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IXC
wuerg, 29.06.2005 18:36
Die Zahl 89 ist als 100−10−1 nicht irgendeine. Sie steht im Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen. Wer nach ihr googelt, wird aber eher auf IXC als unzulässig gebildete römische Zahl stoßen. Nicht breit erläutern will ich, wie man aus einer üblichen in arabischen Ziffern geschriebenen Zahl eine römische bildet, denn die Ziffern sind stur in Zeichenketten umsetzbar. In die andere Richtung ist es etwas undurchsichtiger, doch im Prinzip das gleiche, sofern die römische Zahl korrekt geschrieben ist.
Als ich las, daß unzulässig geschriebene römische Zahlen in Einzelfällen wie IC=99 und VC=95 zwar eine direkte Interpretation zulassen, dies aber schon bei IXC zu Doppeldeutigkeiten (91 oder 89) führe, regte sich in mir spontan Widerspruch, denn auf den ersten Blick würde ich den Wert einer Zeichenkette aus den Buchstaben MDCLXVI einfach rekursiv bilden: Einer römischen Zahlzeichenkette
z = s1 M s2 M s3 M ... sn M t
würde ich schlicht und ergreifend den Wert
IXC = − IX + C = − (−I+X) + C = − (−1+10) + 100 = 91
befriedigt nicht. Spontan würde doch jeder IXC=89 sagen. Außerdem gibt es für 91 keinen Abkürzungsbedarf, denn 91=XCI ist korrekt und auch nicht länger. Deshalb die nächste Idee, aufsteigende Ketten wie IXCD vollständig subtraktiv auszuwerten, also alles vor dem letzten Buchstaben von ihm abzuziehen. Damit das nicht in Rechnerei ausartet, verfahre ich wie folgt:
In aufsteigenden Ketten werden alle Zeichen bis auf das letzte zur Kennzeichnung der Subtraktion in Kleinbuchstaben gewandelt. Anschließend können große gegen kleine Buchstaben gekürzt werden. Die verbleibenden Großbuchstaben MDCLXVI werden zu einer Zahl addiert, ebenso die Kleinbuchstaben dclxvi (666!). Die Differenz ist das hoffentlich positive Ergebnis. Ein Beispiel:
Als ich las, daß unzulässig geschriebene römische Zahlen in Einzelfällen wie IC=99 und VC=95 zwar eine direkte Interpretation zulassen, dies aber schon bei IXC zu Doppeldeutigkeiten (91 oder 89) führe, regte sich in mir spontan Widerspruch, denn auf den ersten Blick würde ich den Wert einer Zeichenkette aus den Buchstaben MDCLXVI einfach rekursiv bilden: Einer römischen Zahlzeichenkette
z = s1 M s2 M s3 M ... sn M t
würde ich schlicht und ergreifend den Wert
w(z) = (1000−w(s1)) + (1000−w(s2)) + ... + (1000−w(sn) + w(t)
= 1000·n − w(s1) − w(s2) − ... − w(sn) + w(t)
zuordnen, wobei in den Zeichenketten s₁ bis sₙ und t kein M mehr vorkommt. Die Werte w(s₁) bis w(sₙ) und w(t) werden in analoger Weise auf die weiterer Zeichenketten zurückgeführt, die neben M auch kein D mehr enthalten. So fährt man fort, bis nur noch lauter I bleiben, denen man ihre Länge als Wert zuordnet. Ein Beispiel:
w(MILLILIDL) = 1000 + w(ILLILIDL) = 1000 + 500 − w(ILLILI) + w(L) = 1500 − (50·3−w(I)−w(I)+w(I)) + 50 = 1400 + 1 + 1 − 1 = 1401Abstrus und auch wenig erfolgreich, denn das nach dieser Methode übersetzte
IXC = − IX + C = − (−I+X) + C = − (−1+10) + 100 = 91
befriedigt nicht. Spontan würde doch jeder IXC=89 sagen. Außerdem gibt es für 91 keinen Abkürzungsbedarf, denn 91=XCI ist korrekt und auch nicht länger. Deshalb die nächste Idee, aufsteigende Ketten wie IXCD vollständig subtraktiv auszuwerten, also alles vor dem letzten Buchstaben von ihm abzuziehen. Damit das nicht in Rechnerei ausartet, verfahre ich wie folgt:
