Zahlwort

Auf der Suche zur Zahl 38 stieß ich auf die Möglichkeit, unsere Vorfahren hätten vor 5000 Jahren in unseren Breitengraden Kreise aus Steinen der Breite b einem Umfang von 120b und einem Durchmesser von 38b gebildet. Jeder dieser Steine erschiene dann vom Mittelpunkt aus gesehen unter einem Winkel von 3,015 Grad. Die Steine hätten also etwas geklemmt, doch deckte ein einzelner Stein der Breite b in einer Entfernung von 19b betrachtet ziemlich genau drei Grad des Himmels ab. Zehn solcher Steine der Breite b auf dem Rand eines Kreises mit Durchmesser 38b bilden damit einen Winkel von 30 Grad. Doch geht es noch einfacher: Steckt man 11b auf der Tangente ab, bildet also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 19b und 11b, dann liegt die Hypotenuse mit 21,95b sehr genau bei 22b. Es handelt sich also näherungsweise um ein 30-60-90-Grad-Dreieck. Genauer sind es 30,07 Grad.

Mit Seilen geht es natürlich einfacher: Man knotet einfach drei der Längen 11, 19 und 22 zu einem geschlossenen Band zusammen und zieht dies an den Knoten straff. Es ist nicht ganz rechtwinklig (90,3°), doch ist der kleine Winkel mit 29,9996 Grad sehr genau. Sofern die Menschen damals Seile hatten, waren sie in der Länge sicherlich ungenau und unbeständig. Sie waren also gut beraten, präzise Stäbe zu verwenden. Und es kann durchaus angenommen werden, daß die Länge der Stäbe auch damals einer Norm unterlagen, wie wir uns lange Zeit nach einem Urmeter gerichtet haben, den wir für den vierzigtausendsten Teil des Erdumfanges hielten. Statistische Untersuchungen von Steinabständen durch Alexander Thom haben ergeben, haben ein Rastermaß von 0,829 Meter ergeben. Das ist der megalithic yard.

Unsere Vorfahren haben sicherlich wie wir über eine Urlänge gegrübelt, konnten in der Natur aber nichts von konstanter Länge finden. Nur Zeiten wie die Länge des Tages und des Jahres waren vorgegeben. So blieb ihnen zur Ableitung einer Länge aus der Zeit nur die Schwingung eines Pendels. Wenn also der megalithic yard nicht willkürlich festgelegt wurde, dann muß er etwas mit dem Pendel zu tun haben. Ein Fadenpendel der Länge l von einem halben megalithischen Yard benötigt für eine (halbe) Schwingung eine Zeit t von t=π*sqrt(l/g)=0,64577 Sekunden. Das ist der 133794-te Teil eines Tages, und 133784 ist das Quadrat von 365,8.

Wenn ich Christhoper Knight und Robert Lomas glauben darf, die diese Idee ausarbeiteten, teilte man damals den Kreis in 366 Grade. Es könnte also sein, daß der Tag in 366 Teile und diese wieder in 366 geteilt wurden, man also 366*366=133956 megalithische Sekunden pro Tag zählte. Auch wenn der Tag damals etwas länger als 86400 Sekunden gewesen sein mag, so ist eine solche megalithische Sekunde also 0,645 unserer Sekunden lang. Das ist eine sehr gute Übereinstimmung mit der Pendelzeit von 0,646 Sekunden, wenn man die damaligen Möglichkeiten und den gerundeten Wert der Erdbeschleunigung g von 9,81 Meter pro Quadratsekunde zwischen dem 50. und 60. Breitengrad berücksichtigt.

Thom | Lomas

Nachdem ich berichtete, daß die Zahl 39 wegen 39⋅39=1521 nebst 15+21=36 und 15⋅15+21⋅21=666 nicht die kleinste uninter­essante Zahl ist, kam in mir die Frage auf, warum sie mit 38 nicht noch kleiner sein könnte. Ich habe nach einem ähnlichen Mätz­chen wie zur Zahl 39 gesucht, doch für die 38 nur

38⋅38=1444   nebst   14⋅44=616

gefunden. Damit steht die 38 mit der alternativen Zahl des Tieres, näm­lich 616 in Bezie­hung. Das aber reicht nicht, um die Zahl 38 wirklich inter­essant zu machen.

