Zahlwort

Vor zwei Wochen schilderte ein Mitblogger den leichtfertigen Umgang seiner schwulen Bekannten mit Ansteckungsgefahren. Spontan wollte ich meine Begeisterung äußern, schob es aber in meiner Offline-Manier auf den nächsten Tag. Und da war der Beitrag weg. Das verwunderte mich kaum. Ich könnte mir durchaus vorstellen, daß die für Eingeweihte wohl erkennbaren Personen eine Entfernung verlangt haben. Und so ärgert mich an diesem Vorgang nur, daß ich die Geschichte nicht kopiert habe.

Anders war es vor ein paar Tagen, nachdem zunächst ein Beitrag samt meinem Kommentar grundlos verschwand und später meine freundliche Nachfrage ebenfalls entfernt wurde. Dazu noch ein pampiger Satz des Blogbesitzers. Das ist mir bisher noch nicht vorgekommen. Ich habe mich mit elektronischer Post über mögliche Gründe oder Mißverständnisse erkundigt. Doch die Antwort war im schon bekannten pampigen Ton gehalten. Mit keinem Wort wurde darum gebeten, auf die angekündigte Wiedergabe an dieser Stelle zu verzichten.

Es begann alles ganz harmlos: Bei Donalphons las ich am 23. März unter "Du willst, daß ich Dein Blog nicht lese?" einen Beitrag, der Mitblogger betrübt haben könnte, die weniger als er und ich auf das geschriebene Wort Wert legen. Bei einem dieser Mitblogger las ich dann einen netten Dialog, der mir als Antwort oder Reaktion auf die Äußerungen von Donalphons erschien. Ich wollte den Schreiber bestärken und hinterließ einen Kommentar:

"Wollten Sie durch den aus Ihren Bildern herausstechenden Text mit Hinweis auf Ihren Blogtitel besonders deutlich machen, daß Sie nicht als Süddeutscher mit einem selbstgeputzten Silberlöffel im Mund unter einer Stuckdecke geboren wurden?"

Das kam irgendwie nicht an. Ich scheue mich aber nicht, meinen Kommentar hier zu wiederholen, bezieht er sich doch nur auf einen mächtigen Alpha-Blogger, der uns alle mit mancher Geschichte an einer fremden Welt teilhaben läßt. Morgen reiche ich möglicherweise zu meinem Kommentar den Haupttext nach. Doch vielleicht gibt es einen Leser, der sagt: Ich kenne ihn, nimm' Rücksicht, laß' es gut sein!

Zwei Zahlen sind entweder gleich oder unterscheiden sich um einen Betrag, der größer als 0 ist. Den kleinsten Unterschied zweier solcher Zahlen nennt Peter Augustin die Mindestverschiedenheit, abgekürzt mit MVS. Er ist kleiner als alle vorstellbaren postiven Zahlen und wird definiert durch

MVS = 1 - 0,999999999...

Für diese Mindestverschiedenheit gelten Rechenregeln wie

MVS*MVS=MVS, (1+MVS)(1+MVS)=1+MVS, (1-MVS)(1+MVS)=1-MVS

Dieser kleinsten positiven Zahl zur Seite gesellt sich das von Peter Augustin mit ¥ bezeichnete Unendliche. Zusammen gelten die Formeln

1/MVS=¥, (1+MVS)¥=e, (1-MVS)¥=1/e

Letzteres überprüft man leicht mit einem Taschenrechner

    0,9 hoch 9     = 0,387420489
   0,99 hoch 99    = 0,369729637
  0,999 hoch 999   = 0,368063488
 0,9999 hoch 9999  = 0,367897836
0,99999 hoch 99999 = 0,367881280
....... hoch ..... = ...........
(1-MVS) hoch ¥     = 0,367879441

Und Peter Augustin schreibt dazu: "Sie nähern sich immer mehr der Zahl 1/e, werden sie aber nie genau erreichen, ... In der Kürze liegt die Würze. Mathematiker sollten die würzigsten sein. Meistens sind sie sehr vertrocknet." [1]

Es ist schon erstaunlich, was man alles schreiben kann, wenn man sich auch von Gauß nichts verbieten läßt. Dabei ist die Grundidee der Einführung einer unendlich kleinen Größe gar nicht dumm. Wer kennt denn nicht aus der Schule das berühmte dx? Auch ist es nicht verboten, die oben aufgeführten Rechenregeln zu definieren. Nur was hat man davon? Vor allem von der Behauptung, 1 und 0,999999... seien verschiedene Zahlen? Einen Zuwachs an Merkwürdigkeiten, auf denen man sein Gebäude aus Hohlräumen und Querverstrebungen immer höher errichten kann!

