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ANS
wuerg, 02.03.2006 20:34
Zur Darstellung der natürlichen Zahlen verwenden wir üblicherweise die auch Ziffern genannten Zeichen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Einer Ziffernfolge, zumeist als Zeichenkette aus diesen Ziffern geschrieben, kann leicht in der uns bekannten Weise eine Zahl zugeordnet werden. Umgekehrt kann jede natürliche Zahl auch als eine solche Ziffernfolge geschrieben werden. Diese dezimale Darstellung der natürlichen Zahlen ist eindeutig, wenn man keine führenden Nullen erlaubt. [1]
Bekanntlich wurde die 0 erst spät benutzt, manche sagen erfunden. Sie war entbehrlich, solange man mit Rechenbrettern arbeitete, wie die Römer für jede Stelle andere Zahlzeichen hatte oder sich wie die Babylonier die leeren Positionen nur dachte bzw. andeutete. Auch ein Positionssystem wie unseres, das den Wert einer Ziffer von ihrer Position abhängig macht, benötigt nicht unbedingt eine Null.
Warum verzichtet der Finger zählende Mensch auf ein eigenes Zahlzeichen für zehn? Mit einem solchen Zeichen, das ich hier wie die Römer als X schreibe, hätte man sich die Null ersparen können. Sonst bliebe alles, wie wir es kennen. Eine um eins höhere Position erhöht den Wert um den Faktor zehn. Dieses alternative Zahlsystem (ANS, alternate number system) ist also wie das gebräuchliche (ENS, existing number system) ein Dezimalsystem:
Gewiß muß man sich daran gewöhnen, im ANS zu rechnen. Es allein deshalb dem ENS als unterlegen zu sehen, ist natürlich unfair. Man sollte sich schon fragen, ob jahrelanges Training in der Schule nicht die gleiche Geläufigkeit nach sich zöge. Ich glaube nicht. Betrachten wir dazu nur einfache Additionsaufgaben, die viele Menschen nur durchzuführen imstande sind, wenn sie die Überträge notieren. Ein Beispiel:
Oftmals überlegen ist das ANS bei Zahlenspielereien mit Ziffernvertauschungen. So entsteht nicht die Frage, ob 3 oder 03 die Umkehrung von 30 ist. Die Suche nach EPORN, also nach Zahlen, die auf zweifache Weise durch das Produkt zweier ziffernvertauschter Zahlen sind, führt nicht auf eine Reihe von entarteten Fällen wie dem der kleinsten ENS-EPORN
[1] Wikipedia. Bijective Numeration. Das gilt als mathematische Folklore und wurde deshalb häufig ‚wiederentdeckt‘. Im Artikel ist Forslund [2] erwähnt, aber auch ein Band von Donald E. Knuth [3], den ich mein eigen nenne.
[2] Robert R. Forslund: A Logical Alternative to the Existing Positional Number System. Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics 1:27, 1995. Nicht als gedruckte Zeitschrift und im Netz wohl auch nur mit Handständen. Hier als PS-Datei, woanders auch DVI. Mein alter Verweis, der dem unter A007932 (ANS-Ternärzahlen ohne 0, aber mit 3) entsprach, scheint zwischenzeitlich tot. So wird sich das ANS nie durchsetzen.
[3] Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming - Volume 2 / Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley, 2. Auflage, 1981. Die Wikipedia [1] verweist recht verquer auf auf eine Bemerkung in der der Antwort zur Übung 4.1-24 auf Seite 195 der 1. Auflage: „If we drop the restriction 0∈D, there are many other cases, some of which are quite interesting, especially {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, …“
Bekanntlich wurde die 0 erst spät benutzt, manche sagen erfunden. Sie war entbehrlich, solange man mit Rechenbrettern arbeitete, wie die Römer für jede Stelle andere Zahlzeichen hatte oder sich wie die Babylonier die leeren Positionen nur dachte bzw. andeutete. Auch ein Positionssystem wie unseres, das den Wert einer Ziffer von ihrer Position abhängig macht, benötigt nicht unbedingt eine Null.
