Zahlwort

Als Jürgen Möllemann 18 Prozent für die FDP for­derte, dachte er wohl ein­fach an heraus­for­dernde 10 mehr als eben nur 8 Pro­zent, nicht aber an die gän­gige Bezeich­nung für Adolf Hit­ler (1=A, 8=H). Über­sehen aber hat er diese Inter­preta­tion gewiß nicht. Schon eher 18=6+6+6, also die durch Verdrei­fa­chung entste­hende Über­hö­hung der 6, womit 18 natür­lich auch die Quer­summe von 666 ist. Daß diese Zahl des Tieres auch noch durch 18 geteilt wer­den kann, ist damit wenig über­ra­schend.

Was können wir sonst noch zur 18 sagen? Aus mathema­tischer Sicht so gut wie nichts. Sonst würde ich in einer Liste, die zu vie­len hun­dert Zah­len heraus­ra­gende Eigen­schaf­ten nennt, mehr als nur die fol­gende fin­den: Einzige Zahl, die dop­pelt so groß ist wie ihre Quer­summe. Offen­sicht­lich kommen nur zwei­stel­lige Zahlen 10a+b infrage. Deren dop­pelte Quer­summe ist 2(a+b), was auf 8a=b führt mit a=1 und b=8 als ein­ziger Lösung. 

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Siebeneckzahl 18 als Quadrat mit Zacken, Haus und Sechseck (png)

Es bleiben die Voll­jährig­keit mit 18 Jah­ren und ein paar weni­ger inter­es­sante Figu­ren mit 18 Punk­ten. Ein Dreicks­prisma mit drei Punk­ten ent­lang jeder Kante umfaßt 3·D₃=​3·6=18 Punkte. Eine drei­schich­tige Pyramide aus Fünf­eck­zahlen gemäß 1+5+12=18 mag ich mir lieber nicht vor­stel­len. Bleibt nur noch die dritte Sieben­eck­zahl 1+6+11=18. Aber wie stelle ich Sieben­eck­zahlen ver­nünf­tig dar, denn sie liegen blöd zwischen den Sech­seck­zahlen (Drei­eck mit drei Zacken) und den Acht­eck­zahlen (Qua­drat mit vier Zacken). Es bleibt eigent­lich nur ein Quadrat mit drei Zacken oder ein zwei­stöcki­ges Haus mit Dach. Grund­sätz­lich auch ein großes Drei­eck mit vier kleinen, woraus sich ein Sechs­eck aus 19 Punk­ten mit einem Loch ergibt.

[1] Wenn man sich für das Dop­pelte inter­essiert, warum nicht auch für das n‑fache. So kommt man auf die Har­shad-​Zahlen (A005349), die Viel­faches (A113315) ihrer eige­nen Quer­summe (A325454) sind. Das führt zu vielen Folge­fragen. Zum Bei­spiel nach der klein­sten Har­shad-​Zahl mit vor­gege­bener Quer­summe (A003634) oder Quer­summen ohne Har­shard-​Zahl (A003635).

17 | 19 | 88 | 4/20 | 666

Im Altertum kannte man neben den Konstruk­tio­nen des Drei­ecks, des Qua­dra­tes und des Fünf­ecks mit Zir­kel und Lineal nur noch die darauf auf­bau­enden, näm­lich das 15‑Eck durch Über­lage­rung von Drei- und Fünfeck, sowie aus den genann­ten durch Winkel­halbie­rung hervor­gehenden mit 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, 32, 40, ... Ecken. Erst Jahr­tau­sende später zeigte Carl Fried­rich Gauß, daß ein q‑Eck genau dann kon­stru­ier­bar ist, wenn q=p·2ᵐ ist, worin p für das Pro­dukt ver­schie­dener primer Fermat­zah­len 2^2ⁿ+1 steht. [1] Damit war bewie­sen, daß insbe­son­dere das 17‑Eck konstru­ier­bar ist, das als 17‑zacki­ger Stern das Grab­mal von Carl Fried­rich Gauß ziert.

