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IXC
wuerg, 29.06.2005 18:36
Die Zahl 89 ist als 100-10-1 nicht irgendeine. Sie steht im Zusammenhang mit den Fibonaccizahlen. Doch wer nach ihr googelt, wird zunächst auf ICX als unzulässig gebildete römische Zahl geführt. Nicht breit erläutern will ich, wie man aus einer üblichen in arabischen Ziffern geschriebenen Zahl eine römische bildet, denn die Ziffern sind stur in Zeichenketten umsetzbar. In die andere Richtung ist es etwas undurchsichtiger, doch im Prinzip das gleiche, sofern die römische Zahl korrekt geschrieben ist.
Als ich las, daß unzulässig geschriebene römische Zahlen in Einzelfällen wie IC=99 und VC=95 zwar eine direkte Interpretation zulassen, dies aber schon bei IXC zu Doppeldeutigkeiten (91 oder 89) führe, regte sich in mir spontan Widerspruch, denn auf den ersten Blick würde ich den Wert einer Zeichenkette aus den Buchstaben MDCLXVI einfach rekursiv bilden: Einer römischen Zahlzeichenkette
IXC = - IX + C = - (-I+X) + C = - (-1+10) + 100 = 91
befriedigt nicht. Spontan würde doch jeder IXC=89 sagen. Außerdem gibt es für 91 keinen Abkürzungsbedarf, denn 91=XCI ist korrekt und auch nicht länger. Deshalb die nächste Idee, aufsteigende Ketten wie IXCD vollständig subtraktiv auszuwerten, also alles vor dem letzten Buchstaben von ihm abzuziehen. Damit das nicht in Rechnerei ausartet, verfahre ich wie folgt:
In aufsteigenden Ketten werden alle Zeichen bis auf das letzte zur Kennzeichnung der Subtraktion in Kleinbuchstaben gewandelt. Anschließend können große gegen kleine Buchstaben gekürzt werden. Die verbleibenden Großbuchstaben MDCLXVI werden zu einer Zahl addiert, ebenso die Kleinbuchstaben dclxvi (666!). Die Differenz ist das hoffentlich positive Ergebnis. Ein Beispiel:
Als ich las, daß unzulässig geschriebene römische Zahlen in Einzelfällen wie IC=99 und VC=95 zwar eine direkte Interpretation zulassen, dies aber schon bei IXC zu Doppeldeutigkeiten (91 oder 89) führe, regte sich in mir spontan Widerspruch, denn auf den ersten Blick würde ich den Wert einer Zeichenkette aus den Buchstaben MDCLXVI einfach rekursiv bilden: Einer römischen Zahlzeichenkette
z = s1 M s2 M s3 M ... sn M twürde ich schlicht und ergreifend den Wert
w(z) = (1000-w(s1)) + (1000-w(s2)) + ... + (1000-w(sn) + w(t) = 1000·n - w(s1) - w(s2) - ... - w(sn) + w(t)zuordnen, wobei in den Zeichenketten s₁ bis sₙ und t kein M mehr vorkommt. Die Werte w(s₁) bis w(sₙ) und w(t) werden in analoger Weise auf die weiterer Zeichenketten zurückgeführt, die neben M auch kein D mehr enthalten. So fährt man fort, bis nur noch lauter I bleiben, denen man ihre Länge als Wert zuordnet. Ein Beispiel:
w(MILLILIDL) = 1000 + w(ILLILIDL) = 1000 + 500 - w(ILLILI) + w(L) = 1500 - (50·3-w(I)-w(I)+w(I)) + 50 = 1400 + 1 + 1 - 1 = 1401Abstrus und auch wenig erfolgreich, denn das nach dieser Methode übersetzte
IXC = - IX + C = - (-I+X) + C = - (-1+10) + 100 = 91
befriedigt nicht. Spontan würde doch jeder IXC=89 sagen. Außerdem gibt es für 91 keinen Abkürzungsbedarf, denn 91=XCI ist korrekt und auch nicht länger. Deshalb die nächste Idee, aufsteigende Ketten wie IXCD vollständig subtraktiv auszuwerten, also alles vor dem letzten Buchstaben von ihm abzuziehen. Damit das nicht in Rechnerei ausartet, verfahre ich wie folgt:
In aufsteigenden Ketten werden alle Zeichen bis auf das letzte zur Kennzeichnung der Subtraktion in Kleinbuchstaben gewandelt. Anschließend können große gegen kleine Buchstaben gekürzt werden. Die verbleibenden Großbuchstaben MDCLXVI werden zu einer Zahl addiert, ebenso die Kleinbuchstaben dclxvi (666!). Die Differenz ist das hoffentlich positive Ergebnis. Ein Beispiel:
MILLIXLIDLXMILLI = MiLLixLiDLxMiLLI = MMDLLLLLLIxxiiii = MMDLLLLLLxxiii = 2800-23 = 2777Das befriedigt für die Zahl IXC=ixC=Cxi=100-11=89, macht aber auch deutlich, daß es keinen Sinn hat, ein kleineres Zeichen sowohl links als auch rechts von einem größeren aufzuführen. So ist VIXI=ViXI=XVIi=XV=15 und (leider) nicht nach der rekursiven Auffassung VIXI=X-(VI)+I=5 und schon gar nicht VIXI=VXII=17.