Warum verzichtet der Finger zählende Mensch auf ein eigenes Zahlzeichen für zehn? Mit einem solchen Zeichen, das ich hier wie die Römer als X schreibe, hätte man sich die Null ersparen können. Sonst bliebe alles, wie wir es kennen. Eine um eins höhere Position erhöht den Wert um den Faktor zehn. Dieses alternative Zahlsystem (ANS, alternate number system) ist also wie das gebräuchliche (ENS, existing number system) ein Dezimalsystem:
ENS: 1 ... 9 10 11 ... 20 21 ... 99 100 101 ... 109 110 111 ... ANS: 1 ... 9 X 11 ... 1X 21 ... 99 9X X1 ... X9 XX 111 ...Robert R. Forslund [2] hält das ANS unserem ENS für überlegen, denn dank der fehlenden 0 ist jeder Ziffernkette eindeutig eine Zahl zugeordnet und umgekehrt. Im ANS gibt es 10 (besser X) einstellige, 100 (besser 9X) zweistellige und 1000 (besser 99X) dreistellige Zahlen. In unserem ENS sind es nur 9, 90 und 900.
Gewiß muß man sich daran gewöhnen, im ANS zu rechnen. Es allein deshalb dem ENS als unterlegen zu sehen, ist natürlich unfair. Man sollte sich schon fragen, ob jahrelanges Training in der Schule nicht die gleiche Geläufigkeit nach sich zöge. Ich glaube nicht. Betrachten wir dazu nur einfache Additionsaufgaben, die viele Menschen nur durchzuführen imstande sind, wenn sie die Überträge notieren. Ein Beispiel:
ENS ANS 2005 19X5 1907 18X7 ..1. .21. ---- ---- 3912 3912Schon bei der Addition zweier Zahlen treten im ANS Überträge von 2 auf. Das haut einen geübten Rechner nicht vom Hocker, zumal er mit 10 gut rechnen kann und Zahlen ohne X der üblichen Darstellung entsprechen. Doch eine kleine Erschwernis ist durchaus schon bei leichten Addditionen zu erkennen und damit ein Anzeichen dafür, daß die 0 gegenüber der X wohl die bessere Wahl ist, die Evolution sich hier nicht geirrt hat.
Oftmals überlegen ist das ANS bei Zahlenspielereien mit Ziffernvertauschungen. So entsteht nicht die Frage, ob 3 oder 03 die Umkehrung von 30 ist. Die Suche nach EPORN, also nach Zahlen, die auf zweifache Weise durch das Produkt zweier ziffernvertauschter Zahlen sind, führt nicht auf eine Reihe von entarteten Fällen wie dem der kleinsten ENS-EPORN
2520 = 210 · 012 = 021 · 120Im ANS muß man schon etwas über diese Zahl hinausgehen. Die kleinste aller ANS-EPORN ist
634X4 = 441 · 144 = 252 · 252 = 63504Da in den Faktoren kein X vorkommt, ist die Zahl zugleich normale ENS-EPOPN, nämlich die kleinste unter den nicht entarteten. Es gibt auch alleinige ANS-EPORN. Die kleinste ist:
1623X9 = 961 · 169 = 3X3 · 3X3, also ANS-EPORN 162409 = 961 · 169 = 403 · 403 scheitert im ENSDer skeptische Leser wird sich fragen, ob 162409 nicht auf eine andere Weise spiegelbildlich faktorisiert werden könnte und so dennoch ENS-EPORN sein könnte. Doch weitere zwei Faktoren lassen sich aus 162409=13·13·31·31 offensichtlich nicht zusammenbasteln.
[1] Wikipedia. Bijective Numeration. Das gilt als mathematische Folklore und wurde deshalb häufig ‚wiederentdeckt‘. Im Artikel ist Forslund [2] erwähnt, aber auch ein Band von Donald E. Knuth [3], den ich mein eigen nenne.