Glücklicherweise führt die Suche unter den figu­rierten Zahlen zu einem halbwegs guten Ergebnis: Eine quadra­tische Pyra­mide mit vier Punkten an jeder Kante hat 1+4+9+16=30 Punkte, die mit dreien nur 1+4+9=14. Da ist zunächst wieder die Zahl 14. Und die 44=14+30 entsteht, wenn man die beiden Pyra­miden an der quadrat­ischen Grund­flächen zu einem Okta­eder zusammen­fügt. Entfernt man die sechs Eck­punkte, so entsteht der kleinste an den Ecken beschnit­tene Oktaeder, der aus acht Sechs­ecken und sechs Qua­draten besteht, die jeweils zwei Punkte auf jeder Kante haben. Die Gesamt­zahl der Punkte ist 44−6=38.

Doch auch das wirkt etwas konstru­iert, denn irgendwo findet man jede Zahl, zumin­dest die kleinen. Einzig­artig macht die Zahl 38 aber das einzige mögliche magische Sechseck

  15 13 10
 14 8  4  12
9  6  5  2  16
 11 1  7  19
  18 17  3

In allen sechs Richtungen addieren sich die Zahlen zu 38. Die Gesamt­summe aller 19 Zah­len ist die 19. Drei­ecks­zahl D₁₉=19⋅20/2=190. Auf fünf Spalten verteilt, muß deshalb die Summe jeder dieser Spalten 190/5=38 sein.

37 | 39 | 19 | 44

Auf der Suche nach der Zahl 666 bin ich auf einen Zusammen­hang zur Zahl 39 gestoßen, der von Eli Eshoh [1] gefunden oder kon­stru­iert wurde, weil ihm eine Bemer­kung von David Wells [2] nicht gefiel, 39 sei die kleinste uninter­essante Zahl. Er bemerkt, daß 39⋅39=1521 aus 15 und 21 zusammen­gesetzt ist, die in einer außer­ordent­lichen Beziehung zu 36 und 666 stehen:

15 + 21 = 36   und   15⋅15 + 21⋅21 =666

Ist das wirklich ein heraus­ragender Zusammen­hang? Ja und nein. Zunächst ist es eine Folge der allge­mein bekannten Tatsache, daß 666 die 36. Drei­ecks­zahl ist und 36 dazu eine Quadrat­zahl, denn für Dreiecks­zahlen Dₙ=n(n+1)/2 gilt

D_n−1 + D_n = n²   und   D_n−1² + D_n² = D_n²

was für die ersten n auf die Beziehungen

n=2:   1+3  =  4 = 2⋅2    1⋅1  +  3⋅3  =   10 = D4
n=3:   3+6  =  9 = 3⋅3    3⋅3  +  6⋅6  =   45 = D9
n=4:   6+10 = 16 = 4⋅4    6⋅6  + 10⋅10 =  136 = D16
n=5:  10+15 = 25 = 5⋅5   10⋅10 + 15⋅15 =  325 = D25
n=6:  15+21 = 36 = 6⋅6   15⋅15 + 21⋅21 =  666 = D36
n=7:  21+28 = 49 = 7⋅7   21⋅21 + 28⋅28 = 1225 = D49

führt. Für n=6 ergibt sich die Verbin­dung von 15 und 21 zu 36 und 666. Daß neben 666 auch 15 und 21 Dreiecks­zahlen sind, läßt Eli Eshoh unbe­merkt. Aber man muß ihm zuge­stehen, die Konka­tena­tion von 15 und 21 als Quadrat von 39 erkannt zu haben.

[1] Eli Eshoh: An Investi­gation into the Mystical Number 666. 1998.