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Confed-Zahlen
wuerg, 20.06.2005 01:51
Es ist wieder einmal Zeit, über Zahlen des sehr alltäglichen Lebens zu schreiben: Heute schalte ich den Fernseher ein, um möglicherweise Tatort zu sehen, da erblicke ich die Gebührenverschwender vor einer Aufstellung von Confed-Zahlen.
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Reihe
wuerg, 19.06.2005 01:25
Bisher habe ich alle Zahlenfolgen wie die der Primzahlen 2,3,5,7,11,13,... nicht Sequenz oder Serie genannt, nur einmal Progression und niemals Reihe. Mit Wörtern wie series, sequence, progression ist auch der englische Sprachgebrauch schwankend. Das führt gelegentlich zu Verwirrungen, doch dient die Vielfalt der Bezeichnungen eigentlich der Verdeutlichung für den Menschen, denn die mathematischen Inhalte ändern sich durch die Bezeichnungen nicht.
Hardy und Wrigth überschreiben mehrere Kapitel ihres Zahlentheorie-Buches mit "The Series of Primes", darunter auch ein Abschnitt "The sequence of primes". Sie unterscheiden also zwischen einer aufzählenden Abfolge (sequence) und der Gesamtheit (series), gleichwohl damit nicht einfach die Menge der Primzahlen (set of primes) gemeint ist. Die Übersetzungen sind nun nicht einfach Sequenz (sequence) und Serie (series) oder gar Reihe. Die Wörter Sequenz und Serie erinnern mich zu sehr an eine endlich Abfolge, wie eine Ton-Sequenz oder eine Gewinn-Serie.
Das Wort Reihe ist ganz gefährlich. Von einer Reihe sollte man im Zusammenhang mit Folgen nur sprechen, wenn man die einzelnen Folgeglieder nicht einfach mit Kommas getrennt aufzählt, sondern anders verbindet. Es gibt eine Unzahl von solchen Reihenbildunden, jede hat einen eigenen Namen und nicht in allen kommt das Wort Reihe vor. Die naheliegenste Verknüpfung ist die Addition wie in
Reihen erfreuen sich aus mindestens zwei Gründen einer großen Beliebtheit und füllen wie Integrale viele Seiten von Formelsammlungen. Zum einen hat man oftmals die Glieder einer unendliche Folge zu addieren. Zum anderen gestattet die Reihendarstellung R bzw. A eines Wertes W dessen näherungsweise Berechnung. Im vorangehenden Beispiel ist es zwar interessant die 2 als den Wert der Reihe zu erkennen, die umgekehrte Betrachtung, nämlich die Zerlegung der Zahl 2 in diese Reihe, ist aber von wenig Nutzen, zumal keiner zur Näherung der Zahl 2 diese Reihe benötigt. Für andere Zahlen wie die Eulersche Zahl e=2,718... aber ist eine Zerlegung wie
Summenfolge | Serienmörder
Hardy und Wrigth überschreiben mehrere Kapitel ihres Zahlentheorie-Buches mit "The Series of Primes", darunter auch ein Abschnitt "The sequence of primes". Sie unterscheiden also zwischen einer aufzählenden Abfolge (sequence) und der Gesamtheit (series), gleichwohl damit nicht einfach die Menge der Primzahlen (set of primes) gemeint ist. Die Übersetzungen sind nun nicht einfach Sequenz (sequence) und Serie (series) oder gar Reihe. Die Wörter Sequenz und Serie erinnern mich zu sehr an eine endlich Abfolge, wie eine Ton-Sequenz oder eine Gewinn-Serie.