[2] Robert R. Forslund: A Logical Alternative to the Existing Positional Number System. Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics 1:27, 1995. Nicht als gedruckte Zeitschrift und im Netz wohl auch nur mit Handständen. Hier als PS-Datei, woanders auch DVI. Mein alter Verweis, der dem unter A007932 (ANS-Ternärzahlen ohne 0, aber mit 3) entsprach, scheint zwischenzeitlich tot. So wird sich das ANS nie durchsetzen.
[3] Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming - Volume 2 / Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley, 2. Auflage, 1981. Die Wikipedia [1] verweist recht verquer auf auf eine Bemerkung in der der Antwort zur Übung 4.1-24 auf Seite 195 der 1. Auflage: „If we drop the restriction 0∈D, there are many other cases, some of which are quite interesting, especially {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, …“
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Rollrichtung
wuerg, 07.02.2006 12:34
Hier stimmt doch etwas nicht, da hat doch einer die Klopapierrolle falsch herum aufgehängt, nämlich an der Wand abwärts rollend. Das zu sehen erschien mir wie eine Zeitreise, war es doch früher die klassische Hängung, die gänzlich ausgestorben schien. Irgendwann empfand man wohl das Herabgleiten des Papieres an der Klowand (des Internets) als unhygienisch und erfand abstandhaltende Vorrichtungen, die dann allerdings eine Abrollbremse benötigten und nur noch die vordere Abrollung (an der Wandseite aufwärts) erlaubten. Und an dieser Rollrichtung hält man vorzugsweise auch dort fest, wo man zu schlichten, selbstbremsenden Rollenhaltern zurückgekehrt ist.
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Angst
wuerg, 06.02.2006 19:34
Die Google-Suche nach „Mohammed +Karikaturen +blogger.de“ lieferte mir 52 Treffer, durch die ich in keinem Falle auf einen hiesigen Blogger-Kollegen stieß, der sich mit den aktuellen Vorkommnissen auseinandersetzte. Möglicherweise sind seine Beiträge noch nicht bei Google angekommen oder ich lese nicht intensiv genug die Einlassungen anderer. Für plausibler halte ich aber Angst als Ratgeber derer, die gestern noch Klowände diskutierten und sich als Gefahr für den herkömmlichen Journalismus aufspielten. Es ist die gleiche Angst, aus der heraus die Karikaturen auch in Zeitungen kaum abgebildet werden, gleichwohl es für die Presse nicht nur die Freiheit gibt, sondern auch eine Pflicht, die Menschen zu informieren.
Ich bilde hier ebenfalls keine Karikaturen ab, denn in meinem Blog war noch kein einziges Bild im herkömmlichen Sinne zu sehen. Warum soll ich mir den Zorn der Bilderstürmer zuziehen? Dafür sind die Fotoblogs zuständig und diejenigen, denen nichts zu intim und zu heilig ist. Und es soll sich keiner damit rausreden, daß die Karikaturen alle schlecht bis beschissen sind. Ich fand auch nur eine gut, nämlich die mit dem Balken vor den Augen des Mannes, der doch unmöglich Mohammed selbst gewesen sein kann.
Um mich selbst von meinen christlichen Vorurteilen zu lösen, versetze ich mich in die Lage eines Außerirdischen, der so manchen Zweifel am Verstand der Christen hegt, die sich Jahrtausende immer wieder semesterweise mit den Problemen der Dreifaltig- und einigkeit auseinandersetzen. Und desto enttäuschter bin ich, daß große Teile der Monotheisten, die den einen Gott auf ihrer Seite wähnen, sich derart ereifern können über Karikaturen, die doch nur gewisse Eigenheiten auf die Schippe nehmen. Und wo sie sich auf Mohammed beziehen, treffen sie doch nur einen Propheten und keinen Gottessohn.
Als Außerirdischer sehe ich, daß sich über Jesus aus Weißblech am Kreuz (Ich war eine Dose) nicht die katholische Kirche, sondern die Weißblechindustrie aufgeregt hat, woraufhin der damals noch recht gläubige Christ Wuerg sich vor der Zensur noch einen Druck zulegte, und sonst nichts passierte, den Extremisten unter den Moslems es aber gelingt, Hunderte von Verblendeten Botschaften in Brand stecken zu lassen. Sie rufen nach der Fatwa mit mehr Aussicht auf Erhörung als die Anrufung der Inquisition verspräche.