In aufsteigenden Ketten werden alle Zeichen bis auf das letzte zur Kennzeichnung der Subtraktion in Kleinbuchstaben gewandelt. Anschließend können große gegen kleine Buchstaben gekürzt werden. Die verbleibenden Großbuchstaben MDCLXVI werden zu einer Zahl addiert, ebenso die Kleinbuchstaben dclxvi (666!). Die Differenz ist das hoffentlich positive Ergebnis. Ein Beispiel:
MILLIXLIDLXMILLI = MiLLixLiDLxMiLLI = MMDLLLLLLIxxiiii = MMDLLLLLLxxiii = 2800−23 = 2777Das befriedigt für die Zahl IXC=ixC=Cxi=100−11=89, macht aber auch deutlich, daß es keinen Sinn hat, ein kleineres Zeichen sowohl links als auch rechts von einem größeren aufzuführen. So ist VIXI=ViXI=XVIi=XV=15 und (leider) nicht nach der rekursiven Auffassung VIXI=X−(VI)+I=5 und schon gar nicht VIXI=VXII=17.
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Confed-Zahlen
wuerg, 20.06.2005 01:51
Es ist wieder einmal Zeit, über Zahlen des sehr alltäglichen Lebens zu schreiben: Heute schalte ich den Fernseher ein, um möglicherweise Tatort zu sehen, da erblicke ich die Gebührenverschwender vor einer Aufstellung von Confed-Zahlen.
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Reihe
wuerg, 19.06.2005 01:25
Ich nenne Zahlenfolgen normalerweise nicht Sequenz oder Serie, nur unter gewissen Umständen Progression und niemals Reihe. Doch ist der Sprachgebrauch schwankend. Mit Wörtern wie series, sequence, progression auch der englische. Das führt gelegentlich zu Verwirrungen, doch dient die Vielfalt der Bezeichnungen eigentlich nur der Einordnung oder Bedeutung für den Menschen, mathematische Inhalte ändern sich dadurch nicht.
Hardy und Wright überschreiben mehrere Kapitel ihres berühmten Zahlentheorie-Buches [1] mit „The Series of Primes“, darunter auch ein Abschnitt „The sequence of primes“. Sie unterscheiden also zwischen einer aufzählenden Abfolge (sequence) und der Gesamtheit (series), womit jedoch nicht einfach die Menge der Primzahlen (set of primes) gemeint ist. Die Übersetzungen sind für mich nicht einfach Sequenz (sequence) und Serie (series), denn diese Wörter erinnern mich zu sehr an eine endlich Abfolge, wie eine Ton-Sequenz oder eine Gewinn-Serie.
Von einer Reihe sollte man im Zusammenhang mit Folgen nur sprechen, wenn man nicht nur die einzelnen Folgeglieder aufzählt, sondern sie irgendwie verbindet. Es gibt eine Unzahl von solchen Reihenbildunden, viele haben einen eigenen Namen und nicht in allen kommt das Wort Reihe vor. Die naheliegendste Verknüpfung ist die Addition wie in
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …
Das ist die harmonische Reihe. Diese Bezeichnung soll verdeutlichen, daß es nicht einfach nur um die Folge der Summanden oder die Partialsummen geht, sondern um ein irgendwie geartetes Gesamtkunstwerk. Vielleicht kann man sich die Unterschiede wie folgt verdeutlichen:
Reihen erfreuen sich aus mindestens zwei Gründen einer großen Beliebtheit und füllen wie Integrale viele Seiten von Formelsammlungen. Zum einen hat man oftmals die Glieder einer unendlichen Folge zu addieren, bildet also eine Reihe. Zum anderen gestattet eine Reihendarstellung eines Grenzwertes dessen näherungsweise Berechnung. Im vorangehenden Beispiel ist es zwar interessant, die 2 als den Wert der Reihe zu erkennen, die umgekehrte Betrachtung, nämlich die Zerlegung der Zahl 2 in diese Reihe, ist jedoch von wenig Nutzen, zumal keiner zur Näherung der Zahl 2 diese Reihe benötigt. Für andere Zahlen wie die Eulersche Zahl e=2,718... aber ist eine Zerlegung wie
[1] Hardy, Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, London, 4. Auflage, 1968.