Das Wort Reihe ist ganz gefährlich. Von einer Reihe sollte man im Zusammenhang mit Folgen nur sprechen, wenn man die einzelnen Folgeglieder nicht einfach mit Kommas getrennt aufzählt, sondern anders verbindet. Es gibt eine Unzahl von solchen Reihenbildunden, jede hat einen eigenen Namen und nicht in allen kommt das Wort Reihe vor. Die naheliegenste Verknüpfung ist die Addition wie in
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...Ein solcher Ausdruck heißt einfach Reihe ohne irgendwelche Namenszusätze. Zu jeder Zahlenfolge A kann man eine Summenfolge S und auch eine Reihe R bilden, zu der möglicherweise ein Wert W gehört:
A: a(1),a(2),a(3),a(4),... 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... S: s(1),s(2),s(3),s(4),... 1, 3/2, 7/4, 15/8, 31/16, ... R: a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+... 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... W: w 2Man nennt R die Reihe zur Folge A und W den Wert der Reihe R. Umgekehrt heißen R und auch A Reihendarstellung des Wertes W. Dieser Wert W ist der Grenzwert, dem die Summenfolge S zustrebt, wenn man sozusagen die unendlich vielen Additionen ausführt. Das ist natürlich nicht immer der Fall, und es bedürfte einer ordentlichen Definition des Grenzwertes einer Folge. Ich belasse es einmal bei der Sprechweise "sich dem Grenzwert nähern". Beschränkt man sich auf endlich viele Additionen, so erhält man natürlich immer einen Wert s(n)=a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n). Dann spricht man auch von einer endlichen Reihe.
Reihen erfreuen sich aus mindestens zwei Gründen einer großen Beliebtheit und füllen wie Integrale viele Seiten von Formelsammlungen. Zum einen hat man oftmals die Glieder einer unendliche Folge zu addieren. Zum anderen gestattet die Reihendarstellung R bzw. A eines Wertes W dessen näherungsweise Berechnung. Im vorangehenden Beispiel ist es zwar interessant die 2 als den Wert der Reihe zu erkennen, die umgekehrte Betrachtung, nämlich die Zerlegung der Zahl 2 in diese Reihe, ist aber von wenig Nutzen, zumal keiner zur Näherung der Zahl 2 diese Reihe benötigt. Für andere Zahlen wie die Eulersche Zahl e=2,718... aber ist eine Zerlegung wie
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + ... = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 + ...von mehr Interesse und könnte der näherungsweisen Berechnung der Zahl e dienen. Für die Zahl Pi gibt es ebenfalls eine Unzahl von solchen Reihendarstellungen, und viele Menschenleben sind allein in das Bemühen geflossen, immer schneller der Zahl Pi zustrebende Reihenentwicklungen zu finden, um möglichst schnell möglichst viele Stellen der Zahl Pi berechnen zu können.
Summenfolge | Serienmörder
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Summenfolge
wuerg, 18.06.2005 00:28
Zu jeder Zahlenfolge a(1), a(2), a(3), ... kann man eine Summenfolge s(1), s(2), s(3), ... bilden, deren n-tes Glied s(n) die ersten n Glieder der Folge a addiert.
s(n) = a(1)+a(2)+...+a(n), rekursiv s(1)=a(1), s(n)=s(n-1)+a(n) für n>1.