Als Außerirdischer aber laste ich es einer Religion nicht an, daß die Menschen ihres Kulturkreises weniger als andere an dem teilhaben konnten, was man allenthalben als Aufklärung ins Feld führt, wodurch sogar unter ihren hoch Gebildeten oftmals eine unerschütterliche Verblendung vorzufinden ist, wenn es um Fragen des Glaubens oder des ewigen Kampfes gegen die Juden geht. Ich sehe auch wie Menschen nach einem Fährunglück keine Botschaft, sondern die Büros der Reederei in Flammen legen. Und so tröste ich mich damit, daß es wohl doch Unterschiede zwischen den sog. Kulturen geben muß, von denen die Religion nur ein Teil ist.
Symmetrieargument | Moslemversteher
Ich bilde hier ebenfalls keine Karikaturen ab, denn in meinem Blog war noch kein einziges Bild im herkömmlichen Sinne zu sehen. Warum soll ich mir den Zorn der Bilderstürmer zuziehen? Dafür sind die Fotoblogs zuständig und diejenigen, denen nichts zu intim und zu heilig ist. Und es soll sich keiner damit rausreden, daß die Karikaturen alle schlecht bis beschissen sind. Ich fand auch nur eine gut, nämlich die mit dem Balken vor den Augen des Mannes, der doch unmöglich Mohammed selbst gewesen sein kann.
Um mich selbst von meinen christlichen Vorurteilen zu lösen, versetze ich mich in die Lage eines Außerirdischen, der so manchen Zweifel am Verstand der Christen hegt, die sich Jahrtausende immer wieder semesterweise mit den Problemen der Dreifaltig- und einigkeit auseinandersetzen. Und desto enttäuschter bin ich, daß große Teile der Monotheisten, die den einen Gott auf ihrer Seite wähnen, sich derart ereifern können über Karikaturen, die doch nur gewisse Eigenheiten auf die Schippe nehmen. Und wo sie sich auf Mohammed beziehen, treffen sie doch nur einen Propheten und keinen Gottessohn.
Als Außerirdischer sehe ich, daß sich über Jesus aus Weißblech am Kreuz (Ich war eine Dose) nicht die katholische Kirche, sondern die Weißblechindustrie aufgeregt hat, woraufhin der damals noch recht gläubige Christ Wuerg sich vor der Zensur noch einen Druck zulegte, und sonst nichts passierte, den Extremisten unter den Moslems es aber gelingt, Hunderte von Verblendeten Botschaften in Brand stecken zu lassen. Sie rufen nach der Fatwa mit mehr Aussicht auf Erhörung als die Anrufung der Inquisition verspräche.
Als Außerirdischer aber laste ich es einer Religion nicht an, daß die Menschen ihres Kulturkreises weniger als andere an dem teilhaben konnten, was man allenthalben als Aufklärung ins Feld führt, wodurch sogar unter ihren hoch Gebildeten oftmals eine unerschütterliche Verblendung vorzufinden ist, wenn es um Fragen des Glaubens oder des ewigen Kampfes gegen die Juden geht. Ich sehe auch wie Menschen nach einem Fährunglück keine Botschaft, sondern die Büros der Reederei in Flammen legen. Und so tröste ich mich damit, daß es wohl doch Unterschiede zwischen den sog. Kulturen geben muß, von denen die Religion nur ein Teil ist.