Mein erstes Gefühl beim Lesen der Darlegungen von Peter Augustin im Internet war, möglicherweise einem Spaßvogel auf den Leim zu gehen, zumal er an vielen Stellen durchaus Humor beweist. Doch die Breite seiner Ausführungen, das Auftreten mit Bild im Internet, sein hohes Alter und die bissigen Bemerkungen über Mathematiker lassen mich glauben, er ist von allem zutiefst überzeugt.

[1] Peter Augustin, "Dichtes Wasser" (www.dichtes-wasser.de/diewasseroberflaeche/anhangc/index.html)

Seit über zwei Jahren reiche ich beim Kompetenzteam gelegentlich einmal ein Wort ein, doch ist es dort wie in vielen Blog-Bereichen: Mit der Zeit verlieren die besten Kommentatoren die Lust, und was bleibt blödelt und sexelt sich durch. Deshalb werde ich in Zukunft weniger Zahlen und mehr Wörter hier unter Zahlwort erwähnen. Heute fielen mir die Dealer-Management-Systeme auf. Sie werden nicht unbedingt jedem geläufig sein, weshalb ich mir erlaube, einen leicht abgewandelten Auszug der Wikipedia wiederzugeben:

Ein Dealer Management System (DMS) ist ein IT-System, welches den Dealer bei der Abwicklung aller anfallenden Geschäftsprozesse unterstützt. Dazu zählt der Einkauf und Verkauf, der Abhängigenhandel sowie die Streckungsabwicklung. Die meisten Lieferanten (OEM's) treffen eine Auswahl aus den vorhanden Anbietern solcher Software und geben eine Empfehlung für ihre Vertriebspartner. Ist eine solche Empfehlung ausgesprochen werden in Zusammenarbeit mit den Softwareherstellern die Schnittstellen für die Kommunikation zwischen Dealer und OEM realisiert. Diese Schnittstellen ermöglichen es dem Dealer einerseits Bestellungen, für Rauschmittel und Zubehör, und andererseits die vom OEM geforderten Auswertungen einfach zu übermitteln. Der Funktionsumfang und die Leistungsfähigkeit solcher DMS unterscheiden sich pro Anbieter erheblich.

Kompetenzteam | Wikipedia

Wenn die natürlichen Zahlen spiralförmig in der Ebene anordnet werden, so erscheinen verschiedene Muster, in denen sich die Primzahlen mehr oder minder gleichmäßig verteilen. In der Ulamspirale



kommen zum Beispiel recht lange Ketten benachbarter Primzahlen vor. Dafür gibt es gute Gründe. Es soll aber weitgehend ungeklärt sein, warum diese guten Gründe so oft zutreffen. Geklärt dagegen sind die Anordnungen in Spalten:

 1     1  2     1  2  3     1  2  3  4     1  2  3  4  5 
 2     3  4     4  5  6     5  6  7  8     6  7  8  9 10 
 3     5  6     7  8  9     9 10 11 12    11 12 13 14 15 
 4     7  8    10 11 12    13 14 15 16    16 17 18 19 20 
 5     8 10    13 14 15    17 18 19 20    21 22 23 24 25 
 6    11 12    16 17 18    21 22 23 24    26 27 28 29 30 
 7    13 14    19 20 21    25 26 27 28    31 32 33 34 35 
 8    15 16    22 23 24    29 30 31 32    36 37 38 39 40 
 9    17 18    25 16 27    33 34 35 36    41 42 43 44 45 
10    19 20    28 29 30    37 38 39 40    46 47 48 49 50 
11    21 22    31 32 33    41 42 43 44    51 52 53 54 55 