Definierte man die Differenzenfolge als d(n)=a(n)-a(n-1) mit a(0)=0, so wäre die Summenfolge s der Differenzenfolge d wieder die Ausgangsfolge a:
s(n) = d(1)+d(2)+...+d(n) = [a(1)-a(0)]+[a(2)-a(1)]+...+[a(n)-a(n-1)] = a(n)
Gleiches gälte auch für die Differenzenfolge d der Summenfolge s:
d(n) = s(n) - s(n-1) = [a(1)+a(2)+...a(n-1)+a(n)] - [a(1)+a(2)+...+a(n-1)] = a(n)
Definiert man dagegen wie üblich d(n)=a(n+1)-a(n), so ist die Differenzenfolge d der Summenfolge s leider die um eine Position verschobene Ausgangsfolge a, denn
d(n) = s(n+1) - s(n) = [a(1)+a(2)+...a(n)+a(n+1)] - [a(1)+a(2)+...+a(n)] = a(n+1)
Bei der Summenfolge s der Differenzenfolge d wird zudem noch das erste Folgeglied a(1) abgezogen:
s(n) = d(1)+d(2)+...+d(n) = [a(2)-a(1)]+[a(3)-a(2)]+...+[a(n+1)-a(n)] = a(n+1)-a(1)
Auf den ersten Blick scheint daher dier erste Variante die bessere zu sein. Es gibt aber gute Gründe, weshalb man normalerweise die zweite wählt. Das habe ich in meinem Beitrag zur Differenzenfolge erläutert.
Oberschüler mögen sich sich an das C in unbestimmten Integralen erinnern. Diese Rolle spielt hier -a(1). Die Verschiebung um eine Position entspricht dort nur einer von dx, ist also verschwunden.
Summenfolgen sind im allgemeinen interessanter als die der Differenzen, was man schon daran erkennt, daß vornehmlich mit ihrer Betrachtung gerne von Reihen gesprochen wird. Das hebt sprachlich die gundlegende Folge als Gesamtheit hervor, deren Glieder zugunsten der Partialsummen in den Hintergrund treten. Insbesondere dann, wenn es vor allem um die Gesamtsumme geht und man sich mit den Summanden nur abgibt, weil man keinen besseren Weg kennt. [1] Ein Beispiel: Die Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, .... heißt deshalb geometrische Reihe und weniger Folge, weil man an ihren Partialsummen und ganz besonders an der Gesamtsumme interessiert ist, die man in diesem einfachen Falle auch kennt, nämlich 2.
Neben der bekannten arithmetischen und der geometrischen Reihe sind die Polygonalzahlen ein gutes Beispiel, wo man an den Partialsummen interessiert ist, weniger an den Summanden. Die sind einfach Glieder einer auch Progression genannten arithmetischen Folge und spielen allenfalls in der Definition und am Anfang von Überlegungen eine Rolle. Für die n-te zentrierte k-Eckzahl p(k,n) fängt man mit einem Mittenpunkt an und umringt ihn mit k, 2k, 3k, ..., (n-1)k Punkten. Da s(n)=n·(a(1)+a(n))/2=k·n(n+1)/2 die Summenfolge zu a(n)=n·k ist, ergibt sich p(k,n)=1+s(n-1)=1+k·n(n-1)/2. Für die normalen k-Eckzahlen ist es im Prinzip das gleiche.
[1] Manchmal ist es auch umgekehrt, wenn man beeindruckt davon ist, welche Folgeglieder sich zu einer beliebten Zahl addieren, wie das in der Leibniz-Reihe π/4=1-1/3+1/5-1/7+... der Fall ist.
Differenzenfolge | normale und zentrierte Polygonalzahlen
s(n) = a(1)+a(2)+...+a(n), rekursiv s(1)=a(1), s(n)=s(n-1)+a(n) für n>1.
Definierte man die Differenzenfolge als d(n)=a(n)-a(n-1) mit a(0)=0, so wäre die Summenfolge s der Differenzenfolge d wieder die Ausgangsfolge a:
s(n) = d(1)+d(2)+...+d(n) = [a(1)-a(0)]+[a(2)-a(1)]+...+[a(n)-a(n-1)] = a(n)
Gleiches gälte auch für die Differenzenfolge d der Summenfolge s:
d(n) = s(n) - s(n-1) = [a(1)+a(2)+...a(n-1)+a(n)] - [a(1)+a(2)+...+a(n-1)] = a(n)
Definiert man dagegen wie üblich d(n)=a(n+1)-a(n), so ist die Differenzenfolge d der Summenfolge s leider die um eine Position verschobene Ausgangsfolge a, denn
d(n) = s(n+1) - s(n) = [a(1)+a(2)+...a(n)+a(n+1)] - [a(1)+a(2)+...+a(n)] = a(n+1)
Bei der Summenfolge s der Differenzenfolge d wird zudem noch das erste Folgeglied a(1) abgezogen:
s(n) = d(1)+d(2)+...+d(n) = [a(2)-a(1)]+[a(3)-a(2)]+...+[a(n+1)-a(n)] = a(n+1)-a(1)
Auf den ersten Blick scheint daher dier erste Variante die bessere zu sein. Es gibt aber gute Gründe, weshalb man normalerweise die zweite wählt. Das habe ich in meinem Beitrag zur Differenzenfolge erläutert.