Während die Konstruk­tion des 17‑Eckes noch in Büchern zu fin­den ist, soll die für 2⁸+1=257 mehr als hun­dert Seiten umfas­sen und die für 2¹⁶+1=65537 in einer Kiste ruhen. Wei­tere prime Fermat­zah­len sind nicht bekannt. Trotz­dem muß das Problem als gelöst gelten, weil es auf ein ein­faches Krite­rium zurück­ge­führt ist. In jedem Falle sind das Sie­ben- und das Neun­eck nicht konstru­ier­bar.

Was bleibt noch zu sagen? Den Pytha­goräern soll die 17 ein Dorn im Auge gewe­sen sein, weil sie zwi­schen der 16 und der 18 das Epog­doon (Verhält­nis 8:9) durch­trennt. Den Ita­lie­nern gilt sie wie bei uns die 13 als Unglücks­zahl. Wahr­schein­lich liegt das weder an den Grie­chen, noch den Römern, die VIXI (ich habe gelebt) in XVII gele­sen haben sol­len. Eigent­lich ist die 17 beliebt, soll wie die 7 oft genannt wer­den. Be­son­ders origi­nell ist der Trick 17, die Sint­flut setzte am 17. Tage des zwei­ten Monats ein, es gibt 17 Par­ket­tie­rungen der Ebene, die in der Alham­bra und bei M. C. Escher zu bewun­dern sind.

Die ersten vier Prim­zah­len addie­ren sich zu 2+3+5+7=17, was aber nicht bedeu­ten­der sein kann als die Summe 100 der ersten neun Prim­zah­len. Und die Quer­summe von 17³=4913 ist 4+9+1+3=17. Eine recht kon­stru­ierte Eigen­schaft, die zur Basis 10 nur für 1, 8, 17, 18, 26 und 27 zu­trifft. Für die größte ist 27³=19683 mit 1+9+6+8+3=27.

[1] Wer sich jetzt fragt, warum ich 2^2ⁿ+1 und nicht 2²ⁿ+1 geschrie­ben habe: Echte Hoch­stellung versaut im Gegen­satz zu hoch­gestell­ten Zeichen den Zeilen­abstand. Und das erlaube ich mir mög­lichst nur wie hier in der ersten Zeile. Wer die Text­breite verklei­nert, sollte den vergrö­ßerten Zeilen­abstand sehen können. Auch, wenn man auf einem kurz­zeiligen Mobil­telefon liest.

16 | 18 | Epogdoon

Wer die Zahl 16 googelt, wird zuge­müllt mit Luft­bal­lons, Pinata-​Zahlen und gene­rier­tem Pipifax. Wenig­stens die Wiki­pedia bemüht sich, etwas von Inter­esse zu berich­ten, es ist aber nicht viel. [1] Unter „Mathema­ti­sches“ wird wie­der­holt, daß 16 gerade ist. Dazu eine Qua­drat-, eine Biqua­drat- und eine Stör­mer­zahl. [2] Auch „Bedeu­tung“ gibt es nur wenig: Mit 16 erwirbt man ein paar Rechte, das Hexa­dezimal­system, zwei reli­giöse Belang­losig­kei­ten und die fran­zösi­sche Sprache. [3] Bleibt „Siehe auch“ von eben­falls beschei­denem Wert. [4]

Die Haupt­bedeu­tung der Zahl 16 sehe ich im Zusamen­hang mit fort­wäh­ren­der Ver­dop­pe­lung oder Halbie­rung, nicht nur der Wind­rose in vier, dann acht und schließ­lich 16 Rich­tun­gen mit so schö­nen Bezeich­nun­gen wie West­nord­west, sondern vieler Maße und Gewichte. Bevor es zur Zwölf­tei­lung des Fußes in Zoll kam, war er in 16 Fin­ger geteilt und ist es eigent­lich immer noch. [5] Wir wür­den heute wohl hexa­dezi­mal oder oktal rech­nen, wenn es unse­ren Vor­fahren vor 5000 Jah­ren gelun­gen wäre, vier bzw. drei Binär­stel­len zu einer Zif­fer zusam­men­zufas­sen. [6] So kam es zu einer dauer­haf­ten Kon­kur­renz von 10, 12, 16, 60 und 100 mit zahl­rei­chen Umdeu­tun­gen von Maßen im Ver­hält­nis 6:5, 16:15, 100:96, leider auch 15:14 oder 50:49.

