem Übergang von H₄ nach H₅
auf den k−2 neuen Kanten und (k−1)=5 Eckpunkte (5) hinzu.
Zur Kontrolle wird Pᵏₙ₋₁−Pᵏₙ leicht abgewandelt bestimmt: Das hinzutretende k‑Eck mit n Punkten auf jeder Kante weist insgesamt k(n−1) Punkte auf. Abzüglich der bereits vorhandenen 2(n−2)+1 Punkte (o) ist der Zuwachs abermals (k−2)n−k+3.
Das befriedigt noch nicht sehr, könnte doch zweimal der gleiche Anschauungsfehler unterlaufen sein. Deshalb etwas einfacher, brutaler und geschickter: Zwei aufeinanderfolgende hinzutretende k‑Ecke unterscheiden sich in der Anzahl neuer Punkte konstant um k−2, nämlich auf jeder der k Kanten bis auf die beiden oberen jeweils ein Punkt mehr. Es handelt sich bei deren Größe also um eine arithmetische Progression, womit Pᵏₙ eine quadratische in n sein muß. Um zu verifizieren, daß n((k−2)n−(k−4))/2 die richtige ist, reicht eine Überprüfung der Werte Pᵏ₀=0, Pᵏ₁=1 und Pᵏ₂=k.
Und immer noch könnte sich ein Fehler eingeschlichen haben, und zwar wie oftmals bei solchen rekursiven Überlegungen gerade am Anfang, also bei n=0 oder gar n=1. Es wäre also angezeigt, statt Pᵏ₀=0, Pᵏ₁=1 und Pᵏ₂=k die Werte Pᵏ₂, Pᵏ₃ und Pᵏ₄ zu überprüfen. Doch wie will man die sicher aus der Anschauung ableiten, ohne unendlich viele Bilder zu malen?
Was ich sagen will: Es bleibt trotz aller Evidenz immer eine Restunsicherheit, wenn man zu leichtfertig auf Anschauung vertraut, vor allem in Bereichen, da sie versagt, etwa in mehr als drei Dimensionen, bei unberechenbaren Menschen oder nur teilweise durchschauten Systemen. Bei aller Sinnhaftigkeit des heutzutage vernachlässigten Geometrie-Unterrichtes sind wir keine alten Griechen mehr, die ihre Beweise durch bildliche Konstruktionen führten. Heute sollte es zuminvdest in der Mathematik so sein, daß umgekehrt Bilder hoffentlich gute Veranschaulichungen formaler Aussagen sind. [2]
Die Anschauung bleibt aber vor allem dann wichtig, wenn ohne sie eine Formalisierung uninteressant wäre, die wiederum zu einer Veränderung, gar Verbesserung der Bilder führen kann, damit diese Zusammenhänge besser sichtbar machen. So können die recht löchrigen Standardbilder für die einfachen Polygonalzahlen oberhalb von k=4 nicht nur dem menschlichen Empfinden angepaßt werden, sondern auch Beziehungen untereinander darstellen. Für Quadrate und Dreiecke ist das recht einfach möglich:
Dieses vierte Bild zeigt statt eines Quadrates mit viermal 90 Grad eine Raute mit je zweimal 60 und 120 Grad. Diese Winkel sind ganz allgemein günstig. Für ein Fünfeck kann man die fünfmal 108 Grad auf 120+60+180+60 verbiegen
Wenn auch mit wachsendem k das Interesse abnimmt, so sind doch einige ansprechende Figuren [3] zu diesen Polygonalzahlen möglich, deren Darstellung dadurch erleichtert wird, das nur k Dreiecke zusammenzusetzen sind, man insbesondere durch Ankleben eines Dreieckes oder eines Rechteckes von k−1 bzw. k−2 zu k aufsteigt. Für gerades k ist immer ein Rechteck der Breite n und Länge (k/2−1)(n−1)+1 möglich. Für ungerades k=2l+1 kann einfach ein Dach draufgesetzt werden.
[1] So ist das schönste Klimamodell wertlos, wenn die Annahmen nicht der Realität entsprechen, wie das nunmehr vom Weltklimarat beerdigte Szenario 8.5, gemäß dem wir noch in diesem Jahrhundert alles verbrennen müßten, was das Erdreich hergibt.
[2] Ein Beispiel: Auch wenn man zurecht den Sinus als Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse sieht, so ist es mathematisch doch besser, ihn als Potenzreihe zu definieren oder gar aus der komplexen Exponentialfunktion zu bilden. Keiner muß deshalb die rechtwinkligen Dreiecke vergessen.
[3] So kann man an ein Quadrat vier Dreiecke ankleben, um einen vierzackigen Stern zur Achteckzahl zu erhalten. Oder einem Dreieck zu einer Hexagonalzahl drei weitere Dreiecke für einen sechszackigen Stern zu einer Neuneckzahl anfügen. Abraten würde ich dagegen von der 36 Eckzahl für n>2 in Form eines Hakenkreuzes.