Summenfolge | Serienmörder
Hardy und Wright überschreiben mehrere Kapitel ihres berühmten Zahlentheorie-Buches [1] mit „The Series of Primes“, darunter auch ein Abschnitt „The sequence of primes“. Sie unterscheiden also zwischen einer aufzählenden Abfolge (sequence) und der Gesamtheit (series), womit jedoch nicht einfach die Menge der Primzahlen (set of primes) gemeint ist. Die Übersetzungen sind für mich nicht einfach Sequenz (sequence) und Serie (series), denn diese Wörter erinnern mich zu sehr an eine endlich Abfolge, wie eine Ton-Sequenz oder eine Gewinn-Serie.
Von einer Reihe sollte man im Zusammenhang mit Folgen nur sprechen, wenn man nicht nur die einzelnen Folgeglieder aufzählt, sondern sie irgendwie verbindet. Es gibt eine Unzahl von solchen Reihenbildunden, viele haben einen eigenen Namen und nicht in allen kommt das Wort Reihe vor. Die naheliegendste Verknüpfung ist die Addition wie in
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + …
Das ist die harmonische Reihe. Diese Bezeichnung soll verdeutlichen, daß es nicht einfach nur um die Folge der Summanden oder die Partialsummen geht, sondern um ein irgendwie geartetes Gesamtkunstwerk. Vielleicht kann man sich die Unterschiede wie folgt verdeutlichen:
Folge a: a1,a2,a3,a4,... 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... Partialsummen s: s1,s2,s3,s4,... 1, 3/2, 7/4, 15/8, 31/16, ... → 2 Reihe R: a1+a2+a3+a4+... 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2Zu jeder Zahlenfolge a kann man eine Summenfolge s (Folge der Partialsummen) und auch eine Reihe R bilden. Wenn die Summenfolge gegen einen Grenzwert (hier 2) konvergiert, heißt er auch einfach Wert der Reihe. Der Grenzwert der Ausgangsfolge a interessiert nicht, zumal er bei konvergierender Reihe so und so 0 ist. Läge der Schwerpunkt des Interesses auf der Folge a und betrachtete man die zugehörige Reihe R nur nebenbei oder gar nicht, würde ich sie schlicht und ergreifend Summenfolge nennen. Reihe ist sozusagen ein Ehrentitel.
Reihen erfreuen sich aus mindestens zwei Gründen einer großen Beliebtheit und füllen wie Integrale viele Seiten von Formelsammlungen. Zum einen hat man oftmals die Glieder einer unendlichen Folge zu addieren, bildet also eine Reihe. Zum anderen gestattet eine Reihendarstellung eines Grenzwertes dessen näherungsweise Berechnung. Im vorangehenden Beispiel ist es zwar interessant, die 2 als den Wert der Reihe zu erkennen, die umgekehrte Betrachtung, nämlich die Zerlegung der Zahl 2 in diese Reihe, ist jedoch von wenig Nutzen, zumal keiner zur Näherung der Zahl 2 diese Reihe benötigt. Für andere Zahlen wie die Eulersche Zahl e=2,718... aber ist eine Zerlegung wie
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + ... = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 + ...von mehr Interesse und könnte der näherungsweisen Berechnung der Zahl e dienen. Für π gibt es ebenfalls eine Unzahl solcher Reihendarstellungen, und viele Menschenleben sind allein in das Bemühen geflossen, immer schneller konvergierende Reihen zu finden, um möglichst schnell möglichst viele Stellen von π berechnen zu können.
[1] Hardy, Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, London, 4. Auflage, 1968.