Symmetrieargument | Moslemversteher
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Danielwoche
wuerg, 31.01.2006 19:42
In meinen Einlassungen zu den EPORN bezeichnete ich eine Frist von 2520 Tagen als eine Danielwoche, denn Daniel nennt „eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit“, was in der Offenbarung zusammen mit 42 Monaten und 1260 Tagen wiederholt wird. Doch leider kommt Daniel gegen Ende zu 1290 und sogar 1335 Tagen, womit für sieben Jahre eine ganze Palette zur Verfügung steht:
1260+1260=2520 84 Monate zu 30 Tagen 360,0 Tage/Jahr
1260+1290=2550 85 Monate zu 30 Tagen 364,3 Tage/Jahr
1290+1290=2580 86 Monate zu 30 Tagen 368,6 Tage/Jahr
1335+1335=2670 89 Monate zu 30 Tagen 381,4 Tage/Jahr
Nichts davon paßt so richtig auf einen einigermaßen genauen Kalender, weder nach dem Lauf der Sonne, noch dem des Mondes. Trotzdem scheinen einige sich mit 2550 Tagen für eine Danielwoche angefreundet zu haben. Das liegt näher am wirklichen Jahr, und die zusätzlichen 30 Tage lassen sich leicht einem 13. Monat zuschieben, also 6 Gemeinjahre und ein Schaltjahr. Doch das ist Quatsch, denn der Mond schafft es in dieser Zeit 86,6 statt nur 85 mal, weshalb der jüdische Monat im Mittel bei den 29½ Tagen des synodischen liegt.
Plausibler erscheint mir dann doch die auf prophetischen Jahren zu 360 Tagen aufbauende Danielwoche von 2520 Tagen, von denen es insgesamt 7+62+1=70 geben soll. Und schlägt man zum Beispiel für das Jüngste Gericht noch 30 oder 75 Tage der letzten Halbwoche zu, so kommt man auf die 1290 bzw. 1335 Tage am Ende dieser Periode von 7⋅70=490 Jahren. Das alles ist sicherlich nur Zahlenspielerei, doch würde auch manch moderner Mensch in Angst und Schrecken verfallen, wenn die 490 Jahre nicht schon mehrfach abgelaufen wären.
1260+1260=2520 84 Monate zu 30 Tagen 360,0 Tage/Jahr
1260+1290=2550 85 Monate zu 30 Tagen 364,3 Tage/Jahr
1290+1290=2580 86 Monate zu 30 Tagen 368,6 Tage/Jahr
1335+1335=2670 89 Monate zu 30 Tagen 381,4 Tage/Jahr
Nichts davon paßt so richtig auf einen einigermaßen genauen Kalender, weder nach dem Lauf der Sonne, noch dem des Mondes. Trotzdem scheinen einige sich mit 2550 Tagen für eine Danielwoche angefreundet zu haben. Das liegt näher am wirklichen Jahr, und die zusätzlichen 30 Tage lassen sich leicht einem 13. Monat zuschieben, also 6 Gemeinjahre und ein Schaltjahr. Doch das ist Quatsch, denn der Mond schafft es in dieser Zeit 86,6 statt nur 85 mal, weshalb der jüdische Monat im Mittel bei den 29½ Tagen des synodischen liegt.
Plausibler erscheint mir dann doch die auf prophetischen Jahren zu 360 Tagen aufbauende Danielwoche von 2520 Tagen, von denen es insgesamt 7+62+1=70 geben soll. Und schlägt man zum Beispiel für das Jüngste Gericht noch 30 oder 75 Tage der letzten Halbwoche zu, so kommt man auf die 1290 bzw. 1335 Tage am Ende dieser Periode von 7⋅70=490 Jahren. Das alles ist sicherlich nur Zahlenspielerei, doch würde auch manch moderner Mensch in Angst und Schrecken verfallen, wenn die 490 Jahre nicht schon mehrfach abgelaufen wären.