Oberschüler mögen sich sich an das C in unbestimmten Integralen erinnern. Diese Rolle spielt hier -a(1). Die Verschiebung um eine Position entspricht dort nur einer von dx, ist also verschwunden.
Summenfolgen sind im allgemeinen interessanter als die der Differenzen, was man schon daran erkennt, daß vornehmlich mit ihrer Betrachtung gerne von Reihen gesprochen wird. Das hebt sprachlich die gundlegende Folge als Gesamtheit hervor, deren Glieder zugunsten der Partialsummen in den Hintergrund treten. Insbesondere dann, wenn es vor allem um die Gesamtsumme geht und man sich mit den Summanden nur abgibt, weil man keinen besseren Weg kennt. [1] Ein Beispiel: Die Folge 1, 1/2, 1/4, 1/8, .... heißt deshalb geometrische Reihe und weniger Folge, weil man an ihren Partialsummen und ganz besonders an der Gesamtsumme interessiert ist, die man in diesem einfachen Falle auch kennt, nämlich 2.
Neben der bekannten arithmetischen und der geometrischen Reihe sind die Polygonalzahlen ein gutes Beispiel, wo man an den Partialsummen interessiert ist, weniger an den Summanden. Die sind einfach Glieder einer auch Progression genannten arithmetischen Folge und spielen allenfalls in der Definition und am Anfang von Überlegungen eine Rolle. Für die n-te zentrierte k-Eckzahl p(k,n) fängt man mit einem Mittenpunkt an und umringt ihn mit k, 2k, 3k, ..., (n-1)k Punkten. Da s(n)=n·(a(1)+a(n))/2=k·n(n+1)/2 die Summenfolge zu a(n)=n·k ist, ergibt sich p(k,n)=1+s(n-1)=1+k·n(n-1)/2. Für die normalen k-Eckzahlen ist es im Prinzip das gleiche.
[1] Manchmal ist es auch umgekehrt, wenn man beeindruckt davon ist, welche Folgeglieder sich zu einer beliebten Zahl addieren, wie das in der Leibniz-Reihe π/4=1-1/3+1/5-1/7+... der Fall ist.
Differenzenfolge | normale und zentrierte Polygonalzahlen
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Differenzenfolge
wuerg, 17.06.2005 01:52
Zu jeder Zahlenfolge a(1), a(2), a(3), ... kann man die Folge der Differenzen d(1), d(2), d(3), ... betrachten, die durch
d(n) = a(n+1) - a(n)
definiert ist. [1] Diese Differenzen sind oftmals nützlich, um auf das in einer Folge steckende Bildungsgesetz zu schließen. Hat man zum Beispiel das Anfangsstück 1, 7, 19, 37, 61, 91, ... vorliegen und sucht eine geschlossene Formel, so kann man die Differenzen bilden und ggf. auch davon abermals die Differenzen
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
a(n) = a(0) + n·d(0) + C(n,2)·d2(0) + C(n,3)·d3(0) + .... (1)
Darin ist dₖ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a(0)=1, d(0)=6, d₂(0)=6 und dₖ(0)=0 für k>2 als Ergebnis
a(n)= 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n-1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch mamchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigerem mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, ..., für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages d(n)=a(n)-a(n-1) mit a(0)=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d(1)=a(1) ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn eine Fortsetzung ins Negative von a(0)=0 abweicht. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
d(n) = a(n+1) - a(n)
definiert ist. [1] Diese Differenzen sind oftmals nützlich, um auf das in einer Folge steckende Bildungsgesetz zu schließen. Hat man zum Beispiel das Anfangsstück 1, 7, 19, 37, 61, 91, ... vorliegen und sucht eine geschlossene Formel, so kann man die Differenzen bilden und ggf. auch davon abermals die Differenzen
Index n 1 2 3 4 5 6 ... Folge a(n) 1 7 19 37 61 91 ... Differenzen d(n)=a(n+1)-a(n) 6 12 18 24 30 36 ... Differenzen 2. Ordnung 6 6 6 6 6 6 ... Differenzen 3. Ordnung 0 0 0 0 0 0 ...Man erkennt sofort, daß die Differenzen zweiter Ordnung konstant sind, die Differenzen erster Ordnung also linear anwachsen und die Originalfolge damit quadratisch. Ein Ansatz a(n)=x·n²+y·n+z sollte also zum Erfolg führen. Man pickt sich einfach drei Werte heraus und erhält drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Der Einfachheit halber für die ersten drei:
n=1: x + y + z = 1 n=2: 4x + 2y + z = 7 n=3: 9x + 3y + z = 19Die Lösung x=3, y=-3, z=1 führt auf a(n)=3·n²-3·n+1=1+3n(n-1). Das sind die zentrierten Sechseckzahlen.