Summenfolge | Serienmörder
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Summenfolge
wuerg, 18.06.2005 00:28
Zu jeder Zahlenfolge a₁, a₂, a₃, … kann man eine Summenfolge s₁, s₁, s₁, … bilden, deren n‑tes Glied sₙ die ersten n Glieder der Folge a addiert:
sn = a1+a2+…+an , rekursiv s1=a1, sn=sn-1+an für n>1
Definierte man die Differenzenfolge als dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0, so wäre die Summenfolge s der Differenzenfolge d wieder die Ausgangsfolge a:
sn = d1+dn+…+dn = (a1−a0)+(a2−a1)+…+(an−an−1) = an−a0 = an
Gleiches gälte auch für die Differenzenfolge d der Summenfolge s:
dn = sn − sn−1 = (a1+a2+…+an) − (a1+a2+…+an−1) = an
Definiert man dagegen wie üblich dₙ=aₙ₊₁−aₙ, so ist die Differenzenfolge d der Summenfolge s leider die um eine Position verschobene Ausgangsfolge a, denn
dn = sn+1 − sn = (a1+a2+…+an+1) − (a1+a2+…+an) = an+1
Bei der Summenfolge s der Differenzenfolge d wird zudem noch das erste Folgeglied a₁ abgezogen:
sn = d1+d2+…+dn = (a2−a1)+…+(an+1−an) = an+1−a1
Auf den ersten Blick scheint daher die erste Variante die bessere zu sein. Es gibt aber gute Gründe, weshalb man normalerweise die zweite wählt. Das hatte ich in meinem Beitrag zur Differenzenfolge in einer Fußnote erläutert. [1]
Summenfolgen sind im allgemeinen interessanter als die der Differenzen, was man schon daran erkennt, daß vornehmlich mit ihrer Betrachtung gerne von Reihen gesprochen wird. Das hebt sprachlich die grundlegende Folge als Gesamtheit hervor, deren Glieder zugunsten der Partialsummen in den Hintergrund treten. Insbesondere dann, wenn es vor allem um die Gesamtsumme geht. [2] Ein Beispiel: Die Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, … ist recht schlicht und ihre Summenfolge 1, 3/2, 7/4, 15/8, … eigentlich auch nur interessant, um abzuleiten, daß die Reihe 1+1/2+1/4+1/8+… gegen 2 konvergiert. [3]
[1] Oberschüler mögen sich daran erinnern, daß grob gesprochen die Integration die Ableitung und die Ableitung die Integration umkehrt. Wer deshalb die erste Definition der Differenzenfolge für die natürliche hält, möge beachten, daß mit dem Übergang von 1 nach dx der Unterschied verschwindet und die zweite Definition mehr der üblichen Darstellung des Differentialquotienten entspricht.
[2] Manchmal ist es auch umgekehrt, wenn man beeindruckt davon ist, welche Folgeglieder sich zu einer beliebten Zahl addieren, wie das bei der Leibniz-Reihe π/4=1−1/3+1/5−1/7+… der Fall ist. [3]
[3] Falls hier mitten im Bruch häßlich die Zeile gewechselt wird, so liegt das daran, daß <nobr> aus welchem Grunde auch immer rausgefiltert wird und ich auf das nicht umbrechende Geteiltzeichen (∕) verzichtet habe, weil es oftmals häßlich dargestellt wird. Zur Überprüfung: 1/3 (Schrägstrich) und 1∕3 (Geteiltstrich).