 1  2  3  4  5  6     1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 
 7  8  9 10 11 12    13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 
13 14 15 16 17 18    25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 
19 20 21 22 23 24    37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 
25 26 27 28 29 30    49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
31 32 33 34 35 36    61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 
37 38 39 40 41 42    73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 
43 44 45 46 47 48    85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 

Deutlich ist zu sehen, daß die fett ausgezeichneten Primzahlen abgesehen von der ersten Zeile nur in einigen Spalten vorkommen. Das ist natürlich nicht verwunderlich, für einige aber schon Anlaß, die Welt der Zahlen in mehrere Gruppen zu teilen. Dabei meine ich nicht die Unterscheidung von geraden und ungeraden Zahlen, die sehr oft sehr hilfreich ist.

Bei der Teilung modulo 6, also in sechs Gruppen, fallen außer 2 und 3 alle Primzahlen nur noch in zwei der sechs Spalten, weil in den übrigen Teilbarkeit durch 2 bzw. 3 gegeben ist. Um den Anteil der Spalten mit Primzahlen gering zu halten, muß man Spaltenzahlen mit vielen Teilern wählen. Bei 30 Spalten enthalten nur noch 8 mehr als eine Primzahl. Bei 24 Spalten sind es ebenfalls 8 Spalten mit mehr als einer Primzahl:

 1 25 49 73  97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337 
 2 26 50 74  98 122 146 170 194 218 242 266 290 314 338 
 3 27 51 75  99 123 147 171 195 219 243 267 291 315 339 
 4 28 52 76 100 124 148 172 196 220 244 268 292 316 340 
 5 29 53 77 101 125 149 173 197 221 245 269 293 317 341 
 6 30 54 78 102 126 150 174 198 222 246 270 294 318 342 
 7 31 55 79 103 127 151 175 199 223 247 271 295 319 343 
 8 32 56 80 104 128 152 176 200 224 248 272 296 320 344 
 9 33 57 81 105 129 153 177 201 225 249 273 297 321 345 
10 34 58 82 106 130 154 178 202 226 250 274 298 322 346 
11 35 59 83 107 131 155 179 203 227 251 275 299 323 347 
12 36 60 84 108 132 156 180 204 228 252 276 300 324 348 
13 37 61 85 109 133 157 181 205 229 253 277 301 325 349 
14 38 62 86 110 134 158 182 206 230 254 278 302 326 350 
15 39 63 87 111 135 159 183 207 231 255 279 303 327 351 
16 40 64 88 112 136 160 184 208 232 256 280 304 328 352 
17 41 65 89 113 137 161 185 209 233 257 281 305 329 353 
18 42 66 90 114 138 162 186 210 234 258 282 306 330 354 
19 43 67 91 115 130 163 187 211 235 259 283 307 331 355 
20 44 68 92 116 140 164 188 212 236 260 284 308 332 356 
21 45 69 93 117 141 165 189 213 237 261 285 309 333 357 
22 46 70 94 118 142 166 190 214 238 262 286 310 334 358 
23 47 71 95 119 143 167 191 215 239 263 287 311 335 359 
24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 

Aus Platzgründen habe ich die 24 Spalten als Zeilen ausgeführt. Eigentlich ist es nur eine Aufblähung der Teilung in sechs Gruppen. Ordnet man aber die 24 Gruppen in konzentrischen Kreisen, in Form einer 24-Stunden-Uhr an, so erhält man das Primzahlkreuz des Peter Plichta. Eine Wiedergabe erspare ich mir, weil sie als ASCII-Text nicht platzsparend zu realiseren ist und ich ein Bild aus einem fremden Text nicht herauskopieren möchte, zumal Peter Plichta seine Erkenntnisse in Buchform vermarktet.