Da Mathematiker nicht dauernd Gleichungssysteme lösen möchten, danken sie Newton für seine Formel
a(n) = a(0) + n·d(0) + C(n,2)·d2(0) + C(n,3)·d3(0) + .... (1)
Darin ist dₖ die k-fach iterierte Differenzenfolge und C(n,k) der Binomialkoeffizient n über k. Tut man so, als habe das erste Folgeglied nicht den Index n=1, sondern 0, so liefert die Formel mit a(0)=1, d(0)=6, d₂(0)=6 und dₖ(0)=0 für k>2 als Ergebnis
a(n)= 1 + n·6 + (n(n-1)/2)·6 = 1+3n(n+1)
Wegen des Beginns mit n=1 statt n=0 ist auf der rechten Seite n durch n-1 zu ersetzen. Das ergibt wie bereits ermittelt a(n)=1+3n(n-1).
Das alles mag als nur in einfachen Fällen erfolgversprechend erscheinen, doch mamchmal kann damit auch aus einem undurchsichtigerem mit der Hand oder dem Computer erstellten Anfangsstück einer Folge auf ein Bildungsgesetz geschlossen werden. Zur Zahl 20 habe ich zum Beispiel von den 20 möglichen Ketten mit 4 roten und 7 weißen Perlen berichtet. Für 4 rote und n weiße erhält man die Folge 1, 3, 4, 8, 10, 16, 20, 29, 35, ..., für die Differenzenbildung zunächst wenig hilfreich erscheint:
Index n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... Folge a(n) 1 3 4 8 10 16 20 29 35 ... Differenzen d(n)=a(n+1)-a(n) 2 1 4 2 6 4 9 6 12 ... Differenzen 2.Ordnung -1 3 -2 4 -2 5 -3 7 -4 ...Betrachtet man aber nur die ungeraden Folgeglieder, so sieht die Welt schon besser aus:
Index n 1 3 5 7 9 11 13 ... Folge a(n) 1 4 10 20 35 56 84 ... Differenzen d(n)=a(n+2)-a(n) 3 6 10 15 21 28 36 ... Differenzen 2. Ordnung 3 4 5 6 7 8 9 ...Das führt auf die für ungerade n vermutlich richtigen Tetraederzahlen a(n)=(n+1)(n+3)(n+5)/48. Für gerade n muß man jedoch Korrekturen anbringen. Wieder hilft der gleiche Trick. Für gerade, doch nicht durch 4 teilbare (einfach gerade) n ergibt sich ein Zuschlag von (9n+21)/48. Wird er für alle geraden Indizes berücksichtigt, bleibt nur noch für alle durch 4 teilbaren (doppelt geraden) n ein Rest von 1/4. Die vermutete Formel lautet also
a(n) = (n+1)(n+3)(n+5)/48 + (9n+21)/48 falls n gerade + 12/48 falls n doppelt geradeEin Beispiel für n=8:
a(8) = [(8+1)(8+3)(8+5) + (9·8+21) + 12] / 48 = [9·11·13+72+21+12]/48 = 1392/48 = 29 (stimmt!)Natürlich müßte diese vermutete Formel noch als wirklich für alle n gültig überprüft werden. Aber das kann man nur, wenn man sie auch kennt.