[2] Wells: The Penguin Dictionary of Inter­esting and Curious Numbers.

38 | 40 | 666 | Dreiecks­zahlen

Am sechshundertsechsund­sechzig­sten Tage von Zahl­wort muß es endlich einge­standen werden: Die Zahl des Tieres aus der Offen­barung des Johannes, Kapi­tel 13, Vers 18 hat auch mich erwischt:

N Nun    50    H 107    K  66    a  97    Z 90
E              I 108    I  54    l 108    @ 64
R Resh  200    T 119    S 114       32    H 72
O Waw     6    L 111    S 114    g 103    L 76
N Nun    50    E 104    I  54    o 111      32
               R 117    N  84    r 114    W 87
C Qoph  100      ---    G  42    e 101    O 79
A                666    E  30      ---    R 82
E                ===    R 108      666    T 84
S Samekh 60               ---      ===     ---
A                         666              666
R Resh  200               ===              ===
        ---
        666
        ===

Jahrhunderte hat man sich abge­quält mit Erklä­rungen wie NRWN CSR für Kaiser Nero. Dabei ist die Lösung möglicher­weise ganz einfach. Stand die 666 schon immer für die Gesamt­heit der schlechten Menschen (6, Kopf nach unten) im Gegensatz zu den guten (999, Kopf nach oben), Gott (777) und Jesus (888)? Haben die Römer bei der Aufzäh­lung ihrer Zahl­zeichen MDCLXVI=1666 nur das M vergessen, oder gingen drei Sechsen beim Würfeln auch damals schon mit dem Teufel zu? Fragen über Fragen.

Vor 2000 Jahren standen Buch­staben noch für Zahlen bis 900. So hatte man gute Chancen, den einen oder anderen Namen auf 666 zu addieren. Später zählten die Numero­logen die Buch­staben einfach durch. So kamen sie allen­falls auf 111, wozu kurzer­hand alle Werte versechs­facht wurden (KISSINGER). Geht das nicht, dann bleiben immer noch andere Zähl­weisen. Beginnt man bei A mit 100, erhält man so schöne Treffer wie HITLER. Wahlweise kann man das J in der Zählung auslassen, alle Vokale aus dem Wort streichen oder nur Buch­staben heraus­ziehen, die römi­schen Zahl­zeichen ent­spre­chen (VICarIUs fILII DeI).

Manchmal geht es noch einfacher. Man zählt einfach die Buch­staben (Ronald Wilson Reagan) oder wird zu www nicht nur im latei­nischen Alphabet mit dreimal 23=W, sondern auch im hebräischen mit dreimal 6=Waw fündig. So breitet sich das Unheil über das Inter­net und andere moderne Errungen­schaften wie VISA-​Karte und Barcode aus. Bis vor kurzem konnte keiner wissen, daß sich die Heils­geschichte in der engli­schen Sprache und im ASCII-​Code fort­setzt, der schon nach wenigen Buch­staben in die Nähe von 666 führt, große und kleine Buch­staben unter­scheidet und wahl­weise auch Sonder­zeichen und Ziffern zur Verfü­gung stellt.

37 | 777 | 888 | 999

Zahlen, die sich als ein Produkt schreiben lassen, dessen Faktoren genau aus den Ziffern dieser Zahl bestehen, heißen Vampir­zahlen. [1] Die ersten sind

 126 = 6⋅21
 153 = 3⋅51
 688 = 8⋅86
1206 = 6⋅201
1255 = 5⋅251
1260 = 6⋅210 = 21⋅60
1395 = 15⋅93 = 5⋅9⋅31

Die Faktoren nennt man auch Zähne, gar Reißzähne (fangs). Die von Clifford A. Pickover einge­führten Vampir­zahlen im engeren Sinne (true vampire numbers) sind solche mit genau zwei gleich­langen Zähnen, die nicht beide auf 0 enden und natürlich auch keine führenden Nullen haben dürfen. [2] Dann bleiben bis 9999 - 153nur sieben:

1260 = 21⋅60
1395 = 15⋅93
1435 = 35⋅41
1530 = 30⋅51
1827 = 21⋅87
2187 = 27⋅81
6880 = 80⋅86

Leider ist 153 keine Vampirzahl im engeren Sinne mehr und muß sich als 1530 rein­mogeln. Aber 153 kommt allent­halben vor, besser gesagt die Ziffern 1, 5 und 3. Das liegt nicht nur an 153=3⋅51, sondern auch an 3⋅5=15 und 3⋅351=1053.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. (Entstellte) Vampir­zahlen A020342, darunter die (wahren, echten, normalen, eigent­lichen) Vampir­zahlen A014575 im engeren Sinne .

[2] Die On-Line Encyclopedia of Integer Sequences erwähnt in A014575 das Verbot zweier Nullen nicht, listet aber 126000=600⋅210 nicht als Vampir­zahl im engeren Sinne, während Pickover in seiner Vorstel­lung der Vampir­zahlen noch ein solches Beispiel nennt.

153 | Pickover | Friedmanzahlen

Unter den Bedeutsamkeiten der Zahl 153 bleibt gele­gent­lich 153=3⋅51 nicht uner­wähnt. Es ist also möglich, aus den Ziffern der Zahl 153 einen arith­meti­schen Ausdruck zu bilden, der wieder diese Zahl ergibt. Das mag zunächst als Aller­welts­eigen­schaft ange­sehen werden, weil man doch aus drei oder gar noch mehr Ziffern sehr viele Aus­drücke bilden kann, von denen mit ansehn­licher Wahr­schein­lich­keit einer treffen sollte.

Genauer gesagt heißt eine Zahl Friedman­zahl, wenn man aus ihren Ziffern zwei oder mehr neue Zahlen bildet und diese unter Verwen­dung von Addition, Subtrak­tion, Multipli­kation, Divi­sion, Poten­zie­rung und Klammer­set­zung zu einem Ausdruck ver­bindet, dessen Wert wieder die Ausgangs­zahl ist. [1] Die Friedman­zahlen unter­halb von 1000 lauten:

 25 = 5²
121 = 11²
125 = 5¹⁺²
126 = 6⋅21
127 = 2⁷−1
128 = 2⁸⁻¹
153 = 3⋅51
216 = 6¹⁺²
289 = (8+9)²
343 = (3+4)³
347 = 7³+4
625 = 5⁶⁻²
688 = 8⋅86
736 = 7+3⁶

Es sind weniger als ich zunächst erwartet habe, doch die Anfangs­vermutung, es sei eine Aller­welts­eigen­schaft wurde 2013 bestätigt. Nicht alle Zahlen, aber 100% sind Friedman­zah­len. [2]

Unter den Friedman­zahlen bis 1000 sind nur drei, nämlich 126, 153 und 688, die auf das Poten­zieren verzich­ten können. [3] Und nur 127, 343 und 736 heißen nice, orderly, good oder gar deutsch geord­net, weil der Ausdruck die Ziffern in der richtigen Reihen­folge ent­halten kann, wobei ich 127=−1+2⁷ eigentlich nicht mit­zählen möchte, denn ein nega­tives Vorzei­chen ist keine Sub­traktion.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Friedman­zahlen A036057, darunter A080035 geord­nete in der korrek­ten Reihen­folge.

[2] Michael Brand: Friedman numbers have density 1. Discrete Applied Mathe­matics 161(16-17), S. 2389-2395, 2003.

[3] Die nächsten sind 1206=6⋅201, 1255=5⋅251 und 1260=6⋅210. Alle drei Vampir­zahlen mit zwei ungleich großen Zähnen. Erst 1395=15⋅93 ist eine Vampir­zahl im engeren Sinne mit zwei gleich­großen Zähnen. Und 11439=9⋅31⋅41 ist die erste mit dreien. So geht es eine Weile weiter, doch nicht alle Friedman­zahlen ohne Poten­zierung sind auch Vampir­zahlen. So ist 1288957=(9+8)⋅75821 keine.