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EPORN
wuerg, 27.01.2006 21:42
Durch CSI:Miami kam ich auf die Zahl 420, über diese zu ihrem Dreifachen 1260 aus der Offenbarung des Johannes, Kapitel 11, Vers 3 und unter Verdoppelung auf 2520, die Anzahl der Tage in einer Danielwoche von 7 Jahren. Diese Zahl ist durch 1 bis 10 teilbar und nicht nur in dieser Beziehung die kleinste. Auch unter den EPORN (Equal Product Of Reversible Numbers) ist 2520 nicht zu unterbieten. Diese EPORN sind Zahlen, die sich auf mehrfache Weise als Produkt einer Zahl mit ihrem Spiegelbild schreiben lassen. Es ist
2520 = 210 ⋅ 012 = 120 ⋅ 021
was den mehr als flüchtigen Beobachter nicht vom Sockel hauen sollte, denn beide Produkte sind eigentlich nur Umstellungen der wenig originellen Ziffern 0, 1 und 2. Wer von einer EPORN mehr erwartet als immer das gleiche in anderer Reihenfolge, muß sich Mühe geben und eine Weile suchen. Dann findet er auch eine ohne 0 am Ende, nämlich
63504 = 441 ⋅ 144 = 252 ⋅ 252
die sogar eine Quadratzahl ist.
[1] Shyam Sunder Gupta: EPORNS.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A066531.
2520 = 210 ⋅ 012 = 120 ⋅ 021
was den mehr als flüchtigen Beobachter nicht vom Sockel hauen sollte, denn beide Produkte sind eigentlich nur Umstellungen der wenig originellen Ziffern 0, 1 und 2. Wer von einer EPORN mehr erwartet als immer das gleiche in anderer Reihenfolge, muß sich Mühe geben und eine Weile suchen. Dann findet er auch eine ohne 0 am Ende, nämlich
63504 = 441 ⋅ 144 = 252 ⋅ 252
die sogar eine Quadratzahl ist.
[1] Shyam Sunder Gupta: EPORNS.
[2] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A066531.
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four twenty
wuerg, 26.01.2006 11:10
Erschienen alle dreistelligen Zahlen zu einem Wettkampf, wie gestern auf Pro 7 dreißig magere Mädchen zur Spitzen-Modell-Schau mit Heidi Klum, dann gehörte bisher die 420 zu den 234 Zahlen, die leider in der ersten Runde ausscheiden müssen. Doch vorgestern wurde diese 420 durch CSI:Miami an mich herangetragen. Nun weiß ich aus einer mir fernen Welt, daß sich Rauschgiftsüchtige an der 420 wie Nazis an der 18 erkennen. Und so fand auch die Umdeutung der 420 durch die jugendlichen Kriminellen bemerkenswert: Die 420 steht nicht mehr für eine Uhrzeit, zu der irgendwelche Schüler Marihuana rauchten und sowas wie den Fünf-Uhr-Tee für Rauschgiftsüchtige begründeten, sondern dank der amerikanischen Datumsschreib- und ‑sprechweise auch für Führers Geburtstag.
Ansonsten wäre 420 als eines der langweiligen Vielfachen von 60 an mir vorübergezogen. Ich hätte sie als Rechteckzahl (20⋅21) übersehen und nicht die wenigen Kleinigkeiten bemerkt, die über 420 als Zahl in der Wikipedia berichtet werden. Es ließe sich schon etwas mehr finden: So ist die längere Seite eines DIN‑A3-Blattes 420 mm lang und mit 3⋅420=1260 haben wir die Anzahl der Tage in 42 Monaten, die eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit währende halbe Danielwoche. Und neben der alles erklärenden 42 somit auch die Offenbarung des Johannes: „die heilige Stadt werden sie zertreten zweiundvierzig Monate. Und ich will meinen zwei Zeugen geben, daß sie sollen weissagen zwölfhundertundsechzig Tage.“ Bedenkt man nun noch die längere Seite eines DIN‑A2-Blattes von 594 mm, so ist mit 1260−594=666 das Ziel erreicht.
18 | DIN-A4
Ansonsten wäre 420 als eines der langweiligen Vielfachen von 60 an mir vorübergezogen. Ich hätte sie als Rechteckzahl (20⋅21) übersehen und nicht die wenigen Kleinigkeiten bemerkt, die über 420 als Zahl in der Wikipedia berichtet werden. Es ließe sich schon etwas mehr finden: So ist die längere Seite eines DIN‑A3-Blattes 420 mm lang und mit 3⋅420=1260 haben wir die Anzahl der Tage in 42 Monaten, die eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit währende halbe Danielwoche. Und neben der alles erklärenden 42 somit auch die Offenbarung des Johannes: „die heilige Stadt werden sie zertreten zweiundvierzig Monate. Und ich will meinen zwei Zeugen geben, daß sie sollen weissagen zwölfhundertundsechzig Tage.“ Bedenkt man nun noch die längere Seite eines DIN‑A2-Blattes von 594 mm, so ist mit 1260−594=666 das Ziel erreicht.