Mit ihm teile ich die Auffassung, daß die Welt letztlich auf an sich gültigen Zusammenhängen beruht, die in Zahlen gut darstellbar sind. Nur meine ich nicht, daß man diese Grundlagen direkt dem uns umgebenden Makrokosmos entnehmen kann, weder dem Alltag, noch der Bibel, dem Koran oder den chemischen Elementen. Und so bin ich trotz einer gewissen Bewunderung für die umfassende Leistung, die in der Konstruktion umfassender Zahlengebilde steckt, nicht über 100 Euro für Bücher solchen Inhaltes auszugeben bereit. Schon gar nicht besuche ich eines der Seminare, in der Glückseligkeit auch auf dieser Basis verkauft wird, denn schon bei einfachen Arbeitsmehodik-Kursen mußte ich mir vorwerfen lassen, durch kritisches Hinterfragen andere um ihre Erkenntnis gebracht zu haben.

Ulam | Plichta | Primzahlkreuz

Die uns heutzutage unter dem Buchstaben π so geläufige Kreiszahl wurde heute vor 414 Jahren am 14. März 1592 (amerikanisch 3/14/1592) von Ludolph van Ceulen kurz oberhalb der 3 entdeckt, zwischen 10/71 und 10/70 darüber. Im Laufe vieler Jahre konnte er π auf 35 Stellen berechnen, weshalb π=3,141592... bis auf den heutigen Tag auch Ludolphsche Zahl genannt wird. Weniger bekannt sind seine Bemühungen um die Bekämpfung von Geflügelkrankheiten. Erst mit der gegenwärtig grassierenden Vogel­grippe gelangte die auf ihn zurückgehende Ceulung wieder in den Aufmerk­sam­keits­bereich einer breiten Öffentlichkeit.

Der Leser möge es mir verzeihen, doch mit Rücksicht auf eine resistente Minderheit: Das war ein Spaß! Kein Spaß ist das Vergnügen der Amerikaner, in allem ein Datum zu sehen, was den Geburtstag Albert Einsteins (3/14) wirklich zum Pi-Tag macht. Es fügt sich auch gut, daß die folgenden vier Stellen das Jahr 1592 ergeben. Das ist ziemlich genau die Zeit, um die Adrianus Romanus die Zahl π auf 15 Stellen berechnete, nachdem fast zwei Jahrtausende im Abendland keine Fortschritte versucht wurden. Kurze Zeit später soll Ludolph van Ceulen viele Jahre seines Lebens darauf verwendet haben, die Zahl π auf 35 Stellen zu nähern.

Ausgehend vom Sechseck hat Archimedes durch fortwährende Zweiteilung der Kanten den Umfang eines 96-Eckes im Verhältnis zur seinem Inkreis- und seinem Umkreis­durchmesser bestimmt. So kam er darauf, daß der wahre Wert von π irgendwo zwischen 223/71 und 22/7 liegen müsse:

223/71 = 3,140845...
     π = 3,141592...
  22/7 = 3,142857...

Bis auf den heutigen Tag ist 22/7 den meisten Menschen eine genügende Näherung, denn gemessen an der Kleinheit der Zahlen 22 und 7 ist sie sehr gut und stimmt mit π=3,14... in den ersten drei Stellen überein. Nur 355/113=3,14159292... kann damit konkurrieren. Obwohl 355 und 113 nur um den Faktor 16 größer sind als 22 und 7, stimmen weitere vier Stellen.

Seit Archimedes bis zu diesem Geburtstag wurden nur leichte Fortschritte erzielt, von den Chinesen (7 Stellen durch Tsu Chung Chi um 480) und den Persern (14 Stellen durch Al Kashi im Jahre 1429). Meine abendländischen Vorfahren kamen dies ganze Jahrtausend nicht von der Stelle. Sie fürchteten das aus Indien stammende positionelle Dezimalsystem mit der Null, wie es heute jeder Erstkläßler erlernt. Man hielt es wohl wegen der arabischen Ziffern für eine Erfindung der Moslems, vor derem bösen Einfluß es sich zu schützen galt. Bis heute hält diese Mischung aus Furcht und Überschätzung an. Statt der Zahlen sind es andere Papiertiger, vor denen wir uns fürchten, obwohl die Araber gar keine Atombomben [1] haben. Wieder sind es in Wirklichkeit die Inder.