In modernen Zeiten gibt es zumeist einfachere Methoden. Man kann in einer Bibliothek für Zahlenfolgen nachschlagen und findet heraus, daß man nicht der erste mit dieser Folge ist. [2] Im obigen Beispiel reicht es auch, das Ausgangsproblem mit den Ketten verstanden zu haben und dann in der Lage zu sein, mit Hilfe der von Polya entwickelten Methode die Formel aus der Problemstellung abzuleiten.
[1] Ich hatte in einer vorangehenden Version dieses Beitrages d(n)=a(n)-a(n-1) mit a(0)=0 definiert, weil damit keine Information verloren geht und sowohl die Summenfolge der Differenzenfolge als auch umgekehrt wieder das Original ergibt. Doch der erste Wert d(1)=a(1) ist unnatürlich, was dann dumm auffällt, wenn eine Fortsetzung ins Negative von a(0)=0 abweicht. Außerdem ist es sinnvoll, nicht ohne Not von der allgemeinen Konvention abzuweichen. Schon die Formel von Newton (1) macht deutlich, daß sie wohl die bessere Wahl ist und man Folgen möglichst mit dem Index n=0 beginnen sollte.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A005232
Summenfolge | Sechseckzahlen | 20
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DIN-A4-Papier
wuerg, 15.06.2005 01:06
Unsere normalen Papierformate haben sich glücklicherweise nicht am goldenen Schnitt ausgerichtet, sondern an der einfachen Teilbarkeit. Ohne diese starke Eigenschaft hätten die DIN-Formate in mehr als 20 Jahren mit Druckerproblemen dem Druck von 8 mal 12 Zoll großem Endlospapier nicht problemlos widerstanden. Ich erinnere mich noch gerne am meine ersten ordentlich formatierten Adressen auf handelsüblichen Aufklebern mit sieben mal drei Stück pro DIN-A4-Blatt. Doch fünfzehn Jahre später gibt immer noch Behörden und Reisebüros, die um einen Zentimeter zu lange Papierbögen bevorzugen.
Wie groß ist aber nun ein DIN-A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h die Beziehung "b zu h wie h/2 zu b", also h=b*sqrt(2) im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN-A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, daß neben h=b*sqrt(2) auch b*h=1 Quadratmeter sein muß. Das hat
Für die Fläche F(i)=b(i)*h(i) eines DIN-Ai-Blattes gilt natürlich eine einfachere Formel F(i)=1/2^^i Quadratmeter. Damit hat ein DIN-A4-Blatt genau 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.
Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen sqrt(2)=1,4142... ungefähr 141 Prozent und eine umgekehrte Verkleinerung wegen 1/sqrt(2)=sqrt(2)/2=0,7071... ungefähr 70 Prozent beträgt. Dann macht die Anweisung des Chefs "100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug" nicht nervös, weil sie sogleich in " bitte 100 Kopien auf 65% so schnell es Ihnen möglich ist" übersetzt werden kann.
DIN-A
Wie groß ist aber nun ein DIN-A4-Blatt und warum? Zunächst fordert die Teilbarkeit in zwei gleiche und wie das Ausgangsblatt proportionierte Hälften für die Breite b und die Höhe h die Beziehung "b zu h wie h/2 zu b", also h=b*sqrt(2) im Hochformat. Für die absolute Größe muß beachtet werden, daß ein DIN-A0-Blatt genau einen Quadratmeter groß sein soll, daß neben h=b*sqrt(2) auch b*h=1 Quadratmeter sein muß. Das hat
h = vierte Wurzel aus 2 Meter = 1,1892... Meterals Höhe des DIN-A0-Blattes zur Folge. Ein DIN-Ai-Blatt hat damit eine Breite b(i) und eine Höhe h(i) gemäß
b(i) = 2 hoch (-i/2-1/4) Meter h(i) = 2 hoch (-i/2+1/4) MeterFür ein DIN-A4-Blatt ergibt sich eine Breite von 2 hoch -2,25 und eine Höhe von 2 hoch -1,75 Metern. Das sind ungefähr 297,3 und 210,2 Millimeter in guter Übereinstimmung mit der Realität.