Insbesondere gilt das für den Versuch, wirtschaftliche Zusammenhänge, das menschliche Verhalten oder andere schwer durchschaubare Systeme zu formalisieren. Das bleibt stets ungenau. Die aus solchen Modellen korrekt gewonnenen Erkenntnisse sind zwar in Ewigkeit gültig, es ist jedoch stets zu überprüfen, ob diese Ergebnisse die Realität noch einigermaßen treffen, zumindest ansatzweise erklären. [1]
Das Bild meines Hauptbeitrages sollte nahelegen, daß man von Pᵏₙ₋₁ nach Pᵏₙ aufsteigt, indem neben jeweils n−1 inneren Punkten auf den den k−2 neuen Kanten noch k−1 Eckpunkte hinzutreten, was auf die Rekursion
Pᵏₙ=Pᵏₙ + (k−2)(n−2)+(k−1) = (k−2)n−k+3
führt. Es könnten sich aber Denkfehler eingeschlichen haben. Deshalb nochmals der Bildungsprozeß am Beipiel des Fünfeckes mit dem Übergang von H₄ nach H₅
1 o 1
2 2 o o 2 2
3 2 2 3 o o 3 2 2 3
4 3 2 3 4 o o 4 3 2 3 4
4 3 3 4 5 5 5 4 3 3 4 5
4 3 3 4 + 5 5 = 5 4 3 3 4 5
4 3 4 5 5 5 4 3 4 5
4 4 5 5 5 4 4 5
4 4 5 5 5 4 4 5
4 5 5 5 4 5
5 5 5 5
5 5 5 5
5 5
k=6, n=5: Es kommen (k−2)(n−2)=4⋅3=12 innere Punkte (5)auf den k−2 neuen Kanten und (k−1)=5 Eckpunkte (5) hinzu.
Zur Kontrolle wird Pᵏₙ₋₁−Pᵏₙ leicht abgewandelt bestimmt: Das hinzutretende k‑Eck mit n Punkten auf jeder Kante weist insgesamt k(n−1) Punkte auf. Abzüglich der bereits vorhandenen 2(n−2)+1 Punkte (o) ist der Zuwachs abermals (k−2)n−k+3.
Das befriedigt noch nicht sehr, könnte doch zweimal der gleiche Anschauungsfehler unterlaufen sein. Deshalb etwas einfacher, brutaler und geschickter: Zwei aufeinanderfolgende hinzutretende k‑Ecke unterscheiden sich in der Anzahl neuer Punkte konstant um k−2, nämlich auf jeder der k Kanten bis auf die beiden oberen jeweils ein Punkt mehr. Es handelt sich bei deren Größe also um eine arithmetische Progression, womit Pᵏₙ eine quadratische in n sein muß. Um zu verifizieren, daß n((k−2)n−(k−4))/2 die richtige ist, reicht eine Überprüfung der Werte Pᵏ₀=0, Pᵏ₁=1 und Pᵏ₂=k.
Und immer noch könnte sich ein Fehler eingeschlichen haben, und zwar wie oftmals bei solchen rekursiven Überlegungen gerade am Anfang, also bei n=0 oder gar n=1. Es wäre also angezeigt, statt Pᵏ₀=0, Pᵏ₁=1 und Pᵏ₂=k die Werte Pᵏ₂, Pᵏ₃ und Pᵏ₄ zu überprüfen. Doch wie will man die sicher aus der Anschauung ableiten, ohne unendlich viele Bilder zu malen?
Was ich sagen will: Es bleibt trotz aller Evidenz immer eine Restunsicherheit, wenn man zu leichtfertig auf Anschauung vertraut, vor allem in Bereichen, da sie versagt, etwa in mehr als drei Dimensionen, bei unberechenbaren Menschen oder nur teilweise durchschauten Systemen. Bei aller Sinnhaftigkeit des heutzutage vernachlässigten Geometrie-Unterrichtes sind wir keine alten Griechen mehr, die ihre Beweise durch bildliche Konstruktionen führten. Heute sollte es zuminvdest in der Mathematik so sein, daß umgekehrt Bilder hoffentlich gute Veranschaulichungen formaler Aussagen sind. [2]
Die Anschauung bleibt aber vor allem dann wichtig, wenn ohne sie eine Formalisierung uninteressant wäre, die wiederum zu einer Veränderung, gar Verbesserung der Bilder führen kann, damit diese Zusammenhänge besser sichtbar machen. So können die recht löchrigen Standardbilder für die einfachen Polygonalzahlen oberhalb von k=4 nicht nur dem menschlichen Empfinden angepaßt werden, sondern auch Beziehungen untereinander darstellen. Für Quadrate und Dreiecke ist das recht einfach möglich:
1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 B B B B A 2 2 3 4 5 2 2 2 A A A A B B B B A A 3 3 3 4 5 3 3 3 3 3 A A A B B B B A A A 4 4 4 4 5 4 4 4 4 4 4 4 A A B B B B A A A A 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 A B B B B A A A A AAlle vier vorstehenden Figuren für Quadratzahlen beinhalten Q₅=5⋅5=25 Punkte und sind allesamt problemlos auf andere Größen als n=5 übertragbar. Das erste Bild zeigt ein normales Quadrat und verdeutlicht, daß Qₙ=1+3+5+…+(2n−1) ist. Das zweite Bild gibt dieses Bildungsgesetz in anderer Form wieder. Das dritte ist eine rautenförmige Verzerrung des ersten und zeigt Qₙ=n+2Dₙ₋₁. Das vierte illustriert die Beziehung Pᵏₙ=Dₙ+(k−3)Dₙ₋₁ für das Quadrat, nämlich Qₙ=Dₙ+Dₙ₋₁.
