Zahlwort

Zur Darstellung der natürlichen Zahlen verwenden wir üblicherweise die auch Ziffern genannten Zahlzeichen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Einer Ziffernfolge, also einer Zeichenkette aus diesen Ziffern kann leicht in der uns bekannten Weise eine Zahl zugeordnet werden. Umgekehrt kann jede natürlich Zahl auch als eine solche Ziffernfolge geschrieben werden. Diese Darstellung der Zahlen ist eindeutig, wenn man keine führenden 0 erlaubt.

Bekanntlich wurde die 0 erst spät benutzt, manche sagen erfunden. Sie war entbehrlich, solange man wie die Römer für jede Stelle andere Zahlzeichen besaß oder sich wie die Babylonier die leeren Positionen nur dachte bzw. andeutete. Solange Rechenbretter benutzt wurden, war die 0 nicht erforderlich. Für eine positionelle Zahlbezeichnung, die den Wert einer Ziffer von ihrer Position abhängig macht, benötigt man ebenfalls nicht unbedingt eine 0.

Warum hat der Finger zählende Mensch für die zehn im Laufe der Geschichte auf ein eigenes Zahlzeichen verzichtet? Mit einem solchen Zeichen, für das ich im folgenden stellvertretend X benutze, hätte auf die 0 verzichtet werden können. Eine positionelle Darstellung nach Zehnerpotenzen geschähe in diesem alternativen Zahlsystem (ANS, alternate number system) in gleicher Weise wie im allgemein gebräuchlichen (ENS, existing number system):

ENS: 1 .. 9 10 11 .. 20 21 .. 99 100 101 .. 109 110 111 ..
ANS: 1 .. 9  X 11 .. 1X 21 .. 99  9X  X1 ..  X9  XX 111 ..

Robert R. Forslund hält dieses ANS unserem ENS sogar für überlegen, denn jeder Ziffernkette ist eindeutig eine Zahl zugeordnet und umgekehrt. Eine Regel über führende Ziffern gibt es im ANS nicht, denn alle Zeichenketten werden ausgeschöpft. Im ANS gibt es 10 (besser X) einstellige, 100 (besser 9X) zweistellige und 1000 (besser 99X) dreistellige Zahlen. In unserem ENS sind es nur 9, 90 und 900.

Gewiß muß man sich daran gewöhnen, im ANS zu rechnen. Es deshalb dem ENS als unterlegen zu sehen, ist natürlich unfair. Man sollte sich schon fragen, ob jahrelanges Training in der Schule nicht die gleiche Geläufigkeit nach sich ziehen würde. Meine Antwort: Nein! Betrachten wir dazu einfache Additionsaufgaben, die manche Menschen nur durchzuführen in der Lage sind, wenn sie die Überträge notieren:

ENS   ANS

2005  19X5
1907  18X7
..1.  .21.
----  ----
3912  3912

Schon bei der Addition von nur zwei Zahlen treten im ANS Überträge von 2 auf. Das haut einen geübten Rechner nicht vom Hocker, zumal er mit 10 leicht rechnen kann und Zahlen ohne X mit der üblichen Darstellung identisch sind. Doch eine kleine Erschwernis ist durchaus schon bei leichten Rechnungen zu erkennen und damit ein Anzeichen dafür, daß die 0 gegenüber der X wohl die bessere Wahl sein wird, die Evolution sich hier nicht geirrt hat.

Ganz klar überlegen ist das ANS bei Zahlenspielereien mit Ziffernvertauschungen. Es entsteht nicht die Frage, ob 3 oder 03 die Umkehrung von 30 ist. Die Suche nach EPORN, also nach Zahlen, die auf zweifache Weise durch das Produkt zweier ziffernvertauschter Zahlen sind, führt nicht auf eine Reihe von Trivialfällen wie dem der kleinsten ENS-EPORN

2520 = 210 * 012 = 021 * 120

Im ANS muß man schon etwas über diese Zahl hinausgehen. Die kleinste ANS-EPORN ist

634X4 = 441 * 144 = 252 * 252 = 63504

Da in den Faktoren keine X vorkommt, ist die Zahl zugleich normale ENS-EPOPN, nämlich die kleinste unter den nicht trivialen. Es gibt aber auch alleinige ANS-EPORN. Die kleinste mit einer X im Faktor ist eine solche:

1623X9 = 961*169 = 3X3*3X3, also ANS-EPORN
162409 = 961*169 = 403*403 scheitert im ENS

Der aufmerksame Leser wird bemerken, daß 16409 dennoch eine normale ENS-EPORN sein könnte, nämlich mit anderen Faktoren. Doch die kann man sich aus 162409=13*13*31*31 offensichtlich nicht zusammenbasteln.