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16  3  2 13        ● ○ ●         ● ● ●  
 5 10 11  8      ● ○ ● ○ ●     ● ● ○ ● ●  
 9  6  7 12       ● ○ ○ ●       ● ● ● ●  
 4 15 14  1        ● ● ●         ● ● ●  

Dürerquadrat und 16 als dritte zentrierte Fünfeckzahl (png)

So wie das kleinste magi­sche Quadrat dem entfern­testen Wandel­stern Saturn zuge­ord­net wird, so das der Größe 4×4 dem Jupi­ter, womit neben 4, der magi­schen Zahl 34 und der Ziffern­summe 136 auch 16 als Jupi­ter­zahl gilt. Das berühm­teste Qua­drat mit 16 Ziffern ist das Dürer­qua­drat. Natürlich ist 16 als Qua­drat einer Quadrat­zahl (2²)² auch ein Biqua­drat 2⁴, wie die Wiki­pedia zurecht bemerkt. Das ist inso­fern bemer­kens­wert als es die einzige Zahl ist, die zugleich a hoch b als auch b hoch a zweier ver­schie­dener natür­licher Zah­len ist. [7]

Unter den figu­rier­ten Zahlen ist 16=1+5+10=​1+5·D(2)=​1+D(5) die dritte zen­trierte Fünf­eck­zahl und die sechste zen­trierte Ein­eck­zahl, also fünfte Pizza­zahl, weil eine Pizza mit 5 geraden Schnit­ten in 16 Stücke geteilt wer­den kann. Dazu kann man ein Penta­gramm auf die Pizza legen und die fünf Kanten bis zum Rand der Pizza verlän­gern. Außer­dem ist 16=15+1=10+6 die kleinste Zahl, die sich auf zwei­fache Weise als Summe zweier Drei­ecks­zah­len schreiben läßt. [8] Das ist kein Zufall, denn alle Biquadrate lassen sich in mehr­facher Weise in zwei Dreiecks­zahlen zer­legen. [9]

[1] Einleitungstext: „Die Sech­zehn (16) ist eine natür­liche Zahl zwi­schen Fünf­zehn und Sieb­zehn. Sie ist gerade.“

[2] Wen interessieren die wie Sand am Meer vorkom­menden Störmer­zahlen, die wohl nur erfun­den wurden, um damit fast alle Zahl­bei­träge der Wiki­pedia zuzu­müllen.

[3] Die Franzosen sagen seize, aber dix-sept und die Ita­liener seidici, aber dicia­ssette. Das sind Reste der 16 wie sie auch von der 12 (zwölf – drei­zehn), der 20 (quatre-​vingt) und der 60 (soi­xante-​dix) geblie­ben sind.

[4] Unter dem Titel „Sechzehner“ wird auf den 16‑Meter-​Raum ver­wie­sen, der eigent­lich ein 18‑Yard-​Raum ist.

[5] Im anglo­amerikani­schen Maß­system besteht der Fuß (foot) immer noch aus 16 digit zu 19,05 mm (3/4 Zoll) und sollte nicht mit dem dicke­ren finger (7/8 Zoll) ver­wech­selt wer­den.

[6] Es ist ja immer noch üblich, angloameri­kani­sche Maße nicht dezi­mal zu tei­len, son­dern mehr­fach zu hal­bieren: 5‑1/4‑Zoll-​Dis­ketten, 3/16‑Zoll-​Schraube.

[7] Das bedeutet lna/a=lnb/b. Da lnx/x zunächst steigt und ab e wieder fällt, kom­men für die klei­nere Zahl nur 1 und 2 infrage, wovon nur 2 bleibt.

[8] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Summe zweier positiver Drei­ecks­zahlen auf mehr­fache Weise A185979.

[9] Für die ersten Biquad­rate alle Zerle­gun­gen bestim­men, aus ihnen eine Gesetz­mäßig­keit able­sen und dann deren All­gemein­gültig­keit nach­rechnen.