Mit der Wiedergeburt des freien Denkens im Abendland kurz vor dem Geburstag von π ging es bergauf. Bereits nach 200 Jahren war bei 500 Stellen die Leistungsgrenze des Menschen erreicht. Erst mit Rechenmaschinen war der Damm zu brechen. Inzwischen sind mehr als eine Billion Stellen aufgelistet, jede der ersten Billiarden Stellen kann in ein paar Stunden berechnet werden.

Und wieder stellt sich die Frage nach dem Sinn eines solchens Unterfangen. Nachdem unsere Vorfahren mehr als ein Jahrtausend 22/7 für genau genug hielten, sollten uns da nicht die 30 Stellen des Bill-Gates-Rechners ausreichen? Es wie mit der Formel-1. Die einen sehen in ihr den innovativen Motor des Fahrzeugbaus, die anderen meinen, man wäre mit dem gleichen Aufwand auf konventionelle Art wesentlich weiter gekommen. In jedem Falle gibt es auch abseits dieser Rekorde nicht nur über Autos, sondern auch über die Zahl π viel zu sagen. Das ist in zahlreichen Büchern und auf noch mehr Seiten im Internet geschehen.

[1] Mao Tse Tung (1946): Die Atombombe ist ein Papiertiger, ...

Ich bewundere die Ausdauer mancher Menschen im Zusammentragen von Beziehungen zwischen Zahlen, der Natur und heiligen Schriften. Mich begeistern großartige systematische Entwürfe dazu, auch wenn ich den Glauben der Autoren zumeist nicht teilen kann. Doch manche zerstören meine Bewunderung, in dem sie offensichtliche Zusammenhänge als überraschend darstellen oder erst Seiten später mit den einfachen Grundlagen rausrücken, als wären sie soeben durch ihre verqueren Betrachtungen entdeckt worden. Dazu erlaube ich mir einige verkürzte Auszüge:

• "He writes the magic number 81 as a reversal fraction of the number 1 and the sequence of natural numbers. ... 1/81=0,012345678... With this shining formula, has … set up an eternal monument of the code-number 81. ... The actual highlight is not, that from 1/81 are resulting the sequence of natural numbers, but rather that 81 is the reciprocal value of the sequence of the natural numbers: 1/0,012345678...=81 ... By multiplying the sequence of natural numbers with 81, the result is 1: 0,0123456789x81=1. I felt like, as after a long operation the bandages would removed from my eyes."
• Nach Erläuterungen über 81 stabile chemische Elemente, unter denen 19 Reinisotope zu finden sind: "he executed a simple arithmetic operation and divides 81 by 19: 81:19=4,263 ... there are 243 isotopes or variations of elements ... interested in the relation of the fifty-seven double or multiple Isotopes ... He found out that: 243:57=4,263! ... This calculation becomes more astonishing for him that there is 3x19 elements and 3x81=243 isotopes."
• "Setzt man nämlich die einhundertvierzehn Suren des ganzen Koran mit den fünfundachtzig Allah-Suren ins Verhältnis, kommt als Ergebnis 114:85=1,34117647 heraus. Derselben Ziffernfolge nach dem Komma begegnet man, wenn man das Verhältnis der neunundzwanzig Suren ohne den Namen Allah zu den fünfundachtzig Allah-Suren erstellt. 29:85=0,34117647. Die Ziffern nach dem Komma sind eigentümlicherweise identisch... Meine Verblüffung steigerte sich! ... 36:255=0,14117647 ... Es schien, daß nicht nur die Zahl 17, sondern alle ihre Mehrfachen, wenn man sie als Teiler in ein beliebiges Verhältnis mit einem ganzzahligen Nenner einsetzte, die universale Ziffernfolge ergaben. Das stimmte allerdings nicht ganz, wie ich alsbald herausfinden sollte."