Differenzenfolge | Reihe
sn = a1+a2+…+an , rekursiv s1=a1, sn=sn-1+an für n>1
Definierte man die Differenzenfolge als dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0, so wäre die Summenfolge s der Differenzenfolge d wieder die Ausgangsfolge a:
sn = d1+dn+…+dn = (a1−a0)+(a2−a1)+…+(an−an−1) = an−a0 = an
Gleiches gälte auch für die Differenzenfolge d der Summenfolge s:
dn = sn − sn−1 = (a1+a2+…+an) − (a1+a2+…+an−1) = an
Definiert man dagegen wie üblich dₙ=aₙ₊₁−aₙ, so ist die Differenzenfolge d der Summenfolge s leider die um eine Position verschobene Ausgangsfolge a, denn
dn = sn+1 − sn = (a1+a2+…+an+1) − (a1+a2+…+an) = an+1
Bei der Summenfolge s der Differenzenfolge d wird zudem noch das erste Folgeglied a₁ abgezogen:
sn = d1+d2+…+dn = (a2−a1)+…+(an+1−an) = an+1−a1
Auf den ersten Blick scheint daher die erste Variante die bessere zu sein. Es gibt aber gute Gründe, weshalb man normalerweise die zweite wählt. Das hatte ich in meinem Beitrag zur Differenzenfolge in einer Fußnote erläutert. [1]
Summenfolgen sind im allgemeinen interessanter als die der Differenzen, was man schon daran erkennt, daß vornehmlich mit ihrer Betrachtung gerne von Reihen gesprochen wird. Das hebt sprachlich die grundlegende Folge als Gesamtheit hervor, deren Glieder zugunsten der Partialsummen in den Hintergrund treten. Insbesondere dann, wenn es vor allem um die Gesamtsumme geht. [2] Ein Beispiel: Die Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, … ist recht schlicht und ihre Summenfolge 1, 3/2, 7/4, 15/8, … eigentlich auch nur interessant, um abzuleiten, daß die Reihe 1+1/2+1/4+1/8+… gegen 2 konvergiert. [3]
[1] Oberschüler mögen sich daran erinnern, daß grob gesprochen die Integration die Ableitung und die Ableitung die Integration umkehrt. Wer deshalb die erste Definition der Differenzenfolge für die natürliche hält, möge beachten, daß mit dem Übergang von 1 nach dx der Unterschied verschwindet und die zweite Definition mehr der üblichen Darstellung des Differentialquotienten entspricht.
[2] Manchmal ist es auch umgekehrt, wenn man beeindruckt davon ist, welche Folgeglieder sich zu einer beliebten Zahl addieren, wie das bei der Leibniz-Reihe π/4=1−1/3+1/5−1/7+… der Fall ist. [3]
[3] Falls hier mitten im Bruch häßlich die Zeile gewechselt wird, so liegt das daran, daß <nobr> aus welchem Grunde auch immer rausgefiltert wird und ich auf das nicht umbrechende Geteiltzeichen (∕) verzichtet habe, weil es oftmals häßlich dargestellt wird. Zur Überprüfung: 1/3 (Schrägstrich) und 1∕3 (Geteiltstrich).
Differenzenfolge | Reihe
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Differenzenfolge
wuerg, 17.06.2005 01:52
Zu jeder Zahlenfolge a₁, a₂, a₃, … kann man die Folge der Differenzen d₁, d₂, d₃, … betrachten, die durch dₙ=aₙ₊₁−aₙ definiert ist. [1] Diese Differenzen sind oftmals nützlich, um auf das in einer Folge steckende Bildungsgesetz zu schließen. Hat man zum Beispiel das Anfangsstück 1, 7, 19, 37, 61, 91, ... vorliegen und sucht eine geschlossene Formel, so kann man die Differenzen bilden und ggf. auch davon abermals die Differenzen
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
an = a0 + n·d0 + C(n,2)·d20 + C(n,3)·d30 + … (1)
Darin ist dᵏ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a₀=1, d₀=6, d²₀=6 und dᵏ₀=0 für k>2 als Ergebnis
an = 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n−1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch manchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigeren mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, …, für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d₁=a₁ ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn a₀=0 keine gute Fortsetzung ins Negative ist. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
Index n 1 2 3 4 5 6 ... Folge an 1 7 19 37 61 91 ... Differenzen dn=an+1-an 6 12 18 24 30 36 ... Differenzen 2. Ordnung 6 6 6 6 6 6 ... Differenzen 3. Ordnung 0 0 0 0 0 0 ...Man erkennt sofort, daß die Differenzen zweiter Ordnung konstant sind, die Differenzen erster Ordnung also linear anwachsen und die Originalfolge damit quadratisch. Ein Ansatz aₙ=x·n²+y·n+z sollte also zum Erfolg führen. Man pickt sich einfach drei Werte heraus und erhält drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Der Einfachheit halber für die ersten drei:
n=1: x + y + z = 1 n=2: 4x + 2y + z = 7 n=3: 9x + 3y + z = 19Die Lösung x=3, y=−3, z=1 führt auf aₙ=3n²−3n+1=1+3n(n-1). Das sind die zentrierten Sechseckzahlen.
