Zahlwort

Die Dreieckszahlen, Quadrat­zahlen, Fünfeck­zahlen, Sechseck­zahlen usw. werden nach griechi­schen Vorstel­lungen gebildet, indem man stets ein größeres Polygon hinzunimmt:

    1          1             1                 1
   2 2        2 2          2   2             2   2
  3 3 3      3 2 3       3  2 2  3         3 2   2 3
 4 4 4 4    4 3 3 4    4  3     3  4     4 3   2   3 4
             4 3 4      4  3 3 3  4      4 3       3 4
              4 4        4       4       4   3   3   4 
               4          4 4 4 4        4     3     4
                                           4       4
                                             4   4
                                               4

Doch ab den Fünfeck­zahlen werden die Bilder löchrig, und schon bei den Sechseck­zahlen fragt man sich, warum sie nicht wie folgt gebildet werden:

                           4 4 4 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
1   2 1 2   3 2 1 2 3   4 3 2 1 2 3 4
     2 2     3 2 2 3     4 3 2 2 3 4
              3 3 3       4 3 3 3 4
                           4 4 4 4

Dieses Schema kann auf alle k-Ecke ausgedehnt werden, sieht jedoch nur für Quadrate, Fünf- und Sechsecke gut aus:

      4         4---4---4---4          4             4 4 4 4
     /3\        | 3---3---3 |        4 3 4          4 3 3 3 4
    4/2\4       4 | 2---2 | 4      4 3 2 3 4       4 3 2 2 3 4
   /3/1\3\      | 3 | 1 | 3 |    4 3 2 1 2 3 4    4 3 2 1 2 3 4
  4/2---2\4     4 | 2---2 | 4     4 3 2 2 3 4      4 3 2 2 3 4
 /3---3---3\    | 3---3---3 |      4 3 3 3 4        4 3 3 3 4
4---4---4---4   4---4---4---4       4 4 4 4          4 4 4 4

Die solchen Gebilden zugeord­neten Punkte­zahlen heißen zen­trierte Poly­gonal­zahlen, die ich mit p(k,n) für das k-Eck mit jeweils n Punkten auf der äußeren Kante abkürzen will. Sie lassen sich dank

p(k,n) = 1 + k + 2k +3k + ... + (n-1)k
       = 1 + k·(1+2+3+...+(n-1))
       = 1 + k·D(n-1)
       = 1 + k·n(n-1)/2

leichter berechnen als die (unzen­trierten) Poly­gonal­zahlen

P(k,n) = 1 + (1+(k-2)) + (1+2(k-2) + (1+3(k-2)) + ... + (1+(n-1)(k-2))
       = n + (1+2+3+...+(n-1))·(k-2)
       = n + D(n-1)·(k-2)
       = n + (n(n-1)/2)·(k-2)
       = n·[(k-2)n-(k-4)]/2

In beiden Formeln ist D(n-1)=P(3,n-1)=n(n-1)/2 die (n-1)-te Drei­ecks­zahl. Wie man in geeig­neten Dar­stel­lungen der (unzen­trierten) Poly­gonal­zahlen

B B B B A           B B B B A            B B B B A
 B B B A A         C B B B A A          C B B B A A
  B B A A A       C C B B A A A        C C B B A A A
   B A A A A     C C C B A A A A      C C C B A A A A
    1 2 3 4 5   C C C C 1 2 3 4 5    C C C C 1 2 3 4 5
                                     D D D D
       k=4             k=5            D D D     k=6
                                       D D
   in allen drei Bildern: n=5           D

die Formel P(k,n)=n+(k-2)·D(n-1) erken­nen kann, ist dies auch bei den zen­trierten

 k=3: C    k=4: D---C---C---C    k=5:  D        k=6: E D D D
     /C\        | D---C---C |        D D C          E E D D C
    C/C\B       D | D---C | B      D D D C C       E E E D C C
   /C/O\B\      | D | O | B |    E E E O C C C    F F F O C C C
  C/A---B\B     D | A---B | B     E E A B B B      F F A B B B
 /A---A---B\    | A---A---B |      E A A B B        F A A B B
A---A---A---B   A---A---A---B       A A A B   n=4    A A A B

mit der Formel p(k,n)=1+k·D(n-1) der Fall. Manche Figuren lassen Bezie­hungen zwischen Poly­gonal­zahlen erkennen. So lassen sich Quadrate gemäß

              4---4---4---4     4---4---4---4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3   1   3  +  |   |   |   |  =  | 3 | 1 | 3 |
|       |     4   2---2   4     4 | 2---2 | 4
3---3---3     |           |     | 3---3---3 | 
              4---4---4---4     4---4---4---4

zusammen­setzen. Deshalb ist q(n)=Q(n)+Q(n-1)=n²+(n-1)², worin q(n)=p(4,n) die n-te zen­trierte Quadrat­zahl und Q(n)=P(4,n)=n² die normale Quadrat­zahl ist.

Die den Griechen so wichtige einfache Fünfeck­zahl F(n)=P(5,n)=n(3n-1)/2 kann wie in der mittleren Figur der dritt­letzten Abbildung als halbes Sechseck darge­stellt werden. Die zen­trierte Sechs­eckzahl s(n)=2*F(n)-(2n-1) bildet wie in der letzten Figur der vor­letzten Abbil­dung ein ganzes Sechseck. Deshalb ist s(n)=2·F(n)-2(n-1).