153 | Vampirzahlen

Neben der heraus­ragenden Eigen­schaft der Zahl 153, Summe der dritten Potenzen ihrer Ziffer, also Arm­strong­zahl zu sein, wird auch stets erwähnt, daß 153 durch die eigene Quer­summe teilbar ist. Solche Zahlen heißen Harshad­zahlen. Alle einstel­ligen Zahlen sind tri­vialer­weise Harshad­zahlen. Die zweistelligen Harshad­zahlen sind die Viel­fachen von 9 und 10 sowie die Zahlen 12, 21, 24, 42, 48 und 84, also genau dieje­nigen, die ich in meinem Beitrag zur Zahl 18 als einzige ermittelt habe, die das Zwei- bis Zehn­fache ihrer Quer­summe sind. Die Zahl 18 war die kleinste Zahl als das Doppelte der Quersumme. In diesem Zusammenhang erwähnte ich auch, daß die mehr als Zehn­fachen der Quer­summe minde­stens drei­stellig sein müssen und die Harshad­zahl 198=11⋅(1+9+8) die kleinste Zahl als das Elf­fache ihrer Quersumme ist.

Ein- bis Neunfache von Zehner­potenzen sind immer Harshad­zahlen, ebenso Zahlen mit Quer­summe 3 oder 9. Die Zahl 7 ist die größte Primzahl unter den Harshad­zahlen. Mehr­stellige Prim­zahlen scheiden aus, denn die Quer­summe liegt echt zwischen 1 und dieser Primzahl, den ein­zigen beiden Teilern. Die trivi­alen Arm­strong­zahlen 1 bis 9 und die nächste 153 sind zugleich Harshad­zahlen, doch geht es so nicht weiter. Zur Freude der 37‑Fana­tiker ist zwar 407=37⋅(4+0+7) und 370=37⋅(3+7+0), doch teilt 11=3+7+1 nicht die Arm­strong­zahl 371.

Harshadzahlen gibt es wie Sand am Meer, weshalb es interes­santer ist, nach der klein­sten Harshadzahl aₙ zu fragen, die das n‑fache ihrer Quer­summe ist. Trivialer­weise ist a₁=1. Es folgen 18=2⋅9, 27=3⋅9, 12=4⋅3 (nicht 36=4⋅9), 45=5⋅9, 54=6⋅9, 21=7⋅3 (nicht 63=7⋅9), 72=8⋅9 und 81=9⋅9. Die Zahlen wachsen nicht bestän­dig an, denn es folgt a₁₀=10=10⋅1. Die 11 ziert sich mit a₁₁=198=11⋅18. Und danach geht es weiter mit 108=12⋅9, 117=13⋅9, 126=14⋅9, 135=15⋅9, 144=16⋅9, 153=17⋅9, 162=18⋅9, 114=19⋅6 (nicht 171=19⋅9) und 180=20⋅9. Die 21 ziert sich wieder mit a₂₁=378=21⋅18.

Nun fragt sich der aufmerk­same Leser natür­lich, ob es denn für jede Zahl n über­haupt ein aₙ gibt. Und die Antwort lautet: Nein, schon für n=62 gibt es das nicht (a₆₂=0). Das kann leicht mit einem Computer bestä­tigt werden, denn für k‑stel­lige Zahlen ist die Quer­summe maximal 9k, weshalb a₆₂ nicht über 9kn=558k liegen kann. Für k>4 ist das kleiner als jede k‑stel­lige Zahl. Man muß also nur Zahlen bis 9999 über­prüfen, sogar nur bis 2232, 1736 oder noch weniger.

[1] The On-Line Ecyclopedia of Integer Sequences. Harshad­zahlen A005349, die Viel­fachen A113315 ihrer Quer­summe, die klein­sten Harshad­zahlen A003634 zu gege­benem Viel­fachen und die unmög­lichen Viel­fachen A003635.

18 | 153