ANS
Zur Darstellung der natürlichen Zahlen verwenden wir üblicherweise die auch Ziffern genannten Zahlzeichen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Einer Ziffernfolge, also einer Zeichenkette aus diesen Ziffern kann leicht in der uns bekannten Weise eine Zahl zugeordnet werden. Umgekehrt kann jede natürlich Zahl auch als eine solche Ziffernfolge geschrieben werden. Diese Darstellung der Zahlen ist eindeutig, wenn man keine führenden 0 erlaubt.

Bekanntlich wurde die 0 erst spät benutzt, manche sagen erfunden. Sie war entbehrlich, solange man wie die Römer für jede Stelle andere Zahlzeichen besaß oder sich wie die Babylonier die leeren Positionen nur dachte bzw. andeutete. Solange Rechenbretter benutzt wurden, war die 0 nicht erforderlich. Für eine positionelle Zahlbezeichnung, die den Wert einer Ziffer von ihrer Position abhängig macht, benötigt man ebenfalls nicht unbedingt eine 0.

Warum hat der Finger zählende Mensch für die zehn im Laufe der Geschichte auf ein eigenes Zahlzeichen verzichtet? Mit einem solchen Zeichen, für das ich im folgenden stellvertretend X benutze, hätte auf die 0 verzichtet werden können. Eine positionelle Darstellung nach Zehnerpotenzen geschähe in diesem alternativen Zahlsystem (ANS, alternate number system) in gleicher Weise wie im allgemein gebräuchlichen (ENS, existing number system):
ENS: 1 .. 9 10 11 .. 20 21 .. 99 100 101 .. 109 110 111 ..
ANS: 1 .. 9  X 11 .. 1X 21 .. 99  9X  X1 ..  X9  XX 111 ..
Robert R. Forslund hält dieses ANS unserem ENS sogar für überlegen, denn jeder Ziffernkette ist eindeutig eine Zahl zugeordnet und umgekehrt. Eine Regel über führende Ziffern gibt es im ANS nicht, denn alle Zeichenketten werden ausgeschöpft. Im ANS gibt es 10 (besser X) einstellige, 100 (besser 9X) zweistellige und 1000 (besser 99X) dreistellige Zahlen. In unserem ENS sind es nur 9, 90 und 900.

Gewiß muß man sich daran gewöhnen, im ANS zu rechnen. Es deshalb dem ENS als unterlegen zu sehen, ist natürlich unfair. Man sollte sich schon fragen, ob jahrelanges Training in der Schule nicht die gleiche Geläufigkeit nach sich ziehen würde. Meine Antwort: Nein! Betrachten wir dazu einfache Additionsaufgaben, die manche Menschen nur durchzuführen in der Lage sind, wenn sie die Überträge notieren:
ENS   ANS

2005  19X5
1907  18X7
..1.  .21.
----  ----
3912  3912
Schon bei der Addition von nur zwei Zahlen treten im ANS Überträge von 2 auf. Das haut einen geübten Rechner nicht vom Hocker, zumal er mit 10 leicht rechnen kann und Zahlen ohne X mit der üblichen Darstellung identisch sind. Doch eine kleine Erschwernis ist durchaus schon bei leichten Rechnungen zu erkennen und damit ein Anzeichen dafür, daß die 0 gegenüber der X wohl die bessere Wahl sein wird, die Evolution sich hier nicht geirrt hat.

Ganz klar überlegen ist das ANS bei Zahlenspielereien mit Ziffernvertauschungen. Es entsteht nicht die Frage, ob 3 oder 03 die Umkehrung von 30 ist. Die Suche nach EPORN, also nach Zahlen, die auf zweifache Weise durch das Produkt zweier ziffernvertauschter Zahlen sind, führt nicht auf eine Reihe von Trivialfällen wie dem der kleinsten ENS-EPORN
2520 = 210 * 012 = 021 * 120
Im ANS muß man schon etwas über diese Zahl hinausgehen. Die kleinste ANS-EPORN ist
634X4 = 441 * 144 = 252 * 252 = 63504
Da in den Faktoren keine X vorkommt, ist die Zahl zugleich normale ENS-EPOPN, nämlich die kleinste unter den nicht trivialen. Es gibt aber auch alleinige ANS-EPORN. Die kleinste mit einer X im Faktor ist eine solche:
1623X9 = 961*169 = 3X3*3X3, also ANS-EPORN
162409 = 961*169 = 403*403 scheitert im ENS
Der aufmerksame Leser wird bemerken, daß 16409 dennoch eine normale ENS-EPORN sein könnte, nämlich mit anderen Faktoren. Doch die kann man sich aus 162409=13*13*31*31 offensichtlich nicht zusammenbasteln.