Forslund | EPORN

Hier stimmt doch etwas nicht, da hat doch einer die Klopapierrolle falsch herum aufgehängt, nämlich an der Wand abwärts rollend. Das zu sehen erschien mir wie eine Zeitreise, war es doch früher die klassische Hängung, die gänzlich ausgestorben schien. Irgendwann empfand man wohl das Herabgleiten des Papieres an der Klowand (des Internets) als unhygienisch und erfand abstandhaltende Vorrichtungen, die dann allerdings eine Abrollbremse benötigten und nur noch die vordere Abrollung (an der Wandseite aufwärts) erlaubten. Und an dieser Rollrichtung hält man vorzugsweise auch dort fest, wo man zu schlichten, selbstbremsenden Rollenhaltern zurückgekehrt ist.

Die Google-Suche nach "Mohammed +Karikaturen +blogger.de" lieferte mir 52 Treffer, durch die ich in keinem Falle auf einen hiesigen Blogger-Kollegen stieß, der sich mit den aktuellen Vorkommnissen auseinandersetzte. Möglicherweise sind die Beiträge noch nicht bei Google angekommen oder ich lese nicht intensiv genug die Einlassungen anderer. Für plausibler halte ich aber Angst als Ratgeber derer, die gestern noch Klowände diskutierten und sich als Gefahr für den herkömmlichen Journalismus aufspielten. Es ist die gleiche Angst, aus der heraus die Karikaturen auch in Zeitungen kaum abgebildet werden, gleichwohl es für die Presse nicht nur eine Freiheit gibt, sondern auch eine Pflicht: Die Menschen zu informieren.

Ich bilde hier ebenfalls keine Karikaturen ab, denn in meinem Blog war noch kein einziges Bild im herkömmlichen Sinne zu sehen. Warum soll ich mir den Zorn der Bilderstürmer zuziehen? Dafür sind die Fotoblogs zuständig und diejenigen, denen nichts zu intim und zu heilig ist. Und es soll sich keiner damit rausreden, daß die Karikaturen alle schlecht bis beschissen sind. Ich fand auch nur eine gut, nämlich die mit dem Balken vor den Augen des Mannes, der doch unmöglich Mohammed selbst gewesen sein kann.

Um mich selbst von meinen christlichen Vorurteilen zu lösen, versetze ich mich in die Lage eines Außerirdischen, der so manchen Zweifel am Verstand der Christen hegt, die sich Jahrtausende immer wieder semesterweise mit den Problemen der Dreifaltig- und einigkeit auseinandersetzen. Und desto enttäuschter bin ich, daß große Teile der Monotheisten, die den einen Gott auf ihrer Seite wähnen, sich derart ereifern können über Karikaturen, die doch nur gewisse Eigenheiten auf die Schippe nehmen. Und wo sie sich auf Mohammed beziehen, treffen sie doch nur einen Propheten und keinen Gottessohn.

Als Außerirdischer sehe ich, daß sich über Jesus aus Weißblech am Kreuz (Ich war eine Dose) nicht die katholische Kirche, sondern die Weißblechindustrie aufgeregt hat, woraufhin der damals noch recht gläubige Christ Wuerg sich vor der Zensur noch einen Druck zulegte, und sonst nichts passierte, den Extremisten unter dem Moslems es aber gelingt, Hunderte von Verblendeten Botschaften in Brand stecken zu lassen. Sie rufen nach der Fatwa mit mehr Aussicht auf Erhörung als die Anrufung der Inquisition verspräche.

Als Außerirdischer aber laste ich es einer Religion nicht an, daß die Menschen ihres Kulturkreises weniger als andere an dem teilhaben konnten, was man allenthalben als Aufklärung ins Feld führt, wodurch sogar unter ihren hoch Gebildeten oftmals eine unerschütterbare Verblendung vorzufinden ist, wenn es um Fragen des Glaubens oder des ewigen Kampfes gegen die Juden geht. Ich sehe auch wie Menschen nach einem Fährunglück keine Botschaft, sondern die Büros der Reederei in Flammen legen. Und so tröste ich mich damit, daß es wohl doch Unterschiede zwischen den sog. Kulturen geben muß, von denen die Religion nur ein Teil ist.