18 | DIN-A4
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739397
wuerg, 21.01.2006 19:02
Soll ein Mensch eine Farbe, ein Werkzeug und eine zweistellige Zahl nennen, die keine Schnapszahl oder ein Vielfaches von zehn ist, dann soll zumeist „rot, Hammer und 37“ geantwortet werden. Dabei wird sich kaum einer von den Beziehungen zur 73 und zur 666 leiten lassen, auch nicht von Sechsecken und Sternen aus 37 Punkten. Ich erkläre mir das wie folgt: Wann immer man um eine solche Zahl gebeten wird, droht die Gefahr eines Zahlentricks, dem man unwillkürlich durch die Auswahl einer schweren Zahl begegnen möchte. Diesen Eindruck erweckt die Primzahl 37, deren Ziffern beide wiederum Primzahlen sind.
Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbesondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Primzahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Fragestellungen heißt es durchaus „nicht zusammengesetzt“ oder „keinen echten Teiler“. Trotzdem scheiden 13 und 31 aus, denn die 1 gibt ihnen ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nachsehen hat.
Nach diesen Vorbemerkungen ist es nicht verwunderlich, wenn in Primzahlspielereien gerne die Ziffern 3 und 7 vorkommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:
2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397
Bemerkenswert ist, daß es zwar eine sechs-, aber keine fünfstellige beidseitig stutzbare Zahl gibt, insbesondere sind die beiden Stutzungen von 739397, nämlich 73939 und 39397 nur noch einseitig stutzbar, weil 3939=39⋅101 ist.
Bei laxer Auslegung könnte „von links und rechts stutzbar“ auch meinen, es müsse nicht immer von der gleichen Seite gestutzt werden, vielmehr könne es in beliebiger Abfolge vorne und hinten geschehen. Dann entfallen aus der so und so schon kurzen Liste schon einmal alle mit Ziffer 1 oder 9. Es bleiben
2,3,5,7,23,37,53,73,373
die auch wirklich alle in beliebiger Abfolge stutzbar sind. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß alle Teilketten (substrings) prim sein müssen.
Um all diese Zahlen zu finden, kann man mit Hilfe eines Computers mit den einstelligen Primzahlen beginnen, jede Ziffer hinten bzw. vorne anfügen und auf Primalität prüfen, um sodann den entstandenen primen Zahlen eine weitere Ziffer anzufügen oder voranzustellen und so fort. So erhält man eine Liste der rechts bzw. links stutzbaren Zahlen, aus denen man dann die vorstehend genannten beidseitiger Abschneidung gewinnen kann. Das ist nicht sehr aufwendig, denn es gibt nur 83 rechts stutzbare Zahlen bis 73939133, von denen man unter den 4260 links stutzbaren Zahlen bis 357686312646216567629137 die bereits genannten 15 findet. [3]
[1] Wenn man sich mit Mathematik beschäftigt, kann es lange dauern, bis man zu den englischen die deutschen Begriffe findet, denn schon lange ist Deutsch nicht mehr die führende Wissenschaftssprache und Begriffsbildung findet zunächst englisch statt. So benötigte ich eine Weile, bis ich für die „truncatable numbers“ auf den Begriff stutzbar stieß. Zuvor nannte ich sie verkürzbar oder abschneidbar, doch stutzbar ist viel schöner.
[2] Von links könnte ein Problem mit der 0 auftreten, weshalb sie als Ziffer nicht zugelassen ist. So ist 103 nicht links stutzbar, gleichwohl 03 und 3 ja prim sind.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A024785 links, A024770 rechts, A020994 beidseitig stutzbar, A085823 auch abwechselnd.