Forslund | EPORN

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Hm.
Der Gedanke, dass die Null nur ein Produkt unserer gebräuchlichen Darstellungsweise ist, stürzt mich in tiefe Verwirrung. Was ist denn bei den alten Römern rausgekommen, wenn die eins minus eins gerechnet haben? Nihil?

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Und was ist bei den Römer rausgekommen, wenn sie IV minus VI gerechnet haben? Oder haben sie so gedacht wie moderne Mathematiker: In einem Fahrstuhl sind vier Leute, im Ergeschoß steigen sechs aus. Da sagt der Mathematiker: Wenn jetzt noch zwei einsteigen, ist keiner mehr drin.

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Hätte sich die Menschheit für das ANS (alternate number system) zur Basis 10 entschieden, lebten wir jetzt gerade im Jahre 19X6. Ein Jahr-2000-Problem hätten wir dann gar nicht gehabt, nur elf Jahre später ein Jahr-1X11-Problem, wenn die Endziffern XX des Jahres 19XX=2010 auf 11 des Jahres 1X11=2011 springen und die Gefahr einer Verwechselung mit dem Jahre 1911 bestünde. Wir hätten uns also elf Jahre länger auf das damit verbundene Datenverarbeitungsproblem vorbereiten können. Und der Jahrtausendwechsel (besser Wechsel der letzten drei Stellen) wäre erst von 1XXX=2110 auf 2111 in über hundert Jahren.

Über diese elf Jahre Aufschub hinaus, ist Robert R. Forslund wohl auch der Meinung, daß die Menschheit samt ihren Computern so und so schon weiter wäre, hätten wir nicht auf die Null gewartet und gleich das ANS benutzt. Diese Ansicht vermag ich nicht zu teilen. Vielmehr ist es gut möglich, daß mit dem ANS gerade die Dampfmaschine ihren Siegeszug angetreten hätte. Mit dem ANS läßt sich nämlich sehr schlecht rechnen.

Addition und Multiplikation gehen noch, doch die Division ist schrecklich. Nehmen wir einmal eine einfache Divisionsaufgabe:
2387543 : 793 = 3010 Rest 613
2379
----
   854
   793
   ---
    613
Verfährt man analog im ANS, kommt man schnell in eine Sackgasse:
2387543 : 793 = 3...
2379
----
   85
Die 85 ist zu klein, und man kann die 4 nicht "runterholen", um zur 854 zu gelangen, weil dies ja eine Ziffer 0 im Divisionsergebnis bedeutete. Also darf nur zweimal 793 abgezogen werden, gleichwohl 793 dreimal in 2387 reingeht:
2387543 : 793 = 2X1.
1586
----
 7X15
 792X
 ----
   854
   793
   ---
    61
Auch die 61 ist zu klein. Die 793 kann also nur neunmal von 7X15 abgezogen werden, obwohl sie zehnmal reingeht:
2387543 : 793 = 29XX Rest 613
1586
----
 7X15
 7137
 ----
  8784
  792X
  ----
   8543
   792X
   ----
    613
Nun hat es endlich geklappt. Wie hätte man die beiden Fehlversuche vermeiden können?

Die erste Idee ist, stets einen genügend großen Rest zu lassen, der aber auch nicht zu groß sein darf, sonst kommt es zu "Ziffern" unter 1 oder über X. Da der Bereich der zulässigen Reste zu berechnen wäre und sich auch von Schritt zu Schritt ändert, muß man sich etwas besseres überlegen. Zum Beispiel, beim Divisionsergebnis die Ziffer 0 zuzulassen, also das ENS-Ergebnis zu berechnen und erforderlichenfalls in die ANS-Zahl zu wandeln.

Das kann Forslund, der die 0 auf jeden Fall und überall meiden will, nicht durchgehen lassen. Eher würde er die Reste zu groß lassen und gelegentich Ziffern Y=11 oder gar Z=12 riskieren und diese hinterher durch Wandlung beseitigen. Und so ist es wohl das beste, stets einen möglichst kleinen Rest zu lassen und wie im ENS notfalls mehr als eine Ziffer herunter zu holen, die dadurch im Ergebnis auftretende 0 aber zu vermeiden, indem das Zwischenergebnis sofort korrigiert wird:
2387543 : 793
2379          = 3...  (3 mal, also Beginn mit 3) 
----
   85
  nix         = 2X..  (nix, also zehnmal 3: 2X)
  ---
   854
   793        = 2X1.  (1 mal, also 1 angehängt)
   ---
    613
    nix       = 29XX  (nix, also zehnmal 2X1: 29XX)
    ---
    613
Statt dem Anhängen einer 0 ist also mit X multipliziert worden. Damit ist zwar das Verfahren analog dem im ENS, doch leider ist im ANS die Multiplikation mit X=10 deutlich schwieriger, was allein schon gegen das ANS spricht. Und ein ganz anderes, auf das ANS zugeschnittene Divisionsverfahren sehe ich nicht.