Symmetrieargument | Moslemversteher

In meinen Einlassungen zu den EPORN bezeichnete ich eine Frist von 2520 Tagen als eine Danielwoche, denn Daniel nennt "eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit", was in der Offenbarung zusammen mit 42 Monaten und 1260 Tagen wiederholt wird. Doch leider kommt Daniel gegen Ende zu 1290 und sogar 1335 Tagen, womit für sieben Jahre eine ganze Palette zur Verfügung steht:

1260 + 1260 = 2520    85,3 Monate   360,0 Tage pro Jahr
1260 + 1290 = 2550    86,4 Monate   364,3 Tage pro Jahr
1290 + 1290 = 2580    87,4 Monate   368,6 Tage pro Jahr
1260 + 1335 = 2595    87,9 Monate   370,7 Tage pro Jahr
1335 + 1335 = 2670    90,4 Monate   381,4 Tage pro Jahr

Nichts davon paßt so richtig auf einen einigermaßen genauen Kalender, weder nach dem Lauf der Sonne, noch dem des Mondes. Trotzdem scheinen einige sich mit 2550 Tagen für eine Danielwoche angefreundet zu haben. Das liegt näher am wirklichen Jahr, und die zusätzlichen 30 Tage lassen sich leicht einem 13. Monat zuschieben. Doch ist das Quatsch, denn dann wären es 85 Monate in sieben Jahren, gleichwohl der Mond es in dieser Zeit 86,6 mal schafft.

Plausibler erscheint mir dann doch eine auf prophetischen Jahren zu 360 Tagen in 12 Monaten zu 30 Tagen aufbauende Danielwoche von 2520 Tagen, von denen es insgesamt 7+62+1=70 geben soll, womit man 1290 und 1335 als Dreingabe von 30 und 45 Tagen am Ende dieser Periode von 7*70=490 Jahren sehen kann, etwa für das Jüngste Gericht. Das alles ist sicherlich nur Zahlenspielerei, doch würde auch manch moderner Mensch in Angst und Schrecken verfallen, wenn die 490 Jahre nicht schon seit anderthalb Jahrtausenden abgelaufen wären.

Durch CSI:Miami kam ich auf die Zahl 420, über diese zu ihrem Dreifachen 1260 aus der Offenbarung des Johannes, Kapitel 11, Vers 3 und unter Verdoppelung auf 2520, die Anzahl der Tage in einer Danielwoche von 7 Jahren. Diese Zahl ist durch 1 bis 10 teilbar und nicht nur in dieser Beziehung die kleinste. Auch unter den EPORN (Equal Product Of Reversible Numbers) ist 2520 nicht zu unterbieten. Diese EPORN sind Zahlen, die sich auf mehrfache Weise als Produkt einer Zahl mit ihrem Spiegelbild schreiben lassen. Es ist

2520 = 210*012 = 120*021

was den mehr als flüchtigen Beobachter nicht vom Sockel hauen sollte, denn beide Produkte sind eigentlich nur verschiedene Stellungen der wenig originellen Ziffern 0, 1 und 2. Wer von einer EPORN mehr erwartet als immer das gleiche in anderer Reihenfolge, muß sich Mühe geben und eine Weile suchen. Dann findet er auch eine ohne 0 am Ende, nämlich

63504 = 441 * 144 = 252 * 252

die sogar eine Quadratzahl ist.

Gupta | Sloane

Erschienen alle dreistelligen Zahlen zu einem Wettkampf, wie gestern auf Pro 7 dreißig magere Mädchen zur Spitzen-Modell-Schau mit Heidi Klum, dann gehörte bisher die 420 zu den 234 Zahlen, die leider in der ersten Runde ausscheiden müssen. Doch vorgestern wurde diese 420 durch CSI:Miami an mich herangetragen. Nun weiß ich aus einer mir fernen Welt, daß sich Rauschgiftsüchtige an der 420 wie Nazis an der 18 erkennen. Und so fand auch die Umdeutung der 420 durch die jugendlichen Kriminellen bemerkenswert: Die 420 steht nicht mehr für eine Uhrzeit, zu der irgendwelche Schüler Marihuana rauchten und sowas wie den Fünf-Uhr-Tee für Rauschgiftsüchtige begründeten, sondern dank der amerikanischen Datumsschreib- und -sprechweise auch für Führers Geburtstag.

Ansonsten wäre 420 als eines der langweiligen Vielfachen von 60 an mir vorübergezogen. Ich hätte sie als Rechteckzahl (20*21) übersehen und nicht die wenigen Kleinigkeiten bemerkt, die über 420 als Zahl in der Wikipedia berichtet werden. Es ließe sich schon etwas mehr finden: So ist die längere Seite eines DIN-A3-Blattes 420 mm lang und mit 3*420=1260 haben wir die Anzahl der Tage in 42 Monaten, die eine Zeit und zwei Zeiten und eine halbe Zeit währende halbe Danielwoche. Und neben der alles erklärenden 42 somit auch die Offenbarung des Johannes: "die heilige Stadt werden sie zertreten zweiundvierzig Monate. Und ich will meinen zwei Zeugen geben, daß sie sollen weissagen zwölfhundertundsechzig Tage." Bedenkt man nun noch die längere Seite eines DIN-A2-Blattes von 594 mm, so ist mit 1260-594=666 das Ziel erreicht.