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
an = a0 + n·d0 + C(n,2)·d20 + C(n,3)·d30 + … (1)
Darin ist dᵏ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a₀=1, d₀=6, d²₀=6 und dᵏ₀=0 für k>2 als Ergebnis
an = 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n−1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch manchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigeren mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, …, für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
Index n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... Folge an 1 3 4 8 10 16 20 29 35 ... Differenzen dn=an+1-an 2 1 4 2 6 4 9 6 12 ... Differenzen 2. Ordnung -1 3 -2 4 -2 5 -3 7 -4 ...Betrachtet man aber nur die ungeraden Folgeglieder, so sieht die Welt schon besser aus:
Index n 1 3 5 7 9 11 13 ... Folge an 1 4 10 20 35 56 84 ... Differenzen dn=an+1-an 3 6 10 15 21 28 36 ... Differenzen 2. Ordnung 3 4 5 6 7 8 9 ...Das führt auf die für ungerade n vermutlich richtigen Tetraederzahlen aₙ=(n+1)(n+3)(n+5)/48. Für gerade n muß man jedoch Korrekturen anbringen. Wieder hilft der gleiche Trick. Für gerade, doch nicht durch 4 teilbare (einfach gerade) n ergibt sich ein Zuschlag von (9n+21)/48. Wird er für alle geraden Indizes berücksichtigt, bleibt nur noch für alle durch 4 teilbaren (doppelt geraden) n ein Rest von 1/4. Die vermutete Formel lautet also
an = (n+1)(n+3)(n+5)/48 + (9n+21)/48 falls n gerade + 12/48 falls n doppelt geradeEin Beispiel für n=8:
a8 = [(8+1)(8+3)(8+5) + (9·8+21) + 12] / 48 = [9·11·13+72+21+12]/48 = 1392/48 = 29 (stimmt!)Natürlich müßte diese vermutete Formel noch als wirklich für alle n gültig überprüft werden. Aber das kann man nur, wenn man sie auch kennt.
In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages dₙ=aₙ−aₙ₋₁ mit a₀=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d₁=a₁ ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn a₀=0 keine gute Fortsetzung ins Negative ist. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
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DIN-A4-Papier
wuerg, 15.06.2005 01:06
Unsere normalen Papierformate haben sich glücklicherweise nicht am goldenen Schnitt ausgerichtet, sondern an der einfachen Teilbarkeit. Ohne diese starke Eigenschaft hätten die DIN-Formate in mehr als 20 Jahren mit zahlreichen Druckerproblemen der Vormacht von 8×12 Zoll großem Endlospapier nicht widerstanden. Ich erinnere mich noch gerne an meine ersten ordentlich formatierten Adressen auf handelsüblichen Aufklebern mit sieben mal drei Stück pro DIN‑A4-Blatt. Doch fünfzehn Jahre später gibt immer noch Behörden und Reisebüros, die um einen Zentimeter zu lange Papierbögen bevorzugen.
Wie groß ist aber ein DIN‑A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h≥b die Beziehung „b zu h wie h/2 zu b“, also h=b·√2 im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN‑A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, womit neben h=b·√2 auch b·h=1m² gelten muß. Damit ist h in Metern gemessen die vierte Wurzel aus 2, die Breite b in Metern der Kehrwert davon. Da auf Millimeter gerundet wird ist ein DIN‑A0-Blatt 1,189 Meter hoch und 0,841 Meter breit. Ein DIN‑Ai-Blatt entsteht daraus durch i‑fache Halbierung samt Abrundung auf Millimeter. Es ist also
hi = ⌊1189/2i⌋ mm ≈ 2−i/2+1/4 Meter hoch und
bi = ⌊841/2i⌋ mm ≈ 2−i/2−1/4 Meter breit.