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Vordergründig tritt Robert R. Forslund mit dem ANS (alternate number system) nur für eine Zahlbezeichnung ohne die Ziffer 0 an, womit es schon bei der Betrachtung der Division als unpraktisch ausgeschieden wäre. Seine Bedeutung reduzierte sich auf alternative Zahlenspielereien und die Durchnumerierung von Zeichenketten. Ich vermute aber, es geht ihm um eine vollständige Vermeidung der Null, zumindest um eine Reduzierung ihrer Bedeutung. Deshalb bemüht Robert R. Forlund sich nicht eine praktikable alternative Bezeichnung der negativen, der rationalen und der reelen Zahlen, sondern versucht diese auf anderer oder verbleibende Beine zu stellen. Das finde ich schon merkwürdig, denn eine alternative Zahlbezeichnung verändert doch an der Mathematik rein gar nichts.

In den negativen Zahlen M sieht er eine Kopie der natürlichen Zahlen N. Das gilt auch für die postiven Zahlen P. Beide zusammen sind also nicht mehr zwei Kopien von N. Es hätten auch drei wie rot, grün und blau oder vier wie Nord, Ost, Süd und West sein können. Addition und Multiplikation sind deshalb nur innerhalb eines Teilbereiches erlaubt. Um vorschnelle Zuordnungen auf positiv und negativ zu vermeiden, verwende ich farbige Zallen, nämlich rote (1,2,...) und grüne (1,2,...).

Forslund steht natürlich zu 2+3=5 und 4+6=X, lehnt aber 2+6 zunächst als undefiniert ab. Ich unterstelle einmal, daß im Falle zweier Farben er sich noch zu der Auffassung hinreißen ließe, daß rot und grün in entgegengesetzte Richtungen weisen und die folgende Auffassung zutrifft: m+n=n+m ist m-n für m>n, n-m für m<n und undefiniert für m=n. Ein zusätlicher Wert u für "undefiniert" (um das Reizwort null zu vermeiden) könnte die Addition vervollständigen. Damit hätten wir einen Stand der Mathematik vergleichbar dem eines Girokontos. Es kann ausgeglichen sein, Soll oder Haben aufweisen.

Die Multiplikation sieht Forslund als eine fortgesetze Addition. So ist er eigentlich nur zu Produkten wie 3*2=2*3=2+2+2=6 und 4*5=5*4=1X bereit. Er schickt sich auch an, die Multiplikation der natürlichen Zahlen in die rote und grüne Kopie zu übernehmen, also 2*3=3*2=6 und 4*5=1X zu behaupten. Doch damit hat er eine Struktur definiert, die nicht mehr mit unseren ganzen Zahlen Z in Einklang zu bringen ist, denn
2*3 = 2*(u-3) = 2*u - 2*3 = u - 6 = 6
2*3 = (u-2)*3 = u*3 - 2*3 = u - 6 = 6
Es müßte also 6=6 sein. Eine volle Symmetrie zwischen rot und grün ist nicht mehr möglich. Wenn die Multiplikation der beiden Farben rot und grün sinnvollerweise den üblichen Rechengesetzen gehorchen sollte, dann ist nur
rot*rot = grn*grn = rot  und  rot*grn = grn*rot = grn   oder
grn*grn = rot*rot = grn  und  grn*rot = rot*grn = rot
möglich. Im ersten Falle sind die roten Zahlen die positiven, im zweiten die grünen. Beide Strukturen sind letztlich gleich. Sie sind zwei von vielen konkreten Ausformungen dessen, was wir normalerweise als ganze Zahlen Z bezeichnen.

Forslund will das nicht wahrhaben, sieht konsequenterweise (-2)(-3)=(-6) und -2 als Quadratwurzel aus -4. Das könnte so manchem Schüler gefallen. Es ist auch nicht verboten, sich mit solchen Strukturen zu beschäftigen. Nur sind es eben nicht "die" ganzen Zahlen und schon gar keine Verbesserungen derselben.