18 | DIN-A4

Soll ein Mensch eine Farbe, ein Werkzeug und eine zweistellige Zahl nennen, die keine Schnapszahl oder ein Vielfaches von zehn ist, dann soll zumeist "rot, Hammer und 37" geantwortet werden. Dabei wird sich kaum einer von den Beziehungen zur 73 und zur 666 leiten lassen, auch nicht von Sechsecken und Sternen aus 37 Punkten. Ich erkläre mir das wie folgt: Wann immer man um eine solche Zahl gebeten wird, droht die Gefahr eines Zahlentricks, dem man unwillkürlich durch die Auswahl einer schweren Zahl begegnen möchte. Diesen Eindruck erweckt die Primzahl 37, deren Ziffern beide wiederum Primzahlen sind.

Warum dann nicht eine andere Zahl wie 13, 23, 31, 53 oder 73? Weil 2 und 5 nicht so recht prim aussehen, denn hinten stehend erzwingen sie Teilbarkeit durch sich selbst. Insbesondere sind die Umkehrungen 32 und 35 von 23 und 53 keine Primzahlen, wohl aber die von 13, 31, 37 und 73. Formal könnte man 13 und 31 ausscheiden lassen, weil 1 keine Primzahl ist. Doch wer weiß das schon? Und in manchen Fragestellungen heißt es durchaus "Primzahl oder 1" oder "keinen echten Teiler". In jedem Falle gibt ihnen die 1 ein zu einfaches Aussehen. So bleibt als einziger Konkurrent der 37 die Zahl 73, die schon wegen ihrer Größe das Nachsehen hat.

Nach diesen Vorbemerkungen ist es nicht verwunderlich, wenn in Primzahlspielereien gerne die Ziffern 3 und 7 vorkommen. Eine davon gipfelt in folgendem Diagramm:

     7
    7 3
   7 3 9
  7 3 9 3
 7 3 9 3 9
7 3 9 3 9 7
 3 9 3 9 7
  9 3 9 7
   3 9 7
    9 7
     7

Alle 11 Zahlen sind prim, und es gibt kein größeres Diagramm, alle anderen sind sogar wesentlich kleiner:

   3         3
  3 7       3 1       7       3       3       3
 3 7 9     3 1 3     7 9     3 7     3 1     3 1
3 7 9 7   3 1 3 7   7 9 7   3 7 3   3 1 7   3 1 3
 7 9 7     1 3 7     9 7     7 3     1 7     1 3
  9 7       3 7       7       3       7       3
   7         7

Und das sind auch schon alle mit mehr als zwei Stellen. Die Menge

2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397

der wahlweise links oder rechts verkürzbaren Primzahlen ist also nicht nur endlich, sondern auch noch recht klein. Trotzdem ist es recht mühsam, sie mit der Hand zu bestimmen, selbst wenn man eine Tafel aller Primzahlen bis zu sieben Stellen besitzt.

Schön wäre es, wenn nach dem Abschneiden nicht nur eine Primzahl bliebe, sondern eine abermals verkürzbare. Dann müßte man ausgehend von den einstelligen Primzahlen nur die bereits gefundenen beidseitig verkürzbaren Zahlen um eine Ziffer nach links oder rechts verlängern und überprüfen. Doch mit diesem Verfahren kommt man nur auf

2,3,5,7,23,37,53,73,373

Das sind die Primzahlen, die gleichzeitig links und rechts verkürzt werden können. Man erhält sie auch aus der vorangehenden Liste, indem man alle Zahlen mit Ziffer 1 oder 9 streicht.

Trotzdem hilft die Idee der schrittweisen Verlängerung schon gewonnener Zahlen, denn mit ihr kann die Liste

2,3,5,7,23,29,31,37,53,59,71,73,79,233,239,293,...,73939133

der 83 Primzahlen gewonnen werden, die nur bei rechtseitiger Abschneidung prim bleiben müssen. Und aus diesen 83 sucht man sich die 15 beidseitig verkürzbaren heraus. Das ist mit der Hand kaum machbar, doch immer noch besser als die 4260 Primzahlen

2,3,5,7,13,17,23,37,43,47,53,...,357686312646216567629137

zu bestimmen, die bei ausschließlich linker Abschneidung entstehen, und unter ihnen die 15 zu suchen.

37 | 73