Das allseits bekannte DIN‑A4-Blatt mißt somit 297×210 Millimeter.
Für die Fläche Fᵢ=bᵢ·hᵢ eines DIN‑Ai-Blattes gilt die einfachere Formel Fᵢ=(1/2ⁱ)m². Damit hat ein DIN‑A4-Blatt 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.
Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen √2=1,4142… ungefähr 140 Prozent beträgt und umgekehrt eine Verkleinerung auf 70 Prozent reduziert. Dann macht die Anweisung des Chefs „100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug“ nicht nervös, weil sie sogleich in „bitte 100 Kopien auf 65% verkleinert, so schnell es Ihnen möglich ist“ übersetzt werden kann.
Wie groß ist aber ein DIN‑A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h≥b die Beziehung „b zu h wie h/2 zu b“, also h=b·√2 im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN‑A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, womit neben h=b·√2 auch b·h=1m² gelten muß. Damit ist h in Metern gemessen die vierte Wurzel aus 2, die Breite b in Metern der Kehrwert davon. Da auf Millimeter gerundet wird ist ein DIN‑A0-Blatt 1,189 Meter hoch und 0,841 Meter breit. Ein DIN‑Ai-Blatt entsteht daraus durch i‑fache Halbierung samt Abrundung auf Millimeter. Es ist also
hi = ⌊1189/2i⌋ mm ≈ 2−i/2+1/4 Meter hoch und
bi = ⌊841/2i⌋ mm ≈ 2−i/2−1/4 Meter breit.
Das allseits bekannte DIN‑A4-Blatt mißt somit 297×210 Millimeter.
Für die Fläche Fᵢ=bᵢ·hᵢ eines DIN‑Ai-Blattes gilt die einfachere Formel Fᵢ=(1/2ⁱ)m². Damit hat ein DIN‑A4-Blatt 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.
Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen √2=1,4142… ungefähr 140 Prozent beträgt und umgekehrt eine Verkleinerung auf 70 Prozent reduziert. Dann macht die Anweisung des Chefs „100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug“ nicht nervös, weil sie sogleich in „bitte 100 Kopien auf 65% verkleinert, so schnell es Ihnen möglich ist“ übersetzt werden kann.
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Goldener Schnitt
wuerg, 12.06.2005 00:23
Der goldene Schnitt ist die Teilung der Einheitsstrecke bei φ=(√5−1)/2≈0,618 im Verhältnis von 1 zu Φ=(√5+1)/2≈1,618 und kommt allenthalben in Natur und Kultur vor. Erstere trifft den goldenen Schnitt natürlich nur ungefähr, wo er sich als günstig und damit von evolutionären Vorteil erwiesen hat. Geometrisch ist er in der Lieblingsfigur der Griechen, dem Pentagramm zu bewundern:
Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 2·cos(36°) = 1,6180339887498948482…
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 2·sin(18°) = 0,6180339887498948482…
zu kommen, ist dank a=b+c und b=c+d nur eine quadratische Gleichung zu lösen.
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN‑A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN‑A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
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____/ / \ c \____
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/ c / d \ c \
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Einem Fünfeck einbeschriebenes Pentagramm (png)Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 2·cos(36°) = 1,6180339887498948482…
φ = (√5−1)/2 = 1/Φ = Φ−1 = 2·sin(18°) = 0,6180339887498948482…
zu kommen, ist dank a=b+c und b=c+d nur eine quadratische Gleichung zu lösen.
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN‑A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN‑A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
+-------------------------+---------------+ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | +---+-+---------+ | | | | | | +---+-+ | | | | | | | | | +-------------------------+-----+---------+Während die Kultur sich auf das goldene Rechteck als schön geeinigt hat, hält sich die Natur an den goldenen Winkel, der bei etwa 137,5° den Vollkreis im Verhältnis 1 zu Φ teilt. Ihn findet man näherungsweise an vielen Pflanzen.
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