15 | 17 | 34 | zentrierte Polygonalzahlen

Bei 15 denke ich immer daran, daß ich sie auser­koren hatte, um an einem ein­fachen Produkt zweier Prim­zahlen das RSA-​Schema zu erläu­tern. [1] Solche Pro­dukte hei­ßen Semi­prim­zahlen. Wenig inter­es­sant sind die geraden und die Qua­drat­zahlen darun­ter. Streicht man sie, so bleiben die unge­raden qua­drat­freien Semi­prim­zah­len. Sie sind alle­samt Fer­mat­sche Pseudo­prim­zah­len. Beide Listen werden von der 15 ange­führt, die sogar Pro­dukt eines Prim­zahl­zwil­lings ist. [2]

Fermat­sche Pseudo­prim­zahlen sind etwas schwe­rer zu ver­stehen: Für eine Prim­zahl p gilt nach dem klei­nen fermat­schen Satz aᵖ=a mod p für alle a, insbe­sondere aᵖ⁻¹=1 mod p für a=2,3,…,p−2. Für zusam­men­ge­setzte Zah­len n trifft letz­te­res nur sel­ten zu. [3] Gibt es den­noch ein sol­ches a, so heißt n fermat­sche Pseudo­prim­zahl. Für einen Prim­zahl­zwil­ling (p,q) mit der Mitten­zahl a=p+1=q−1 ist unmit­tel­bar zu sehen, daß n=pq auch fermat­sche Pseudo­prim­zahl ist, da bereits a²=pq+1=1 mod n. Für 15=3·5 ist a=4 die Mitten­zahl und tat­säch­lich ist 4¹⁴=1 mod 15, weil bereits 4²=16=1 mod 15 ist.

Mit der 15 ist es abge­sehen von weni­gen promi­nen­ten Zahlen mit den bib­li­schen, esote­ri­schen, numero­logi­schen Gedöns weit­ge­hend vorbei. [4] Auch rechne­rische Aspekte hal­ten sich bedeckt. Zumeist kön­nen nur irgend­wel­che Anzah­len, Posi­tio­nen oder Zahlen­spiele­reien genannt wer­den: So ist 15 dritte Sechs­eck- und damit fünfte Drei­ecks­zahl, was man an den 15 ro­ten Bällen beim Snooker erkennt. Es gibt 15 ar­chi­medi­sche Körper, wenn gespie­gelte mitge­zählt wer­den, und 15 ist die magi­sche Zahl des dem Saturn zuge­ord­neten magi­schen 3×3‑Qua­drates.

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┃ 3 ┃ 5 ┃ 7 ┃   ●   ○   ●     ○ ○ ○      ○ ○ ○
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┃ 4 ┃ 9 ┃ 2 ┃     ● ● ●     ● ● ○ ● ●     ● ●
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Magisches Quadrat, H₃=1+5+9=15=D₅=D₃+3D₂=3²+2D₂ (png)

[1] Das ermöglicht öffentliche Ver­schlüs­selung und Authen­tifi­zierung, wenn die Zahlen so groß sind, daß eine Faktori­sierung prak­tisch unmög­lich ist.

[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Semi­prim­zahlen A001358, unge­rade qua­drat­freie Semi­prim­zahlen A046388, fermat­sche Pseudo­prim­zahlen A181780.

[3] Im allgemeinen ist durch Auspro­bieren weniger Zahlen a sehr schnell klar, ob eine zufällig gewählte sehr große Zahl n eine Prim­zahl ist, wie man sie zum Beispiel für das RSA-​Schema benötigt. Todsicher ist es aller­dings nicht. Und leider gibt es auch ganz wenige zusammen­gesetzte Zah­len n, an denen fast alle a scheitern.

[4] Fromme Juden sollen die hebräisch geschrie­bene 15 als 6 und 9 (Waw und Tet) notieren, weil die kanonische Darstel­lung als 10 und 5 (Jod und He) eine der vielen Kurz­bezeich­nungen für Jahwe ist, dessen Namen man nicht ausspre­chen darf. Ob das stimmt? Und ist 69 eine gute Alternative?

14 | 16 | Saturnquadrat | Dreieckszahlen

Jetzt habe ich angeregt durch eine Presse­mittei­lung über die Zwan­zig­eins-​Reform etwas zu Zahl­wörtern ge­schrie­ben. Wieso, weshalb, warum mache ich das in einem Blog, der auch nicht mehr Leser hat als ein Stapel Blätter in meiner Schreib­tisch­schub­lade? [1] Begon­nen hat das als ein Versuch, dem eine lange und dann eine kurze Pause folgte. Jetzt die­nen meine Ein­träge dazu, zumeist weniger bedeu­tende Gedan­ken aufzu­schrei­ben. Die in beschei­denem Umfange öffent­liche Dar­stel­lung bewäl­tigt sie und befreit von dem Drang, hinter­her viel mehr als nur Fehler korri­gieren zu wollen.