Dieses vierte Bild zeigt statt eines Quadrates mit viermal 90 Grad eine Raute mit je zweimal 60 und 120 Grad. Diese Winkel sind ganz allgemein günstig. Für ein Fünfeck kann man die fünfmal 108 Grad auf 120+60+180+60 verbiegen
5 5 5 5 5 B B B B A B B B B A
5 4 4 4 4 5 C B B B A A C B B B A A
5 4 3 3 3 4 5 C C B B A A A C C B B A A A
5 4 3 2 2 3 4 5 C C C B A A A A C C C B A A A A
5 4 3 2 1 2 3 4 5 C C C C 1 2 3 4 5 C C C C A A A A A
und sieht im ersten Bild zumindest auf den zweiten Blick Fₙ=1+4+7+…+(3n−2). Das zweite Bild steht für Fₙ=n+3Dₙ₋₁, das dritte für Fₙ=Dₙ+2Dₙ₋₁. Schöner ist vielleicht eine leichte Verzerrung der Trapeze zu Häusern:
5 C C
4 4 5 C C C C
3 3 4 3 4 5 C C C C C C
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 C C C C C C C C
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 A A A A A
2 2 2 2 3 2 2 3 4 2 2 3 4 5 B A A A A B A A A A
3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 4 5 B B A A A B B A A A
4 4 4 4 4 4 4 4 5 B B B A A B B B A A
5 5 5 5 5 B B B B A B B B B A
Man ahnt, wie es weitergeht. Für Sechseckzahlen wird ein weiteres Dreieck angeklebt:
5 5 5 5 5 B B B B A B B B B A
5 4 4 4 4 5 C B B B A A C B B B A A
5 4 3 3 3 4 5 C C B B A A A C C B B A A A
5 4 3 2 2 3 4 5 C C C B A A A A C C C B A A A A
5 4 3 2 1 2 3 4 5 C C C C 1 2 3 4 5 C C C C A A A A A
5 4 3 2 D D D D D D D D
5 4 3 D D D D D D
5 4 D D D D
5 D C D
C C
5 5 5 5 5 D C C C C C C C D
4 4 4 4 5 D D C C C C C C C D D
3 3 3 4 5 D D D C C A A A A A D D D
2 2 3 4 5 D D D D C B A A A A D D D D
1 2 3 4 5 A A A A A B B A A A A A A A A
2 2 3 4 5 B A A A A B B B A A B A A A A C
3 3 3 4 5 B B A A A B B B B A B B A A A C C
4 4 4 4 5 B B B A A D D D D B B B A A C C C
5 5 5 5 5 B B B B A D D D B B B B A C C C C
D D
D
Neben Hₙ=n+4Dₙ₋₁ und Hₙ=Dₙ+3Dₙ₋₁ illustrieren die Figuren, daß alle Hexagonalzahlen Rechtecke bilden und Dreieckszahlen sind, denn Hₙ=n(2n−1)=D₂ₙ₋₁.Wenn auch mit wachsendem k das Interesse abnimmt, so sind doch einige ansprechende Figuren [3] zu diesen Polygonalzahlen möglich, deren Darstellung dadurch erleichtert wird, das nur k Dreiecke zusammenzusetzen sind, man insbesondere durch Ankleben eines Dreieckes oder eines Rechteckes von k−1 bzw. k−2 zu k aufsteigt. Für gerades k ist immer ein Rechteck der Breite n und Länge (k/2−1)(n−1)+1 möglich. Für ungerades k=2l+1 kann einfach ein Dach draufgesetzt werden.
[1] So ist das schönste Klimamodell wertlos, wenn die Annahmen nicht der Realität entsprechen, wie das nunmehr vom Weltklimarat beerdigte Szenario 8.5, gemäß dem wir noch in diesem Jahrhundert alles verbrennen müßten, was das Erdreich hergibt.
[2] Ein Beispiel: Auch wenn man zurecht den Sinus als Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse sieht, so ist es mathematisch doch besser, ihn als Potenzreihe zu definieren oder gar aus der komplexen Exponentialfunktion zu bilden. Keiner muß deshalb die rechtwinkligen Dreiecke vergessen.
[3] So kann man an ein Quadrat vier Dreiecke ankleben, um einen vierzackigen Stern zur Achteckzahl zu erhalten. Oder einem Dreieck zu einer Hexagonalzahl drei weitere Dreiecke für einen sechszackigen Stern zu einer Neuneckzahl anfügen. Abraten würde ich dagegen von der 36 Eckzahl für n>2 in Form eines Hakenkreuzes.
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