Die letzte Formel läßt sich verallgemeinern, und zahl­reiche andere Beziehungen können errechnet werden. Doch darum soll es hier nicht gehen. Abschlie­ßend soll nur noch die Frage beant­wortet werden, warum die zen­trierten Poly­gonal­zahlen in ihrer Bedeu­tung hinter den normalen zurück­bleiben. Zum einen liegt es daran, daß die so bekann­ten und bedeut­samen Dreiecks- und Quadrat­zahlen normale Poly­gonal­zahlen sind und das Sechseck die zen­trierten Zahlen nicht mehr raus­reißt. Zum anderen sind die zen­trierten Poly­gonal­zahlen nur um eins ver­mehrte Viel­fache der Dreiecks­zahlen. Und zum dritten stellt diese Eins in der Formel eine gewisse Unschön­heit dar. Erst ohne den Mitten­punkt (eins weniger) ergäbe sich eine arithmetische Reihe, wie dies bei den normalen Poly­gonal­zahlen der Fall ist.

Dreieckszahlen | Quadratzahlen

Die kanonische Darstellung der n-ten zen­trierten k-Eck­zahl durch einen Mitten­punkt umgeben von n-1 Kreisen mit k, 2k, ..., (n-1)k Punk­ten sieht allen­falls für k=4,5,6 einiger­maßen anspre­chend aus. Hier ein paar alter­native Muster auf der Basis von

p(k,n) = 1 + k·D(n-1)

durch einen einzelnen Punkt und k Drei­ecke. Für manche k geht es ganz gut. So kann man dem als ein Sechs­eck darge­stellten n-ten Sechs­eckzahl

    3 2 2 2 2
   3 3 2 2 2 1
  3 3 3 2 2 1 1
 3 3 3 3 2 1 1 1
4 4 4 4 0 1 1 1 1
 4 4 4 5 6 6 6 6
  4 4 5 5 6 6 6
   4 5 5 5 6 6
    5 5 5 5 6

einfach weitere Dreiecke mit D(n-1) Punkten ankleben. Mit drei wei­te­ren (7-9) gelangt man zu den zen­trierten Neuneck­zahlen:

            7
           7 7
          7 7 7
         7 7 7 7 
        3 2 2 2 2
       3 3 2 2 2 1
      3 3 3 2 2 1 1
     3 3 3 3 2 1 1 1
    4 4 4 4 0 1 1 1 1
   8 4 4 4 5 6 6 6 6 9
  8 8 4 4 5 5 6 6 6 9 9
 8 8 8 4 5 5 5 6 6 9 9 9
8 8 8 8 5 5 5 5 6 9 9 9 9

Das Bild für n=5 mit 1+9·D(4)=91=D(13) Punkten läßt ve­muten, daß es sich für alle n um die (3n-2)-te Drei­ecks­zahl handelt, was duch die Formel

p(9,n) = 1+9·D(n-1) = 1+9n(n-1)/2 = (3n-2)(3n-1)/2 = D(3n-2)

bestätigt wird. Mit weiteren drei ange­klebten Drei­ecken gelangt man zu den zen­trierten Zwöl­feck­zahlen, die zugleich sechs­zackige Stern­zahlen sind:

            O
           O O
          O O O
         O O O O 
O O O O x x x x x O O O O
 O O O x x x x x x O O O
  O O x x x x x x x O O
   O x x x x x x x x O
    x x x x O x x x x
   O x x x x x x x x O
  O O x x x x x x x O O
 O O O x x x x x x O O O
O O O O x x x x x O O O O
         O O O O
          O O O
           O O
            O

Auch an Fünfecke kann man Dreiecke anfügen. So kommt man auf zen­trierte Zehn­eck­zahlen. Dazu kein Bild, da es mit ASCII-​Zei­chen kaum möglich ist und ein fünfzackiger Stern auch nicht viel anders aussieht als ein Stern mit sechs Zacken. [1] Es bleibt das Bild zu den zen­trierten Quadrat­zahlen:

   2   2   2   2   1 
     2   2   2   1
   3   2   2   1   1
     3   2   1   1
   3   3   0   1   1
     3   3   4   1
   3   3   4   4   1
     3   4   4   4
   3   4   4   4   4

dem man ebenfalls an die Seiten Drei­ecke kle­ben kann. Eben­mäßig sieht es aus, wenn man es an allen vieren (5-8) macht:

                6
              6   6
            6   6   6
          6   6   6   6
        2   2   2   2   1 
      7   2   2   2   1   5
    7   3   2   2   1   1   5
  7   7   3   2   1   1   5   5
7   7   3   3   0   1   1   5   5
  7   7   3   3   4   1   5   5
    7   3   3   4   4   1   5
      7   3   4   4   4   5
        3   4   4   4   4
          8   8   8   8
            8   8   8
              8   8
                8

Zöge man die Spitzen in die Länge, sähe man einen vier­zackigen Stern. Die vorste­hende Abbil­dung dagegen legt glaub­wür­diger nahe, was durch

p(8,n) = 1+8·D(n) = 1+4n(n-1) = (2n-1)²

belegt ist: Die n-te zen­trierte Achteck­zahl ist die (2n-1)-te normale Quadrat­zahl.

[1] Bekanntlich hat der David­stern sechs Zacken. Dank der Evolu­tion des mensch­lichen Auges auch die Sterne am Himmel. Zum Troste für die Zukurz­gekom­menen: Der ASCII-​Stern wird nor­maler­weise mit fünf Zacken darge­stellt. Das von den Griechen heißge­liebte Penta­gramm und fast alle Sterne auf Flaggen sind eben­falls fünf­zackig.