Für die Fläche F(i)=b(i)*h(i) eines DIN-Ai-Blattes gilt natürlich eine einfachere Formel F(i)=1/2^^i Quadratmeter. Damit hat ein DIN-A4-Blatt genau 1/16 Quadratmeter und wiegt 5 Gramm, wenn es sich um normales Papier von 80 Gramm pro Quadratmeter handelt. In einen Standardbrief sollte man deshalb nicht mehr als drei Blätter stecken.
Das alles ist nicht tiefschürfend, doch mir ein schönes Beispiel, wo in unserem Alltag ständig die vierte Wurzel vorkommt, wenn auch nicht so sichtbar wie die Quadratwurzel. Zwar haben moderne Kopierer Tasten für die gängigen Vergrößerungen und Verkleinerungen, doch schadet es nicht zu wissen, daß eine Vergrößerung von A4 auf A3 wegen sqrt(2)=1,4142... ungefähr 141 Prozent und eine umgekehrte Verkleinerung wegen 1/sqrt(2)=sqrt(2)/2=0,7071... ungefähr 70 Prozent beträgt. Dann macht die Anweisung des Chefs "100 Verkleinerungen auf A5 mit etwas mehr Rand, aber im Tiefflug" nicht nervös, weil sie sogleich in " bitte 100 Kopien auf 65% so schnell es Ihnen möglich ist" übersetzt werden kann.
DIN-A
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Goldener Schnitt
wuerg, 12.06.2005 00:23
Der goldene Schnitt ist die Teilung der Einheitsstrecke bei 0,618... im Verhältnis von 1 zu 1,618... und kommt allenthalben in Natur und Kultur vor. Erstere trifft den goldenen Schnitt natürlich nur ungefähr, wo er sich als günstig und damit von evolutionären Vorteil erwiesen hat. Geometrisch kommt er in der Lieblingsfigur der Griechen, dem Pentagramm vor:
Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN-A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN-A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
__●__ ____/ / \ \____ ____/ / \ \____ ____/ / \ \____ ____/ / \ c \____ ____/ / \ \____ ____/ / \ \____ / c / d \ c \ ● -- -- -- -- -- -- -- -- ●- -- -- -- -- -● -- -- -- -- -- -- -- -- ● \____ / \ ____/ \ \____ / \ ____/ / \ \____ a / \ ____/ / \ \____ / \ ____/ / \ ●___ ____● / \ / \____ ____/ \ / \ / \__ __/ \ b / \ / __●__ \ / \ / ____/ \____ \ / \ / ____/ \____ \ / \ / ____/ \____ \ / \ /_/ b \_\ / ●-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --●Einem Fünfeck einbeschriebenes Pentagramm (png)
Man erkennt an den zahlreichen ähnlichen Dreiecken, daß a:b=b:c=c:d ist. Dieses stets gleiche Verhältnis wird zu Ehren des griechischen Bildhauers Phideas mit Φ abgekürzt und heißt goldene Zahl, der Kehrwert goldener Schnitt φ. Um auf
Φ = (√5+1)/2 = 1/φ = φ+1 = 2·cos(36°) = 1,6180339887498948482... φ = (√5-1)/2 = 1/Φ = Φ-1 = 2·sin(18°) = 0,6180339887498948482...zu kommen, ist dank a=b+c und b=c+d nur eine quadratische Gleichung zu lösen.
Dem modernen Menschen ist das Interesse am Fünfeck abhanden gekommen, und so ist der goldene Schnitt vornehmlich im Zusammenhang mit dem goldenen Rechteck bekannt, das Seiten im Verhältnis 1 zu Φ aufweist. Objektiv ist es etwas schmal, dennoch gilt es als ideal. Wie man ein DIN-A4-Blatt in der Mitte durchschneiden kann, um ein gleich proportioniertes kleineres DIN-A5-Blatt zu erhalten, so kann man von einem goldenen Rechteck ein Quadrat abschneiden und erhält wieder ein goldenes Rechteck:
+-------------------------+---------------+ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | +---+-+---------+ | | | | | | +---+-+ | | | | | | | | | +-------------------------+-----+---------+Während die Kultur sich auf das goldene Rechteck als schön geeinigt hat, hält sich die Natur an den goldenen Winkel, der bei etwa 137,5° den Vollkreis im Verhältnis 1 zu Φ teilt. Ihn findet man näherungsweise an vielen Pflanzen.
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