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Das Problem von Robert R. Forslund besteht darin, das ANS (alternate number system) nicht allein als eine andere Schreibweise der natürlichen Zahlen zum Zwecke besonderer Bedürfnisse vorzuschlagen. In seinem missionarischen Null-Vermeidungs-Eifer mag man noch darüber hinwegsehen, daß die Zehnerpotenzen schlecht dargestellt werden, die Multiplikation mit zehn zu schwer ist und das Divisionsverfahren viel Gefühl verlangt. Sich dann aber an die gebrochenen Zahlen heranzumachen, seien es auch nur die positiven, aber untergräbt sein eigenes Anliegen:
ENS: 0,1,2,...,8,9   ANS: 1,2,3,...,9,X

1     1,00  1,0000   1      .9X   .999X
1,05  1,05  1,0500    .X5   .X5   .X49X
1,1   1,10  1,1000   1.1    .XX   .X99X
1,15  1,15  1,1500   1.15  1.15  1.149X
1,2   1,20  1,2000   1.2   1.1X  1.199X
In der üblichen Weise geht es offensichtlich nicht, auch wenn man sich nach einer Weile an 9999X statt 100000 gewöhnt haben mag. Daß die 0 fehlt, wenn man mehr Nachkommastellen schreiben will als unbedingt erforderlich, ist ein leichter Mangel. Viel schwerer wiegt, daß im Bereich von n bis n+1/9 vor dem Komma nicht die ganze Zahl n, sondern n-1 steht. Dabei bin ich mit dem Beispiel 1,05=.X5 noch großzügig gewesen. Wie sähe 0,05 im ANS aus? Man kann doch den Zahlen nicht verbieten, kleiner als 1/9 zu werden.

Um die Notationsschwierigkeiten zu mindern, wenn man die 0 meidet wie der Teufel das Weihwasser, habe ich bereits die amerikanische Schreibweise ohne eine einzelne 0 vor dem Komma gewählt und bin auch bereit, insbesondere für Zahlen unterhalb von 1/9 eine Darstellung zu wählen, wie man sie vor allem beim Rechnen mit Logarithmen verwendet:
lg(1024) = 0,010200+3   lg(X24) = .9XX19X+2
lg(10)   = 0,0+1        lg(X)   = .+1
Doch man mogelt sich nicht aus dem Umstand heraus, daß auch im ANS die hinten und vorne nicht geschrieben Ziffern im Geiste Nullen sind. Alle diese Probleme sieht wohl auch Robert R. Forslund und schlägt gleich vor, gebrochene Zahlen durch einen Kettenbruch darzustellen mit der Freiheit, für rationale Zahlen auch einen normalen Bruch nehmen zu können:
1,2345 = 2469/199X
π = [3;7,15,1,292,...]
Doch wer kann schon Kettenbrüche addieren oder Brüche zu großer Zahlen runden? Eine Methode wäre, die ANS-Zahlen zunächst in das allgemein bekannte ENS (existing number system) zu wandeln, darin die Rechnung auszuführen, um das Ergebnis wieder in eine ANS-Darstellung zu überführen. Auf diesem Stand waren auch die alten Griechen, die mit ihren Zahlen ebenfalls nicht rechnen konnten. Sie wandelten erst in babylonische, rechneten damit und übersetzen das Ergebnis wieder in ihre verqueren Buchstaben. So wurden sie zu Geometern.

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Robert R. Forslund schreibt zum Abschluß seiner Erörterungen zu den Dezimalzahlen, die er nicht überwiegend in der üblichen Weise dargestellt wissen möchte, weil sein ANS (alternate number system) dafür ungeeignet ist: "I fully realize the usefulness of decimals values in calculations, however the point is that in the theory of numbers, decimals are not necessary."

Aber das wußte man doch schon immer: Grundlegend sind Dezimalzahlen in der Zahlentheorie nur von Bedeutung, wo sie selbst betrachtet werden. Es ist auch jedem Zahlentheoretiker klar, daß nicht nur seine Zahlschreibweise, sondern alle Bezeichnungen und Aussagen in ihrer Form dem Menschen angepaßt sind, die er aber frei von Dezimalzahlen, der Basis 10 und anderen Konventionen formulieren könnte, wenn es sein müßte und seine Lebenszeit es zuließe.

Daß aber auch Außerirdische Zahlen so darstellen werden, wie wir es üblicherweise tun, wenn auch mit anderen Zeichen und zu einer anderen Basis, scheint mir ziemlich gewiß. Die alternativen Möglichkeiten wie Kettenbrüche werden sie ebenso kennen wie wir, doch ebenfalls nur in besonderen Situationen einsetzen. Sie werden sich ebenfalls keine Umstände bereiten, nur um auf eine ungeliebte Null zu verzichten.

Deshalb hat es mich nicht gewundert, den grundlegenden Aufsatz von Robert R. Forslund bei crank.net zu finden, wenn auch die dort vorgenommene Einstufung "crankiest" mir nicht voll gerechtfertigt erscheint. Immerhin ist es grundsätzlich einen Gedanken wert, die Ziffer 0 durch eine Ziffer für die Zahl 10 zu ersetzen.

crank

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