Einmal lagen in meiner Obstschale sieben Äpfel und fünf Birnen. Ich setzte die Gesamtzahl 12 ins Verhältnis zu den Äpfeln und erhielt 12:7=1,7142857. Dann verglich ich alle Birnen mit den Nicht-Birnen und kam auf 5:7=0,7142857. Ich war überrascht, die gleiche Ziffernfolge zu sehen. Ich nahm mir deshalb den Kassenbon vor. Für die Äpfel hatte ich 2,10 Euro bezahlt. Alles Obst zusammen kostete 3,60 Euro. Zu meiner Verblüffung erhielt ich wieder 3,60:2,10=1,7142857. Ich multiplizierte die Zahl der Äpfel mit 3 und erhielt 21, das Zehnfache des Betrages auf dem Kassenzettel. Ich probierte die gleiche Rechnung mit den Birnen: Dreimal 5 Birnen ergaben 15, das Zehnfache von 1,50. Ich war enttäuscht, und legte meine Forschungen beiseite. Doch in der Nacht hatte ich einen Traum: 1,50 ist genau die Differenz von 3,60 und 2,10! Ich hatte den göttlichen Plan gefunden.

19 | 81

Stöbert man in den Äußerungen von Zahlakrobaten, so stößt man allenthalben auf die Zahl 81 und ihre herausragende Bedeutung, ja Einzigartigkeit, die die ganze Welt zu erklären vermag. Ich will diesen Mythos nicht mit langen Rechnereien zerstören, sondern in zwei Spalten nur zwei Welten gegenüberstellen, links unsere der Dezimalzahlen und rechts die der Unix-Menschen zur Basis acht.

Die Zahl 81 ist die größte zweistellige Quadratzahl. Zur 100 fehlen ihr 19. Und die Quersumme von 1981 ist 1+9+8+1=19. Vor der 19 liegt die 18, die ziffernvertauschte 81. Beide Zahlen entstehen aus ihrer eigenen Quersumme 9, nämlich 9+9=18 und 9*9=81. Der Kehrwert	Die Zahl 61 ist die größte zweistellige Quadratzahl. Zur 100 fehlen ihr 17. Und die Quersumme von 1761 ist 1+7+6+1=17. Vor der 17 liegt die 16, die ziffernvertauschte 61. Beide Zahlen entstehen aus ihrer eigenen Quersumme 7, nämlich 7+7=16 und 7*7=61. Der Kehrwert
1/81=0,012345679012345679...	1/61=0,012345701234570123...
weist eine ewige Wiederholung aller Ziffern auf, allerdings ohne die 8, die führende Ziffer der 81. Wo ist diese 8 verschwunden? Läßt man bei der Darstellung von 1/81 als Dezimalzahl auch Ziffern oberhalb von 9 zu, erschließt uns die 81 die Gesamtheit aller Zahlen:	weist eine ewige Wiederholung aller Ziffern auf, allerdings ohne die 6, die führende Ziffer der 61. Wo ist diese 6 verschwunden? Läßt man bei der Darstellung von 1/61 als Oktalzahl auch Ziffern oberhalb von 7 zu, erschließt uns die 61 die Gesamtheit aller Zahlen:
1/81 = 0,012345679012345... = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12...	1/61 = 0,012345701234570... = 0,0.1.2.3.4.5.6.7.10.11.12.13.14..
Die 8 ist also durch einen Übertrag von der 10, der Basis unserer Zahldarstellung verschwunden. Aus den beiden Ziffern 89 ist ist die 90 entstanden. Die Zahl 81 belegt damit die Besonderheit unserer Zahldarstellung zur Basis 10 und ist im wahrsten Sinne des Wortes die Zahl aller Zahlen.	Die 6 ist also durch einen Übertrag von der 10, der Basis unserer Zahldarstellung verschwunden. Aus den beiden Ziffern 67 ist ist die 70 entstanden. Die Zahl 61 belegt damit die Besonderheit unserer Zahldarstellung zur Basis 10 und ist im wahrsten Sinne des Wortes die Zahl aller Zahlen.

Und damit ist der Gläubige nicht etwa irritiert, sondern bestätigt, kann er doch "belegt damit die Besonderheit unserer Zahldarstellung zur Basis 10" in beiden Spalten lesen. Der verständige Leser möge mir die Erklärung verzeihen: Links ist 10=5+5 die zehnte und rechts 10=4+4 die achte natürliche Zahl. Die oktale 61 ist dezimal 49, die Quadratzahl aus der höchsten oktalen Ziffer 7. Jede Quadratzahl n*n ist damit so bedeutend wie die 81 und macht die Basis n+1 zur gottgegebenen.

19 | 89