Vampirzahlen
wuerg, 22.07.2005 01:07
Da sich 153 als Produkt 3*51 der eigenen Ziffern schreiben läßt, handelt es sich um eine Friedmanzahl, für die Potenzieren nicht erforderlich ist. Die ersten sind
Solche Friedmanzahlen ohne Potenzierung, also nur mit Multiplikation werden von Erich Friedman Vampirzahlen genannt. Andere bezeichnen dagegen nur solche als Vampirzahlen, die sich als Produkt zweier gleich langer Faktoren darstellen lassen. Dann bleiben bis 9999 nur sieben Vampirzahlen
Andersen
126 = 6*21 153 = 3*51 688 = 8*86 1206 = 6*201 1255 = 5*251 1260 = 6*210 = 21*60 1395 = 15*93 = 5*9*31Offensichtlich wird auch von Addition, Subtraktion und Division kein Gebrauch gemacht. Verzichtet man nämlich auf das Potenzieren, werden alle Ziffern für Multiplikationen benötigt, um überhaupt die erforderlich Stellenzahl zu erreichen.
Solche Friedmanzahlen ohne Potenzierung, also nur mit Multiplikation werden von Erich Friedman Vampirzahlen genannt. Andere bezeichnen dagegen nur solche als Vampirzahlen, die sich als Produkt zweier gleich langer Faktoren darstellen lassen. Dann bleiben bis 9999 nur sieben Vampirzahlen
1260 = 21*60 1395 = 15*93 1435 = 35*41 1530 = 30*51 1827 = 21*87 2187 = 27*81 6880 = 80*86Unschön an dieser verschärften Definition ist, daß 153 keine Vampirzahl mehr ist und sich als 1530 reinmogeln muß. In jedem Falle kommt aber 153 allenthalben vor, besser gesagt die Ziffern 1, 5 und 3. Das liegt nicht nur an 153=3*51, sondern auch an 3*5=15 und 3*351=1053.
Andersen
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kid37,
22.07.2005 01:10
Das ist ja mal ein Thema für mich. Nicht, daß ich irgendwas verstanden hätte... (Ich bin immer regelmäßig fasziniert von Ihrer Arbeit hier!)
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wuerg,
22.07.2005 11:47
Aber Sie könnten hier einmal aufschreiben, was Sie so über die Zahl 37 wissen.
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wuerg,
23.07.2005 02:42
Hat man eine Folge von Zahlen, so stellt man regelmäßig die Fragen: Gibt darunter Primzahlen, Quadratzahlen oder andere, welche ist die kleinste, die größte oder sind es unendlich viele?
Primzahlen gibt es unter den Vampirzahlen offensichtlich nicht, weshalb man eine Vampirzahl bereits prim nennt, wenn sie eine Darstellung aus lauter Primfaktoren hat. Die ersten lauten:
Primzahlen gibt es unter den Vampirzahlen offensichtlich nicht, weshalb man eine Vampirzahl bereits prim nennt, wenn sie eine Darstellung aus lauter Primfaktoren hat. Die ersten lauten:
117067 = 167*701 124483 = 281*443 146137 = 317*461 371893 = 383*971 536539 = 563*953Ebenso nennt man eine Vampirzahl quadratisch, wenn sie eine Darstellung aus zwei gleichen Faktoren hat. Es reicht nicht aus, einfach eine Quadratzahl zu sein. Und wenn ich nicht falsch programmiert habe, dann sind die ersten:
5267275776 = 72576*72576 165252006144 = 406512*406512 172455817284 = 415278*415278 244492669444 = 494462*494462 363967270209 = 603297*603297 526727577600 = 725760*725760Damit ist die Frage nach der kleinsten primen bzw. quadratischen Vampirzahl beantwortet. Nach der ersten Vampirzahl, die sowohl quadratisch als auch prim ist, mußte mein Programm etwas länger suchen. Hat es sich nicht geirrt, so ist es
2459319153459529 = 49591523*49591523Eine größte quadratische Vampirzahl gibt es nicht, da aus
9004540020079200492925x189784509590x000000000001 = 94892254795x000000000001*94892254795x000000000001eine unendliche Folge von quadratischen Vampirzahlen entsteht, wenn man x durch 0,1,2,3,... Nullen ersetzt. Darunter sind auch prime Vampirzahlen. Die kleinste hat 104 Stellen, die größte bekannte 90858 Stellen (Jens Kruse Andersen, 2002) oder bereits mehr. Es sieht so aus, als gäbe es unendlich viele prime Vampirzahlen, weil es schon unendlich viele gibt, die zugleich quadratisch als auch prim sind. Doch bewiesen scheint das nicht zu sein.
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wuerg,
24.07.2005 19:59
Die kleineren Vampirzahlen haben nur eine Zerlegung in nur zwei Faktoren, den beiden Beißzähnen (fang pair). Es gibt aber auch Vampire, die im Hals mehr als zwei Löcher hinterlassen, auch wenn man sich auf echte Vampirzahlen beschränkt, also nur zwei gleich lange Faktoren zuläßt, von denen nur einer auf 0 enden darf. Die kleinsten Vampirzahlen mit genau zwei bis fünf Zerlegungen lauten:
Andersen
125460 = 22*32*5*17*41 = 204 * 615 = 246 * 510 13078260 = 22*37*5*13*23 = 1620 * 8073 = 1863 * 7020 = 2070 * 6318 16758243290880 = 28*35*5*73*13*43*281 = 1982736 * 8452080 = 2123856 * 7890480 = 2751840 * 6089832 = 2817360 * 5948208 24959017348650 = 2*35*52*7*113*37*59*101 = 2947050 * 8469153 = 2949705 * 8461530 = 4125870 * 6049395 = 4129587 * 6043950 = 4230765 * 5899410Es ist natürlich nicht so überraschend, die Vampirzahlen mit den vielen Beißzahnpaaren unter denen mit vielen Teilern zu finden. Geht man aber auf die Jagd nach Zahnungeheuern, so reicht einfacher Computereinsatz nicht. Ein paar zusätzliche Überlegungen sind: Den Faktor 5 nur einmal zu nehmen, weil er mit 2 auf 10 und damit auf nicht zählbare unechte Vampirzahlen führt. Den Faktor 3 häufig zu nehmen, weil für Zahnpaare (x,y) von Vampiren xy=x+y modulo 9 ist. Eine Gleichverteilung der Anzahlen der Ziffern ist hilfreich, auch eine mit 1 oder gar 10 beginnende Zahl. Das führte Jens Kruse Andersen auf eine 70-stellige Zahl mit sage und schreibe 100025 Zerlegungen.
Andersen
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