[1] Das mußte ich bald zurück­nehmen, denn einige Bei­träge wurden doch recht oft gelesen, zumin­dest aufge­rufen.

In der halben Welt, vor allem aber Kontinental­europa ist das Chuquet-​System üblich, das eine Eins mit 6p Nul­len eine ⟨p⟩il­lion nennt. Die sich aus­brei­tende kurze Skala der Ameri­kaner mit 3(p+1) Nul­len für eine ⟨p⟩il­lion ist nicht wegen der Dreier­blöcke 3p, son­dern der häßli­chen +1 min­der­wer­tig. Archi­medes war fast zwei Jahr­tausende voraus. Er benannte große Zahlen expo­nen­tiell und dachte die Unend­lich­keit. Basis war die den Grie­chen geläu­fige Myri­ade von 10.000, mit der sie auch ohne Archi­medes zumin­dest Zahlen bis zu einer Myriade Myriaden, also 100 Mil­lio­nen benen­nen konn­ten.

Leider ist diese Myriade unter­gegan­gen, und es kam nicht zur Glie­de­rung unse­rer Zahlen in Blöcken zu 2, 4, 8, 16, … Stel­len. Geblie­ben ist nur ein gele­gent­licher Hang zur Zwei­stellig­keit. Früher beim Memo­rieren von Tele­fon­num­mern, heute noch bei den zwei Nach­komma­stel­len von Geld­beträ­gen, Zenti­metern und vor allem in den Pro­zenten. Deutlicher als Deka und Hekto ist Myriad aus dem Sprach­ge­brauch gera­ten und hat es nicht mehr zum SI‑Prä​fix geschafft. Geblie­ben sind Myri­aden nur noch im Sinne von unüber­schau­bar vielen.

Billion | Googol

In der Welt gibt es zwar unter­schied­liche Auf­fas­sun­gen über die Größe einer Bil­lion, Tril­lion und so weiter, gemein­sam aber ist allen, daß ab einer gewis­sen Größen­ord­nung die Namen nur noch den sport­lichen Ehr­geiz von Latein­leh­rern befrie­digen. Bis zur Oktil­lion sind die Namen noch ganz nett. So kommt man ohne Probleme knapp über 10³⁰ bzw. 10⁵⁴. Ähn­liches gilt für musi­kali­sche Inter­valle. Bis zu einer Trede­zime sind sie in Ordnung, danach fragt man sich, wie sie heißen und ob eine for­male Bezeich­nung mit geläu­figen Zahlen nicht besser wäre.

Für sehr große Zahlen hat man sich vor­schnell zu Googol für 10¹⁰⁰ hin­reißen lassen. Leider fällt dieses Googol mit 10 Sex­dezil­liar­den bzw. 10 duo­tri­gin­til­lions ebenso aus unse­rem Raster von Dreier­blöcken wie ein Ang­ström für 10¹⁰‑tel Meter und eine Myri­ade für 10.000. So sehe ich Googol als Spaß, der von Google aufge­grif­fen wurde. Ein Googol­plex mit 10 hoch 10¹⁰⁰ durch wei­tere Poten­zie­rung auch Googol­plex­plex usw. zu defi­nie­ren, ist so albern wie Tril­lionen als Mimi­mil­lio­nen zu stot­tern.

Wollte man mit wenigen latei­nisch benann­ten Zahlen sehr weit zäh­len, hätte man weder das euro­päi­sche System in Sechser-, noch das ameri­kani­sche in Dreier­schrit­ten neh­men dür­fen, son­dern mit Archi­medes im Sinne sei­nes Sand­rech­ners fort­set­zen sol­len: Mit dem Begriff Mil­lion (10⁶) konnte man 12 Stel­len leicht benen­nen. Mit der euro­päi­schen Billion (10¹²) kommt man auf 24. Würde sodann eine ⟨p⟩illion als Quadrat einer ⟨p−1⟩illion defi­niert, wäre sie eine Eins mit 3·2ᵖ Nullen und ein Googol nur eine Myriade Quin­til­lionen groß.

Billion | Myriade