37 | 73
Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbesondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Primzahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Fragestellungen heißt es durchaus „nicht zusammengesetzt“ oder „keinen echten Teiler“. Trotzdem scheiden 13 und 31 aus, denn die 1 gibt ihnen ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nachsehen hat.
Nach diesen Vorbemerkungen ist es nicht verwunderlich, wenn in Primzahlspielereien gerne die Ziffern 3 und 7 vorkommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:
7
7 3
7 3 9
7 3 9 3
7 3 9 3 9
7 3 9 3 9 7
3 9 3 9 7
9 3 9 7
3 9 7
9 7
7
Alle 11 Zahlen sind prim, und es gibt kein größeres Diagramm dieses Typs, alle anderen sind sogar wesentlich kleiner:
3 3 3 7 3 1 7 3 3 3 3 7 9 3 1 3 7 9 3 7 3 1 3 1 3 7 9 7 3 1 3 7 7 9 7 3 7 3 3 1 7 3 1 3 7 9 7 1 3 7 9 7 7 3 1 7 1 3 9 7 3 7 7 3 7 3 7 7Und das sind auch schon alle mit mehr als zwei Stellen. Primzahlen, von denen man beständig die niederwertigste (rechte) Ziffer entfernen kann und stets ein Primzahl bleiben, heißen rechts(seitig) stutzbar. [1] Geschieht das mit der höchstwertigen Ziffer, so heißen sie links(seitig) stutzbar. [2] Und man kann es sich denken: Zahlen, die von links und rechts stutzbar sind, heißen beidseitig oder einfach nur stutzbar. Es sind gerade einmal 15 Stück:
2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397
Bemerkenswert ist, daß es zwar eine sechs-, aber keine fünfstellige beidseitig stutzbare Zahl gibt, insbesondere sind die beiden Stutzungen von 739397, nämlich 73939 und 39397 nur noch einseitig stutzbar, weil 3939=39⋅101 ist.
Bei laxer Auslegung könnte „von links und rechts stutzbar“ auch meinen, es müsse nicht immer von der gleichen Seite gestutzt werden, vielmehr könne es in beliebiger Abfolge vorne und hinten geschehen. Dann entfallen aus der so und so schon kurzen Liste schon einmal alle mit Ziffer 1 oder 9. Es bleiben
2,3,5,7,23,37,53,73,373
die auch wirklich alle in beliebiger Abfolge stutzbar sind. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß alle Teilketten (substrings) prim sein müssen.
Um all diese Zahlen zu finden, kann man mit Hilfe eines Computers mit den einstelligen Primzahlen beginnen, jede Ziffer hinten bzw. vorne anfügen und auf Primalität prüfen, um sodann den entstandenen primen Zahlen eine weitere Ziffer anzufügen oder voranzustellen und so fort. So erhält man eine Liste der rechts bzw. links stutzbaren Zahlen, aus denen man dann die vorstehend genannten beidseitiger Abschneidung gewinnen kann. Das ist nicht sehr aufwendig, denn es gibt nur 83 rechts stutzbare Zahlen bis 73939133, von denen man unter den 4260 links stutzbaren Zahlen bis 357686312646216567629137 die bereits genannten 15 findet. [3]
[1] Wenn man sich mit Mathematik beschäftigt, kann es lange dauern, bis man zu den englischen die deutschen Begriffe findet, denn schon lange ist Deutsch nicht mehr die führende Wissenschaftssprache und Begriffsbildung findet zunächst englisch statt. So benötigte ich eine Weile, bis ich für die „truncatable numbers“ auf den Begriff stutzbar stieß. Zuvor nannte ich sie verkürzbar oder abschneidbar, doch stutzbar ist viel schöner.
[2] Von links könnte ein Problem mit der 0 auftreten, weshalb sie als Ziffer nicht zugelassen ist. So ist 103 nicht links stutzbar, gleichwohl 03 und 3 ja prim sind.
[3] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. A024785 links, A024770 rechts, A020994 beidseitig stutzbar, A085823 auch abwechselnd.
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